Назад напред
Внимание! Прегледите на слайдове са само за информационни цели и може да не представляват всички опции за презентация. Ако се интересувате от тази работа, моля, изтеглете пълната версия.
С концепциите за най-голям общ делител (GCD) и най-малко общо кратно (LCM), учениците от гимназията се намират в шести клас. Тази тема винаги е трудна за разбиране. Децата често бъркат тези понятия, не разбират защо трябва да бъдат изучавани. Напоследък в научнопопулярната литература има отделни твърдения, че този материал трябва да бъде изключен от училищната програма. Мисля, че това не е съвсем вярно и е необходимо да се изучава, ако не в класната стая, то по време на извънкласните часове в класната стая на училищния компонент, е наложително, тъй като това допринася за развитието на логическото мислене на ученици, увеличаване на скоростта на изчислителните операции и способността за решаване на проблеми с красиви методи.
При събиране и изваждане на дроби с различни знаменатели ние учим децата как да намират общия знаменател на две или повече числа. Например добавете дробите 1/3 и 1/5. Учениците могат лесно да намерят число, което се дели на 3 и 5 без остатък. Това число е 15. Наистина, ако числата са малки, тогава общият им знаменател е лесно да се намери, като се знае добре таблицата за умножение. Някои от децата забелязват, че това число е произведение на числата 3 и 5. Децата са на мнение, че по този начин винаги може да се намери общ знаменател на числата. Например, извадете дробите 7/18 и 5/24. Намерете произведението на числата 18 и 24. То е равно на 432. Вече получихме голямо число и ако по-нататък е необходимо да се направят някои изчисления (особено за примери за всички действия), тогава вероятността от грешка се увеличава. Но намереното най-малко общо кратно на числата (LCM), което в този случай е еквивалентно на най-малкия общ знаменател (LCM) - числото 72 - значително ще улесни изчисленията и ще доведе до по-бързо решение на примера и по този начин ще спести време, определено за задачата, което играе важна роля при изпълнението на заключителния тест, контролната работа, особено по време на окончателното сертифициране.
Когато изучавате темата "Намаляване на дроби", можете да се движите последователно, разделяйки числителя и знаменателя на дроб на едно и също естествено число, като използвате знаците за делимост на числата, като в крайна сметка получавате несводима дроб. Например, да предположим, че искате да отмените дроба 128/344. Първо разделете числителя и знаменателя на дроба на числото 2, получаваме дроб 64/172. Още веднъж разделете числителя и знаменателя на получената дроб на 2, получаваме дроб 32/86. Разделете числителя и знаменателя на дроба отново на 2, получаваме неприводимата дроб 16/43. Но намаляването на дроба може да стане много по-лесно, ако намерим най-големия общ делител на числата 128 и 344. GCD (128, 344) = 8. Разделяйки числителя и знаменателя на дроба на това число, веднага получаваме неприводима фракция.
Трябва да покажете на децата различни начини за намиране на най-големия общ делител (GCD) и най-малкото общо кратно (LCM) на числата. В прости случаи е удобно да се намерят най-големият общ делител (GCD) и най-малкото общо кратно (LCM) на числата чрез просто изброяване. Тъй като числата стават по-големи, можете да използвате разлагане на прости фактори. Учебникът за шести клас (от Н. Я. Виленкин) показва следния метод за намиране на най-големия общ делител (НОД) на числата. Нека разделим числата на прости множители:
- 16 = 2*2*2*2
- 120 = 2*2*2*3*5
След това от факторите, включени в разлагането на едно от тези числа, изтриваме тези, които не са включени в разлагането на другото число. Произведението на останалите фактори ще бъде най-големият общ делител на тези числа. В случая това е числото 8. От собствения си опит се убедих, че за децата е по-разбираемо, ако подчертаем същите фактори в разложенията на числата, а след това в едно от разложенията намерим произведението на подчертани фактори. Това е най-големият общ делител на тези числа. В шести клас децата са активни и любопитни. Можете да им зададете следния проблем: опитайте се да намерите най-големия общ делител на числата 343 и 287 по описания начин. Не можете веднага да видите как да ги разложите на прости множители. И тук можете да им разкажете за един прекрасен метод, изобретен от древните гърци, който ви позволява да намерите най-големия общ фактор (GCD), без да разлагате на прости фактори. Този метод за намиране на най-големия общ делител е описан за първи път в книгата на Евклид "Начало". Нарича се алгоритъм на Евклид. Състои се в следното: Първо, разделете по-голямото число на по-малкото. Ако получите остатък, разделете по-малкото число на остатъка. Ако отново се получи остатък, разделете първия остатък на втория. Това продължава да се дели, докато остатъкът стане нула. Последният делител е най-големият общ делител (GCD) на тези числа.
