Trapez je štirikotnik z dvema vzporednima stranicama, ki sta osnovi, in dvema nevzporednima stranicama, ki sta strani.
Obstajajo tudi imena kot npr enakokraki oz enakokraki.
Je trapez s pravimi koti na stranski strani.
Trapezni elementi
a, b osnove trapeza(a vzporedno z b),
m, n — strani trapez,
d 1 , d 2 — diagonale trapez,
h- višina trapez (odsek, ki povezuje osnove in hkrati pravokoten nanje),
MN- srednja črta(odsek, ki povezuje središča stranic).
Območje trapeza
- Skozi polovico vsote osnov a, b in višine h : S = \frac(a + b)(2)\cdot h
- Skozi srednjo črto MN in višino h : S = MN\cdot h
- Skozi diagonale d 1 , d 2 in kot (\sin \varphi ) med njimi: S = \frac(d_(1) d_(2) \sin \varphi)(2)
Lastnosti trapeza
Srednja črta trapeza
srednja črta je vzporedna z osnovami, enaka njihovi polovični vsoti, in deli vsak segment s konci na ravnih črtah, ki vsebujejo osnove (na primer višino figure) na polovico:
MN || a, MN || b, MN = \frac(a + b)(2)
Vsota kotov trapeza
Vsota kotov trapeza, ki meji na vsako stran, je enako 180^(\circ):
\alpha + \beta = 180^(\circ)
\gamma + \delta =180^(\circ)
Enakopovršinski trikotniki trapeza
Enako velik, torej z enakimi površinami, sta odseki diagonal in trikotnikov AOB in DOC, ki jih tvorita stranice.
Podobnost oblikovanih trapeznih trikotnikov
podobni trikotniki sta AOD in COB, ki ju tvorijo njihove baze in diagonalni segmenti.
\trikotnik AOD \sim \trikotnik COB
koeficient podobnosti k najdemo po formuli:
k = \frac(AD)(BC)
Poleg tega je razmerje med površinami teh trikotnikov enako k^(2) .
Razmerje dolžin segmentov in baz
Vsak segment, ki povezuje osnove in poteka skozi točko presečišča diagonal trapeza, je razdeljen s to točko glede na:
\frac(OX)(OY) = \frac(BC)(AD)
To bo veljalo tudi za višino s samimi diagonalami.
- Odsek, ki povezuje središča diagonal trapeza, je enak polovici razlike baz
- Trikotniki, ki jih tvorijo osnove trapeza in odseki diagonal do točke njunega presečišča, so podobni
- Trikotniki, sestavljeni iz segmentov diagonal trapeza, katerih stranice ležijo na straneh trapeza - so enaki (imajo enako površino)
- Če stranice trapeza podaljšamo proti manjši osnovi, se bodo v eni točki sekali z ravno črto, ki povezuje središča osnov
- Odsek, ki povezuje osnove trapeza in poteka skozi točko presečišča diagonal trapeza, se deli s to točko v sorazmerju, ki je enak razmerju dolžin osnov trapeza.
- Odsek, ki je vzporeden z osnovami trapeza in potegnjen skozi presečišče diagonal, je prepolovljen s to točko, njegova dolžina pa je 2ab / (a + b), kjer sta a in b bazi trapeza
Lastnosti segmenta, ki povezuje središča diagonal trapeza
Povežite sredine diagonal trapeza ABCD, zaradi česar bomo imeli segment LM.
Odsek črte, ki povezuje središča diagonal trapeza leži na srednji črti trapeza.
Ta segment vzporedno z osnovami trapeza.
Dolžina segmenta, ki povezuje središča diagonal trapeza, je enaka polovični razliki njegovih osnov.
LM = (AD - BC)/2
oz
LM = (a-b)/2
Lastnosti trikotnikov, ki jih tvorijo diagonale trapeza
Trikotniki, ki jih tvorijo osnove trapeza in točka presečišča diagonal trapeza - so podobni.
Trikotnika BOC in AOD sta si podobna. Ker sta kota BOC in AOD navpična, sta enaka.
Kota OCB in OAD sta notranji navzkrižno, ki ležita na vzporednih premicih AD in BC (osnovi trapeza sta vzporedni med seboj) in sekanti AC, zato sta enaka.
Kota OBC in ODA sta enaka iz istega razloga (notranji križno ležeči).
Ker so vsi trije koti enega trikotnika enaki ustreznim kotom drugega trikotnika, so ti trikotniki podobni.
Kaj sledi iz tega?
Za reševanje problemov v geometriji se podobnost trikotnikov uporablja na naslednji način. Če poznamo dolžine dveh ustreznih elementov podobnih trikotnikov, potem najdemo koeficient podobnosti (delimo enega z drugim). Od koder so dolžine vseh ostalih elementov med seboj povezane s popolnoma enako vrednostjo.
Lastnosti trikotnikov, ki ležijo na stranski strani, in diagonale trapeza
Razmislite o dva trikotnika, ki ležita na straneh trapeza AB in CD. To sta trikotnika AOB in COD. Kljub temu, da so dimenzije posameznih strani teh trikotnikov lahko popolnoma različne, vendar površine trikotnikov, ki jih tvorijo stranice in točka presečišča diagonal trapeza, so, torej trikotniki so enaki.
Če so stranice trapeza podaljšane proti manjši osnovi, bo točka presečišča stranic sovpadajo z ravno črto, ki poteka skozi središča osnov.
