Ang bawat mag-aaral na naghahanda para sa pagsusulit sa matematika ay makahanap ng kapaki-pakinabang na ulitin ang paksa na "Paghahanap ng anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya." Tulad ng ipinakita ng mga istatistika, kapag pumasa sa pagsusulit ng sertipikasyon, ang mga problema sa seksyong ito ng stereometry ay nagdudulot ng mga kahirapan para sa isang malaking bilang ng mga mag-aaral. Kasabay nito, ang mga gawain na nangangailangan ng paghahanap ng anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya ay matatagpuan sa PAGGAMIT ng parehong pangunahing at antas ng profile. Nangangahulugan ito na ang lahat ay dapat malutas ang mga ito.
Mga Highlight
Mayroong 4 na uri ng magkakasamang pagsasaayos ng mga tuwid na linya sa kalawakan. Maaari silang nag-tutugma, bumalandra, maging kahanay, o magkatulad. Ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay maaaring maging matalim o tama.
Upang mahanap ang anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya sa pagsusulit o, halimbawa, sa solusyon, ang mga mag-aaral sa Moscow at iba pang mga lungsod ay maaaring gumamit ng maraming mga paraan upang malutas ang mga problema sa seksyong ito ng stereometry. Maaari mong makumpleto ang gawain sa pamamagitan ng paggamit ng mga klasikong konstruksyon. Upang gawin ito, nagkakahalaga ng pag-aralan ang mga pangunahing axioms at theorems ng stereometry. Ang mag-aaral ay kinakailangang magawang lohikal na bumuo ng pangangatuwiran at lumikha ng mga guhit upang dalhin ang gawain sa isang problema sa planimetric.
Maaari mo ring gamitin ang pamamaraan ng coordinate ng vector gamit ang mga simpleng formula, alituntunin, at algorithm. Ang pangunahing bagay sa kasong ito ay gawin ang lahat ng mga kalkulasyon nang tama. Ang proyektong pang-edukasyon ng Shkolkovo ay makakatulong sa iyo upang maiunahan ang iyong mga kasanayan sa paglutas ng mga problema sa stereometry at iba pang mga seksyon ng kurso ng paaralan.
Kahulugan.Kung ang dalawang tuwid na linya y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2 ay ibinigay, kung gayon ang talamak na anggulo sa pagitan ng mga linyang ito ay bibigyan ng kahulugan
Ang dalawang tuwid na linya ay kahanay kung k 1 \u003d k 2. Dalawang tuwid na linya ay patayo kung k 1 \u003d -1 / k 2.
Teorya.Ang mga tuwid na linya Ax + Vy + C \u003d 0 at A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 ay magkatulad kapag ang proporsyonal na koepisyente A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB. Kung din ang С 1 \u003d λλ, magkatugma ang mga linya. Ang mga coordinate ng punto ng intersection ng dalawang linya ay matatagpuan bilang isang solusyon sa sistema ng mga equation ng mga linyang ito.
Katumbas ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang naibigay na punto
Perpendicular sa linyang ito
Kahulugan.Ang tuwid na linya na dumadaan sa point M 1 (x 1, y 1) at patayo sa tuwid na linya y \u003d kx + b ay kinakatawan ng equation:
Distansya mula sa punto sa linya
Teorya.Kung ang isang punto M (x 0, y 0) ay bibigyan, kung gayon ang distansya sa tuwid na linya Ax + Vy + C \u003d 0 ay tinutukoy bilang
.
Katibayan.Hayaan ang point M 1 (x 1, y 1) ang batayan ng patayo na bumaba mula sa point M papunta sa isang naibigay na linya. Pagkatapos ang distansya sa pagitan ng mga punto M at M 1:
(1)
Ang mga coordinate x 1 at y 1 ay matatagpuan bilang isang solusyon sa sistema ng mga equation:
Ang pangalawang equation ng system ay ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang naibigay na point M 0 patayo sa isang naibigay na tuwid na linya. Kung ibabago natin ang unang equation ng system sa form:
A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 + Ni 0 + C \u003d 0,
pagkatapos, paglutas, makuha namin:
Pagsusulat ng mga expression na ito sa equation (1), nakita namin:
Ang teorem ay napatunayan.
Halimbawa... Alamin ang anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya: y \u003d -3 x + 7; y \u003d 2 x + 1.
k 1 \u003d -3; k 2 \u003d 2; tgφ \u003d 
; φ \u003d p / 4.
