Delitev naravnih števil na prosta in sestavljena je pripisana starogrškemu matematiku Pitagori. In če sledite Pitagori, potem lahko množico naravnih števil razdelimo v tri razrede: (1) - niz, sestavljen iz enega števila - ena; (2, 3, 5, 7, 11, 13, ) je množica praštevil; (4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, ) je množica sestavljenih števil.
Veliko različnih skrivnosti skriva drugi sklop. Toda najprej ugotovimo, kaj je praštevilo. Odpremo "Matematični enciklopedični slovar" (Ju. V. Prokhorov, založba "Sovjetska enciklopedija", 1988) in preberemo:
"Prosto število je pozitivno celo število, ki je večje od tistega, ki nima drugih deliteljev kot samo sebe in ena: 2,3,5,7,11,13,
Koncept praštevila je temeljni pri preučevanju deljivosti naravnih števil; temeljni izrek aritmetike namreč pravi, da je vsako pozitivno celo število, razen 1, mogoče enolično razstaviti v zmnožek praštevil (red faktorjev se ne upošteva). Praštev je neskončno veliko (ta trditev, imenovana Evklidov izrek, je bila znana že starogrškim matematikom, njen dokaz lahko najdete v 9. knjigi Evklidovih elementov). P. Dirichlet (1837) je ugotovil, da je v aritmetični progresiji a+bx pri x=1. ,2,с s sopramestnima celima a in b vsebuje tudi neskončno veliko praštevil.
Za iskanje praštevil od 1 do x se uporablja dobro znano iz 3. stoletja. pr e. Eratostenovo sito. Če upoštevamo zaporedje (*) praštevil od 1 do x kaže, da ko se x poveča, postane v povprečju redkejši. Obstajajo poljubno dolgi segmenti niza naravnih števil, med katerimi ni niti enega praštevila (Izrek 4). Hkrati obstajajo takšna praštevila, med katerimi je razlika enaka 2 (tako imenovani dvojčki). Do sedaj (1987) ni znano, ali je množica takih dvojčkov končna ali neskončna. Tabele praštevil znotraj prvih 11 milijonov naravnih števil prikazujejo zelo velike dvojčke (na primer 10.006.427 in 10.006.429).
Pojasnitev porazdelitve praštevil v naravnih vrstah števil je zelo težaven problem v teoriji števil. Postavljena je kot študija asimptotičnega obnašanja funkcije, ki označuje število praštevil, ki ne presegajo pozitivnega števila x. Iz Evklidovega izreka je jasno, da pri. L. Euler je leta 1737 uvedel zeta funkcijo.
To je tudi dokazal
Kjer se seštevanje izvede po vseh naravnih številih, produkt pa se prevzame po vseh praštevilih. Ta identiteta in njene posplošitve igrajo temeljno vlogo v teoriji porazdelitve praštevil. Izhajajoč iz tega je L. Euler dokazal, da se vrsta in produkt v praštevilu p razhajata. Poleg tega je L. Euler ugotovil, da obstaja »veliko« praštevil, ker
Hkrati pa so skoraj vsa naravna števila sestavljena, saj pri.
in za katero koli (tj. tisto, kar raste kot funkcija). Kronološko je naslednji pomemben rezultat, ki izpopolnjuje Čebiševljev izrek, t.i. asimptotični zakon porazdelitve praštevil (J. Hadamard, 1896, Ch. La Valle Poussin, 1896), ki je bil sestavljen v tem, da je meja razmerja do enaka 1. Kasneje so bila pomembna prizadevanja matematikov usmerjena v razjasnitev asimptotičnega zakona porazdelitve praštevil. Vprašanja porazdelitve praštevil se preučujejo tako z elementarnimi metodami kot z metodami matematične analize.
Tukaj je smiselno dokazati nekatere izreke, podane v članku.
Lema 1. Če je gcd(a, b)=1, potem obstajajo cela števila x, y, tako da.
Dokaz. Naj sta a in b relativno praštevili. Razmislite o množici J vseh naravnih števil z, ki jih je mogoče predstaviti v obliki, in v njej izberite najmanjše število d.
Dokažimo, da je a deljivo z d. Delite a z d s preostankom: in pustimo. Ker ima torej obliko,
To vidimo.
Ker smo domnevali, da je d najmanjše število v J, imamo protislovje. Torej je a deljivo z d.
Na enak način dokažemo, da je b deljivo z d. Torej d=1. Lema je dokazana.
Izrek 1. Če sta števili a in b sopraprosti in je produkt bx deljiv z a, je x deljiv z a.
Dokaz 1. Dokazati moramo, da je ax deljiv z b in gcd(a,b)=1, potem je x deljiv z b.
Po lemi 1 obstajajo x, y taki, da. Potem je očitno deljivo z b.
Dokaz 2. Razmislite o množici J vseh naravnih števil z, tako da je zc deljivo z b. Naj bo d najmanjše število v J. To je enostavno videti. Podobno kot pri dokazu leme 1 dokažemo, da je a deljivo z d in da je b deljivo z d
Lema 2. Če so števila q,p1,p2,pn praška in je zmnožek deljiv s q, je eno od števil pi enako q.
Dokaz. Najprej upoštevajte, da če je praštevilo p deljivo s q, potem je p=q. To takoj implicira trditev leme za n=1. Za n=2 izhaja neposredno iz izreka 1: če je p1p2 deljivo s praštevilom q u, potem je p2 deljivo s q (tj.).
Lemo za n=3 dokažemo na naslednji način. Naj je p1 p2 p3 deljivo s q. Če je p3 = q, je vse dokazano. Če je po izreku 1 p1 p2 deljivo s q. Tako smo primer n=3 reducirali na že obravnavan primer n=2.
Podobno lahko od n=3 gremo na n=4, nato na n=5 in na splošno ob predpostavki, da je n=k trditev leme dokazana, jo zlahka dokažemo za n=k+1. To nas prepriča, da je lema resnična za vse n.
Temeljni izrek aritmetike. Vsako naravno število je mogoče na edinstven način razstaviti na prafaktorje.
Dokaz. Recimo, da obstajata dve faktorizaciji števila a v prafaktorje:
Ker je desna stran deljiva s q1, mora biti tudi leva stran enakosti deljiva s q1. V skladu z lemo 2 je eno od števil enako q1. Prekličemo obe strani enakosti s q1.
Izvedemo enako sklepanje za q2, nato za q3, za qi. Na koncu se bodo vsi faktorji na desni zmanjšali in ostal bo 1. Na levi seveda ne bo ostalo nič razen enega. Zato sklepamo, da se lahko obe razširitvi in razlikujeta le po vrstnem redu dejavnikov. Izrek je dokazan.
Evklidov izrek. Število praštevil je neskončno.
Dokaz. Predpostavimo, da je niz praštevil končen, in označimo zadnje praštevilo s črko N. Sestavi produkt
Dodajmo mu 1. Dobimo:
To število, ki je celo število, mora vsebovati vsaj en prafaktor, to pomeni, da mora biti deljivo z vsaj enim praštevilom. Toda vsa praštevila po predpostavki ne presegajo N, medtem ko število M + 1 ni deljivo brez ostanka z nobenim od praštevil, manjšim ali enakim N - vsakič, ko je ostanek 1. Izrek je dokazan.
Izrek 4. Odseki sestavljenih števil med praštevili so lahko poljubne dolžine. Zdaj bomo dokazali, da je vrsta sestavljena iz n zaporednih sestavljenih števil.
Te številke gredo neposredno drugo za drugo v naravni vrsti, saj je vsako naslednje za 1 več od prejšnje. Treba je še dokazati, da so vsi sestavljeni.
Prva številka
Celo, saj oba izraza vsebujeta faktor 2. Vsako sodo število, večje od 2, je sestavljeno.
Drugo število je sestavljeno iz dveh členov, od katerih je vsak večkratnik 3. Zato je to število sestavljeno.
Podobno ugotovimo, da je naslednje število večkratnik 4 itd. Z drugimi besedami, vsako število v naši seriji vsebuje faktor, ki se razlikuje od enega in samega sebe; je torej sestavljen. Izrek je dokazan.
Po preučevanju dokazov izrekov nadaljujemo z obravnavo članka. V njenem besedilu je bilo Eratostenovo sito omenjeno kot način iskanja praštevil. O tej metodi preberimo iz istega slovarja:
»Eratosthenovo sito je metoda, ki jo je razvil Eratosten in vam omogoča, da iz naravnega niza izločite sestavljena števila. Bistvo Eratostenovega sita je naslednje. Enota je prečrtana. Številka dve je preprosta. Prečrtana so vsa naravna števila, deljiva z 2. Število 3 – prvo neprečrtano število bo pra. Nadalje so prečrtana vsa naravna števila, ki so deljiva s 3. Število 5 - naslednje neprečrtano število - bo pra. Če nadaljujemo s podobnimi izračuni, lahko najdemo poljubno dolg segment zaporedja praštevil. Eratostenovo sito kot teoretično metodo za preučevanje teorije števil je razvil W. Brun (1919).
Tukaj je največje število, ki je trenutno znano kot prvo:
Ta številka ima približno sedemsto decimalnih mest. Izračuni, s katerimi je bilo ugotovljeno, da je to število pra, so bili izvedeni na sodobnih računalnikih.
"Riemannova zeta funkcija, -funkcija, je analitična funkcija kompleksne spremenljivke za σ>1, ki jo določa absolutno in enakomerno konvergenten Dirichletov niz:
Za σ>1 velja predstavitev v obliki Eulerjevega produkta:
(2) kjer p poteka skozi vse praštevile.