Tako se lahko vsak trapez razširi na trikotnik. pri čemer:
- Trikotniki, ki jih tvorijo osnove trapeza s skupnim vrhom na presečišču podaljšanih stranic, so podobni
- Premica, ki povezuje središča osnov trapeza, je hkrati mediana konstruiranega trikotnika
Lastnosti segmenta, ki povezuje osnove trapeza
Če narišete segment, katerega konca ležita na osnovah trapeza, ki leži na presečišču diagonal trapeza (KN), potem je razmerje njegovih sestavnih segmentov od strani podnožja do presečišča trapeza diagonale (KO / ON) bo enako razmerju osnov trapeza(BC/AD).
KO/ON=BC/AD
Ta lastnost izhaja iz podobnosti ustreznih trikotnikov (glej zgoraj).
Lastnosti segmenta, vzporednega z osnovami trapeza
Če narišemo segment, vzporeden z osnovami trapeza in poteka skozi točko presečišča diagonal trapeza, bo imel naslednje lastnosti:
- Prednastavljena razdalja (KM) prepolovi točko presečišča diagonal trapeza
- Dolžina reza, ki poteka skozi točko presečišča diagonal trapeza in vzporedno z osnovami, je enaka KM = 2ab/(a + b)
Formule za iskanje diagonal trapeza
a, b- osnove trapeza
c, d- stranice trapeza
d1 d2- diagonale trapeza
α β - koti z večjo osnovo trapeza
Formule za iskanje diagonal trapeza skozi osnove, stranice in kote pri bazi
Prva skupina formul (1-3) odraža eno od glavnih lastnosti diagonal trapeza:
1. Vsota kvadratov diagonal trapeza je enaka vsoti kvadratov stranic plus dvakratnega zmnožka njegovih osnov. To lastnost diagonal trapeza je mogoče dokazati kot ločen izrek
2 . To formulo dobimo s preoblikovanjem prejšnje formule. Kvadrat druge diagonale se vrže čez znak enakosti, po katerem se iz leve in desne strani izraza izvleče kvadratni koren.
3 . Ta formula za iskanje dolžine diagonale trapeza je podobna prejšnji, s to razliko, da je na levi strani izraza ostala še ena diagonala
Naslednja skupina formul (4-5) je po pomenu podobna in izraža podobno razmerje.
Skupina formul (6-7) vam omogoča, da poiščete diagonalo trapeza, če poznate večjo osnovo trapeza, eno stran in kot pri dnu.
Formule za iskanje diagonal trapeza glede na višino
Naloga.
Diagonali trapeza ABCD (AD | | BC) se sekata v točki O. Poiščite dolžino osnove BC trapeza, če je osnova AD = 24 cm, dolžina AO = 9 cm, dolžina OS = 6 cm.
Rešitev.
Rešitev te naloge je ideologijsko popolnoma enaka prejšnjim nalogam.
Trikotnika AOD in BOC sta si podobna v treh kotih - AOD in BOC sta navpična, preostali koti pa so parno enaki, saj nastanejo s presečiščem ene in dveh vzporednih premic.
Ker sta si trikotnika podobna, so vse njihove geometrijske dimenzije med seboj povezane, saj so nam glede na pogoj problema znane geometrijske dimenzije segmentov AO in OC. to je
AO/OC=AD/BC
9 / 6 = 24 / pr.
BC = 24 * 6 / 9 = 16
Odgovori: 16 cm
Naloga .
V trapezu ABCD je znano, da je AD=24, BC=8, AC=13, BD=5√17. Poiščite površino trapeza. 
Rešitev .
Da bi našli višino trapeza iz oglišč manjše osnove B in C, spustimo dve višini na večjo osnovo. Ker je trapez neenak, označimo dolžino AM = a, dolžino KD = b ( ne smemo zamenjati s simboli v formuli iskanje površine trapeza). Ker sta osnovici trapeza vzporedni in smo izpustili dve višini, pravokotni na večjo osnovo, je MBCK pravokotnik.
Pomeni
AD=AM+BC+KD
a + 8 + b = 24
a = 16 - b
Trikotnika DBM in ACK sta pravokotna, zato njuni pravi koti tvorijo višine trapeza. Označimo višino trapeza s h. Nato po Pitagorejevem izreku
H 2 + (24 - a) 2 \u003d (5√17) 2
in
h 2 + (24 - b) 2 \u003d 13 2
Upoštevajte, da je a \u003d 16 - b, nato v prvi enačbi
h 2 + (24 - 16 + b) 2 \u003d 425
h 2 \u003d 425 - (8 + b) 2
Vrednost kvadrata višine nadomestimo z drugo enačbo, ki jo dobimo s Pitagorejskim izrekom. Dobimo:
425 - (8 + b) 2 + (24 - b) 2 = 169
-(64 + 16b + b) 2 + (24 - b) 2 = -256
-64 - 16b - b 2 + 576 - 48b + b 2 = -256
-64b = -768
b = 12
Torej je KD = 12
Kje
h 2 = 425 - (8 + b) 2 = 425 - (8 + 12) 2 \u003d 25
h = 5
Poiščite površino trapeza z uporabo njegove višine in polovice vsote osnov
, kjer je a b - osnove trapeza, h - višina trapeza
S = (24 + 8) * 5 / 2 \u003d 80 cm 2
Odgovori: površina trapeza je 80 cm2.
Vaša zasebnost nam je pomembna. Zaradi tega smo razvili pravilnik o zasebnosti, ki opisuje, kako uporabljamo in shranjujemo vaše podatke. Preberite našo politiko zasebnosti in nam sporočite, če imate kakršna koli vprašanja.
Zbiranje in uporaba osebnih podatkov
Osebni podatki se nanašajo na podatke, ki jih je mogoče uporabiti za identifikacijo določene osebe ali stik z njo.
