>> आर्कटिक स्पर्शरेखा और चाप स्पर्शरेखा. समीकरण tgx = a, ctgx = a को हल करना
§ 19. आर्कटेंजेंट और आर्ककोटेंजेंट। समीकरण tgx = a, ctgx = a को हल करना
§16 के उदाहरण 2 में हम तीन समीकरणों को हल करने में असमर्थ थे:
हम उनमें से दो को पहले ही हल कर चुके हैं - पहला § 17 में और दूसरा § 18 में, इसके लिए हमें अवधारणाओं का परिचय देना था आर्क कोसाइनऔर आर्कसीन. तीसरे समीकरण x = 2 पर विचार करें।
फ़ंक्शन y=tg x और y=2 के ग्राफ़ में अनंत रूप से कई सामान्य बिंदु हैं, इन सभी बिंदुओं के भुज का रूप है - स्पर्शरेखा की मुख्य शाखा के साथ सीधी रेखा y = 2 के प्रतिच्छेदन बिंदु का भुज (चित्र 90)। संख्या X1 के लिए, गणितज्ञ पदनाम acrtg 2 लेकर आए (पढ़ें "दो की चाप स्पर्शरेखा")। फिर समीकरण x=2 के सभी मूलों को सूत्र x=arctg 2 + pk द्वारा वर्णित किया जा सकता है।
एजीसीटीजी 2 क्या है? यह संख्या है स्पर्शरेखाजो 2 के बराबर है और जो अंतराल से संबंधित है
आइए अब समीकरण tg x = -2 पर विचार करें।
फ़ंक्शन ग्राफ़ 
अनंत रूप से कई सामान्य बिंदु होते हैं, इन सभी बिंदुओं के भुजाओं का रूप होता है 
स्पर्शरेखा की मुख्य शाखा के साथ सीधी रेखा y = -2 के प्रतिच्छेदन बिंदु का भुज। संख्या x 2 के लिए, गणितज्ञ अंकन arctg(-2) लेकर आए। तब समीकरण x = -2 के सभी मूलों को सूत्र द्वारा वर्णित किया जा सकता है
Acrtg(-2) क्या है? यह एक संख्या है जिसकी स्पर्शरेखा -2 है और जो अंतराल से संबंधित है। कृपया ध्यान दें (चित्र 90 देखें): x 2 = -x 2। इसका मतलब यह है कि arctg(-2) = - arctg 2.
आइए हम सामान्य रूप में आर्कटेंजेंट की परिभाषा तैयार करें।
परिभाषा 1.आर्कटग ए (चाप स्पर्शरेखा ए) अंतराल से एक संख्या है जिसकी स्पर्शरेखा ए के बराबर है। इसलिए,
अब हम समाधान के बारे में एक सामान्य निष्कर्ष निकालने की स्थिति में हैं समीकरण x=a: समीकरण x = a के समाधान हैं
हमने ऊपर देखा कि arctg(-2) = -agctg 2. सामान्य तौर पर, a के किसी भी मान के लिए सूत्र मान्य है
उदाहरण 1।गणना करें: 
उदाहरण 2.समीकरण हल करें:
ए) आइए एक समाधान सूत्र बनाएं:
हम इस मामले में आर्कटेन्जेंट के मूल्य की गणना नहीं कर सकते हैं, इसलिए हम समीकरण के समाधान को प्राप्त फॉर्म में छोड़ देंगे।
उत्तर:
उदाहरण 3.असमानताओं को हल करें: 
निम्नलिखित योजनाओं का पालन करते हुए फॉर्म की असमानताओं को ग्राफिक रूप से हल किया जा सकता है
1) एक स्पर्श रेखा y = tan x और एक सीधी रेखा y = a बनाइए;
2) टेंजीसॉइड की मुख्य शाखा के लिए x अक्ष के अंतराल का चयन करें जिस पर दी गई असमानता संतुष्ट है;
3) फलन y = tan x की आवधिकता को ध्यान में रखते हुए उत्तर को सामान्य रूप में लिखें।
आइए दी गई असमानताओं को हल करने के लिए इस योजना को लागू करें।
: ए) आइए फ़ंक्शन y = tgх और y = 1 के ग्राफ़ बनाएं। स्पर्शरेखा की मुख्य शाखा पर वे बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं
आइए हम x अक्ष के अंतराल का चयन करें जिस पर स्पर्शरेखा की मुख्य शाखा सीधी रेखा y = 1 के नीचे स्थित है - यह अंतराल है
फ़ंक्शन y = tgх की आवधिकता को ध्यान में रखते हुए, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि दी गई असमानता फॉर्म के किसी भी अंतराल पर संतुष्ट है:
ऐसे सभी अंतरालों का मिलन दी गई असमानता के सामान्य समाधान का प्रतिनिधित्व करता है।
उत्तर दूसरे तरीके से लिखा जा सकता है:
बी) आइए फ़ंक्शन y = tan x और y = -2 के ग्राफ़ बनाएं। स्पर्शरेखा की मुख्य शाखा पर (चित्र 92) वे बिंदु x = arctg(-2) पर प्रतिच्छेद करते हैं।
आइए हम x अक्ष के अंतराल का चयन करें जिस पर स्पर्शरेखा की मुख्य शाखा है
