Kot veste, telo, ki v svojih gibih ni na noben način omejeno, imenujemo prosto, saj se lahko premika v katero koli smer. Vsako prosto togo telo ima torej šest stopenj svobode gibanja. Ima sposobnost proizvajanja naslednjih gibov: tri translacijske gibe, ki ustrezajo trem glavnim koordinatnim sistemom, in tri rotacijske gibe okoli teh treh koordinatnih osi.
Vsiljevanje povezav (fiksiranje) zmanjšuje število prostostnih stopenj. Torej, če je telo pritrjeno na eni točki, se ne more premikati vzdolž koordinatnih osi; njegova gibanja so omejena le na vrtenje okoli teh osi, tj. telo ima tri prostostne stopnje. V primeru, da sta dve točki pritrjeni, ima telo samo eno prostostno stopnjo, lahko se vrti le okoli premice (osi), ki poteka skozi obe točki. In končno, pri treh fiksnih točkah, ki ne ležijo na isti premici, je število prostostnih stopinj nič in ne more priti do gibanja telesa. Pri človeku je pasivni gibalni aparat sestavljen iz delov njegovega telesa, imenovanih členki. Vsi so povezani med seboj, zato izgubijo sposobnost izvajanja treh vrst gibanj vzdolž koordinatnih osi. Imajo samo možnost vrtenja okoli teh osi. Tako je največje število prostostnih stopenj, ki jih ima lahko ena telesna povezava glede na drugo sosednjo povezavo, tri.
To se nanaša na najbolj mobilne sklepe človeškega telesa, ki imajo sferično obliko.
Zaporedne ali razvejane povezave delov telesa (povezave) tvorijo kinematične verige.
Pri ljudeh obstajajo:
- - odprte kinematične verige s prostim gibljivim koncem, pritrjenim samo na enem koncu (na primer roka glede na telo);
- - zaprte kinematične verige, pritrjen na obeh koncih (na primer vretenca - rebro - prsnica - rebro - vretenca).
Treba je opozoriti, da gre za potencialni obseg gibov v sklepih. V resnici so pri živi osebi ti kazalniki vedno nižji, kar dokazujejo številna dela domačih raziskovalcev - P. F. Lesgaft, M. F. Ivanitsky, M. G. Prives, N. G. Ozolin itd. O količini gibljivosti kostnih sklepov v življenju človeka, nanj vplivajo številni dejavniki, povezani s starostjo, spolom, individualnimi značilnostmi, funkcionalnim stanjem živčnega sistema, stopnjo raztezanja mišic, temperaturo okolja, časom dneva in nenazadnje, kar je pomembno za športnike, stopnjo izobrazbe. Tako je v vseh kostnih povezavah (diskontinuiranih in kontinuiranih) stopnja gibljivosti pri mladih večja kot pri starejših; Ženske imajo v povprečju več kot moški. Na količino gibljivosti vplivata stopnja raztezanja tistih mišic, ki so na nasprotni strani gibanja, kot tudi moč mišic, ki to gibanje proizvajajo. Bolj kot je prva od teh mišic elastična in močnejša kot je druga, večji je obseg gibov v dani kostni povezavi in obratno. Znano je, da so gibanja v hladnem prostoru manjša kot v toplem, zjutraj pa manjša kot zvečer. Uporaba različnih vaj različno vpliva na gibljivost sklepov. Tako sistematična vadba z vajami za "fleksibilnost" poveča obseg gibanja v sklepih, vaje za "moč" pa ga, nasprotno, zmanjšajo, kar povzroči "otrdelost" sklepov. Zmanjšanje obsega gibljivosti sklepov pri uporabi vaj za moč pa ni povsem neizogibno. Preprečimo jo lahko s pravilno kombinacijo treninga moči in razteznih vaj za iste mišične skupine.
V odprtih kinematičnih verigah človeškega telesa se gibljivost izračuna v desetinah prostostnih stopenj. Na primer, gibljivost zapestja glede na lopatico in gibljivost tarzusa glede na medenico imata sedem prostostnih stopenj, konice prstov na roki glede na prsni koš pa imajo 16 prostostnih stopinj. Če seštejemo vse stopnje svobode okončin in glave glede na telo, potem bo to izraženo s številom 105, ki ga sestavljajo naslednji položaji:
- - glava - 3 prostostne stopinje;
- - roke - 14 prostostnih stopinj;
- - noge - 12 prostostnih stopinj;
- - roke in noge - 76 prostostnih stopinj.
