Racionálne čísla
štvrtí
- Poriadok. a a b existuje pravidlo, ktoré vám umožňuje medzi nimi jednoznačne identifikovať jeden a len jeden z troch vzťahov: “<
», « >' alebo ' = '. Toto pravidlo sa nazýva pravidlo objednávky a je formulovaný takto: dve nezáporné čísla a súvisia rovnakým vzťahom ako dve celé čísla a ; dve nekladné čísla a a b súvisia rovnakým vzťahom ako dve nezáporné čísla a ; ak náhle a nezáporné a b- teda negatívny a > b. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">
súčet zlomkov
- operácia sčítania. Pre akékoľvek racionálne čísla a a b existuje tzv sumačné pravidlo c. Avšak samotné číslo c volal súčetčísla a a b a označuje sa a proces nájdenia takéhoto čísla sa nazýva zhrnutie. Sumárne pravidlo má nasledujúcu formu:
.
- operácia násobenia. Pre akékoľvek racionálne čísla a a b existuje tzv pravidlo násobenia, čo ich dáva do súladu s nejakým racionálnym číslom c. Avšak samotné číslo c volal prácačísla a a b a označuje sa a proces hľadania takéhoto čísla sa tiež nazýva násobenie. Pravidlo násobenia je nasledovné:
.
- Tranzitivita poradového vzťahu. Pre ľubovoľnú trojicu racionálnych čísel a , b a c ak a menej b a b menej c, potom a menej c, A keď a rovná sa b a b rovná sa c, potom a rovná sa c. 6435">Komutativita sčítania. Súčet sa nemení od zmeny miesta racionálnych členov.
- Asociativita sčítania. Poradie, v ktorom sú sčítané tri racionálne čísla, neovplyvňuje výsledok.
- Prítomnosť nuly. Existuje racionálne číslo 0, ktoré pri sčítaní zachováva každé iné racionálne číslo.
- Prítomnosť opačných čísel. Každé racionálne číslo má opačné racionálne číslo, ktoré po sčítaní dáva 0.
- Komutivita násobenia. Zmenou miest racionálnych faktorov sa produkt nemení.
- Asociativita násobenia. Poradie, v ktorom sa násobia tri racionálne čísla, neovplyvňuje výsledok.
- Prítomnosť jednotky. Existuje racionálne číslo 1, ktoré pri vynásobení zachováva každé druhé racionálne číslo.
- Prítomnosť recipročných. Každé racionálne číslo má inverzné racionálne číslo, ktoré po vynásobení dáva 1.
- Distribúcia násobenia vzhľadom na sčítanie. Operácia násobenia je v súlade s operáciou sčítania prostredníctvom distribučného zákona:
- Spojenie zákazkového vzťahu s operáciou sčítania. Na ľavú a pravú stranu racionálnej nerovnosti možno pridať rovnaké racionálne číslo. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
- Archimedova axióma. Bez ohľadu na racionálne číslo a, môžete si vziať toľko jednotiek, že ich súčet presiahne a. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">
Ďalšie vlastnosti
Všetky ostatné vlastnosti vlastné racionálnym číslam sa nevyčleňujú ako základné, pretože vo všeobecnosti už nie sú založené priamo na vlastnostiach celých čísel, ale možno ich dokázať na základe daných základných vlastností alebo priamo definíciou nejaký matematický objekt. Existuje veľa takýchto doplnkových vlastností. Tu má zmysel uviesť len niektoré z nich.
Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">
Nastavte počítateľnosť
Číslovanie racionálnych čísel
Ak chcete odhadnúť počet racionálnych čísel, musíte nájsť mohutnosť ich množiny. Je ľahké dokázať, že množina racionálnych čísel je spočítateľná. Na to stačí dať algoritmus, ktorý vymenúva racionálne čísla, to znamená, že vytvára bijekciu medzi množinami racionálnych a prirodzených čísel.
Najjednoduchší z týchto algoritmov je nasledujúci. Na každom je zostavená nekonečná tabuľka obyčajných zlomkov i-tý riadok v každom j stĺpec, ktorého je zlomok. Pre istotu sa predpokladá, že riadky a stĺpce tejto tabuľky sú očíslované od jednej. Bunky tabuľky sú označené , kde i- číslo riadku tabuľky, v ktorej sa bunka nachádza, a j- číslo stĺpca.
