Stalno število a poklical omejitev zaporedja(x n) če za poljubno majhno pozitivno številoε > 0 obstaja število N, ki ga vse vrednosti x n za katere n> N izpolnjuje neenakost
| x n - a |< ε. (6.1)
Zapišejo ga tako: ali x n → a.
Neenakost (6.1) je enakovredna dvojni neenakosti
a- ε< x n < a + ε, (6.2)
kar pomeni, da točke x n, od nekega števila n> N, ležijo v intervalu (a-ε, a + ε ), tj. spadajo v vse majhneε -soseska točke a.
Zakliče se zaporedje, ki ima omejitev konvergiranje, drugače - razhajanje.
Koncept meje funkcije je posploševanje koncepta meje zaporedja, saj je mejo zaporedja mogoče šteti za mejo funkcije x n = f (n) celoštevilčnega argumenta n.
Naj bo podana funkcija f (x) in naj a - mejna točka področje te funkcije D (f), to je točka, katere katera koli okolica vsebuje točke niza D (f), razen a... Točka a lahko ali ne pripada skupu D (f).
Opredelitev 1.Pokliče se konstantno število A. omejitev funkcijo f (x) ob x →a if za katero koli zaporedje (x n) vrednosti argumentov, ki težijo k a, imajo ustrezne sekvence (f (x n)) isto mejo A.
Ta definicija se imenuje opredelitev meje funkcije po Heineju, ali " v jeziku zaporedij”.
Opredelitev 2... Pokliče se konstantno število A. omejitev funkcijo f (x) ob x →a if z podajanjem poljubnega poljubno majhnega pozitivnega števila ε, lahko najdemo take δ> 0 (odvisno od ε), kar za vse x ležanje vε-soseske števila a, tj. za x zadovoljevanje neenakosti
0 <
x-a< ε
, bodo vrednosti funkcije f (x) vε-soseska števila A, tj.| f (x) -A |<
ε.
Ta definicija se imenuje opredelitev Cauchyjeve meje funkcije, ali »V jeziku ε - δ “.
Definiciji 1 in 2 sta enakovredni. Če je funkcija f (x) kot x →a ima omejitev enako A, je to zapisano kot
. (6.3)
V primeru, da se zaporedje (f (x n)) za vsako metodo približevanja za nedoločen čas poveča (ali zmanjša) x do svoje meje a, potem rečemo, da ima funkcija f (x) neskončna meja, in zapišite kot:
Kliče se spremenljivka (tj. Zaporedje ali funkcija), katere meja je nič neskončno majhna vrednost.
Kliče se spremenljivka, katere meja je neskončnost neskončno velika.
Če želite v praksi najti mejo, uporabite naslednje izreke.
Izrek 1 ... Če obstajajo vse omejitve
(6.4)
(6.5)
(6.6)
Komentiraj... Izrazi, kot je 0/0, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - so negotovi, na primer razmerje dveh neskončno majhnih ali neskončno velikih količin, in iskanje takšne meje se imenuje "razkritje negotovosti".
Izrek 2. (6.7)
tiste. lahko greš do meje na dnu stopnje s konstantnim eksponentom, zlasti 
;
(6.8)
(6.9)
Izrek 3.
(6.10)
(6.11)
kje e » 2,7 je osnova naravnega logaritma. Formuli (6.10) in (6.11) se imenujeta prva čudovita meja in druga izjemna meja.
Posledice formule (6.11) se uporabljajo tudi v praksi:
(6.12)
(6.13)
(6.14)
zlasti omejitev
Če x → a in hkrati x> a, nato zapišejo x→ a + 0. Če je zlasti a = 0, potem namesto simbola 0 + 0 napišite +0. Podobno, če je x →a in poleg tega x 
in se temu ustrezno prikličejo meja na desni in leva meja funkcijo f (x) na točki a... Da obstaja meja funkcije f (x) kot x →a je potrebno in zadostuje za 
... Kliče se funkcija f (x) neprekinjeno na točki x 0, če je meja
. (6.15)
Pogoj (6.15) lahko prepišemo tako:
,
to pomeni, da je prehod do meje pod predznakom funkcije možen, če je v dani točki neprekinjen.
Če je enakost (6.15) kršena, se pravi, da ob x = x o funkcijo f (x) Ima prekiniti. Razmislite o funkciji y = 1 / x. Domena te funkcije je niz R, razen za x = 0. Točka x = 0 je mejna točka množice D (f), saj v kateri koli okolici, tj. vsak odprt interval, ki vsebuje točko 0, vsebuje točke iz D (f), vendar sam ne spada v ta niz. Vrednost f (x o) = f (0) ni določena, zato ima funkcija v točki x o = 0 diskontinuiteto.
Kliče se funkcija f (x) neprekinjeno na desni na točki x o, če je meja
,
in levo neprekinjeno na točki x o, če je meja
.
Neprekinjenost funkcije na določeni točki x o je enakovredno njegovi kontinuiteti na tej točki tako na desni kot na levi strani.
Da bo funkcija v točki neprekinjena x o, na primer na desni je treba, prvič, da obstaja končna meja, in drugič, da je ta meja enaka f (x o). Če torej vsaj eden od teh dveh pogojev ni izpolnjen, bo funkcija imela prekinitev.
1. Če meja obstaja in ni enaka f (x o), potem to pravijo funkcijo f (x) na točki x o ima prelom prve vrste, ali preskok.
2. Če je meja+ ∞ ali -∞ ali ne obstaja, potem pravijo, da v točka x o funkcija ima vrzel druga vrsta.
Na primer, funkcija y = ctg x za x→ +0 ima mejo, ki je enaka + ∞, zato ima v točki x = 0 diskontinuiteto druge vrste. Funkcija y = E (x) (celoštevilčni del x) na točkah s celoštevilnimi abscisami ima diskontinuitete prve vrste ali skoke.
Kliče se funkcija, ki je neprekinjena na vsaki točki intervala neprekinjeno v. Neprekinjena funkcija je prikazana kot trdna krivulja.
Številni problemi, povezani z nenehno rastjo katere koli količine, vodijo do druge izjemne meje. Tovrstne naloge na primer vključujejo: rast prispevka po zakonu sestavljenih obresti, rast prebivalstva države, razpad radioaktivnih snovi, razmnoževanje bakterij itd.
Razmislite primer Ya.I. Perelmana razlaga številke e v problemu zapletenih obresti. Številka e obstaja meja 
... V hranilnicah se denar za obresti letno prišteje k osnovnemu kapitalu. Če je povezava pogostejša, potem kapital raste hitreje, saj pri oblikovanju obresti sodeluje velika količina. Vzemimo čisto teoretičen, zelo poenostavljen primer. Naj banka da 100 den. enote po stopnji 100% letno. Če se denar za obresti doda osnovnemu kapitalu šele po enem letu, potem do tega datuma 100 den. enote se bo spremenilo v 200 denarnih enot. Zdaj pa poglejmo, kaj se bo spremenilo v 100 den. enot, če se denar za obresti doda osnovnemu kapitalu vsakih šest mesecev. Po pol leta 100 den. enote bo zrasel na 100×
1,5 = 150, šest mesecev kasneje pa 150×
1,5 = 225 (denarne enote). Če se povezava izvede vsake 1/3 leta, potem po enem letu 100 den. enote spremeni v 100× (1 +1/3) 3 " 237 (denarne enote). Pospešili bomo pogoje za pridružitev obrestnemu denarju na 0,1 leta, na 0,01 leta, na 0,001 leta itd. Potem od 100 den. enote po enem letu se bo izkazalo:
100 × (1 +1/10) 10 "259 (denarne enote),
100 × (1 + 1/100) 100 * 270 (denarne enote),
100 × (1 + 1/1000) 1000 * 271 (denarne enote).
Z neomejenim zmanjšanjem pogojev obresti natečeni kapital ne narašča neskončno, ampak se približa določeni meji, ki je enaka približno 271. Kapital, dodeljen pri 100% letno, se ne more povečati za več kot 2,71 -krat, tudi če se natečeni kapital obresti so se kapitalu dodale vsako sekundo zaradi omejitve
Primer 3.1.Z definicijo meje številskega zaporedja dokaži, da ima zaporedje x n = (n-1) / n mejo, ki je enaka 1.
