Najmanjše skupno število. Najmanjša skupna večkratna (NOK)

Nazaj naprej

Pozor! Predogled diapozitivov se uporablja izključno za informativne namene in ne smejo zagotoviti idej o vseh predstavitvenih zmožnostih. Če ste zainteresirani za to delo, prenesite polno različico.

S koncepti največjega splošnega razdelilnika (vozlišča) in najmanjši skupni študenti srednje šole najdemo v šestem razredu. Ta tema je vedno težko asimilirati. Otroci so pogosto zamenjeni s temi koncepti, ne razumejo, zakaj jih je treba preučiti. V zadnjem času in v priljubljeni znanstveni literaturi so ločene izjave, da je treba ta material izključiti iz šolskega programa. Mislim, da to ni povsem res, in ga je treba preučiti, če ne v lekcijah, potem v zunajšolskem času v šolskih komponentnih razredih, je potrebno, saj prispeva k razvoju logičnega razmišljanja šolarjev, Povečanje hitrosti računalniških operacij, sposobnost reševanja problemov z lepimi metodami.

Pri preučevanju teme "Dodajanje in odštevanje frakcij z različnimi imenovalci", učimo otroke, da najdemo skupni imenovalec dveh ali več številk. Na primer, morate zložiti frakcije 1/3 in 1/5. Študenti lahko zlahka najdejo številko, razdeljeno brez ravnovesja 3 in 5. To je številka 15. Dejansko, če so številke majhne, \u200b\u200bnato pa se njihov splošni imenovalec zlahka najde, saj poznajo množično tabelo. Nekdo iz fantov opazi, da je ta številka produkt števil 3 in 5. Otroci sestavljajo mnenje, da lahko vedno najdete skupni imenovalec za številke. Na primer, odštejemo frakcijo 7/18 in 5/24. Izdelek iz številk 18 in 24 najdemo. To je 432. Veliko število je že prejelo, in če morate storiti kakršne koli izračune nadalje (velja za vse ukrepe), verjetnost napake se poveča. Vendar najnižje skupne številne številke (NOC), ki je v tem primeru enakovredno najmanjši splošni imenovalec (nos) - 12, bo bistveno olajšala izračune in vodila do hitrejše rešitve zgleda in s tem prihranila čas Dodeljena za opravljanje te naloge, da igra pomembno vlogo pri izpolnjevanju končnega preskusa, preskusnega dela, zlasti v končnem potrditvi.

Pri preučevanju teme "Zmanjšanje frakcij", lahko premaknete zaporedno delitev števca in imenovalca frakcije na istem naravnem številu, medtem ko z uporabo znakov delitve številk, ki nazadnje ne spoštujete frakcije. Na primer, morate skrajšati frakcijo 128/344. Mi razdelimo števca in imenovalca frakcije na številko 2, dobimo strel 64/172. Še enkrat bomo delili števca in imenovalka nastalega dela na 2, dobimo posnetek 32/86. Skrbno delite bradavico in imenovalec frakcije 2, dobimo nerazumljivo frakcijo 16/43. Toda rezanje frakcije je mogoče izvesti veliko lažje, če najdemo največji skupni delitelj številk 128 in 344. vozlišče (128, 344) \u003d 8. ločevanje števca in imenovalca frakcije na to številko, bomo takoj dobili nerazumljiva frakcija.

Otrokom je treba prikazati z različnimi načini iskanja največjega skupnega delilnika (vozlišča) in najmanjše skupne številke (NOK). V preprostih primerih je priročno, da najdete največji skupni delilnik (vozlišče) in najmanjše skupne številke (NOC) s preprostim razbijanjem. Ko številke postanejo več, lahko uporabite razgradnjo številk na preproste dejavnike. V učbeniku šestega razreda (avtor n.vilenkin) kaže naslednjo metodo iskanja največje številke skupnega razdelilnika (vozlišča). Razširi številke na preprostih dejavnikih:

• 16 = 2*2*2*2
• 120 = 2*2*2*3*5

Potem, od multiplikatorjev v razgradnji ene od teh številk, izvlecite tiste, ki niso vključeni v razgradnjo druge številke. Delo preostalih multiplikatorjev in bo največji skupni delitelj teh številk. V tem primeru je to številka 8. Pri njegovih izkušnjah je bila prepričana, da so otroci bolj jasni, če poudarjamo iste multiplikatorje v širjenju številk, nato pa v eni od razširitev najdemo delo podčrtanih multiplikatorjev. To je največji skupni delilnik podatkov. V šestem razredu so otroci aktivni in radovedni. Na naslednjo stran lahko postavite naslednjo nalogo: Preizkusite metodo, opisano, da najdete največji skupni delitelj številk 343 in 287. Ni takoj viden, kako jih razgraditi na preproste dejavnike. In tukaj jim lahko poveste o čudovitem načinu, ki so ga izumili stari Grki, ki omogočajo, da poiščete največji skupni delilnik (vozlišče) brez razgradnje na preprostih dejavnikov. Ta način iskanja največjega generalnega direktora je prvič opisan v knjigi Euclida "Začetek". Imenuje se algoritem Euclidea. Gre za naslednje: najprej razdeljen na večje število na manjšem. Če je ostanek pridobljen, nato razdelite manjše število na ostanke. Če se ostanek ponovno dobi, je prvi ostanek razdeljen na drugo. Torej še naprej delite, dokler ostanek ni nič. Zadnji delilnik je največji skupni delilnik (vozlišče) teh številk.

Vrnimo se na naš primer in za jasnost, zapišite odločitev v obliki tabele.

Torej, vozlišče (344.287) \u003d 7

In kako najti najmanjši splošni večkratnik (NOK) iste številke? Ali obstaja kakšna metoda, ki ne zahteva predhodnega razgradnje teh številk na običajne multiplikatorje? Izkazalo se je, in bolj preprosto. Te številke je treba pomnožiti in razdeliti delo na največji skupni devisor (NOD), ki ga najdemo. V tem primeru je število številk 98441. Razdelimo ga na 7 in dobimo številko 14063. NOC (343.287) \u003d 14063.

Ena od težkih tem v matematiki je reševanje besedilnih nalog. Študentom je treba pokazati, kako lahko s pomočjo konceptov "največji skupni delis (vozlišče)" in "najmanjši skupni večkratnik (NOC)" reši naloge, ki jih včasih je težko rešiti na običajen način. Primerno je razmisliti s študenti, skupaj z nalogami, ki so jih predlagali avtorji šolskega učbenika, starodavne in zabavne naloge, ki razvijajo radovednost otrok in povečujejo zanimanje za učenje te teme. Spretno posedovanje teh konceptov omogoča učencem, da vidijo čudovito rešitev nestandardne naloge. In če ima otrok znak uspešnega dela po otroku po reševanju dobre naloge.

Tako študirajo na šoli takih konceptov kot "največje skupno delilnik (vozlišče)" in "najmanjše skupne (NOK)" številke

Omogoča vam, da prihranite čas, dodeljen delo, kar vodi do znatnega povečanja količine opravljenih nalog;

Povečuje hitrost in natančnost aritmetičnih operacij, kar vodi do znatnega zmanjšanja števila dovoljenih računalniških napak;

Vam omogoča, da najdete lepe načine za reševanje nestandardnih besedilnih nalog;

Razvija študent radovednosti, ki širi svoja obzorja;

Ustvarja predpogoje za vzgojo vsestranske ustvarjalne osebnosti.

Vozlišče je največji skupni divisor.

Najti največji skupni delitelj več števil, ki jih potrebujete:

• določite multiplikatorje, ki so skupne obema številkama;
• poiščite izdelek skupnih multiplikatorjev.

Primer iskanja NOD:

Poiščite vozlišča številk 315 in 245.

315 = 5 * 3 * 3 * 7;

245 = 5 * 7 * 7.

2. Multiplikatorji za pijače, ki so skupni obema številkama:

3. Poiščite izdelek splošnih dejavnikov:

Vozlišče (315; 245) \u003d 5 * 7 \u003d 35.

Odgovor: Node (315; 245) \u003d 35.

NOK.

NOC je najmanjši skupni večkratnik.

