Pole reálnych čísel má vlastnosť poriadku (položka 6, s. 35): pre ľubovoľné čísla a, b platí len jeden z troch vzťahov: alebo . V tomto prípade označenie a > b znamená, že rozdiel je kladný a rozdiel v zápise je záporný. Na rozdiel od oblasti reálnych čísel nie je oblasť komplexných čísel usporiadaná: pre komplexné čísla nie sú pojmy „väčšie ako“ a „menšie ako“ definované; preto sa táto kapitola zaoberá iba reálnymi číslami.
Vzťahy nazývame nerovnice, čísla a a b sú členmi (alebo časťami) nerovnice, znamienka > (väčšie ako) a Nerovnice a > b a c > d sa nazývajú nerovnice rovnakého (alebo rovnakého) významu; nerovnosti a > b a c Z definície nerovnosti hneď vyplýva, že
1) akékoľvek kladné číslo väčšie ako nula;
2) akékoľvek záporné číslo menšie ako nula;
3) každé kladné číslo je väčšie ako akékoľvek záporné číslo;
4) z dvoch záporných čísel, to, ktorého absolútna hodnota je menšia, je väčšie.
Všetky tieto tvrdenia pripúšťajú jednoduchú geometrickú interpretáciu. Nechajte kladný smer číselnej osi ísť vpravo od počiatočného bodu; potom, bez ohľadu na znamienka čísel, väčšie z nich je reprezentované bodom ležiacim napravo od bodu reprezentujúceho menšie číslo.
Nerovnosti majú nasledujúce hlavné vlastnosti.
1. Asymetria (nezvratnosť): ak , potom , a naopak.
V skutočnosti, ak je rozdiel kladný, potom je rozdiel záporný. Hovorí sa, že keď sa preusporiadajú pojmy nerovnosti, význam nerovnosti sa musí zmeniť na opačný.
2. Prechodnosť: ak , tak . V skutočnosti, pozitívnosť rozdielov implikuje pozitívnosť
Okrem znakov nerovnosti sa používajú aj znaky nerovnosti a. Definujú sa takto: záznam znamená, že buď alebo Preto môžete napríklad písať a tiež. Nerovnosti napísané znakmi sa zvyčajne nazývajú prísne nerovnosti a nerovnosti napísané znakmi sa nazývajú neprísne nerovnosti. Podľa toho sa samotné znaky nazývajú znakmi prísnej alebo neprísnej nerovnosti. Vlastnosti 1 a 2 diskutované vyššie platia aj pre neprísne nerovnosti.
Zvážte teraz operácie, ktoré možno vykonať na jednej alebo viacerých nerovnostiach.
3. Od pridania rovnakého čísla k členom nerovnice sa význam nerovnice nemení.
Dôkaz. Nech je daná nerovnosť a ľubovoľné číslo. Podľa definície je rozdiel pozitívny. K tomuto číslu pridáme dve opačné čísla, z ktorých sa nezmení, t.j.
Túto rovnosť možno prepísať takto:
Z toho vyplýva, že rozdiel je pozitívny, teda ten
a to sa malo dokázať.
To je základ pre možnosť zošikmenia ľubovoľného člena nerovnosti z jednej jej časti na druhú s opačným znamienkom. Napríklad z nerovnosti
z toho vyplýva
4. Pri vynásobení členov nerovnosti rovnakým kladným číslom sa význam nerovnosti nemení; keď sa členy nerovnosti vynásobia rovnakým záporným číslom, význam nerovnosti sa zmení na opačný.
Dôkaz. Nech teda Ak potom, pretože súčin kladných čísel je kladný. Rozšírením zátvoriek na ľavej strane poslednej nerovnosti získame , t.j. Prípad sa posudzuje podobným spôsobom.
Presne ten istý záver možno vyvodiť z delenia častí nerovnosti nejakým nenulovým číslom, keďže delenie číslom je ekvivalentné násobeniu číslom a čísla majú rovnaké znamienka.