Výslednú tabuľku spravuje "had" podľa nasledujúceho formálneho algoritmu.
Tieto pravidlá sa prehľadávajú zhora nadol a ďalšia pozícia sa vyberá podľa prvého zápasu.
V procese takéhoto premostenia je každé nové racionálne číslo priradené ďalšiemu prirodzenému číslu. To znamená, že zlomkom 1/1 je priradené číslo 1, zlomkom 2/1 číslo 2 atď. Treba poznamenať, že očíslované sú iba neredukovateľné zlomky. Formálnym znakom neredukovateľnosti je rovnosť k jednote najväčšieho spoločného deliteľa čitateľa a menovateľa zlomku.
Podľa tohto algoritmu je možné spočítať všetky kladné racionálne čísla. To znamená, že množina kladných racionálnych čísel je spočítateľná. Je ľahké vytvoriť bijekciu medzi množinami kladných a záporných racionálnych čísel jednoducho tak, že každému racionálnemu číslu priradíme jeho opak. To. množina záporných racionálnych čísel je tiež spočítateľná. Ich spojenie je tiež spočítateľné pomocou vlastnosti spočítateľných množín. Množina racionálnych čísel je spočítateľná aj ako spojenie spočítateľnej množiny s konečnou.
Tvrdenie o spočítateľnosti množiny racionálnych čísel môže spôsobiť zmätok, pretože na prvý pohľad má človek dojem, že je oveľa väčšia ako množina prirodzených čísel. V skutočnosti to tak nie je a existuje dostatok prirodzených čísel na vymenovanie všetkých racionálnych.
Nedostatok racionálnych čísel
Prepona takéhoto trojuholníka nie je vyjadrená žiadnym racionálnym číslom
Racionálne čísla tvaru 1 / n na slobode n možno merať ľubovoľne malé množstvá. Táto skutočnosť vytvára klamlivý dojem, že racionálne čísla môžu merať akékoľvek geometrické vzdialenosti vo všeobecnosti. Je ľahké ukázať, že to nie je pravda.
Poznámky
Literatúra
- I. Kušnír. Príručka matematiky pre školákov. - Kyjev: ASTARTA, 1998. - 520 s.
- P. S. Alexandrov. Úvod do teórie množín a všeobecnej topológie. - M.: hlava. vyd. Fyzikálna matematika lit. vyd. "Veda", 1977
- I. L. Chmelnický. Úvod do teórie algebraických systémov
Odkazy
Nadácia Wikimedia. 2010.
Ako sme videli, množina prirodzených čísel
je uzavretá pod sčítaním a násobením a množinou celých čísel
uzavreté pod sčítanie, násobenie a odčítanie. Žiadna z týchto množín však nie je uzavretá delením, pretože delenie celých čísel môže viesť k zlomkom, ako v prípade 4/3, 7/6, -2/5 atď. Množina všetkých takýchto zlomkov tvorí množinu racionálnych čísel. Racionálne číslo (racionálny zlomok) je teda číslo, ktoré možno znázorniť ako , kde a a d sú celé čísla a d sa nerovná nule. Urobme niekoľko poznámok k tejto definícii.
1) Požadovali sme, aby d bolo iné ako nula. Táto požiadavka (matematicky zapísaná ako nerovnica ) je nevyhnutná, pretože tu d je deliteľ. Zvážte nasledujúce príklady:
Prípad 1.
Prípad 2.
V prípade 1 je d deliteľ v zmysle predchádzajúcej kapitoly, tj 7 je presný deliteľ čísla 21. V prípade 2 je d stále deliteľ, ale v inom zmysle, keďže 7 nie je presným deliteľom čísla. 25.
Ak sa 25 nazýva deliteľné a 7 deliteľ, dostaneme podiel 3 a zvyšok 4. Slovo deliteľ sa tu teda používa vo všeobecnom význame a vzťahuje sa na viac prípadov ako v Ch. I. Avšak v prípadoch, ako je prípad 1, pojem deliteľa zavedený v Ch. ja; preto je potrebné, ako v kap. I, vylučuje možnosť d = 0.