Da bi našli najmanjšo skupno večkratno več številk, ki jih potrebujete:

• razgradite številke na preprostih dejavnikih;
• zapišite dejavnike, ki vstopajo v razgradnjo ene od številk;
• dodajam manjkajoče multiplikatorje iz razgradnje druge številke;
• poiščite produkt nastalih multiplikatorjev.

Primer iskanja NOC:

Najdemo številke NOC 236 in 328:

1. Razširi številke na enostavnih multiplikatorjih:

236 = 2 * 2 * 59;

328 = 2 * 2 * 2 * 41.

2. Napišemo multiplikatorje, ki so del razgradnje ene od številk in se pretvarjamo, da jim manjkajoče multiplikatorje iz razgradnje druge številke:

2; 2; 59; 2; 41.

3. Našli bomo produkt nastalih multiplikatorjev:

NOK (236; 328) \u003d 2 * 2 * 59 * 2 * 41 \u003d 19352.

Odgovor: NOK (236; 328) \u003d 19352.

Če želite najti vozlišče (največji skupni delilnik) dveh številk, je potrebno:

2. Poiščite (poudarite) vse skupne napake v dobljenih razgradb.

3. Poiščite izdelek skupnih enostavnih multiplikatorjev.

Če želite najti NOC (najmanjša skupna večkratna) dveh številk, je potrebno:

1. Pomanjkljivo število številk na preprostih dejavnikov.

2. Razgradnja enega od njih, da dopolni dejavnike razgradnje druge številke, ki niso v razgradnji prvega.

3. Izračunajte izdelek prejetih dejavnikov.

Online Calculator vam omogoča, da hitro najdete največji skupni delilnik in najmanjši pogosti za dva in za katero koli drugo število številk.

Kalkulator za iskanje vozlišč in NOK

Poiščite vozlišče in nok

Vozlišče in nok najdeta: 5806

Kako uporabljati kalkulator

• Vnesite številke v vnosno polje
• V primeru vhodnih nepravilnih znakov, bo vhodno polje označeno v rdeči barvi
• kliknite »Poišči vozlišče in NOK«

Kako vnesti številke

• Številke se uvedejo skozi prostor, točko ali vejico
• Dolžina vhodnih številk ni omejena.zato iskanju vozlišč in dolge številke NOK ne bodo težke

Kaj je NOD in NOK?

Največji skupni razdelitev Obstaja več številk - to je največje naravno celo število, na katerem so vse začetne številke razdeljene brez ostankov. Največji skupni delitelj je skrajšan kot Node.
Najmanjša skupna bolečina Obstaja več številk - to je najmanjše število, ki je razdeljen na vsako od začetnih števil brez ostanka. Najmanjši skupni večkratnik je napisan s skrajšanim NOK..

Kako preveriti, ali je številka razdeljena na drugo število brez ostanka?

Če želite izvedeti, ali je ena številka razdeljena na drugo brez ostanka, lahko uporabite nekatere lastnosti razdelitve številk. Nato jih združuje, lahko preverite delitev nekaterih od njih in njihove kombinacije.

Nekateri znaki razdelitve številk

1. Znak delitve števila do 2
Da bi ugotovili, ali je število razdeljeno na dva (ne glede na to, ali je celo uporabljeno), samo poglejte na zadnjo sliko te številke: če je enaka 0, 2, 4, 6 ali 8, potem je številka očitno, kar pomeni Razdeljen je z 2.
Primer: Ugotovite, ali je razdeljena na 2 številka 34938.
Sklep: Pogledamo na zadnjo številko: 8 pomeni, da je število razdeljeno na dva.

2. Znak delitve števila s 3
Številka je razdeljena s 3, ko je vsota njegovih številk razdeljena na tri. Tako, da ugotovite, ali je število razdeljeno na 3, je treba izračunati količino števil in preveriti, ali je razdeljena na 3. Tudi če se količina številk izkazalo, da je zelo velika, lahko ponovite isti postopek znova .
Primer: Ugotovite, ali je številka 34938 razdeljena na 3.
Sklep: Menimo, da je količina številk: 3 + 4 + 9 + 3 + 8 \u003d 27. 27 je razdeljena na 3, zato je število razdeljeno na tri.

3. Znak delitve števila na 5
Številka je razdeljena s 5, ko je njena zadnja številka nič ali pet.
Primer: Ugotovite, ali je številka 34938 razdeljena na 5.
Sklep: Pogledamo na zadnjo številko: 8 pomeni, da številka ni razdeljena s petimi.

