Trigonometrična oblika kompleksa. Predavanje na temo: "Trigonometrična oblika kompleksnega števila"

V tem razdelku se bomo bolj osredotočili na trigonometrično obliko kompleksnega števila. Eksponentna oblika v praktičnih nalogah je veliko manj pogosta. Prenesite in natisnite, če je mogoče. trigonometrične tabele, metodološko gradivo najdete na strani Matematične formule in tabele. Brez miz ne gre daleč.

Vsako kompleksno število (razen nič) lahko zapišemo v trigonometrični obliki:

Kje je modul kompleksnega števila, ampak - argument kompleksnega števila.

Na kompleksno ravnino nariši številko. Zaradi določnosti in enostavnosti razlag ga bomo umestili v prvo koordinatno četrtino, t.j. verjamemo, da:

Modul kompleksnega števila je razdalja od izhodišča koordinat do ustrezne točke kompleksne ravnine. Enostavno povedano, modul je dolžina radij vektor, ki je na risbi označen z rdečo.

Modul kompleksnega števila običajno označujemo z: oz

Z uporabo Pitagorejskega izreka je enostavno izpeljati formulo za iskanje modula kompleksnega števila: . Ta formula je veljavna za katero koli pomeni "a" in "biti".

Opomba : modul kompleksnega števila je posplošitev pojma modul realnega števila, kot razdalja od točke do izhodišča.

Argument kompleksnega števila poklical injekcija med pozitivna os realna os in vektor polmera, narisan od izhodišča do ustrezne točke. Argument ni definiran za ednino:.

Obravnavani princip je pravzaprav podoben polarnim koordinatam, kjer polarni polmer in polarni kot enolično določata točko.

Argument kompleksnega števila je običajno označen z: oz

Iz geometrijskih premislekov dobimo naslednjo formulo za iskanje argumenta:

. Pozor! Ta formula deluje samo v desni polravnini! Če se kompleksno število ne nahaja v 1. ali 4. koordinatnem kvadrantu, bo formula nekoliko drugačna. Upoštevali bomo tudi te primere.

Toda najprej razmislite o najpreprostejših primerih, ko se kompleksna števila nahajajo na koordinatnih oseh.

Primer 7

Izrazite kompleksna števila v trigonometrični obliki: ,,,. Izvajajmo risbo:

Pravzaprav je naloga ustna. Zaradi jasnosti bom prepisal trigonometrično obliko kompleksnega števila:

Tesno se spomnimo, modul - dolžina(kar je vedno nenegativna), argument je injekcija

1) Predstavimo število v trigonometrični obliki. Poiščite njegov modul in argument. Očitno je, da. Formalni izračun po formuli:. Očitno je, da (številka leži neposredno na realni pozitivni polosi). Torej je število v trigonometrični obliki:

Jasno kot dan, obratno preverjanje:

2) Predstavimo število v trigonometrični obliki. Poiščite njegov modul in argument. To je očitno. Formalni izračun po formuli:. Očitno (ali 90 stopinj). Na risbi je vogal označen z rdečo. Torej je število v trigonometrični obliki: .

Uporaba , je enostavno vrniti algebraično obliko števila (hkrati s preverjanjem):

3) Predstavimo število v trigonometrični obliki. Poiščite njegov modul in

prepir. Očitno je, da . Formalni izračun po formuli:

Očitno (ali 180 stopinj). Na risbi je kot označen z modro. Torej je število v trigonometrični obliki:

izpit:

4) In četrti zanimiv primer. To je očitno. Formalni izračun po formuli:.

Argument je mogoče zapisati na dva načina: Prvi način: (270 stopinj) in v skladu s tem: . izpit:

Vendar pa je naslednje pravilo bolj standardno: Če je kot večji od 180 stopinj, potem je zapisano z znakom minus in nasprotno orientacijo (»scrolling«) kota: (minus 90 stopinj), na risbi je kot označen z zeleno. To je enostavno videti

ki je enak kot.

Tako vnos postane:

Pozor! V nobenem primeru ne smete uporabiti enakomernosti kosinusa, neparnosti sinusa in izvesti nadaljnjo "poenostavitev" zapisa:

Mimogrede, koristno si je zapomniti videz in lastnosti trigonometričnih in inverznih trigonometričnih funkcij, referenčni materiali so v zadnjih odstavkih strani Grafi in lastnosti osnovnih elementarnih funkcij. In kompleksne številke se je veliko lažje naučiti!

Pri oblikovanju najpreprostejših primerov je treba to zapisati : "Očitno je modul ... očitno je argument ...". To je res očitno in enostavno rešljivo ustno.

Pojdimo na bolj pogoste primere. Z modulom ni težav, vedno uporabite formulo . Toda formule za iskanje argumenta bodo drugačne, odvisno je od tega, v kateri koordinatni četrtini leži število. V tem primeru so možne tri možnosti (koristno jih je prepisati):

1) Če (1. in 4. koordinatna četrtina ali desna polravnina), je treba argument najti po formuli.

2) Če (2. koordinatna četrtina), potem je treba argument najti s formulo .

