Funkcia formulára , kde je tzv kvadratickej funkcie.
Graf kvadratickej funkcie − parabola.
Zvážte prípady:
PRÍPAD I, KLASICKÁ PARABOLA
tj ,
Ak chcete zostaviť, vyplňte tabuľku dosadením hodnôt x do vzorca:
Označiť body (0;0); (1;1); (-1;1) atď. na súradnicovej rovine (čím menší krok vezmeme hodnoty x (v tomto prípade krok 1) a čím viac hodnôt x vezmeme, tým hladšia krivka), dostaneme parabolu:
Je ľahké vidieť, že ak vezmeme prípad , , , to znamená, že dostaneme parabolu symetrickú podľa osi (vol). Je ľahké to overiť vyplnením podobnej tabuľky:
PRÍPAD II, "a" ODLIŠNÉ OD JEDNÉHO
Čo sa stane, ak vezmeme , , ? Ako sa zmení správanie paraboly? S title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}
Prvý obrázok (pozri vyššie) jasne ukazuje, že body z tabuľky pre parabolu (1;1), (-1;1) sa pretransformovali na body (1;4), (1;-4), tj. pri rovnakých hodnotách sa ordináta každého bodu vynásobí 4. Toto sa stane so všetkými kľúčovými bodmi pôvodnej tabuľky. Podobne argumentujeme aj v prípade obrázkov 2 a 3.
A keď sa parabola „stane širšou“ parabolou:
Zopakujme si:
1)Znamienko koeficientu je zodpovedné za smer vetiev. S title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}
2) Absolútna hodnota koeficient (modul) je zodpovedný za „expanziu“, „stlačenie“ paraboly. Čím väčšia , tým užšia je parabola, tým menšie |a|, tým širšia parabola.
ZOBRAZÍ SA PRÍPAD III, „C“.
Teraz poďme do hry (to znamená, že uvažujeme o prípade, keď ), budeme uvažovať o parabolách tvaru . Je ľahké uhádnuť (vždy sa môžete pozrieť na tabuľku), že parabola sa bude pohybovať nahor alebo nadol pozdĺž osi v závislosti od znamienka:
ZOBRAZÍ SA IV PRÍPAD, „b“.
Kedy sa parabola „odtrhne“ od osi a konečne „prejde“ po celej súradnicovej rovine? Keď to prestane byť rovné.
Tu, aby sme vytvorili parabolu, potrebujeme vzorec na výpočet vrcholu: , .
Takže v tomto bode (ako v bode (0; 0) nového súradnicového systému) postavíme parabolu, ktorá je už v našich silách. Ak sa zaoberáme prípadom , tak zhora vyčleníme jeden jednotkový segment doprava, jeden nahor, - výsledný bod je náš (podobne, krok doľava, krok hore je náš bod); ak sa zaoberáme napríklad, potom zhora odložíme jeden segment doprava, dva hore atď.
Napríklad vrchol paraboly:
Teraz treba hlavne pochopiť, že v tomto vrchole postavíme parabolu podľa šablóny paraboly, pretože v našom prípade.
Pri konštrukcii paraboly po zistení súradníc vrcholu je veľmiJe vhodné zvážiť nasledujúce body:
1) parabola musí prejsť cez bod . Skutočne, dosadením x=0 do vzorca dostaneme, že . To znamená, že ordináta priesečníka paraboly s osou (oy), to je. V našom príklade (vyššie) parabola pretína os y v , pretože .
2) os symetrie paraboly je priamka, takže všetky body paraboly budú okolo nej symetrické. V našom príklade okamžite zoberieme bod (0; -2) a postavíme parabolu symetrickú podľa osi súmernosti, dostaneme bod (4; -2), cez ktorý bude parabola prechádzať.
3) Rovnaké k , zistíme priesečníky paraboly s osou (ox). Aby sme to dosiahli, riešime rovnicu. V závislosti od diskriminantu dostaneme jeden (, ), dva ( title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . V predchádzajúcom príklade máme koreň z diskriminantu - nie celé číslo, pri jeho zostavovaní nám nedáva zmysel hľadať korene, ale jasne vidíme, že budeme mať dva priesečníky s (oh) os (keďže title = "(!LANG: Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}
Tak poďme cvičiť
Algoritmus na zostavenie paraboly, ak je daný vo forme
1) určiť smer vetiev (a>0 - hore, a<0 – вниз)
2) nájdite súradnice vrcholu paraboly podľa vzorca , .
3) bod priesečníka paraboly s osou (oy) nájdeme voľným členom, postavíme bod symetrický k danému vzhľadom na os súmernosti paraboly (treba si uvedomiť, že sa stáva, že je nerentabilné označiť tento bod, napríklad, pretože hodnota je veľká ... tento bod preskočíme ...)
4) V nájdenom bode - vrchole paraboly (ako v bode (0; 0) nového súradnicového systému) postavíme parabolu. If title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}
5) Nájdeme priesečníky paraboly s osou (oy) (ak sa samy ešte „nevynorili“) a vyriešime rovnicu
Príklad 1
Príklad 2
Poznámka 1. Ak dostaneme parabolu na začiatku v tvare , kde sú nejaké čísla (napríklad ), potom bude ešte jednoduchšie ju postaviť, pretože súradnice vrcholu sme už dostali. prečo?
Vezmime štvorcovú trojčlenku a vyberieme v nej celý štvorec: Pozri, tu to máme , . Predtým sme nazývali vrchol paraboly, teda teraz.
Napríklad, . Na rovine označíme vrchol paraboly, chápeme, že vetvy smerujú nadol, parabola je (relatívne) rozšírená. To znamená, že vykonáme kroky 1; 3; 4; 5 z algoritmu na konštrukciu paraboly (pozri vyššie).
Poznámka 2. Ak je parabola daná v podobnom tvare (t. j. reprezentovaná ako súčin dvoch lineárnych faktorov), okamžite vidíme priesečníky paraboly s osou (x). V tomto prípade - (0;0) a (4;0). Vo zvyšku konáme podľa algoritmu a otvárame zátvorky.
- Ohnisko paraboly je bod, od ktorého sú všetky body na parabole rovnako vzdialené.
- Smernica paraboly je priamka, od ktorej sú všetky body na parabole rovnako vzdialené.
- Os symetrie paraboly je vertikála prechádzajúca ohniskom a vrcholom paraboly kolmá na jej smerovú čiaru.
- Vrchol paraboly- priesečník paraboly a osi súmernosti. Ak parabola smeruje nahor, potom vrchol je najnižším bodom paraboly; ak parabola smeruje nadol, potom je vrchol najvyšším bodom paraboly.
Parabolická rovnica. Parabolická rovnica má tvar: y = ax 2 + bx + c. Rovnicu paraboly možno zapísať aj ako y = a(x – h)2 + k.
- Ak je koeficient „a“ kladný, potom parabola smeruje nahor a ak je koeficient „a“ záporný, potom parabola smeruje nadol. Aby ste si zapamätali toto pravidlo: s kladným ( pozitívne) parabola koeficientu sa "usmeje" (ukáže nahor) a naopak pre záporné ( negatívne) koeficient.
- Napríklad: y=2x2-1. Parabola tejto rovnice smeruje nahor, pretože \u003d 2 (kladný koeficient).
- Ak je „y“ v rovnici na druhú mocninu a nie „x“, parabola „leží na jej strane“ a smeruje doprava alebo doľava. Napríklad parabola y 2 = x + 3 smeruje doprava.
Nájdite os súmernosti. Os symetrie paraboly je vertikála prechádzajúca vrcholom paraboly. Os symetrie je daná funkciou x = n, kde n je súradnica „x“ vrcholu paraboly. Na výpočet osi symetrie použite vzorec x = -b/2a.
- V našom príklade a = 2, b = 0. Vložte tieto hodnoty do vzorca: x = -0/(2 x 2) = 0.
- Os symetrie x = 0.
Nájdite vrchol. Výpočtom osi symetrie ste našli x-ovú súradnicu vrcholu paraboly. Nahradením nájdenej hodnoty v pôvodnej rovnici nájdite "y". Tieto dve súradnice sú súradnicami vrcholu paraboly. V našom príklade vložte x = 0 do y = 2x2 -1 a získajte y = -1. Vrch paraboly má súradnice (0, -1). Navyše je to priesečník paraboly s osou y (keďže x = 0).
- Niekedy sú súradnice vrcholov označené ako (h,k). V našom príklade h = 0, k = -1. Ak je kvadratická rovnica daná ako y = a(x – h)2 + k, potom ľahko zistíte súradnice vrcholu priamo z rovnice (bez výpočtov).
Zostrojenie paraboly patrí medzi známe matematické operácie. Pomerne často sa používa nielen na vedecké účely, ale aj na čisto praktické účely. Naučme sa, ako vykonať tento postup pomocou súpravy nástrojov aplikácie Excel.
Parabola je graf kvadratickej funkcie nasledujúceho typu f(x)=ax^2+bx+c. Jednou z jeho pozoruhodných vlastností je skutočnosť, že parabola má tvar symetrického útvaru, ktorý pozostáva zo súboru bodov rovnako vzdialených od smerovej čiary. Celkovo sa vytváranie paraboly v Exceli príliš nelíši od vytvárania akéhokoľvek iného grafu v tomto programe.
Vytvorte tabuľku
V prvom rade, kým sa pustíte do stavby paraboly, mali by ste si postaviť stôl, na základe ktorého bude vytvorená. Zoberme si napríklad graf funkcie f(x)=2x^2+7.
Plotovanie
Ako už bolo spomenuté vyššie, teraz musíme zostaviť samotný graf.
Úprava grafu
Teraz môžete výsledný graf mierne upraviť.
Okrem toho môžete vykonávať akékoľvek iné typy úprav výslednej paraboly, vrátane zmeny jej názvu a názvov osí. Tieto techniky úprav nepresahujú rámec práce v Exceli s grafmi iných typov.
Ako vidíte, zostavenie paraboly v Exceli sa zásadne nelíši od vytvorenia iného typu grafu alebo tabuľky v rovnakom programe. Všetky akcie sa vykonávajú na základe vopred vytvorenej tabuľky. Okrem toho je potrebné vziať do úvahy, že na zostrojenie paraboly je najvhodnejší bodový tvar diagramu.
Vaše súkromie je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si prosím naše zásady ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.
Zhromažďovanie a používanie osobných údajov
Osobné informácie sa týkajú údajov, ktoré možno použiť na identifikáciu alebo kontaktovanie konkrétnej osoby.
Kedykoľvek nás budete kontaktovať, môžete byť požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.
Nasleduje niekoľko príkladov typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.
Aké osobné údaje zhromažďujeme:
- Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.
Ako používame vaše osobné údaje:
- Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás a informovať vás o jedinečných ponukách, akciách a iných akciách a pripravovaných akciách.
- Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje na zasielanie dôležitých upozornení a správ.
- Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
- Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobného stimulu, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na spravovanie takýchto programov.
Sprístupnenie tretím stranám
Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.
Výnimky:
- V prípade, že je potrebné – v súlade so zákonom, súdnym poriadkom, v súdnom konaní a/alebo na základe verejných žiadostí alebo žiadostí štátnych orgánov na území Ruskej federácie – zverejniť vaše osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak zistíme, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné na účely bezpečnosti, presadzovania práva alebo iného verejného záujmu.
- V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú tretiu stranu, nástupcu.
Ochrana osobných údajov
Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj pred neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.
Zachovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti
Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o postupoch ochrany osobných údajov a zabezpečenia a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.
Kvadratická funkcia je funkciou tvaru:
y=a*(x^2)+b*x+c,
kde a je koeficient na najvyššom stupni neznámeho x,
b - koeficient pri neznámom x,
a c je voľný člen.
Graf kvadratickej funkcie je krivka nazývaná parabola. Celkový pohľad na parabolu je znázornený na obrázku nižšie.
Obr.1 Celkový pohľad na parabolu.
Existuje niekoľko rôznych spôsobov, ako zobraziť graf kvadratickej funkcie. Zvážime hlavné a najvšeobecnejšie z nich.
Algoritmus na vykreslenie grafu kvadratickej funkcie y=a*(x^2)+b*x+c
1. Zostavte súradnicový systém, označte jeden segment a označte súradnicové osi.
2. Určte smer vetiev paraboly (hore alebo dole).
Aby ste to dosiahli, musíte sa pozrieť na znamienko koeficientu a. Ak plus - potom vetvy smerujú nahor, ak mínus - potom vetvy smerujú nadol.
3. Určte x-ovú súradnicu vrcholu paraboly.
Ak to chcete urobiť, musíte použiť vzorec Tops = -b / 2 * a.
4. Určte súradnicu na vrchole paraboly.
Ak to chcete urobiť, nahraďte hodnotu Top zistenú v predchádzajúcom kroku v rovnici Top = a * (x ^ 2) + b * x + c namiesto x.
5. Vložte výsledný bod do grafu a nakreslite ním os súmernosti rovnobežnú so súradnicovou osou Oy.
6. Nájdite priesečníky grafu s osou x.
To si vyžaduje vyriešenie kvadratickej rovnice a*(x^2)+b*x+c = 0 pomocou jednej zo známych metód. Ak rovnica nemá skutočné korene, potom graf funkcie nepretína os x.
7. Nájdite súradnice priesečníka grafu s osou Oy.
Za týmto účelom dosadíme do rovnice hodnotu x = 0 a vypočítame hodnotu y. Na grafe označíme tento a s ním symetrický bod.
8. Nájdite súradnice ľubovoľného bodu A (x, y)
Aby sme to dosiahli, zvolíme ľubovoľnú hodnotu súradnice x a dosadíme ju do našej rovnice. V tomto bode dostaneme hodnotu y. Umiestnite bod na grafe. A tiež vyznačte na grafe bod, ktorý je symetrický k bodu A (x, y).
9. Získané body na grafe spojte hladkou čiarou a pokračujte v grafe za krajné body, až na koniec súradnicovej osi. Podpíšte graf buď na popisku, alebo, ak to priestor dovoľuje, pozdĺž samotného grafu.
Príklad vykreslenia grafu
Ako príklad nakreslíme kvadratickú funkciu danú rovnicou y=x^2+4*x-1
1. Nakreslite súradnicové osi, podpíšte ich a označte jeden segment.
2. Hodnoty koeficientov a=1, b=4, c= -1. Pretože \u003d 1, ktorá je väčšia ako nula, vetvy paraboly smerujú nahor.
3. Určte súradnicu X vrcholu paraboly Vrcholy = -b/2*a = -4/2*1 = -2.
4. Určte súradnicu Na vrchole paraboly
Vrchy = a*(x^2)+b*x+c = 1*((-2)^2) + 4*(-2) - 1 = -5.
5. Označte vrchol a nakreslite os súmernosti.
6. Nájdeme priesečníky grafu kvadratickej funkcie s osou Ox. Riešime kvadratickú rovnicu x^2+4*x-1=0.
x1=-2-√3 x2 = -2+√3. Získané hodnoty zaznačíme do grafu.
7. Nájdite priesečníky grafu s osou Oy.
x=0; y = -1
8. Vyberte ľubovoľný bod B. Nech má súradnicu x=1.
Potom y=(1)^2 + 4*(1)-1= 4.
9. Spojíme prijaté body a podpíšeme graf.