Ang lugar sa ibabaw ng kono (o sa simpleng ibabaw lamang ng kono) ay katumbas ng kabuuan ng mga lugar ng base at ang pag-ilid na ibabaw.
Ang lateral na ibabaw na lugar ng kono ay kinakalkula ng formula: S = πR l, kung saan ang R ay ang radius ng base ng kono, at l- generatrix ng kono.
Dahil ang lugar ng base ng kono ay katumbas ng πR 2 (bilang ang lugar ng isang bilog), ang lugar ng buong ibabaw ng kono ay magiging katumbas ng: πR 2 + πR l= πR (R + l).
Ang paghula ng formula para sa pag-ilid na lugar ng ibabaw ng isang kono ay maaaring ipaliwanag sa pamamagitan ng sumusunod na pangangatuwiran. Hayaan ang pagguhit na ipakita ang pag-unlad ng pag-ilid sa ibabaw ng kono. Hinahati namin ang arko AB sa maraming pantay na bahagi hangga't maaari at ikinonekta ang lahat ng mga puntos ng dibisyon sa gitna ng arko, at ang mga katabi sa bawat isa sa pamamagitan ng mga kuwerdas.
Nakukuha namin ang isang serye ng pantay na mga triangles. Ang lugar ng bawat tatsulok ay ah / 2, saan pero ay ang haba ng base ng tatsulok, a h- ang kanyang mataas.
Ang kabuuan ng mga lugar ng lahat ng mga tatsulok ay: ah / 2 n = anh / 2, saan n ay ang bilang ng mga tatsulok.
Sa isang malaking bilang ng mga paghati, ang kabuuan ng mga lugar ng mga triangles ay nagiging napakalapit sa lugar ng walisin, iyon ay, ang lugar ng pag-ilid na ibabaw ng kono. Ang kabuuan ng mga base ng mga triangles, ibig sabihin isang, nagiging napakalapit sa haba ng arc AB, ibig sabihin, sa paligid ng base ng kono. Ang taas ng bawat tatsulok ay nagiging napakalapit sa radius ng arko, iyon ay, sa generatrix ng kono.
Hindi pinapansin ang mga hindi gaanong pagkakaiba sa mga sukat ng mga dami na ito, nakukuha namin ang formula para sa pag-ilid na lugar sa ibabaw ng kono (S):
S = C l / 2, kung saan ang C ay ang paligid ng base ng kono, l- generatrix ng kono.
Alam na С = 2πR, kung saan ang R ay ang radius ng paligid ng base ng kono, nakukuha namin ang: S = πR l.
Tandaan Sa pormulang S = C l / 2, ang palatandaan ng isang eksaktong, hindi isang tinatayang pagkakapantay-pantay ang inilalagay, bagaman sa batayan ng pangangatuwiran sa itaas, maaari naming isaalang-alang ang pagkakapantay-pantay na ito sa isang tinatayang. Ngunit sa high school, napatunayan na ang pagkakapantay-pantay
S = C l / 2 tumpak, hindi tinatayang.
Teorama Ang lateral na ibabaw ng kono ay katumbas ng produkto ng paligid ng base at kalahati ng generatrix.
Ipasok natin ang ilang regular na pyramid sa kono (Larawan) At ipahiwatig sa pamamagitan ng mga titik R at l mga numero na nagpapahayag ng haba ng perimeter ng base at apothem ng pyramid na ito.
Pagkatapos ang pag-ilid sa ibabaw nito ay ipapakita ng produktong 1/2 R l .
Ipagpalagay ngayon na ang bilang ng mga panig ng polygon na nakasulat sa base ay nagdaragdag nang walang katiyakan. Pagkatapos ang perimeter R ay may gawi sa limitasyong kinuha bilang haba ng C ng paligid ng base, at ang apothem l ay magkakaroon ng isang cone generatrix bilang isang limitasyon (dahil sumusunod ito mula sa ΔSAK na SA - SK
1 / 2 R l, ay may posibilidad na limitahan 1/2 C
L. Ang limitasyong ito ay kinuha bilang ang halaga ng pag-ilid sa ibabaw ng kono. Naitalaga ang pag-ilid sa itaas ng kono na may letrang S, maaari kaming magsulat:
S = 1/2 C L = C 1/2 L
Mga kahihinatnan.
