a. Naj sta podani dve ravni črti, ki, kot je navedeno v 1. poglavju, tvorita različne pozitivne in negativne kote, ki so v tem primeru lahko tako ostri kot topi. Če poznamo enega od teh kotov, zlahka najdemo katerega koli drugega.
Mimogrede, za vse te kote je številčna vrednost tangente enaka, razlika je lahko le v predznaku
Enačbe črt. Številke so projekcije smernih vektorjev prve in druge premosce, kot med tema vektorjema pa je enak enemu od kotov, ki jih tvorijo premice. Zato je naloga zmanjšana na določitev kota med vektorjema, Dobimo
Zaradi preprostosti se lahko dogovorimo, da kot med dvema ravnima pomeni ostri pozitivni kot (kot na primer na sliki 53).
Potem bo tangent tega kota vedno pozitiven. Če torej dobimo znak minus na desni strani formule (1), ga moramo zavreči, torej obdržati samo absolutno vrednost.
Primer. Določite kot med ravnimi črtami
Po formuli (1) imamo
z Če je označeno, katera od stranic kota je njegov začetek in katera konec, potem lahko, če vedno štejemo smer kota v nasprotni smeri urinega kazalca, iz formule (1) izvlečemo nekaj več. Kot je enostavno videti iz sl. 53. predznak, pridobljen na desni strani formule (1), bo označeval, kateri - oster ali tup - kot tvori drugo ravno črto s prvim.
(Dejansko iz slike 53 vidimo, da je kot med prvim in drugim smernim vektorjem enak želenemu kotu med ravnima ali pa se od njega razlikuje za ± 180 °.)
d. Če sta premici vzporedni, potem sta tudi njuna smerna vektorja vzporedna. Če uporabimo pogoj vzporednosti dveh vektorjev, dobimo!
To je nujen in zadosten pogoj za vzporednost dveh ravnih črt.
Primer. Neposredno
so vzporedne, ker
e. Če so premice pravokotne, so tudi njuni vektorji smeri pravokotni. Z uporabo pogoja pravokotnosti dveh vektorjev dobimo pogoj pravokotnosti dveh ravnih črt, in sicer
Primer. Neposredno
so pravokotne zaradi dejstva, da
V povezavi s pogoji vzporednosti in pravokotnosti bomo rešili naslednja dva problema.
f. Skozi točko, ki je vzporedna s to premo, narišite ravno črto
Rešitev se izvede na naslednji način. Ker je želena premica vzporedna z dano, potem lahko za njen vektor smeri vzamemo isto kot vektor dane premice, to je vektor s projekcijama A in B. Nato pa enačbo želene premice bo zapisano v obliki (§ 1)
Primer. Enačba premice, ki poteka skozi točko (1; 3), vzporedno s premo črto
bo naslednji!
g. Skozi točko, pravokotno na to ravno črto, narišite ravno črto
Tukaj ni več primerno vzeti vektorja s projekcijami A in kot vektor smeri, ampak je treba pihati vektor, ki je pravokoten nanj. Projekcije tega vektorja je torej treba izbrati glede na pogoj pravokotnosti obeh vektorjev, torej glede na pogoj
Ta pogoj je mogoče izpolniti na nešteto načinov, saj je tu ena enačba z dvema neznankama. Najlažje pa je, da gremo. Potem bo enačba želene premice zapisana v obliki
Primer. Enačba premice, ki poteka skozi točko (-7; 2) v pravokotni črti
bo naslednji (po drugi formuli)!
h. V primeru, ko so ravne črte podane z enačbami oblike
Bom kratek. Kot med dvema črtama je enak kotu med njunima smernima vektorjema. Torej, če lahko najdete koordinate smernih vektorjev a = (x 1; y 1; z 1) in b = (x 2; y 2; z 2), lahko najdete kot. Natančneje, kosinus kota po formuli:
Poglejmo, kako ta formula deluje s posebnimi primeri:
Naloga. Točki E in F sta označeni v kocki ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - središčih robov A 1 B 1 oziroma B 1 C 1. Poiščite kot med črtama AE in BF.
