>> Арктангенс и арккотангенс. Решаване на уравненията tgx = a, ctgx = a
§ 19. Арктангенс и арккотангенс. Решаване на уравненията tgx = a, ctgx = a
В пример 2 от §16 не успяхме да решим три уравнения:
Вече решихме две от тях - първата в § 17 и втората в § 18, за целта трябваше да въведем понятията аркосинуси арксинус. Разгледайте третото уравнение x = 2.
Графиките на функциите y=tg x и y=2 имат безкрайно много общи точки, като абсцисите на всички тези точки имат формата - абсцисата на пресечната точка на правата линия y = 2 с главния клон на тангентоида (фиг. 90). За числото x1 математиците излязоха с обозначението acrtg 2 (да се чете „арктангенс на две“). Тогава всички корени на уравнението x=2 могат да бъдат описани с формулата x=arctg 2 + pk.
Какво е agctg 2? Това е числото допирателнакоето е равно на 2 и което принадлежи на интервала
Нека сега разгледаме уравнението tg x = -2.
Функционални графики 
имат безкрайно много общи точки, абсцисите на всички тези точки имат формата 
абсцисата на пресечната точка на правата линия y = -2 с главния клон на тангентоида. За числото x 2 математиците измислиха обозначението arctg(-2). Тогава всички корени на уравнението x = -2 могат да бъдат описани с формулата
Какво е acrtg(-2)? Това е число, чийто тангенс е -2 и което принадлежи на интервала. Моля, обърнете внимание (вижте Фиг. 90): x 2 = -x 2. Това означава, че arctg(-2) = - arctg 2.
Нека формулираме определението за арктангенс в общ вид.
Определение 1. arсtg a (арктангенс a) е число от интервала, чийто тангенс е равен на a. Така,
Сега сме в състояние да направим общо заключение за решението уравнения x=a: уравнението x = a има решения
По-горе отбелязахме, че arctg(-2) = -arctg 2. Като цяло, за всяка стойност на a формулата е валидна
Пример 1.Изчисли: 
Пример 2.Решете уравнения:
A) Нека създадем формула за решение:
В този случай не можем да изчислим стойността на аркутангенса, затова ще оставим решението на уравнението в получения вид.
Отговор:
Пример 3.Решаване на неравенства: 
Неравенствата на формата могат да бъдат решени графично, като се придържат към следните планове
1) конструирайте допирателна y = tan x и права линия y = a;
2) изберете за главен клон на тангеисоида интервала на оста x, на който е изпълнено даденото неравенство;
3) като вземете предвид периодичността на функцията y = tan x, напишете отговора в обща форма.
Нека приложим този план за решаване на дадените неравенства.
: а) Да построим графики на функциите y = tgх и y = 1. На главния клон на тангенсоида те се пресичат в т.
Нека изберем интервала на оста x, на който главният клон на тангентоида е разположен под правата линия y = 1 - това е интервалът
Отчитайки периодичността на функцията y = tgх, заключаваме, че даденото неравенство е изпълнено на всеки интервал от вида:
Обединението на всички такива интервали представлява общото решение на даденото неравенство.
Отговорът може да се напише и по друг начин:
б) Нека построим графики на функциите y = tan x и y = -2. На главния клон на тангентоида (фиг. 92) те се пресичат в точката x = arctg(-2).
Нека изберем интервала на оста x, върху който е основният клон на тангентоида
Разгледайте уравнението с tan x=a, където a>0. Графиките на функциите y=ctg x и y =a имат безкрайно много общи точки, абсцисите на всички тези точки имат формата: x = x 1 + pk, където x 1 =arccstg a е абсцисата на пресечната точка на правата y=a с главния клон на тангентоида (фиг. 93). Това означава, че arcstg a е число, чийто котангенс е равен на a и което принадлежи на интервала (0, n); на този интервал се построява основният клон на графиката на функцията y = сtg x.