Halimbawa... Ipakita na ang mga tuwid na linya 3x - 5y + 7 \u003d 0 at 10x + 6y - 3 \u003d 0 ay patayo.
Desisyon... Natagpuan namin: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, samakatuwid, ang mga tuwid na linya ay patayo.
Halimbawa... Ang mga vertice ng tatsulok A (0; 1), B (6; 5), C (12; -1) ay ibinibigay. Hanapin ang equation para sa taas na iginuhit mula sa vertex C.
Desisyon... Nahanap namin ang equation ng side AB: 
; 4 x \u003d 6 y - 6;
2 x - 3 y + 3 \u003d 0;
Ang kinakailangang equation ng taas ay: Ax + Ni + C \u003d 0 o y \u003d kx + b. k \u003d. Pagkatapos y \u003d. Dahil ang taas ay dumaan sa point C, pagkatapos ang mga coordinate nito ay masiyahan ang equation na ito: 
kung saan b \u003d 17. Kabuuan:. 
Sagot: 3 x + 2 y - 34 \u003d 0.
Pagkapareho ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang naibigay na punto sa isang naibigay na direksyon. Pagkapareho ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang naibigay na puntos. Ang anggulo sa pagitan ng dalawang tuwid na linya. Ang kalagayan ng paralelismo at perpendikularidad ng dalawang linya. Pagpasya ng intersection point ng dalawang linya
1. Katumbas ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang naibigay na punto A(x 1 , y 1) sa direksyon na ito, na tinutukoy ng slope k,
y - y 1 = k(x - x 1). (1)
Ang equation na ito ay tumutukoy sa isang lapis ng mga linya na dumadaan sa punto A(x 1 , y 1), na kung saan ay tinatawag na sentro ng sinag.
2. Pagkapareho ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang puntos: A(x 1 , y 1) at B(x 2 , y 2) ay nakasulat tulad ng sumusunod:
Ang dalisdis ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang ibinigay na puntos ay natutukoy ng pormula
3. Angle sa pagitan ng mga tuwid na linya A at B tinawag ang anggulo kung saan kailangan mong i-on ang unang tuwid A sa paligid ng punto ng intersection ng mga linyang ito na hindi mababago hanggang sa magkatugma ito sa pangalawang linya B... Kung ang dalawang tuwid na linya ay bibigyan ng mga equation na may isang slope
y = k 1 x + B 1 ,
y = k 2 x + B 2 , (4)
pagkatapos ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay tinutukoy ng pormula
Tandaan na sa numerator ng maliit na bahagi, ang dalisdis ng unang tuwid na linya ay binawi mula sa dalisdis ng pangalawang tuwid na linya.
Kung ang mga equation ng tuwid na linya ay ibinibigay sa pangkalahatang anyo
A 1 x + B 1 y + C 1 = 0,
A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (6)
ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay tinutukoy ng pormula
4. Mga kondisyon para sa pagkakatulad ng dalawang linya:
a) Kung ang mga tuwid na linya ay ibinibigay ng mga equation (4) na may dalisdis, kung gayon ang kinakailangan at sapat na kondisyon para sa kanilang pagkakatulad ay binubuo sa pagkakapantay-pantay ng kanilang mga slope:
k 1 = k 2 . (8)
b) Para sa kaso kapag ang mga tuwid na linya ay ibinibigay ng mga equation sa pangkalahatang anyo (6), ang kinakailangan at sapat na kondisyon para sa kanilang pagkakatulad ay ang mga coefficients sa kaukulang kasalukuyang coordinates sa kanilang mga equation ay proporsyonal, i.e.
5. Mga kundisyon para sa pagiging perpekto ng dalawang linya:
a) Sa kaso kapag ang mga tuwid na linya ay ibinibigay ng mga equation (4) na may dalisdis, ang kinakailangan at sapat na kondisyon para sa kanilang perpendikularidad ay ang kanilang mga slope ay katumbas sa magnitude at kabaligtaran sa pag-sign, i.e.
Ang kondisyong ito ay maaari ring isulat sa anyo
k 1 k 2 = -1. (11)
b) Kung ang mga ekwasyon ng tuwid na linya ay ibinibigay sa pangkalahatang anyo (6), kung gayon ang kondisyon para sa kanilang patayo (kinakailangan at sapat) ay ang katuparan ng pagkakapantay-pantay
A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)
6. Ang mga coordinate ng punto ng intersection ng dalawang tuwid na linya ay matatagpuan sa pamamagitan ng paglutas ng system ng mga equation (6). Ang mga tuwid na linya (6) ay lumaliko kung at kung sakali
1. Isulat ang mga equation ng mga tuwid na linya na dumadaan sa puntong M, ang isa ay kahanay, at ang iba pa ay patayo sa isang naibigay na linya l.
OoooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooSamakatuwid, magpapatuloy kami sa unang seksyon, inaasahan ko, sa pagtatapos ng artikulo, mananatili akong masayahin.
Ang kamag-anak na posisyon ng dalawang tuwid na linya
Ang kaso kapag kumakanta ang madla kasama ang koro. Dalawang tuwid na linya ang makakaya:
1) tugma;
2) maging kahanay:;
3) o intersect sa isang punto:.
Tulong para sa Dummies : mangyaring tandaan ang matematikong pag-sign ng intersection, ito ay magiging pangkaraniwan. Ang notasyon ay nagpapahiwatig na ang linya ay lumilitaw sa linya sa isang punto.
Paano matukoy ang kamag-anak na posisyon ng dalawang tuwid na linya?
Magsimula tayo sa unang kaso:
Ang dalawang tuwid na linya ay nag-tutugma kung at lamang kung ang kanilang mga kaukulang mga koepisyente ay proporsyonal, iyon ay, mayroong isang bilang na "lambda" na ang pagkakapantay-pantay
Isaalang-alang ang mga tuwid na linya at isulat ang tatlong mga equation mula sa kaukulang mga koepisyente:. Sinusundan ito mula sa bawat equation na, samakatuwid, ang mga linyang ito ay nag-tutugma.
Sa katunayan, kung ang lahat ng mga koepisyent ng equation 
dumami -1 (palitan ang mga palatandaan), at lahat ng koepisyent ng equation 
nabawasan ng 2, nakakakuha ka ng parehong equation:.
Ang pangalawang kaso, kapag ang mga linya ay magkatulad:
Dalawang tuwid na linya ay magkatulad kung at kung ang kanilang mga koepisyentaryo para sa mga variable ay proporsyonal: 
ngunit.
Bilang halimbawa, isaalang-alang ang dalawang linya. Suriin namin ang proporsyonal ng kaukulang mga koepisyente para sa mga variable: 
Gayunpaman, malinaw na iyon.
At ang pangatlong kaso, kapag ang mga linya ay bumalandra:
Dalawang tuwid na linya ang bumabagal kung at kung ang kanilang mga koepisyentaryo para sa mga variable ay HINDI proporsyonal, iyon ay, WALANG tulad na halaga ng lambda na nasiyahan ang mga pagkakapantay-pantay 
Kaya, para sa mga tuwid na linya ay isusulat namin ang system: 
Mula sa unang equation ay sumusunod ito sa, at mula sa pangalawang equation :, samakatuwid, ang sistema ay hindi pantay-pantay (walang solusyon). Kaya, ang mga koepisyent ng variable ay hindi proporsyonal.
Konklusyon: ang mga linya ay bumalandra
Sa mga praktikal na problema, maaari mong gamitin ang scheme ng solusyon na isinasaalang-alang lamang. Sa pamamagitan ng paraan, ito ay halos kapareho sa algorithm para sa pagsuri sa mga vectors para sa collinearity, na isinasaalang-alang namin sa aralin Ang konsepto ng linear (non) dependence ng mga vectors. Ang batayan ng mga vectors... Ngunit mayroong isang mas sibilisadong packaging:
Halimbawa 1
Alamin ang kamag-anak na posisyon ng mga tuwid na linya: 
Desisyon batay sa pag-aaral ng mga vectors ng direksyon ng mga tuwid na linya:
a) Mula sa mga equation nahanap namin ang mga direksyon ng vectors ng mga tuwid na linya: 
.
, kaya't ang mga vectors ay hindi collinear at ang mga linya ay bumalandra.
Kung sakali, maglagay ako ng isang bato na may mga payo sa sangang-daan.
Ang natitira ay tumalon sa ibabaw ng bato at sumunod, diretso sa Kashchey ang walang kamatayan \u003d)
b) Hanapin ang mga direksyon ng vectors ng mga tuwid na linya: 
Ang mga linya ay may parehong vector ng direksyon, na nangangahulugang ang mga ito ay alinman sa kahanay o nag-tutugma. Hindi na rin mabilang ang determinant dito.
Malinaw, ang mga koepisyent para sa mga hindi alam ay proporsyonal, habang.