Ker rob kocke ni označen, postavimo AB = 1. Uvedemo standardni koordinatni sistem: izhodišče je v točki A, osi x, y, z so usmerjene vzdolž AB, AD in AA 1. Segment enote je enak AB = 1. Sedaj najdemo koordinate smernih vektorjev za naše črte.
Poiščimo koordinate vektorja AE. Za to potrebujemo točki A = (0; 0; 0) in E = (0,5; 0; 1). Ker je točka E središče segmenta A 1 B 1, so njene koordinate enake aritmetični sredini koordinat koncev. Upoštevajte, da izvor vektorja AE sovpada z izhodiščem, zato je AE = (0,5; 0; 1).
Zdaj pa se ukvarjamo z vektorjem BF. Podobno razčlenimo točki B = (1; 0; 0) in F = (1; 0,5; 1), ker F - sredina segmenta B 1 C 1. Imamo:
BF = (1 - 1; 0,5 - 0; 1 - 0) = (0; 0,5; 1).
Tako so vektorji smeri pripravljeni. Kosinus kota med ravnimi črtami je kosinus kota med vektorjema smeri, tako da imamo:
Naloga. V pravilni triedrski prizmi ABCA 1 B 1 C 1, katere vsi robovi so enaki 1, sta označeni točki D in E - središča robov A 1 B 1 oziroma B 1 C 1. Poiščite kot med črtama AD in BE.
Uvedemo standardni koordinatni sistem: izvor je v točki A, os x je usmerjena vzdolž AB, z - vzdolž AA 1. Os y usmerimo tako, da ravnina OXY sovpada z ravnino ABC. Odsek enote je enak AB = 1. Poiščite koordinate smernih vektorjev za iskane premice.
Najprej poiščimo koordinate vektorja AD. Upoštevajte točki: A = (0; 0; 0) in D = (0,5; 0; 1), ker D - sredina segmenta A 1 B 1. Ker izhodišče vektorja AD sovpada z izhodiščem, dobimo AD = (0,5; 0; 1).
Zdaj pa poiščimo koordinate vektorja BE. Točko B = (1; 0; 0) je enostavno izračunati. S točko E - sredino segmenta C 1 B 1 - je malo težje. Imamo:
Ostaja še najti kosinus kota:
Naloga. V pravilni šesterokotni prizmi ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, katere vsi robovi so enaki 1, sta označeni točki K in L - središča robov A 1 B 1 oziroma B 1 C 1. Poiščite kot med premici AK in BL.
Uvedemo standardni koordinatni sistem za prizmo: izhodišče koordinat postavimo v središče spodnje podlage, os x usmerimo vzdolž FC, os y skozi središča segmentov AB in DE ter z- os navpično navzgor. Odsek enote je spet enak AB = 1. Zapišimo koordinate točk, ki nas zanimajo:
Točki K in L sta središči segmentov A 1 B 1 oziroma B 1 C 1, zato njune koordinate najdemo prek aritmetične sredine. Če poznamo točke, najdemo koordinate smernih vektorjev AK in BL:
Zdaj poiščimo kosinus kota:
Naloga. V pravilni štirikotni piramidi SABCD, katere vsi robovi so enaki 1, sta označeni točki E in F - središči stranic SB oziroma SC. Poiščite kot med črtama AE in BF.
Uvedemo standardni koordinatni sistem: izhodišče je v točki A, os x in y sta usmerjeni vzdolž AB in AD, os z pa je usmerjena navpično navzgor. Odsek enote je enak AB = 1.