4. Znak delitve števila do 9
Ta funkcija je zelo podobna znaku delitve na vrhu: število je razdeljeno z 9, ko je količina njegovih številk razdeljena na 9.
Primer: Ugotovite, ali je število 34938 razdeljeno na 9.
Sklep: Menimo, da je količina številk: 3 + 4 + 9 + 3 + 8 \u003d 27. 27 je razdeljena na 9, zato je število razdeljeno po devetih.

Kako najti vozlišča in dve številki NOK

Kako najti vozlišče dve številki

Najenostavnejši način za izračun največjega generalnega direktora dveh številk je iskanje vseh možnih razdelitev teh številk in izberete največje od njih.

Upoštevajte to metodo na primeru iskanja vozlišča (28, 36):

1. Pridobljene številke na multiplikatorjih: 28 \u003d 1 · 2 · 2 · 7, 36 \u003d 1 · 2 · 2 · 3 · 3
2. Našli smo splošne multiplikatorje, to je tisti, ki imajo obe številki: 1, 2 in 2.
3. Izračunajte izdelek teh multiplikatorjev: 1 · 2 · 2 \u003d 4 - To je največji skupni delitelj številk 28 in 36.

Kako najti dve številki NOK

Najpogostejši dve načine, da najdete najmanjšo več dve številki. Prvi način je, da je mogoče zapisati prvih več dveh številk, nato pa izbrati med njimi takšno številko, ki bo skupna za obe številki in hkrati. In druga je najti vozlišče teh številk. Upoštevajte samo to.

Za izračun NOC je treba izračunati produkt začetnih številk in ga razdelite v predhodno najdeno vozlišče. Poiščite NOC za iste številke 28 in 36:

1. Izdelek številk 28 in 36: 28 · 36 \u003d 1008
2. Vozlišče (28, 36), kot je bilo že znano, enako 4
3. NOK (28, 36) \u003d 1008/4 \u003d 252.

Iskanje vozlišča in NOK za več številk

Največji delilni delilnik je na voljo za več številk in ne samo za dva. V ta namen se števila, ki jo je treba iskati največji skupni divisor, se razkrije na preprostih dejavnikih, nato pa najdemo produkt skupnih enostavnih multiplikatorjev teh številk. Tudi za iskanje vozlišča več števil, lahko uporabite naslednje razmerje: Vozlišče (a, b, c) \u003d vozlišče (vozlišča (a, b), c).

Podobno razmerje velja za najmanjše skupne večkratne številke: NOK (A, B, C) \u003d NOK (NOK (A, B), C)

Primer: Poiščite vozlišča in NOK za številke 12, 32 in 36.

1. Zajetke številke na multiplikatorjih: 12 \u003d 1 · 2 · 2 · 3, 32 \u003d 1 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2, 36 \u003d 1 · 2 · 2 · 3 · 3.
2. Poiščite nekaj multiplikatorjev: 1, 2 in 2.
3. Njihovo delo bo dalo NOD: 1 · 2 · 2 \u003d 4
4. Zdaj bomo našli NOK: To naredimo, da bom našel NOK (12, 32): 12 · 32/4 \u003d 96.
5. Da bi našli NOC vseh treh števil, morate najti vozlišče (96, 36): 96 \u003d 1 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2,3, 36 \u003d 1 · 2 · 2 · 3 · 3, vozlišče \u003d 1 · 2 · 2 · 3 \u003d 12.
6. NOK (12, 32, 36) \u003d 96 · 36/12 \u003d 288.

Opredelitev. Največje naravno število, na katerem je razdeljeno brez ostanka A in B, ki se imenuje največji skupni delitelj (vozlišče) Te številke.

Poiščite največji skupni delilnik številk 24 in 35.
Razdelilniki 24 bodo številke 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, in razdelitve 35 bodo številke 1, 5, 7, 35.
Vidimo, da imata številke 24 in 35 samo en skupni delilnik - številka 1. Takšne številke se imenujejo medsebojno preprosta.

Opredelitev. Naravne številke se imenujejo medsebojno preprostaČe je njihov največji skupni delitelj (vozlišče) enak 1.