tan x=a वाले समीकरण पर विचार करें, जहां a>0। फ़ंक्शन y=ctg x और y =a के ग्राफ़ में अनंत रूप से कई सामान्य बिंदु हैं, इन सभी बिंदुओं के भुज का रूप है: x = x 1 + pk, जहां x 1 =arccstg a प्रतिच्छेदन बिंदु का भुज है स्पर्शरेखा की मुख्य शाखा के साथ सीधी रेखा y=a का (चित्र 93)। इसका मतलब यह है कि आर्कस्टग ए एक संख्या है जिसका कोटैंजेंट ए के बराबर है और जो अंतराल (0, एन) से संबंधित है; इस अंतराल पर फ़ंक्शन y = сtg x के ग्राफ़ की मुख्य शाखा का निर्माण किया जाता है।
चित्र में. 93 समीकरण c1tg = -a के समाधान का एक चित्रमय चित्रण भी प्रस्तुत करता है। फ़ंक्शन y = stg x और y = -а के ग्राफ़ में अनंत रूप से कई सामान्य बिंदु हैं, इन सभी बिंदुओं के भुज का रूप x = x 2 + pk है, जहां x 2 = агсстg (- а) का भुज है मुख्य रेखा स्पर्शरेखा शाखा के साथ रेखा y = -а का प्रतिच्छेदन बिंदु। इसका मतलब यह है कि arcstg(-a) एक संख्या है जिसका कोटैंजेंट -a के बराबर है और जो अंतराल (O, n) से संबंधित है; इस अंतराल पर फ़ंक्शन Y = сtg x के ग्राफ़ की मुख्य शाखा का निर्माण किया गया है।
परिभाषा 2. arccstg a (arc cotangent a) अंतराल (0, n) से एक संख्या है जिसका cotangent a के बराबर है।
इसलिए,
अब हम समीकरण ctg x = a के समाधान के बारे में एक सामान्य निष्कर्ष निकालने में सक्षम हैं: समीकरण ctg x = a के समाधान हैं:
कृपया ध्यान दें (चित्र 93 देखें): x 2 = n-x 1। यह मतलब है कि
उदाहरण 4.गणना करें:
ए) मान लीजिए
समीकरण сtg x=а को लगभग हमेशा रूप में परिवर्तित किया जा सकता है। एक अपवाद समीकरण сtg x =0 है। लेकिन ऐसे में आप इस बात का फायदा उठाकर जा सकते हैं
समीकरण क्योंकि x=0. इस प्रकार, x = a के रूप का समीकरण स्वतंत्र हित का नहीं है।
ए.जी. मोर्दकोविच बीजगणित 10वीं कक्षा
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एक त्रिकोणमितीय फलन (`sin x, cos x, tan x` या `ctg x`) के चिह्न के नीचे एक अज्ञात युक्त समानता को त्रिकोणमितीय समीकरण कहा जाता है, और यह उनके सूत्र हैं जिन पर हम आगे विचार करेंगे।
सबसे सरल समीकरण हैं `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, जहां `x` पाया जाने वाला कोण है, `a` कोई संख्या है। आइए हम उनमें से प्रत्येक के लिए मूल सूत्र लिखें।
1. समीकरण `sin x=a`.
`|a|>1` के लिए इसका कोई समाधान नहीं है।
जब `|ए| \leq 1` में अनंत संख्या में समाधान हैं।
मूल सूत्र: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`
2. समीकरण `cos x=a`
`|a|>1` के लिए - जैसा कि साइन के मामले में होता है, इसका वास्तविक संख्याओं के बीच कोई समाधान नहीं है।
जब `|ए| \leq 1` में अनंत संख्या में समाधान हैं।
मूल सूत्र: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`
ग्राफ़ में साइन और कोसाइन के लिए विशेष मामले। 
3. समीकरण `tg x=a`
`a` के किसी भी मान के लिए अनंत संख्या में समाधान हैं।
मूल सूत्र: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`
4. समीकरण `ctg x=a`
इसके अलावा `ए` के किसी भी मान के लिए अनंत संख्या में समाधान हैं।
मूल सूत्र: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`
तालिका में त्रिकोणमितीय समीकरणों की जड़ों के लिए सूत्र
साइन के लिए: 
कोसाइन के लिए: 
स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के लिए: 
व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन वाले समीकरणों को हल करने के सूत्र:
त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने की विधियाँ
किसी भी त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करने में दो चरण होते हैं:
- इसे सरलतम में बदलने की सहायता से;
- ऊपर लिखे मूल सूत्रों और तालिकाओं का उपयोग करके प्राप्त सरलतम समीकरण को हल करें।
आइए उदाहरणों का उपयोग करके मुख्य समाधान विधियों को देखें।
बीजगणितीय विधि.