Točki E in F sta središči segmentov SB oziroma SC, zato se njune koordinate najdejo kot aritmetična sredina koncev. Zapišimo koordinate točk, ki nas zanimajo:
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)
Če poznamo točke, najdemo koordinate smernih vektorjev AE in BF:
Koordinate vektorja AE sovpadajo s koordinatami točke E, saj je točka A izhodišče. Ostaja še najti kosinus kota:
Ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo Zato pojdimo k prvemu razdelku, upam, da bom do konca članka ohranil veselo razpoloženje.
Relativni položaj dveh ravnih črt
Primer, ko občinstvo poje skupaj z refrenom. Dve ravni črti lahko:
1) tekmo;
2) biti vzporedni:;
3) ali sekajo v eni točki:.
Pomoč za lutke : prosim zapomnite si matematični znak križišča, zelo pogost bo. Zapis kaže, da se premica seka s črto v točki.
Kako določiti relativni položaj dveh ravnih črt?
Začnimo s prvim primerom:
Dve premici sovpadata, če in samo če so njuni ustrezni koeficienti sorazmerni, torej obstaja toliko "lambd", da veljajo enakosti
Upoštevajte ravne črte in sestavite tri enačbe iz ustreznih koeficientov:. Iz vsake enačbe sledi, da torej te premice sovpadajo.
Dejansko, če so vsi koeficienti enačbe 
pomnožimo z -1 (spremenimo predznake) in vse koeficiente enačbe 
zmanjšano za 2, dobite enako enačbo:.
Drugi primer, ko sta premici vzporedni:
Dve premici sta vzporedni, če in samo če so njuni koeficienti za spremenljivke sorazmerni: 
, ampak.
Kot primer upoštevajte dve vrstici. Preverimo sorazmernost ustreznih koeficientov za spremenljivke: 
Vendar je to povsem jasno.
In tretji primer, ko se vrstice sekata:
Dve premici se sekata, če in samo če njuni koeficienti za spremenljivke NISO sorazmerni, torej NI take vrednosti lambda, da bi bile enakosti izpolnjene 
Torej, za ravne črte bomo sestavili sistem: 
Iz prve enačbe sledi, da, iz druge enačbe pa: sistem je nedosleden(brez rešitev). Tako koeficienti spremenljivk niso sorazmerni.
Zaključek: črte se križajo
Pri praktičnih težavah lahko uporabite pravkar obravnavano shemo rešitev. Mimogrede, zelo je podoben algoritmu za preverjanje kolinearnosti vektorjev, ki smo ga obravnavali v lekciji Koncept linearne (ne)odvisnosti vektorjev. Osnova vektorjev... Toda obstaja bolj civilizirana embalaža:
Primer 1
Ugotovite relativni položaj ravnih črt: 
Rešitev temelji na študiji smernih vektorjev ravnih črt:
a) Iz enačb najdemo vektorje smeri premic: 
.
, tako da vektorji niso kolinearni in se premici sekata.
Za vsak slučaj bom na razpotje postavil kamen s kazalci:
Ostali skočijo čez kamen in sledijo, naravnost do Kaščeja nesmrtnega =)
b) Poiščite vektorje smeri ravnih črt: 
Premice imajo enak vektor smeri, kar pomeni, da so bodisi vzporedne bodisi sovpadajo. Tudi tukaj ni treba šteti determinante.
Očitno so koeficienti za neznanke sorazmerni, medtem ko.
Ugotovimo, ali je enakost resnična: 
tako,
c) Poiščite vektorje smeri ravnih črt: 
Izračunajmo determinanto, sestavljeno iz koordinat teh vektorjev: 
zato so vektorji smeri kolinearni. Črte so bodisi vzporedne bodisi sovpadajo.
Koeficient sorazmernosti "lambda" je enostavno videti neposredno iz razmerja kolinearnih vektorjev smeri. Lahko pa ga najdemo tudi prek koeficientov samih enačb: 
.
Zdaj pa ugotovimo, ali je enakost resnična. Oba prosta izraza sta nič, torej:
Dobljena vrednost izpolnjuje to enačbo (na splošno jo izpolnjuje katero koli število).