2) Všimnite si, že zatiaľ čo výrazy racionálne číslo a racionálny zlomok sú synonymá, samotné slovo zlomok sa používa na označenie akéhokoľvek algebraického výrazu pozostávajúceho z čitateľa a menovateľa, ako je napr.
3) Definícia racionálneho čísla zahŕňa výraz „číslo, ktoré možno znázorniť ako , kde a a d sú celé čísla a . Prečo sa to nedá nahradiť výrazom „číslo tvaru, kde a a d sú celé čísla a dôvodom je skutočnosť, že existuje nekonečne veľa spôsobov, ako vyjadriť ten istý zlomok (napríklad 2/3 môžu aj byť zapísané ako 4/6, 6/9 alebo alebo 213/33, alebo atď.) a je pre nás žiaduce, aby naša definícia racionálneho čísla nezávisela od konkrétneho spôsobu jeho vyjadrenia.
Zlomok je definovaný tak, že jeho hodnota sa nemení, keď sa čitateľ a menovateľ vynásobia rovnakým číslom. Nie vždy je však možné len pohľadom na daný zlomok zistiť, či je racionálny alebo nie. Zoberme si napríklad čísla
Žiadna z nich v nami zvolenom zápise nemá tvar , kde a a d sú celé čísla.
Môžeme však vykonať sériu aritmetických transformácií na prvom zlomku a dostať
Dostaneme sa teda k zlomku, ktorý sa rovná pôvodnému zlomku, pre ktorý . Číslo je teda racionálne, ale nebolo by racionálne, keby definícia racionálneho čísla vyžadovala, aby číslo bolo v tvare a/b, kde a a b sú celé čísla. V prípade konverzného zlomku
viesť k číslu. V ďalších kapitolách sa dozvieme, že číslo nemožno reprezentovať ako pomer dvoch celých čísel, a preto nie je racionálne, alebo sa o ňom hovorí, že je iracionálne.
4) Všimnite si, že každé celé číslo je racionálne. Ako sme práve videli, platí to v prípade čísla 2. Vo všeobecnom prípade ľubovoľných celých čísel možno podobne každému z nich priradiť menovateľa 1 a získať ich reprezentáciu ako racionálne zlomky.
) sú čísla s kladným alebo záporným znamienkom (celé číslo a zlomky) a nulou. Presnejší koncept racionálnych čísel znie takto:
racionálne číslo- číslo, ktoré je znázornené jednoduchým zlomkom m/n, kde je čitateľ m sú celé čísla a menovateľ n- celé čísla, napríklad 2/3.
Nekonečné neperiodické zlomky NIE SÚ zahrnuté v množine racionálnych čísel.
a/b, kde a∈ Z (a patrí medzi celé čísla) b∈ N (b patrí medzi prirodzené čísla).
Používanie racionálnych čísel v reálnom živote.
V reálnom živote sa množina racionálnych čísel používa na počítanie častí niektorých celočíselne deliteľných objektov, Napríklad, koláče alebo iné potraviny, ktoré sú pred konzumáciou nakrájané na kúsky, alebo pre hrubý odhad priestorových vzťahov rozšírených predmetov.
Vlastnosti racionálnych čísel.
Základné vlastnosti racionálnych čísel.
1. poriadkumilovnosť a a b existuje pravidlo, ktoré vám umožňuje jednoznačne identifikovať medzi nimi 1-ale iba jeden z 3 vzťahov: “<», «>" alebo "=". Toto pravidlo je - pravidlo objednávky a sformuluj to takto:
- 2 kladné čísla a=m a /n a a b = m b / n b súvisí rovnakým vzťahom ako 2 celé čísla m a⋅ nb a m b⋅ n a;
- 2 záporné čísla a a b súvisí rovnakým vzťahom ako 2 kladné čísla |b| a |a|;
- kedy a pozitívne a b- teda negatívny a>b.