Rešitev.Dokazati moramo, da karkoliε Nismo vzeli> 0, zanj obstaja naravno število N, tako da za vseh n N velja naslednja neenakost:| x n -1 |< ε.
Vzemite poljubno e> 0. Ker; x n -1 = (n + 1) / n - 1 = 1 / n, potem je za iskanje N dovolj, da rešimo neenakost 1 / n< e. Zato n> 1 / e in zato lahko N vzamemo kot celoštevilčni del 1 / e, N = E (1 / e ). Tako smo dokazali, da je meja.
Primer 3.2
... Poiščite mejo zaporedja, ki jo poda skupni izraz 
.
Rešitev.Uporabljamo izrek o meji vsote in najdemo mejo vsakega izraza. Za n→ ∞ števec in imenovalec vsakega izraza stremi k neskončnosti in izreka o mejnem količniku ne moremo uporabiti neposredno. Zato se najprej preoblikujemo x n tako, da števec in imenovalec prvega izraza delite z n 2, drugi pa naprej n... Nato z uporabo izreka mejne vrednosti in mejne vrednosti vsote ugotovimo:
.
Primer 3.3. 
... Najti .
Rešitev. 
.
Tu smo uporabili izrek o meji stopinj: meja stopinje je enaka stopnji osnovne meje.
Primer 3.4
... Najti ( 
).
Rešitev.Teorema o mejni razliki ni mogoče uporabiti, saj imamo negotovost oblike ∞-∞ ... Pretvorimo formulo za skupnega člana:
.
Primer 3.5 ... Podana je funkcija f (x) = 2 1 / x. Dokaži, da omejitev ni.
Rešitev.Uporabimo definicijo 1 meje funkcije v smislu zaporedja. Vzemite zaporedje (x n), ki konvergira v 0, tj. Pokažimo, da se vrednost f (x n) = za različna zaporedja obnaša drugače. Naj bo x n = 1 / n. Očitno je potem meja 
Zdaj se odločimo za x n zaporedje s skupnim izrazom x n = -1 / n, prav tako nagnjeno k ničli. 
Zato ni omejitve.
Primer 3.6 ... Dokaži, da omejitev ni.
Rešitev.Naj bodo x 1, x 2, ..., x n, ... zaporedje, za katero
... Kako se zaporedje (f (x n)) = (sin x n) obnaša pri različnih x n → ∞
Če je x n = p n, potem sin x n = sin p n = 0 za vse n in mejo Če
x n = 2 p n + p / 2, potem je sin x n = sin (2 p n + p / 2) = sin p / 2 = 1 za vse n in s tem meja. Torej ne obstaja.
Pripomoček za izračun omejitev na spletu
V zgornjem oknu namesto sin (x) / x vnesite funkcijo, katere omejitev želite najti. V spodnje okno vnesite številko, ki si jo x prizadeva, in pritisnite gumb Calcular, da dobite želeno mejo. Če v zgornjem desnem kotu okna z rezultati kliknete Prikaži korake, boste dobili podrobno rešitev.
Pravila za vnos funkcije: sqrt (x) - kvadratni koren, cbrt (x) - koreninski koren, exp (x) - eksponent, ln (x) - naravni logaritem, sin (x) - sinus, cos (x) - kosinus, tan (x) je tangenta, cot (x) je kotangens, arcsin (x) je arksinus, arccos (x) je inverzni kosinus, arctan (x) je artagent. Znaki: * množenje, / deljenje, ^ povečanje, namesto neskončnost Neskončnost. Primer: funkcija je vnesena takole sqrt (tan (x / 2)).
Mejna teorija je ena od vej matematične analize. Problem reševanja omejitev je precej obsežen, saj obstaja na desetine metod za reševanje različnih vrst omejitev. Za reševanje te ali one meje obstaja na desetine odtenkov in trikov. Kljub temu bomo še vedno poskušali razumeti glavne vrste omejitev, ki so najpogostejše v praksi.
Začnimo s samim konceptom meje. Najprej pa kratko zgodovinsko ozadje. Stoletju je živel Francoz Augustin Louis Cauchy, ki je postavil temelje matematične analize in dal stroge opredelitve, zlasti opredelitev meje. Moram reči, da je ta isti Cauchy sanjal, sanjal in sanjal bo v nočnih morah za vse študente fizikalno -matematičnih fakultet, saj je dokazal ogromno izrekov matematične analize, en izrek pa je bolj odvraten od drugega. V zvezi s tem ne bomo upoštevali stroge opredelitve meje, ampak bomo poskušali narediti dve stvari:
1. Razumeti, kaj je meja.
2. Naučite se ravnati z osnovnimi vrstami omejitev.
Opravičujem se za nekatera neznanstvena pojasnila, pomembno je, da je gradivo razumljivo tudi za čajnik, kar je pravzaprav naloga projekta.
Kakšna je torej meja?
In samo primer, zakaj je babica dlakava ...
Vsaka omejitev ima tri dele:
1) Znana ikona meje.
2) V tem primeru vnosi pod ikono meje. Vnos se glasi "x teži k enemu." Najpogosteje - točno, čeprav namesto "x" v praksi obstajajo druge spremenljivke. Pri praktičnih vajah je lahko namesto enote nameščeno poljubno število, pa tudi neskončnost ().
3) V tem primeru deluje pod znakom meje.
Posnetek sam 
se glasi tako: "meja funkcije, ko x teži k enotnosti."
Analizirajmo naslednje pomembno vprašanje - kaj pomeni izraz "x išče enemu "? In kaj sploh je "prizadevanje"?
Koncept meje je koncept, če lahko tako rečem, dinamično... Ustvarimo zaporedje: najprej, potem ,,…, 
, ….
To pomeni izraz "x išče do enega "je treba razumeti takole -" x "zaporedno prevzame vrednosti, ki so neskončno blizu enotnosti in z njo praktično sovpadajo.
Kako rešiti zgornji primer? Na podlagi zgoraj navedenega morate samo zamenjati enega v funkciji pod znakom meje:
Torej je prvo pravilo: Ko dobimo kakršno koli omejitev, najprej poskušamo številko priključiti v funkcijo.
Upoštevali smo najpreprostejšo mejo, a tudi takšne najdemo v praksi, poleg tega pa ne tako redko!
Primer z neskončnostjo:
Razumevanje, kaj je to? To je v primeru, ko narašča v nedogled, to je: najprej, potem, potem, potem in tako naprej v neskončnost.
Kaj se zgodi s funkcijo v tem času?
, , 
, …
Torej: če, potem funkcija teži k minus neskončnosti:
Grobo rečeno, po našem prvem pravilu namesto "x" v funkcijo nadomestimo neskončnost in dobimo odgovor.
Še en primer z neskončnostjo:
Spet se začnemo povečevati v neskončnost in si ogledamo obnašanje funkcije: 
Zaključek: ko se funkcija za nedoločen čas poveča:
In še vrsta primerov:
Poskusite sami miselno analizirati naslednje in se spomnite najpreprostejših vrst omejitev:
, , , , 
, , , , 
,
Če kjer koli dvomite, lahko vzamete kalkulator in se malo vadite.
V tem primeru poskusite zgraditi zaporedje ,,. Če, potem,,.
Opomba: Strogo gledano je ta pristop z gradnjo zaporedij iz več številk napačen, vendar je povsem primeren za razumevanje najpreprostejših primerov.
Bodite pozorni tudi na naslednje. Tudi če je omejitev podana z velikim številom na vrhu, a tudi z milijonom :, potem je vseeno 
, ker bo "X" prej ali slej prevzel tako velikanske vrednosti, da bo milijon v primerjavi z njimi pravi mikrob.
Kaj si morate zapomniti in razumeti iz zgoraj navedenega?
1) Ko dobimo kakršno koli omejitev, najprej poskušamo v funkcijo vključiti številko.
2) Morate razumeti in takoj rešiti najpreprostejše meje, kot je npr 
, itd.
Zdaj bomo obravnavali skupino meja, ko je funkcija in ulomek, v katerem so števec in imenovalec polinomi
Primer:
Izračunaj omejitev 
V skladu z našim pravilom bomo v funkcijo poskušali nadomestiti neskončnost. Kaj dobimo na vrhu? Neskončnost. In kaj se zgodi spodaj? Tudi neskončnost. Tako imamo tako imenovano negotovost vrste. Človek bi si to mislil in odgovor je pripravljen, vendar v splošnem primeru to sploh ni tako, zato morate uporabiti neko tehniko rešitve, ki jo bomo zdaj upoštevali.