На фиг. 93 е представена и графична илюстрация на решението на уравнението c1tg = -a. Графиките на функциите y = сtg x и y = -а имат безкрайно много общи точки, като абсцисите на всички тези точки имат формата x = x 2 + pk, където x 2 = agsstg (- а) е абсцисата на точка на пресичане на правата y = -а с тангентоидния клон на основната линия. Това означава, че arcstg(-a) е число, чийто котангенс е равен на -a и което принадлежи на интервала (O, n); на този интервал се построява основният клон на графиката на функцията Y = сtg x.
Определение 2. arccstg a (аркотангенс a) е число от интервала (0, n), чийто котангенс е равен на a.
Така,
Сега можем да направим общо заключение за решението на уравнението ctg x = a: уравнението ctg x = a има решения:
Моля, обърнете внимание (вижте Фиг. 93): x 2 = n-x 1. Означава, че
Пример 4.Изчисли:
А) Да речем
Уравнението сtg x=а почти винаги може да се преобразува във вида Изключение прави уравнението сtg x =0. Но в този случай, като се възползвате от факта, че можете да отидете на
уравнение cos x=0. По този начин уравнение от формата x = a не представлява независим интерес.
А.Г. Мордкович алгебра 10 клас
Календарно-тематично планиране по математика, видеопо математика онлайн, Математика в училище изтегляне
Съдържание на урока бележки към уроцитеподдържаща рамка презентация урок методи ускорение интерактивни технологии Практикувайте задачи и упражнения самопроверка работилници, обучения, казуси, куестове домашна работа въпроси за дискусия риторични въпроси от ученици Илюстрации аудио, видео клипове и мултимедияснимки, картинки, графики, таблици, диаграми, хумор, анекдоти, вицове, комикси, притчи, поговорки, кръстословици, цитати Добавки резюметастатии трикове за любознателните ясли учебници основен и допълнителен речник на термините други Подобряване на учебниците и уроцитекоригиране на грешки в учебникаактуализиране на фрагмент в учебник, елементи на иновация в урока, замяна на остарели знания с нови Само за учители перфектни уроцикалендарен план за годината методически препоръки програми за дискусии Интегрирани уроциМожете да поръчате подробно решение на вашия проблем!!!
Равенство, съдържащо неизвестно под знака на тригонометрична функция (`sin x, cos x, tan x` или `ctg x`), се нарича тригонометрично уравнение и по-нататък ще разгледаме неговите формули.
Най-простите уравнения са „sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a“, където „x“ е ъгълът, който трябва да се намери, „a“ е произволно число. Нека запишем коренните формули за всеки от тях.
1. Уравнение `sin x=a`.
За `|a|>1` няма решения.
Когато `|a| \leq 1` има безкраен брой решения.
Коренна формула: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`
2. Уравнение `cos x=a`
За `|a|>1` - както в случая със синус, той няма решения сред реални числа.
Когато `|a| \leq 1` има безкраен брой решения.
Основна формула: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`
Специални случаи за синус и косинус в графики. 
3. Уравнение `tg x=a`
Има безкраен брой решения за всякакви стойности на `a`.
Основна формула: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`
4. Уравнение `ctg x=a`
Също така има безкраен брой решения за всякакви стойности на „a“.
Основна формула: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`
Формули за корените на тригонометричните уравнения в таблицата
За синус: 
За косинус: 
За тангенс и котангенс: 
Формули за решаване на уравнения, съдържащи обратни тригонометрични функции:
Методи за решаване на тригонометрични уравнения
Решаването на всяко тригонометрично уравнение се състои от два етапа:
- с помощта на трансформирането му в най-простия;
- решаване на най-простото уравнение, получено с помощта на коренните формули и таблиците, написани по-горе.
Нека да разгледаме основните методи за решение, използвайки примери.
Алгебричен метод.
Този метод включва заместване на променлива и нейното заместване в равенство.
Пример. Решете уравнението: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`
`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,
направете замяна: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, след това `2y^2-3y+1=0`,
намираме корените: `y_1=1, y_2=1/2`, от което следват два случая:
1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.