5. Nech sú podmienky nerovnosti kladné. Potom, keď sú jej členovia pozdvihnutí na rovnakú pozitívnu silu, význam nerovnosti sa nezmení.
Dôkaz. Nech v tomto prípade podľa vlastnosti tranzitivity, a . Potom, v dôsledku monotónneho nárastu výkonovej funkcie at a pozitívne, máme
Najmä, ak kde je prirodzené číslo, dostaneme
t.j. pri extrakcii koreňa z oboch častí nerovnosti kladnými pojmami sa význam nerovnosti nemení.
Nech sú podmienky nerovnosti záporné. Potom je ľahké dokázať, že keď sa jej členovia povýšia na nepárnu prirodzenú mocnosť, význam nerovnosti sa nemení, a keď sa povýši na párnu prirodzenú mocnosť, zmení sa na opačný. Z nerovností so zápornými pojmami môžete tiež extrahovať koreň nepárneho stupňa.
Ďalej nech majú členy nerovnosti rôzne znamienka. Potom, keď sa zvýši na nepárnu mocninu, význam nerovnosti sa nemení, a keď sa zvýši na párnu mocninu, nemožno vo všeobecnom prípade povedať nič konkrétne o význame výslednej nerovnosti. V skutočnosti, keď sa číslo zvýši na nepárnu mocninu, znamienko čísla sa zachová, a preto sa význam nerovnosti nemení. Pri zvýšení nerovnosti na rovnomernú moc sa vytvorí nerovnosť s kladnými pojmami a jej význam bude závisieť od absolútnych hodnôt pojmov pôvodnej nerovnosti, nerovnosti rovnakého významu ako pôvodná, nerovnosti opačný význam a dokonca rovnosť!
Všetko, čo sa hovorí o zvyšovaní nerovností na mocninu, je užitočné skontrolovať na nasledujúcom príklade.
Príklad 1. Zvýšte nasledujúce nerovnosti na vyznačenú mocninu, pričom v prípade potreby zmeňte znamienko nerovnosti na opačné alebo na znamienko rovnosti.
a) 3 > 2 na 4; b) na mocninu 3;
c) na mocninu 3; d) na mocninu 2;
e) na mocninu 5; e) na mocninu 4;
g) 2 > -3 na mocninu 2; h) na mocninu 2,
6. Od nerovnosti môžete prejsť na nerovnosť medzi, ak sú členy nerovnosti kladné alebo záporné, potom medzi ich prevrátenými hodnotami existuje nerovnosť opačného významu:
Dôkaz. Ak a a b sú rovnakého znamienka, ich súčin je kladný. Rozdeľte podľa nerovnosti
t.j., ktoré bolo potrebné získať.
Ak majú členy nerovnosti opačné znamienka, potom nerovnosť medzi ich prevrátenými hodnotami má rovnaký význam, pretože znamienka prevrátených hodnôt sú rovnaké ako znamienka samotných veličín.
Príklad 2. Skontrolujte poslednú vlastnosť 6 na nasledujúcich nerovnostiach:
7. Logaritmus nerovníc je možné vykonať len v prípade, ak sú členy nerovníc kladné (záporné čísla a nula nemajú logaritmy).
Nechať byť. Potom kedy bude
a kedy bude
Správnosť týchto tvrdení je založená na monotónnosti logaritmickej funkcie, ktorá sa zvyšuje, ak je základ, a klesá, ak
Takže pri logaritmovaní nerovnosti pozostávajúcej z kladných členov so základom väčším ako jedna vznikne nerovnosť rovnakého významu, ako má daný, a pri logaritmovaní s kladným základom menším ako jedna nerovnosť vzniká opačný význam.
8. Ak , tak ak , ale , tak .
To bezprostredne vyplýva z vlastností monotónnosti exponenciálnej funkcie (§ 42), ktorá sa zvyšuje v prípade a klesá, ak
Pri pridávaní nerovností rovnakého významu termín po termíne sa vytvorí nerovnosť rovnakého významu ako údaj.