1) Dahil sa C = 2 π
R, pagkatapos ang lateral na ibabaw ng kono ay ipinahiwatig ng pormula:
S = 1/2 2π R L = π RL
2) Nakukuha namin ang buong ibabaw ng kono kung idinagdag namin ang lateral na ibabaw sa base area; samakatuwid, na nagpapahiwatig ng kumpletong ibabaw ng T, magkakaroon kami ng:
T = π RL + π R 2 = π R (L + R)
Teorama Ang lateral na ibabaw ng pinutol na kono ay katumbas ng produkto ng kalahating kabuuan ng haba ng mga bilog ng mga base at ang generator.
Ipasok natin ang ilang regular na pinutol na pyramid sa pinutol na kono (Larawan.) At ipahiwatig sa pamamagitan ng mga titik p, p 1 at l mga numero na nagpapahayag, sa pantay na mga yunit ng linear, ang haba ng mga perimeter ng mas mababang at itaas na mga base at ang apothem ng pyramid na ito.
Pagkatapos ang ibabaw na bahagi ng nakasulat na pyramid ay katumbas ng 1/2 ( p + p 1) l
Na may isang walang limitasyong pagtaas sa bilang ng mga gilid na mukha ng nakasulat na pyramid, ang mga perimeter R at R 1 ay may gawi sa mga limitasyong kinuha bilang haba ng C at C 1 ng mga bilog ng mga base, at ang apothem l ay may isang limitasyong generator L ng isang pinutol na kono. Dahil dito, ang halaga ng pag-ilid sa itaas ng nakasulat na pyramid ay may kaugaliang sa limitasyong katumbas ng (С + 1) L. Ang limitasyong ito ay kinuha bilang halaga ng pag-ilid na ibabaw ng pinutol na kono. Ang pagtukoy sa lateral na ibabaw ng pinutol na kono ng titik S, magkakaroon kami ng:
S = 1/2 (C + C 1) L
Mga kahihinatnan.
1) Kung ang R at R 1 ay nangangahulugang ang radii ng mga bilog ng mas mababa at itaas na mga base, kung gayon ang pag-ilid na ibabaw ng pinutol na kono ay:
S = 1/2 (2 π R + 2 π R 1) L = π (R + R 1) L.
2) Kung sa trapezoid OO 1 A 1 A (Larawan.), Mula sa pag-ikot kung saan nakuha ang isang pinutol na kono, iginuhit namin ang gitnang linya BC, pagkatapos ay nakukuha namin:
BC = 1/2 (OA + O 1 A 1) = 1/2 (R + R 1),
R + R 1 = 2BC.
Dahil dito,
S = 2 π BC L,
ibig sabihin ang lateral na ibabaw ng pinutol na kono ay katumbas ng produkto ng sirkulasyon ng gitnang seksyon ng generator.
3) Ang buong ibabaw ng T ng pinutol na kono ay ipinahayag bilang mga sumusunod:
T = π (R 2 + R 1 2 + RL + R 1 L)
Pasulong
Pansin Ang mga slide preview ay para sa mga layuning pang-impormasyon lamang at maaaring hindi kumatawan sa lahat ng mga pagpipilian sa pagtatanghal. Kung interesado ka sa gawaing ito, mangyaring i-download ang buong bersyon.
Uri ng aralin: isang aralin sa pag-aaral ng bagong materyal na gumagamit ng mga elemento ng isang pamamaraang nagbubuo ng problema sa pagtuturo.
Mga layunin sa aralin:
- nagbibigay-malay:
- kakilala sa isang bagong konsepto ng matematika;
- pagbuo ng bagong ZUN;
- ang pagbuo ng mga praktikal na kasanayan sa paglutas ng mga problema.
- pagbuo:
- pag-unlad ng malayang pag-iisip ng mga mag-aaral;
- pag-unlad ng mga kasanayan ng tamang pagsasalita ng mga mag-aaral.
- pang-edukasyon:
- pagbuo ng mga kasanayan sa pagtutulungan.
Kagamitan sa aralin: magnetikong board, computer, screen, multimedia projector, modelo ng kono, pagtatanghal ng aralin, mga handout.
Mga layunin sa aralin (para sa mga mag-aaral):
- pamilyar sa isang bagong konsepto ng geometriko - isang kono;
- kumuha ng isang formula para sa pagkalkula sa ibabaw na lugar ng isang kono;
- malaman na mailapat ang kaalamang nakuha sa paglutas ng mga praktikal na problema.
Sa mga klase
Entablado I. Pang-organisasyon.
Ang pagtaguyod sa mga notebook na may gawaing pagsubok sa bahay sa sakop na paksa.
Inanyayahan ang mga mag-aaral na alamin ang paksa ng paparating na aralin sa pamamagitan ng paglutas ng rebus (slide 1):
Larawan 1.
Pag-anunsyo ng paksa at layunin ng aralin sa mga mag-aaral (slide 2).