3) Če (3. koordinatna četrtina), potem je treba argument najti po formuli .

Primer 8

Izrazite kompleksna števila v trigonometrični obliki: ,,,.

Takoj, ko obstajajo že pripravljene formule, potem risanje ni potrebno. Vendar obstaja ena točka: ko vas prosijo, da predstavite številko v trigonometrični obliki, potem risanje je vseeno bolje narediti. Dejstvo je, da učitelji pogosto zavračajo rešitev brez risbe, odsotnost risbe je resen razlog za minus in neuspeh.

Predstavljamo številke in v kompleksni obliki bosta prva in tretja številka za samostojno odločitev.

Predstavljajmo število v trigonometrični obliki. Poiščite njegov modul in argument.

Ker (primer 2), torej

- tukaj morate uporabiti liho tangenta loka. Žal v tabeli ni vrednosti, zato je treba v takih primerih argument pustiti v okorni obliki: - števila v trigonometrični obliki.

Predstavljajmo število v trigonometrični obliki. Poiščite njegov modul in argument.

Ker (primer 1), potem (minus 60 stopinj).

V to smer:

je število v trigonometrični obliki.

In tukaj, kot že omenjeno, slabosti ne dotikaj se.

Poleg smešne grafične metode preverjanja je na voljo tudi analitično preverjanje, ki smo ga izvedli že v primeru 7. Uporabimo tabela vrednosti trigonometričnih funkcij, pri čemer upoštevamo, da je kot točno tabelarni kot (ali 300 stopinj): - številke v izvirni algebraični obliki.

Številke in predstavljajte v trigonometrični obliki sami. Kratka rešitev in odgovor na koncu lekcije.

Na koncu razdelka na kratko o eksponentni obliki kompleksnega števila.

Vsako kompleksno število (razen nič) lahko zapišemo v eksponentni obliki:

Kje je modul kompleksnega števila in je argument kompleksnega števila.

Kaj je treba storiti, da se kompleksno število predstavi v eksponentni obliki? Skoraj enako: izvedite risbo, poiščite modul in argument. In zapišite številko kot .

Na primer, za številko prejšnjega primera smo našli modul in argument:,. Potem bo to število v eksponentni obliki zapisano na naslednji način:

Število v eksponentni obliki bi izgledalo takole:

Številka - Torej:

Edini nasvet je ne dotikajte se indikatorja eksponentov, ni treba preurejati faktorjev, odpirati oklepaje itd. Zapiše se kompleksno število v eksponentni obliki strogo v obliki.

3.1. Polarne koordinate

Pogosto se uporablja na letalu polarni koordinatni sistem . Definirano je, če je točka O dana, imenovana palica, in žarek, ki izhaja iz droga (za nas je to os Ox) je polarna os. Položaj točke M je določen z dvema številkama: polmer (ali radij vektor) in kot φ med polarno osjo in vektorjem . Kot φ se imenuje polarni kot; Meri se v radianih in se šteje v nasprotni smeri urinega kazalca od polarne osi.

Položaj točke v polarnem koordinatnem sistemu je podan z urejenim parom številk (r; φ). Na polu r = 0 in φ ni definiran. Za vse ostale točke r > 0 in φ je definiran do večkratnika 2π. V tem primeru se parom številk (r; φ) in (r 1 ; φ 1) dodeli ista točka, če .

Za pravokotni koordinatni sistem xOy kartezijanske koordinate točke se zlahka izrazijo v smislu njenih polarnih koordinat, kot sledi:

3.2. Geometrijska interpretacija kompleksnega števila

Na ravnini razmislimo o kartezičnem pravokotnem koordinatnem sistemu xOy.

Vsakemu kompleksnemu številu z=(a, b) je dodeljena točka ravnine s koordinatami ( x, y), kje koordinata x = a, tj. realni del kompleksnega števila, koordinata y = bi pa je imaginarni del.

Ravnina, katere točke so kompleksna števila, je kompleksna ravnina.

Na sliki je kompleksno število z = (a, b) točka srečanja M(x, y).

Naloga.Narišite kompleksna števila na koordinatni ravnini:

3.3. Trigonometrična oblika kompleksnega števila

Kompleksno število v ravnini ima koordinate točke M(x; y). pri čemer:

Pisanje kompleksnega števila - trigonometrična oblika kompleksnega števila.

Število r se imenuje modul kompleksno število z in je označen. Modul je nenegativno realno število. Za .

Modul je nič, če in samo če z = 0, tj. a=b=0.

Število φ se imenuje argument z in označena. Argument z je definiran dvoumno, tako kot polarni kot v polarnem koordinatnem sistemu, in sicer do večkratnika 2π.

Potem sprejmemo: , kjer je φ najmanjša vrednost argumenta. Očitno je, da

Ob globlji študiji teme se uvede pomožni argument φ*, tako da

Primer 1. Poiščite trigonometrično obliko kompleksnega števila.

Rešitev. 1) upoštevamo modul: ;

2) iščem φ: ;

3) trigonometrična oblika:

Primer 2 Poiščite algebraično obliko kompleksnega števila .

