Površina stožca (ali preprosto plošče stožca) je enaka vsoti osnovnega območja in stranske površine.
Območje stranske površine stožca se izračuna s formulo: S \u003d πr l.kjer je R polmer dna stožca, in l. - oblikovanje stožca.
Ker je površina podnožja stožca enaka πR 2 (kot območju kroga), bo območje celotne površine stožca enako: πr 2 + πr l. \u003d πr (R + l.).
Pridobivanje formule stranske površine stožca se lahko pojasni s takimi argumenti. Recimo, da je stranska površina stožca upodobljena v risbi. AV ARC razdelimo na možnost večjega števila enakih delov in vseh točk delitve s središčem ARC, sosednje pa je med seboj akordi.
Dobimo številne enake trikotnike. Območje vsakega trikotnika je enako ah. / 2, kjer zvezek - dolžina trikotne baze, a h. - Njegova visoka.
Količina območja vseh trikotnikov bo: ah. / 2 n. = anh. / 2, kjer n. - število trikotnikov.
Z velikim številom oddelkov, je količina območja trikotnikov postane zelo blizu območja načrtovanja, t.j. območje stranske površine stožca. Vsota osnov trikotnikov, tj. ., postane zelo blizu dolžine ARC AV, i.e. do dolžine oboda dna stožca. Višina vsakega trikotnika postane zelo blizu polmera loka, t.j. do oblikovanja stožca.
Zanemarjanje manjših razlik v velikostih teh vrednot, smo dobili formulo stranske površine stožca (e):
S \u003d C. l. / 2, kjer je C obseg dna stožca, l. - oblikovanje stožca.
Vedeti, da je C \u003d 2πr, kjer je R je polmer oboda vnosa stožca, dobimo: s \u003d πr l..
Opomba. V formuli S \u003d C l. / 2 Znak natančnega, ne približnega enakosti, čeprav na podlagi argumenta, bi se lahko šteli za približene. Toda v srednjih šolah je izkazala, da je enakost
S \u003d C. l. / 2 Natančno, ne približajte.
Teorem. Stranska površina stožca je enaka izdelku obodu na dnu baze na polovici oblikovanja.
Vstopili bomo v stožec (slika) nekaj pravilne piramide in označene s črkami r. in l. Številke, ki izražajo dolžine oboda osnove in apofema te piramide.
Potem bo stranska površina izražena z delom 1/2 r. l. .
Recimo, da se je število strani, vpisanih v dnu poligona, poveča za nedoločen čas. Potem perimeter. r. si bo prizadeval za omejitev, ki je bila vzeta za dolžino od osnovnega oboda, in apofema l. bo imela omejitev, ki tvori stožec (od Δsak sledi, da SA - SK
1 / 2 r. l.si bo prizadeval omejiti 1/2
L. Ta meja je sprejeta za velikost stranske površine stožca. Označimo ob stranski površini COEC-a, lahko pišemo:
S \u003d 1/2 z L \u003d S. 1/2 L.
Posledice.
1) Ker C \u003d 2 π
R, potem bo stranska površina stožca izrazila formulo:
S \u003d 1/2 2π R. L \u003d. π Rl.
2) Polno površino stožca bomo dobili, če bo stranska površina ležala z osnovno površino; Zato bomo navedli polno površino skozi T, bomo imeli:
T \u003d. π RL +. π R2 \u003d. π R (l + r)
Teorem. Stranska površina okrnjenega stožca je enaka delu trajanja osnov baz na oblikovanju.
Nosimo v skrajšani stožec (sl.) Nekaj \u200b\u200bustreznega okrnjene piramide in označene s črkami r, R. 1 I. l. Številke, ki izražajo v enakih linearnih enotah dolžine perimetrov spodnjih in zgornjih baz in aponemije te piramide.
Potem je stranska površina vpisane piramide 1/2 ( p + R. 1) l.
Z neomejenim povečanjem števila stranskih obrazov vpisanega perimetra piramide r. in r. 1 Prizadevajte si za omejitve, ki so bile posnete z dolžino in z 1 baznimi omejitvami in apofemom l. Ima omejitve, ki tvori skrajšani stožec. Zato velikost stranske površine vpisane piramide nagiba na mejo, ki je enaka (C + C 1) L. Ta omejitev je prevzeta obseg stranske površine okrnjenega stožca. Prepoznavanje stranske površine okrnjene črke s konežem, bomo imeli:
S \u003d 1/2 (C + C 1) L
Posledice.