Tako črte sovpadajo.
Odgovori:
Zelo kmalu se boste naučili (ali pa ste se že naučili), kako rešiti problem, ki ga obravnavate ustno, dobesedno v nekaj sekundah. V zvezi s tem ne vidim razloga, da bi ponudili karkoli za samostojno rešitev, bolje je položiti še eno pomembno opeko v geometrijski temelj:
Kako zgraditi ravno črto, vzporedno z dano?
Zaradi nepoznavanja te najpreprostejše naloge Slavec Razbojnik strogo kaznuje.
Primer 2
Ravna črta je podana z enačbo. Izenači vzporedno premico, ki poteka skozi točko.
Rešitev: Označimo neznano ravno črko. Kaj stanje pove o njej? Ravna črta gre skozi točko. In če so ravne črte vzporedne, potem je očitno, da je usmerjevalni vektor premice "tse" primeren tudi za konstruiranje ravne črte "de".
Vektor smeri vzamemo iz enačbe:
Odgovori:
Geometrija primera je videti preprosta: 
Analitično preverjanje je sestavljeno iz naslednjih korakov:
1) Preverimo, ali imata premici enak vektor smeri (če enačba premice ni pravilno poenostavljena, bodo vektorji kolinearni).
2) Preverite, ali točka ustreza dobljeni enačbi.
Analitični pregled je v večini primerov enostaven za ustno. Poglejte obe enačbi in mnogi od vas bodo hitro ugotovili vzporednost ravnih črt brez kakršne koli risbe.
Danes bodo kreativni primeri rešitve, ki jo naredite sami. Ker še vedno moraš tekmovati z Babo Yago, ona pa je, veš, ljubiteljica vseh vrst ugank.
Primer 3
Naredite enačbo premice, ki poteka skozi točko, vzporedno s premo črto, če
Obstaja racionalna in ne preveč racionalna rešitev. Najkrajša pot je na koncu lekcije.
Malo smo delali z vzporednimi ravnimi črtami in se jim bomo vrnili kasneje. Primer sovpadajočih ravnih črt je malo zanimiv, zato razmislite o problemu, ki vam je dobro znan iz šolskega učnega načrta:
Kako najti presečišče dveh premic?
Če naravnost 
sekajo v točki, potem so njene koordinate rešitev sistemi linearnih enačb 
Kako najti točko presečišča črt? Rešite sistem.
Toliko o tebi geometrijski pomen sistema dveh linearnih enačb v dveh neznankah Ali sta dve sekajoči se (najpogosteje) ravni črti na ravnini.
Primer 4
Poiščite točko presečišča črt
Rešitev: Obstajata dva načina reševanja - grafični in analitični.
Grafični način je, da preprosto narišete podatkovne črte in poiščete presečišče neposredno iz risbe: 
Tukaj je naša točka:. Če želite preveriti, morate zamenjati njene koordinate v vsako enačbo ravne črte, prilegati se morajo tako tam kot tam. Z drugimi besedami, koordinate točke so rešitev sistema. V bistvu smo si ogledali grafični način reševanja sistemi linearnih enačb z dvema enačbama, dvema neznankama.
Grafična metoda seveda ni slaba, vendar obstajajo opazne pomanjkljivosti. Ne, ni bistvo v tem, da se tako odločijo sedmošolci, ampak v tem, da bo potreben čas, da dobimo pravilno in TOČNO risbo. Poleg tega ni tako enostavno zgraditi nekaj ravnih črt, sama točka presečišča pa se lahko nahaja nekje v tridesetem kraljestvu zunaj lista zvezka.
Zato je bolj smiselno poiskati presečišče z analitično metodo. Rešimo sistem: 
Za reševanje sistema je bila uporabljena metoda seštevanja enačb po členih. Če želite zgraditi ustrezne veščine, obiščite lekcijo Kako rešiti sistem enačb?