Od vas se lahko zahteva, da navedete svoje osebne podatke kadar koli, ko nas kontaktirate.
V nadaljevanju je nekaj primerov vrst osebnih podatkov, ki jih lahko zbiramo, in kako jih lahko uporabimo.
Katere osebne podatke zbiramo:
- Ko oddate prijavo na spletnem mestu, lahko zbiramo različne podatke, vključno z vašim imenom, telefonsko številko, e-poštnim naslovom itd.
Kako uporabljamo vaše osebne podatke:
- Osebni podatki, ki jih zbiramo, nam omogočajo, da stopimo v stik z vami in vas obvestimo o edinstvenih ponudbah, promocijah in drugih dogodkih ter prihajajočih dogodkih.
- Občasno lahko vaše osebne podatke uporabimo za pošiljanje pomembnih obvestil in sporočil.
- Osebne podatke lahko uporabljamo tudi za interne namene, kot so izvajanje revizij, analize podatkov in različnih raziskav, da bi izboljšali storitve, ki jih ponujamo, in vam zagotovili priporočila glede naših storitev.
- Če sodelujete v nagradni igri, tekmovanju ali podobni spodbudi, lahko podatke, ki jih posredujete, uporabimo za upravljanje takšnih programov.
Razkritje tretjim osebam
Podatkov, ki jih prejmete od vas, ne razkrivamo tretjim osebam.
Izjeme:
- V primeru, da je treba - v skladu z zakonom, sodnim redom, v sodnih postopkih in/ali na podlagi javnih zahtev ali zahtev državnih organov na ozemlju Ruske federacije - razkriti svoje osebne podatke. Podatke o vas lahko razkrijemo tudi, če ugotovimo, da je takšno razkritje potrebno ali primerno za varnostne namene, namene kazenskega pregona ali druge namene javnega interesa.
- V primeru reorganizacije, združitve ali prodaje lahko osebne podatke, ki jih zberemo, prenesemo na ustreznega naslednika tretje osebe.
Zaščita osebnih podatkov
Sprejmemo previdnostne ukrepe – vključno z upravnimi, tehničnimi in fizičnimi – za zaščito vaših osebnih podatkov pred izgubo, krajo in zlorabo, pa tudi pred nepooblaščenim dostopom, razkritjem, spreminjanjem in uničenjem.
Ohranjanje vaše zasebnosti na ravni podjetja
Da zagotovimo, da so vaši osebni podatki varni, našim zaposlenim sporočamo prakse zasebnosti in varnosti ter strogo uveljavljamo prakse zasebnosti.
V tem članku bomo poskušali čim bolj v celoti odražati lastnosti trapeza. Zlasti bomo govorili o splošnih znakih in lastnostih trapeza, pa tudi o lastnostih vpisanega trapeza in o krogu, vpisanem v trapez. Dotaknili se bomo tudi lastnosti enakokrakega in pravokotnega trapeza.
Primer reševanja problema z uporabo obravnavanih lastnosti vam bo pomagal razvrstiti stvari v glavi in si bolje zapomniti snov.
Trapez in vse-vse-vse
Za začetek se na kratko spomnimo, kaj je trapez in kateri drugi koncepti so povezani z njim.
Torej, trapez je štirikotna figura, katere dve strani sta vzporedni med seboj (to so osnove). In dve nista vzporedni - to sta strani.
V trapezu lahko višino izpustimo - pravokotno na podlage. Narisane so srednja črta in diagonale. In tudi iz katerega koli kota trapeza je mogoče narisati simetralo.
O različnih lastnostih, povezanih z vsemi temi elementi in njihovimi kombinacijami, bomo zdaj govorili.
Lastnosti diagonal trapeza
Da bo bolj jasno, med branjem narišite ACME trapez na kos papirja in vanj narišite diagonale.
- Če najdete središča vsake od diagonal (ti točki imenujemo X in T) in ju povežete, dobite segment. Ena od lastnosti diagonal trapeza je, da segment XT leži na srednji črti. In njegovo dolžino lahko dobimo tako, da razliko baz delimo z dvema: XT \u003d (a - b) / 2.
- Pred nami je isti trapez ACME. Diagonali se sekata v točki O. Poglejmo si trikotnika AOE in IOC, ki ju tvorita segmenta diagonal skupaj z osnovami trapeza. Ti trikotniki so podobni. Koeficient podobnosti k trikotnikov je izražen z razmerjem osnov trapeza: k = AE/KM.
Razmerje površin trikotnikov AOE in IOC je opisano s koeficientom k 2 . - Vse isti trapezij, iste diagonale, ki se sekajo v točki O. Le tokrat bomo obravnavali trikotnike, ki so jih diagonalni segmenti tvorili skupaj s stranicami trapeza. Površini trikotnikov AKO in EMO sta enaki - njuni površini sta enaki.
- Druga lastnost trapeza vključuje konstrukcijo diagonal. Torej, če nadaljujemo strani AK in ME v smeri manjše osnove, se bosta prej ali slej sekali do neke točke. Nato narišite ravno črto skozi središča osnov trapeza. Seka baze v točkah X in T.
Če zdaj podaljšamo premico XT, bo združila točko presečišča diagonal trapeza O, točko, v kateri se sekajo podaljški stranic in središč osnov X in T. - Skozi točko presečišča diagonal narišemo segment, ki bo povezoval osnove trapeza (T leži na manjši osnovi KM, X - na večji AE). Točka presečišča diagonal deli ta segment v naslednjem razmerju: TO/OH = KM/AE.