Za primerjavo poudarimo, da ima velika večina strojev samo eno stopnjo svobode gibanja.
V krogličnih in vtičničastih zgibih so možne rotacije okoli treh medsebojno pravokotnih osi. Skupno število osi, okoli katerih so možna vrtenja v teh sklepih, je neskončno veliko. Posledično lahko za sferične sklepe rečemo, da imajo členi, ki so v njih členjeni, od možnih šestih stopenj svobode gibanja tri prostostne in tri sklopne stopnje.
Spoji z dvema stopnjama svobode gibanja in štirimi stopnjami sklopke imajo manjšo gibljivost. Sem spadajo sklepi jajčaste ali eliptične in sedlaste oblike, tj. dvoosni. Omogočajo gibanje okoli teh dveh osi.
Telesni členi se povezujejo v tistih sklepih, ki imajo eno os rotacije, torej imajo eno stopnjo svobode gibljivosti in hkrati pet stopenj povezanosti. imajo dve fiksni točki.
Večina sklepov v človeškem telesu ima dve ali tri prostostne stopnje. Z več stopnjami svobode gibanja (dve ali več) je možnih neskončno število trajektorij. Povezave lobanjskih kosti imajo šest stopenj povezanosti in so nepremične. Povezava kosti s pomočjo hrustanca in ligamentov (sinhondroza in sindezmoza) ima lahko v nekaterih primerih znatno gibljivost, ki je odvisna od elastičnosti in velikosti hrustančnih ali vezivnotkivnih tvorb, ki se nahajajo med temi kostmi.
Nihanja z več prostostnimi stopnjami.
Kratke informacije iz teorije.
Sistemi z n potencamisvoboda v dinamiki je običajno, da imenujemo takšne sisteme, da bi popolnoma popravili geometrijsko stanje, ki ga je treba v vsakem trenutku nastaviti p parametri, na primer položaj (upogibi) p točke. Položaj drugih točk je določen z običajnimi statičnimi tehnikami.
Primer sistema z p prostostnih stopenj je lahko nosilec ali ploščati okvir, če se mase njegovih posameznih delov ali elementov pogojno (za lažje dinamične izračune) štejejo za koncentrirane v p točk, ali če nosi n velike mase (motorji, motorji), v primerjavi s katerimi je možno zanemariti lastno težo elementov. Če se lahko posamezne koncentrirane ("točkovne") mase med nihanjem gibljejo v dveh smereh, bo število prostostnih stopenj sistema enako številu povezav, ki jih je treba naložiti sistemu, da se odpravijo premiki. vseh množic.
Če sistem z n prostostnimi stopnjami spravimo iz ravnovesja, se bo zavezal proste vibracije, in vsaka "točka" (masa) bo izvajala kompleksna poliharmonična nihanja tipa:
Konstante A jaz in B jaz odvisne od začetnih pogojev gibanja (odstopanja mas od statičnega nivoja in hitrosti v trenutku t=0). Le v nekaterih posebnih primerih vzbujanja nihanj lahko poliharmonično gibanje za posamezne mase preide v harmonično, tj. kot v sistemu z eno prostostno stopnjo:
Število lastnih frekvenc sistema je enako številu njegovih prostostnih stopenj.
Za izračun lastnih frekvenc je potrebno rešiti tako imenovano frekvenčno determinanto, zapisano v tej obliki:
Ta pogoj v razširjeni obliki daje enačbo p stopnjo določiti p vrednosti ω 2, ki se imenuje frekvenčna enačba.
Skozi δ 11, δ 12, δ 22 itd. so prikazani možni premiki. Tako je δ 12 premik v prvi smeri točke lokacije prve mase od enote sile, ki deluje v drugi smeri na točko lokacije druge mase itd.
Z dvema prostostnima stopnjama ima frekvenčna enačba obliko:
Kjer imamo za dve frekvenci:
V primeru, da posamezne mase M jaz lahko izvaja tudi rotacijske ali samo rotacijske gibe v kombinaciji z linearnimi gibi, tedaj jaz-ta koordinata bo rotacijski kot, v determinanti frekvence pa masa
M jaz je treba nadomestiti z vztrajnostnim momentom mase J jaz; temu primerno tudi morebitni premiki v smeri jaz-te koordinate ( δ jaz 2 , δ jaz 2 itd.) bodo kotni premiki.
Če katera koli masa niha v več smereh - jaz-mu in k-th (na primer navpično in vodoravno), potem takšna masa večkrat sodeluje v determinanti pod številkami M jaz njim k in ustreza več možnim premikom ( δ ii, δ kk, δ vem itd.).