Yugto II. Paliwanag ng bagong materyal.
1) Lecture ng guro.
May isang mesa na may isang kono sa pisara. Ang bagong materyal ay ipinaliwanag na sinamahan ng materyal na programa na "Stereometry". Ang isang three-dimensional na imahe ng isang kono ay lilitaw sa screen. Tinutukoy ng guro ang kono, pinag-uusapan ang mga elemento nito. (slide 3)... Sinasabing ang isang kono ay isang katawan na nabuo ng pag-ikot ng isang tatsulok na may anggulo na may kaugnayan sa binti. (slide 4, 5). Lumilitaw ang isang imahe ng walisin ng lateral na ibabaw ng kono. (slide 6)
2) Praktikal na gawain.
Pangunahing pag-update ng kaalaman: ulitin ang mga formula para sa pagkalkula ng lugar ng isang bilog, lugar ng isang sektor, paligid, haba ng isang arc ng isang bilog. (slide 7-10)
Ang klase ay nahahati sa mga pangkat. Ang bawat pangkat ay tumatanggap ng isang walisin ng lateral ibabaw ng kono na gupitin sa papel (ang sektor ng bilog na may nakatalagang numero). Kinukuha ng mga mag-aaral ang mga kinakailangang sukat at kinakalkula ang lugar ng nagresultang sektor. Mga tagubilin sa trabaho, tanong - pahayag ng problema - lilitaw sa screen (slide 11-14)... Ang kinatawan ng bawat pangkat ay nagsusulat ng mga resulta ng mga kalkulasyon sa isang talahanayan na inihanda sa pisara. Ang mga miyembro ng bawat pangkat ay ipinapikit ang modelo ng kono mula sa kanilang umiiral na walisin. (slide 15)
3) Pahayag at solusyon ng problema.
Paano makalkula ang lugar ng lateral na ibabaw ng isang kono kung ang radius ng base at ang haba ng generatrix ng kono ay kilala? (slide 16)
Ang bawat pangkat ay gumagawa ng mga kinakailangang sukat at sinusubukang kumuha ng isang pormula para sa pagkalkula ng nais na lugar gamit ang magagamit na data. Kapag ginaganap ang gawaing ito, dapat pansinin ng mga mag-aaral na ang paligid ng base ng kono ay katumbas ng haba ng arko ng sektor - ang walis ng lateral na ibabaw ng kono na ito. (slide 17-21) Gamit ang mga kinakailangang pormula, nakuha ang kinakailangang pormula. Ang pangangatuwiran ng mga mag-aaral ay dapat magmukhang ganito:
Sector radius - ang walis ay katumbas ng l, ang sukat ng degree ng arc ay φ. Ang lugar ng sektor ay kinakalkula ng pormula ang haba ng arc na nagbubuklod sa sektor na ito ay katumbas ng Radius ng base ng kono R. Ang haba ng bilog na nakahiga sa base ng kono ay katumbas ng C = 2πR. Tandaan na Dahil ang lugar ng pag-ilid sa ibabaw ng kono ay katumbas ng lugar ng walisin ng lateral na ibabaw nito, kung gayon
Kaya, ang lugar ng lateral na ibabaw ng kono ay kinakalkula ng formula S BOD = πRl.
Matapos kalkulahin ang lugar ng lateral na ibabaw ng modelo ng kono ayon sa independiyenteng nagmula na pormula, ang kinatawan ng bawat pangkat ay nagsusulat ng resulta ng mga kalkulasyon sa isang talahanayan sa board alinsunod sa mga numero ng modelo. Ang mga resulta sa pagkalkula sa bawat hilera ay dapat na pantay. Sa batayan na ito, natutukoy ng guro ang kawastuhan ng mga konklusyon ng bawat pangkat. Ang talahanayan ng resulta ay dapat ganito ang hitsura:
|
Modelong blg. |
Gawain ko |
II gawain |
(125/3) π ~ 41.67 π |
||
(425/9) π ~ 47.22 π |
||
(539/9) π ~ 59.89 π |
Mga parameter ng modelo:
- l = 12 cm, φ = 120°
- l = 10 cm, φ = 150°
- l = 15 cm, φ = 120°
- l = 10 cm, φ = 170°
- l = 14 cm, φ = 110°
Ang pagtatantya ng mga kalkulasyon ay nauugnay sa mga error sa pagsukat.
Matapos suriin ang mga resulta, ang output ng mga formula para sa pag-ilid at buong mga ibabaw ng kono ay lilitaw sa screen (slide 22-26), ang mga mag-aaral ay nagtatago ng mga tala sa mga notebook.