2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.
Отговор: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.
Факторизация.
Пример. Решете уравнението: `sin x+cos x=1`.
Решение. Нека преместим всички членове на равенството наляво: `sin x+cos x-1=0`. Използвайки, трансформираме и факторизираме лявата страна:
`sin x — 2sin^2 x/2=0`,
„2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0“,
„2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0“,
- `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
- `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
Отговор: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
Свеждане до хомогенно уравнение
Първо, трябва да намалите това тригонометрично уравнение до една от двете форми:
`a sin x+b cos x=0` (хомогенно уравнение от първа степен) или `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (хомогенно уравнение от втора степен).
След това разделете двете части на `cos x \ne 0` - за първия случай, и на `cos^2 x \ne 0` - за втория. Получаваме уравнения за `tg x`: `a tg x+b=0` и `a tg^2 x + b tg x +c =0`, които трябва да бъдат решени по известни методи.
Пример. Решете уравнението: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.
Решение. Нека запишем дясната страна като `1=sin^2 x+cos^2 x`:
`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,
`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`
`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.
Това е хомогенно тригонометрично уравнение от втора степен, разделяме лявата и дясната му страна на `cos^2 x \ne 0`, получаваме:
`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`
„tg^2 x+tg x — 2=0“. Нека въведем замяната `tg x=t`, което води до `t^2 + t - 2=0`. Корените на това уравнение са `t_1=-2` и `t_2=1`. Тогава:
- `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
- `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.
Отговор. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.
Преминаване към половин ъгъл
Пример. Решете уравнението: `11 sin x - 2 cos x = 10`.
Решение. Нека приложим формулите за двоен ъгъл, което води до: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`
`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`
Прилагайки алгебричния метод, описан по-горе, получаваме:
- `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
- `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.
Отговор. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.
Въвеждане на спомагателен ъгъл
В тригонометричното уравнение „a sin x + b cos x =c“, където a,b,c са коефициенти и x е променлива, разделете двете страни на „sqrt (a^2+b^2)“:
`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))`.
Коефициентите от лявата страна имат свойствата на синус и косинус, а именно сумата от техните квадрати е равна на 1 и техните модули не са по-големи от 1. Нека ги обозначим по следния начин: `\frac a(sqrt (a^2 +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, тогава:
`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.
Нека разгледаме по-отблизо следния пример:
Пример. Решете уравнението: `3 sin x+4 cos x=2`.
Решение. Разделяме двете страни на равенството на `sqrt (3^2+4^2)`, получаваме:
`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`
„3/5 sin x+4/5 cos x=2/5“.
Нека означим `3/5 = cos \varphi`, `4/5=sin \varphi`. Тъй като `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, тогава ние приемаме `\varphi=arcsin 4/5` като спомагателен ъгъл. След това записваме нашето равенство във формата:
`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`
Прилагайки формулата за сбора на ъглите за синуса, записваме нашето равенство в следната форма:
`sin (x+\varphi)=2/5`,
`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,
`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.
Отговор. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.
Дробни рационални тригонометрични уравнения
Това са равенства с дроби, чиито числители и знаменатели съдържат тригонометрични функции.
Пример. Решете уравнението. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.
Решение. Умножете и разделете дясната страна на равенството на „(1+cos x)“. В резултат получаваме:
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`
`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`
Като се има предвид, че знаменателят не може да бъде равен на нула, получаваме `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.
Нека приравним числителя на дробта към нула: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. След това „sin x=0“ или „1-sin x=0“.
- `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
- `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.
Като се има предвид, че ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, решенията са `x=2\pi n, n \in Z` и `x=\pi /2+2\pi n` , `n \in Z`.
Отговор. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.
Тригонометрията и по-специално тригонометричните уравнения се използват в почти всички области на геометрията, физиката и инженерството. Ученето започва в 10 клас, винаги има задачи за Единния държавен изпит, така че се опитайте да запомните всички формули на тригонометричните уравнения - те определено ще ви бъдат полезни!