∀ a,b∈ Q(a ∨ a>b∨ a=b)
2. Operácia sčítania. Pre všetky racionálne čísla a a b existuje sumačné pravidlo, čo ich dáva do súladu s určitým racionálnym číslom c. Avšak samotné číslo c- to súčetčísla a a b a označuje sa ako (a+b) zhrnutie.
Sumačné pravidlo vyzerá takto:
m a/n a + m b/nb = (m a⋅ nb+mb⋅ n a)/(n a⋅ nb).
∀ a,b∈ Q∃ !(a+b)∈ Q
3. operácia násobenia. Pre všetky racionálne čísla a a b existuje pravidlo násobenia, spája ich s určitým racionálnym číslom c. Volá sa číslo c prácačísla a a b a označujú (a⋅b), a proces hľadania tohto čísla sa nazýva násobenie.
pravidlo násobenia vyzerá takto: m a n a⋅ m b n b = m a⋅ m b n a⋅ nb.
∀a,b∈Q ∃(a⋅b)∈Q
4. Tranzitivita poradového vzťahu. Pre ľubovoľné tri racionálne čísla a, b a c ak a menej b a b menej c, potom a menej c, A keď a rovná sa b a b rovná sa c, potom a rovná sa c.
∀ a,b,c∈ Q(a ∧ b ⇒ a ∧ (a=b∧ b=c⇒ a = c)
5. Komutatívnosť sčítania. Od zmeny miest racionálnych pojmov sa súčet nemení.
∀ a,b∈ Qa+b=b+a
6. Asociativita sčítania. Poradie sčítania 3 racionálnych čísel nemá vplyv na výsledok.
∀ a,b,c∈ Q(a+b)+c=a+(b+c)
7. Prítomnosť nuly. Existuje racionálne číslo 0, pri sčítaní zachováva každé druhé racionálne číslo.
∃ 0 ∈ Q∀ a∈ Qa+0=a
8. Prítomnosť opačných čísel. Každé racionálne číslo má opačné racionálne číslo, ich sčítaním je 0.
∀ a∈ Q∃ (-a)∈ Qa+(-a)=0
9. Komutivita násobenia. Zmenou miest racionálnych faktorov sa produkt nemení.
∀ a,b∈ Q a⋅ b = b⋅ a
10. Asociativita násobenia. Poradie násobenia 3 racionálnych čísel nemá vplyv na výsledok.
∀ a,b,c∈ Q(a⋅ b)⋅ c=a⋅ (b⋅ c)
11. Dostupnosť jednotky. Existuje racionálne číslo 1, zachováva každé druhé racionálne číslo v procese násobenia.
∃ 1 ∈ Q∀ a∈ Q a⋅ 1 = a
12. Prítomnosť recipročných. Každé racionálne číslo iné ako nula má inverzné racionálne číslo, ktorého vynásobením dostaneme 1 .
∀ a∈ Q∃ a-1∈ Q a⋅ a-1=1
13. Distribúcia násobenia vzhľadom na sčítanie. Operácia násobenia súvisí so sčítaním pomocou distribučného zákona:
∀ a,b,c∈ Q(a+b)⋅ c=a⋅ c+b⋅ c
14. Spojenie objednávkového vzťahu s operáciou sčítania. Na ľavú a pravú stranu racionálnej nerovnosti sa pridá rovnaké racionálne číslo.
∀ a,b,c∈ Qa ⇒ a+c
15. Spojenie poradového vzťahu s operáciou násobenia. Ľavú a pravú stranu racionálnej nerovnosti možno vynásobiť rovnakým nezáporným racionálnym číslom.
∀ a,b,c∈ Qc > 0∧ a ⇒ a⋅ c ⋅ c
16. Archimedova axióma. Bez ohľadu na racionálne číslo a, je ľahké vziať toľko jednotiek, že ich súčet bude väčší a.
Racionálne čísla
štvrtí
- Poriadok. a a b existuje pravidlo, ktoré vám umožňuje medzi nimi jednoznačne identifikovať jeden a len jeden z troch vzťahov: “<
», « >' alebo ' = '. Toto pravidlo sa nazýva pravidlo objednávky a je formulovaný takto: dve nezáporné čísla a súvisia rovnakým vzťahom ako dve celé čísla a ; dve nekladné čísla a a b súvisia rovnakým vzťahom ako dve nezáporné čísla a ; ak náhle a nezáporné a b- teda negatívny a > b. src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">
súčet zlomkov
- operácia sčítania. Pre akékoľvek racionálne čísla a a b existuje tzv sumačné pravidlo c. Avšak samotné číslo c volal súčetčísla a a b a označuje sa a proces nájdenia takéhoto čísla sa nazýva zhrnutie. Sumárne pravidlo má nasledujúcu formu:
.