Upoštevajte, da ima vsaka lastna frekvenca svojo posebno obliko nihanja (narava ukrivljene osi, odklonska linija, premik itd.), ki se lahko v posameznih posebnih primerih izkaže za veljavno obliko nihanja, če je le prosta nihanja so pravilno vzbujena (pravilni izbirni impulzi, točke njihove uporabe itd.). V tem primeru bo sistem nihal po zakonih gibanja sistema z eno prostostno stopnjo.
V splošnem primeru, kot izhaja iz izraza (9.1), sistem izvaja poliharmonična nihanja, vendar je očitno, da je vsako kompleksno elastično linijo, ki odraža vpliv vseh lastnih frekvenc, mogoče razstaviti na posamezne komponente oblike, vsako od ki ustreza lastni frekvenci Proces takšne razgradnje pravega načina nihanja na komponente (kar je potrebno pri reševanju kompleksnih problemov konstrukcijske dinamike) imenujemo razkroj na načine naravnih nihanja.
Če v vsaki masi, natančneje v smeri vsake prostostne stopnje, deluje moteča sila, ki se v času spreminja po harmoničnem zakonu.
ali, kar je za nadaljnje namene brezbrižno in so amplitude sil za vsako maso različne, frekvenca in faze pa enake, potem bo sistem ob dolgotrajnem delovanju takih motečih sil izvajal ustaljena prisilna nihanja s frekvenco gonilne sile. Amplitude gibov v kateri koli smeri jaz- ta stopnja bo v tem primeru:kjer je determinanta D zapisana v skladu z (9.2) z ω nadomeščenim z θ in zato D≠0; D jaz je določen z izrazom:
tiste. jaz Stolpec determinante D se nadomesti s stolpcem, sestavljenim iz členov oblike: Za primer dveh prostostnih stopenj: (9.6)In temu primerno
Pri izračunu prisilnih vibracij nosilcev s konstantnim prečnim prerezom, ki prenašajo koncentrirane mase (slika 9.1).
Lažje pa je uporabiti naslednje formule za amplitude upogiba, kot vrtenja, upogibni moment in strižno silo v katerem koli odseku nosilca:
(9.7)Kje l 0 , φ 0 , M 0 , Q 0 – amplitude upogiba, rotacije, momenta in strižne sile začetnega odseka (začetni parametri); M i in J i- masa in njen vztrajnostni moment (zgoščene mase); znak ∑ velja za vse sile in zgoščene mase, ki se nahajajo od začetnega odseka do predmeta.
Navedene formule (9.7) lahko uporabimo tudi pri izračunu lastnih frekvenc, za katere je potrebno upoštevati moteče sile ∑ Rjaz in trenutki ∑ Mjaz enaka nič, nadomestimo frekvenco prisilnih nihanj θ s frekvenco lastnih nihanj ω in ob predpostavki obstoja nihanj (prostih nihanj) zapišemo izraze (9.7) glede na odseke, kjer se nahajajo koncentrirane mase in so amplitude že znane ( referenčni odseki, simetrična os itd.). Dobimo sistem homogenih linearnih enačb. Če determinanto tega sistema enačimo z nič, bomo lahko izračunali lastne frekvence.
Izkazalo se je, da je priporočljivo uporabiti izraza (9.4) in (9.5) za določitev amplitud ( l 0 , φ 0 , itd.) pri X=0, nato pa z uporabo (9.7) izračunajte vse druge odklonske elemente.
Bolj zapleten je problem izračuna gibanja sistema z več prostostnimi stopnjami pod delovanjem poljubne obremenitve, ki se s časom spreminja in deluje na različne mase.
Pri reševanju takšne težave morate postopati na naslednji način:
a) določi lastne frekvence in načine lastnih nihanj;
b) prerazporedite dano obremenitev med mase ali, kot pravijo, jo razstavite glede na načine naravnih vibracij. Število obremenitvenih skupin je enako številu lastnih frekvenc sistema;
c) po izvedbi zgornjih dveh pomožnih operacij naredite izračun za vsako skupino obremenitev z uporabo znanih formul iz teorije nihanj sistema z eno prostostno stopnjo, frekvenca lastnih nihanj v teh formulah pa je enaka kateri ta skupina obremenitev ustreza;
d) delne rešitve iz vsake kategorije obremenitev se seštejejo, kar določa končno rešitev problema.