Odgovori:
Preverjanje je trivialno - koordinate presečišča morajo izpolnjevati vsako enačbo v sistemu.
Primer 5
Poiščite točko presečišča premic, če se sekata.
To je primer rešitve naredi sam. Priročno je, da nalogo razdelite na več stopenj. Analiza stanja kaže, kaj je potrebno:
1) Sestavite enačbo ravne črte.
2) Sestavite enačbo ravne črte.
3) Ugotovite relativni položaj ravnih črt.
4) Če se premici sekata, poiščite presečišče.
Razvoj algoritma dejanj je značilen za številne geometrijske probleme in na to se bom večkrat osredotočil.
Popolna rešitev in odgovor na koncu vadnice:
Par čevljev še ni obrabljen, saj smo prišli do drugega dela lekcije:
Pravokotne ravne črte. Razdalja od točke do črte.
Kot med ravnimi črtami
Začnimo s tipično in zelo pomembno nalogo. V prvem delu smo se naučili, kako zgraditi ravno črto, vzporedno s to, zdaj pa se bo koča na piščančjih nogah obrnila za 90 stopinj:
Kako zgraditi ravno črto, pravokotno na dano?
Primer 6
Ravna črta je podana z enačbo. Izenačimo pravokotno črto skozi točko.
Rešitev: Po pogoju je znano, da. Lepo bi bilo najti vektor smeri premice. Ker so črte pravokotne, je trik preprost:
Iz enačbe "odstranite" normalni vektor:, ki bo vektor smeri ravne črte.
Sestavimo enačbo premice s točko in smernim vektorjem:
Odgovori: 
Razširimo geometrijsko skico:
Hmmm ... Oranžno nebo, oranžno morje, oranžna kamela.
Analitično preverjanje rešitve:
1) Vzemite vektorje smeri iz enačb 
in s pomočjo pik produkt vektorjev pridemo do zaključka, da so ravne črte res pravokotne:.
Mimogrede, lahko uporabite običajne vektorje, še lažje je.
2) Preverite, ali točka ustreza dobljeni enačbi 
.
Preverjanje je spet enostavno opraviti ustno.
Primer 7
Poiščite presečišče pravokotnih premic, če je enačba znana 
in točka.
To je primer rešitve naredi sam. V nalogi je več dejanj, zato je priročno sestaviti rešitev po točkah.
Naše razburljivo potovanje se nadaljuje:
Razdalja od točke do črte
Pred nami je ravni pas reke in naša naloga je, da jo dosežemo po najkrajši poti. Ni ovir, najbolj optimalna pot pa bo vožnja po pravokotnici. To pomeni, da je razdalja od točke do premice dolžina pravokotne črte.
Razdalja v geometriji je tradicionalno označena z grško črko "ro", na primer: - razdalja od točke "em" do ravne črte "de".
Razdalja od točke do črte 
izraženo s formulo
Primer 8
Poiščite razdaljo od točke do premice 
Rešitev: vse, kar je potrebno, je, da natančno nadomestite številke v formulo in izvedete izračune:
Odgovori: 
Izvajajmo risbo: 
Najdena razdalja od točke do črte je natančno enaka dolžini rdeče črte. Če narišete risbo na karirasti papir v merilu 1 enote. = 1 cm (2 celici), potem lahko razdaljo izmerimo z navadnim ravnilom.
Razmislite o drugi nalogi za isti načrt:
Naloga je najti koordinate točke, ki je simetrična točki glede na ravno črto 
... Predlagam, da dejanja izvedete sami, vendar bom določil algoritem rešitve z vmesnimi rezultati:
1) Poiščite premico, ki je pravokotna na premico.
2) Poiščite točko presečišča premic: 
.
Obe akciji sta podrobno obravnavani v tej lekciji.