Въпреки това, дори не е необходимо да ги запомняте, основното е да разберете същността и да можете да я извлечете. Не е толкова трудно, колкото изглежда. Убедете се сами, като изгледате видеото.
С център в точка А.
α е ъгълът, изразен в радиани.
Тангенса ( тен α) е тригонометрична функция, зависеща от ъгъла α между хипотенузата и катета на правоъгълен триъгълник, равен на отношението на дължината на срещуположния катет |BC| до дължината на съседния катет |AB| .
Котангенс ( ctg α) е тригонометрична функция, зависеща от ъгъла α между хипотенузата и катета на правоъгълен триъгълник, равен на отношението на дължината на съседния катет |AB| до дължината на срещуположния катет |BC| .
Допирателна
Където н- цяло.
В западната литература тангенсът се обозначава по следния начин:
.
;
;
.
Графика на функцията тангенс, y = tan x
Котангенс
Където н- цяло.
В западната литература котангенсът се означава по следния начин:
.
Приемат се и следните нотации:
;
;
.
Графика на функцията котангенс, y = ctg x
Свойства на тангенса и котангенса
Периодичност
Функции y = tg xи y = ctg xса периодични с период π.
Паритет
Функциите тангенс и котангенс са нечетни.
Области на дефиниране и стойности, нарастващи, намаляващи
Функциите тангенс и котангенс са непрекъснати в тяхната област на дефиниция (вижте доказателство за непрекъснатост). Основните свойства на тангенса и котангенса са представени в таблицата ( н- цяло).
| y = tg x | y = ctg x | |
| Обхват и приемственост | ||
| Диапазон от стойности | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| Повишаване на | - | |
| Спускане | - | |
| Крайности | - | - |
| Нули, y = 0 | ||
| Пресечете точки с ординатната ос, x = 0 | y = 0 | - |
Формули
Изрази, използващи синус и косинус
;
;
;
;
;
Формули за тангенс и котангенс от сбор и разлика
Останалите формули са лесни за получаване, например
Произведение на допирателните
Формула за сбор и разлика на тангенси
Тази таблица представя стойностите на тангенсите и котангенсите за определени стойности на аргумента. 
Изрази, използващи комплексни числа
Изразяване чрез хиперболични функции
;
;
Деривати
; .
.
Производна от n-ти ред по отношение на променливата x на функцията:
.
Извеждане на формули за тангенс >>>; за котангенс >>>
Интеграли
Разширения на сериите
За да получите разширение на тангенса по степени на x, трябва да вземете няколко члена на разширението в степенен ред за функциите грях хИ cos xи разделяме тези полиноми един на друг, . Това произвежда следните формули.
В .
при .
Където Bn- Числата на Бернули. Те се определят или от рекурентната връзка:
;
;
Където .
Или според формулата на Лаплас: 
Обратни функции
Обратните функции на тангенса и котангенса са съответно арктангенс и арккотангенс.
Арктангенс, arctg
, Където н- цяло.
Аркотангенс, arcctg
, Където н- цяло.
Препратки:
И.Н. Бронщайн, К.А. Семендяев, Наръчник по математика за инженери и студенти, “Лан”, 2009 г.
Г. Корн, Наръчник по математика за учени и инженери, 2012 г.
По-рано в програмата учениците придобиха представа за решаване на тригонометрични уравнения, запознаха се с понятията арккосинус и арксинус и примери за решения на уравненията cos t = a и sin t = a. В този видео урок ще разгледаме решаването на уравненията tg x = a и ctg x = a.
За да започнете да изучавате тази тема, разгледайте уравненията tg x = 3 и tg x = - 3. Ако решим уравнението tg x = 3 с помощта на графика, ще видим, че пресечната точка на графиките на функциите y = tg x и y = 3 има безкраен брой решения, където x = x 1 + πk. Стойността x 1 е координатата x на пресечната точка на графиките на функциите y = tan x и y = 3. Авторът въвежда понятието арктангенс: arctan 3 е число, чийто tan е равен на 3, и това число принадлежи на интервала от -π/2 до π/2. Използвайки концепцията за арктангенс, решението на уравнението tan x = 3 може да бъде записано като x = arctan 3 + πk.