Kako rešiti omejitve določene vrste?
Najprej pogledamo števec in v največji moči ugotovimo: 
Najvišja stopnja v števcu je dve.
Zdaj pogledamo imenovalec in najdemo tudi v najvišji moči: 
Najvišja moč imenovalca sta dve.
Nato izberemo najvišjo moč števca in imenovalca: v tem primeru sta enaka in enaka dvema.
Metoda rešitve je torej naslednja: da bi razkrili negotovost, je treba števec in imenovalec razdeliti na največjo moč.
Tako je, odgovor, ne neskončnost.
Kaj je bistveno pri oblikovanju rešitve?
Najprej navajamo negotovost, če obstaja.
Drugič, za vmesna pojasnila je priporočljivo prekiniti rešitev. Običajno uporabljam znak, ki nima nobenega matematičnega pomena, ampak pomeni, da je bila rešitev prekinjena zaradi vmesne razlage.
Tretjič, v meji je zaželeno označiti, kaj si prizadeva in kam. Ko je delo ročno zaključeno, je bolj priročno, da to storite tako: 
Za označevanje je najbolje uporabiti preprost svinčnik.
Seveda tega ne morete storiti, potem pa bo morda učitelj opazil pomanjkljivosti v rešitvi ali začel postavljati dodatna vprašanja o nalogi. Ali ga potrebujete?
Primer 2
Poiščite mejo 
Tudi v števcu in imenovalcu najdemo največjo moč: 
Največja stopnja v števcu: 3
Najvišja stopnja v imenovalcu: 4
Mi izbiramo Največji vrednost, v tem primeru štiri.
V skladu z našim algoritmom, da razkrijemo negotovost, števec in imenovalec razdelimo na.
Celotna zasnova naloge lahko izgleda tako:
Številčnik in imenovalec razdelite na
Primer 3
Poiščite mejo 
Največja stopnja "x" v števcu: 2
Največja stopnja "x" v imenovalcu: 1 (lahko se zapiše kot)
Če želite razkriti negotovost, števec in imenovalec delite s. Čista rešitev bi lahko izgledala tako:
Številčnik in imenovalec razdelite na
Snemanje ne pomeni deljenja z ničlo (ne morete deliti z ničlo), ampak deljenje z neskončno majhnim številom.
Tako lahko pri razkrivanju negotovosti vrste dobimo končno število, nič ali neskončnost.
Meje z negotovostjo vrste in metoda za njihovo rešitev
Naslednja skupina meja je nekoliko podobna pravkar omenjenim mejam: v števcu in imenovaniku so polinomi, vendar "x" ne teži več v neskončnost, ampak končno število.
Primer 4
Rešite mejo 
Najprej poskusimo v ulomku nadomestiti -1: 
V tem primeru dobimo tako imenovano negotovost.
Splošno pravilo: če so v števcu in imenovalcu polinomi in obstajajo negotovosti oblike, potem za razkritje Odšteti morate števec in imenovalec.
Če želite to narediti, morate najpogosteje rešiti kvadratno enačbo in / ali uporabiti skrajšane formule množenja. Če ste te stvari pozabili, obiščite stran Matematične formule in tabele in preberite učno gradivo Šolski tečaj matematike vročih formul... Mimogrede, najbolje ga je natisniti, zahteva se zelo pogosto, informacije iz papirja pa se bolje absorbirajo.
Zato se odločimo za svojo mejo 
Izločimo števec in imenovalec
Če želite izločiti števec, morate rešiti kvadratno enačbo: 
Najprej najdemo diskriminator:
In kvadratni koren tega :.
Če je diskriminator velik, na primer 361, uporabimo kalkulator, je funkcija kvadratnega korena na voljo na najpreprostejšem kalkulatorju.
! Če koren ni popolnoma izvlečen (dobljeno je ulomljeno število z vejico), je zelo verjetno, da je diskriminator napačno izračunan ali da je v opravilu tipkarska napaka.
Nato najdemo korenine: 
Tako:
Vse. Števec je razširjen.
Imenovalec. Imenovalec je že najpreprostejši dejavnik in ga ni mogoče poenostaviti.
Očitno ga lahko skrajšamo na:
Zdaj v izraz, ki ostane pod mejnim znakom, nadomestimo -1:
Seveda na testu, na testu, na izpitu odločitev nikoli ni tako podrobno opisana. V končni različici bi morala biti zasnova videti nekako takole:
Izštejte števec. 
Primer 5
Izračunaj omejitev 
Najprej "čista" rešitev
Izločimo števec in imenovalec.
Števec:
Imenovalec: 
, 
Kaj je v tem primeru pomembno?
Najprej morate dobro razumeti, kako se števec razkrije, najprej smo iz oklepaja vzeli 2, nato pa uporabili formulo za razliko kvadratov. To formulo je treba poznati in videti.
Prva izjemna meja se imenuje naslednja enakost:
\ begin (enačba) \ lim _ (\ alpha \ to (0)) \ frac (\ sin \ alpha) (\ alpha) = 1 \ end (enačba)
Ker imamo za $ \ alpha \ to (0) $ $ \ sin \ alpha \ to (0) $, naj bi prva izjemna meja razkrila negotovost oblike $ \ frac (0) (0) $. Na splošno lahko v formuli (1) namesto spremenljivke $ \ alpha $ pod sinusnim znakom in v imenovalcu najdemo kateri koli izraz, če sta izpolnjena dva pogoja:
- Izrazi pod sinusnim znakom in v imenovalcu hkrati stremijo k nič, tj. obstaja negotovost oblike $ \ frac (0) (0) $.
- Izrazi pod znakom sinus in v imenovalcu so enaki.
Pogosto se uporabljajo tudi posledice prve izjemne meje:
\ begin (enačba) \ lim _ (\ alpha \ to (0)) \ frac (\ tg \ alpha) (\ alpha) = 1 \ end (enačba) \ begin (enačba) \ lim _ (\ alpha \ to ( 0)) \ frac (\ arcsin \ alpha) (\ alpha) = 1 \ end (enačba) \ begin (enačba) \ lim _ (\ alpha \ do (0)) \ frac (\ arctg \ alpha) (\ alpha ) = 1 \ end (enačba)
Na tej strani je bilo rešenih enajst primerov. Primer št. 1 je namenjen dokazovanju formul (2) - (4). Primeri # 2, # 3, # 4 in # 5 vsebujejo rešitve s podrobnimi komentarji. Primeri 6-10 vsebujejo rešitve skoraj brez pripomb, saj so bile v prejšnjih primerih podane podrobne razlage. Rešitev uporablja nekatere trigonometrične formule, ki jih je mogoče najti.
Upoštevajte, da prisotnost trigonometričnih funkcij skupaj z negotovostjo $ \ frac (0) (0) $ ne pomeni, da je potrebna prva izjemna meja. Včasih zadostujejo preproste trigonometrične transformacije - glej na primer.