इस पद्धति में एक चर को प्रतिस्थापित करना और उसे एक समानता में प्रतिस्थापित करना शामिल है।
उदाहरण। समीकरण को हल करें: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`
`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,
प्रतिस्थापन करें: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, फिर `2y^2-3y+1=0`,
हम मूल पाते हैं: `y_1=1, y_2=1/2`, जिससे दो मामले आते हैं:
1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.
2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.
उत्तर: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`।
गुणनखंडीकरण।
उदाहरण। समीकरण हल करें: `sin x+cos x=1`.
समाधान। आइए समानता के सभी पदों को बाईं ओर ले जाएँ: `sin x+cos x-1=0`। का उपयोग करते हुए, हम बाईं ओर को रूपांतरित और गुणनखंडित करते हैं:
`sin x - 2sin^2 x/2=0`,
`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,
`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,
- `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
- `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
उत्तर: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
एक सजातीय समीकरण में कमी
सबसे पहले, आपको इस त्रिकोणमितीय समीकरण को दो रूपों में से एक में कम करना होगा:
`a syn x+b cos x=0` (पहली डिग्री का सजातीय समीकरण) या `a syn^2 x + b syn x cos x +c cos^2 x=0` (दूसरी डिग्री का सजातीय समीकरण)।
फिर दोनों भागों को पहले मामले के लिए `cos x \ne 0` से विभाजित करें, और दूसरे के लिए `cos^2 x \ne 0` से विभाजित करें। हमें `tg x` के लिए समीकरण मिलते हैं: `a tg x+b=0` और `a tg^2 x + b tg x +c =0`, जिन्हें ज्ञात तरीकों का उपयोग करके हल करने की आवश्यकता है।
उदाहरण। समीकरण हल करें: `2sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.
समाधान। आइए दाएँ पक्ष को `1=sin^2 x+cos^2 x` के रूप में लिखें:
`2 पाप^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,
`2 पाप^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` पाप^2 x — cos^2 x=0`
`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.
यह दूसरी डिग्री का एक सजातीय त्रिकोणमितीय समीकरण है, हम इसके बाएँ और दाएँ पक्षों को `cos^2 x \ne 0` से विभाजित करते हैं, हमें मिलता है:
`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`
`tg^2 x+tg x — 2=0`. आइए प्रतिस्थापन `tg x=t` का परिचय दें, जिसके परिणामस्वरूप `t^2 + t - 2=0` होता है। इस समीकरण की जड़ें `t_1=-2` और `t_2=1` हैं। तब:
- `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
- `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`।
उत्तर। `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.
आधे कोण की ओर बढ़ना
उदाहरण। समीकरण हल करें: `11 पाप x - 2 cos x = 10`।
समाधान। आइए दोहरे कोण सूत्रों को लागू करें, जिसके परिणामस्वरूप: `22 पाप (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 पाप^2 x/2=` `10 पाप^2 x /2 +10 cos^2 x/2`
`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`
ऊपर वर्णित बीजगणितीय विधि को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं:
- `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
- `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`।
उत्तर। `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`।
सहायक कोण का परिचय
त्रिकोणमितीय समीकरण `a syn x + b cos x =c` में, जहां a,b,c गुणांक हैं और x एक चर है, दोनों पक्षों को `sqrt (a^2+b^2)` से विभाजित करें:
`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) syn x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =`\frac c(sqrt (a^2) ) +बी^2))`.
बाईं ओर के गुणांकों में साइन और कोसाइन के गुण हैं, अर्थात् उनके वर्गों का योग 1 के बराबर है और उनके मॉड्यूल 1 से अधिक नहीं हैं। आइए हम उन्हें इस प्रकार निरूपित करें: `\frac a(sqrt (a^2) +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =सी`, फिर:
`cos \varphi पाप x + पाप \varphi cos x =C`।
आइए निम्नलिखित उदाहरण पर करीब से नज़र डालें:
उदाहरण। समीकरण हल करें: `3sin x+4 cos x=2`.