Identiteta serije (1) in produkta (2) je ena glavnih lastnosti zeta funkcije. Omogoča pridobitev različnih razmerij, ki povezujejo zeta funkcijo z najpomembnejšimi teoretičnimi številskimi funkcijami. Zato ima zeta funkcija veliko vlogo v teoriji števil.
Zeta funkcijo je kot funkcijo realne spremenljivke uvedel L. Euler (1737, publ. 1744), ki je navedel njeno lokacijo v produktu (2). Nato je zeta funkcijo obravnaval P. Dirichlet in še posebej uspešno P. L. Čebišev v povezavi s preučevanjem zakona porazdelitve praštevil. Najgloblje lastnosti zeta funkcije pa so bile odkrite po delih B. Riemanna, ki je leta 1859 prvič obravnaval zeta funkcijo kot funkcijo kompleksne spremenljivke, uvedel je tudi ime "zeta funkcija" in oznaka """.
Toda postavlja se vprašanje: kakšna praktična uporaba je za vse to delo s praštevili? Dejansko od njih skoraj ni nobene koristi, vendar obstaja eno področje, kjer se praštevila in njihove lastnosti uporabljajo še danes. To je kriptografija. Tu se v šifrirnih sistemih uporabljajo proste številke brez prenosa ključev.
Žal je to vse, kar je znano o praštevilih. Ostaja še veliko skrivnosti. Na primer, ni znano, ali je niz praštevil, ki jih je mogoče predstaviti kot dva kvadrata, neskončen.
"NEPROSTA PRVA ŠTEVILA".
Odločil sem se za malo raziskavo, da bi našel odgovore na nekatera vprašanja o praštevilih. Najprej sem sestavil program, ki izpiše vsa zaporedna praštevila, manjša od 1 000 000 000. Poleg tega sem sestavil program, ki ugotavlja, ali je vneseno število praštevilo. Za preučevanje problemov praštevil sem zgradil graf, ki označuje odvisnost vrednosti praštevila od rednega števila. Kot nadaljnji raziskovalni načrt sem se odločil uporabiti članek IS Zeltserja in BA Kordemskega "Zabavne jate praštevila." Avtorji so opredelili naslednje raziskovalne poti:
1. 168 mest prvih tisoč naravnih števil zasedajo praštevila. Od tega je 16 številk palindromnih - vsako je enako obratno: 11, 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 799, 919, .
Obstaja le 1061 štirimestnih praštevil in nobeno od njih ni palindromsko.
Obstaja veliko petmestno preprostih palindromskih številk. Vključujejo takšne lepote: 13331, 15551, 16661, 19991. Nedvomno obstajajo jate te vrste: ,. Toda koliko izvodov je v vsaki takšni jati?
3+x+x+x+3 = 6+3x = 3(2+x)
9+x+x+x+9 = 18+3x =3(6+x)
Vidimo, da je vsota števk številk in deljiva s 3, zato so tudi te številke same deljive s 3.
Kar zadeva števila obrazca, so med njimi praštevila 72227, 75557, 76667, 78887, 79997.
2. V prvem tisočaku je pet "kvartetov", sestavljenih iz zaporednih praštevil, katerih zadnje števke tvorijo zaporedje 1, 3, 7, 9: (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109), (191, 193, 197, 199), (211, 223, 227, 229), (821, 823, 827, 829).
Koliko takšnih kvartetov je med n-mestno praštevilko za n>3?
S pomočjo programa, ki sem ga napisal, sem našel kvartet, ki so ga avtorji pogrešali: (479, 467, 463, 461) in kvartet za n = 4, 5, 6. Za n = 4 je 11 kvartetov
3. Jata devetih praštevil: 199, 409, 619, 829, 1039, 1249, 1459, 1669, 1879 - ni privlačna samo zato, ker je aritmetična progresija z razliko 210, ampak tudi zato, ker se lahko prilega devet. celice tako, da se oblikuje čarobni kvadrat s konstanto, ki je enaka razliki dveh praštevil: 3119 - 2:
Naslednji, deseti član obravnavane progresije, 2089, je tudi praštevilo. Če odstranite številko 199 iz jate, vendar vključite 2089, lahko jata v tej sestavi tvori čarobni kvadrat - temo za iskanje.
Treba je opozoriti, da obstajajo tudi drugi čarobni kvadrati, sestavljeni iz praštevil:
1847 6257 6197 3677 1307 1877 2687
2267 1427 5987 5927 1667 2027 4547
2897 947 2357 4517 3347 5867 3917
3557 4157 4397 3407 2417 2657 3257
4337 5717 3467 2297 4457 1097 2477
4817 4767 827 887 5147 5387 1997
4127 557 617 3137 5507 4937 4967
Predlagani kvadrat je radoveden, ker
1. To je čarobni kvadrat 7x7;
2. Vsebuje čarobni kvadrat 5x5;
3. Čarobni kvadrat 5x5 vsebuje čarobni kvadrat 3x3;
4. Vsi ti kvadratki imajo eno skupno osrednjo število - 3407;
5. Vseh 49 številk, vključenih v kvadrat 7x7, je konec števila 7;
6. Vseh 49 številk, vključenih v kvadrat 7x7, so praštevila;
7. Vsako od 49 številk, vključenih v kvadrat 7x7, je mogoče predstaviti kot 30n + 17.
Uporabljene programe sem napisal v programskem jeziku Dev-C++ in njihova besedila navajam v prilogi (glej datoteke s pripono .cpp). Poleg vsega naštetega sem napisal program, ki razkroji zaporedna naravna števila na prafaktorje (glej Delitelji 1. cpp) in program, ki razgradi samo vneseno število na prafaktorje (glej Delitelji 2. cpp). Ker ti programi v prevedeni obliki zavzamejo preveč prostora, so podana samo njihova besedila. Vendar jih lahko sestavi vsak, če ima pravi program.
BIOGRAFIJE ZNANSTVENIKOV, UKLJUČENIH V PROBLEM PRIH ŠTEVIL
EUCLIDES
(približno 330 pr.n.št. - približno 272 pr.n.št.)
O življenju najslavnejšega antičnega matematika se je ohranilo zelo malo zanesljivih podatkov. Domneva se, da je študiral v Atenah, kar pojasnjuje njegovo briljantno obvladovanje geometrije, ki jo je razvila Platonova šola. Vendar očitno ni bil seznanjen z Aristotelovimi spisi. Poučeval je v Aleksandriji, kjer si je v času vladavine Ptolemeja I. Sotra prislužil visoke pohvale za svoje pedagoške dejavnosti. Obstaja legenda, da je ta kralj zahteval, da mu razkrije pot do hitrega uspeha v matematiki, na kar je Evklid odgovoril, da v geometriji ni kraljevih poti (podobna zgodba pa je pripovedana tudi o Menchemu, ki naj bi ga vprašali približno enako Aleksandra Velikega). Tradicija je ohranila spomin na Evklida kot na dobrohotno in skromno osebo. Evklid je avtor razprav o različnih temah, vendar je njegovo ime povezano predvsem z eno od razprav, imenovano »Začetki«. Gre za zbirko del matematikov, ki so delali pred njim (najbolj znan med njimi je bil Hipokrat s Kosa), katerega rezultate je po zaslugi svoje sposobnosti posploševanja in prizadevnosti pripeljal do popolnosti.
EULER (EULER) LEONARD
(Basel, Švica 1707 - Sankt Peterburg, 1783)
Matematik, mehanik in fizik. Rojen v družini revnega pastorja Paula Eulerja. Izobrazbo je prejel najprej pri očetu, v letih 1720–24 pa na univerzi v Baslu, kjer je obiskoval predavanja iz matematike I. Bernoullija.
Konec leta 1726 je bil Euler povabljen v Petrogradsko akademijo znanosti in maja 1727 prispel v Sankt Peterburg. V na novo organizirani akademiji je Euler našel ugodne pogoje za znanstveno dejavnost, kar mu je omogočilo, da je takoj začel študirati matematiko in mehaniko. Euler je v 14 letih prvega obdobja svojega življenja v Sankt Peterburgu pripravil za objavo okoli 80 del in jih objavil več kot 50. V Sankt Peterburgu je študiral ruščino.
Euler je sodeloval pri številnih dejavnostih Petrogradske akademije znanosti. Predaval je študentom akademske univerze, sodeloval pri različnih tehničnih izpitih, delal pri sestavljanju zemljevidov Rusije in napisal javno dostopni "Vodnik po aritmetiki" (1738–40). Po posebnih navodilih Akademije je Euler pripravil za objavo Naval Science (1749), temeljno delo o teoriji ladjedelništva in plovbe.
Leta 1741 je Euler sprejel ponudbo pruskega kralja Friderika II., da se preseli v Berlin, kjer naj bi potekala reorganizacija Akademije znanosti. Na berlinski akademiji znanosti je Euler prevzel mesto direktorja matematičnega razreda in člana upravnega odbora, po smrti njenega prvega predsednika P. Maupertuisa pa je več let (od 1759) dejansko vodil akademijo. Za 25 let svojega življenja v Berlinu je pripravil okoli 300 del, med njimi številne velike monografije.