- operácia násobenia. Pre akékoľvek racionálne čísla a a b existuje tzv pravidlo násobenia, čo ich dáva do súladu s nejakým racionálnym číslom c. Avšak samotné číslo c volal prácačísla a a b a označuje sa a proces hľadania takéhoto čísla sa tiež nazýva násobenie. Pravidlo násobenia je nasledovné:
.
- Tranzitivita poradového vzťahu. Pre ľubovoľnú trojicu racionálnych čísel a , b a c ak a menej b a b menej c, potom a menej c, A keď a rovná sa b a b rovná sa c, potom a rovná sa c. 6435">Komutativita sčítania. Súčet sa nemení od zmeny miesta racionálnych členov.
- Asociativita sčítania. Poradie, v ktorom sú sčítané tri racionálne čísla, neovplyvňuje výsledok.
- Prítomnosť nuly. Existuje racionálne číslo 0, ktoré pri sčítaní zachováva každé iné racionálne číslo.
- Prítomnosť opačných čísel. Každé racionálne číslo má opačné racionálne číslo, ktoré po sčítaní dáva 0.
- Komutivita násobenia. Zmenou miest racionálnych faktorov sa produkt nemení.
- Asociativita násobenia. Poradie, v ktorom sa násobia tri racionálne čísla, neovplyvňuje výsledok.
- Prítomnosť jednotky. Existuje racionálne číslo 1, ktoré pri vynásobení zachováva každé druhé racionálne číslo.
- Prítomnosť recipročných. Každé racionálne číslo má inverzné racionálne číslo, ktoré po vynásobení dáva 1.
- Distribúcia násobenia vzhľadom na sčítanie. Operácia násobenia je v súlade s operáciou sčítania prostredníctvom distribučného zákona:
- Spojenie zákazkového vzťahu s operáciou sčítania. Na ľavú a pravú stranu racionálnej nerovnosti možno pridať rovnaké racionálne číslo. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">
- Archimedova axióma. Bez ohľadu na racionálne číslo a, môžete si vziať toľko jednotiek, že ich súčet presiahne a. src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">
Ďalšie vlastnosti
Všetky ostatné vlastnosti vlastné racionálnym číslam sa nevyčleňujú ako základné, pretože vo všeobecnosti už nie sú založené priamo na vlastnostiach celých čísel, ale možno ich dokázať na základe daných základných vlastností alebo priamo definíciou nejaký matematický objekt. Existuje veľa takýchto doplnkových vlastností. Tu má zmysel uviesť len niektoré z nich.
Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">
Nastavte počítateľnosť
Číslovanie racionálnych čísel
Ak chcete odhadnúť počet racionálnych čísel, musíte nájsť mohutnosť ich množiny. Je ľahké dokázať, že množina racionálnych čísel je spočítateľná. Na to stačí dať algoritmus, ktorý vymenúva racionálne čísla, to znamená, že vytvára bijekciu medzi množinami racionálnych a prirodzených čísel.
Najjednoduchší z týchto algoritmov je nasledujúci. Na každom je zostavená nekonečná tabuľka obyčajných zlomkov i-tý riadok v každom j stĺpec, ktorého je zlomok. Pre istotu sa predpokladá, že riadky a stĺpce tejto tabuľky sú očíslované od jednej. Bunky tabuľky sú označené , kde i- číslo riadku tabuľky, v ktorej sa bunka nachádza, a j- číslo stĺpca.
Výslednú tabuľku spravuje "had" podľa nasledujúceho formálneho algoritmu.
Tieto pravidlá sa prehľadávajú zhora nadol a ďalšia pozícia sa vyberá podľa prvého zápasu.