Yugto III. Pagsasama-sama ng pinag-aralan na materyal.
1) Inaalok ang mga mag-aaral mga gawain para sa oral solution sa mga handa nang guhit.
Hanapin ang mga lugar ng kumpletong mga ibabaw ng mga cone na ipinakita sa mga numero (slide 27-32).
2) Tanong: Ang mga lugar ba sa ibabaw ng mga cones ay nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot ng isang kanang sulok na tatsulok na may kaugnayan sa iba't ibang mga binti ay pantay? Ang mga mag-aaral ay bumubuo ng isang teorya at sinubukan ito. Ang pagsubok sa hipotesis ay isinasagawa sa pamamagitan ng paglutas ng mga problema at isinulat ng mag-aaral sa pisara.
Ibinigay:Δ ABC, ∠C = 90 °, AB = c, AC = b, BC = a;
BAA ", ABB" - mga katawan ng rebolusyon.
Hanapin: S PPK 1, S PPK 2.
Larawan 5. (slide 33)
Solusyon:
1) R = BC = a; S PPK 1 = S BOD 1 + S pangunahing 1 = π a c + π a 2 = π a (a + c).
2) R = AC = b; S PPK 2 = S BOD 2 + S pangunahing 2 = π b c + π b 2 = π b (b + c).
Kung S PPK 1 = S PPK 2, kung gayon isang 2 + ac = b 2 + bc, isang 2 - b 2 + ac - bc = 0, (a-b) (a + b + c) = 0. Kasi a, b, c - mga positibong numero (ang haba ng mga gilid ng tatsulok), kung gayon ang pagkakapantay-pantay ay totoo lamang kung a =b.
Konklusyon: Ang mga lugar ng mga ibabaw ng dalawang cones ay pantay-pantay lamang kung ang mga binti ng tatsulok ay pantay. (slide 34)
3) Solusyon ng problema mula sa aklat: Blg. 565.
Yugto IV. Pagbubuod ng aralin.
Takdang aralin: p. 55, 56; Bilang 548, Blg. 561. (slide 35)
Pag-anunsyo ng mga ibinigay na marka.
Mga konklusyon sa kurso ng aralin, pag-uulit ng pangunahing impormasyon na nakuha sa aralin.
Panitikan (slide 36)
- Mga marka ng Geometry 10-11 - Atanasyan, V.F.Butuzov, S. B. Kadomtsev et al., M., "Edukasyon", 2008.
- "Mga puzzle at charade ng matematika" - N.V. Udaltsova, silid-aklatan na "Setyembre 1", serye na "MATHEMATICS", isyu 35, M., Chistye Prudy, 2010.
Ang mga katawan ng rebolusyon na pinag-aralan sa paaralan ay isang silindro, isang kono, at isang bola.
Kung sa isang problema sa pagsusulit sa matematika kailangan mong kalkulahin ang dami ng isang kono o ang lugar ng isang globo - isaalang-alang ang iyong sarili na masuwerte.
Mag-apply ng mga formula at dami ng lugar sa itaas para sa isang silindro, kono, at bola. Nasa table namin silang lahat. Isapuso. Dito nagsisimula ang kaalaman sa stereometry.
Minsan magandang ideya na gumuhit ng isang nangungunang pagtingin. O, tulad ng sa problemang ito, mula sa ibaba.
2. Gaano karaming beses ang dami ng isang kono na inilarawan tungkol sa isang regular na quadrangular pyramid na mas malaki kaysa sa dami ng isang kono na nakasulat sa pyramid na ito?
Ito ay simple - gumuhit ng isang ilalim na pagtingin. Nakita namin na ang radius ng mas malaking bilog ay mas malaki kaysa sa radius ng mas maliit. Ang taas ng parehong mga kono ay pareho. Dahil dito, ang dami ng mas malaking kono ay magiging dalawang beses na mas malaki.
Isa pang mahalagang punto. Tandaan na sa mga problema ng bahagi B ng mga bersyon ng USE sa matematika, ang sagot ay nakasulat sa anyo ng isang integer o isang pangwakas na decimal praksi. Samakatuwid, hindi dapat mayroong o sa iyong sagot sa bahagi B. Hindi mo rin kailangang palitan ang tinatayang halaga ng numero alinman! Dapat itong mabawasan ng lahat ng paraan!. Para sa mga ito, sa ilang mga problema ang gawain ay nakabalangkas, halimbawa, tulad ng sumusunod: "Hanapin ang lugar ng lateral na ibabaw ng silindro na hinati sa".