Euler med življenjem v Berlinu ni prenehal intenzivno delati za Sanktpeterburško akademijo znanosti in obdržal naziv njenega častnega člana. Vodil je obsežno znanstveno in znanstveno-organizacijsko korespondenco, zlasti si je dopisoval z M. Lomonosovom, ki ga je zelo cenil. Euler je urejal matematični oddelek ruskega akademskega znanstvenega telesa, kjer je v tem času objavil skoraj toliko člankov kot v "Memoarjih" berlinske akademije znanosti. Aktivno je sodeloval pri izobraževanju ruskih matematikov; bodoči akademiki S. Kotelnikov, S. Rumovsky in M. Sofronov so bili poslani v Berlin na študij pod njegovim vodstvom. Euler je veliko pomagal Sanktpeterburški akademiji znanosti, nabavljal je znanstveno literaturo in opremo zanjo, se pogajal s kandidati za mesta na akademiji itd.
17. (28.) julija 1766 se je Euler z družino vrnil v Sankt Peterburg. Kljub visoki starosti in skoraj popolni slepoti, ki ga je doletela, je do konca življenja produktivno delal. V 17 letih svojega drugega bivanja v Sankt Peterburgu je pripravil okoli 400 del, med njimi več velikih knjig. Euler je še naprej sodeloval pri organizacijskem delu akademije. Leta 1776 je bil eden izmed strokovnjakov za projekt enoločnega mostu čez Nevo, ki ga je predlagal I. Kulibin, in je od celotne komisije sam dal široko podporo projektu.
Eulerjeve zasluge kot uglednega znanstvenika in organizatorja znanstvenih raziskav so bile v njegovem življenju zelo cenjene. Poleg peterburške in berlinske akademije je bil član največjih znanstvenih institucij: Pariške akademije znanosti, Londonskega kraljevega društva in drugih.
Ena od značilnosti Eulerjevega dela je njegova izjemna produktivnost. Samo v času njegovega življenja je izšlo okoli 550 njegovih knjig in člankov (seznam Eulerjevih del vsebuje okoli 850 naslovov). Leta 1909 je Švicarsko naravoslovno društvo začelo objavljati celotna Eulerjeva dela, ki so bila dokončana leta 1975; obsega 72 zvezkov. Zelo zanimiva je Eulerjeva kolosalna znanstvena korespondenca (približno 3000 pisem), ki je bila doslej objavljena le delno.
Eulerjev krog študij je bil nenavadno širok, zajemal je vse oddelke za sodobno matematiko in mehaniko, teorijo elastičnosti, matematično fiziko, optiko, teorijo glasbe, teorijo strojev, balistiko, pomorstvo, zavarovalništvo itd. Približno 3/5 Eulerjevih del pripadajo matematiki, preostalih 2/5 pa predvsem njenim aplikacijam. Znanstvenik je svoje rezultate in rezultate, ki so jih pridobili drugi, sistematiziral v številnih klasičnih monografijah, napisanih z neverjetno jasnostjo in opremljenimi z dragocenimi primeri. To so na primer "Mehanika ali znanost o gibanju, predstavljena analitično" (1736), "Uvod v analizo" (1748), "Diferencialni račun" (1755), "Teorija gibanja togega telesa" ( 1765), "Univerzalna aritmetika" (1768-69), ki je doživela približno 30 izdaj v 6 jezikih, "Integralni račun" (1768-94) itd. V XVIII. in deloma v 19. stoletju. Javno dostopna pisma o različnih fizičnih in filozofskih zadevah, napisana neki nemški princesi, so pridobila izjemno popularnost. (1768–74), ki je doživela več kot 40 izdaj v 10 jezikih. Večino vsebine Eulerjevih monografij so nato vključili v učbenike za višje in delno srednje šole. Nemogoče je našteti vse doslej uporabljene Eulerjeve izreke, metode in formule, od katerih se le nekaj v literaturi pojavlja pod njegovim imenom [npr. Eulerjeva metoda lomljene črte, Eulerjeve substitucije, Eulerjeva konstanta, Eulerjeve enačbe, Eulerjeve formule, Eulerjeva funkcija, Eulerjeva števila, Eulerjeva formula - Maclaurin, Euler-Fourierjeve formule, Eulerjeva karakteristika, Eulerjevi integrali, Eulerjevi koti].
V "Mehaniki" je Euler najprej razložil dinamiko točke s pomočjo matematične analize: prosto gibanje točke pod delovanjem različnih sil tako v vakuumu kot v mediju z uporom; gibanje točke vzdolž dane črte ali vzdolž dane površine; gibanje pod vplivom centralnih sil. Leta 1744 je prvič pravilno oblikoval mehansko načelo najmanjšega delovanja in pokazal njegove prve uporabe. V Teoriji gibanja togega telesa je Euler razvil kinematiko in dinamiko togega telesa in podal enačbe za njegovo vrtenje okoli fiksne točke, s čimer je postavil temelje za teorijo žiroskopov. Euler je v svoji teoriji ladje dragocen prispevek k teoriji stabilnosti. Pomembna so Eulerjeva odkritja v nebesni mehaniki (na primer v teoriji gibanja lune) in mehaniki kontinuuma (osnovne enačbe gibanja idealne tekočine v obliki Eulerja in v tako imenovanih Lagrangeovih spremenljivkah, plinu). nihanja v ceveh itd.). V optiki je Euler (1747) podal formulo za bikonveksno lečo in predlagal metodo za izračun lomnega količnika medija. Euler se je držal valovne teorije svetlobe. Verjel je, da različne barve ustrezajo različnim valovnim dolžinam svetlobe. Euler je predlagal načine za odpravo kromatičnih aberacij leč in podal metode za izračun optičnih komponent mikroskopa. Euler je matematični fiziki posvetil obsežno serijo del, ki se je začela leta 1748: problemom tresljajev strune, plošče, membrane itd. Vse te študije so spodbudile razvoj teorije diferencialnih enačb, približnih analiznih metod in posebnih . funkcije, diferencialna geometrija itd. Veliko Eulerjevih matematičnih odkritij je vsebovanih prav v teh delih.
Eulerjevo glavno delo kot matematik je bil razvoj matematične analize. Postavil je temelje več matematičnih disciplin, ki so bile šele v povojih ali pa so bile popolnoma odsotne v računih infinitezimal I. Newtona, G. Leibniza in bratov Bernoulli. Tako je Euler prvi uvedel funkcije kompleksnega argumenta in preučil lastnosti osnovnih elementarnih funkcij kompleksne spremenljivke (eksponentne, logaritemske in trigonometrične funkcije); zlasti je izpeljal formule, ki povezujejo trigonometrične funkcije z eksponentnimi. Eulerjevo delo v tej smeri je pomenilo začetek teorije funkcij kompleksne spremenljivke.
Euler je bil ustvarjalec variacijskega računa, opisanega v delu »Metoda za iskanje ukrivljenih črt z največjimi ali minimalnimi lastnostmi. » (1744). Metoda, s katero je Euler leta 1744 izpeljal nujni pogoj za ekstremum funkcionala, Eulerjeva enačba, je bila prototip neposrednih metod variacijskega računa 20. stoletja. Euler je ustvaril teorijo navadnih diferencialnih enačb kot samostojno disciplino in postavil temelje za teorijo delnih diferencialnih enačb. Tu ima v lasti ogromno odkritij: klasično metodo reševanja linearnih enačb s konstantnimi koeficienti, metodo variacije poljubnih konstant, razjasnitev osnovnih lastnosti Riccatijeve enačbe, integracijo linearnih enačb s spremenljivimi koeficienti z uporabo neskončnih vrst, merila za posebne rešitve, nauk o integrirnem faktorju, različne približne metode in številne tehnike reševanja delnih diferencialnih enačb. Euler je pomemben del teh rezultatov zbral v svojem "Integralnem izračunu".
Euler je obogatil tudi diferencialni in integralni račun v ožjem pomenu besede (na primer teorijo spreminjanja spremenljivk, izrek o homogenih funkcijah, pojem dvojnega integrala in izračun številnih posebnih integralov). Euler je v "Diferencialnem izračunu" izrazil in s primeri podprl svoje prepričanje o smotrnosti uporabe divergentnih vrst in predlagal metode za posplošeno seštevanje vrst, pri čemer je predvideval ideje sodobne stroge teorije divergentnih vrst, ustvarjene na prelomu stoletja. 19. in 20. stoletje. Poleg tega je Euler dobil veliko konkretnih rezultatov v teoriji vrst. Odprl je t.i. Euler-Maclaurinovo formulo seštevanja, predlagal preoblikovanje vrste, ki nosi njegovo ime, določil vsote ogromnega števila vrst in v matematiko uvedel nove pomembne vrste vrst (na primer trigonometrične vrste). Eulerjeve študije o teoriji neprekinjenih ulomkov in drugih neskončnih procesov se tu bližajo.
Euler je ustanovitelj teorije posebnih funkcij. Sinus in kosinus je najprej začel obravnavati kot funkcije in ne kot segmente v krogu. Dobil je skoraj vse klasične razširitve elementarnih funkcij v neskončne serije in produkte. V njegovih delih je nastala teorija γ-funkcije. Raziskoval je lastnosti eliptičnih integralov, hiperboličnih in cilindričnih funkcij, ζ-funkcije, nekaterih θ-funkcij, integralnega logaritma in pomembne razrede posebnih polinomov.