V procese takéhoto premostenia je každé nové racionálne číslo priradené ďalšiemu prirodzenému číslu. To znamená, že zlomkom 1/1 je priradené číslo 1, zlomkom 2/1 číslo 2 atď. Treba poznamenať, že očíslované sú iba neredukovateľné zlomky. Formálnym znakom neredukovateľnosti je rovnosť k jednote najväčšieho spoločného deliteľa čitateľa a menovateľa zlomku.
Podľa tohto algoritmu je možné spočítať všetky kladné racionálne čísla. To znamená, že množina kladných racionálnych čísel je spočítateľná. Je ľahké vytvoriť bijekciu medzi množinami kladných a záporných racionálnych čísel jednoducho tak, že každému racionálnemu číslu priradíme jeho opak. To. množina záporných racionálnych čísel je tiež spočítateľná. Ich spojenie je tiež spočítateľné pomocou vlastnosti spočítateľných množín. Množina racionálnych čísel je spočítateľná aj ako spojenie spočítateľnej množiny s konečnou.
Tvrdenie o spočítateľnosti množiny racionálnych čísel môže spôsobiť zmätok, pretože na prvý pohľad má človek dojem, že je oveľa väčšia ako množina prirodzených čísel. V skutočnosti to tak nie je a existuje dostatok prirodzených čísel na vymenovanie všetkých racionálnych.
Nedostatok racionálnych čísel
Prepona takéhoto trojuholníka nie je vyjadrená žiadnym racionálnym číslom
Racionálne čísla tvaru 1 / n na slobode n možno merať ľubovoľne malé množstvá. Táto skutočnosť vytvára klamlivý dojem, že racionálne čísla môžu merať akékoľvek geometrické vzdialenosti vo všeobecnosti. Je ľahké ukázať, že to nie je pravda.
Poznámky
Literatúra
- I. Kušnír. Príručka matematiky pre školákov. - Kyjev: ASTARTA, 1998. - 520 s.
- P. S. Alexandrov. Úvod do teórie množín a všeobecnej topológie. - M.: hlava. vyd. Fyzikálna matematika lit. vyd. "Veda", 1977
- I. L. Chmelnický. Úvod do teórie algebraických systémov
Odkazy
Nadácia Wikimedia. 2010.
Množina racionálnych čísel
Množina racionálnych čísel sa označuje a možno ju zapísať takto:
Ukazuje sa, že rôzne položky môžu reprezentovať rovnaký zlomok, napríklad a , (všetky zlomky, ktoré možno navzájom získať vynásobením alebo delením rovnakým prirodzeným číslom, predstavujú rovnaké racionálne číslo). Keďže delením čitateľa a menovateľa zlomku ich najväčším spoločným deliteľom možno získať jediné neredukovateľné zobrazenie racionálneho čísla, možno o ich množine hovoriť ako o množine neredukovateľné zlomky s celočíselným spoločným číslom a prirodzeným menovateľom:
Tu je najväčší spoločný deliteľ čísel a .
Množina racionálnych čísel je prirodzeným zovšeobecnením množiny celých čísel. Je ľahké vidieť, že ak má racionálne číslo menovateľa, potom je to celé číslo. Množina racionálnych čísel je na číselnej osi všade hustá: medzi akýmikoľvek dvoma rôznymi racionálnymi číslami je aspoň jedno racionálne číslo (a teda nekonečná množina racionálnych čísel). Ukazuje sa však, že množina racionálnych čísel má spočítateľnú mohutnosť (to znamená, že všetky jej prvky možno prečíslovať). Všimnite si, mimochodom, aj starí Gréci boli presvedčení o existencii čísel, ktoré nemožno znázorniť zlomkom (napríklad dokázali, že neexistuje žiadne racionálne číslo, ktorého druhá mocnina je 2).
Terminológia
Formálna definícia
Formálne sú racionálne čísla definované ako množina tried ekvivalencie párov vzhľadom na vzťah ekvivalencie if . V tomto prípade sú operácie sčítania a násobenia definované takto:
Súvisiace definície
Správne, nesprávne a zmiešané frakcie
Správne Zlomok sa nazýva, ak je modul v čitateli menší ako modul v menovateli. Vlastné zlomky predstavujú racionálne čísla, modulo menšie ako jedna. Zlomok, ktorý nie je správny, sa nazýva nesprávne a predstavuje racionálne číslo väčšie alebo rovné jednému modulu.