1) Če R in R1 pomenita radij krogov spodnje in zgornje baze, bo stranska površina okrnjenega stožca:
S \u003d 1/2 (2 π R + 2. π R1) l \u003d π (R + R1) L.
2) Če v trapezoidnem oo 1 A 1 A (sl.), Iz vrtenja, ki ga dobimo okrnjeni stožec, bomo izvedli povprečno linijo Sonca, bomo dobili:
SUN \u003d 1/2 (OA + O 1 A 1) \u003d 1/2 (R + R1),
R + R1 \u003d 2VS.
Zato,
S \u003d 2. π BC L,
i.e. stranska površina okrnjenega stožca je enaka proizvodu dolžine kroga srednjega dela na oblikovanju.
3) Skupna površina okrnjenega stožca bo izražena kot: \\ t
T \u003d. π (R2 + R1 2 + RL + R1 L)
Nazaj naprej
Pozor! Predogled diapozitivov se uporablja izključno za informativne namene in ne smejo zagotoviti idej o vseh predstavitvenih zmožnostih. Če ste zainteresirani za to delo, prenesite polno različico.
Vrsta lekcije: Lekcija za študij novega gradiva z uporabo elementov metode razvoja problema.
Lekcija ciljev:
- kognitivno:
- seznanjanje z novim matematičnim konceptom;
- oblikovanje nove ZUN;
- oblikovanje težav s praktičnimi veščinami.
- razvoj:
- razvoj neodvisnega razmišljanja študentov;
- razvoj spretnosti pravega govora šolarjev.
- izobraževalna:
- izobraževalne veščine delajo v ekipi.
Lekcija opreme:magnetna plošča, računalnik, zaslon, multimedijski projektor, model stožca, predstavitev na lekciji, distribucijski material.
Lekcija nalog (za študente):
- spoznajte nov geometrijski koncept - stožec;
- izpisuje formulo za izračun površine stožca;
- naučite se uporabiti znanje, pridobljeno pri reševanju praktičnih nalog.
Med razredi
Faza I. Organizacijski.
Dostava beležnic z začasnim preverjanjem doma na temi.
Študenti so vabljeni, da naučijo te teme prihajajoče lekcije, reševanja rebusa (Slide 1):
Slika 1.
Objava študentskih tem in nalog na lestvici (Slide 2).
Faza II. Pojasnilo novega materiala.
1) Predavanje učitelja.
Na plošči - tabela s podobo stožca. Novi material je pojasnjen s programskim materialom "stereometrija". Na zaslonu se prikaže tridimenzionalna podoba stožca. Učitelj daje opredelitev stožca, govori o njegovih elementih. (Slide 3). Rečeno je, da je stožec telo, ki se oblikuje z vrtenjem pravokotnega trikotnika glede na kategorijo. (Diapozitivi 4, 5). Pojavi se slika razširitve stranske površine stožca. (Slide 6)
2) Praktično delo.
Aktualizacija referenčnega znanja: Ponovite formulo za izračun območja kroga, sektorskega območja, dolžine kroga, dolžine loka kroga. (diapozitivi 7-10)
Razred je razdeljen na skupine. Vsaka skupina postane izklesana iz papirja s stransko površino stožca (sektor kroga z dodeljeno številko). Študenti opravljajo potrebne meritve in izračunajo območje pridobljenega sektorja. Navodila za izvedbo dela, vprašanja - Nastavitev problemov - prikažejo na zaslonu (diapozitivi 11-14). Rezultati izračuna Predstavnik vsake skupine piše na mizo, pripravljeno na plošči. Udeleženci vsake skupine lepijo model stožca iz njihovih obstoječih. (Slide 15)
3) Nastavitev in reševanje problema.