समाधान। समानता के दोनों पक्षों को `sqrt (3^2+4^2)` से विभाजित करें, हमें मिलता है:
`\frac (3 पाप x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`
`3/5 पाप x+4/5 cos x=2/5`.
आइए निरूपित करें `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. चूँकि `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, तो हम `\varphi=arcsin 4/5` को सहायक कोण के रूप में लेते हैं। फिर हम अपनी समानता को इस रूप में लिखते हैं:
`cos \varphi syn x+sin \varphi cos x=2/5`
ज्या के कोणों के योग के सूत्र को लागू करते हुए, हम अपनी समानता को निम्नलिखित रूप में लिखते हैं:
`sin (x+\varphi)=2/5`,
`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,
`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.
उत्तर। `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.
भिन्नात्मक तर्कसंगत त्रिकोणमितीय समीकरण
ये भिन्नों के साथ समानताएं हैं जिनके अंश और हर में त्रिकोणमितीय कार्य होते हैं।
उदाहरण। प्रश्न हल करें। `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.
समाधान। समानता के दाहिने पक्ष को `(1+cos x)` से गुणा और विभाजित करें। परिणामस्वरूप हमें मिलता है:
`\frac ((sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)=`\frac (sin^2 x)(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`
`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`
यह मानते हुए कि हर शून्य के बराबर नहीं हो सकता, हमें `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z` मिलता है।
आइए भिन्न के अंश को शून्य के बराबर करें: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. फिर `sin x=0` या `1-sin x=0`.
- `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
- `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`।
यह देखते हुए कि ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, समाधान हैं `x=2\pi n, n \in Z` और `x=\pi /2+2\pi n` , `n \in Z`.
उत्तर। `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`।
त्रिकोणमिति, और विशेष रूप से त्रिकोणमितीय समीकरण, ज्यामिति, भौतिकी और इंजीनियरिंग के लगभग सभी क्षेत्रों में उपयोग किए जाते हैं। पढ़ाई 10वीं कक्षा में शुरू होती है, एकीकृत राज्य परीक्षा के लिए हमेशा कार्य होते हैं, इसलिए त्रिकोणमितीय समीकरणों के सभी सूत्रों को याद करने का प्रयास करें - वे निश्चित रूप से आपके लिए उपयोगी होंगे!
हालाँकि, आपको उन्हें याद रखने की भी आवश्यकता नहीं है, मुख्य बात सार को समझना और उसे प्राप्त करने में सक्षम होना है। यह उतना कठिन नहीं है जितना लगता है। वीडियो देखकर आप खुद ही देख लीजिए.
बिंदु A पर केन्द्रित.
α रेडियन में व्यक्त कोण है।
स्पर्शरेखा ( टैन α) एक त्रिकोणमितीय फलन है जो एक समकोण त्रिभुज के कर्ण और पैर के बीच के कोण α पर निर्भर करता है, जो विपरीत पैर की लंबाई के अनुपात के बराबर होता है |BC| आसन्न पैर की लंबाई तक |AB| .
कोटैंजेंट ( सीटीजी α) एक त्रिकोणमितीय फलन है जो एक समकोण त्रिभुज के कर्ण और पैर के बीच के कोण α पर निर्भर करता है, जो आसन्न पैर की लंबाई के अनुपात के बराबर है |AB| विपरीत पैर की लंबाई तक |बीसी| .
स्पर्शरेखा
कहाँ एन- साबुत।
पश्चिमी साहित्य में, स्पर्शरेखा को इस प्रकार दर्शाया गया है:
.
;
;
.
स्पर्शरेखा फलन का ग्राफ़, y = tan x
कोटैंजेंट
कहाँ एन- साबुत।
पश्चिमी साहित्य में, कोटैंजेंट को इस प्रकार दर्शाया गया है:
.
निम्नलिखित नोटेशन भी स्वीकार किए जाते हैं:
;
;
.
कोटैंजेंट फ़ंक्शन का ग्राफ़, y = ctg x
स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के गुण
दौरा
फ़ंक्शंस y = टीजी एक्सऔर y = सीटीजी एक्सअवधि π के साथ आवर्ती हैं।
समानता
स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट कार्य विषम हैं।
परिभाषा और मूल्यों के क्षेत्र, बढ़ते, घटते
स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट फलन अपनी परिभाषा के क्षेत्र में निरंतर हैं (निरंतरता का प्रमाण देखें)। स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के मुख्य गुण तालिका में प्रस्तुत किए गए हैं ( एन- साबुत)।
| य = टीजी एक्स | य = सीटीजी एक्स | |
| दायरा और निरंतरता | ||
| मूल्यों की श्रृंखला | -∞ < y < +∞ | -∞ < y < +∞ |
| की बढ़ती | - | |
| अवरोही | - | |
| चरम | - | - |
| शून्य, y = 0 | ||
| कोटि अक्ष के साथ बिंदुओं को अवरोधित करें, x = 0 | य = 0 | - |
सूत्रों
साइन और कोसाइन का उपयोग करते हुए अभिव्यक्तियाँ
;
;
;
;
;
योग और अंतर से स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के सूत्र
उदाहरण के लिए, शेष सूत्र प्राप्त करना आसान है
स्पर्शरेखाओं का गुणनफल
स्पर्शरेखाओं के योग और अंतर का सूत्र
यह तालिका तर्क के कुछ मूल्यों के लिए स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के मान प्रस्तुत करती है। 
सम्मिश्र संख्याओं का उपयोग करते हुए व्यंजक
अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों के माध्यम से अभिव्यक्तियाँ
;
;
संजात
; .