Нека да се върнем към нашия пример и да запишем решението под формата на таблица за по-голяма яснота.
| дивидент | Разделител | Частен | Остатък |
| 343 | 287 | 1 | 56 |
| 287 | 56 | 5 | 7 |
| 56 | 7 | 8 | 0 |
И така, GCD (344,287) = 7
Как намирате най-малкото общо кратно (LCM) на едни и същи числа? Няма ли начин и за това, който да не изисква предварително разлагане на тези числа в прости множители? Оказва се, че има, и освен това много просто. Трябва да умножите тези числа и да разделите произведението на най-големия общ делител (GCD), който намерихме. В този пример произведението на числата е 98441. Разделете го на 7, за да получите числото 14063. LCM (343,287) = 14063.
Една от трудните теми в математиката е решаването на текстови задачи. Необходимо е да се покаже на учениците как концепциите за „Най-голям общ делител (GCD)“ и „Най-малко общо кратно (LCM)“ могат да решат проблеми, които понякога са трудни за решаване по обичайния начин. Тук е уместно заедно с учениците да разгледаме заедно със задачите, предложени от авторите на училищния учебник, стари и занимателни задачи, които развиват любознателността на децата и повишават интереса към изучаването на тази тема. Умелото познаване на тези понятия позволява на учениците да видят красиво решение на нестандартен проблем. А ако настроението на детето се повиши след решаване на добър проблем, това е знак за успешна работа.
По този начин, изучаването в училище на понятия като "Най-голям общ делител (GCD)" и "Най-малко общо кратно (LCM)" на числата
Позволява ви да спестите време, прекарано в работа, което води до значително увеличаване на обема на изпълнените задачи;
Увеличава скоростта и точността на извършване на аритметични операции, което води до значително намаляване на броя на разрешените изчислителни грешки;
Позволява ви да намерите красиви начини за решаване на нестандартни текстови проблеми;
Развива любознателността на учениците, разширява кръгозора им;
Създава предпоставки за възпитание на многостранна творческа личност.
GCD е най-големият общ знаменател.
За да намерите най-големия общ делител на няколко числа, трябва:
- определят общите фактори за двете числа;
- намерете произведението на общи фактори.
Пример за намиране на GCD:
Намерете GCD на числата 315 и 245.
315 = 5 * 3 * 3 * 7;
245 = 5 * 7 * 7.
2. Нека напишем коефициентите, общи за двете числа:
3. Намерете произведението на общите фактори:
GCD (315; 245) = 5 * 7 = 35.
Отговор: GCD (315; 245) = 35.
Намиране на NOC
LCM е най-малкото общо множество.
За да намерите най-малкото общо кратно на няколко числа, трябва:
- разлагат числата на прости множители;
- изпишете факторите, включени в разлагането на едно от числата;
- добавете към тях липсващите фактори от разширението на второто число;
- намерете произведението на получените фактори.
Пример за намиране на LCM:
Намерете LCM на числа 236 и 328:
1. Нека разложим числата на прости множители:
236 = 2 * 2 * 59;
328 = 2 * 2 * 2 * 41.
2. Нека изпишем факторите, включени в разлагането на едно от числата и към тях добавим липсващите фактори от разлагането на второто число:
2; 2; 59; 2; 41.
3. Намерете произведението на получените фактори:
LCM (236; 328) = 2 * 2 * 59 * 2 * 41 = 19352.
Отговор: LCM (236; 328) = 19352.
За да намерите GCD (най-голям общ делител) на две числа, трябва:
2. Намерете (подчертайте) всички общи прости множители в получените разложения.
3. Намерете произведението на общите прости множители.
За да намерите LCM (най-малкото общо кратно) на две числа, трябва:
1. Разложете тези числа на прости множители.
2. Разширяването на едно от тях трябва да се допълни с онези фактори на разширението на другото число, които не са в разширението на първото.
3. Изчислете произведението на получените фактори.