Alamin natin kung ang pagkakapantay-pantay ay totoo: 
Kaya,
c) Hanapin ang mga direksyon ng vectors ng mga tuwid na linya: 
Alamin natin ang determinant na binubuo ng mga coordinate ng mga vectors na ito: 
samakatuwid ang mga vectors ng direksyon ay collinear. Ang mga tuwid na linya ay magkatulad o magkakasabay.
Ang koepisyent ng proporsyonal na "lambda" ay madaling makita nang direkta mula sa ratio ng mga vectors ng direksyon ng kolonya. Gayunpaman, maaari rin itong matagpuan sa pamamagitan ng mga koepisyent ng mga equation mismo: 
.
Ngayon alamin natin kung ang pagkakapantay-pantay ay totoo. Ang parehong malayang termino ay zero, kaya:
Ang nagresultang halaga ay nagbibigay ng kasiyahan sa ekwasyong ito (ang anumang bilang sa pangkalahatan ay nasiyahan ito).
Sa gayon, ang mga linya ay nag-tutugma.
Sagot:
Sa lalong madaling panahon matutunan mo (o kahit na natutunan) upang malutas ang itinuturing na problema sa pasalita sa loob lamang ng ilang segundo. Kaugnay nito, wala akong nakikitang dahilan upang magmungkahi ng isang bagay para sa isang independiyenteng solusyon, mas mahusay na maglagay ng isa pang mahalagang ladrilyo sa geometric na pundasyon:
Paano bumuo ng isang tuwid na linya na kahanay sa isang naibigay?
Para sa kamangmangan sa simpleng gawain na ito, ang Nightingale the Robber ay malubhang pinarurusahan.
Halimbawa 2
Ang tuwid na linya ay ibinibigay ng equation. Paghahanda ng isang kahanay na linya na dumadaan sa isang punto.
Desisyon: Ipagpalagay natin ang hindi kilalang direktang sulat. Ano ang sinasabi ng kondisyon tungkol sa kanya? Ang tuwid na linya ay dumadaan sa punto. At kung ang mga tuwid na linya ay kahanay, kung gayon halata na ang pagdidirekta ng vector ng tuwid na linya na "tse" ay angkop din sa pagtatayo ng tuwid na linya na "de".
Inalis namin ang direksyon ng vector mula sa equation:
Sagot:
Ang geometry ng halimbawa ay mukhang simple: 
Ang pag-verify ng analytical ay binubuo ng mga sumusunod na hakbang:
1) Sinusuri namin na ang mga linya ay may parehong direksyon vector (kung ang equation ng linya ay hindi pinasimple nang maayos, kung gayon ang mga vectors ay magiging collinear).
2) Suriin kung ang point ay nasiyahan sa nakuha na equation.
Ang pagsusuri sa pagsusuri ay sa karamihan ng mga kaso madaling gawin pasalita. Tumingin sa dalawang equation at marami sa iyo ang mabilis na malaman ang pagkakatulad ng mga tuwid na linya nang walang pagguhit.
Ang mga halimbawa para sa self-solution ngayon ay magiging malikhain. Dahil kailangan mo pa ring makipagkumpetensya sa Baba Yaga, at siya, alam mo, ay isang manliligaw sa lahat ng mga uri ng mga bugtong.
Halimbawa 3
Gumawa ng isang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang punto na kahanay sa isang tuwid na linya kung
Mayroong makatwiran at hindi masyadong makatuwiran na solusyon. Ang pinakamaikling paraan ay sa pagtatapos ng aralin.
Kami ay nagtrabaho nang kaunti sa mga magkatulad na linya at babalik sa kanila mamaya. Ang kaso ng magkakasamang mga linya ay walang gaanong interes, kaya isaalang-alang ang isang problema na kilala sa iyo mula sa kurikulum ng paaralan:
Paano mahahanap ang punto ng intersection ng dalawang linya?
Kung tuwid 
intersect sa isang punto, kung gayon ang mga coordinate nito ay ang solusyon mga sistema ng mga linear equation 
Paano mahahanap ang punto ng intersection ng mga linya? Malutas ang system.
Sobrang dami para sa iyo geometric na kahulugan ng isang sistema ng dalawang linear equation sa dalawang hindi alam Ay dalawang intersecting (madalas) tuwid na linya sa isang eroplano.
Halimbawa 4
Hanapin ang punto ng intersection ng mga linya
Desisyon: Mayroong dalawang mga paraan ng paglutas - graphical at analytical.