Dôkaz. Dokážme toto tvrdenie pre dve nerovnosti, hoci platí pre ľubovoľný počet sčítaných nerovností. Nechajte nerovnosti
Podľa definície budú čísla kladné; potom aj ich súčet vyjde kladne, t.j.
Dostaneme, že zoskupíme výrazy inak
a preto
a to sa malo dokázať.
Vo všeobecnom prípade nemožno povedať nič konkrétne o význame nerovnosti vyplývajúcej zo sčítania dvoch alebo viacerých nerovností rôzneho významu.
10. Ak sa od jednej nerovnosti odčíta ďalšia nerovnosť opačného významu, vznikne nerovnosť rovnakého významu ako prvá.
Dôkaz. Nech sú dané dve nerovnosti rôzneho významu. Druhú z nich možno vlastnosťou nezvratnosti prepísať takto: d > c. Pridajme teraz dve nerovnosti rovnakého významu a získame nerovnosť
rovnaký význam. Z posledného nájdeme
a to sa malo dokázať.
O význame nerovnosti získanej odčítaním inej nerovnosti rovnakého významu od jednej nerovnosti nemožno vo všeobecnom prípade povedať nič konkrétne.
Systém nerovností je zvykom nazývať záznam viacerých nerovností pod znakom zloženej zátvorky (v tomto prípade môže byť počet a typ nerovností zahrnutých v systéme ľubovoľný).
Na vyriešenie systému je potrebné nájsť priesečník riešení všetkých nerovníc v ňom zahrnutých. Riešením nerovnosti v matematike je akákoľvek hodnota premennej, pre ktorú platí daná nerovnosť. Inými slovami, je potrebné nájsť súbor všetkých jeho riešení - bude sa to nazývať odpoveď. Skúsme sa napríklad naučiť riešiť systém nerovníc pomocou intervalovej metódy.
Vlastnosti nerovností
Na vyriešenie problému je dôležité poznať základné vlastnosti nerovností, ktoré možno formulovať takto:
- K obom častiam nerovnosti možno pridať jednu a tú istú funkciu definovanú v oblasti prípustných hodnôt (ODV) tejto nerovnosti;
- Ak f(x) > g(x) a h(x) je ľubovoľná funkcia definovaná v DDE nerovnosti, potom f(x) + h(x) > g(x) + h(x);
- Ak sa obe časti nerovnosti vynásobia kladnou funkciou definovanou v ODZ danej nerovnosti (alebo kladným číslom), dostaneme nerovnosť ekvivalentnú pôvodnej;
- Ak sa obe časti nerovnosti vynásobia zápornou funkciou definovanou v ODZ danej nerovnosti (alebo záporným číslom) a znamienko nerovnosti sa obráti, potom je výsledná nerovnosť ekvivalentná danej nerovnosti;
- Nerovnosti rovnakého významu môžu byť pridané výraz po výraze a nerovnosti opačného významu môžu byť výrazom odčítané;
- Nerovnosti rovnakého významu s kladnými časťami môžu byť násobené výrazom po výraze a nerovnosti tvorené nezápornými funkciami možno výraz po výraze zvýšiť na kladnú mocninu.
Ak chcete vyriešiť systém nerovností, musíte vyriešiť každú nerovnosť samostatne a potom ich porovnať. Výsledkom je kladná alebo záporná odpoveď, čo znamená, či má systém riešenie alebo nie.
Metóda rozstupu
Pri riešení sústavy nerovníc sa matematici často uchyľujú k intervalovej metóde, ako k jednej z najúčinnejších. Umožňuje nám to znížiť riešenie nerovnosti f(x) > 0 (<, <, >) na riešenie rovnice f(x) = 0.