Nevlastný zlomok môže byť reprezentovaný ako súčet celého čísla a nazývaného vlastného zlomku zmiešaná frakcia . Napríklad . Podobný zápis (s chýbajúcim znakom sčítania), hoci sa používa v elementárnej aritmetike, sa v rigoróznej matematickej literatúre vyhýba kvôli podobnosti zápisu pre zmiešaný zlomok so zápisom pre súčin celého čísla a zlomku.
Výška záberu
Výška bežného zlomku je súčet modulu čitateľa a menovateľa tohto zlomku. Výška racionálneho čísla je súčet modulov čitateľa a menovateľa neredukovateľného obyčajného zlomku zodpovedajúceho tomuto číslu.
Napríklad výška zlomku je . Výška zodpovedajúceho racionálneho čísla je , pretože zlomok sa zníži o .
Komentár
Termín zlomkové číslo (zlomok) niekedy [ objasniť] sa používa ako synonymum výrazu racionálne číslo a niekedy synonymum pre akékoľvek iné ako celé číslo. V druhom prípade sú zlomkové a racionálne čísla odlišné veci, odvtedy sú necelé racionálne čísla len špeciálnym prípadom zlomkových čísel.
Vlastnosti
Základné vlastnosti
Množina racionálnych čísel spĺňa šestnásť základných vlastností, ktoré možno ľahko získať z vlastností celých čísel.
- Poriadok. Pre akékoľvek racionálne čísla existuje pravidlo, ktoré vám umožňuje jednoznačne identifikovať medzi nimi jeden a len jeden z troch vzťahov: "", "" alebo "". Toto pravidlo sa nazýva pravidlo objednávky a je formulovaný takto: dve kladné čísla a súvisia rovnakým vzťahom ako dve celé čísla a ; dve nezáporné čísla a súvisia rovnakým vzťahom ako dve nezáporné čísla a ; ak zrazu nezáporné, ale - negatívne, tak .
súčet zlomkov
- operácia sčítania. sumačné pravidlo súčetčísla a a sú označené ako a proces nájdenia takéhoto čísla sa nazýva zhrnutie. Sčítacie pravidlo má nasledujúcu formu: .
- operácia násobenia. Pre akékoľvek racionálne čísla a existuje tzv pravidlo násobenia, čo ich dáva do súladu s nejakým racionálnym číslom . Samotné číslo sa volá prácačísla a a sú označené a proces nájdenia takého čísla sa tiež nazýva násobenie. Pravidlo násobenia má nasledujúci tvar: .
- Tranzitivita poradového vzťahu. Pre akúkoľvek trojicu racionálnych čísel, a ak je menšia ako a menšia ako, potom menšia ako, a ak sa rovná a rovná sa, potom sa rovná .
- Komutatívnosť sčítania. Od zmeny miest racionálnych pojmov sa súčet nemení.
- Asociativita sčítania. Poradie, v ktorom sú sčítané tri racionálne čísla, neovplyvňuje výsledok.
- Prítomnosť nuly. Existuje racionálne číslo 0, ktoré pri sčítaní zachováva každé iné racionálne číslo.
- Prítomnosť opačných čísel. Každé racionálne číslo má opačné racionálne číslo, ktoré po sčítaní dáva 0.
- Komutivita násobenia. Zmenou miest racionálnych faktorov sa produkt nemení.
- Asociativita násobenia. Poradie, v ktorom sa násobia tri racionálne čísla, neovplyvňuje výsledok.
- Prítomnosť jednotky. Existuje racionálne číslo 1, ktoré pri vynásobení zachováva každé druhé racionálne číslo.
- Prítomnosť recipročných. Každé nenulové racionálne číslo má inverzné racionálne číslo, ktorého vynásobením dostaneme 1.