Primer # 1
Dokaži, da je $ \ lim _ (\ alpha \ to (0)) \ frac (\ tg \ alpha) (\ alpha) = 1 $, $ \ lim _ (\ alpha \ to (0)) \ frac (\ arcsin \ alfa) (\ alpha) = 1 $, $ \ lim _ (\ alpha \ to (0)) \ frac (\ arctg \ alpha) (\ alpha) = 1 $.
a) Ker je $ \ tg \ alpha = \ frac (\ sin \ alpha) (\ cos \ alpha) $, potem:
$$ \ lim _ (\ alpha \ do (0)) \ frac (\ tg (\ alpha)) (\ alpha) = \ levo | \ frac (0) (0) \ desno | = \ lim _ (\ alpha \ to (0)) \ frac (\ sin (\ alpha)) (\ alpha \ cos (\ alpha)) $$
Ker je $ \ lim _ (\ alpha \ to (0)) \ cos (0) = 1 $ in $ \ lim _ (\ alpha \ to (0)) \ frac (\ sin \ alpha) (\ alpha) = 1 $, potem:
$$ \ lim _ (\ alpha \ to (0)) \ frac (\ sin (\ alpha)) (\ alpha \ cos (\ alpha)) = \ frac (\ displaystyle \ lim _ (\ alpha \ to (0 )) \ frac (\ sin (\ alpha)) (\ alpha)) (\ displaystyle \ lim _ (\ alpha \ to (0)) \ cos (\ alpha)) = \ frac (1) (1) = 1 . $$
b) Naredimo zamenjavo $ \ alpha = \ sin (y) $. Ker je $ \ sin (0) = 0 $, potem iz pogoja $ \ alpha \ do (0) $ imamo $ y \ to (0) $. Poleg tega obstaja soseska nič, v kateri je $ \ arcsin \ alpha = \ arcsin (\ sin (y)) = y $, torej:
$$ \ lim _ (\ alpha \ to (0)) \ frac (\ arcsin \ alpha) (\ alpha) = \ levo | \ frac (0) (0) \ desno | = \ lim_ (y \ do (0)) \ frac (y) (\ sin (y)) = \ lim_ (y \ to (0)) \ frac (1) (\ frac (\ sin (y)) ( y)) = \ frac (1) (\ displaystyle \ lim_ (y \ to (0)) \ frac (\ sin (y)) (y)) = \ frac (1) (1) = 1. $$
Enakost $ \ lim _ (\ alpha \ to (0)) \ frac (\ arcsin \ alpha) (\ alpha) = 1 $ je dokazana.
c) Naredimo zamenjavo $ \ alpha = \ tg (y) $. Ker je $ \ tg (0) = 0 $, sta pogoja $ \ alpha \ to (0) $ in $ y \ to (0) $ enakovredna. Poleg tega obstaja soseska nič, v kateri je $ \ arctg \ alpha = \ arctg \ tg (y)) = y $, zato bomo na podlagi rezultatov točke a) imeli:
$$ \ lim _ (\ alpha \ to (0)) \ frac (\ arctg \ alpha) (\ alpha) = \ levo | \ frac (0) (0) \ desno | = \ lim_ (y \ do (0)) \ frac (y) (\ tg (y)) = \ lim_ (y \ to (0)) \ frac (1) (\ frac (\ tg (y)) ( y)) = \ frac (1) (\ displaystyle \ lim_ (y \ do (0)) \ frac (\ tg (y)) (y)) = \ frac (1) (1) = 1. $$
Enakost $ \ lim _ (\ alpha \ to (0)) \ frac (\ arctg \ alpha) (\ alpha) = 1 $ je dokazana.
Enakosti a), b), c) se pogosto uporabljajo skupaj s prvo izjemno mejo.
Primer št. 2
Izračunajte mejo $ \ lim_ (x \ do (2)) \ frac (\ sin \ left (\ frac (x ^ 2-4) (x + 7) \ right)) (\ frac (x ^ 2-4 ) (x + 7)) $.
Ker je $ \ lim_ (x \ to (2)) \ frac (x ^ 2-4) (x + 7) = \ frac (2 ^ 2-4) (2 + 7) = 0 $ in $ \ lim_ (x \ do (2)) \ sin \ levo (\ frac (x ^ 2-4) (x + 7) \ desno) = \ sin (0) = 0 $, tj. števec in imenovalec ulomka hkrati stremita k nič, potem imamo tukaj opraviti z negotovostjo oblike $ \ frac (0) (0) $, tj. Končano. Poleg tega je mogoče videti, da izrazi pod sinusnim znakom in v imenovalcu sovpadajo (tj. In so zadovoljni):
Tako sta izpolnjena oba pogoja, navedena na začetku strani. Iz tega sledi, da je formula uporabna, tj. $ \ lim_ (x \ do (2)) \ frac (\ sin \ levo (\ frac (x ^ 2-4) (x + 7) \ desno)) (\ frac (x ^ 2-4) (x + 7)) = 1 USD.
Odgovor: $ \ lim_ (x \ to (2)) \ frac (\ sin \ left (\ frac (x ^ 2-4) (x + 7) \ right)) (\ frac (x ^ 2-4) (x +7)) = 1 $.
Primer št. 3
Poiščite $ \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ sin (9x)) (x) $.
Ker je $ \ lim_ (x \ to (0)) \ sin (9x) = 0 $ in $ \ lim_ (x \ to (0)) x = 0 $, imamo opravka z negotovostjo oblike $ \ frac (0) (0) $, tj. Končano. Vendar se izrazi pod znakom sinus in v imenovalcu ne ujemajo. Tu morate izraz v imenovalniku prilagoditi želeni obliki. V imenovalniku potrebujemo izraz 9x $ - potem bo to res. Dejansko nam manjka množitelj 9 USD v imenovalcu, ki ga ni tako težko vnesti - samo pomnožite izraz imenovalec z 9 USD. Seveda, če želite nadomestiti množenje z 9 USD, boste morali takoj za 9 USD in razdeliti:
$$ \ lim_ (x \ do (0)) \ frac (\ sin (9x)) (x) = \ levo | \ frac (0) (0) \ desno | = \ lim_ (x \ do (0)) \ frac (\ sin (9x)) (9x \ cdot \ frac (1) (9)) = 9 \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ sin (9x)) (9x) $$
Zdaj izraza v imenovalcu in pod sinusnim znakom sovpadata. Oba pogoja za mejo $ \ lim_ (x \ do (0)) \ frac (\ sin (9x)) (9x) $ sta izpolnjena. Zato je $ \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ sin (9x)) (9x) = 1 $. To pomeni da:
$$ 9 \ lim_ (x \ do (0)) \ frac (\ sin (9x)) (9x) = 9 \ cdot (1) = 9. $$
Odgovor: $ \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ sin (9x)) (x) = 9 $.
Primer št. 4
Poiščite $ \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ sin (5x)) (\ tg (8x)) $.
Ker je $ \ lim_ (x \ to (0)) \ sin (5x) = 0 $ in $ \ lim_ (x \ to (0)) \ tg (8x) = 0 $, tukaj imamo opravka z negotovostjo oblika $ \ frac (0) (0) $. Oblika prve izjemne meje pa je kršena. Števec, ki vsebuje $ \ sin (5x) $, zahteva v imenovalniku 5x $. V tem primeru je najlažji način, da števec razdelite za 5x $, nato pa pomnožite s 5x $. Poleg tega bomo izvedli podobno operacijo z imenovalcem, pomnožili in delili $ \ tg (8x) $ s $ 8x $:
$$ \ lim_ (x \ do (0)) \ frac (\ sin (5x)) (\ tg (8x)) = \ levo | \ frac (0) (0) \ desno | = \ lim_ (x \ do (0)) \ frac (\ frac (\ sin (5x)) (5x) \ cdot (5x)) (\ frac (\ tg (8x)) (8x) \ cdot (8x) ) $$
Zmanjšanje za $ x $ in premikanje konstante $ \ frac (5) (8) $ izven mejnega znaka dobimo:
$$ \ lim_ (x \ do (0)) \ frac (\ frac (\ sin (5x)) (5x) \ cdot (5x)) (\ frac (\ tg (8x)) (8x) \ cdot (8x )) = \ frac (5) (8) \ cdot \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ frac (\ sin (5x)) (5x)) (\ frac (\ tg (8x)) ( 8x)) $$
Upoštevajte, da $ \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ sin (5x)) (5x) $ v celoti izpolnjuje zahteve za prvo izjemno mejo. Za iskanje $ \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ tg (8x)) (8x) $ velja formula:
$$ \ frac (5) (8) \ cdot \ lim_ (x \ do (0)) \ frac (\ frac (\ sin (5x)) (5x)) (\ frac (\ tg (8x)) (8x )) = \ frac (5) (8) \ cdot \ frac (\ displaystyle \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ sin (5x)) (5x)) (\ displaystyle \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ tg (8x)) (8x)) = \ frac (5) (8) \ cdot \ frac (1) (1) = \ frac (5) (8). $$
Odgovor: $ \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ sin (5x)) (\ tg (8x)) = \ frac (5) (8) $.
Primer št. 5
Poiščite $ \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ cos (5x) - \ cos ^ 3 (5x)) (x ^ 2) $.