По аналогия се решава уравнението tg x = - 3. От построените графики на функциите y = tg x и y = - 3 става ясно, че пресечните точки на графиките, а следователно и решенията на уравненията, ще е x = x 2 + πk. Използвайки арктангенса, решението може да бъде записано като x = arctan (- 3) + πk. На следващата фигура виждаме, че arctg (- 3) = - arctg 3.
Общата дефиниция на арктангенса е следната: арктангенс a е число от интервала от -π/2 до π/2, чийто тангенс е равен на a. Тогава решението на уравнението tan x = a е x = arctan a + πk.
Авторът дава пример 1. Намерете решение на израза arctan Нека въведем обозначението: аркутангенсът на число е равен на x, тогава tg x ще бъде равно на даденото число, където x принадлежи на отсечката от -π /2 до π/2. Както в примерите в предишните теми, ще използваме таблица със стойности. Според тази таблица тангенсът на това число съответства на стойността x = π/3. Нека запишем решението на уравнението: арктангенсът на дадено число е равен на π/3, π/3 също принадлежи на интервала от -π/2 до π/2.
Пример 2 - изчисляване на аркутангенса на отрицателно число. Използвайки равенството arctg (- a) = - arctg a, въвеждаме стойността на x. Подобно на пример 2, записваме стойността на x, която принадлежи на сегмента от -π/2 до π/2. От таблицата със стойности намираме, че x = π/3, следователно, -- tg x = - π/3. Отговорът на уравнението е - π/3.
Нека разгледаме пример 3. Решете уравнението tg x = 1. Напишете, че x = arctan 1 + πk. В таблицата стойността tg 1 съответства на стойността x = π/4, следователно arctg 1 = π/4. Нека заместим тази стойност в оригиналната формула x и напишем отговора x = π/4 + πk.
Пример 4: изчислете tan x = - 4.1. В този случай x = arctan (- 4,1) + πk. защото В този случай не е възможно да се намери стойността на arctg; отговорът ще изглежда като x = arctg (- 4,1) + πk.
В пример 5 се разглежда решението на неравенството tg x > 1. За да го решим, построяваме графики на функциите y = tan x и y = 1. Както може да се види на фигурата, тези графики се пресичат в точки x = π/4 + πk. защото в този случай tg x > 1, на графиката подчертаваме тангентоидната област, която се намира над графиката y = 1, където x принадлежи на интервала от π/4 до π/2. Записваме отговора като π/4 + πk< x < π/2 + πk.
След това разгледайте уравнението cot x = a. На фигурата са показани графики на функциите y = cot x, y = a, y = - a, които имат много пресечни точки. Решенията могат да бъдат записани като x = x 1 + πk, където x 1 = arcctg a и x = x 2 + πk, където x 2 = arcctg (- a). Отбелязва се, че x 2 = π - x 1 . Това предполага равенството arcctg (- a) = π - arcctg a. Следва определението за аркотангенс: аркотангенс a е число от интервала от 0 до π, чийто котангенс е равен на a. Решението на уравнението сtg x = a се записва като: x = arcctg a + πk.
В края на видео урока се прави още един важен извод - изразът ctg x = a може да се запише като tg x = 1/a, при условие че a не е равно на нула.
ДЕКОДИРАНЕ НА ТЕКСТ:
Нека разгледаме решаването на уравненията tg x = 3 и tg x = - 3. Решавайки графично първото уравнение, виждаме, че графиките на функциите y = tg x и y = 3 имат безкрайно много пресечни точки, чиито абциси записваме във формата
x = x 1 + πk, където x 1 е абсцисата на пресечната точка на правата линия y = 3 с главния клон на тангентоида (фиг. 1), за който е измислено обозначението
арктан 3 (арктангенс от три).
Как да разбираме arctg 3?