Po P. Čebiševu je Euler postavil temelje za vse raziskave, ki sestavljajo splošni del teorije števil. Tako je Euler dokazal številne izjave P. Fermata (na primer Fermatov mali izrek), razvil temelje teorije ostankov moči in teorije kvadratnih oblik, odkril (vendar ni dokazal) kvadratni zakon vzajemnosti, in proučeval številne probleme v Diofantovi analizi. Euler je v delih o delitvi števil na izraze in o teoriji praštevil prvi uporabil metode analize in tako bil tvorec analitične teorije števil. Predvsem je uvedel ζ-funkcijo in dokazal t.i. Eulerjeva identiteta, ki povezuje praštevila z vsemi naravnimi števili.
Eulerjeve zasluge so velike tudi na drugih področjih matematike. V algebri ima v lasti dela o rešitvi enačb višjih stopenj v radikalih in o enačbah v dveh neznankah ter t.i. Eulerjeva identiteta štirih kvadratov. Euler je naredil pomemben napredek v analitični geometriji, zlasti v teoriji površin drugega reda. V diferencialni geometriji je podrobno preučeval lastnosti geodetskih črt, prvič uporabil naravne enačbe krivulj in kar je najpomembnejše, postavil je temelje teorije površin. Uvedel je pojem glavnih smeri v točki na ploskvi, dokazal njihovo pravokotnost, izpeljal formulo za ukrivljenost katerega koli normalnega preseka, začel preučevati razvitljive površine itd.; v enem posmrtno objavljenem delu (1862) je delno predvideval raziskave K. Gaussa o intrinzični geometriji površin. Euler se je ukvarjal tudi s posameznimi vprašanji topologije in dokazal na primer pomemben izrek o konveksnih poliedrih. Matematika Eulerja pogosto opisujejo kot briljantnega "kalkulatorja". Pravzaprav je bil neprekosljiv mojster formalnih izračunov in transformacij, v njegovih delih so številne matematične formule in simboli dobili sodoben videz (na primer ima v lasti oznake za e in π). Vendar je Euler v znanost vnesel tudi številne globoke ideje, ki so zdaj strogo utemeljene in služijo kot model za globinsko prodiranje v predmet raziskovanja.
Po P. Laplaceu je bil Euler učitelj matematike v drugi polovici 18. stoletja.
DIRICHLET PETER GUSTAV
(Düren, zdaj Nemčija, 1805 - Göttingen, ibid., 1859)
Študiral je v Parizu, vzdrževal prijateljske odnose z izjemnimi matematiki, zlasti s Fourierjem. Po diplomi je bil profesor na univerzah v Breslauu (1826 - 1828), Berlinu (1828 - 1855) in Göttingenu, kjer je po smrti znanstvenika Carla Friedricha Gaussa postal predstojnik oddelka za matematiko. Njegov najbolj izjemen prispevek k znanosti se nanaša na teorijo števil, predvsem na študij serij. To mu je omogočilo razvoj teorije serij, ki jo je predlagal Fourier. Ustvaril je svojo različico dokaza Fermatovega izreka, uporabil analitične funkcije za reševanje aritmetičnih problemov in uvedel konvergenčne kriterije za vrste. Na področju matematične analize je izboljšal definicijo in koncept funkcije, na področju teoretične mehanike se je osredotočil na proučevanje stabilnosti sistemov in na Newtonov koncept potenciala.
ČEBIŠEV PAFNUTIJ LVOVIČ
Ruski matematik, ustanovitelj peterburške znanstvene šole, akademik Petrogradske akademije znanosti (1856). Čebiševa dela so postavila temelje za razvoj številnih novih vej matematike.
Najštevilčnejša Čebiševa dela so na področju matematične analize. Predvsem je bil predmet disertacije za pravico do predavanja, v kateri je Čebišev raziskoval integrabilnost nekaterih iracionalnih izrazov v algebraičnih funkcijah in logaritmih. Čebišev je integraciji algebraičnih funkcij posvetil tudi številna druga dela. V enem izmed njih (1853) je bil pridobljen dobro znan izrek o pogojih integrabilnosti v elementarnih funkcijah diferencialnega binoma. Pomembno področje raziskav v matematični analizi je njegovo delo pri gradnji splošne teorije ortogonalnih polinomov. Razlog za nastanek je bila parabolična interpolacija po metodi najmanjših kvadratov. Čebiševe raziskave o problemu trenutkov in o kvadraturnih formulah mejijo na isti krog idej. Ob upoštevanju zmanjšanja izračunov je Čebišev predlagal (1873), da se upoštevajo kvadraturne formule z enakimi koeficienti (približna integracija). Raziskave kvadraturnih formul in teorije interpolacije so bile tesno povezane z nalogami, ki so bile zastavljene Čebiševu v artilerijskem oddelku vojaškega znanstvenega odbora.
V teoriji verjetnosti je Čebišev zaslužen za sistematično uvajanje v upoštevanje naključnih spremenljivk in za ustvarjanje nove tehnike za dokazovanje mejnih izrekov teorije verjetnosti - t.i. metoda trenutkov (1845, 1846, 1867, 1887). Dokazal je zakon velikih števil v zelo splošni obliki; Hkrati je njegov dokaz presenetljiv v svoji preprostosti in elementarnosti. Čebišev ni dokončal študije pogojev za konvergenco porazdelitvenih funkcij vsot neodvisnih naključnih spremenljivk k normalnemu zakonu. Vendar je A. A. Markovu to uspelo z nekaj dodatkov Čebiševih metod. Brez strogih izpeljank je Čebišev orisal tudi možnost izpopolnjevanja tega mejnega izreka v obliki asimptotičnih razširitev porazdelitvene funkcije vsote neodvisnih členov v potencah n21/2, kjer je n število členov. Čebiševo delo na teoriji verjetnosti predstavlja pomembno stopnjo v njenem razvoju; poleg tega so bili osnova, na kateri je zrasla ruska šola teorije verjetnosti, ki so jo sprva sestavljali neposredni učenci Čebiševa.
Riemann Georg Friedrich Bernhard
(Breselenz, Spodnja Saška, 1826 - Selaska, blizu Intra, Italija 66)
nemški matematik. Leta 1846 je vstopil na univerzo v Göttingenu: poslušal je predavanja K. Gaussa, katerega mnoge ideje je pozneje razvil. V letih 1847–49 je obiskoval predavanja na berlinski univerzi; leta 1849 se je vrnil v Göttingen, kjer se je tesno spoprijateljil z Gaussovim sodelavcem, fizikom W. Weberjem, ki je v njem vzbudil globoko zanimanje za vprašanja matematičnega naravoslovja.
Leta 1851 je zagovarjal doktorsko disertacijo "Osnove splošne teorije funkcij ene kompleksne spremenljivke." Od 1854 Privatdozent, od 1857 profesor na univerzi v Göttingenu.
Riemannovo delo je imelo velik vpliv na razvoj matematike v drugi polovici 19. stoletja. in v 20. stoletju. Riemann je v svoji doktorski disertaciji postavil temelje geometrijski smeri teorije analitičnih funkcij; uvedel je tako imenovane Riemannove ploskve, ki so pomembne pri preučevanju večvrednostnih funkcij, razvil teorijo konformnih preslikav in v zvezi s tem podal osnovne ideje topologije, preučil pogoje za obstoj analitičnih funkcij znotraj regij. različnih vrst (tako imenovano Dirichletovo načelo) itd. Metode, ki jih je razvil Riemann, so se široko uporabljale v njegovih nadaljnjih delih o teoriji algebraičnih funkcij in integralov, o analitični teoriji diferencialnih enačb (zlasti enačb, ki definirajo hipergeometrične funkcije). ), o analitični teoriji števil (Riemann je na primer nakazal povezavo med porazdelitvijo praštevil in lastnostmi ζ-funkcije, zlasti z porazdelitvijo njenih ničel v kompleksni domeni - tako imenovana Riemannova hipoteza, katerih veljavnost še ni dokazana) itd.
Riemann je v številnih prispevkih raziskal razširitev funkcij v trigonometrične vrste in v zvezi s tem določil potrebne in zadostne pogoje za integrabilnost v smislu Riemanna, kar je bilo pomembno za teorijo množic in funkcij realne spremenljivke. . Riemann je predlagal tudi metode za integracijo delnih diferencialnih enačb (na primer z uporabo tako imenovanih Riemannovih invariant in Riemannove funkcije).
V svojem znamenitem predavanju iz leta 1854 "O hipotezah, ki temeljijo na geometriji" (1867), je Riemann podal splošno predstavo o matematičnem prostoru (po njegovih besedah "množkih"), vključno s funkcionalnimi in topološkimi prostori. Tu je geometrijo v širšem smislu obravnaval kot nauk o neprekinjenih n-dimenzionalnih mnogoternikih, to je zbirki kakršnih koli homogenih predmetov, in s posplošitvijo Gaussovih rezultatov o intrinzični geometriji površine podal splošen koncept linearnega elementa. (diferencial razdalje med točkami mnogoterja), s čimer definiramo tisto, kar imenujemo Finslerjevi prostori. Podrobneje je Riemann obravnaval tako imenovane Riemannove prostore, posplošil prostore geometrij Evklida, Lobačevskega in Riemannove eliptične geometrije, za katere je značilna posebna vrsta linearnih elementov, in razvil teorijo njihove ukrivljenosti. Ko je razpravljal o uporabi svojih idej v fizičnem prostoru, je Riemann postavil vprašanje o "vzrokih metričnih lastnosti" tega, kot da bi predvideval, kaj je bilo storjeno v splošni teoriji relativnosti.