.
फ़ंक्शन के चर x के संबंध में nवें क्रम का व्युत्पन्न:
.
स्पर्शरेखा के लिए सूत्र व्युत्पन्न करना > > > ; कोटैंजेंट के लिए > > >
अभिन्न
शृंखला विस्तार
x की घातों में स्पर्शरेखा का विस्तार प्राप्त करने के लिए, आपको कार्यों के लिए घात श्रृंखला में विस्तार के कई पद लेने होंगे पाप एक्सऔर क्योंकि xऔर इन बहुपदों को एक दूसरे से विभाजित करें। इससे निम्नलिखित सूत्र तैयार होते हैं।
पर ।
पर ।
कहाँ बटालियन- बर्नौली संख्याएँ। वे या तो पुनरावृत्ति संबंध से निर्धारित होते हैं:
;
;
कहाँ ।
या लाप्लास के सूत्र के अनुसार: 
उलटा कार्य
स्पर्शज्या और कोटैंजेंट के व्युत्क्रम फलन क्रमशः चापस्पर्शज्या और चापस्पर्शज्या हैं।
आर्कटिक, आर्कटेंजेंट
, कहाँ एन- साबुत।
आर्ककोटैंजेंट, आर्कसीटीजी
, कहाँ एन- साबुत।
सन्दर्भ:
में। ब्रोंस्टीन, के.ए. सेमेन्डयेव, इंजीनियरों और कॉलेज के छात्रों के लिए गणित की पुस्तिका, "लैन", 2009।
जी कॉर्न, वैज्ञानिकों और इंजीनियरों के लिए गणित की पुस्तिका, 2012।
इससे पहले कार्यक्रम में, छात्रों ने त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने का विचार प्राप्त किया, आर्क कोसाइन और आर्क साइन की अवधारणाओं से परिचित हुए, और समीकरणों कॉस टी = ए और पाप टी = ए के समाधान के उदाहरणों से परिचित हुए। इस वीडियो ट्यूटोरियल में हम समीकरण tg x = a और ctg x = a को हल करने पर ध्यान देंगे।
इस विषय का अध्ययन शुरू करने के लिए, समीकरण tg x = 3 और tg x = - 3 पर विचार करें। यदि हम एक ग्राफ का उपयोग करके समीकरण tg x = 3 को हल करते हैं, तो हम देखेंगे कि फ़ंक्शन y = tg x और के ग्राफ़ का प्रतिच्छेदन y = 3 में अनंत संख्या में समाधान हैं, जहां x = x 1 + πk। मान x 1 फ़ंक्शन y = tan x और y = 3 के ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु का x निर्देशांक है। लेखक आर्कटेंजेंट की अवधारणा का परिचय देता है: आर्कटैन 3 एक संख्या है जिसका tan 3 के बराबर है, और यह संख्या -π/2 से π/2 तक के अंतराल से संबंधित है। आर्कटैन्जेंट की अवधारणा का उपयोग करते हुए, समीकरण tan x = 3 का समाधान x = arctan 3 + πk के रूप में लिखा जा सकता है।
सादृश्य से, समीकरण tg x = - 3 हल हो गया है। फ़ंक्शन y = tg x और y = - 3 के निर्मित ग्राफ़ से, यह स्पष्ट है कि ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु, और इसलिए समीकरणों के समाधान, होंगे x = x 2 + πk हो। आर्कटैन्जेंट का उपयोग करके, समाधान को x = आर्कटैन (- 3) + πk के रूप में लिखा जा सकता है। अगले चित्र में हम देखते हैं कि आर्कटग (- 3) = - आर्कटग 3।
आर्कटेंजेंट की सामान्य परिभाषा इस प्रकार है: आर्कटेंजेंट ए -π/2 से π/2 के अंतराल की एक संख्या है जिसका स्पर्शरेखा ए के बराबर है। तब समीकरण tan x = a का हल x = arctan a + πk है।
लेखक उदाहरण देता है 1. अभिव्यक्ति आर्कटैन का समाधान खोजें। आइए नोटेशन का परिचय दें: किसी संख्या का आर्कटेन्जेंट x के बराबर है, तो tg x दिए गए नंबर के बराबर होगा, जहां x -π से सेगमेंट से संबंधित है /2 से π/2. पिछले विषयों के उदाहरणों की तरह, हम मूल्यों की एक तालिका का उपयोग करेंगे। इस तालिका के अनुसार, इस संख्या का स्पर्शरेखा मान x = π/3 से मेल खाता है। आइए हम समीकरण का हल लिखें: किसी दी गई संख्या का चापस्पर्शरेखा π/3 के बराबर है, π/3 भी -π/2 से π/2 के अंतराल से संबंधित है।
उदाहरण 2 - एक ऋणात्मक संख्या की चापस्पर्शरेखा की गणना करें। समानता arctg (- a) = - arctg a का उपयोग करके, हम x का मान दर्ज करते हैं। उदाहरण 2 के समान, हम x का मान लिखते हैं, जो -π/2 से π/2 तक के खंड से संबंधित है। मानों की तालिका से हम पाते हैं कि x = π/3, इसलिए, -- tg x = - π/3। समीकरण का उत्तर है - π/3.