Ang graphic na paraan ay upang gumuhit lamang ng mga linya ng data at malaman ang punto ng intersection nang direkta mula sa pagguhit: 
Narito ang aming punto:. Upang suriin ito, dapat mong kapalit ang mga coordinate nito sa bawat equation ng linya, dapat silang magkasya pareho doon at doon. Sa madaling salita, ang mga coordinate ng isang punto ay ang solusyon ng system. Karaniwan, tumingin kami sa isang graphic na paraan upang malutas mga sistema ng mga linear equation may dalawang equation, dalawang hindi alam.
Ang paraan ng grapiko, siyempre, ay hindi masama, ngunit may mga kapansin-pansin na kawalan. Hindi, ang punto ay hindi ang ikapitong mga gradador na magpasya ito, ang punto ay kakailanganin ng oras upang makagawa ng isang tama at MAHAL NA pagguhit. Bilang karagdagan, hindi napakadali upang bumuo ng ilang mga tuwid na linya, at ang intersection point mismo ay maaaring matatagpuan sa isang lugar sa tatlumpung kaharian sa labas ng notebook sheet.
Samakatuwid, mas kapaki-pakinabang na maghanap para sa intersection point gamit ang analytical na pamamaraan. Malutas natin ang system: 
Upang malutas ang system, ginamit ang pamamaraan ng term-by-term na pagdaragdag ng mga equation. Bisitahin ang aralin upang makabuo ng mga kaugnay na kasanayan. Paano malulutas ang isang sistema ng mga equation?
Sagot:
Ang tseke ay walang halaga - ang mga coordinate ng intersection point ay dapat masiyahan ang bawat equation sa system.
Halimbawa 5
Hanapin ang punto ng intersection ng mga linya kung bumalandra sila.
Ito ay isang halimbawa para sa isang solusyon sa do-it-yourself. Ito ay maginhawa upang hatiin ang gawain sa maraming mga yugto. Ang pagtatasa ng kondisyon ay nagmumungkahi kung ano ang kinakailangan:
1) Gawin ang equation ng tuwid na linya.
2) Gawin ang equation ng tuwid na linya.
3) Alamin ang kamag-anak na posisyon ng mga tuwid na linya.
4) Kung ang mga linya ay bumabagay, pagkatapos ay hanapin ang punto ng intersection.
Ang pag-unlad ng isang algorithm ng mga aksyon ay pangkaraniwan para sa maraming mga geometric na problema, at paulit-ulit kong tutukuyin ito.
Buong solusyon at sagot sa dulo ng tutorial:
Ang isang pares ng sapatos ay hindi pa napapagod, dahil nakarating kami sa ikalawang seksyon ng aralin:
Perpendikular na tuwid na linya. Distansya mula sa punto sa linya.
Angle sa pagitan ng mga tuwid na linya
Magsimula tayo sa isang tipikal at napakahalagang gawain. Sa unang bahagi, nalaman namin kung paano bumuo ng isang tuwid na linya na kahanay sa isang ito, at ngayon ang kubo sa mga binti ng manok ay magiging 90 degree:
Paano bumuo ng isang tuwid na linya na patayo sa isang naibigay?
Halimbawa 6
Ang tuwid na linya ay ibinibigay ng equation. Magkaroon ng isang patayo na linya sa pamamagitan ng isang punto.
Desisyon: Sa kondisyong ito ay kilala na. Mas mabuti na hanapin ang direksyon vector ng tuwid na linya. Dahil ang mga linya ay patayo, ang lansihin ay simple:
Mula sa equation na "alisin" ang normal na vector:, na magiging direksyon ng vector ng tuwid na linya.
Isulat natin ang equation ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng isang punto at isang direksyon vector:
Sagot: 
Palakihin natin ang geometric sketch:
Hmmm ... Orange langit, orange na dagat, orange na kamelyo.
Analisasyong pag-verify ng solusyon:
1) Alisin ang mga direksyon ng vectors mula sa mga equation 
at sa tulong dot produkto ng mga vectors dumating sa konklusyon na ang mga tuwid na linya ay talagang patayo:.
Sa pamamagitan ng paraan, maaari mong gamitin ang mga normal na vectors, mas madali.
2) Suriin kung ang point ay nasiyahan sa nakuha na equation 
.
Ang tseke ay, muli, madaling gawin pasalita.
Halimbawa 7
Hanapin ang punto ng intersection ng mga linya ng patayo kung ang equation ay kilala 
at punto.
Ito ay isang halimbawa para sa isang solusyon sa do-it-yourself. Mayroong maraming mga pagkilos sa gawain, kaya maginhawa upang iguhit ang solusyon sa punto.