Онлайн калкулаторът ви позволява бързо да намерите най-големия общ делител и най-малкото общо кратно за две или всеки друг брой числа.
Калкулатор за намиране на GCD и LCM
Намерете GCD и LCM
Намерени GCD и NOC: 5806
Как да използвате калкулатора
- Въведете числа в полето за въвеждане
- Ако въведете неправилни знаци, полето за въвеждане ще бъде маркирано в червено
- щракнете върху бутона "Намерете GCD и LCM"
Как да въвеждате числа
- Числата се въвеждат разделени с интервал, точка или запетая
- Дължината на въведените числа не е ограничена, така че намирането на GCD и LCM на дълги числа няма да е трудно
Какво представляват GCD и NOC?
Най-голям общ делителмножество числа - това е най-голямото естествено цяло число, на което всички оригинални числа се делят без остатък. Най-големият общ фактор е съкратено като Gcd.
Най-малко общо кратномножество числа е най-малкото число, което се дели на всяко от оригиналните числа без остатък. Най-малкото общо кратно е съкратено като НОК.
Как да проверите дали едно число се дели на друго число без остатък?
За да разберете дали едно число се дели на друго без остатък, можете да използвате някои от свойствата за делимост на числата. След това, като ги комбинирате, може да се провери делимостта на някои от тях и техните комбинации.
Някои признаци за делимост на числата
1. Критерият за делимост на число на 2
За да определите дали едно число се дели на две (дали е четно), достатъчно е да погледнете последната цифра на това число: ако е 0, 2, 4, 6 или 8, тогава числото е четно, което означава то се дели на 2.
пример:определете дали 34938 се дели на 2.
Решение:погледнете последната цифра: 8 - значи числото се дели на две.
2. Знакът за делимост на число на 3
Едно число се дели на 3, когато сборът от цифрите му се дели на три. По този начин, за да определите дали дадено число се дели на 3, трябва да изчислите сбора от цифрите и да проверите дали се дели на 3. Дори ако сборът от цифрите е много голям, можете да повторите същия процес отново.
пример:определете дали 34938 се дели на 3.
Решение:броим сбора от цифрите: 3 + 4 + 9 + 3 + 8 = 27,27 се дели на 3, което означава, че числото се дели на три.
3. Знакът за делимост на число на 5
Числото се дели на 5, когато последната му цифра е нула или пет.
пример:определете дали 34938 се дели на 5.
Решение:погледнете последната цифра: 8 означава, че числото НЕ се дели на пет.
4. Знакът за делимост на число на 9
Тази характеристика е много подобна на делимостта на три: числото се дели на 9, когато сборът от цифрите му се дели на 9.
пример:определете дали 34938 се дели на 9.
Решение:ние броим сбора от цифри: 3 + 4 + 9 + 3 + 8 = 27,27 се дели на 9, което означава, че числото се дели на девет.
Как да намерите gcd и LCM на две числа
Как да намерите gcd на две числа
Най-простият начин да изчислите най-големия общ делител на две числа е да намерите всички възможни делители на тези числа и да изберете най-големия.
Нека разгледаме този метод, използвайки примера за намиране на GCD (28, 36):
- Разложете и двете числа: 28 = 1 2 2 7, 36 = 1 2 2 3 3
- Намираме общите множители, тоест тези, които имат и двете числа: 1, 2 и 2.
- Изчисляваме произведението на тези фактори: 1 · 2 · 2 = 4 - това е най-големият общ делител на числата 28 и 36.
Как да намерите LCM на две числа
Има два най-често срещани начина за намиране на най-малкото кратно на две числа. Първият начин е, че можете да напишете първите кратни на две числа и след това да изберете измежду тях такова число, което ще бъде общо за двете числа и в същото време най-малкото. И второто е да се намери GCD на тези числа. Нека разгледаме само него.
За да изчислите LCM, трябва да изчислите произведението на оригиналните числа и след това да го разделите на предварително намерения GCD. Нека намерим LCM за същите числа 28 и 36:
- Намерете произведението на числата 28 и 36: 28 36 = 1008
- GCD (28, 36), както вече е известно, е равно на 4
- LCM (28, 36) = 1008/4 = 252.