Največji skupni delilnik (vozlišče) Lahko najdete, ne da bi pisali vse razdelilnike teh številk.

Razgradili bomo številko 48 in 36 na dejavnikih, dobimo:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Multiplikatorjev, ki so v razgradnji prve od teh številk, prečrtajte tiste, ki niso vključeni v razgradnjo druge številke (tw. Dva dva).
Kmetje 2 * 2 * 3. Njihovo delo je 12. To je številka in je največji skupni delitelj številk 48 in 36. Najdite največji skupni delitelj treh ali več številk.

Najti največji skupni razdelitev

2) od multiplikatorjev, ki vstopajo v razgradnjo ene od teh številk, izbrišite tiste, ki niso vključeni v razgradnjo drugih številk;
3) Poiščite proizvodnjo preostalih multiplikatorjev.

Če so vse te številke razdeljene na eno od njih, potem je ta številka največji skupni delitelj Podatkovne številke.
Na primer, največji skupni delitelj številk 15, 45, 75 in 180 bo številka 15, saj so vse druge številke razdeljene nanj: 45, 75 in 180.

Najmanjša skupna večkratna (NOK)

Opredelitev. Najmanjši skupni večkratni (NOK) Naravne številke A in B se imenujejo najmanjše naravno število, ki je večkratna in a, in b. Najmanjši skupni večkratni (NOC) številke 75 in 60 je mogoče najti in ne predpisovati zapored na te številke. Če želite to narediti, razgraditi 75 in 60 na enostavnih multiplikatorjih: 75 \u003d 3 * 5 * 5 in 60 \u003d 2 * 2 * 3 * 5.
Zapišemo multiplikatorje, ki so vključeni v razgradnjo prve od teh številk, in dodamo manjkajoče multiplikatorje 2 in 2 iz razgradnje druge številke (to je, združujemo multiplikatorje).
Dobimo pet multiplikatorjev 2 * 2 * 3 * 5 * 5, katerega izdelek je 300. Ta številka je najnižja skupna večkratne številke 75 in 60.

Najdite najmanjšo skupno večkratno večkrat za tri ali več številk.

Za poiščite najmanjšo skupno večkratno več naravnih števil, je potrebno:
1) jih razgraditi na preproste dejavnike;
2) Zapišite dejavnike, ki vstopajo v razgradnjo ene od številk;
3) Dodajte manjkajoče dejavnike iz razširitve preostalih številk;
4) Poiščite produkt nastalih multiplikatorjev.

Upoštevajte, da če je ena od teh številk razdeljena na vse druge številke, je ta številka najnižjo skupno več podatkov o številu.
Na primer, najmanjša skupna večkratne številke 12, 15, 20 in 60 bo številka 60, saj je razdeljena na vse podatke o številu.

Pythagoras (VI Century BC) in njegovi učenci so preučevali vprašanje razdelitve številk. Številka, ki je enaka vsoti vseh njegovih boka (brez števila), so imenovali popolno številko. Na primer, številke 6 (6 \u003d 1 + 2 + 3), 28 (28 \u003d 1 + 2 + 4 + 7 + 14) Popolna. Naslednje popolne številke - 496, 8128, 33.550 336. Pythagoreans je vedel le prve tri popolne številke. Četrtič - 8128 - je postalo znano v I. stoletju. n. e. Petič - 33 550 336 - je bilo ugotovljeno v XV stoletju. Do leta 1983 je bilo že 27 popolnih številk. Toda doslej znanstveniki ne vedo, ali obstajajo čudne popolne številke, ne glede na to, ali obstaja največja popolna številka.
Interes starodavnih matematikov do enostavnih številk je povezan z dejstvom, da je poljubno število ali preprosto ali je lahko zastopano kot produkt glavnih številk, i.e., preprosta številke so kot opeke, iz katerih so zgrajene druge naravne številke.
Verjetno ste opazili, da je preprosto število v vrsti naravnih številk neenakomerno najdemo v nekaterih delih serije več, v drugih - manj. Toda dlje, ko se gibljemo po številčni vrstici, najdemo manj enostavne številke. Vprašanje nastane: Ali je zadnja (največja) preprosta številka? Starodavni grški matematični evcilide (III Century BC) v svoji knjigi "Začetki", nekdanji dve tisoč let, je glavni učbenik matematike, dokazal, da preprosto številke neskončno veliko, to je za vsako preprosto število obstaja še večje preprosto število .
Da bi našli preproste številke, še en grški matematik istega časa, Eratosfen je prišel na tak način. Vse številke je posnel od 1 do nekega števila, nato pa je označil enoto, ki ni niti preprosta ali stalna številka, nato pa sekala skozi vse številke, ki potekajo po 2 (številke, večkrat 2, i.e. 4, 6, 8 itd.) . Prva preostala številka po 2 je bila 3. nadalje je bila določena v dveh vseh številkah, ki je dosegla po 3 (številke, več 3, i.e. 6, 9, 12 itd.). Na koncu so ostale le preproste številke nezavarovane.