3) Točka je središče odseka črte. Poznamo koordinate sredine in enega od koncev. Avtor formule za koordinate sredine segmenta najdemo.
Ne bo odveč preveriti, ali je razdalja tudi 2,2 enote.
Tu lahko nastanejo težave pri izračunih, vendar v stolpu odlično pomaga mikro kalkulator, ki vam omogoča štetje navadnih ulomkov. Večkrat svetoval, bom svetoval in še enkrat.
Kako najti razdaljo med dvema vzporednima črtama?
Primer 9
Poiščite razdaljo med dvema vzporednima črtama
To je še en primer za samostojno rešitev. Naj vam dam majhen namig: obstaja neskončno veliko načinov za rešitev. Povzetek na koncu lekcije, vendar bolje, da poskusite sami uganiti, mislim, da vam je uspelo precej dobro razpršiti svojo iznajdljivost.
Kot med dvema ravnima črtama
Vsak kot je podboj: 
V geometriji se kot med dvema ravnima vzame kot NAJMANJŠI kot, iz katerega samodejno sledi, da ne more biti tup. Na sliki se kot, označen z rdečim lokom, ne šteje kot kot med sekajočimi se ravnima črtama. In za takega velja njegov "zeleni" sosed, oz nasprotno usmerjeni"Crimson" kotiček.
Če so ravne črte pravokotne, lahko za kot med njimi vzamemo katerega koli od 4 kotov.
Kako se koti razlikujejo? Usmerjenost. Prvič, smer, v katero se kot pomika, je bistveno pomembna. Drugič, negativno usmerjen kot je napisan z znakom minus, na primer če.
Zakaj sem to povedal? Zdi se, da je običajnemu konceptu kota mogoče opustiti. Dejstvo je, da lahko v formulah, po katerih bomo našli kote, zlahka dobite negativen rezultat in to vas ne bi smelo presenetiti. Kot z znakom minus ni nič slabši in ima zelo specifičen geometrijski pomen. Na risbi za negativni kot obvezno označite njegovo usmerjenost s puščico (v smeri urinega kazalca).
Kako najti kot med dvema ravnima? Obstajata dve delovni formuli:
Primer 10
Poiščite kot med ravnimi črtami
Rešitev in Prva metoda
Razmislite o dveh ravnih črtah, podani z enačbami v splošni obliki: 
Če naravnost ne pravokotno, potem usmerjeno kot med njima je mogoče izračunati s formulo: 
Bodimo zelo pozorni na imenovalec – točno to je skalarni produkt vektorji smeri ravnih črt:
Če, potem imenovalec formule izgine in vektorji bodo pravokotni, ravne črte pa pravokotne. Zato je bil narejen pridržek glede nepravokotnosti ravnih črt v formulaciji.
Na podlagi zgoraj navedenega je primerno pripraviti rešitev v dveh korakih:
1) Izračunajte skalarni produkt smernih vektorjev ravnih črt:
, kar pomeni, da ravne črte niso pravokotne.
2) Kot med ravnima črtama najdemo s formulo:
Z uporabo inverzne funkcije je enostavno najti sam vogal. V tem primeru uporabimo liho arktangenta (gl. Grafi in lastnosti elementarnih funkcij):
Odgovori: 
V odgovoru navedemo natančno vrednost, pa tudi približno vrednost (po možnosti tako v stopinjah kot v radianih), izračunano s kalkulatorjem.
No, minus, tako minus, to je v redu. Tukaj je geometrijska ilustracija: 
Ni presenetljivo, da se je izkazalo, da ima kot negativno orientacijo, saj je v izjavi problema prva številka ravna črta in z njo se je začelo "zvijanje" kota.
Če res želite dobiti pozitiven kot, morate zamenjati ravne črte, torej vzeti koeficiente iz druge enačbe 
, koeficienti pa so vzeti iz prve enačbe. Skratka, začeti morate z ravno črto 
.