Podstata metódy je nasledovná:
- Nájdite rozsah prijateľných hodnôt nerovnosti;
- Znížte nerovnosť na tvar f(x) > 0(<, <, >), to znamená presunúť pravú stranu doľava a zjednodušiť;
- Vyriešte rovnicu f(x) = 0;
- Nakreslite diagram funkcie na číselnej osi. Všetky body vyznačené na ODZ a jej limitujúce rozdeľujú túto množinu na takzvané intervaly konštantného znamienka. Na každom takomto intervale je určené znamienko funkcie f(x);
- Napíšte odpoveď ako spojenie samostatných množín, na ktorých má f(x) zodpovedajúce znamienko. Body ODZ, ktoré sú hraničné, sú po dodatočnej kontrole zahrnuté (alebo nie) do odpovede.
Nerovnosti v matematike zohrávajú významnú úlohu. V škole riešime hlavne o číselné nerovnosti, s definíciou ktorej začneme tento článok. A potom uvádzame a zdôvodňujeme vlastnosti numerických nerovností, na ktorej sú založené všetky princípy práce s nerovnosťami.
Hneď si všimneme, že mnohé vlastnosti numerických nerovností sú podobné. Preto materiál predložíme podľa rovnakej schémy: sformulujeme vlastnosť, uvedieme jej odôvodnenie a príklady a potom prejdeme k ďalšej vlastnosti.
Navigácia na stránke.
Numerické nerovnosti: definícia, príklady
Keď sme zaviedli pojem nerovnosť, všimli sme si, že nerovnosti sú často definované spôsobom, akým sú napísané. Nerovnice sme teda nazvali zmysluplnými algebraickými výrazmi obsahujúcimi znamienka nerovnajúce sa ≠, menšie ako<, больше >, menšie alebo rovné ≤ alebo väčšie alebo rovné ≥. Na základe vyššie uvedenej definície je vhodné definovať číselnú nerovnosť:
Stretnutie s číselnými nerovnosťami prebieha na hodinách matematiky na prvom stupni hneď po oboznámení sa s prvými prirodzenými číslami od 1 do 9, a oboznámení sa s operáciou porovnávania. Je pravda, že tam sa jednoducho nazývajú nerovnosti, pričom sa vynecháva definícia „číselného“. Kvôli prehľadnosti nezaškodí uviesť niekoľko príkladov najjednoduchších numerických nerovností z danej fázy ich štúdia: 1<2 , 5+2>3 .
A ďalej od prirodzených čísel sa poznatky rozširujú aj na ďalšie typy čísel (celé, racionálne, reálne čísla), študujú sa pravidlá ich porovnávania, čím sa výrazne rozširuje druhová diverzita číselných nerovností: −5> −72, 3> − 0,275 (7-5, 6), .
Vlastnosti numerických nerovností
V praxi práca s nerovnosťami umožňuje množstvo vlastnosti numerických nerovností. Vyplývajú z nami zavedeného konceptu nerovnosti. Vo vzťahu k číslam je tento pojem daný nasledujúcim tvrdením, ktoré možno považovať za definíciu vzťahov „menšie ako“ a „väčšie ako“ na množine čísel (často sa to nazýva rozdielová definícia nerovnosti):
Definícia.
- číslo a je väčšie ako b práve vtedy, ak rozdiel a−b je kladné číslo;
- číslo a je menšie ako číslo b práve vtedy, ak rozdiel a−b je záporné číslo;
- číslo a sa rovná číslu b práve vtedy, ak sa rozdiel a−b rovná nule.
Táto definícia môže byť prepracovaná do definície menšia alebo rovná a väčšia alebo rovná. Tu je jeho znenie:
Definícia.
- číslo a je väčšie alebo rovné b práve vtedy, ak a−b je nezáporné číslo;
- číslo a je menšie alebo rovné číslu b práve vtedy, ak a − b je kladné číslo.
Tieto definície použijeme pri dokazovaní vlastností numerických nerovností, ktoré si teraz zopakujeme.