Ideje in metode, ki jih je predlagal Riemann, so odprle nove poti v razvoju matematike in našle uporabo v mehaniki in splošni teoriji relativnosti. Znanstvenik je umrl leta 1866 zaradi tuberkuloze.
V tem članku bomo preučili prosta in sestavljena števila. Najprej podamo definicije pra in sestavljenih števil ter navedemo tudi primere. Po tem dokažemo, da obstaja neskončno veliko praštevil. Nato napišemo tabelo praštevil in razmislimo o metodah za sestavljanje tabele praštevil, še posebej pa se bomo podrobno osredotočili na metodo, imenovano Eratostenovo sito. Za zaključek izpostavimo glavne točke, ki jih je treba upoštevati pri dokazovanju, da je dano število pra ali sestavljeno.
Navigacija po straneh.
Osnovna in sestavljena števila - definicije in primeri
Koncepti praštevil in sestavljenih števil se nanašajo na tista, ki so večja od ena. Taka cela števila se glede na število njihovih pozitivnih deliteljev delijo na prosta in sestavljena števila. Torej razumeti definicije pra in sestavljenih števil, morate imeti dobro predstavo o tem, kaj so delitelji in večkratniki.
Opredelitev.
praštevila so cela števila, večja od enega, ki imajo samo dva pozitivna delitelja, in sicer sebe in 1 .
Opredelitev.
Sestavljene številke so cela števila, večja od enega, ki imajo vsaj tri pozitivne delilnike.
Ločeno ugotavljamo, da številka 1 ne velja niti za prosta niti sestavljena števila. Enota ima samo en pozitivni delilec, to je sama številka 1. To loči številko 1 od vseh drugih pozitivnih celih števil, ki imajo vsaj dva pozitivna delitelja.
Glede na to, da so pozitivna cela števila in da ima enota samo en pozitivni delilec, lahko podamo druge formulacije glasovnih definicij pra in sestavljenih števil.
Opredelitev.
praštevila so naravna števila, ki imajo samo dva pozitivna delitelja.
Opredelitev.
Sestavljene številke so naravna števila, ki imajo več kot dva pozitivna delitelja.
Upoštevajte, da je vsako pozitivno celo število, večje od ena, praštevilo ali sestavljeno število. Z drugimi besedami, ni niti enega celega števila, ki ni niti prasko niti sestavljeno. To izhaja iz lastnosti deljivosti, ki pravi, da sta številki 1 in a vedno delitelja katerega koli celega števila a.
Na podlagi podatkov v prejšnjem odstavku lahko podamo naslednjo definicijo sestavljenih števil.
Opredelitev.
Naravna števila, ki niso praška, se imenujejo sestavni del.
Prinesemo primeri prostih in sestavljenih števil.
Kot primere sestavljenih števil navajamo 6 , 63 , 121 in 6697 . Tudi ta izjava potrebuje razlago. Število 6 ima poleg pozitivnih deliteljev 1 in 6 tudi delilnike 2 in 3, saj je 6 \u003d 2 3, zato je 6 res sestavljeno število. Pozitivni delilniki števila 63 so števila 1 , 3 , 7 , 9 , 21 in 63 . Število 121 je enako zmnožku 11 11 , zato so njegovi pozitivni delitelji 1 , 11 in 121 . In število 6697 je sestavljeno, saj sta njegova pozitivna delitelja poleg 1 in 6697 tudi številki 37 in 181.
V zaključku tega odstavka bi rad opozoril tudi na dejstvo, da praštevila in sopraprosta števila še zdaleč niso ista stvar.
Tabela praštevil
Praštevila so zaradi udobja njihove nadaljnje uporabe zabeležena v tabeli, ki se imenuje tabela praštevil. Spodaj je tabela praštevil do 1000.
Postavlja se logično vprašanje: "Zakaj smo tabelo praštevil izpolnili le do 1000, ali ni mogoče narediti tabele vseh obstoječih praštevil"?
Odgovorimo najprej na prvi del tega vprašanja. Za večino problemov, ki vključujejo praštevila, zadostujejo praštevili do tisoč. V drugih primerih se boste najverjetneje morali zateči k nekaterim posebnim tehnikam reševanja. Čeprav lahko seveda razporedimo praštevila do poljubno velikega končnega pozitivnega celega števila, naj bo to 10.000 ali 1.000.000.000 , bomo v naslednjem odstavku govorili o metodah za sestavljanje tabel praštevil, zlasti bomo analizirali metodo poklical.
Zdaj pa poglejmo možnost (oziroma nemožnost) sestavljanja tabele vseh obstoječih praštevil. Ne moremo narediti tabele vseh praštevil, ker jih je neskončno veliko. Zadnja trditev je izrek, ki ga bomo dokazali po naslednjem pomožnem izreku.
Izrek.
Najmanjši pozitivni delilec naravnega števila, večjega od 1, razen 1, je praštevilo.
Dokaz.
Naj bo a je naravno število, večje od ena, b pa najmanj pozitiven neen delitelj a. Dokažimo, da je b po protislovju praštevilo.
Recimo, da je b sestavljeno število. Potem je tu še delitelj števila b (označimo ga z b 1 ), ki se razlikuje tako od 1 kot od b . Če upoštevamo tudi, da absolutna vrednost delitelja ne presega absolutne vrednosti dividende (to poznamo iz lastnosti deljivosti), potem je pogoj 1
Ker je število a po pogoju deljivo z b in smo rekli, da je b deljivo z b 1 , potem nam koncept deljivosti omogoča, da govorimo o obstoju takih celih števil q in q 1, da sta a=bq in b=b 1 q 1 , od koder je a= b 1 ·(q 1 ·q) . Iz tega sledi, da je produkt dveh celih števil celo število, potem enakost a=b 1 ·(q 1 ·q) kaže, da je b 1 delilec števila a . Ob upoštevanju zgornjih neenakosti 1
Zdaj lahko dokažemo, da obstaja neskončno veliko praštevil.
Izrek.
Prašnih številk je neskončno veliko.
Dokaz.
Predpostavimo, da ni. To pomeni, da je samo n praštevilov in da so ti praštevili p 1 , p 2 , …, p n . Pokažimo, da lahko vedno najdemo praštevilo, drugačno od navedenih.
Razmislite o številu p, ki je enako p 1 ·p 2 ·…·p n +1. Jasno je, da se to število razlikuje od vsakega od praštevil p 1 , p 2 , …, p n . Če je število p praprosto, je izrek dokazan. Če je to število sestavljeno, potem na podlagi prejšnjega izreka obstaja prvi delitelj tega števila (označimo ga p n+1 ). Pokažimo, da ta delitelj ne sovpada z nobenim od številk p 1 , p 2 , …, p n .
Če ne bi bilo tako, bi bil po lastnostih deljivosti produkt p 1 ·p 2 ·…·p n deljiv s p n+1 . Toda število p je deljivo tudi s p n+1, enako vsoti p 1 ·p 2 ·…·p n +1. To pomeni, da mora biti drugi člen te vsote, ki je enak eni, deljiv s p n+1, kar je nemogoče.
Tako se dokaže, da je vedno mogoče najti novo praštevilo, ki ni vsebovano med nobenim številom vnaprej podanih praštevil. Zato je prostih številk neskončno veliko.
Torej, zaradi dejstva, da je prostih številk neskončno veliko, se pri sestavljanju tabel praštevil vedno omejijo od zgoraj na neko število, običajno 100, 1.000, 10.000 itd.
Eratostenovo sito
Zdaj bomo razpravljali o načinih sestavljanja tabel praštevil. Recimo, da moramo narediti tabelo praštevil do 100.
Najbolj očitna metoda za reševanje tega problema je zaporedno preverjanje pozitivnih celih števil, ki se začnejo z 2 in končajo s 100 , za prisotnost pozitivnega delitelja, ki je večji od 1 in manjši od števila, ki ga preverjamo (iz lastnosti deljivosti smo vedeti, da absolutna vrednost delitelja ne presega absolutne vrednosti dividende, ki je drugačna od nič). Če takega delitelja ne najdemo, je število, ki se preverja, praštevilo in se vnese v tabelo praštevil. Če se najde tak delilec, je število, ki se preverja, sestavljeno, NE vnese se v tabelo praštevil. Po tem sledi prehod na naslednjo številko, ki se podobno preveri glede prisotnosti delitelja.
Opišimo prvih nekaj korakov.
Začnemo s številko 2. Število 2 nima pozitivnih deliteljev razen 1 in 2. Zato je praštevil, zato ga vnesemo v tabelo praštevil. Tukaj je treba reči, da je 2 najmanjše praštevilo. Pojdimo na številko 3. Njegov možni pozitivni delilec, ki ni 1 in 3, je 2. Toda 3 ni deljivo z 2, zato je 3 praštevilo in ga je treba vnesti tudi v tabelo praštevil. Pojdimo na številko 4. Njena pozitivna delitelja, razen 1 in 4, sta lahko 2 in 3, preverimo ju. Število 4 je deljivo z 2, zato je 4 sestavljeno število in ga ni treba vnesti v tabelo praštevil. Upoštevajte, da je 4 najmanjše sestavljeno število. Pojdimo na številko 5. Preverimo, ali je vsaj eno od števil 2, 3, 4 njegov delilec. Ker 5 ni deljivo z 2, 3 ali 4, je praštevilo in ga je treba zapisati v tabelo praštevil. Nato sledi prehod na številke 6, 7 in tako naprej do 100.