Ker je $ \ lim_ (x \ to (0)) (\ cos (5x) - \ cos ^ 3 (5x)) = 1-1 = 0 $ (ne pozabite, da je $ \ cos (0) = 1 $) in $ \ lim_ (x \ to (0)) x ^ 2 = 0 $, potem imamo opravka z negotovostjo oblike $ \ frac (0) (0) $. Če pa želite uporabiti prvo izjemno mejo, se morate znebiti kosinusa v števcu, tako da se premaknete na sinus (za kasnejšo uporabo formule) ali na tangente (za poznejšo uporabo formule). To je mogoče storiti z naslednjo transformacijo:
$$ \ cos (5x) - \ cos ^ 3 (5x) = \ cos (5x) \ cdot \ left (1- \ cos ^ 2 (5x) \ right) $$ $$ \ cos (5x) - \ cos ^ 3 (5x) = \ cos (5x) \ cdot \ left (1- \ cos ^ 2 (5x) \ right) = \ cos (5x) \ cdot \ sin ^ 2 (5x). $$
Vrnimo se k meji:
$$ \ lim_ (x \ do (0)) \ frac (\ cos (5x) - \ cos ^ 3 (5x)) (x ^ 2) = \ levo | \ frac (0) (0) \ desno | = \ lim_ (x \ do (0)) \ frac (\ cos (5x) \ cdot \ sin ^ 2 (5x)) (x ^ 2) = \ lim_ (x \ to (0)) \ left (\ cos (5x) \ cdot \ frac (\ sin ^ 2 (5x)) (x ^ 2) \ right) $$
Ulomek $ \ frac (\ sin ^ 2 (5x)) (x ^ 2) $ je že blizu oblike, ki je potrebna za prvo izjemno mejo. Poskusimo malo z ulomkom $ \ frac (\ sin ^ 2 (5x)) (x ^ 2) $ in ga prilagoditi prvi izjemni meji (upoštevajte, da se morajo izrazi v števcu in pod sinusom ujemati):
$$ \ frac (\ sin ^ 2 (5x)) (x ^ 2) = \ frac (\ sin ^ 2 (5x)) (25x ^ 2 \ cdot \ frac (1) (25)) = 25 \ cdot \ zlom (\ sin ^ 2 (5x)) (25x ^ 2) = 25 \ cdot \ levo (\ frac (\ sin (5x)) (5x) \ desno) ^ 2 $$
Vrnimo se k obravnavani meji:
$$ \ lim_ (x \ do (0)) \ left (\ cos (5x) \ cdot \ frac (\ sin ^ 2 (5x)) (x ^ 2) \ right) = \ lim_ (x \ to (0 )) \ left (25 \ cos (5x) \ cdot \ left (\ frac (\ sin (5x)) (5x) \ right) ^ 2 \ right) = \\ = 25 \ cdot \ lim_ (x \ to ( 0)) \ cos (5x) \ cdot \ lim_ (x \ to (0)) \ left (\ frac (\ sin (5x)) (5x) \ right) ^ 2 = 25 \ cdot (1) \ cdot ( 1 ^ 2) = 25. $$
Odgovor: $ \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ cos (5x) - \ cos ^ 3 (5x)) (x ^ 2) = 25 $.
Primer št. 6
Poiščite mejo $ \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (1- \ cos (6x)) (1- \ cos (2x)) $.
Ker je $ \ lim_ (x \ to (0)) (1- \ cos (6x)) = 0 $ in $ \ lim_ (x \ to (0)) (1- \ cos (2x)) = 0 $, potem imamo opravka z negotovostjo $ \ frac (0) (0) $. Odprimo ga s prvo izjemno mejo. Če želite to narediti, pojdimo od kosinusov do sinusov. Ker je $ 1- \ cos (2 \ alpha) = 2 \ sin ^ 2 (\ alpha) $, potem:
$$ 1- \ cos (6x) = 2 \ sin ^ 2 (3x); \; 1- \ cos (2x) = 2 \ sin ^ 2 (x). $$
Če prenesemo dano mejo na sinus, bomo imeli:
$$ \ lim_ (x \ do (0)) \ frac (1- \ cos (6x)) (1- \ cos (2x)) = \ levo | \ frac (0) (0) \ desno | = \ lim_ (x \ do (0)) \ frac (2 \ sin ^ 2 (3x)) (2 \ sin ^ 2 (x)) = \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ sin ^ 2 (3x)) (\ sin ^ 2 (x)) = \\ = \ lim_ (x \ do (0)) \ frac (\ frac (\ sin ^ 2 (3x)) ((3x) ^ 2) \ cdot (3x) ^ 2) (\ frac (\ sin ^ 2 (x)) (x ^ 2) \ cdot (x ^ 2)) = \ lim_ (x \ do (0)) \ frac (\ left (\ zlom (\ sin (3x)) (3x) \ desno) ^ 2 \ cdot (9x ^ 2)) (\ levo (\ frac (\ sin (x)) (x) \ desno) ^ 2 \ cdot (x ^ 2)) = 9 \ cdot \ frac (\ displaystyle \ lim_ (x \ to (0)) \ left (\ frac (\ sin (3x)) (3x) \ right) ^ 2) (\ displaystyle \ lim_ (x \ to (0)) \ left (\ frac (\ sin (x)) (x) \ right) ^ 2) = 9 \ cdot \ frac (1 ^ 2) (1 ^ 2) = 9. $$
Odgovor: $ \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (1- \ cos (6x)) (1- \ cos (2x)) = 9 $.
Primer št. 7
Izračunajte mejo $ \ lim_ (x \ do (0)) \ frac (\ cos (\ alpha (x)) - \ cos (\ beta (x))) (x ^ 2) $ ob predpostavki $ \ alpha \ neq \ beta $.
Podrobna pojasnila so bila podana že prej, vendar tukaj le ugotavljamo, da spet obstaja negotovost $ \ frac (0) (0) $. Pojdimo od kosinusov do sinusov po formuli
$$ \ cos \ alpha- \ cos \ beta = -2 \ sin \ frac (\ alpha + \ beta) (2) \ cdot \ sin \ frac (\ alpha- \ beta) (2). $$
Z uporabo zgornje formule dobimo:
$$ \ lim_ (x \ do (0)) \ frac (\ cos (\ alpha (x)) - \ cos (\ beta (x))) (x ^ 2) = \ levo | \ frac (0) ( 0) \ desno | = \ lim_ (x \ do (0)) \ frac (-2 \ sin \ frac (\ alpha (x) + \ beta (x)) (2) \ cdot \ sin \ frac (\ alpha (x) - \ beta (x)) (2)) (x ^ 2) = \\ = -2 \ cdot \ lim_ (x \ do (0)) \ frac (\ sin \ levo (x \ cdot \ frac (\ alpha + \ beta) (2) \ desno) \ cdot \ sin \ levo (x \ cdot \ frac (\ alpha- \ beta) (2) \ desno)) (x ^ 2) = -2 \ cdot \ lim_ (x \ to (0)) \ left (\ frac (\ sin \ left (x \ cdot \ frac (\ alpha + \ beta) (2) \ right)) (x) \ cdot \ frac (\ sin \ left (x \ cdot \ frac (\ alpha- \ beta) (2) \ right)) (x) \ right) = \\ = -2 \ cdot \ lim_ (x \ to (0)) \ left (\ frac (\ sin \ left (x \ cdot \ frac (\ alpha + \ beta) (2) \ desno)) (x \ cdot \ frac (\ alpha + \ beta) (2)) \ cdot \ frac (\ alpha + \ beta) (2 ) \ cdot \ frac (\ sin \ left (x \ cdot \ frac (\ alpha- \ beta) (2) \ right)) (x \ cdot \ frac (\ alpha- \ beta) (2)) \ cdot \ frac (\ alpha- \ beta) (2) \ right) = \\ =- \ frac ((\ alpha + \ beta) \ cdot (\ alpha- \ beta)) (2) \ lim_ (x \ do (0 )) \ frac (\ sin \ left (x \ cdot \ frac (\ alpha + \ beta) (2) \ right)) (x \ cdot \ frac (\ alpha + \ beta) (2)) \ cdot \ lim_ (x \ do (0)) \ frac (\ sin \ levo (x \ cdot \ frac (\ alpha- \ beta) (2) \ desno)) (x \ cdot \ frac (\ alpha- \ beta) (2 )) =- \ frac (\ alpha ^ 2- \ beta ^ 2) (2) \ cdot (1) \ cdot (1) = \ frac (\ beta ^ 2- \ alpha ^ 2) (2). $$
Odgovor: $ \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ cos (\ alpha (x)) - \ cos (\ beta (x))) (x ^ 2) = \ frac (\ beta ^ 2- \ alfa ^ 2) (2) $.