Základné vlastnosti
Náš prehľad začneme tromi základnými vlastnosťami nerovností. Prečo sú nevyhnutné? Pretože sú odrazom vlastností nerovností v najvšeobecnejšom zmysle, a to nielen vo vzťahu k numerickým nerovnostiam.
Numerické nerovnosti zapísané pomocou znakov< и >, charakteristicky:
Čo sa týka číselných nerovností zapísaných pomocou znamienok neprísnych nerovností ≤ a ≥, majú vlastnosť reflexivity (a nie antireflexivity), keďže nerovnosti a≤a a a≥a zahŕňajú prípad rovnosti a=a . Vyznačujú sa tiež antisymetriou a tranzitivitou.
Číselné nerovnosti zapísané znamienkami ≤ a ≥ teda majú nasledujúce vlastnosti:
- reflexivita a≥a a a≤a sú skutočné nerovnosti;
- antisymetria, ak a≤b , potom b≥a , a ak a≥b , potom b≤a .
- tranzitivita, ak a≤bab≤c , potom a≤c , a tiež, ak a≥b a b≥c , potom a≥c .
Ich dôkaz je veľmi podobný tým, ktoré už boli uvedené, takže sa nimi nebudeme zaoberať, ale prejdeme k ďalším dôležitým vlastnostiam číselných nerovností.
Ďalšie dôležité vlastnosti číselných nerovností
Doplňme základné vlastnosti numerických nerovníc sériou výsledkov s veľkým praktickým významom. Metódy hodnotenia hodnôt výrazov sú založené na nich, princípoch riešenie nerovností atď. Preto je vhodné s nimi dobre naložiť.
V tejto podkapitole budeme formulovať vlastnosti nerovností len pre jedno znamienko striktnej nerovnosti, ale treba mať na pamäti, že podobné vlastnosti budú platiť aj pre opačné znamienko, ako aj pre znamenia nestriktných nerovností. Vysvetlime si to na príklade. Nižšie formulujeme a dokážeme nasledujúcu vlastnosť nerovností: ak a
Pre pohodlie uvádzame vlastnosti číselných nerovností vo forme zoznamu, pričom uvádzame zodpovedajúce vyhlásenie, formálne ho napíšeme pomocou písmen, poskytneme dôkaz a potom ukážeme príklady použitia. A na záver článku si všetky vlastnosti číselných nerovníc zhrnieme do tabuľky. Choď!
Dôsledok. Násobenie po členoch rovnakých skutočných nerovností tvaru a
Pridaním (alebo odčítaním) ľubovoľného čísla na obe strany skutočnej číselnej nerovnosti získate skutočnú číselnú nerovnosť. Inými slovami, ak čísla a a b sú také, že a
Aby sme to dokázali, zostavme rozdiel medzi ľavou a pravou časťou poslednej číselnej nerovnosti a ukážme, že je záporná za podmienky a (a+c)−(b+c)=a+c−b−c=a−b. Keďže podľa podmienky a
Nepozastavujeme sa nad dôkazom tejto vlastnosti číselných nerovností pre odčítanie čísla c, keďže na množine reálnych čísel možno odčítanie nahradiť sčítaním −c .
Ak napríklad k obom častiam správnej číselnej nerovnosti 7>3 pridáte číslo 15, dostanete správnu číselnú nerovnosť 7+15>3+15, čo je rovnaké, 22>18.
Ak sa obe časti správnej číselnej nerovnosti vynásobia (alebo vydelia) rovnakým kladným číslom c, získa sa správna číselná nerovnosť. Ak sa obe časti nerovnosti vynásobia (alebo vydelia) záporným číslom c a znamienko nerovnosti sa obráti, získa sa správna nerovnosť. V doslovnom tvare: ak čísla a a b spĺňajú nerovnosť a bc.