आइए उदाहरण 3 पर विचार करें। समीकरण tg x = 1 को हल करें। लिखें कि x = arctan 1 + πk। तालिका में, मान tg 1, मान x = π/4 से मेल खाता है, इसलिए, arctg 1 = π/4। आइए इस मान को मूल सूत्र x में प्रतिस्थापित करें और उत्तर x = π/4 + πk लिखें।
उदाहरण 4: tan x = - 4.1 की गणना करें। इस स्थिति में x = आर्कटैन (- 4.1) + πk। क्योंकि इस मामले में आर्कटग का मान ज्ञात करना संभव नहीं है; उत्तर x = आर्कटग (- 4.1) + πk जैसा दिखेगा।
उदाहरण 5 में, असमानता tg x > 1 के समाधान पर विचार किया गया है। इसे हल करने के लिए, हम फ़ंक्शन y = tan x और y = 1 के ग्राफ़ बनाते हैं। जैसा कि चित्र में देखा जा सकता है, ये ग्राफ़ बिंदु x = पर प्रतिच्छेद करते हैं। π/4 + πk. क्योंकि इस मामले में tg x > 1, ग्राफ़ पर हम स्पर्शरेखा क्षेत्र को हाइलाइट करते हैं, जो ग्राफ़ y = 1 के ऊपर स्थित है, जहां x π/4 से π/2 तक के अंतराल से संबंधित है। हम उत्तर को π/4 + πk के रूप में लिखते हैं< x < π/2 + πk.
इसके बाद, समीकरण cot x = a पर विचार करें। चित्र फ़ंक्शन y = cot x, y = a, y = - a के ग्राफ़ दिखाता है, जिसमें कई प्रतिच्छेदन बिंदु हैं। समाधानों को x = x 1 + πk के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ x 1 = arcctg a और x = x 2 + πk, जहाँ x 2 = arcctg (- a)। यह नोट किया गया है कि x 2 = π - x 1। इसका तात्पर्य समानता arcctg (- a) = π - arcctg a से है। आर्क कोटैंजेंट की परिभाषा निम्नलिखित है: आर्क कोटैंजेंट ए 0 से π के अंतराल की एक संख्या है जिसका कोटैंजेंट ए के बराबर है। समीकरण сtg x = a का हल इस प्रकार लिखा गया है: x = arcctg a + πk।
वीडियो पाठ के अंत में, एक और महत्वपूर्ण निष्कर्ष निकाला गया है - अभिव्यक्ति ctg x = a को tg x = 1/a के रूप में लिखा जा सकता है, बशर्ते कि a शून्य के बराबर न हो।
पाठ डिकोडिंग:
आइए समीकरण tg x = 3 और tg x = - 3 को हल करने पर विचार करें। पहले समीकरण को ग्राफ़िक रूप से हल करने पर, हम देखते हैं कि फ़ंक्शन y = tg x और y = 3 के ग्राफ़ में अनंत रूप से कई प्रतिच्छेदन बिंदु हैं, जिनमें से भुज हम लिखते हैं प्रपत्र में
x = x 1 + πk, जहां x 1 स्पर्शरेखा की मुख्य शाखा के साथ सीधी रेखा y = 3 के प्रतिच्छेदन बिंदु का भुज है (चित्र 1), जिसके लिए पदनाम का आविष्कार किया गया था
आर्कटान 3 (तीन की चाप स्पर्शरेखा)।
आर्कटग 3 को कैसे समझें?