Това е число, чийто тангенс е 3 и това число принадлежи на интервала (- ;). Тогава всички корени на уравнението tg x = 3 могат да бъдат записани по формулата x = arctan 3+πk.
По същия начин решението на уравнението tg x = - 3 може да бъде записано във формата x = x 2 + πk, където x 2 е абсцисата на пресечната точка на правата линия y = - 3 с главния клон на тангентоид (фиг. 1), за който обозначението arctg(- 3) (арктангенс минус три). Тогава всички корени на уравнението могат да бъдат записани по формулата: x = arctan(-3)+ πk. Фигурата показва, че arctg(- 3)= - arctg 3.
Нека формулираме определението за арктангенс. Арктангенс a е число от интервала (-;), чийто тангенс е равен на a.
Често се използва равенството: arctg(-a) = -arctg a, което е валидно за всяко a.
Познавайки дефиницията на арктангенса, можем да направим общо заключение за решението на уравнението
tg x= a: уравнението tg x = a има решение x = arctan a + πk.
Нека да разгледаме примерите.
ПРИМЕР 1. Изчислете арктан.
Решение. Нека arctg = x, тогава tgх = и xϵ (- ;). Показване на таблица със стойности Следователно x =, тъй като tg = и ϵ (- ;).
И така, арктан =.
ПРИМЕР 2. Изчислете арктан (-).
Решение. Използвайки равенството arctg(- a) = - arctg a, записваме:
arctg(-) = - arctg. Нека - arctg = x, тогава - tgх = и xϵ (- ;). Следователно x =, тъй като tg = и ϵ (- ;). Показване на таблица със стойности
Това означава - arctg=- tgх= - .
ПРИМЕР 3. Решете уравнението tgх = 1.
1. Запишете формулата на решението: x = arctan 1 + πk.
2. Намерете стойността на аркутангенса
тъй като tg = . Показване на таблица със стойности
Така че arctan1= .
3. Поставете намерената стойност във формулата на решението:
ПРИМЕР 4. Решете уравнението tgх = - 4.1 (тангенс х е равен на минус четири точка едно).
Решение. Нека напишем формулата на решението: x = arctan (- 4,1) + πk.
Не можем да изчислим стойността на аркутангенса, така че ще оставим решението на уравнението в получения му вид.
ПРИМЕР 5. Решете неравенството tgх 1.
Решение. Ще го решим графично.
- Нека построим допирателна
y = tgx и права линия y = 1 (фиг. 2). Те се пресичат в точки като x = + πk.
2. Нека изберем интервала на оста x, в който главният клон на тангентоида се намира над правата y = 1, тъй като по условие tgх 1. Това е интервалът (;).
3. Използваме периодичността на функцията.
Свойство 2. y=tg x е периодична функция с основен период π.
Като вземем предвид периодичността на функцията y = tgх, записваме отговора:
(;). Отговорът може да се запише като двойно неравенство:
Нека преминем към уравнението ctg x = a. Нека представим графична илюстрация на решението на уравнението за положително и отрицателно a (фиг. 3).
Графики на функции y = ctg x и y = a и също
y=ctg x и y=-a
имат безкрайно много общи точки, чиито абциси изглеждат така:
x = x 1 +, където x 1 е абсцисата на пресечната точка на правата линия y = a с главния клон на тангентоида и
x 1 = arcctg a;
x = x 2 +, където x 2 е абсцисата на пресечната точка на правата
y = - a с главния клон на тангентоида и x 2 = arcсtg (- a).
Обърнете внимание, че x 2 = π - x 1. И така, нека запишем едно важно равенство:
arcсtg (-a) = π - arcсtg а.
Нека формулираме определението: аркотангенс a е число от интервала (0;π), чийто котангенс е равен на a.
Решението на уравнението ctg x = a се записва във формата: x = arcctg a + .
Моля, обърнете внимание, че уравнението ctg x = a може да се преобразува във формата
tg x = , освен когато a = 0.