- In zdaj skozi točko presečišča diagonal narišemo segment, vzporeden z osnovami trapeza (a in b). Točka presečišča ga bo razdelila na dva enaka dela. Dolžino segmenta lahko najdete s formulo 2ab/(a + b).
Lastnosti srednje črte trapeza
Narišite srednjo črto v trapezu vzporedno z njegovimi osnovami.
- Dolžino srednje črte trapeza lahko izračunamo tako, da seštejemo dolžine osnov in jih delimo na polovico: m = (a + b)/2.
- Če narišete kateri koli segment (na primer višino) skozi obe bazi trapeza, ga srednja črta razdeli na dva enaka dela.
Lastnost simetrale trapeza
Izberite poljuben kot trapeza in narišite simetralo. Vzemimo na primer kot KAE našega trapeza ACME. Ko sami dokončate konstrukcijo, lahko zlahka vidite, da simetrala odreže od osnove (ali njenega nadaljevanja na ravni črti zunaj same figure) segment enake dolžine kot stranica.
Lastnosti trapeznega kota
- Ne glede na to, kateri od dveh parov kotov, ki mejita na stran, ki jih izberete, je vsota kotov v paru vedno 180 0: α + β = 180 0 in γ + δ = 180 0 .
- Povežite sredine osnov trapeza s segmentom TX. Zdaj pa poglejmo kote na osnovah trapeza. Če je vsota kotov katerega koli od njih 90 0, je dolžino segmenta TX enostavno izračunati na podlagi razlike v dolžinah baz, deljenih na polovico: TX \u003d (AE - KM) / 2.
- Če se skozi stranice kota trapeza narišejo vzporedne črte, bodo stranice kota razdelile na sorazmerne segmente.
Lastnosti enakokrakega (enakokrakega) trapeza
- V enakokrakem trapezu so koti pri kateri koli osnovi enaki.
- Sedaj znova zgradite trapez, da si boste lažje predstavljali, za kaj gre. Pazljivo poglejte osnovo AE - oglišče nasprotne baze M je projicirano na določeno točko na premici, ki vsebuje AE. Razdalja od oglišča A do točke projekcije oglišča M in srednja črta enakokrakega trapeza sta enaki.
- Nekaj besed o lastnosti diagonal enakokrakega trapeza - njihove dolžine so enake. In tudi koti naklona teh diagonal do osnove trapeza so enaki.
- Samo v bližini enakokrakega trapeza je mogoče opisati krog, saj je vsota nasprotnih kotov štirikotnika 180 0 predpogoj za to.
- Lastnost enakokrakega trapeza izhaja iz prejšnjega odstavka – če je mogoče opisati krog v bližini trapeza, je enakokraki.
- Iz značilnosti enakokrakega trapeza sledi lastnost višine trapeza: če se njegove diagonale sekajo pod pravim kotom, je dolžina višine enaka polovici vsote osnov: h = (a + b)/2.
- Ponovno narišite črto TX skozi središča osnov trapeza - v enakokrakem trapezu je pravokotna na osnove. In hkrati je TX os simetrije enakokrakega trapeza.
- Tokrat spustite na večjo osnovo (imenujmo jo a) višino od nasprotnega oglišča trapeza. Dobili boste dva reza. Dolžino enega lahko najdemo, če seštejemo dolžine osnov in jih razdelimo na polovico: (a+b)/2. Drugo dobimo, ko od večje osnove odštejemo manjšo in dobljeno razliko delimo z dva: (a – b)/2.
Lastnosti trapeza, vpisanega v krog
Ker že govorimo o trapezu, vpisanem v krog, se o tem vprašanju posvetimo podrobneje. Zlasti, kje je središče kroga glede na trapez. Tudi tukaj je priporočljivo, da ne boste preveč leni, da bi vzeli svinčnik in narisali, o čemer bo govora spodaj. Tako boste hitreje razumeli in si bolje zapomnili.
- Lokacija središča kroga je določena s kotom nagiba diagonale trapeza na njegovo stran. Na primer, diagonala lahko izhaja iz vrha trapeza pod pravim kotom na stran. V tem primeru večja osnova seka središče opisanega kroga točno na sredini (R = ½AE).
- Diagonala in stranica se lahko srečata tudi pod ostrim kotom - takrat je središče kroga znotraj trapeza.
- Središče opisanega kroga je lahko zunaj trapeza, onkraj njegove velike osnove, če je med diagonalo trapeza in stransko stranjo topo kot.
- Kot, ki ga tvorita diagonala in velika osnova trapeza ACME (vpisan kot), je polovica osrednjega kota, ki mu ustreza: MAE = ½ MY.
- Na kratko o dveh načinih za iskanje polmera opisanega kroga. Prva metoda: pozorno poglejte svojo risbo - kaj vidite? Z lahkoto boste opazili, da diagonala razdeli trapez na dva trikotnika. Polmer je mogoče najti z razmerjem med stranicami trikotnika in sinusom nasprotnega kota, pomnoženim z dvema. na primer R \u003d AE / 2 * sinAME. Podobno lahko formulo zapišemo za katero koli stran obeh trikotnikov.
- Drugi način: najdemo polmer opisanega kroga skozi območje trikotnika, ki ga tvorijo diagonala, stranica in osnova trapeza: R \u003d AM * ME * AE / 4 * S AME.
Lastnosti trapeza, opisanega okoli kroga
V trapez lahko vpišete krog, če je izpolnjen en pogoj. Več o tem spodaj. In ta kombinacija številk ima skupaj številne zanimive lastnosti.