Ta pristop k sestavljanju tabele praštevil še zdaleč ni idealen. Tako ali drugače ima pravico do obstoja. Upoštevajte, da lahko pri tej metodi sestavljanja tabele celih števil uporabite kriterije deljivosti, kar bo nekoliko pospešilo proces iskanja deliteljev.
Obstaja bolj priročen način za sestavljanje tabele praštevil, ki se imenuje . Beseda "sito", ki je prisotna v imenu, ni naključna, saj dejanja te metode tako rekoč pomagajo "presejati" skozi sito Eratosthenovih celih števil, velikih enot, da bi ločili preproste od sestavljenih.
Pokažimo Eratostenovo sito v akciji pri sestavljanju tabele praštevil do 50.
Najprej po vrsti zapišemo številke 2, 3, 4, ..., 50.
Prvo število, zapisano 2, je pra. Zdaj se od številke 2 zaporedno premaknemo v desno za dve številki in te številke prečrtamo, dokler ne pridemo do konca sestavljene tabele številk. Torej bodo vse številke, ki so večkratne dveh, prečrtane.
Prvo neprečrtano število za 2 je 3. To število je pra. Zdaj se od številke 3 zaporedno premaknemo v desno za tri številke (ob upoštevanju že prečrtanih številk) in jih prečrtamo. Torej bodo vse številke, ki so večkratne tri, prečrtane.
Prvo neprečrtano število za 3 je 5. To število je pra. Zdaj se od številke 5 zaporedno premaknemo v desno za 5 številk (upoštevamo tudi prej prečrtane številke) in jih prečrtamo. Torej bodo vse številke, ki so večkratne s pet, prečrtane.
Nato prečrtamo števila, ki so večkratnik 7, nato večkratnik 11 itd. Postopek se konča, ko ni več številk za prečrtanje. Spodaj je izpolnjena tabela s praštevili do 50, pridobljenimi z uporabo Eratostenovega sita. Vsa neprečrtana števila so praška in vsa prečrtana števila so sestavljena.
Formulirajmo in dokažimo izrek, ki bo pospešil postopek sestavljanja tabele praštevil s pomočjo Eratostenovega sita.
Izrek.
Najmanj pozitiven ne-en delilec sestavljenega števila a ne presega , kjer je iz a .
Dokaz.
Naj z b označujemo najmanjši delilec sestavljenega števila a, ki se razlikuje od enote (število b je pra, kar izhaja iz izreka, dokazanega na samem začetku prejšnjega odstavka). Potem obstaja celo število q, tako da je a=bq (tu je q pozitivno celo število, ki izhaja iz pravil množenja celih števil) in (ko je b>q, je kršen pogoj, da je b najmanjši delilec a, ker je q tudi delilec a zaradi enakosti a=q b ). Pomnožimo obe strani neenakosti s pozitivnim in večjim od enega celega števila b (to nam je dovoljeno), dobimo , od koder in .
Kaj nam daje dokazani izrek glede Eratostenovega sita?
Prvič, brisanje sestavljenih števil, ki so večkratniki praštevila b, bi se moralo začeti s številom, ki je enako (to izhaja iz neenakosti ). Na primer, prečrtanje številk, ki so večkratniki dveh, se mora začeti s številko 4, večkratniki treh - s številko 9, večkratniki petih - s številko 25 itd.
Drugič, sestavljanje tabele praštevil do števila n z uporabo Eratostenovega sita se lahko šteje za končano, če so prečrtana vsa sestavljena števila, ki so večkratniki praštevil, ki ne presegajo. V našem primeru je n=50 (ker tabuliramo praštevila do 50) in , zato mora Eratostenovo sito izločiti vse sestavljene večkratnike praštevil 2, 3, 5 in 7, ki ne presegajo aritmetičnega kvadratnega korena iz 50 . To pomeni, da nam ni več treba iskati in prečrtati števil, ki so večkratniki praštevil 11 , 13 , 17 , 19 , 23 in tako naprej do 47 , saj bodo že prečrtana kot večkratniki manjših praštevil 2 , 3, 5 in 7.
Je to število pra ali sestavljeno?
Nekatere naloge zahtevajo ugotovitev, ali je dano število pra ali sestavljeno. V splošnem primeru ta naloga še zdaleč ni preprosta, zlasti za številke, katerih zapis je sestavljen iz velikega števila znakov. V večini primerov morate iskati poseben način za rešitev. Vendar pa bomo poskušali usmeriti tok misli za preproste primere.
Nedvomno je mogoče poskusiti uporabiti kriterije deljivosti, da dokažemo, da je dano število sestavljeno. Če na primer neki kriterij deljivosti pokaže, da je dano število deljivo z nekim pozitivnim celim številom, večjim od ena, potem je prvotno število sestavljeno.
Primer.
Dokaži, da je število 898 989 898 989 898 989 sestavljeno.
Rešitev.
Vsota števk tega števila je 9 8+9 9=9 17 . Ker je število, ki je enako 9 17, deljivo z 9, lahko po kriteriju deljivosti z 9 trdimo, da je tudi prvotno število deljivo z 9. Zato je sestavljen.
Pomembna pomanjkljivost tega pristopa je, da nam merila za deljivost ne omogočajo dokazovanja preprostosti števila. Zato morate pri preverjanju števila, ali je pra ali sestavljeno, ravnati drugače.
Najbolj logičen pristop je naštevanje vseh možnih deliteljev danega števila. Če nobeden od možnih deliteljev ni pravi delilec danega števila, je to število pra, sicer pa sestavljeno. Iz izrekov, dokazanih v prejšnjem odstavku, sledi, da je treba delitelje danega števila a iskati med praštevili, ki ne presegajo . Tako lahko dano število a zaporedno delimo s praštevili (ki jih je priročno vzeti iz tabele praštevil), pri čemer poskušamo najti delilec števila a. Če najdemo delilec, je število a sestavljeno. Če med praštevili, ki ne presegajo , ni delitelja števila a, je število a praštevilo.
Primer.
Številka 11 723 enostavna ali sestavljena?
Rešitev.
Ugotovimo, na kakšno praštevilo so lahko delitelji števila 11 723. Za to ocenjujemo.
To je povsem očitno 
, od 200 2 \u003d 40 000 in 11 723<40 000
(при необходимости смотрите статью primerjava številk). Tako so možni prvi delitelji 11.723 manjši od 200. To že zelo poenostavi našo nalogo. Če tega ne bi vedeli, bi morali razvrstiti vsa praštevila ne do 200, ampak do števila 11 723 .
Po želji lahko natančneje ocenite. Ker 108 2 = 11 664 in 109 2 = 11 881, potem 108 2<11 723<109 2
, следовательно, 
. Tako je kateri koli praštevil, manjši od 109, potencialno praštevilnik danega števila 11.723.
Zdaj bomo zaporedoma razdelili število 11 723 na praštevila 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 5 , 6 , 6 71 , 73 , 79 , 83 , 89 , 97 , 101 , 103 , 107 . Če je število 11 723 v celoti deljeno z enim od zapisanih praštevil, potem bo sestavljeno. Če ni deljivo z nobenim od zapisanih praštevil, je prvotno število praštevilo.
Ne bomo opisovali celotnega monotonega in monotonega procesa delitve. Recimo, da 11 723
Vsa naravna števila, razen enega, so razdeljena na prosta in sestavljena. Praštevilo je naravno število, ki ima samo dva delitelja: eno in samo sebe.. Vsi drugi se imenujejo sestavljeni. Proučevanje lastnosti praštevil se ukvarja s posebnim delom matematike - teorijo števil. V teoriji obročev so praštevila povezana z nereducibilnimi elementi.
Tukaj je zaporedje praštevil, ki se začnejo od 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73 , 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, ... itd.
Po temeljnem aritmetičnem izreku lahko vsako naravno število, ki je večje od ena, predstavimo kot produkt praštevil. Vendar je to edini način za predstavitev naravnih števil do vrstnega reda faktorjev. Na podlagi tega lahko rečemo, da so praštevila osnovni deli naravnih števil.
Takšen prikaz naravnega števila imenujemo razgradnja naravnega števila na praštevila ali faktorizacija števila.
Eden najstarejših in najučinkovitejših načinov za izračun praštevil je "Erastotenovo sito".
Praksa je pokazala, da je treba po izračunu praštevil s sitom Erastofen preveriti, ali je dano število praštevilo. Za to so bili razviti posebni testi, tako imenovani testi preprostosti. Algoritem teh testov je verjetnostni. Najpogosteje se uporabljajo v kriptografiji.
Mimogrede, za nekatere razrede številk obstajajo specializirani učinkoviti testi primarnosti. Na primer, za preverjanje preprostosti Mersennovih števil se uporablja Lucas-Lehmerjev test, za preverjanje preprostosti Fermatovih števil pa Pepinov test.
Vsi vemo, da je številk neskončno veliko. Upravičeno se postavlja vprašanje: koliko je potem praštevil? Obstaja tudi neskončno število praštevil. Najstarejši dokaz te sodbe je Evklidov dokaz, ki je predstavljen v Elementih. Evklidov dokaz je naslednji:
Predstavljajte si, da je število praštevil končno. Pomnožimo jih in seštejmo eno. Dobljenega števila ni mogoče deliti z nobenim končnim naborom praštevil, ker preostanek deljenja s katerim koli od njih daje eno. Tako mora biti število deljivo z nekim praštevilom, ki ni vključen v ta niz.