Dôkaz. Začnime prípadom, keď c>0 . Zostavte rozdiel medzi ľavou a pravou časťou dokazovanej číselnej nerovnosti: a·c−b·c=(a−b)·c . Keďže podľa podmienky a 0 , potom súčin (a−b) c bude záporné číslo ako súčin záporného čísla a−b a kladného čísla c (čo vyplýva z ). Preto a c−b c<0
, откуда a·c Nepozastavujeme sa nad dôkazom uvažovanej vlastnosti pre delenie oboch častí skutočnej číselnej nerovnosti rovnakým číslom c, keďže delenie možno vždy nahradiť násobením 1/c. Ukážme si príklad aplikácie analyzovanej vlastnosti na konkrétne čísla. Napríklad môžete obe časti správnej číselnej nerovnosti 4<6
умножить на положительное число 0,5
, что дает верное числовое неравенство −4·0,5<6·0,5
, откуда −2<3
. А если обе части верного числового неравенства −8≤12
разделить на отрицательное число −4
, и изменить знак неравенства ≤ на противоположный ≥, то получится верное числовое неравенство −8:(−4)≥12:(−4)
, откуда 2≥−3
. Z práve skúmanej vlastnosti vynásobenia oboch strán číselnej rovnosti číslom vyplývajú dva prakticky cenné výsledky. Takže ich formulujeme vo forme následkov. Všetky vlastnosti diskutované vyššie v tomto odseku spája skutočnosť, že najprv je daná správna číselná nerovnosť az nej sa pomocou niektorých manipulácií s časťami nerovnosti a znamienka získa ďalšia správna číselná nerovnosť. Teraz dáme blok vlastností, v ktorom je na začiatku uvedená nie jedna, ale niekoľko správnych číselných nerovností a nový výsledok sa získa ich spoločným použitím po sčítaní alebo vynásobení ich častí. Ak pre čísla a , b , c a d sú nerovnosti a
Dokážme, že (a+c)−(b+d) je záporné číslo, to dokáže, že a+c Indukciou sa táto vlastnosť rozširuje na sčítanie troch, štyroch a vo všeobecnosti ľubovoľného konečného počtu číselných nerovností po členoch. Takže ak pre čísla a 1 , a 2 , ..., a n a b 1 , b 2 , ..., b n sú nerovnosti a 1 a 1 +a 2 +…+a n . Napríklad dostaneme tri správne číselné nerovnosti rovnakého znamienka −5<−2
, −1<12
и 3<4
. Рассмотренное свойство числовых неравенств позволяет нам констатировать, что неравенство −5+(−1)+3<−2+12+4
– тоже верное. Číselné nerovnosti toho istého znamienka môžete vynásobiť členmi, ktorých obe časti sú vyjadrené kladnými číslami. Najmä pre dve nerovnosti a
Aby sme to dokázali, môžeme vynásobiť obe strany nerovnosti a
Táto vlastnosť platí aj pre násobenie ľubovoľného konečného počtu platných číselných nerovností s kladnými časťami. To znamená, že ak a 1 , a 2 , ..., a n a b 1 , b 2 , ..., b n sú kladné čísla a a 1 a 1 a 2 ... a n . Samostatne stojí za zmienku, že ak zápis číselných nerovností obsahuje kladné čísla, ich násobenie po členoch môže viesť k nesprávnym číselným nerovnostiam. Napríklad číselné nerovnosti 1<3
и −5<−4
– верные и одного знака, почленное умножение этих неравенств дает 1·(−5)<3·(−4)
, что то же самое, −5<−12
, а это неверное неравенство.
Na záver článku, ako sme sľúbili, zhromaždíme všetky študované vlastnosti vlastnosť tabuľky číselných nerovností:
Bibliografia.
- Moro M.I.. Matematika. Proc. za 1 cl. skoro škola O 14:00 Časť 1. (Prvý polrok) / M. I. Moro, S. I. Volková, S. V. Stepanová - 6. vyd. - M.: Osvietenstvo, 2006. - 112 s.: choré + Príl. (2 samostatné l. obr.). - ISBN 5-09-014951-8.