यह एक संख्या है जिसकी स्पर्शरेखा 3 है और यह संख्या अंतराल (- ;) से संबंधित है। फिर समीकरण tg x = 3 के सभी मूल सूत्र x = arctan 3+πk द्वारा लिखे जा सकते हैं।
इसी प्रकार, समीकरण tg x = - 3 का समाधान x = x 2 + πk के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ x 2, सीधी रेखा y = - 3 की मुख्य शाखा के प्रतिच्छेदन बिंदु का भुज है। स्पर्शरेखा (चित्र 1), जिसके लिए पदनाम arctg(- 3) (चाप स्पर्शरेखा शून्य से तीन)। फिर समीकरण के सभी मूल सूत्र द्वारा लिखे जा सकते हैं: x = arctan(-3)+ πk. चित्र से पता चलता है कि arctg(- 3)= - arctg 3.
आइए हम आर्कटेंजेंट की परिभाषा तैयार करें। चापस्पर्शरेखा a अंतराल (-;) से एक संख्या है जिसकी स्पर्शरेखा a के बराबर है।
समानता का प्रयोग अक्सर किया जाता है: arctg(-a) = -arctg a, जो किसी भी a के लिए मान्य है।
आर्कटेंजेंट की परिभाषा को जानकर, हम समीकरण के समाधान के बारे में एक सामान्य निष्कर्ष निकाल सकते हैं
tg x= a: समीकरण tg x = a का हल x = arctan a + πk है।
आइए उदाहरण देखें.
उदाहरण 1. आर्कटान की गणना करें।
समाधान। मान लीजिए arctg = x, फिर tgх = और xϵ (- ;)। मानों की तालिका दिखाएँ इसलिए, x =, चूँकि tg = और ϵ (- ;)।
तो, आर्कटान =।
उदाहरण 2. आर्कटैन (-) की गणना करें।
समाधान। समानता arctg(- a) = - arctg a का प्रयोग करते हुए, हम लिखते हैं:
आर्कटीजी(-) = - आर्कटीजी। मान लीजिए - arctg = x, फिर - tgх = और xϵ (- ;)। इसलिए, x =, चूँकि tg = और ϵ (- ;)। मानों की तालिका दिखाएँ
इसका मतलब है - arctg=- tgх= - .
उदाहरण 3. समीकरण tgх = 1 को हल करें।
1. समाधान सूत्र लिखें: x = आर्कटान 1 + πk।
2. चापस्पर्शज्या का मान ज्ञात कीजिए
चूँकि tg = . मानों की तालिका दिखाएँ
तो arctan1= .
3. पाए गए मान को समाधान सूत्र में डालें:
उदाहरण 4. समीकरण tgх = - 4.1 को हल करें (स्पर्शरेखा x शून्य से चार बिंदु एक के बराबर है)।
समाधान। आइए समाधान सूत्र लिखें: x = आर्कटान (- 4.1) + πk।
हम चापस्पर्शज्या के मान की गणना नहीं कर सकते, इसलिए हम समीकरण के समाधान को उसके प्राप्त रूप में ही छोड़ देंगे।
उदाहरण 5. असमानता tgх 1 को हल करें।
समाधान। हम इसे ग्राफ़िक तरीके से हल करेंगे.