Намиране на GCD и LCM за няколко числа
Най-големият общ фактор може да се намери за няколко числа, а не само за две. За това числата, които трябва да се търсят за най-големия общ множител, се разлагат на прости множители, след което се намира произведението на общите прости множители на тези числа. Също така, за да намерите GCD на няколко числа, можете да използвате следната връзка: Gcd (a, b, c) = gcd (gcd (a, b), c).
Подобна връзка е валидна за най-малкото общо кратно: LCM (a, b, c) = LCM (LCM (a, b), c)
пример:намерете GCD и LCM за числа 12, 32 и 36.
- Първо разложете числата на множители: 12 = 1 2 2 3, 32 = 1 2 2 2 2 2 2, 36 = 1 2 2 3 3 3.
- Нека намерим общите фактори: 1, 2 и 2.
- Техният продукт ще даде GCD: 1 2 2 = 4
- Нека сега намерим LCM: за това първо намираме LCM (12, 32): 12 · 32/4 = 96.
- За да намерите LCM и на трите числа, трябва да намерите GCD (96, 36): 96 = 1 2 2 2 2 2 2 3, 36 = 1 2 2 3 3, GCD = 1 2 2 3 = 12.
- LCM (12, 32, 36) = 96 36/12 = 288.
Определение.Извиква се най-голямото естествено число, на което числата a и b се делят без остатък най-голям общ фактор (gcd)тези числа.
Намерете най-големия общ делител на 24 и 35.
Делите на 24 ще бъдат числата 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, а делителите на 35 ще бъдат числата 1, 5, 7, 35.
Виждаме, че числата 24 и 35 имат само един общ делител - числото 1. Такива числа се наричат взаимно прости.
Определение.Естествените числа се наричат взаимно простиако техният най-голям общ делител (НОД) е 1.
Най-голям общ делител (GCD)може да се намери без изписване на всички делители на дадените числа.
Разлагайки числата 48 и 36 на множители, получаваме:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
От факторите, включени в разлагането на първото от тези числа, изтрийте тези, които не са включени в разлагането на второто число (тоест две двойки).
Остават множителите 2 * 2 * 3. Техният продукт е 12. Това число е най-големият общ делител на числата 48 и 36. Открива се и най-големият общ делител на три или повече числа.
Да намеря най-големият общ фактор
2) от факторите, включени в разлагането на едно от тези числа, изтрийте тези, които не са включени в разлагането на други числа;
3) намерете произведението на останалите фактори.
Ако всички тези числа се делят на едно от тях, тогава това число е най-големият общ фактордадени числа.
Например, най-големият общ делител на 15, 45, 75 и 180 е 15, тъй като всички останали числа се делят на него: 45, 75 и 180.
Най-малко общо множество (LCM)
Определение. Най-малко общо множество (LCM)естествените числа a и b се наричат най-малкото естествено число, което е кратно както на a, така и на b. Най-малкото общо кратно (LCM) на числата 75 и 60 може да се намери, без да се изписват кратните на тези числа в ред. За да направите това, разлагаме 75 и 60 на прости множители: 75 = 3 * 5 * 5 и 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Нека напишем факторите, включени в разлагането на първото от тези числа, и да добавим към тях липсващите фактори 2 и 2 от разлагането на второто число (т.е. да комбинираме факторите).
Получаваме пет фактора 2 * 2 * 3 * 5 * 5, чието произведение е 300. Това число е най-малкото общо кратно на 75 и 60.
Намерете също най-малкото общо кратно за три или повече числа.
Да се намерете най-малкото общо кратноняколко естествени числа, трябва:
1) да ги разложи на прости множители;
2) запишете факторите, включени в разлагането на едно от числата;
3) добавете към тях липсващите фактори от разширенията на останалите числа;
4) намерете произведението на получените фактори.
Обърнете внимание, че ако едно от тези числа се дели на всички останали числа, тогава това число е най-малкото общо кратно на тези числа.
Например, най-малкото общо кратно на 12, 15, 20 и 60 е 60, защото се дели на всички тези числа.
Питагор (VI в. пр. н. е.) и неговите ученици изучават въпроса за делимостта на числата. Число, равно на сбора от всички негови делители (без самото число), те наричат перфектно число. Например числата 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) са перфектни. Следващите съвършени числа са 496, 8128, 33 550 336. Питагорейците са знаели само първите три съвършени числа. Четвъртият - 8128 - става известен през 1 век. н. NS Петият - 33 550 336 - е намерен през 15 век. До 1983 г. вече са известни 27 перфектни числа. Но досега учените не знаят дали има нечетни съвършени числа, дали има най-голямото перфектно число.