- Matematika: štúdium. pre 5 buniek. všeobecné vzdelanie inštitúcie / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartburd. - 21. vyd., vymazané. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 s.: chor. ISBN 5-346-00699-0.
- algebra: učebnica pre 8 buniek. všeobecné vzdelanie inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; vyd. S. A. Teljakovskij. - 16. vyd. - M. : Vzdelávanie, 2008. - 271 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Mordkovič A.G. Algebra. 8. trieda. O 14:00 1. časť Učebnica pre študentov vzdelávacích inštitúcií / A. G. Mordkovich. - 11. vyd., vymazané. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 s.: chor. ISBN 978-5-346-01155-2.
1 . Ak a > b, potom b< a ; naopak ak ale< b , potom b > a.
Príklad. Ak 5x - 1 > 2x + 1, potom 2x +1< 5x — 1 .
2 . Ak a > b A b > c, potom a > c. Podobný, ale< b A b< с , potom a< с .
Príklad. Z nerovností x > 2 roky, 2 roky > 10 z toho vyplýva x>10.
3
. Ak a > b potom a + c > b + c A a - c > b - c. Ak ale< b
, potom a + c
Príklad 1. Vzhľadom na nerovnosť x + 8>3. Odčítaním čísla 8 od oboch častí nerovnosti zistíme x > - 5.
Príklad 2. Vzhľadom na nerovnosť x - 6< — 2 . Pridaním 6 do oboch častí zistíme X< 4 .
4 . Ak a > b A c > d potom a + c > b + d; presne to isté, ak ale< b A od< d , potom a + c< b + d , teda dve nerovnosti rovnakého významu) možno pridávať výraz po výraze. To platí pre ľubovoľný počet nerovností, napríklad ak a1 > b1, a2 > b2, a3 > b3, potom a1 + a2 + a3 > b1+b2 +b3.
Príklad 1. nerovnosti — 8 > — 10 A 5 > 2 sú pravdivé. Keď ich sčítame po členoch, nájdeme správnu nerovnosť — 3 > — 8 .
Príklad 2. Vzhľadom na systém nerovností ( 1/2)x + (1/2)y< 18 ; (1/2)x - (1/2)y< 4 . Pridávame ich výraz po výraze, zistíme X< 22 .
Komentujte. Dve nerovnosti rovnakého významu nemožno od seba navzájom odčítať, pretože výsledok môže byť pravdivý, ale môže byť aj nesprávny. Napríklad, ak z nerovnosti 10 > 8 2 > 1 , potom dostaneme správnu nerovnosť 8 > 7 ale ak z tej istej nerovnosti 10 > 8 odčítať nerovnosť člen po člene 6 > 1 , potom dostaneme absurditu. Porovnajte ďalšiu položku.
5 . Ak a > b A c< d , potom a - c > b - d; ak ale< b A c - d, potom a - c< b — d t. j. jednu nerovnosť možno odčítať po členoch inú nerovnosť opačného významu, pričom zostane znamienko nerovnosti, od ktorej bola odpočítaná druhá.
Príklad 1. nerovnosti 12 < 20 A 15 > 7 sú pravdivé. Odčítaním člena po člene druhého od prvého a ponechaním znamienka prvého dostaneme správnu nerovnosť — 3 < 13 . Odčítaním člena po člene prvého od druhého a ponechaním znamienka druhého nájdeme správnu nerovnosť 3 > — 13 .
Príklad 2. Vzhľadom na systém nerovností (1/2)x + (1/2)y< 18; (1/2)х — (1/2)у > 8 . Odčítaním druhej od prvej nerovnosti zistíme r< 10 .
6 . Ak a > b A m je teda kladné číslo ma > mb A a/n > b/n, t.j. obe časti nerovnosti možno rozdeliť alebo vynásobiť rovnakým kladným číslom (znamienko nerovnosti zostáva rovnaké). a > b A n je teda záporné číslo na< nb A a/n< b/n , t. j. obe časti nerovnosti možno vynásobiť alebo vydeliť rovnakým záporným číslom, ale znamienko nerovnosti treba obrátiť.