Primer št. 8
Poiščite mejo $ \ lim_ (x \ do (0)) \ frac (\ tg (x) - \ sin (x)) (x ^ 3) $.
Ker je $ \ lim_ (x \ to (0)) (\ tg (x) - \ sin (x)) = 0 $ (ne pozabite, da je $ \ sin (0) = \ tg (0) = 0 $) in $ \ lim_ (x \ do (0)) x ^ 3 = 0 $, potem imamo tukaj opraviti z negotovostjo oblike $ \ frac (0) (0) $. Odprimo ga na naslednji način:
$$ \ lim_ (x \ do (0)) \ frac (\ tg (x) - \ sin (x)) (x ^ 3) = \ levo | \ frac (0) (0) \ desno | = \ lim_ (x \ do (0)) \ frac (\ frac (\ sin (x)) (\ cos (x)) - \ sin (x)) (x ^ 3) = \ lim_ (x \ to ( 0)) \ frac (\ sin (x) \ cdot \ left (\ frac (1) (\ cos (x)) - 1 \ right)) (x ^ 3) = \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ sin (x) \ cdot \ left (1- \ cos (x) \ right)) (x ^ 3 \ cdot \ cos (x)) = \\ = \ lim_ (x \ do (0)) \ frac (\ sin (x) \ cdot (2) \ sin ^ 2 \ frac (x) (2)) (x ^ 3 \ cdot \ cos (x)) = \ frac (1) (2) \ cdot \ lim_ (x \ do (0)) \ left (\ frac (\ sin (x)) (x) \ cdot \ left (\ frac (\ sin \ frac (x) (2)) (\ frac (x) ( 2)) \ desno) ^ 2 \ cdot \ frac (1) (\ cos (x)) \ right) = \ frac (1) (2) \ cdot (1) \ cdot (1 ^ 2) \ cdot (1 ) = \ frac (1) (2). $$
Odgovor: $ \ lim_ (x \ to (0)) \ frac (\ tg (x) - \ sin (x)) (x ^ 3) = \ frac (1) (2) $.
Primer št. 9
Poiščite mejo $ \ lim_ (x \ do (3)) \ frac (1- \ cos (x-3)) ((x-3) \ tg \ frac (x-3) (2)) $.
Ker je $ \ lim_ (x \ to (3)) (1- \ cos (x-3)) = 0 $ in $ \ lim_ (x \ to (3)) (x-3) \ tg \ frac (x- 3) (2) = 0 $, potem obstaja negotovost oblike $ \ frac (0) (0) $. Preden nadaljujemo z razširitvijo, je priročno zamenjati spremenljivko tako, da se nova spremenljivka nagiba k nič (upoštevajte, da je spremenljivka $ \ alpha \ do 0 $ v formulah). Najlažji način je uvesti spremenljivko $ t = x-3 $. Zaradi ugodnosti nadaljnjih preoblikovanj (to korist je mogoče videti v spodnji rešitvi), je vredno narediti naslednjo zamenjavo: $ t = \ frac (x-3) (2) $. Upoštevajte, da v tem primeru veljata obe zamenjavi, le druga zamenjava vam bo omogočila manj dela z ulomki. Ker je $ x \ to (3) $, potem $ t \ to (0) $.
$$ \ lim_ (x \ do (3)) \ frac (1- \ cos (x-3)) ((x-3) \ tg \ frac (x-3) (2)) = \ levo | \ frac (0) (0) \ desno | = \ levo | \ začetek (poravnano) & t = \ frac (x-3) (2); \\ & t \ do (0) \ end (poravnano) \ desno | = \ lim_ (t \ do (0)) \ frac (1- \ cos (2t)) (2t \ cdot \ tg (t)) = \ lim_ (t \ do (0)) \ frac (2 \ sin ^ 2t) (2t \ cdot \ tg (t)) = \ lim_ (t \ do (0)) \ frac (\ sin ^ 2t) (t \ cdot \ tg (t)) = \\ = \ lim_ (t \ do (0)) \ frac (\ sin ^ 2t) (t \ cdot \ frac (\ sin (t)) (\ cos (t))) = \ lim_ (t \ do (0)) \ frac (\ sin (t) \ cos (t)) (t) = \ lim_ (t \ do (0)) \ levo (\ frac (\ sin (t)) (t) \ cdot \ cos (t) \ desno) = \ lim_ (t \ do (0)) \ frac (\ sin (t)) (t) \ cdot \ lim_ (t \ do (0)) \ cos (t) = 1 \ cdot (1) = 1. $$
Odgovor: $ \ lim_ (x \ do (3)) \ frac (1- \ cos (x-3)) ((x-3) \ tg \ frac (x-3) (2)) = 1 $.
Primer št. 10
Poiščite mejo $ \ lim_ (x \ to \ frac (\ pi) (2)) \ frac (1- \ sin (x)) (\ left (\ frac (\ pi) (2) -x \ right) ^ 2) $.
Spet imamo opravka z $ \ frac (0) (0) $ negotovostjo. Preden nadaljujemo s širitvijo, je priročno spremenljivko spremeniti tako, da se nova spremenljivka nagiba k nič (upoštevajte, da je spremenljivka $ \ alpha \ do (0) $ v formulah). Najlažji način je, da vnesete spremenljivko $ t = \ frac (\ pi) (2) -x $. Ker je $ x \ to \ frac (\ pi) (2) $, potem $ t \ to (0) $:
$$ \ lim_ (x \ to \ frac (\ pi) (2)) \ frac (1- \ sin (x)) (\ levo (\ frac (\ pi) (2) -x \ desno) ^ 2) = \ levo | \ frac (0) (0) \ desno | = \ levo | \ začetek (poravnano) & t = \ frac (\ pi) (2) -x; \\ & t \ do (0) \ end (poravnano) \ desno | = \ lim_ (t \ do (0)) \ frac (1- \ sin \ levo (\ frac (\ pi) (2) -t \ desno)) (t ^ 2) = \ lim_ (t \ do (0 )) \ frac (1- \ cos (t)) (t ^ 2) = \\ = \ lim_ (t \ to (0)) \ frac (2 \ sin ^ 2 \ frac (t) (2)) ( t ^ 2) = 2 \ lim_ (t \ do (0)) \ frac (\ sin ^ 2 \ frac (t) (2)) (t ^ 2) = 2 \ lim_ (t \ do (0)) \ frac (\ sin ^ 2 \ frac (t) (2)) (\ frac (t ^ 2) (4) \ cdot (4)) = \ frac (1) (2) \ cdot \ lim_ (t \ to ( 0)) \ levo (\ frac (\ sin \ frac (t) (2)) (\ frac (t) (2)) \ right) ^ 2 = \ frac (1) (2) \ cdot (1 ^ 2 ) = \ frac (1) (2). $$
Odgovor: $ \ lim_ (x \ to \ frac (\ pi) (2)) \ frac (1- \ sin (x)) (\ left (\ frac (\ pi) (2) -x \ right) ^ 2) = \ frac (1) (2) $.
Primer št. 11
Poiščite meje $ \ lim_ (x \ to \ frac (\ pi) (2)) \ frac (1- \ sin (x)) (\ cos ^ 2x) $, $ \ lim_ (x \ to \ frac (2 \ pi) (3)) \ frac (\ tg (x) + \ sqrt (3)) (2 \ cos (x) +1) $.
V tem primeru nam ni treba uporabiti prve čudovite meje. Upoštevajte: prva in druga omejitev vsebujeta samo trigonometrične funkcije in številke. Pogosto je v tovrstnih primerih mogoče poenostaviti izraz pod mejnim znakom. V tem primeru po omenjeni poenostavitvi in zmanjšanju nekaterih dejavnikov negotovost izgine. Ta primer sem dal le z enim namenom: pokazati, da prisotnost trigonometričnih funkcij pod mejnim znakom ne pomeni nujno uporabe prve izjemne meje.