Razumeti, kako izračunati NOC, je treba določiti predvsem z vrednostjo izraza "večkrat".

Večkratno številko A se imenuje takšno naravno število, ki je razdeljeno brez ostanka na A. Torej, številke večkratnih 5 se lahko štejejo za 15, 20, 25 in tako naprej.

Vrsta določenega števila je lahko omejena količina, vendar večkratnik neskončnega niza.

Skupni večkratnik naravnih števil je število, ki je razdeljeno nanje brez ostankov.

Kako najti najmanjše splošne večkratne številke

Najmanjše skupne številke večkratne (NOC) (dve, tri ali več) je najmanjše naravno število, ki je razdeljeno na vse te številke, namenjene.

Če želite najti NOC, lahko uporabite več načinov.

Za majhne številke je priročno, da napišete vse večkratne od teh številk v vrsti, dokler med njimi obstaja skupna. Multilatorji so označeni v snemanju velike črke K.

Na primer, več številk 4 lahko napisamo na naslednji način:

K (4) \u003d (8.12, 16, 20, 24, ...)

K (6) \u003d (12, 18, 24, ...)

Torej je mogoče videti, da je najmanjša skupna večkratne številke 4 in 6 številka 24. Ta vnos se izvede na naslednji način:

NOK (4, 6) \u003d 24

Če so številke velike, poiščite skupno število tri ali več številk, potem je bolje uporabiti drug način za izračun NOC.

Za opravljanje naloge je potrebno razgraditi predlagane številke na enostavnih multiplikatorjih.

Najprej morate zapisati največjo v vrstico in pod njo - ostalo.

V razgradnji vsake številke lahko obstaja drugače število multiplikatorjev.

Na primer, razgradili bomo številke 50 in 20 na preprostem faktorju.

Pri širjenju manjšega števila je treba poudariti multiplikatorje, ki niso v razgradnji prvega največjega števila, nato pa jih dodamo. V predloženem primeru ni dovolj dveh.

Zdaj lahko izračunate najmanjši skupni večkratnik 20 in 50.

NOK (20, 50) \u003d 2 * 5 * 5 * 2 \u003d 100

Tako bo izdelek enostavnih multiplikatorjev večjega števila in multiplikatorjev druge številke, ki ni vstopila v razgradnjo več, bo najmanjša skupna.

Da bi našli NOC treh številk in še več, jih morajo razgraditi na preproste multiplikatorje, kot v prejšnjem primeru.

Kot primer, lahko najdete najmanjše skupne večkratne številke 16, 24, 36.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Torej, v razgradnji večjega števila, dejavniki niso vpisali le dveh dvojčkov iz razgradnje šestnajstih (eden je v razgradnji dvajset štiri).

Zato jih je treba dodati na razgradnjo večjega števila.

NOK (12, 16, 36) \u003d 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 \u003d 9

Obstajajo posebni primeri določanja najmanjšega skupnega večkratnega. Torej, če je ena od številk mogoče razdeliti brez ostankov na drugega, potem več teh številk in bo najmanjša skupna bolečina.

Na primer, Dvanajst in dvajset štirih bo štiriindvajset.

Če je treba najti najmanjši skupni večkratnik medsebojno preprostih številk, ki nimajo enakih božjih, bo njihov NOC enak njihovim delom.

Na primer, NOK (10, 11) \u003d 110.