Patuloy ang aming kapana-panabik na paglalakbay:
Distansya mula sa punto sa linya
Bago sa amin ay isang tuwid na linya ng ilog at ang aming gawain ay maabot ito sa pinakamaikling paraan. Walang mga hadlang, at ang pinaka-optimal na ruta ay magmamaneho sa kahabaan ng patayo. Iyon ay, ang distansya mula sa isang punto patungo sa isang tuwid na linya ay ang haba ng isang patayo na linya.
Ang distansya sa geometry ay ayon sa kaugalian na sinasagisag ng titik na Griego na "ro", halimbawa: - ang distansya mula sa puntong "em" hanggang sa tuwid na linya na "de".
Distansya mula sa punto sa linya 
ipinahayag ng pormula
Halimbawa 8
Hanapin ang distansya mula sa point to line 
Desisyon: ang kailangan mo lamang ay maingat na isaksak ang mga numero sa pormula at isagawa ang mga kalkulasyon:
Sagot: 
Isagawa natin ang pagguhit: 
Ang distansya mula sa punto hanggang sa linya na natagpuan ay eksaktong haba ng pulang linya. Kung gumuhit ka ng isang guhit sa nakasulat na papel sa isang sukat na 1 yunit. \u003d 1 cm (2 cells), kung gayon ang distansya ay maaaring masukat sa isang ordinaryong pinuno.
Isaalang-alang ang isa pang gawain para sa parehong blueprint:
Ang gawain ay upang mahanap ang mga coordinate ng isang punto na simetriko sa isang punto na nauugnay sa isang tuwid na linya 
... Iminumungkahi kong gumanap ang mga aksyon sa iyong sarili, ngunit ibabalangkas ko ang solusyon ng algorithm na may mga intermediate na resulta:
1) Maghanap ng isang linya na patayo sa linya.
2) Hanapin ang punto ng intersection ng mga linya: 
.
Ang parehong mga hakbang ay detalyado sa tutorial na ito.
3) Ang punto ay ang midpoint ng linya. Alam namin ang mga coordinate ng gitna at isa sa mga dulo. Ni ang mga formula para sa mga coordinate ng midpoint ng segment nahanap namin.
Hindi mababaw na suriin na ang distansya ay 2.2 unit din.
Ang mga paghihirap dito ay maaaring lumitaw sa mga kalkulasyon, ngunit sa tore, ang isang micro calculator ay nakakatulong sa mahusay, na nagpapahintulot sa iyo na mabilang ang mga ordinaryong praksiyon. Paulit-ulit na pinapayuhan, magpapayo at muli.
Paano mahahanap ang distansya sa pagitan ng dalawang magkatulad na linya?
Halimbawa 9
Hanapin ang distansya sa pagitan ng dalawang magkatulad na linya
Ito ay isa pang halimbawa para sa isang malayang solusyon. Hayaan akong bigyan ka ng kaunting pahiwatig: maraming mga paraan upang malutas ito. Ang pagdududa sa pagtatapos ng aralin, ngunit mas mahusay na subukan na hulaan para sa iyong sarili, sa palagay ko ang iyong katalinuhan ay nakakalat nang maayos.
Angle sa pagitan ng dalawang tuwid na linya
Ang bawat anggulo ay isang jamb: 
Sa geometry, ang anggulo sa pagitan ng dalawang tuwid na mga linya ay kinuha bilang ang anggulo ng MALAKI, mula sa kung saan awtomatikong sumusunod ito na hindi ito maaaring makuha. Sa figure, ang anggulo na ipinahiwatig ng pulang arko ay hindi itinuturing na anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya. At ang kanyang "berde" na kapit-bahay ay itinuturing na tulad, o laban sa oriented "Crimson" sulok.
Kung ang mga tuwid na linya ay patayo, kung gayon ang alinman sa 4 na anggulo ay maaaring makuha bilang anggulo sa pagitan nila.
Paano naiiba ang mga anggulo? Orientasyon. Una, ang direksyon ng sulok na "pag-scroll" ay pangunahing kahalagahan. Pangalawa, ang isang negatibong oriented na anggulo ay nakasulat na may isang minus sign, halimbawa, kung.
Bakit ko ito sinabi? Tila na ang karaniwang konsepto ng anggulo ay maaaring maitaguyod. Ang katotohanan ay sa mga pormula kung saan makikita namin ang mga anggulo, madali kang makakuha ng negatibong resulta, at hindi ito dapat ka kumuha ng sorpresa. Ang isang anggulo na may isang minus sign ay hindi mas masahol pa, at may isang napaka tiyak na geometric na kahulugan. Sa pagguhit, para sa isang negatibong anggulo, tiyaking ipahiwatig ang oryentasyon nito gamit ang isang arrow (sunud-sunod).