Интересът на древните математици към простите числа се дължи на факта, че всяко число е или просто, или може да бъде представено като продукт на прости числа, тоест простите числа са като тухли, от които са изградени останалите естествени числа.
Вероятно сте забелязали, че простите числа в поредица от естествени числа се срещат неравномерно - в някои части от редицата има повече от тях, в други - по-малко. Но колкото повече се движим по редицата от числа, толкова по-рядко се срещат простите числа. Възниква въпросът: има ли последно (най-голямо) просто число? Древногръцкият математик Евклид (III в. пр. н. е.) в книгата си „Началата“, която в продължение на две хиляди години е основният учебник по математика, доказва, че има безкрайно много прости числа, тоест зад всяко просто число има още по-голямо просто число .
За да намери прости числа, друг гръцки математик от същото време, Ератостен, измисли такъв метод. Той записа всички числа от 1 до някакво число и след това зачеркна единица, която не е нито просто, нито съставно число, след това зачеркна всички числа след 2 (числа, делими се на 2, т.е. 4, 6, 8, и др.). Първото оставащо число след 2 беше 3. След това всички числа след 3 (числа, които са кратни на 3, тоест 6, 9, 12 и т.н.) бяха задраскани след две. в крайна сметка само простите числа останаха незачеркнати.
За да разберете как да изчислите LCM, първо трябва да решите значението на термина "множество".
Кратното на A е естествено число, което се дели без остатък на A. И така, кратните на 5 могат да се считат за 15, 20, 25 и т.н.
Може да има ограничен брой делители на определено число, но има безкрайно много кратни.
Общото кратно на естествените числа е число, което се дели на тях без остатък.
Как да намерим най-малкото общо кратно на числата
Най-малкото общо кратно (LCM) на числа (две, три или повече) е най-малкото естествено число, което се дели равномерно на всички тези числа.
Има няколко начина да намерите LCM.
За малки числа е удобно да запишете всички кратни на тези числа на ред, докато има общо между тях. Множествата са обозначени в записа с главна буква К.
Например, кратни на 4 могат да се запишат така:
K (4) = (8.12, 16, 20, 24, ...)
K (6) = (12, 18, 24, ...)
По този начин можете да видите, че най-малкото общо кратно на 4 и 6 е 24. Този запис се извършва по следния начин:
LCM (4, 6) = 24
Ако числата са големи, намерете общото кратно на три или повече числа, тогава е по-добре да използвате друг метод за изчисляване на LCM.
За да изпълните задачата, трябва да разложите предложените числа на прости множители.
Първо трябва да напишете разширението на най-голямото от числата в ред, а под него - останалите.
При разлагането на всяко число може да присъства различен брой фактори.
Например, нека разложим числата 50 и 20 на прости фактори.
При разширяването на по-малко число трябва да наблегнете на факторите, които липсват при разширяването на първото най-голямо число, и след това да ги добавите към него. В представения пример липсва двойка.
Вече можете да изчислите най-малкото общо кратно на 20 и 50.
LCM (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100
И така, произведението на простите множители на по-голямо число и на факторите на второто число, които не са включени в разширението на по-голямо число, ще бъде най-малкото общо кратно.
За да се намери LCM от три или повече числа, всички те трябва да бъдат разложени на прости множители, както в предишния случай.
Като пример намерете най-малкото общо кратно на 16, 24, 36.
36 = 2 * 2 * 3 * 3
24 = 2 * 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
И така, разлагането на по-голямо число в фактори не включва само две двойки от разлагането на множители на шестнадесет (едното е във факторизацията на двадесет и четири).
По този начин те трябва да се добавят към разширяването на по-голямото число.
LCM (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9
Има специални случаи на определяне на най-малкото общо кратно. Така че, ако едно от числата може да бъде разделено без остатък на друго, тогава по-голямото от тези числа ще бъде най-малкото общо кратно.
Например, LCM от дванадесет и двадесет и четири би бил двадесет и четири.
Ако трябва да намерите най-малкото общо кратно на взаимно прости числа, които нямат едни и същи делители, тогава тяхното LCM ще бъде равно на тяхното произведение.
Например LCM (10, 11) = 110.