Določanje lastnih frekvenc poteka po (9.2). Kar se tiče prepoznavanja oblik naravnih nihanj, je tu treba voditi osnovno lastnost vsake oblike naravnih nihanj, da predstavlja linijo vpliva odklona od sil (katerih število je enako številu prostostne stopnje) sorazmerna z zmnožkom mas in ordinatami odklonov pritrdišč mas. Pri enakih masah predstavlja oblika lastnih vibracij odklonsko črto od sil, sorazmernih z ordinatami odklona; diagram obremenjevanja je podoben diagramu upogiba.
Najnižja frekvenca ustreza najpreprostejši obliki vibracij. Pri nosilcih ta oblika najpogosteje ustreza ukrivljeni osi sistema pod vplivom lastne teže. Če se izkaže, da je ta struktura manj toga v kateri koli smeri, na primer v vodoravni, potem je treba za določitev narave želene ukrivljene osi pogojno uporabiti lastno težo v tej smeri.
Nihanja sistema z več prostostnimi stopnjami, ki imajo pomembno praktično uporabo, se razlikujejo od nihanj sistema z eno prostostno stopnjo v številnih pomembnih značilnostih. Da bi dobili idejo o teh značilnostih, razmislimo o primeru prostih nihanj sistema z dvema stopnjama svobode.
Naj bo položaj sistema določen s posplošenimi koordinatami in naj bo sistem v stabilnem ravnovesju. Nato lahko kinetično in potencialno energijo sistema, natančno na kvadrate majhnih količin, najdemo na enak način, kot smo našli enačbe (132), (133), in jih predstavimo v obliki:
kjer so vztrajnostni koeficienti in kvazielastični koeficienti stalne količine. Če uporabimo dve Lagrangeovi enačbi oblike (131) in vanje nadomestimo ti vrednosti T in P, dobimo naslednje diferencialne enačbe za majhna nihanja sistema z dvema prostostnima stopnjama
Rešitev enačb (145) bomo iskali v obliki:
kjer so A, B, k, a konstante. Če nadomestimo te vrednosti v enačbe (145) in jih zmanjšamo, dobimo
Da bi enačbe (147) dale rešitve za A in B, ki sta drugačni od julija, mora biti determinanta tega sistema enaka nič, sicer pa morata biti koeficienta za A in B v enačbah sorazmerna, tj.
Od tu za definicijo dobimo naslednjo enačbo, imenovano frekvenčna enačba.
Koreni te enačbe so realni in pozitivni; to je matematično dokazano, lahko pa tudi utemeljimo z dejstvom, da sicer enačbe (145) ne bodo realne in ne bodo imele rešitev oblike (146), kar ne more veljati za sistem v stabilnem ravnovesju (po motnjah ga se mora premikati blizu položaja
Po definiciji (149) najdemo dve množici delnih rešitev oblike (146). Glede na to, da bo po teh sklepih:
kjer in so vrednosti, ki jih I dobi iz (148) pri oz.
Nihanja, ki jih določata enačbi (150) in (151), imenujemo glavna nihanja, njihove frekvence in kg pa lastne frekvence sistema. V tem primeru se nihanje s frekvenco (vedno manj) imenuje prvo glavno nihanje, s frekvenco pa drugo glavno nihanje. Številke, ki določajo razmerja amplitud (ali samih koordinat, tj.) v vsakem od teh nihanj, se imenujejo koeficienti oblike.
Ker so enačbe (145) linearne, bodo vsote parcialnih rešitev (150) in (151) tudi rešitve teh enačb:
Enačbe (152), ki vsebujejo štiri poljubne konstante, določene z začetnimi pogoji, dajejo splošno rešitev enačb (145) in določajo zakon malih nihanj sistema. nihanja so sestavljena iz dveh glavnih nihanj s frekvencami in niso harmonična. V posebnih primerih lahko sistem ob ustreznih začetnih pogojih izvede eno od glavnih nihanj (na primer prvo, if) in bo nihanje harmonično.
Lastne frekvence in koeficienti oblike niso odvisni od začetnih pogojev in so glavne značilnosti majhnih nihanj sistema; reševanje specifičnih problemov se običajno zmanjša na določitev teh značilnosti.