Príklad 1. Rozdelenie oboch strán skutočnej nerovnosti 25 > 20 na 5 , dostaneme správnu nerovnosť 5 > 4 . Ak rozdelíme obe strany nerovnosti 25 > 20 na — 5 , potom musíte zmeniť znamenie > na < a potom dostaneme správnu nerovnosť — 5 < — 4 .
Príklad 2. Z nerovnosti 2x< 12 z toho vyplýva X< 6 .
Príklad 3. Z nerovnosti -(1/3)x - (1/3)x > 4 z toho vyplýva X< — 12 .
Príklad 4. Vzhľadom na nerovnosť x/k > y/l; z toho vyplýva lx > ky ak znaky čísel l A k sú rovnaké a to lx< ky ak znaky čísel l A k sú opačné.
Nerovnosť je zápis, v ktorom sú čísla, premenné alebo výrazy spojené znamienkom<, >, alebo . To znamená, že nerovnosť možno nazvať porovnaním čísel, premenných alebo výrazov. Známky < , > , ⩽ A ⩾ volal znaky nerovnosti.
Typy nerovností a spôsob ich čítania:
Ako je zrejmé z príkladov, všetky nerovnosti pozostávajú z dvoch častí: ľavej a pravej, ktoré sú spojené jedným zo znakov nerovnosti. Podľa znaku spájajúceho časti nerovností sa delia na prísne a neprísne.
Prísne nerovnosti- nerovnosti, ktorých časti sú spojené znakom< или >. Neprísne nerovnosti- nerovnosti, ktorých časti sú spojené znakom alebo .
Zvážte základné pravidlá porovnávania v algebre:
- Akékoľvek kladné číslo väčšie ako nula.
- Akékoľvek záporné číslo je menšie ako nula.
- Z dvoch záporných čísel je väčšie číslo s menšou absolútnou hodnotou. Napríklad -1 > -7.
- a A b pozitívne:
a - b > 0,
To a viac b (a > b).
- Ak je rozdiel dvoch nerovnakých čísel a A b negatívne:
a - b < 0,
To a menej b (a < b).
- Ak je číslo väčšie ako nula, potom je kladné:
a> 0 znamená a je kladné číslo.
- Ak je číslo menšie ako nula, potom je záporné:
a < 0, значит a- záporné číslo.
Ekvivalentné nerovnosti- nerovnosti, ktoré sú dôsledkom inej nerovnosti. Napríklad ak a menej b, potom b viac a:
a < b A b > a- ekvivalentné nerovnosti
Vlastnosti nerovností
- Ak sa k obom častiam nerovnosti pridá rovnaké číslo alebo sa od oboch častí odčíta rovnaké číslo, získa sa ekvivalentná nerovnosť, tj.
ak a > b, potom a + c > b + c A a - c > b - c
Z toho vyplýva, že je možné prenášať členy nerovnosti z jednej časti do druhej s opačným znamienkom. Napríklad pridanie na obe strany nerovnosti a - b > c - d na d, dostaneme:
a - b > c - d
a - b + d > c - d + d
a - b + d > c
- Ak sa obe časti nerovnosti vynásobia alebo vydelia rovnakým kladným číslom, získa sa ekvivalentná nerovnosť, tj.
- Ak sa obe časti nerovnosti vynásobia alebo vydelia rovnakým záporným číslom, získa sa nerovnosť opačná k danej, to znamená, že pri vynásobení alebo delení oboch častí nerovnosti záporným číslom znamienko nerovnosti treba zmeniť na opak.
Túto vlastnosť možno použiť na zmenu znamienka všetkých členov nerovnosti vynásobením oboch strán -1 a obrátením znamienka nerovnosti:
-a + b > -c
(-a + b) · -jedna< (-c) · -jedna
a - b < c
Nerovnosť -a + b > -c je ekvivalentná nerovnosti a - b < c