- आइए एक स्पर्श रेखा बनाएं
y = tgx और सीधी रेखा y = 1 (चित्र 2)। वे x = + πk जैसे बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं।
2. आइए x-अक्ष के अंतराल का चयन करें जिसमें स्पर्शरेखा की मुख्य शाखा सीधी रेखा y = 1 के ऊपर स्थित है, क्योंकि शर्त tgх 1 के अनुसार। यह अंतराल (;) है।
3. हम फ़ंक्शन की आवधिकता का उपयोग करते हैं।
संपत्ति 2. y=tg x मुख्य अवधि π के साथ एक आवधिक कार्य है।
फ़ंक्शन y = tgх की आवधिकता को ध्यान में रखते हुए, हम उत्तर लिखते हैं:
(;). उत्तर को दोहरी असमानता के रूप में लिखा जा सकता है:
आइए समीकरण ctg x = a पर आगे बढ़ें। आइए हम सकारात्मक और नकारात्मक ए के समीकरण के समाधान का एक चित्रमय चित्रण प्रस्तुत करें (चित्र 3)।
फ़ंक्शन के ग्राफ़ y = ctg x और y = a और भी
y=ctg x और y=-a
इसमें अनंत रूप से कई सामान्य बिंदु हैं, जिनके भुज इस प्रकार दिखते हैं:
x = x 1 +, जहां x 1 स्पर्शरेखा की मुख्य शाखा के साथ सीधी रेखा y = a के प्रतिच्छेदन बिंदु का भुज है और
x 1 = आर्कसीटीजी ए;
x = x 2 +, जहां x 2 रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु का भुज है
y = - a स्पर्शरेखा की मुख्य शाखा के साथ और x 2 = arcсtg (- a)।
ध्यान दें कि x 2 = π - x 1. तो, आइए एक महत्वपूर्ण समानता लिखें:
आर्कसीटीजी (-ए) = π - आर्कसीटीजी ए।
आइए परिभाषा तैयार करें: चाप कोटैंजेंट ए अंतराल (0;π) से एक संख्या है जिसका कोटैंजेंट ए के बराबर है।
समीकरण ctg x = a का हल इस रूप में लिखा गया है: x = arcctg a +।
कृपया ध्यान दें कि समीकरण ctg x = a को रूप में बदला जा सकता है
tg x =, सिवाय इसके कि जब a = 0 हो।
इस पाठ में हम आर्कटेंजेंट का अध्ययन करना जारी रखेंगे और किसी भी ए के लिए टीजी एक्स = ए के रूप के समीकरणों को हल करेंगे। पाठ की शुरुआत में, हम सारणीबद्ध मान के साथ एक समीकरण को हल करेंगे और समाधान को एक ग्राफ़ पर और फिर एक वृत्त पर चित्रित करेंगे। इसके बाद, हम समीकरण tgx = a को सामान्य रूप में हल करते हैं और उत्तर के लिए सामान्य सूत्र प्राप्त करते हैं। आइए एक ग्राफ़ और एक वृत्त पर गणनाओं को चित्रित करें और उत्तर के विभिन्न रूपों पर विचार करें। पाठ के अंत में, हम एक ग्राफ़ और एक वृत्त पर दर्शाए गए समाधानों के साथ कई समस्याओं का समाधान करेंगे।
विषय: त्रिकोणमितीय समीकरण
पाठ: आर्कटिक स्पर्शरेखा और समीकरण tgx=a को हल करना (जारी)
1. पाठ का विषय, परिचय
इस पाठ में हम किसी भी वास्तविक के समीकरण को हल करने पर ध्यान देंगे
2. समीकरण tgx=√3 का हल
समस्या 1. समीकरण हल करें
आइए फ़ंक्शन ग्राफ़ का उपयोग करके समाधान ढूंढें 
(चित्र .1)।
आइए अंतराल पर विचार करें। इस अंतराल पर फ़ंक्शन मोनोटोनिक है, जिसका अर्थ है कि यह फ़ंक्शन के केवल एक मान के लिए प्राप्त किया जाता है।
उत्तर: 
आइए संख्या वृत्त का उपयोग करके उसी समीकरण को हल करें (चित्र 2)।
उत्तर: 
3. समीकरण tgx=a का सामान्य रूप में समाधान
आइए समीकरण को सामान्य रूप में हल करें (चित्र 3)।
अंतराल पर समीकरण का एक अद्वितीय समाधान होता है 
सबसे छोटी सकारात्मक अवधि
आइए हम संख्या वृत्त पर चित्रण करें (चित्र 4)।
4. समस्या समाधान
समस्या 2. समीकरण हल करें
आइए वेरिएबल बदलें
समस्या 3. सिस्टम को हल करें:
समाधान (चित्र 5):
एक बिंदु पर, मूल्य इसलिए सिस्टम का समाधान केवल बिंदु है
उत्तर: 
समस्या 4. समीकरण हल करें 
आइए परिवर्तनीय परिवर्तन विधि का उपयोग करके हल करें:
समस्या 5. अंतराल पर समीकरण के समाधानों की संख्या ज्ञात कीजिए 
आइए एक ग्राफ़ का उपयोग करके समस्या को हल करें (चित्र 6)।
किसी दिए गए अंतराल पर समीकरण के तीन समाधान हैं।
आइए इसे एक संख्या वृत्त (चित्र 7) पर चित्रित करें, हालाँकि यह ग्राफ़ पर उतना स्पष्ट नहीं है।
उत्तर: तीन समाधान.
5. निष्कर्ष, निष्कर्ष
हमने आर्कटेंजेंट की अवधारणा का उपयोग करके किसी भी वास्तविक के लिए समीकरण हल किया। अगले पाठ में हम चाप स्पर्शरेखा की अवधारणा का परिचय देंगे।
ग्रन्थसूची
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अतिरिक्त वेब संसाधन
1. गणित.
2. इंटरनेट पोर्टल समस्याएँ। आरयू.
3. परीक्षा की तैयारी के लिए शैक्षिक पोर्टल।