Ker je $ \ lim_ (x \ to \ frac (\ pi) (2)) (1- \ sin (x)) = 0 $ (ne pozabite, da je $ \ sin \ frac (\ pi) (2) = 1 $) in $ \ lim_ (x \ to \ frac (\ pi) (2)) \ cos ^ 2x = 0 $ (ne pozabite, da je $ \ cos \ frac (\ pi) (2) = 0 $), potem imamo opravka z negotovost oblike $ \ frac (0) (0) $. Vendar to ne pomeni, da moramo uporabiti prvo izjemno mejo. Za razkritje negotovosti je dovolj upoštevati, da je $ \ cos ^ 2x = 1- \ sin ^ 2x $:
$$ \ lim_ (x \ to \ frac (\ pi) (2)) \ frac (1- \ sin (x)) (\ cos ^ 2x) = \ levo | \ frac (0) (0) \ desno | = \ lim_ (x \ to \ frac (\ pi) (2)) \ frac (1- \ sin (x)) (1- \ sin ^ 2x) = \ lim_ (x \ to \ frac (\ pi) ( 2)) \ frac (1- \ sin (x)) ((1- \ sin (x)) (1+ \ sin (x))) = \ lim_ (x \ to \ frac (\ pi) (2) ) \ frac (1) (1+ \ sin (x)) = \ frac (1) (1 + 1) = \ frac (1) (2). $$
Podobna rešitev je v Demidovičevem Reshebniku (št. 475). Kar zadeva drugo omejitev, tako kot v prejšnjih primerih tega oddelka imamo negotovost oblike $ \ frac (0) (0) $. Zakaj nastane? Nastane, ker je $ \ tg \ frac (2 \ pi) (3) = - \ sqrt (3) $ in $ 2 \ cos \ frac (2 \ pi) (3) = - 1 $. Te vrednosti uporabljamo za pretvorbo izrazov v števcu in imenovalcu. Namen naših dejanj: vnesite vsoto v števec in imenovalec v obliki produkta. Mimogrede, pogosto v podobnem pogledu je priročno spremeniti spremenljivko, narejeno tako, da se nova spremenljivka nagiba k nič (glej na primer primere # 9 ali # 10 na tej strani). Vendar v tem primeru ni smiselno zamenjati, čeprav je po želji enostavno spremeniti spremenljivko $ t = x- \ frac (2 \ pi) (3) $.
$$ \ lim_ (x \ to \ frac (2 \ pi) (3)) \ frac (\ tg (x) + \ sqrt (3)) (2 \ cos (x) +1) = \ lim_ (x \ do \ frac (2 \ pi) (3)) \ frac (\ tg (x) + \ sqrt (3)) (2 \ cdot \ levo (\ cos (x) + \ frac (1) (2) \ desno )) = \ lim_ (x \ to \ frac (2 \ pi) (3)) \ frac (\ tg (x) - \ tg \ frac (2 \ pi) (3)) (2 \ cdot \ left (\ cos (x) - \ cos \ frac (2 \ pi) (3) \ right)) = \\ = \ lim_ (x \ to \ frac (2 \ pi) (3)) \ frac (\ frac (\ sin \ levo (x- \ frac (2 \ pi) (3) \ desno)) (\ cos (x) \ cos \ frac (2 \ pi) (3))) (- 4 \ sin \ frac (x + \ zlom (2 \ pi) (3)) (2) \ sin \ frac (x- \ frac (2 \ pi) (3)) (2)) = \ lim_ (x \ to \ frac (2 \ pi) ( 3)) \ frac (\ sin \ left (x- \ frac (2 \ pi) (3) \ right)) (- 4 \ sin \ frac (x + \ frac (2 \ pi) (3)) (2 ) \ sin \ frac (x- \ frac (2 \ pi) (3)) (2) \ cos (x) \ cos \ frac (2 \ pi) (3)) = \\ = \ lim_ (x \ to \ frac (2 \ pi) (3)) \ frac (2 \ sin \ frac (x- \ frac (2 \ pi) (3)) (2) \ cos \ frac (x- \ frac (2 \ pi) (3)) (2)) (- 4 \ sin \ frac (x + \ frac (2 \ pi) (3)) (2) \ sin \ frac (x- \ frac (2 \ pi) (3)) (2) \ cos (x) \ cos \ frac (2 \ pi) (3)) = \ lim_ (x \ to \ frac (2 \ pi) (3)) \ frac (\ cos \ frac (x- \ zlom (2 \ pi) (3)) (2)) (- 2 \ sin \ frac (x + \ frac (2 \ pi) (3)) (2) \ cos (x) \ cos \ frac (2 \ pi) (3)) = \\ = \ frac (1) (- 2 \ cdot \ frac (\ sqrt (3)) (2) \ cdot \ left (- \ frac (1) (2) \ right) \ cdot \ levo ( - \ frac (1) (2) \ desno)) = - \ frac (4 ) (\ sqrt (3)). $$
Kot vidite, nam ni bilo treba uporabiti prve čudovite meje. Seveda lahko to storite po želji (glejte opombo spodaj), ni pa nujno.
Kakšna bi bila rešitev z uporabo prve čudovite meje? pokaži \ skrij
S prvo izjemno mejo dobimo:
$$ \ lim_ (x \ to \ frac (2 \ pi) (3)) \ frac (\ sin \ levo (x- \ frac (2 \ pi) (3) \ desno)) (- 4 \ sin \ frac (x + \ frac (2 \ pi) (3)) (2) \ sin \ frac (x- \ frac (2 \ pi) (3)) (2) \ cos (x) \ cos \ frac (2 \ pi) (3)) = \\ = \ lim_ (x \ to \ frac (2 \ pi) (3)) \ left (\ frac (\ sin \ left (x- \ frac (2 \ pi) (3) \ desno)) (x- \ frac (2 \ pi) (3)) \ cdot \ frac (1) (\ frac (\ sin \ frac (x- \ frac (2 \ pi) (3)) (2) ) (\ frac (x- \ frac (2 \ pi) (3)) (2))) \ cdot \ frac (1) (- 2 \ sin \ frac (x + \ frac (2 \ pi) (3) ) (2) \ cos (x) \ cos \ frac (2 \ pi) (3)) \ right) = 1 \ cdot (1) \ cdot \ frac (1) (- 2 \ cdot \ frac (\ sqrt ( 3)) (2) \ cdot \ left (- \ frac (1) (2) \ right) \ cdot \ left (- \ frac (1) (2) \ right)) =- \ frac (4) (\ sqrt (3)). $$
Odgovor: $ \ lim_ (x \ to \ frac (\ pi) (2)) \ frac (1- \ sin (x)) (\ cos ^ 2x) = \ frac (1) (2) $, $ \ lim_ ( x \ to \ frac (2 \ pi) (3)) \ frac (\ tg (x) + \ sqrt (3)) (2 \ cos (x) +1) = - \ frac (4) (\ sqrt ( 3)) $.