At saan pa inilalapat ang mga formula para sa dami at pang-ibabaw na lugar ng mga katawan ng rebolusyon? Siyempre, sa problemang C2 (16). Sasabihin din namin sa iyo ang tungkol dito.
Alam namin kung ano ang isang kono, subukang hanapin ang ibabaw na lugar nito. Bakit mo kailangang malutas ang gayong problema? Halimbawa, kailangan mong maunawaan kung magkano ang kuwarta na pupunta upang makagawa ng isang waffle cone? O kung gaano karaming mga brick ang kinakailangan upang ihiga ang bubong ng brick ng isang kastilyo?
Hindi madaling sukatin ang lugar ng lateral na ibabaw ng kono. Ngunit isipin natin ang parehong sungay na nakabalot sa tela. Upang hanapin ang lugar ng isang piraso ng tela, kailangan mong i-cut at ikalat ito sa mesa. Makakakuha kami ng isang flat figure, mahahanap natin ang lugar nito.
Bigas 1. Seksyon ng kono sa kahabaan ng generatrix
Gawin din ang pareho sa kono. "Gupitin" natin ang pag-ilid na ibabaw nito kasama ang anumang generatrix, halimbawa (tingnan ang Larawan 1).
Ngayon ay "magpapahinga" tayo sa gilid sa isang eroplano. Nakukuha natin ang sektor. Ang gitna ng sektor na ito ay ang tuktok ng kono, ang radius ng sektor ay katumbas ng generatrix ng kono, at ang haba ng arko nito ay kasabay ng pag-ikot ng base ng kono. Ang nasabing sektor ay tinatawag na walis ng lateral na ibabaw ng kono (tingnan ang Larawan 2).
Bigas 2. Pag-unlad ng pag-ilid sa ibabaw
Bigas 3. Pagsukat ng anggulo sa mga radian
Subukan nating hanapin ang lugar ng sektor ayon sa magagamit na data. Una, ipakilala natin ang notasyon: hayaan ang anggulo sa tuktok ng sektor sa mga radiano (tingnan ang Larawan 3).
Madalas nating harapin ang anggulo sa tuktok ng walis sa mga gawain. Pansamantala, subukang sagutin ang tanong: maaari bang ang anggulo na ito ay maging higit sa 360 degree? Iyon ay, hindi ba magaganap na ang pag-scan ay magpapatong sa sarili nito? Syempre hindi. Patunayan natin ito sa matematika. Hayaan ang pag-scan na "overlap" mismo. Nangangahulugan ito na ang haba ng sweep arc ay mas malaki kaysa sa paligid ng radius. Ngunit, tulad ng nabanggit na, ang haba ng sweep arc ay ang haba ng bilog na may radius. At ang radius ng base ng kono, siyempre, ay mas mababa sa generatrix, halimbawa, dahil ang binti ng isang tatsulok na may tamang-kanan ay mas mababa kaysa sa hypotenuse
Pagkatapos tandaan natin ang dalawang mga formula mula sa kurso ng planimetry: haba ng arc. Lugar ng sektor:
Sa aming kaso, ang papel na ginagampanan ng generator , at ang haba ng arko ay katumbas ng paligid ng base ng kono, iyon ay. Meron kami:
Sa wakas nakukuha natin:.
Kasama ang pag-ilid sa ibabaw ng lugar, ang kabuuang lugar sa ibabaw ay maaari ring matagpuan. Upang magawa ito, idagdag ang base area sa lateral na ibabaw na lugar. Ngunit ang base ay isang bilog ng radius, na ang lugar ay katumbas ng.
Sa wakas, mayroon kaming: , kung saan ang radius ng base ng silindro, ay ang generatrix.
Malutas natin ang isang pares ng mga problema sa paggamit ng ibinigay na mga formula.
Bigas 4. Ang nais na anggulo
Halimbawa 1... Ang pipi na bahagi ng kono ay isang sektor na may anggulo ng tuktok. Hanapin ang anggulo na ito kung ang taas ng kono ay 4 cm at ang radius ng base ay 3 cm (tingnan ang Larawan 4).
Bigas 5. Taas-anggulo na tatsulok na bumubuo ng isang kono
Sa pamamagitan ng unang aksyon, ayon sa Pythagorean theorem, nakita namin ang generator: 5 cm (tingnan ang Larawan 5). Dagdag dito, alam natin iyan .
Halimbawa 2... Ang lugar ng seksyon ng ehe ng kono ay pantay, ang taas ay katumbas ng. Hanapin ang kabuuang lugar sa ibabaw (tingnan ang Larawan 6).