Kako izračunati rezalnik stranske površine stožca Če je znan samo polmer baze in dolžina oblikovanja stožca? (Slide 16)
Vsaka skupina naredi potrebne meritve in skuša prikazati formulo za izračun želenega območja s pomočjo razpoložljivih podatkov. Pri izvajanju tega dela bi morali učenci opaziti, da je obseg baze stožca enak dolžini sektorja ARC - stranske površine tega stožca. (diapozitivi 17-21) Z uporabo potrebnih formul je izpeljana želena formula. Trditve učencev bi morali tako videti:
Sektorski polmer - teče enako l, Merilni merilo loka je φ. Sektorsko območje se izračuna s formulo dolžine obloka, ki omejuje ta sektor, ki je enak polmeru podnožja stožca R. Dolžina kroga, ki leži na dnu stožca C \u003d 2πr. Upoštevajte, da je od območja stranske površine stožca enaka območju širitve svoje stranske površine,
Torej, stranska površina stožca se izračuna s formulo S BPK \u003d πrl.
Po izračunu stranske površine modela stožca je bil predstavnik vsake skupine prikazan neodvisno zapiše rezultate izračunov na tabelo na plošči v skladu s številkami modelov. Rezultati izračunov v vsaki vrsti morajo biti enaki. Na tej podlagi učitelj določi pravilnost zaključkov vsake skupine. Izgleda tabela rezultatov:
|
Številka modela |
I Naloga |
II Naloga |
(125/3) π π ~ 41.67 π |
||
(425/9) π π 47,22 π |
||
(539/9) π π ~ 59.89 π |
Parametri modela:
- l \u003d 12 cm, φ \u003d 120°
- l \u003d 10 cm, φ \u003d 150°
- l \u003d 15 cm, φ \u003d 120°
- l \u003d 10 cm, φ \u003d 170°
- l \u003d 14 cm, φ \u003d 110°
Uporaba izračunov je povezana z napakami pri merjenju.
Po preverjanju rezultatov se na zaslonu prikaže izhod formul stranske in popolne površine stožca (diapozitivi 22-26)Študenti so zabeleženi v zvezkih.
III. Pritrditev preučevanega materiala.
1) Študenti so na voljo Naloge za peroralno raztopino na končnih risbah.
Poiščite območja polne površin stožcev, prikazanih v risbah (diapozitivi 27-32).
2) Vprašanje: Ali obstajajo območja stožcev, ki jih tvori rotacija enega pravokotnega trikotnika glede na različne katete? Učenci potisnejo hipotezo in jo preverite. Preverjanje hipoteze se izvaja z reševanjem problemov in ga zabeleži študent na krovu.
Glede na: Δ abc, ∠c \u003d 90 °, ab \u003d c, ac \u003d b, sun \u003d a;
VAA ", ABB" - telesa rotacije.
Najti:S PPK 1, S PPK 2.
Slika 5. (Slide 33)
Sklep:
1) R \u003d Sonce \u003d A.; S PPK 1 \u003d S BOD 1 + S OSN 1 \u003d π A C + π A 2 \u003d π A (A + C).
2) R \u003d AC \u003d B.; S PPK 2 \u003d S BOD 2 + S OSN 2 \u003d π B C + π B 2 \u003d π B (B + C).
Če je PPK 1 \u003d S PPK 2, potem a 2 + AC \u003d B 2 + BC, 2-B2 + AC-BC \u003d 0, (A-B) (A + B + C) \u003d 0.Ker a, B, C -pozitivne številke (dolžina strani trikotnika), melannosti je resnična samo, če a \u003d.b.
Izhod:Površina območij obeh stožcev sta enaka le v primeru enakosti trikotnikov. (Slide 34)
3) Reševanje naloge iz učbenika: št. 565.
IV faza. Povzetek lekcije.
Domača naloga: Str.55, 56; 548 № 561. (Slide 35)
Objava stopenj.
Sklepi ob lekciji, ponavljanje osnovnih informacij, pridobljenih v lekciji.
Literatura. (Slide 36)
- Geometrija 10-11 razredov - Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev et al., M., "razsvetljenje", 2008.
- "Matematični rebusi in Charasi" - N.V. Udaltsova, knjižnica "1. septembra", "Matematika" serija, izdaja 35, M., Čisti ribniki, 2010.
Organi rotacije, ki so jih preučevali v šoli, so valj, stožec in žoga.
Če v nalogi izpita v matematiki morate izračunati volumen stožca ali območja sfere - upoštevati, kaj je srečo.
Uporabite obseg formul in površino valja, stožca in krogle. Vsi so v naši tabeli. Učijo s srcem. Zato se začne znanje stereometrije.