Če primerjamo rezultate tega in prejšnjih odstavkov, lahko dobimo predstavo o tem, na kaj se bo zmanjšala študija dušenih in prisilnih nihanj sistema z dvema stopnjama svobode. Tega ne bomo upoštevali, opazili bomo le, da se med prisilnimi nihanji lahko resonanca v takem sistemu pojavi dvakrat: pri in pri ( je frekvenca moteče sile). Nazadnje ugotavljamo, da bodo nihanja sistema s s prostostnimi stopnjami sestavljena iz s nihanj s frekvencami, ki jih je treba določiti iz enačbe stopnje s glede na to. To je povezano s precejšnjimi matematičnimi težavami, ki jih je mogoče premagati s pomočjo elektronskih računalnikov (ali analognih) strojev.
Problem 185. Določite lastne frekvence in koeficiente oblike majhnih nihanj dvojnega fizičnega nihala, ki ga sestavljajo palice in 2 enake mase in dolžine l (slika 374, a).
rešitev. Za generalizirane koordinate izberimo majhne kote. Potem , kjer je in z zahtevano natančnostjo izračuna . Sčasoma
Teorija prostih nihanj sistemov z več prostostnimi stopnjami je zgrajena na podoben način, kot smo obravnavali enodimenzionalna nihanja v 21. §.
Naj ima potencialna energija sistema U kot funkcija posplošenih koordinat minimum pri . Predstavljamo majhne zamike
in razširimo U v smislu njih do členov drugega reda, dobimo potencialno energijo v obliki pozitivno določene kvadratne oblike
kjer ponovno štejemo potencialno energijo od njene minimalne vrednosti. Ker so koeficienti in vključeni v (23.2), pomnoženi z isto vrednostjo, je jasno, da jih lahko vedno štejemo za simetrične v svojih indeksih
V kinetični energiji, ki ima v splošnem primeru obliko
(glej (5.5)), jo damo v koeficiente in jo, ko konstante označimo z , dobimo v obliki pozitivno določene kvadratne oblike
Tako je Lagrangeva funkcija sistema, ki izvaja prosta majhna nihanja:
Sestavimo zdaj enačbe gibanja. Za določitev odvodov, ki so vanje vključeni, zapišemo totalni diferencial Lagrangeove funkcije
Ker vrednost vsote seveda ni odvisna od oznake seštevalnih indeksov, spremenimo v prvem in tretjem členu v oklepaju i s k, k pa z i; ob upoštevanju simetrije koeficientov dobimo:
Iz tega je razvidno, da
Zato Lagrangeove enačbe
(23,5)
Predstavljajo sistem linearnih homogenih diferencialnih enačb s konstantnimi koeficienti.
Po splošnih pravilih za reševanje takih enačb iščemo s neznanih funkcij v obliki
kjer so nekatere, še nedefinirane, konstante. Če nadomestimo (23.6) v sistem (23.5), dobimo z redukcijo na sistem linearnih homogenih algebrskih enačb, ki jih morajo izpolnjevati konstante:
Da bi ta sistem imel rešitve, ki niso nič, mora njegova determinanta izginiti
Enačba (23.8) - tako imenovana karakteristična enačba je enačba stopnje s glede na Ima v splošnem primeru s različnih realnih pozitivnih korenin (v posebnih primerih lahko nekatere od teh korenin sovpadajo). Tako določene količine imenujemo lastne frekvence sistema.
Resničnost in pozitivnost korenov enačbe (23.8) sta očitni že iz fizikalnih premislekov. Dejansko bi prisotnost imaginarnega dela v y pomenila prisotnost eksponentno padajočega ali eksponentno naraščajočega faktorja v časovni odvisnosti koordinat (23.6) (in z njimi hitrosti). Toda prisotnost takega faktorja v tem primeru je nesprejemljiva, saj bi povzročila spremembo celotne energije sistema skozi čas, v nasprotju z zakonom o njegovem ohranjanju.
Isto stvar je mogoče preveriti čisto matematično. Če enačbo (23.7) pomnožimo z in nato seštejemo z, dobimo:
Kvadratne oblike v števcu in imenovalcu tega izraza so realne zaradi realnosti in simetrije koeficientov in res,
So tudi izrazito pozitivni in torej pozitivni
Ko so frekvence najdene, lahko z zamenjavo vsake od njih v enačbe (23.7) najdemo ustrezne vrednosti koeficientov.Če so vsi koreni značilne enačbe različni, potem, kot je znano, koeficienti A so sorazmerni z minorji determinante (23.8), v katerih zamenjava Te minore označimo z ustrezno vrednostjo preko Do. Določena rešitev sistema diferencialnih enačb (23.5) ima torej obliko
kjer je poljubna (kompleksna) konstanta.