Izrek porazdelitve praštevil pravi, da število praštevil, manjših od n, označenih s π(n), raste kot n / ln(n).
Skozi tisočletja preučevanja praštevil je bilo ugotovljeno, da je največje znano praštevilo 243112609 − 1. To število ima 12.978.189 decimalnih števk in je Mersennovo praštevilo (M43112609). To odkritje je bilo narejeno 23. avgusta 2008 na Oddelku za matematiko univerze uCLA kot del porazdeljenega iskanja Mersennovih praštevil GIMPS.
Glavna značilnost Mersennovih številk je prisotnost visoko učinkovitega Luc-Lehmerjevega testa primarnosti. Z njim so Mersennova praštevila v daljšem časovnem obdobju največja znana praštevila.
Vendar pa do danes mnoga vprašanja o praštevilih niso dobila točnih odgovorov. Edmund Landau je na 5. mednarodnem matematičnem kongresu oblikoval glavne probleme na področju praštevil:
Goldbachov problem ali Landaujev prvi problem je dokazati ali ovreči, da je vsako sodo število, večje od dveh, mogoče predstaviti kot vsoto dveh praštevil, vsako liho število, večje od 5, pa kot vsoto treh praštevil.
Landaujeva druga težava zahteva iskanje odgovora na vprašanje: ali obstaja neskončen niz "preprostih dvojčkov" - praštevil, med katerimi je razlika enaka 2?
Legendrejeva domneva ali Landaujev tretji problem je: ali je res, da je med n2 in (n + 1)2 vedno praštevilo?
Landaujev četrti problem: Ali je množica praštevil oblike n2 + 1 neskončna?
Poleg zgornjih težav obstaja še problem določanja neskončnega števila praštevil v številnih celih zaporedjih, kot so Fibonaccijevo število, Fermatovo število itd.
- Prevod
Lastnosti praštevil so prvi preučevali matematiki antične Grčije. Matematike pitagorejske šole (500 - 300 pr.n.št.) so zanimale predvsem mistične in numerološke lastnosti praštevil. Bili so prvi, ki so dobili ideje o popolnih in prijaznih številkah.
Popolno število ima svoje lastne delilnike, enake samemu sebi. Na primer, ustrezni delilniki števila 6 so: 1, 2 in 3. 1 + 2 + 3 = 6. Delitelji števila 28 so 1, 2, 4, 7 in 14. Poleg tega je 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.
Števila imenujemo prijazna, če je vsota pravilnih deliteljev enega števila enaka drugemu, in obratno – na primer 220 in 284. Lahko rečemo, da je popolno število prijazno samemu sebi.
Do pojava dela Evklidovega "Začetka" leta 300 pr. Več pomembnih dejstev o praštevilih je bilo že dokazanih. V IX knjigi Elementov je Evklid dokazal, da obstaja neskončno število praštevil. Mimogrede, to je eden prvih primerov uporabe dokaza z protislovjem. Dokazuje tudi osnovni aritmetični izrek – vsako celo število je mogoče na edinstven način predstaviti kot produkt praštevil.
Pokazal je tudi, da če je število 2 n -1 pra, potem bo število 2 n-1 * (2 n -1) popolno. Drugi matematik, Euler, je leta 1747 uspel pokazati, da je mogoče vsa soda popolna števila zapisati v tej obliki. Do danes ni znano, ali obstajajo neparna popolna števila.
Leta 200 pr.n.št. Grški Eratosten je pripravil algoritem za iskanje praštevil, imenovan Eratostenovo sito.
In potem je prišlo do velikega preloma v zgodovini študija praštevil, povezanih s srednjim vekom.
Naslednja odkritja je že v začetku 17. stoletja izvedel matematik Fermat. Dokazal je domnevo Alberta Girarda, da je mogoče katero koli praštevilo oblike 4n+1 enolično zapisati kot vsoto dveh kvadratov, in oblikoval tudi izrek, da je vsako število mogoče predstaviti kot vsoto štirih kvadratov.
Razvil je novo metodo faktorizacije za velika števila in jo pokazal na številu 2027651281 = 44021 × 46061. Dokazal je tudi Fermatov mali izrek: če je p praštevilo, bo za katero koli celo število a res ap = a modulo p .
Ta izjava dokazuje polovico tistega, kar je bilo znano kot "kitajska hipoteza" in sega 2000 let prej: celo število n je pra, če in samo če je 2n-2 deljivo z n. Drugi del hipoteze se je izkazal za napačnega - na primer, 2341 - 2 je deljivo s 341, čeprav je število 341 sestavljeno: 341 = 31 × 11.
Fermatov mali izrek je bil osnova za številne druge rezultate v teoriji števil in metode za preverjanje, ali so števila praška, od katerih so mnoge še danes v uporabi.
Fermat si je veliko dopisoval s svojimi sodobniki, zlasti z menihom po imenu Marin Mersenne. V enem od svojih pisem je domneval, da bodo števila v obliki 2 n + 1 vedno praška, če je n potenca dvojke. To je preizkusil za n = 1, 2, 4, 8 in 16 in bil prepričan, da če n ni potenca dvojke, število ni nujno prvo. Ta števila se imenujejo Fermatova števila in šele 100 let pozneje je Euler pokazal, da je naslednje število, 232 + 1 = 4294967297, deljivo s 641 in zato ni pra.
Številke v obliki 2 n - 1 so bile tudi predmet raziskav, saj je enostavno pokazati, da če je n sestavljeno, je tudi samo število sestavljeno. Te številke se imenujejo Mersennove številke, ker jih je aktivno preučeval.
Vendar niso vsa števila v obliki 2 n - 1, kjer je n pra, pra. Na primer, 2 11 - 1 = 2047 = 23 * 89. To je bilo prvič odkrito leta 1536.
Dolga leta so tovrstna števila matematikom dajala največja znana praštevila. Da je število M 19 dokazal Cataldi leta 1588 in je bilo 200 let največje znano praštevilo, dokler ni Euler dokazal, da je tudi M 31 praštevilo. Ta rekord je držal še sto let, nato pa je Lucas pokazal, da je M 127 prost (in to je že število 39 števk), nato pa so se raziskave nadaljevale s prihodom računalnikov.
Leta 1952 je bila dokazana preprostost števil M 521 , M 607 , M 1279 , M 2203 in M 2281.
Do leta 2005 je bilo najdenih 42 Mersennovih praštevil. Največji med njimi, M 25964951 , je sestavljen iz 7816230 števk.
Eulerjevo delo je imelo velik vpliv na teorijo števil, vključno s praštevili. Razširil je Fermatov mali izrek in uvedel φ-funkcijo. Faktoriziral 5. Fermatovo število 2 32 +1, našel 60 parov prijaznih števil in oblikoval (vendar ni uspel dokazati) kvadratnega zakona vzajemnosti.
Prvi je uvedel metode matematične analize in razvil analitično teorijo števil. Dokazal je, da ne samo harmonska vrsta ∑ (1/n), ampak tudi vrsta oblike
1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…
Dobljeno z vsoto količin, inverznih praštevilom, se tudi razhaja. Vsota n členov harmonične vrste raste približno tako kot log(n), medtem ko se drugi niz razhaja počasneje, kot log[ log(n) ]. To pomeni, da bo na primer vsota recipročnih vrednosti vseh doslej najdenih praštevil dala le 4, čeprav se serija še vedno razlikuje.
Na prvi pogled se zdi, da so praštevila razporejena med cela števila precej naključno. Na primer, med 100 števili tik pred 10000000 je 9 praštevilov, med 100 števili takoj za to vrednostjo pa le 2. Toda na velikih segmentih so praštevila razporejena dokaj enakomerno. Z njihovo distribucijo sta se ukvarjala Legendre in Gauss. Gauss je nekoč rekel prijatelju, da v vseh prostih 15 minutah vedno prešteje število praštevil v naslednjih 1000 številih. Do konca svojega življenja je preštel vsa praštevila do 3 milijone. Legendre in Gauss sta enako izračunala, da je za veliko n gostota praštevil 1/log(n). Legendre je ocenil število praštevil med 1 in n kot
π(n) = n/(log(n) - 1,08366)
In Gauss - kot logaritemski integral
π(n) = / 1/log(t) dt
Z integracijskim intervalom od 2 do n.
Izjava o gostoti praštevil 1/log(n) je znana kot izrek o praštevilih. To so poskušali dokazati skozi vse 19. stoletje in Chebyshev in Riemann sta napredovala. Povezali so jo z Riemannovo hipotezo, doslej nedokazano domnevo o porazdelitvi ničel Riemannove zeta funkcije. Gostoto praštevil sta hkrati dokazala Hadamard in de la Vallée-Poussin leta 1896.
V teoriji praštevil je še vedno veliko nerešenih vprašanj, od katerih so nekatera stara več sto let:
- Hipoteza o praštevilu dvojčkov - o neskončnem številu parov praštevil, ki se med seboj razlikujejo za 2
- Goldbachova domneva: vsako sodo število, ki se začne s 4, je mogoče predstaviti kot vsoto dveh praštevil
- Ali obstaja neskončno število praštevil v obliki n 2 + 1?
- ali je vedno mogoče najti praštevilo med n 2 in (n + 1) 2 ? (dejstvo, da je med n in 2n vedno praštevilo, je dokazal Čebišev)
- Ali obstaja neskončno število Fermatovih praštevil? ali obstajajo Fermatova praštevila po 4.?