- Distribúcia násobenia vzhľadom na sčítanie. Operácia násobenia je v súlade s operáciou sčítania prostredníctvom distribučného zákona:
- Spojenie zákazkového vzťahu s operáciou sčítania. K ľavej a pravej strane racionálnej nerovnosti možno pridať rovnaké racionálne číslo.
- Spojenie poradového vzťahu s operáciou násobenia.Ľavú a pravú stranu racionálnej nerovnosti možno vynásobiť rovnakým kladným racionálnym číslom.
- Archimedova axióma. Bez ohľadu na racionálne číslo môžete vziať toľko jednotiek, že ich súčet presiahne.
Ďalšie vlastnosti
Všetky ostatné vlastnosti vlastné racionálnym číslam sa nevyčleňujú ako základné, pretože vo všeobecnosti už nie sú založené priamo na vlastnostiach celých čísel, ale možno ich dokázať na základe daných základných vlastností alebo priamo definíciou nejaký matematický objekt. Existuje veľa takýchto doplnkových vlastností. Tu má zmysel uviesť len niektoré z nich.
Nastavte počítateľnosť
Ak chcete odhadnúť počet racionálnych čísel, musíte nájsť mohutnosť ich množiny. Je ľahké dokázať, že množina racionálnych čísel je spočítateľná. Na to stačí dať algoritmus, ktorý vymenúva racionálne čísla, to znamená, že vytvára bijekciu medzi množinami racionálnych a prirodzených čísel. Nasledujúci jednoduchý algoritmus môže slúžiť ako príklad takejto konštrukcie. Zostaví sa nekonečná tabuľka obyčajných zlomkov, v každom -tom riadku v každom -tom stĺpci je zlomok. Pre istotu sa predpokladá, že riadky a stĺpce tejto tabuľky sú očíslované od jednej. Bunky tabuľky sú označené , kde je číslo riadka tabuľky, v ktorej sa bunka nachádza, a číslo stĺpca.
Výslednú tabuľku spravuje "had" podľa nasledujúceho formálneho algoritmu.
Tieto pravidlá sa prehľadávajú zhora nadol a ďalšia pozícia sa vyberá podľa prvého zápasu.
V procese takéhoto premostenia je každé nové racionálne číslo priradené ďalšiemu prirodzenému číslu. To znamená, že zlomkom je priradené číslo 1, zlomkom číslo 2 atď. Treba poznamenať, že očíslované sú iba neredukovateľné zlomky. Formálnym znakom neredukovateľnosti je rovnosť k jednote najväčšieho spoločného deliteľa čitateľa a menovateľa zlomku.
Podľa tohto algoritmu je možné spočítať všetky kladné racionálne čísla. To znamená, že množina kladných racionálnych čísel je spočítateľná. Je ľahké vytvoriť bijekciu medzi množinami kladných a záporných racionálnych čísel jednoducho tak, že každému racionálnemu číslu priradíme jeho opak. To. množina záporných racionálnych čísel je tiež spočítateľná. Ich spojenie je tiež spočítateľné pomocou vlastnosti spočítateľných množín. Množina racionálnych čísel je spočítateľná aj ako spojenie spočítateľnej množiny s konečnou.
Samozrejme, existujú aj iné spôsoby, ako vyčísliť racionálne čísla. Napríklad na to môžete použiť štruktúry ako Calkin - strom Wilf, strom Stern - Brokaw alebo séria Farey.
Tvrdenie o spočítateľnosti množiny racionálnych čísel môže spôsobiť zmätok, pretože na prvý pohľad má človek dojem, že je oveľa väčšia ako množina prirodzených čísel. V skutočnosti to tak nie je a existuje dostatok prirodzených čísel na vymenovanie všetkých racionálnych.
Nedostatok racionálnych čísel
pozri tiež
|
|||||
| Racionálne čísla | |||||
Poznámky
Literatúra
- I. Kušnír. Príručka matematiky pre školákov. - Kyjev: ASTARTA, 1998. - 520 s.
- P. S. Alexandrov. Úvod do teórie množín a všeobecnej topológie. - M.: hlava. vyd. Fyzikálna matematika lit. vyd. "Veda", 1977
- I. L. Chmelnický. Úvod do teórie algebraických systémov