Reševanje težav pri iskanju omejitev Pri reševanju težav pri iskanju omejitev se morate spomniti nekaterih omejitev, da vam jih ni treba vsakič znova izračunati. Če združimo te znane meje, bomo z lastnostmi, navedenimi v §4, našli nove omejitve. Za udobje predstavljamo najpogosteje omejene omejitve: Meje 1 lim x - a x a 2 lim 1 = 0 3 lim x- ± co X ± 00 4 lim -L, = oo X-> o \ X \ 5 lim sin * - l X -о X 6 lim f (x) = f (a), če je f (x) neprekinjeno xa Če je znano, da je funkcija neprekinjena, potem namesto da bi našli mejo, izračunajte vrednost funkcije. Primer 1. Poiščite lim (x * -6l: + 8). Ker je več-X-> 2 izrazna funkcija neprekinjena, je lim (x * -6x4- 8) = 2 * -6-2 + 8 = 4.x- + 2x * _2x 4-1 Primer 2. Poišči lim -G. ... Najprej najdemo mejo - X- + 1 x ~ zx primerov imenovalca: lim [xz - \ - bx) = 12 + 5-1 = 6; ni enaka nič X-Y1, kar pomeni, da je mogoče uporabiti lastnost 4 § 4, potem x ™ i * " + & * ~~ lim (x2 bx)-12 + 5-1" "6 1. meja imenovalec XX je nič, zato lastnosti 4 § 4 ni mogoče uporabiti. Ker je števec konstantno število, imenovalec [x2x) -> - 0 pa x - 1, se celoten ulomek neomejeno poveča v absolutni vrednosti, tj. , lim "1X - * - - 1 x * + x Primer 4. Poišči lim \ -ll *"! "4 ni uporabno. Toda meja števca je prav tako enaka nič: lim (x2 - 5d; + 6) = 22 - 5-2 -f 6 = 0. Torej sta meji števca in imenovalec hkrati enaki nič. Število 2 pa je koren tako števca kot imenovalca, zato se ulomek lahko razveljavi z razliko x-2 (po Bezoutjevem izreku). Dejansko je x * -5x + 6 (x-2) (x-3) x-3 x "-6x + 8 ~ (x-2) (x-4) ~~ x-4" -f- 6 r x -3 -1 1 Primer 5. Poiščite lim xn (celo število n, pozitivno). X c Imamo xn = X * X. ... X, n krat Ker vsak faktor neomejeno raste, tudi produkt neomejeno raste, to je lim xn = oo. x oo Primer 6. Poiščite lim xn (n je celo število, pozitivno). X -> - CO Imamo xn = x x ... x. Ker vsak faktor narašča v absolutni vrednosti in ostane negativen, bo v primeru parne stopnje zmnožek neskončno naraščal in ostal pozitiven, to je lim * n = + oo (za par). * - * -co V primeru lihe stopnje se absolutna vrednost proizvoda poveča, vendar ostane negativna, to je lim xn = - oo (ko je n liho). n - 00 Primer 7. Poišči lim. x x - * - co * Če je m> ny, lahko zapišete: m = n + kt, kjer je k> 0. Zato je xm b lim - = - = lim - = - = lim x. yP Yn x -x> A x y Prišel je do primera 6. Če ty uTL xm I lim lim lim m. X - О х- * у Л X -> ω Tukaj števec ostane konstanten, imenovalec pa narašča v absolutni vrednosti, zato je lim -b = 0. X- * oo X * Priporočljivo je, da si zapomnite rezultat tega primera v naslednja oblika: hitreje večji je eksponent. $ хв_Зхг + 7 Primer 8. Poiščite lim g L -g -=. V tem primeru x- * ® «J *" Г bХ -х -о ter števec in imenovalec se povečujeta za nedoločen čas. Številčnik in imenovalec delite z največja moč x, to je na xb, nato 3 7_ Primer 9. Poiščite liro. Pri izvajanju transformacij dobimo liro., potem je meja imenovalca rade- * ® XX - + - CD X nič, medtem ko je meja števca je 1. Zato se celoten ulomek neomejeno poveča, to je t. 7x hm X- + o Primer 10. Poišči lim Izračunajmo mejo S imenovalca in se spomnimo, da je cos * -funkcija neprekinjena: lira (2 + cos x) = 2 + cozy = 2. Potem je x -> -S lim (l -fsin *) Primer 15. Poišči lim *<*-e>2 in lim e "(X" a) \ Pos - X- + ± co X ± CO stiskalnica (l: - a) 2 = z; ker (n; -a) 2 vedno ni negativno in neomejeno raste z x, potem kot x - ± oo nova spremenljivka z - * oo. Zato dobimo φm £<*-«)* = X ->± 00 s = lim er = oo (glej opombo k §5). r - * ■ co Podobno lim e ~ (X -a) 2 = lim e ~ z = Q, saj se x ± oo r m -(x -a) r neomejeno zmanjša kot x -> ± oo (glej opombo k §
Omejitve vsem učencem matematike povzročajo veliko težav. Če želite rešiti mejo, morate včasih uporabiti veliko trikov in med različnimi metodami reševanja izbrati točno tisto, ki je primerna za določen primer.
V tem članku vam ne bomo pomagali razumeti meja vaših zmožnosti ali razumeti meje nadzora, ampak bomo poskušali odgovoriti na vprašanje: kako razumeti meje v višji matematiki? Razumevanje prihaja z izkušnjami, zato bomo hkrati podali več podrobnih primerov reševanja omejitev s pojasnili.
Mejni koncept v matematiki
Prvo vprašanje: kaj je ta meja in kakšna je meja? Lahko govorimo o mejah številskih zaporedij in funkcij. Zanima nas koncept meje funkcije, saj se z njimi najpogosteje srečujejo učenci. Najprej pa najobsežnejša opredelitev meje:
Recimo, da obstaja nekaj spremenljivk. Če se ta vrednost v procesu spreminjanja neskončno približa določenemu številu a , potem a Je meja te vrednosti.
Za funkcijo, določeno v določenem intervalu f (x) = y takšno število imenujemo meja A , h kateremu funkcija teži pri NS nagnjeni k določeni točki a ... Točka a pripada intervalu, v katerem je funkcija definirana.
Sliši se okorno, vendar je zelo preprosto napisati:
Lim- iz angleščine omejitev je meja.
Obstaja tudi geometrijska razlaga za opredelitev meje, vendar tukaj ne bomo šli v teorijo, saj nas bolj kot teoretična stran vprašanja zanima bolj praktična. Ko to rečemo NS teži k neki vrednosti, to pomeni, da spremenljivka ne prevzame vrednosti števila, ampak je neskončno blizu nje.
Navedimo konkreten primer. Izziv je najti mejo.
Če želite rešiti ta primer, zamenjajte vrednost x = 3 v funkcijo. Dobimo:
Mimogrede, če vas zanima, preberite ločen članek na to temo.
V primerih NS lahko si prizadeva za kakršno koli vrednost. Lahko je poljubno število ali neskončnost. Tu je primer, ko NS teži v neskončnost:
Intuitivno je jasno, da večja kot je številka v imenovalniku, manjša bo vrednost funkcije. Torej z neomejeno rastjo NS pomen 1 / x se bo zmanjšala in se približala ničli.
Kot lahko vidite, morate za rešitev težave omejiti vrednost, za katero si želite prizadevati, v funkcijo NS ... Vendar je to najpreprostejši primer. Odkrivanje meje pogosto ni tako očitno. Negotovosti, kot so 0/0 ali neskončnost / neskončnost ... Kaj storiti v takih primerih? Zateči se k trikom!
Negotovosti znotraj
Negotovost oblike neskončnost / neskončnost
Naj bo meja:
Če poskušamo v funkcijo nadomestiti neskončnost, dobimo neskončnost tako v števcu kot v imenovalcu. Na splošno velja povedati, da je pri reševanju takšnih negotovosti določen element umetnosti: opozoriti je treba, kako je mogoče funkcijo preoblikovati tako, da negotovost izgine. V našem primeru števec in imenovalec delimo s NS v višji stopnji. Kar se zgodi?
Iz že obravnavanega primera vemo, da bodo izrazi, ki vsebujejo x v imenovalcu, nagnjeni k ničli. Potem je rešitev do omejitve:
Za razkritje negotovosti, npr neskončnost / neskončnostštevec in imenovalec delite z NS do najvišje stopnje.
Mimogrede! Za naše bralce je zdaj na voljo 10% popust
Druga vrsta negotovosti: 0/0
Kot vedno, zamenjava v funkciji vrednosti x = -1 daje 0 v števcu in imenovalcu. Poglejte malo natančneje in opazili boste, da imamo v števcu kvadratno enačbo. Poiščite korenine in napišite:
Skrajšajmo in dobimo:
Če se torej soočite z negotovostjo, kot je 0/0 - izločite števec in imenovalec.
Za lažje reševanje primerov podajamo tabelo z omejitvami nekaterih funkcij:
L'Hôpital -ovo pravilo znotraj
Še ena močna tehnika za odpravo obeh vrst negotovosti. Kaj je bistvo metode?
Če je v meji negotovost, vzamemo izpeljanko števca in imenovalca, dokler negotovost ne izgine.
L'Hôpitalovo pravilo izgleda takole:
Pomembna točka : mora obstajati meja, v kateri sta namesto števca in imenovalca izpeljanke števca in imenovalca.
In zdaj za pravi primer:
Tipična negotovost 0/0 ... Vzemimo izpeljanke števca in imenovalca:
Voila, dvoumnost se reši hitro in elegantno.
Upamo, da boste te informacije lahko koristno uporabili v praksi in našli odgovor na vprašanje "kako rešiti omejitve v višji matematiki". Če morate izračunati mejo zaporedja ali mejo funkcije na točki, za to delo pa od besede »sploh« ni časa, se za hitro in podrobno rešitev obrnite na strokovni študentski servis.