Navodila
Opomba
Perioda trigonometrične funkcije tangente je 180 stopinj, kar pomeni, da nagibi ravnih črt v absolutni vrednosti ne morejo presegati te vrednosti.
Koristni nasveti
Če sta pobočja enaka drug drugemu, je kot med takšnimi črtami 0, saj takšne črte bodisi sovpadajo bodisi so vzporedne.
Za določitev vrednosti kota med prečkanjem ravnih črt je potrebno obe premici (ali eno od njiju) pred križanjem premakniti na nov položaj z metodo vzporednega prenosa. Po tem bi morali najti vrednost kota med nastalimi sekajočimi se ravnimi črtami.
Boste potrebovali
- Ravnilo, pravokoten trikotnik, svinčnik, kotomer.
Navodila
Torej, naj sta podani vektor V = (a, b, c) in ravnina A x + B y + C z = 0, kjer so A, B in C koordinate normale N. Potem kosinus kota α med vektorjema V in N je enak: сos α = (a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²)).
Če želite izračunati vrednost kota v stopinjah ali radianih, morate iz dobljenega izraza izračunati funkcijo, inverzno kosinusu, t.j. inverzni kosinus: α = arsos ((a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²))).
Primer: najdi injekcija med vektor(5, -3, 8) in letalo podana s splošno enačbo 2 x - 5 y + 3 z = 0 Rešitev: zapiši koordinate vektorja normale ravnine N = (2, -5, 3). V zgornjo formulo nadomestite vse znane vrednosti: cos α = (10 + 15 + 24) / √3724 ≈ 0,8 → α = 36,87 °.
Povezani videoposnetki
Premica, ki ima eno skupno točko s krogom, je tangentna na krog. Druga značilnost tangente je, da je vedno pravokotna na polmer, narisan na točko tangente, to pomeni, da tangenta in polmer tvorita ravno črto injekcija... Če sta iz ene točke A potegnjeni dve tangenti na krog AB in AC, potem sta med seboj vedno enaki. Določanje kota med tangentami ( injekcija ABC) je izdelan z uporabo Pitagorejskega izreka.
Navodila
Za določitev kota morate poznati polmer kroga OB in OS ter razdaljo izhodiščne točke tangente od središča kroga - O. Torej sta kota ABO in ASO enaka, polmer OB na primer 10 cm, razdalja do središča kroga AO pa 15 cm Dolžino tangente vzdolž formule določimo v skladu s Pitagorovim izrekom: AB = kvadratni koren AO2 - OB2 ali 152 - 102 = 225 - 100 = 125;
Opredelitev.Če sta podani dve ravni črti y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, bo ostri kot med tema črtama definiran kot
Dve ravni črti sta vzporedni, če je k 1 = k 2. Dve ravni črti sta pravokotni, če je k 1 = -1 / k 2.
Izrek. Premici Ax + By + C = 0 in A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 sta vzporedni, če sta proporcionalna koeficienta A 1 = λA, B 1 = λB. Če tudi С 1 = λС, potem premici sovpadata. Koordinate presečišča dveh ravnih črt najdemo kot rešitev sistema enačb teh ravnih črt.
Enačba premice, ki poteka skozi dano točko
Pravokotno na to črto
Opredelitev. Premo črto, ki poteka skozi točko M 1 (x 1, y 1) in je pravokotna na premico y = kx + b, predstavlja enačba:
Razdalja od točke do črte
Izrek.Če je podana točka M (x 0, y 0), je razdalja do premice Ax + Vy + C = 0 določena kot
.
Dokaz. Naj bo točka M 1 (x 1, y 1) osnova navpičnice, spuščena iz točke M na dano ravno črto. Potem je razdalja med točkama M in M 1:
(1)
Koordinati x 1 in y 1 lahko najdemo kot rešitev sistema enačb:
Druga enačba sistema je enačba premice, ki poteka skozi dano točko M 0 pravokotno na dano premo črto. Če prvo enačbo sistema pretvorimo v obliko:
A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,
potem z reševanjem dobimo:
Če te izraze nadomestimo v enačbo (1), ugotovimo:
Izrek je dokazan.