В този урок ще продължим да изучаваме арктангенса и ще решаваме уравнения от вида tg x = a за всяко a. В началото на урока ще решим уравнение с таблична стойност и ще илюстрираме решението върху графика, а след това върху кръг. След това решаваме уравнението tgx = a в общ вид и извеждаме общата формула за отговора. Нека илюстрираме изчисленията върху графика и кръг и разгледаме различните форми на отговора. В края на урока ще решим няколко задачи с решения, илюстрирани върху графика и кръг.
Тема: Тригонометрични уравнения
Урок: Арктангенс и решаване на уравнението tgx=a (продължение)
1. Тема на урока, въведение
В този урок ще разгледаме решаването на уравнението за всяко реално число
2. Решение на уравнението tgx=√3
Задача 1. Решете уравнението
Нека намерим решението с помощта на функционални графики 
(Фиг. 1).
Да разгледаме интервала.На този интервал функцията е монотонна, което означава, че се постига само за една стойност на функцията.
Отговор: 
Нека решим същото уравнение с помощта на числовата окръжност (фиг. 2).
Отговор: 
3. Решение на уравнението tgx=a в общ вид
Нека решим уравнението в общ вид (фиг. 3).
На интервала уравнението има единствено решение 
Най-малък положителен период
Нека илюстрираме върху числовия кръг (фиг. 4).
4. Решаване на проблеми
Задача 2. Решете уравнението
Нека променим променливата
Задача 3. Решете системата:
Решение (фиг. 5):
В даден момент стойността е следователно решението на системата е само точката
Отговор: 
Задача 4. Решете уравнението 
Нека решим с помощта на метода за промяна на променлива:
Задача 5. Намерете броя на решенията на уравнението на интервала 
Нека решим задачата с помощта на графика (фиг. 6).
Уравнението има три решения на даден интервал.
Нека го илюстрираме върху числова окръжност (фиг. 7), въпреки че не е толкова ясно, колкото на графиката.
Отговор: Три решения.
5. Заключение, заключение
Решихме уравнението за всяко реално, използвайки концепцията за арктангенс. В следващия урок ще въведем понятието арктангенс.
Библиография
1. Алгебра и начало на анализа, 10 клас (в две части). Учебник за общообразователни институции (ниво на профил), изд. А. Г. Мордкович. -М .: Мнемозина, 2009.
2. Алгебра и начало на анализа, 10 клас (в две части). Проблемна книга за образователни институции (ниво на профил), изд. А. Г. Мордкович. -М .: Мнемозина, 2007.
3. Виленкин Н. Я., Ивашев-Мусатов О. С., Шварцбурд С. И. Алгебра и математически анализ за 10 клас (учебник за ученици от училища и класове с разширено изучаване на математика) - М.: Просвещение, 1996.
4. Галицки М. Л., Мошкович М. М., Шварцбурд С. И. Задълбочено изучаване на алгебра и математически анализ.- М.: Просвещение, 1997.
5. Колекция от задачи по математика за кандидати за висши учебни заведения (под редакцията на М. И. Сканави) - М.: Висше училище, 1992 г.
6. Мерзляк А.Г., Полонски В.Б., Якир М.С. Алгебричен симулатор.-К .: A.S.K., 1997.
7. Саакян С. М., Голдман А. М., Денисов Д. В. Проблеми по алгебра и принципи на анализа (наръчник за ученици от 10-11 клас на общообразователните институции) - М.: Просвещение, 2003.
8. Карп А. П. Колекция от проблеми по алгебра и принципи на анализа: учебник. помощ за 10-11 клас. с дълбочина изучавани Математика.-М .: Образование, 2006.
Домашна работа
Алгебра и начало на анализа, 10 клас (в две части). Проблемна книга за образователни институции (ниво на профил), изд. А. Г. Мордкович. -М .: Мнемозина, 2007.
№№ 22.18, 22.21.
Допълнителни уеб ресурси
1. Математика.
2. Интернет портал Проблеми. ru.
3. Образователен портал за подготовка за изпити.