Splošna rešitev je podana z vsoto vseh partikularnih rešitev. Če preidemo na pravi del, ga zapišemo v obrazec
kjer smo uvedli notacijo
(23,10)
Tako sprememba vsake od koordinat sistema skozi čas predstavlja superpozicijo s enostavnih periodičnih nihanj s poljubnimi amplitudami in fazami, vendar z natančno določenimi frekvencami.
Seveda se postavlja vprašanje: ali je možno izbrati posplošene koordinate tako, da vsaka od njih opravi samo eno preprosto nihanje? Že sama oblika splošnega integrala (23.9) nakazuje pot do rešitve tega problema.
Pravzaprav, če obravnavamo s relacije (23.9) kot sistem enačb s s neznanimi količinami, lahko po razrešitvi tega sistema količine izrazimo preko koordinat. Zato lahko količine obravnavamo kot nove generalizirane koordinate. Te koordinate imenujemo normalne (ali glavne), preprosta periodična nihanja, ki jih izvajajo, pa normalna nihanja sistema.
Normalne koordinate zadovoljujejo, kot je razvidno iz njihove definicije, enačbe
(23,11)
To pomeni, da se v normalnih koordinatah enačbe gibanja razdelijo na s enačb, neodvisnih druga od druge. Pospešek vsake normalne koordinate je odvisen le od vrednosti iste koordinate in za popolno določitev njene časovne odvisnosti je treba poznati samo začetne vrednosti in njeno ustrezno hitrost. Z drugimi besedami, normalna nihanja sistema so popolnoma neodvisna.
Iz zgoraj navedenega je očitno, da se Lagrangeova funkcija, izražena z normalnimi koordinatami, razgradi na vsoto izrazov, od katerih vsak ustreza enodimenzionalnemu nihanju z eno od frekvenc, tj. ima obliko
(23,12)
kjer so pozitivne konstante. Z matematičnega vidika to pomeni, da se s transformacijo (23.9) obe kvadratni obliki - kinetična energija (23.3) in potencialna energija (23.2) hkrati reducirata na diagonalno obliko.
Običajno so normalne koordinate izbrane tako, da so koeficienti kvadratov hitrosti v Lagrangeovi funkciji enaki 1/2. Za to je dovolj, da določimo normalne koordinate (zdaj jih označujemo) z enakostmi
Vse navedeno se malo spremeni v primeru, ko je med koreni značilne enačbe več korenin. Splošna oblika (23.9), (23.10) integrala enačb gibanja ostaja enaka (z enakim številom členov s) z edino razliko, da koeficienti, ki ustrezajo več frekvencam, niso več minori determinante, kar , kot je znano, se v tem primeru spremenijo v nič.
Vsaki večkratni (ali, kot pravijo, degenerirani) frekvenci ustreza toliko različnih normalnih koordinat, kot je stopnja večkratnosti, vendar izbira teh normalnih koordinat ni enoznačna. Ker normalne koordinate (z enakim ) vstopajo v kinetično in potencialno energijo v obliki identično transformabilnih vsot, jih lahko podvržemo kakršni koli linearni transformaciji, ki pusti vsoto kvadratov invariantno.
Zelo preprosto je najti normalne koordinate za tridimenzionalne vibracije ene materialne točke, ki se nahaja v stalnem zunanjem polju. S postavitvijo izhodišča kartezičnega koordinatnega sistema v točko minimalne potencialne energije dobimo slednjo v obliki kvadratne oblike spremenljivk x, y, z in kinetične energije
(m je masa delcev) ni odvisna od izbire smeri koordinatnih osi. Zato je potrebno z ustreznim vrtenjem osi le spraviti potencialno energijo v diagonalno obliko. Potem
in vibracije vzdolž osi x, y, z so glavne s frekvencami
V posebnem primeru centralno simetričnega polja te tri frekvence sovpadajo (glej problem 3).
Uporaba normalnih koordinat omogoča zmanjšanje problema prisilnih nihanj sistema z več prostostnimi stopnjami na probleme enodimenzionalnih prisilnih nihanj. Lagrangeova funkcija sistema, ob upoštevanju spremenljivih zunanjih sil, ki delujejo nanj, ima obliko
(23,15)
kjer je Lagrangeva funkcija prostih nihanj.
Z uvedbo običajnih koordinat namesto koordinat dobimo:
kjer je uvedena oznaka
Skladno s tem enačbe gibanja
(23.17)
Naloge
1. Določite nihanje sistema z dvema prostostnima stopnjama, če je njegova Lagrangeova funkcija