Primer... Določi kot med ravnima: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.
k 1 = -3; k 2 = 2; tgφ = 
; φ = p / 4.
Primer... Pokažite, da sta premici 3x - 5y + 7 = 0 in 10x + 6y - 3 = 0 pravokotni.
Rešitev... Najdemo: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 * k 2 = -1, zato so premice pravokotne.
Primer... Podana so oglišča trikotnika A (0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Poiščite enačbo za višino, potegnjeno iz oglišča C.
Rešitev... Najdemo enačbo stranice AB: 
; 4 x = 6 y - 6;
2 x - 3 y + 3 = 0;
Zahtevana višinska enačba je: Ax + By + C = 0 ali y = kx + b. k =. Potem y =. Ker višina poteka skozi točko C, potem njene koordinate izpolnjujejo to enačbo: 
od koder je b = 17. Skupaj:. 
Odgovor: 3 x + 2 y - 34 = 0.
Enačba premice, ki poteka skozi dano točko v dani smeri. Enačba premice, ki poteka skozi dve dani točki. Kot med dvema ravnima črtama. Pogoj vzporednosti in pravokotnosti dveh premic. Določanje presečišča dveh premic
1. Enačba premice, ki poteka skozi dano točko A(x 1 , y 1) v določeni smeri, ki jo določa naklon k,
y - y 1 = k(x - x 1). (1)
Ta enačba definira snop ravnih črt, ki potekajo skozi točko A(x 1 , y 1), ki se imenuje središče žarka.
2. Enačba premice, ki poteka skozi dve točki: A(x 1 , y 1) in B(x 2 , y 2) je zapisano takole:
Naklon premice, ki poteka skozi dve dani točki, je določen s formulo
3. Kot med ravnimi črtami A in B imenujemo kot, za katerega morate zaviti prvo naravnost A okoli točke presečišča teh črt v nasprotni smeri urinega kazalca, dokler ne sovpada z drugo črto B... Če sta dve ravni črti podani z enačbami z naklonom
y = k 1 x + B 1 ,
y = k 2 x + B 2 , (4)
potem je kot med njima določen s formulo
Upoštevajte, da se v števcu ulomka naklon prve premice odšteje od naklona druge premice.
Če so enačbe premice podane v splošni obliki
A 1 x + B 1 y + C 1 = 0,
A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (6)
kot med njima je določen s formulo
4. Pogoji za vzporednost dveh premic:
a) Če so premice podane z enačbami (4) z naklonom, potem je potreben in zadosten pogoj za njihovo vzporednost enakost njunih naklonov:
k 1 = k 2 . (8)
b) Za primer, ko so premice podane z enačbami v splošni obliki (6), je nujen in zadosten pogoj za njihovo vzporednost, da so koeficienti na ustreznih tokovnih koordinatah v njihovih enačbah sorazmerni, t.j.
5. Pogoji za pravokotnost dveh premic:
a) V primeru, ko so premice podane z enačbami (4) z naklonom, je nujen in zadosten pogoj za njihovo pravokotnost, da so njuni nakloni po velikosti recipročni in nasprotni po predznaku, t.j.
Ta pogoj lahko zapišemo tudi v obliki
k 1 k 2 = -1. (11)
b) Če so enačbe premice podane v splošni obliki (6), potem je pogoj za njihovo pravokotnost (nujna in zadostna) izpolnjevanje enakosti
A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)
6. Koordinate presečišča dveh ravnih črt najdemo z reševanjem sistema enačb (6). Prevce (6) sekajo, če in samo če
1. Napiši enačbe premic, ki potekajo skozi točko M, od katerih je ena vzporedna, druga pa pravokotna na dano premico l.