- ali obstaja aritmetična progresija zaporednih praštevil za katero koli dano dolžino? na primer za dolžino 4: 251, 257, 263, 269. Največja najdena dolžina je 26 .
- Ali obstaja neskončno število nizov treh zaporednih praštevil v aritmetični progresiji?
- n 2 - n + 41 je praštevilo za 0 ≤ n ≤ 40. Ali obstaja neskončno število takih praštevil? Enako vprašanje za formulo n 2 - 79 n + 1601. Ta števila so praška za 0 ≤ n ≤ 79.
- Ali obstaja neskončno število praštevil v obliki n# + 1? (n# je rezultat množenja vseh praštevil, manjših od n)
- Ali obstaja neskončno število praštevil v obliki n# -1?
- Ali obstaja neskončno število praštevil v obliki n! +1?
- Ali obstaja neskončno število praštevil v obliki n! - eno?
- če je p praštevila, ali 2 p -1 vedno ne vključuje med faktorje praštevil na kvadrat
- Ali Fibonaccijevo zaporedje vsebuje neskončno število praštevil?
Največja praštevila dvojčka so 2003663613 × 2 195000 ± 1. Sestavljena so iz 58711 števk in so bila najdena leta 2007.
Največje faktorsko praštevilo (v obliki n! ± 1) je 147855! - 1. Sestavljen je iz 142891 števk in je bil ugotovljen leta 2002.
Največje praštevilo (število v obliki n# ± 1) je 1098133# + 1.
Oznake: Dodaj oznake
Števila so različna: naravna, naravna, racionalna, cela in ulomna, pozitivna in negativna, kompleksna in praštevilna, liha in soda, realna itd. Iz tega članka lahko izveste, kaj so praštevila.
Katere številke se imenujejo angleška beseda "simple"?
Zelo pogosto šolarji ne vedo, kako odgovoriti na eno izmed na videz preprostih vprašanj v matematiki, kaj je praštevilo. Praštevila pogosto zamenjujejo z naravnimi števili (to je s številkami, ki jih ljudje uporabljajo pri štetju predmetov, medtem ko v nekaterih virih začnejo od nič, v drugih pa od enega). Ampak to sta dva popolnoma različna pojma. Praštevila so naravna števila, torej cela in pozitivna števila, ki so večja od ena in imajo samo 2 naravna delitelja. V tem primeru je eden od teh deliteljev dano število, drugi pa enota. Na primer, tri je praštevilo, ker ni enakomerno deljivo z nobenim drugim številom, razen s samim seboj in z eno.
Sestavljene številke
Nasprotje praštevilom so sestavljena števila. Prav tako so naravni, tudi večji od enega, vendar nimajo dva, ampak več deliteljev. Tako so na primer števila 4, 6, 8, 9 itd. naravna, sestavljena, ne pa praštevila. Kot vidite, so to večinoma sode številke, ne pa vse. Toda "dva" je sodo število in "prva številka" v nizu praštevil.
Zaporedje
Če želite zgraditi serijo praštevil, je treba narediti izbor iz vseh naravnih števil ob upoštevanju njihove definicije, to pomeni, da morate delovati protislovno. Vsako od naravnih pozitivnih števil je treba upoštevati glede tega, ali ima več kot dva delitelja. Poskusimo zgraditi vrsto (zaporedje), ki je sestavljena iz praštevil. Seznam se začne z dvema, nato pridejo trije, saj je deljiv samo sam s seboj in ena. Razmislite o številki štiri. Ali ima delitelje razen štirih in ena? Da, to število je 2. Torej štiri ni praštevilo. Pet je tudi pra (poleg 1 in 5 ni deljivo z nobenim drugim številom), šest pa je deljivo. In na splošno, če sledite vsem sodim številkam, boste opazili, da razen "dve" nobeno od njih ni pra. Iz tega sklepamo, da soda števila, razen dveh, niso praška. Še eno odkritje: vsa števila, ki so deljiva s tri, razen trojke same, bodisi sode ali lihe, prav tako niso proste (6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27 itd.). Enako velja za števila, ki so deljiva s pet in sedem. Ves njihov nabor tudi ni preprost. Naj povzamemo. Torej vsa liha števila, razen ena in devet, spadajo med enostavna enomestna števila, iz sodih pa le "dve". Same desetice (10, 20,... 40 itd.) niso preproste. Dvomestna, trimestna itd. praštevila je mogoče definirati na podlagi zgornjih načel: če nimajo drugih deliteljev kot sama in ena.
Teorije o lastnostih praštevil
Obstaja znanost, ki preučuje lastnosti celih števil, vključno s prvimi. To je veja matematike, ki se imenuje višja. Poleg lastnosti celih števil se ukvarja tudi z algebrskimi, transcendentnimi števili ter funkcijami različnega izvora, ki so povezane z aritmetiko teh števil. Pri teh študijah se poleg osnovnih in algebraičnih metod uporabljajo tudi analitične in geometrijske. Natančneje, študij praštevil se ukvarja s "teorijo števil".
Praštevila so "gradniki" naravnih števil
V aritmetiki obstaja izrek, ki se imenuje glavni izrek. Po njem je vsako naravno število, razen enote, mogoče predstaviti kot produkt, katerega faktorji so praštevila, vrstni red faktorjev pa je edinstven, kar pomeni, da je metoda predstavitve edinstvena. Imenuje se razgradnja naravnega števila na prafaktorje. Obstaja še eno ime za ta proces - faktorizacija števil. Izhajajoč iz tega lahko praštevila imenujemo "gradbeni material", "bloki" za konstruiranje naravnih števil.
Iskanje praštevil. Preizkusi preprostosti
Mnogi znanstveniki različnih časov so poskušali najti nekatera načela (sisteme) za iskanje seznama praštevil. Znanost pozna sisteme, imenovane Atkinovo sito, Sundartamovo sito, Eratostenovo sito. Vendar pa ne dajejo pomembnih rezultatov, za iskanje praštevil pa se uporablja preprost test. Algoritme so ustvarili tudi matematiki. Imenujejo se testi primarnosti. Na primer, obstaja test, ki sta ga razvila Rabin in Miller. Uporabljajo ga kriptografi. Obstaja tudi test Kayala-Agrawala-Saskena. Kljub zadostni natančnosti pa ga je zelo težko izračunati, kar zmanjšuje njegovo praktično vrednost.
Ali ima nabor praštevil mejo?
Dejstvo, da je nabor praštevil neskončen, je v knjigi "Začetki" zapisal starogrški znanstvenik Evklid. Rekel je takole: »Predstavljajmo si za trenutek, da imajo praštevila mejo. Nato jih pomnožimo med seboj in produktu dodamo eno. Število, ki ga dobimo kot rezultat teh preprostih operacij, ni mogoče deljivo z nobenim od nizov praštevil, ker bo ostanek vedno ena. In to pomeni, da obstaja še kakšno drugo število, ki še ni vključeno v seznam praštevil. Zato naša predpostavka ni resnična in ta niz ne more imeti meje. Poleg Evklidovega dokaza obstaja sodobnejša formula, ki jo je podal švicarski matematik Leonhard Euler iz osemnajstega stoletja. Po njegovem mnenju vsota, povratna vrednost vsote prvih n številk, z rastjo števila n raste v nedogled. In tukaj je formula izreka glede porazdelitve praštevil: (n) raste kot n / ln (n).
Kaj je največje praštevilo?
Vseeno je Leonard Euler uspel najti največje praštevilo za svoj čas. To je 2 31 - 1 = 2147483647. Vendar je bilo do leta 2013 izračunano še eno najbolj natančno največje na seznamu praštevil - 2 57885161 - 1. Imenuje se Mersennovo število. Vsebuje približno 17 milijonov decimalnih števk. Kot lahko vidite, je število, ki ga je našel znanstvenik iz osemnajstega stoletja, nekajkrat manjše od tega. Tako bi moralo biti, saj je Euler ta izračun opravil ročno, a je našemu sodobniku verjetno pomagal računalnik. Poleg tega je bila ta številka pridobljena na Oddelku za matematiko enega od ameriških oddelkov. Številke, poimenovane po tem znanstveniku, opravijo Luc-Lehmerjev test primarnosti. Vendar se znanost pri tem ne želi ustaviti. Fundacija Electronic Frontier Foundation, ki je bila ustanovljena leta 1990 v Združenih državah Amerike (EFF), je ponudila denarno nagrado za iskanje velikih praštevil. In če so do leta 2013 nagrado prejemali tisti znanstveniki, ki jih bodo našli med 1 in 10 milijoni decimalnih številk, je danes ta številka dosegla od 100 milijonov na 1 milijardo. Nagrade se gibljejo od 150 do 250 tisoč ameriških dolarjev.
Imena posebnih praštevil
Številke, ki so bile najdene zahvaljujoč algoritmom, ki so jih ustvarili določeni znanstveniki in so opravili test preprostosti, se imenujejo posebne. Tukaj je nekaj izmed njih:
1. Mersin.
4. Cullen.
6. Mills et al.
Preprostost teh številk, poimenovanih po zgornjih znanstvenikih, se ugotavlja z naslednjimi testi:
1. Lucas-Lemer.
2. Pepina.
3. Riesel.
4. Billhart - Lehmer - Selfridge in drugi.
Sodobna znanost se tu ne ustavi in verjetno bo svet v bližnji prihodnosti izvedel imena tistih, ki so z iskanjem največjega praštevila lahko osvojili nagrado 250.000 dolarjev.