Paano mahahanap ang anggulo sa pagitan ng dalawang tuwid na linya? Mayroong dalawang mga formula sa pagtatrabaho:
Halimbawa 10
Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya
Desisyon at Paraan ng isa
Isaalang-alang ang dalawang tuwid na linya na ibinigay ng mga equation sa pangkalahatang anyo: 
Kung tuwid hindi patayopagkatapos nakatuon ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay maaaring kalkulahin gamit ang formula: 
Bigyang-pansin natin ang denominator - eksaktong ito produkto ng scalar mga direksyon vectors ng mga tuwid na linya:
Kung, kung gayon ang denominator ng pormula ay mawawala, at ang mga vectors ay orthogonal at ang mga tuwid na linya ay patayo. Iyon ang dahilan kung bakit ang isang reserbasyon ay ginawa tungkol sa hindi pagiging perpekto ng tuwid na linya sa pagbabalangkas.
Batay sa nabanggit, ito ay maginhawa upang ayusin ang isang solusyon sa dalawang hakbang:
1) Kalkulahin ang produkto ng scalar ng mga vectors ng direksyon ng mga tuwid na linya:
, kaya ang mga tuwid na linya ay hindi patayo.
2) Ang anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya ay matatagpuan sa pamamagitan ng pormula:
Gamit ang kabaligtaran function, madaling mahanap ang sulok mismo. Sa kasong ito, ginagamit namin ang kakatwa ng arctangent (tingnan. Mga graphic at katangian ng elementarya):
Sagot: 
Sa sagot, ipinapahiwatig namin ang eksaktong halaga, pati na rin ang tinatayang halaga (mas mabuti sa parehong degree at sa mga radian), na kinakalkula gamit ang isang calculator.
Well, minus, kaya minus, okay lang iyon. Narito ang isang geometric na paglalarawan: 
Hindi kataka-taka na ang anggulo ay naging negatibong orientation, sapagkat sa pahayag ng problema ang unang numero ay isang tuwid na linya at ang "pag-twist" ng anggulo ay nagsimula dito.
Kung talagang nais mong makakuha ng isang positibong anggulo, kailangan mong magpalit ng mga tuwid na linya, iyon ay, kunin ang mga koepisyente mula sa pangalawang equation 
, at ang mga coefficient ay nakuha mula sa unang equation. Sa madaling sabi, dapat kang magsimula sa isang tuwid na linya 
.
Magiging brief ako. Ang anggulo sa pagitan ng dalawang linya ay katumbas ng anggulo sa pagitan ng kanilang mga vectors ng direksyon. Kaya, kung maaari mong mahanap ang mga coordinate ng mga direksyon vectors a \u003d (x 1; y 1; z 1) at b \u003d (x 2; y 2; z 2), maaari mong mahanap ang anggulo. Mas tiyak, ang kosine ng anggulo sa pamamagitan ng pormula:
Tingnan natin kung paano gumagana ang formula na ito sa mga tiyak na halimbawa:
Isang gawain. Ang mga puntos E at F ay minarkahan sa kubo ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - ang mga midpoints ng mga gilid A 1 B 1 at B 1 C 1, ayon sa pagkakabanggit. Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga linya ng AE at BF.
Dahil ang gilid ng kubo ay hindi ipinahiwatig, itinakda namin ang AB \u003d 1. Ipakilala ang pamantayang sistema ng coordinate: ang pinagmulan sa punto A, axes x, y, z ay nakadirekta kasama ang AB, AD at AA 1, ayon sa pagkakabanggit. Ang yunit ng yunit ay pantay sa AB \u003d 1. Ngayon nakita namin ang mga coordinate ng mga direksyon ng vectors para sa aming mga linya.
Hanapin ang mga coordinate ng vector AE. Upang gawin ito, kailangan namin ang mga puntos A \u003d (0; 0; 0) at E \u003d (0.5; 0; 1). Dahil ang point E ay ang midpoint ng segment A 1 B 1, ang mga coordinate nito ay katumbas ng arithmetic mean ng mga coordinate ng mga dulo. Tandaan na ang pinagmulan ng vector AE ay nagkakasabay sa pinagmulan, kaya ang AE \u003d (0.5; 0; 1).