- Če je krog vpisan v trapez, lahko dolžino njegove srednje črte enostavno najdemo tako, da seštejemo dolžine stranic in dobljeno vsoto delimo na polovico: m = (c + d)/2.
- Za trapez ACME, opisan okoli kroga, je vsota dolžin osnov enaka vsoti dolžin stranic: AK + ME = KM + AE.
- Iz te lastnosti osnov trapeza sledi obratna trditev: v ta trapez lahko vpišemo krog, katerega vsota osnov je enaka vsoti stranic.
- Tangentna točka kroga s polmerom r, vpisanim v trapez, deli stransko stran na dva segmenta, imenujemo ju a in b. Polmer kroga je mogoče izračunati s formulo: r = √ab.
- In še ena lastnina. Da ne bi bili zmedeni, narišite ta primer sami. Imamo stari dobri trapez ACME, ki je opisan okrog kroga. Vanj so narisane diagonale, ki se sekajo v točki O. Trikotnika AOK in EOM, ki ju tvorita segmenta diagonal in stranic, sta pravokotna.
Višine teh trikotnikov, spuščenih na hipotenuze (t.j. stranice trapeza), sovpadajo s polmeri vpisanega kroga. In višina trapeza je enaka premeru vpisanega kroga.
Lastnosti pravokotnega trapeza
Trapez se imenuje pravokoten, katerega eden od vogalov je desni. In njegove lastnosti izhajajo iz te okoliščine.
- Pravokotni trapez ima eno od stranic pravokotno na osnove.
- Višina in stranica trapeza, ki meji na pravi kot, sta enaki. To vam omogoča izračun površine pravokotnega trapeza (splošna formula S = (a + b) * h/2) ne samo skozi višino, ampak tudi skozi stran, ki meji na pravi kot.
- Za pravokotni trapez so pomembne splošne lastnosti diagonal trapeza, ki so že opisane.
Dokazi o nekaterih lastnostih trapeza
Enakost kotov na dnu enakokrakega trapeza:
- Verjetno ste že uganili, da tukaj spet potrebujemo trapez ACME - narišite enakokraki trapez. Narišite črto MT iz vrha M vzporedno s stranico AK (MT || AK).
Nastali štirikotnik AKMT je paralelogram (AK || MT, KM || AT). Ker je ME = KA = MT, je ∆ MTE enakokraki in MET = MTE.
AK || MT, torej MTE = KAE, MET = MTE = KAE.
Kjer je AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.
Q.E.D.
Zdaj na podlagi lastnosti enakokrakega trapeza (enakost diagonal) to dokazujemo trapezij ACME je enakokraki:
- Za začetek narišemo ravno črto МХ – МХ || KE. Dobimo paralelogram KMHE (osnova - MX || KE in KM || EX).
∆AMH je enakokračen, saj je AM = KE = MX in MAX = MEA.
MX || KE, KEA = MXE, torej MAE = MXE.
Izkazalo se je, da sta trikotnika AKE in EMA enaka drug drugemu, ker sta AM \u003d KE in AE skupna stran obeh trikotnikov. In tudi MAE \u003d MXE. Sklepamo lahko, da je AK = ME in iz tega sledi, da je trapez AKME enakokrak.
Naloga za ponovitev
Osnovi trapeza ACME sta 9 cm in 21 cm, stranica KA, enaka 8 cm, tvori kot 150 0 z manjšo osnovo. Najti morate območje trapeza.
Rešitev: Iz vrha K znižamo višino na večjo osnovo trapeza. In začnimo gledati kote trapeza.
Kota AEM in KAN sta enostranska. Kar pomeni, da seštejejo do 1800. Zato je KAN = 30 0 (na podlagi lastnosti kotov trapeza).
Razmislite zdaj o pravokotnem ∆ANK (mislim, da je ta točka bralcem očitna brez dodatnih dokazov). Iz nje najdemo višino trapeza KH - v trikotniku je krak, ki leži nasproti kota 30 0. Zato je KN \u003d ½AB \u003d 4 cm.
Površino trapeza najdemo s formulo: S AKME = (KM + AE) * KN / 2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 cm 2.
Pogovor
Če ste skrbno in premišljeno preučili ta članek, niste bili preveč leni, da bi s svinčnikom v rokah narisali trapeze za vse zgornje lastnosti in jih analizirali v praksi, bi morali material dobro obvladati.
Seveda je tukaj veliko informacij, raznolikih in včasih celo zmedenih: lastnosti opisanega trapeza ni tako težko zamenjati z lastnostmi vpisanega. Sami pa ste videli, da je razlika ogromna.
Zdaj imate podroben povzetek vseh splošnih lastnosti trapeza. Kot tudi posebne lastnosti in značilnosti enakokrakih in pravokotnih trapezov. Zelo priročen je za pripravo na teste in izpite. Preizkusite sami in delite povezavo s prijatelji!
strani, s popolnim ali delnim kopiranjem gradiva, je potrebna povezava do vira.
Trapez je poseben primer štirikotnika, pri katerem je en par stranic vzporeden. Izraz "trapez" izvira iz grške besede τράπεζα, kar pomeni "miza", "miza". V tem članku bomo obravnavali vrste trapeza in njegove lastnosti. Poleg tega bomo ugotovili, kako izračunati posamezne elemente tega primera, diagonalo enakokrakega trapeza, srednjo črto, površino itd. Gradivo je predstavljeno v slogu osnovne popularne geometrije, torej v lahko dostopnem oblika.
Splošne informacije
Najprej razumemo, kaj je štirikotnik. Ta slika je poseben primer mnogokotnika, ki vsebuje štiri stranice in štiri oglišča. Dve oglišči štirikotnika, ki nista sosednji, se imenujeta nasprotni. Enako lahko rečemo za dve nesosednji strani. Glavne vrste štirikotnikov so paralelogram, pravokotnik, romb, kvadrat, trapez in deltoid.
Torej, nazaj k trapezu. Kot smo že rekli, ima ta številka dve strani, ki sta vzporedni. Imenujejo se baze. Drugi dve (ne-vzporedni) sta strani. V gradivu izpitov in različnih testov je pogosto mogoče najti naloge v zvezi s trapezi, katerih rešitev od študenta pogosto zahteva znanje, ki ga program ne predvideva. Šolski predmet geometrije seznani študente z lastnostmi kotov in diagonal ter sredinsko črto enakokrakega trapeza. A navsezadnje ima omenjena geometrijska figura poleg tega še druge značilnosti. A več o njih kasneje ...
Vrste trapeza
Obstaja veliko vrst te figure. Vendar pa je najpogosteje običajno upoštevati dva od njih - enakokrake in pravokotne.
1. Pravokotni trapez je lik, pri katerem je ena od stranic pravokotna na podstavke. Ima dva kota, ki sta vedno devetdeset stopinj.
2. Enakokraki trapez je geometrijski lik, katerega stranice sta med seboj enaki. To pomeni, da so koti pri osnovah tudi parno enaki.
Glavna načela metodologije za preučevanje lastnosti trapeza
Glavno načelo je uporaba tako imenovanega pristopa nalog. Pravzaprav ni treba uvajati novih lastnosti te figure v teoretični tečaj geometrije. Lahko jih odkrijemo in oblikujemo v procesu reševanja različnih problemov (boljših od sistemskih). Hkrati je zelo pomembno, da učitelj ve, katere naloge je treba zastaviti učencem v enem ali drugem času izobraževalnega procesa. Poleg tega lahko vsako lastnost trapeza predstavimo kot ključno nalogo v sistemu nalog.
Drugo načelo je tako imenovana spiralna organizacija preučevanja "izjemnih" lastnosti trapeza. To pomeni vrnitev v učnem procesu k posameznim značilnostim dane geometrijske figure. Tako si jih učenci lažje zapomnijo. Na primer lastnost štirih točk. To je mogoče dokazati tako pri preučevanju podobnosti kot pozneje s pomočjo vektorjev. Enako površino trikotnikov, ki mejijo na stranice slike, je mogoče dokazati z uporabo ne le lastnosti trikotnikov z enakimi višinami, narisanimi na straneh, ki ležijo na isti ravni črti, temveč tudi z uporabo formule S= 1/ 2 (ab*sinα). Poleg tega lahko vadite na vpisanem trapezu ali pravokotnem trikotniku na opisanem trapezu itd.
Uporaba "izvenprogramskih" značilnosti geometrijske figure v vsebini šolskega predmeta je tehnologija naloge za njihovo poučevanje. Nenehno nagovarjanje k preučenim lastnostim pri prehodu skozi druge teme omogoča študentom, da pridobijo globlje znanje o trapezu in zagotavljajo uspešnost reševanja nalog. Torej, začnimo preučevati to čudovito figuro.
Elementi in lastnosti enakokrakega trapeza
Kot smo že omenili, so stranice te geometrijske figure enake. Znan je tudi kot desni trapez. Zakaj je tako izjemen in zakaj je dobil tako ime? Značilnosti te figure vključujejo dejstvo, da niso enake samo stranice in vogali pri osnovah, temveč tudi diagonale. Prav tako je vsota kotov enakokrakega trapeza 360 stopinj. Ampak to še ni vse! Od vseh znanih trapezov je mogoče opisati krog le okoli enakokrake. To je posledica dejstva, da je vsota nasprotnih kotov te figure 180 stopinj in le pod tem pogojem je mogoče opisati krog okoli štirikotnika. Naslednja lastnost obravnavane geometrijske figure je, da bo razdalja od osnovnega oglišča do projekcije nasprotnega oglišča na ravno črto, ki vsebuje to osnovo, enaka srednji črti.
Zdaj pa ugotovimo, kako najti kote enakokrakega trapeza. Razmislite o rešitvi tega problema, pod pogojem, da so dimenzije stranic slike znane.
Rešitev
Običajno je štirikotnik običajno označen s črkami A, B, C, D, kjer sta BS in AD bazi. V enakokrakem trapezu so stranice enake. Predvidevamo, da je njihova velikost X, velikosti baz pa Y in Z (manjša oziroma večja). Za izračun je potrebno iz kota B narisati višino H. Rezultat je pravokoten trikotnik ABN, kjer je AB hipotenuza, BN in AN pa kraka. Izračunamo velikost noge AN: manjšo odštejemo od večje osnove in rezultat delimo z 2. Zapišemo ga v obliki formule: (Z-Y) / 2 \u003d F. Zdaj izračunajmo ostrim kotom trikotnika, uporabimo funkcijo cos. Dobimo naslednji zapis: cos(β) = Х/F. Zdaj izračunamo kot: β=arcos (Х/F). Nadalje, če poznamo en kot, lahko določimo drugega, za to izvedemo osnovno aritmetično operacijo: 180 - β. Vsi koti so definirani.
Obstaja tudi druga rešitev za ta problem. Na začetku spustimo višino H od vogala B. Izračunamo vrednost BN kraka. Vemo, da je kvadrat hipotenuze pravokotnega trikotnika enak vsoti kvadratov katete. Dobimo: BN \u003d √ (X2-F2). Nato uporabimo trigonometrično funkcijo tg. Kot rezultat imamo: β = arctg (BN / F). Najden oster kot. Nato določimo na enak način kot prva metoda.
Lastnost diagonal enakokrakega trapeza
Najprej zapišimo štiri pravila. Če so diagonale enakokrakega trapeza pravokotne, potem:
Višina figure bo enaka vsoti osnov, deljene z dvema;
Njegova višina in srednja črta sta enaki;
Središče kroga je točka, kjer je ;
Če je stranska stran razdeljena s točko stika na segmenta H in M, je enaka kvadratnemu korenu produkta teh segmentov;
Štirikotnik, ki so ga tvorile tangentne točke, oglišče trapeza in središče vpisanega kroga, je kvadrat, katerega stranica je enaka polmeru;
Površina figure je enaka zmnožku osnov in zmnožku polovice vsote osnov in njene višine.
Podobni trapezi
Ta tema je zelo priročna za preučevanje lastnosti te. Na primer, diagonale delijo trapez na štiri trikotnike, pri čemer so tisti, ki mejijo na osnove, podobni, tisti, ki mejijo na stranice, pa enaki. To trditev lahko imenujemo lastnost trikotnikov, na katere je trapez razdeljen s svojimi diagonalami. Prvi del te trditve je dokazan s pomočjo kriterija podobnosti v dveh kotih. Za dokaz drugega dela je bolje uporabiti spodaj navedeno metodo.
Dokaz izreka
Sprejemamo, da je lik ABSD (AD in BS - osnovi trapeza) deljen z diagonaloma VD in AC. Njihovo presečišče je O. Dobimo štiri trikotnike: AOS - na spodnji bazi, BOS - na zgornji bazi, ABO in SOD na straneh. Trikotnika SOD in BOS imata skupno višino, če sta segmenta BO in OD njuni osnovi. Dobimo, da je razlika med njihovimi območji (P) enaka razliki med temi segmenti: PBOS / PSOD = BO / OD = K. Zato je PSOD = PBOS / K. Podobno imata trikotnika BOS in AOB skupno višino. Za njuni osnovi vzamemo segmenta CO in OA. Dobimo PBOS / PAOB \u003d CO / OA \u003d K in PAOB \u003d PBOS / K. Iz tega sledi, da je PSOD = PAOB.
Za utrjevanje snovi učencem svetujemo, da poiščejo razmerje med površinami dobljenih trikotnikov, na katere je trapez razdeljen s svojimi diagonalami, z rešitvijo naslednjega problema. Znano je, da sta ploskvi trikotnikov BOS in AOD enaki, zato je treba najti površino trapeza. Ker je PSOD \u003d PAOB, to pomeni, da je PABSD \u003d PBOS + PAOD + 2 * PSOD. Iz podobnosti trikotnikov BOS in AOD sledi, da je BO / OD = √ (PBOS / PAOD). Zato je PBOS/PSOD = BO/OD = √(PBOS/PAOD). Dobimo PSOD = √ (PBOS * PAOD). Potem PABSD = PBOS+PAOD+2*√(PBOS*PAOD) = (√PBOS+√PAOD)2.
lastnosti podobnosti
Če nadaljujemo z razvojem te teme, lahko dokažemo druge zanimive značilnosti trapezijev. Torej, z uporabo podobnosti lahko dokažete lastnost segmenta, ki poteka skozi točko, ki jo tvori presečišče diagonal te geometrijske figure, vzporedno z osnovami. Za to rešimo naslednji problem: poiskati je treba dolžino odseka RK, ki poteka skozi točko O. Iz podobnosti trikotnikov AOD in BOS sledi, da je AO/OS=AD/BS. Iz podobnosti trikotnikov AOP in ASB sledi, da je AO / AS \u003d RO / BS \u003d AD / (BS + AD). Od tu dobimo, da RO \u003d BS * AD / (BS + AD). Podobno iz podobnosti trikotnikov DOK in DBS sledi, da je OK \u003d BS * AD / (BS + AD). Od tu dobimo RO=OK in RK=2*BS*AD/(BS+AD). Segment, ki poteka skozi točko presečišča diagonal, vzporedno z osnovami in povezuje obe strani, je razdeljen s točko presečišča na polovico. Njegova dolžina je harmonično povprečje osnov figure.
Upoštevajte naslednjo lastnost trapeza, ki se imenuje lastnost štirih točk. Sečišča diagonal (O), presečišča nadaljevanja stranic (E), pa tudi središča osnov (T in W) vedno ležijo na isti črti. To je enostavno dokazati z metodo podobnosti. Nastala trikotnika BES in AED sta si podobna in v vsakem od njih mediani ET in EZH delita kot pri točki E na enake dele. Zato točke E, T in W ležijo na isti ravni črti. Na enak način se na isti ravni črti nahajajo točke T, O in G. Vse to izhaja iz podobnosti trikotnikov BOS in AOD. Iz tega sklepamo, da bodo vse štiri točke - E, T, O in W - ležale na eni ravni črti.
Z uporabo podobnih trapezov lahko učence prosimo, da poiščejo dolžino segmenta (LF), ki deli figuro na dva podobna. Ta segment mora biti vzporeden z osnovami. Ker sta nastala trapeza ALFD in LBSF podobna, potem je BS/LF=LF/AD. Iz tega sledi, da je LF=√(BS*BP). Dobimo, da ima segment, ki deli trapez na dva podobna, dolžino, ki je enaka geometrijski sredini dolžin osnov figure.
Upoštevajte naslednjo lastnost podobnosti. Temelji na segmentu, ki deli trapez na dve figuri enake velikosti. Sprejemamo, da je trapez ABSD s segmentom EN razdeljen na dva podobna. Iz vrha B je izpuščena višina, ki jo odsek EH deli na dva dela - B1 in B2. Dobimo: PABSD / 2 = (BS + EH) * B1 / 2 = (AD + EH) * B2 / 2 in PABSD \u003d (BS + HELL) * (B1 + B2) / 2. Nato sestavimo sistem, katerega prva enačba je (BS + EH) * B1 \u003d (AD + EH) * B2 in druga (BS + EH) * B1 \u003d (BS + HELL) * (B1 + B2) / 2. Iz tega sledi, da je B2/ B1 = (BS+EN)/(AD+EN) in BS+EN = ((BS+AD)/2)*(1+B2/ B1). Dobimo, da je dolžina odseka, ki deli trapez na dva enaka, enaka povprečnemu kvadratu dolžin baz: √ ((BS2 + AD2) / 2).
Sklepi o podobnosti
Tako smo dokazali, da:
1. Odsek, ki povezuje središča stranic trapeza, je vzporeden z AD in BS in je enak aritmetični sredini BS in AD (dolžina osnove trapeza).
2. Premica, ki poteka skozi točko O presečišča diagonal, vzporednih z AD in BS, bo enaka harmonični sredini števil AD in BS (2 * BS * AD / (BS + AD)).
3. Odsek, ki deli trapez na podobne, ima dolžino geometrične sredine osnov BS in AD.
4. Element, ki deli lik na dva enaka, ima dolžino srednjih kvadratnih števil AD in BS.
Za utrjevanje snovi in razumevanje povezave med obravnavanimi segmenti jih mora študent zgraditi za določen trapez. Z lahkoto lahko prikaže srednjo črto in segment, ki poteka skozi točko O - presečišče diagonal figure - vzporedno z osnovami. Kje pa bosta tretji in četrti? Ta odgovor bo študenta pripeljal do odkritja želenega razmerja med povprečji.
Odsek črte, ki povezuje središča diagonal trapeza
Upoštevajte naslednjo lastnost te slike. Sprejemamo, da je odsek MH vzporeden z osnovami in razpolovi diagonale. Presekišča poimenujmo W in W. Ta odsek bo enak polovični razliki baz. Analizirajmo to podrobneje. MSH - srednja črta trikotnika ABS, je enaka BS / 2. MS - srednja črta trikotnika ABD, je enaka AD / 2. Potem dobimo, da je ShShch = MShch-MSh, torej Sshch = AD / 2-BS / 2 = (AD + VS) / 2.
Težišče
Poglejmo, kako je ta element določen za dano geometrijsko figuro. Če želite to narediti, je treba osnove razširiti v nasprotnih smereh. Kaj to pomeni? Spodnjo podlago je treba dodati zgornji podlagi - na katero koli stran, na primer na desno. In dno se podaljša za dolžino vrha na levo. Nato jih povežemo z diagonalo. Točka presečišča tega segmenta s srednjo črto slike je težišče trapeza.
Vpisani in opisani trapezi
Naštejmo značilnosti takšnih figur:
1. Trapez se lahko vpiše v krog le, če je enakokraki.
2. Trapez lahko opišemo okoli kroga, če je vsota dolžin njihovih osnov enaka vsoti dolžin stranic.
Posledice vpisanega kroga:
1. Višina opisanega trapeza je vedno enaka dvema polmeroma.
2. Bočno stran opisanega trapeza opazujemo iz središča kroga pod pravim kotom.
Prvi sled je očiten, za dokaz drugega pa je treba ugotoviti, da je kot SOD pravi, kar pravzaprav tudi ne bo težko. Toda poznavanje te lastnosti nam bo omogočilo uporabo pravokotnega trikotnika pri reševanju problemov.
Zdaj navedemo te posledice za enakokraki trapez, ki je vpisan v krog. Dobimo, da je višina geometrijska sredina osnov figure: H=2R=√(BS*AD). Pri vadbi glavne tehnike reševanja nalog za trapeze (načelo risanja dveh višin) mora študent rešiti naslednjo nalogo. Sprejemamo, da je BT višina enakokrake figure ABSD. Treba je najti segmenta AT in TD. Z uporabo zgoraj opisane formule to ne bo težko narediti.
Zdaj pa ugotovimo, kako določiti polmer kroga z uporabo površine opisanega trapeza. Spustimo višino od vrha B do osnove AD. Ker je krog vpisan v trapez, potem BS + AD \u003d 2AB ali AB \u003d (BS + AD) / 2. Iz trikotnika ABN najdemo sinα = BN / AB = 2 * BN / (BS + AD). PABSD \u003d (BS + AD) * BN / 2, BN \u003d 2R. Dobimo PABSD \u003d (BS + HELL) * R, iz tega sledi, da je R \u003d PABSD / (BS + HELL).
Vse formule srednje črte trapeza
Zdaj je čas, da preidemo na zadnji element te geometrijske figure. Ugotovimo, koliko je enaka srednja črta trapeza (M):
1. Skozi baze: M \u003d (A + B) / 2.
2. Skozi višino, osnovo in kote:
M \u003d A-H * (ctgα + ctgβ) / 2;
M \u003d B + H * (ctgα + ctgβ) / 2.
3. Skozi višino, diagonale in kot med njimi. Na primer, D1 in D2 sta diagonali trapeza; α, β - koti med njimi:
M = D1*D2*sinα/2H = D1*D2*sinβ/2H.
4. Skozi površino in višino: M = P / N.