Včasih ni slabo, da bi narisal pogled. Ali, kot pri tej nalogi, - od spodaj.
2. Kolikokrat je količina stožca opisana v bližini pravilne kvadrangularne piramide, več kot količina stožca, vpisana v tej piramidi?
Vse je preprosto - narišite pogled od spodaj. Vidimo, da je polmer večjega kroga več kot manjši polmer. Višine obeh stožcev sta enaka. Zato bo obseg večjega stožca večkrat.
Še ena pomembna točka. Spomnim se, da je odgovor na nalogeh v možnostih EEM v matematiki, je odgovor napisan v obliki celoštevilga ali končnega decimalnega frakcije. Zato ne ali v vašem odzivu ne bi smelo biti. Ni treba nadomestiti približne vrednosti števila! To je treba zmanjšati! V ta namen je naloga v nekaterih nalogah oblikovana na primer, kot sledi: "Poiščite stransko površino valja, ki jo delimo".
Toda kje so prostorninske formule in površina teles rotacije? Seveda, v opravilu C2 (16). Prav tako bomo povedali o njej.
Vemo, kaj je stožec, poskusimo najti območje njene površine. Zakaj morate rešiti takšno nalogo? Na primer, morate razumeti, koliko testov bo šel na proizvodnjo vaflovega roga? Ali koliko opeke mora zložiti streho iz opeke gradu?
Izmerite površino stranske površine stožca, tako da ne bo delovalo. Ampak zamislite si vse enake rogove, ovite s krpo. Da bi našli površino kos tkanine, jo morate zmanjšati in razgraditi na mizi. Izkazalo se je, da lahko najdemo njeno območje.
Sl. 1. Odrežite stožec z oblikovanjem
Enako bomo storili s stožec. "Svojo stransko površino bomo zmanjšali na primer, na primer, (glej sliko 1).
Zdaj "obrnite" stransko površino na ravnino. Prejemamo sektor. Center tega sektorja je vrh stožca, polmer sektorja je enak oblikovanju stožec, dolžina njegovega loka pa sovpada s konceptivnim osnovnim obodom. Takšen sektor se imenuje skeniranje stranske površine stožca (glej sliko 2).
Sl. 2. Stranski skeniranje površin
Sl. 3. Merjenje kota v radianih
Poskusimo najti sektorski trg po razpoložljivih podatkih. Sprva uvajamo oznako: Naj kota na vrhu sektorja v radianih (glej sliko 3).
S kotom na vrhu pometa bomo pogosto naleteli na težave. V tem času, poskusimo odgovoriti na vprašanje: in če se ta kotiček izkaže več kot 360 stopinj? To pomeni, da ne bo mogoče, da se skeniranje uvede na sebi? Seveda ne. Matematično dokazujemo. Naj se pometava "uvede" sama. To pomeni, da je dolžina skeniranja loka večja od dolžine kroga polmera. Ampak, kot je bilo že omenjeno, je dolžina skeniranja lok dolžina kroga polmera. In polmer podnožja stožca, seveda, manj oblikovanja, na primer, ker je zvitek pravokotnega trikotnika manjši od hipotenuze
Nato se spomnite obeh formul iz tečaja PlayImetiry: dolžino loka. Sektorski trg :.
V našem primeru se vloga oblikuje , dolžina loka je enaka dolžini oboda osnove stožca, to je. Imamo:
Končno dobite :.
Poleg stranske površine lahko najdete celotno površino. Za to je treba osnovno površino dodamo na stransko površino. Toda fundacija je krog polmera, katerega območje v skladu s formulo je enako.
Končno imamo: , kje je polmer baze valja, - oblikovanje.
V zgornjih formulah se odločimo za par nalog.
Sl. 4. Želeni kotiček
Primer 1.. Stidelina stranske površine stožca je sektor s kotom na vrhu. Poiščite ta kot, če je višina stožca 4 cm, polmer baze pa 3 cm (glej sliko 4).
Sl. 5. Pravokotni trikotnik, ki tvori stožec
Prvo dejanje po izreku Pythapore, najdemo obliko: 5 cm (glej sliko 5). Nato to vemo .
Primer 2.. Območje aksialnega prereza stožca je enako, višina je enaka. Poiščite celotno površino (glejte sliko 6).