Ngayon makipag-usap tayo sa vector BF. Katulad nito, ipinapahiwatig natin ang mga puntos ng B \u003d (1; 0; 0) at F \u003d (1; 0.5; 1), sapagkat F - kalagitnaan ng segment B 1 C 1. Meron kami:
BF \u003d (1 - 1; 0.5 - 0; 1 - 0) \u003d (0; 0.5; 1).
Kaya handa ang mga direksyon ng vectors. Ang kosine ng anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya ay ang kosina ng anggulo sa pagitan ng mga vectors ng direksyon, kaya mayroon kaming:
Isang gawain. Sa isang regular na triismal prisma ABCA 1 B 1 C 1, ang lahat ng mga gilid na kung saan ay pantay sa 1, puntos D at E - ang mga midpoints ng mga gilid A 1 B 1 at B 1 C 1, ayon sa pagkakabanggit. Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga linya AD at BE.
Ipakilala natin ang karaniwang sistema ng coordinate: ang pinagmulan ay nasa punto A, ang x axis ay nakadirekta kasama ang AB, z - kasama ang AA 1. Direkta namin ang y-axis upang ang eroplano ng OXY ay nagkakasabay sa eroplano ng ABC. Ang yunit ng yunit ay pantay sa AB \u003d 1. Hanapin ang mga coordinate ng mga direksyon ng vectors para sa mga hiningang linya.
Una, hahanapin natin ang mga coordinate ng AD vector. Isaalang-alang ang mga puntos: A \u003d (0; 0; 0) at D \u003d (0.5; 0; 1), sapagkat D - kalagitnaan ng segment A 1 B 1. Dahil ang pinagmulan ng vector AD ay nagkakasabay sa pinagmulan, nakakakuha kami ng AD \u003d (0.5; 0; 1).
Ngayon hahanapin natin ang mga coordinate ng vector BE. Ang point B \u003d (1; 0; 0) ay madali. Sa punto E - sa gitna ng segment C 1 B 1 - ito ay medyo mahirap. Meron kami:
Ito ay nananatiling upang mahanap ang kosino ng anggulo:
Isang gawain. Sa isang regular na hexagonal prisma ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, ang lahat ng mga gilid na kung saan ay katumbas ng 1, mga puntos na K at L ay minarkahan - ang mga midpoints ng mga gilid A 1 B 1 at B 1 C 1, ayon sa pagkakabanggit. Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga linya AK at BL.
Ipakilala natin ang isang karaniwang sistema ng coordinate para sa isang prisma: ilagay ang pinagmulan ng mga coordinate sa gitna ng ibabang base, idirekta ang x-axis kasama ang FC, ang y-axis sa pamamagitan ng mga midpoints ng mga segment ng AB at DE, at ang z-axis na patayo pataas. Ang unit segment ay muling katumbas ng AB \u003d 1. Isulat natin ang mga coordinate ng mga punto ng interes sa amin:
Ang mga puntos K at L ay ang mga midpoints ng mga segment A 1 B 1 at B 1 C 1, ayon sa pagkakabanggit, kaya ang kanilang mga coordinate ay matatagpuan sa pamamagitan ng arithmetic mean. Alam ang mga puntos, nahanap namin ang mga coordinate ng mga direksyon vectors AK at BL:
Ngayon hahanapin natin ang kosine ng anggulo:
Isang gawain. Sa regular na quadrangular pyramid SABCD, ang lahat ng mga gilid na kung saan ay katumbas ng 1, mga puntos na E at F ay minarkahan - ang mga midpoints ng mga gilid ng SB at SC, ayon sa pagkakabanggit. Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga linya ng AE at BF.
Ipakilala natin ang isang karaniwang sistema ng coordinate: ang pinagmulan ay nasa punto A, ang x at y axes ay nakadirekta kasama ang AB at AD, ayon sa pagkakabanggit, at ang z axis ay nakadirekta patayo paitaas. Ang yunit ng yunit ay pantay sa AB \u003d 1.
Ang mga puntos E at F ay ang mga midpoints ng mga segment na SB at SC, ayon sa pagkakabanggit, kaya ang kanilang mga coordinate ay matatagpuan bilang aritmetika na kahulugan ng mga dulo. Isulat natin ang mga coordinate ng mga punto ng interes sa amin:
A \u003d (0; 0; 0); B \u003d (1; 0; 0)
Alam ang mga puntos, nahanap namin ang mga coordinate ng mga direksyon vectors AE at BF:
Ang mga coordinate ng vector AE ay nag-tutugma sa mga coordinate ng point E, dahil ang point A ay ang pinagmulan. Ito ay nananatiling upang mahanap ang kosino ng anggulo:
