§ 1 Pojem kladného čísla
V tejto lekcii sa dozviete, ktoré čísla sa nazývajú opačné, ako nájsť opačné číslo a tiež, čo sú celé čísla a racionálne čísla.
Začnime praktickou prácou. Na súradnicovej čiare označte body A (2) a B (-2). Sú symetrické a stred symetrie týchto bodov je počiatkom súradníc О (0), keďže vzdialenosť ОА = ОВ.
Vidíme, že súradnice bodov symetrických podľa pôvodu sú čísla, ktoré sa líšia iba znamienkom. Takéto čísla sa nazývajú opačné.
Existuje ďalšia definícia opačných čísel. Aké sú absolútne hodnoty čísel 2 a -2? Rovné 2. Opačné čísla sú teda čísla, ktoré majú rovnaký modul, ale líšia sa znamienkom.
Na označenie čísla opačného k danému číslu použite znamienko mínus, ktoré sa píše pred daným číslom. To znamená, že opačné číslo a sa píše ako -a. Napríklad číslo 0,24 je opačné k číslu -0,24, číslo -25 je opačné k číslu - (- 25), ale číslo -25 na súradnicovej čiare je opačné k číslu 25, čo znamená - (- 25) = 25. Z toho vyplýva, že - ( -a) = a a = - (- a).
§ 2 Vlastnosti protiľahlých čísel
Vyzdvihnime niektoré vlastnosti opačných čísel.
Opak kladného čísla je záporný a opak záporného čísla je kladný. Je to pochopiteľné, keďže body súradnicovej čiary zodpovedajúce opačným číslam sú na opačných stranách počiatku.
Ak je číslo a opačné k číslu b, potom b je opačné k a - vyplýva to z vlastnosti symetrie bodov na súradnicovej čiare.
Obráťme sa na súradnicovú čiaru. Koľko bodov možno označiť na súradnicovej čiare, symetricky k danému bodu o začiatku? Len jeden. Preto pre každé číslo existuje iba jedno opačné číslo.
Iba jedno číslo je proti sebe - toto je číslo 0, pretože 0 = -0 (preto nie je akceptované písať -0).
Čísla so spoločným znakom tvoria množinu (alebo skupinu), každá množina má svoj názov.
Pripomeňme, že čísla, ktoré používame pri počítaní, sa nazývajú prirodzené čísla, tvoria množinu prirodzených čísel.
Pre každé prirodzené číslo môžete nájsť opačné číslo. Prirodzené čísla, čísla k nim opačné a číslo 0 sa nazývajú celé čísla.
Zlomkové čísla môžu byť tiež kladné alebo záporné. Všetky celé čísla a všetky zlomky sa nazývajú racionálne čísla. Tiež hovoria, že všetky spolu tvoria množinu racionálnych čísel.
Vyberme ďalšie dve skupiny čísel. Zoberme si súradnicovú čiaru. Ak odstránime časť priamky, na ktorej sa nachádzajú záporné čísla, zostane lúč s kladnými číslami a pôvodom čísla 0. Zvyšné čísla sa nazývajú nezáporné, teda čísla, ktoré sú väčšie alebo rovné. na 0. Nekladné čísla sú teda všetky záporné čísla a číslo 0, teda čísla, ktoré sú menšie alebo rovné 0.
Dnes sme sa naučili, čo sú opačné, celé, racionálne, nezáporné, nekladné čísla, naučili sme sa nájsť číslo opačné k danému.
Zoznam použitej literatúry:
- Matematika 6. ročník: plány hodín k učebnici od I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich // zostavil L.A. Topilin. Mnemosyne 2009
- Matematika. 6. ročník: učebnica pre študentov vzdelávacích inštitúcií. I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich. - M.: Mnemosina, 2013.
- Matematika. 6. ročník: učebnica pre študentov vzdelávacích inštitúcií. / N. Áno. Vilenkin, V.I. Zhokhov, A.S. Česnokov, S.I. Schwarzburd. - M .: Mnemosina, 2013
- Odkaz na matematiku - http://lyudmilanik.com.ua
- Príručka pre študentov stredných škôl http://shkolo.ru
Zaujímavým pojmom zo školských osnov sú opačné čísla, ktoré možno uvažovať matematicky aj geometricky. Pochopenie tejto témy uľahčuje štúdium matematiky, umožňuje vám rýchlejšie sa vyrovnať s niektorými problémami - takže zvážime, ktoré čísla sa nazývajú opačné a ktoré pravidlá pre ne fungujú.
Čo je podstatou termínu?
Aby sme pochopili význam opačných čísel, vráťme sa na chvíľu ku geometrii. Nakreslíme čiaru súradníc a označíme na nej nulový bod a potom na čiaru umiestnime ďalšie dve značky - napríklad "2" na pravú stranu a "-2" na ľavú stranu od nuly. Samozrejme, z oboch bodov bude vzdialenosť k začiatku súradníc presne rovnaká - a to sa dá ľahko overiť meraniami. "2" a "-2" sú v rovnakej vzdialenosti od nuly, ale v rôznych smeroch - respektíve sú úplne proti sebe.
Toto je pointa. Čísla môžu byť také veľké alebo malé, ako chcete, celé alebo zlomkové. Každý z nich má však určitý počet, ktorý tvorí jeho úplný opak. Definícia môže byť daná nasledovne - ak na priamke súradníc z dvoch bodov nastavených na oboch stranách nuly, môžete odložiť rovnakú vzdialenosť k začiatku - tieto body, alebo skôr čísla, ktoré im zodpovedajú, budú opačné .
Aké pravidlá možno vyvodiť z definície?
Stojí za to pripomenúť si niekoľko bezpodmienečných vyhlásení týkajúcich sa uvažovanej témy:
- Opačný princíp pre dve čísla funguje oboma spôsobmi. Napríklad číslo 3 je opačné k číslu -3 - a preto číslo -3 je opačné iba k číslu 3 a nie žiadne iné.
- Číslo nemôže mať dva protipóly – taký je vždy len jeden.
- Čísla s rôznymi znamienkami môžu byť oproti sebe. Ak je číslo kladné, jeho opačné číslo bude so znamienkom mínus - napríklad 5 a -5. To isté funguje aj v opačnom smere - pre číslo so znamienkom mínus to bude vždy opačne ako so znamienkom plus - napríklad -6 a 6.
- Dve opačné čísla majú rovnakú absolútnu hodnotu alebo modul. Inými slovami, ak pre číslo 4
Uvažujme o príklade. Je potrebné dôsledne vypočítať:.
Môžete zmeniť usporiadanie čísel, ktoré chcete pridať, a potom odpočítať zostávajúce čísla:.
Ale to nie je vždy pohodlné. Napríklad vieme vypočítať zvyšok vecí v nejakom sklade a potrebujeme poznať medzivýsledok.
Môžete vykonávať akcie v rade:.
Vieme, čo teda bude výsledkom odčítania od čísla. To znamená, že musíte odpočítať, ale ešte nie z ničoho. Keď bude z čoho odčítať, odpočítajte:
Ale môžeme „podvádzať“ a označovať. Preto predstavíme nový objekt - záporné čísla.
Takúto operáciu sme už urobili - v prírode napríklad neexistovalo ani číslo "", ale zaviedli sme takýto objekt, aby sme uľahčili zaznamenávanie akcií.
Predstavte si, že sme v športovom sklade dostali pokyn na výdaj a príjem lôpt. Musíme viesť záznamy. Môžete písať slovami:
Vydané, prijaté, vydané, prijaté, ... (Pozri obr. 1.)
Ryža. 1. Účtovníctvo
Súhlasíte, ak potrebujete vydávať a prijímať mnohokrát denne, nahrávanie nie je príliš pohodlné.
Hárok môžete rozdeliť do dvoch stĺpcov, jeden je Prijatý a druhý Vydaný. (Pozri obrázok 2.)
Ryža. 2. Zjednodušený zápis
Záznam sa skrátil. Ale tu je problém: ako pochopiť, koľko lôpt bolo odobraných (alebo rozdaných) v určitom čase?
Na písanie môžeme použiť nasledujúcu úvahu: keď loptičky vydávame zo skladu, ich množstvo na sklade klesá a keď prijímame, zvyšuje sa.
Ale ako si zapíšete „kopol do lopty“? Môžete zadať objekt takto:.
Tento objekt nám umožňuje urobiť matematický záznam pohybu loptičiek v poradí, v akom sa to stalo: 
Uveďme si ďalší príklad.
Na účet vášho telefónu rubľov. Boli ste online a stálo to ruble. Výsledkom je dlh vo výške rubľov. Operátor by mohol zapísať takto: "klient dlhuje ruble." Vložil si ruble. Operátor si odpočítal dlh. Ukázalo sa to na účte rubľov.
Je však vhodné zaznamenávať operácie aj peniaze na účet pomocou znakov "" a "". (Pozri obrázok 3.)
Ryža. 3. Pohodlné nahrávanie
Zadáme záporné číslo, aby sme zapísali výsledok odčítania od menšieho čísla väčšieho:.
Pridanie záporného čísla je rovnaké ako odčítanie:.
Aby sme odlíšili záporné čísla od kladných čísel, s ktorými sme sa zaoberali skôr, bolo dohodnuté umiestniť pred ne znamienko mínus:.
Vedeli by ste sa bez nich zaobísť? Áno môžeš. V každej konkrétnej situácii by sme použili slová „späť“, „na pôžičku“ a podobne. Ale oni, tieto slová, by boli iné.
A tak máme univerzálny pohodlný nástroj. Jeden pre všetky takéto prípady.
Môžeme nakresliť analógiu s autom. Skladá sa z veľkého množstva dielov, z ktorých mnohé nie sú potrebné jednotlivo, ale všetky spolu umožňujú jazdiť. Rovnako záporné čísla sú nástrojom, ktorý spolu s ďalšími matematickými nástrojmi uľahčuje výpočet a zjednodušuje riešenie a písanie mnohých úloh.
Zaviedli sme teda nový objekt – záporné čísla. Na čo sa v živote používajú?
Najprv si spomeňme na úlohy kladných čísel:
Množstvo: napr. drevo, liter mlieka. (Pozri obrázok 4.)
Ryža. 4. Množstvo
Poradie: Napríklad domy sú očíslované kladnými číslami. (Pozri obrázok 5.)
Ryža. 5. Objednávanie
Meno: napríklad číslo hráča. (Pozri obrázok 6.)
Ryža. 6. Číslo ako meno
Teraz sa pozrime na funkcie záporných čísel:
Chýba označenie množstva. Množstvo nikdy nie je záporné. Záporné číslo sa však používa na označenie toho, že sa suma odpočítava. Napríklad by sme si mohli naliať z fľaše a zapísať to ako. (Pozri obrázok 7.)
Ryža. 7. Označenie chýbajúceho množstva
Objednávanie. Niekedy sa pri číslovaní vyberie nula a je potrebné číslovať objekty v oboch smeroch od nuly. Napríklad poschodia pod th, v suteréne. (Pozri obr. 8.) Alebo teplota, ktorá je pod zvolenou nulou. (Pozri obrázok 9.)
Ryža. 8. Poschodie umiestnené pod th, v suteréne
Ryža. 9. Záporné čísla na stupnici teplomera
Hlavným účelom záporných čísel je však nástroj na zjednodušenie matematických výpočtov.
Aby sa však záporné čísla stali takým pohodlným nástrojom, musíte:
Záporná teplota je teplota pod nulou, pod nulou. Ale čo je nulová teplota? Ak chcete merať, zaznamenávať teplotu, musíte vybrať mernú jednotku a referenčný bod. Oboje sú dohody. Celziovu stupnicu používame podľa mena vedca, ktorý ju navrhol. (Pozri obrázok 10.)
Ryža. 10. Anders Celsius
Ako referenčný bod je tu zvolený bod mrazu vody. Čokoľvek nižšie je označené zápornou hodnotou. (Pozri obrázok 11.)
Ryža. jedenásť.
Ale je jasné, že ak vezmete iný referenčný bod, ďalšiu nulu, potom záporná teplota v stupňoch Celzia môže byť v tejto inej stupnici kladná. A tak sa aj stáva. Kelvinova stupnica je vo fyzike široko používaná. Je to podobné ako na Celziovej stupnici, len hodnota najnižšej možnej teploty je zvolená ako nula (nižšia byť nemôže). Táto hodnota sa označuje ako „absolútna nula“. Celzia je približne. (Pozri obrázok 12.)
Ryža. 12. Dve stupnice
To znamená, že v Kelvinovej stupnici nie sú žiadne záporné hodnoty.
Takže naše leto 
.
A mrazivý 
.
To znamená, že negatívna teplota je konvencia, súhlas ľudí, aby to tak nazývali.
Začnime od nuly. Nula má medzi číslami špeciálne postavenie.
Ako sme už diskutovali, pre naše pohodlie môžeme odčítanie siedmich označiť ako záporné číslo. Keďže to znamená odčítanie, znamienko "" necháme ako jeho znamienko. Zavolajme na nové číslo.
To znamená, že "" je číslo, ktoré po pripočítaní dáva nulu:. A to v akomkoľvek poradí. Toto je definícia záporného (alebo opačného) čísla.
Pre každé číslo, ktoré sme predtým študovali, zavedieme nové záporné číslo, ktorého znamienko je znamienko mínus pred ním. To znamená, že pre každé predchádzajúce číslo sa objavilo jeho záporné dvojča. Takéto dvojčatá sa budú nazývať opačné čísla. (Pozri obrázok 13.)
Ryža. 13. Opačné čísla
Takže definícia: opačné čísla sú dve čísla, ktorých súčet je nula.
Navonok sa líšia iba znakom "".
Ak premennej predchádza napríklad znak „“, čo to znamená? To neznamená, že táto hodnota je záporná. Znamienko mínus znamená, že táto hodnota je opakom čísla:. Ktoré z týchto čísel je kladné a ktoré záporné, nevieme.
Ak potom.
Ak (záporné číslo), potom (kladné číslo).
Čo je opakom nuly? To už vieme.
Ak sa k ľubovoľnému číslu vrátane nuly pridá nula, pôvodné číslo sa nezmení. To znamená, že súčet dvoch núl je nula:. Ale čísla, ktorých súčet je nula, sú opačné. Nula je teda opakom samej seba.
Takže vy a ja sme dali definíciu záporných čísel a zistili, prečo sú potrebné.
Teraz venujme trochu času technike. Zatiaľ sa musíme naučiť, ako nájsť jeho opak pre akékoľvek číslo:
V poslednej časti lekcie si povieme o nových názvoch a označeniach množín, ktoré sa objavia po zavedení záporných čísel.
Definícia opačných čísel
Definícia opačných čísel:
Dve čísla sa nazývajú opačné, ak sa líšia iba znamienkami.
Príklady opačných čísel
Príklady opačných čísel.
1 -1;
2 -2;
99 -99;
-12 12;
-45 45
Tým je jasné, ako nájsť opačné číslo k danému: stačí zmeniť znamienko čísla.
Opačné číslo k 3 je mínus tri.
Príklad. Čísla sú opačné k údajom.
Dané: čísla 1; 5; osem; deväť.
Nájdite opačné čísla.
Na vyriešenie tejto úlohy jednoducho zmeníme znamienka daných čísel:
Urobme tabuľku opačných čísel:
| 1 | 5 | 8 | 9 |
| -1 | -5 | -8 | -9 |
Číslo opačné k nule
Opačné číslo k nule je samotné číslo nula.
Opačné číslo k číslu 0 je teda 0.
Opačné celé čísla
Opačné celé čísla sa líšia iba znamienkami.
Príklady opačných celých čísel.
10 -10
20 -20
125 -125
Dvojica protiľahlých čísel
Keď hovoríme o opačných číslach, vždy znamenajú dvojicu opačných čísel.
Číslo je opakom iného čísla. A každé číslo má iba jedno opačné číslo.
Opačné prirodzené čísla
Čísla opačné k prirodzeným číslam sú záporné celé čísla.
Urobme tabuľku opačných čísel pre prvých päť prirodzených čísel:
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| -1 | -2 | -3 | -4 | -5 |
Súčet opačných čísel
Súčet opačných čísel je nula. Opačné čísla sa totiž líšia len znamienkom.
V rámci tohto článku sa pokúsime zistiť, aké sú opačné čísla. Vysvetlíme si, čo to vo všeobecnosti je, ukážeme si, aké označenia sa pre ne používajú, a rozoberieme niekoľko príkladov. V poslednej časti materiálu uvedieme hlavné vlastnosti opačných čísel.
Aby sme vysvetlili samotný pojem opozície, musíme najprv znázorniť súradnicovú čiaru. Vezmite na ňu bod M (ale nie na samom začiatku odpočítavania). Jeho vzdialenosť k nule sa bude rovnať určitému počtu jednotkových segmentov, ktoré je možné rozdeliť na desatiny a stotiny. Ak nameriame rovnakú vzdialenosť od počiatku v opačnom smere, ako sa nachádza M, môžeme sa dostať do ďalšieho podobného bodu. Nazvime to N. Napríklad od M po nulu je vzdialenosť 2, 4 jednotkových segmentov a od N po nulu tiež. Pozrite sa na obrázok:
Pripomeňme, že ku každému bodu na súradnicovej čiare možno priradiť iba jedno reálne číslo. V tomto prípade našim bodom M a N zodpovedajú určité čísla, ktoré sa nazývajú opačné. Každé číslo má opačné číslo okrem nuly. Keďže toto je východiskový bod, považuje sa za pravý opak.
Zapíšme si definíciu toho, čo sú opačné čísla:
Definícia 1
Naproti sú čísla, ktorým zodpovedajú také body na súradnicovej priamke, ktorým sa dostaneme, ak označíme rovnakú vzdialenosť od počiatku v rôznych smeroch (kladnom a zápornom). Nula je na začiatku a je protikladná k sebe samej.
Ako sa označujú opačné čísla
V tejto podkapitole si predstavíme základný zápis takýchto čísel. Ak máme určité číslo a potrebujeme k nemu zapísať jeho opak, použijeme na to mínus.
Príklad 1
Predpokladajme, že naše číslo sa rovná a, teda jeho opak je a (mínus a). Presne rovnakým spôsobom pre 0,26 je opak 0,26 a pre 145 to bude 145. Ak je samotné pôvodné číslo záporné, napríklad - 9, potom napíšeme opak ako - (- 9).
Aké ďalšie príklady opačných čísel môžete uviesť? Zoberme si celé čísla: 12 a - 12. Opačné racionálne čísla sú 3 2 11 a - 3 2 11, ako aj 8, 128 a - 8, 128, 0, (18901) a - 0, (18901) atď. Iracionálne čísla môžu byť aj opačné, napr. hodnoty číselné výrazy 2 + 1 a - 2 + 1.
Opačné iracionálne čísla budú tiež e a - e.
Základné vlastnosti opačných čísel
K takýmto číslam patria určité vlastnosti. Nižšie uvádzame ich zoznam s vysvetleniami.
Definícia 2
1. Ak je pôvodné číslo kladné, jeho opak bude záporný.
Toto tvrdenie je zrejmé a vyplýva z vyššie uvedeného grafu: takéto čísla sú umiestnené na opačných stranách odkazu na súradnicovej čiare. Ak ste zabudli na koncept kladných a záporných čísel, pozrite si materiál, ktorý sme zverejnili skôr.
Z tohto pravidla možno odvodiť ďalšie veľmi dôležité tvrdenie. V doslovnom tvare vyzerá jeho zápis nasledovne: pre každé kladné a bude pravdivé - (- a) = a. Ukážme si na príklade, prečo je to dôležité.
Zoberme si číslo 5. Pomocou súradnicovej čiary môžete vidieť, že opak je číslo - 5 a naopak. Pomocou zápisu, ktorý sme uviedli vyššie, napíšeme číslo oproti - 5 ako - (- 5). Ukazuje sa, že - (- 5) = 5. Z toho vyplýva záver: opačné čísla sa od seba líšia iba prítomnosťou znamienka mínus.
2. Ďalšia vlastnosť sa zvyčajne nazýva vlastnosť symetrie. Dá sa odvodiť aj zo samotnej definície opačných čísel. Znie to takto:
Definícia 3
Ak je nejaké číslo a opačné k číslu b, potom b je opačné k číslu a.
Je zrejmé, že toto vyhlásenie nepotrebuje ďalšie dôkazy.
3. Tretia vlastnosť opačných čísel je:
Definícia 4
Každé reálne číslo má iba jedno opačné číslo.
Toto tvrdenie vyplýva zo skutočnosti, že veľa čísel nemôže zodpovedať bodom súradnicovej čiary naraz.
Definícia 5
4. Moduly opačných čísel sú rovnaké.
Vyplýva to z definície modulu. Je logické, že body na priamke zodpovedajúce ľubovoľným opačným číslam sú v rovnakej vzdialenosti od referenčného bodu.
Definícia 6
5. Ak sčítame opačné čísla, dostaneme 0.
V doslovnej forme toto tvrdenie vyzerá ako a + (- a) = 0.
Príklad 2
Tu je niekoľko príkladov takýchto výpočtov:
890 + (- 890) = 0 - 45 + 45 = 0 7 + (- 7) = 0
Ako vidíte, toto pravidlo funguje pre všetky čísla – celé čísla, racionálne, iracionálne atď.
Ak si všimnete chybu v texte, vyberte ju a stlačte Ctrl + Enter