Tukaj je dovolj, da zamenjate vrednosti trigonometričnih funkcij in pretvorite izraz:

Primer 3 Poiščite modul in argument kompleksnega števila;

1) ;

2) ; φ - v 4 četrtinah:

3.4. Operacije s kompleksnimi števili v trigonometrični obliki

· Seštevanje in odštevanje bolj priročno je izvajati s kompleksnimi števili v algebraični obliki:

· Množenje– s pomočjo preprostih trigonometričnih transformacij je mogoče pokazati, da pri množenju se moduli števil pomnožijo in dodajo argumenti: ;

KOMPLEKSNA ŠTEVILA XI

§ 256. Trigonometrična oblika kompleksnih števil

Pustite kompleksno število a + bi ustreza vektorju OA> s koordinatami ( a, b ) (glej sliko 332).

Dolžino tega vektorja označimo z r , in kot, ki ga naredi z osjo X , čez φ . Po definiciji sinusa in kosinusa:

a / r = cos φ , b / r = greh φ .

Zato ampak = r cos φ , b = r greh φ . Toda v tem primeru kompleksno število a + bi lahko zapišemo kot:

a + bi = r cos φ + ir greh φ = r (cos φ + jaz greh φ ).

Kot veste, je kvadrat dolžine katerega koli vektorja enak vsoti kvadratov njegovih koordinat. Zato r 2 = a 2 + b 2, od koder r = √a 2 + b 2

torej poljubno kompleksno število a + bi se lahko predstavi kot :

a + bi = r (cos φ + jaz greh φ ), (1)

kjer je r = √a 2 + b 2 in kot φ določeno iz pogoja:

Ta oblika pisanja kompleksnih števil se imenuje trigonometrično.

Številka r v formuli (1) se imenuje modul, in kot φ - prepir, kompleksno število a + bi .

Če je kompleksno število a + bi ni enak nič, potem je njegov modul pozitiven; če a + bi = 0, torej a = b = 0 in nato r = 0.

Modul katerega koli kompleksnega števila je enolično določen.

Če je kompleksno število a + bi ni enak nič, potem je njegov argument določen s formulami (2) vsekakor do kota, večkratnega od 2 π . Če a + bi = 0, torej a = b = 0. V tem primeru r = 0. Iz formule (1) je to enostavno razumeti kot argument φ v tem primeru lahko izberete kateri koli kot: navsezadnje za kateri koli φ

0 (koz φ + jaz greh φ ) = 0.

Zato ničelni argument ni definiran.

Kompleksni številski modul r včasih označuje | z |, in argument arg z . Poglejmo si nekaj primerov predstavitve kompleksnih števil v trigonometrični obliki.

Primer. eno. 1 + jaz .

Poiščimo modul r in argument φ to številko.

r = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .

Zato greh φ = 1 / √ 2 , cos φ = 1 / √ 2 , od koder φ = π / 4 + 2nπ .

V to smer,

1 + jaz = √ 2 ,

kje P - poljubno celo število. Običajno se iz neskončnega niza vrednosti argumenta kompleksnega števila izbere ena, ki je med 0 in 2 π . V tem primeru je ta vrednost π / 4 . Zato

1 + jaz = √ 2 (koz π / 4 + jaz greh π / 4)

Primer 2 V trigonometrični obliki zapiši kompleksno število √ 3 - jaz . Imamo:

r = √ 3+1 = 2 cos φ = √ 3 / 2 , sin φ = - 1 / 2

Torej do kota, deljivega z 2 π , φ = 11 / 6 π ; posledično

√ 3 - jaz = 2 (cos 11 / 6 π + jaz greh 11/6 π ).

Primer 3 V trigonometrični obliki zapiši kompleksno število jaz .

kompleksno število jaz ustreza vektorju OA> konča v točki A osi pri z ordinato 1 (slika 333). Dolžina takega vektorja je enaka 1, kot, ki ga tvori z abscisno osjo, pa je enak π / 2. Zato

jaz = cos π / 2 + jaz greh π / 2 .

Primer 4 Zapiši kompleksno število 3 v trigonometrični obliki.

Kompleksno število 3 ustreza vektorju OA > X abscisa 3 (slika 334).

Dolžina takega vektorja je 3 in kot, ki ga naredi z osjo x, je 0. Zato

3 = 3 (cos 0 + jaz greh 0),

Primer 5 V trigonometrični obliki zapiši kompleksno število -5.

Kompleksno število -5 ustreza vektorju OA> konča na točki osi X z absciso -5 (slika 335). Dolžina takega vektorja je 5, kot, ki ga naredi z osjo x, pa je π . Zato

5 = 5 (cos π + jaz greh π ).

vaje

2047. Zapiši ta kompleksna števila v trigonometrični obliki in definiraj njihove module in argumente:

1) 2 + 2√3 jaz , 4) 12jaz - 5; 7).3jaz ;

2) √3 + jaz ; 5) 25; 8) -2jaz ;

3) 6 - 6jaz ; 6) - 4; 9) 3jaz - 4.

2048. Na ravnini označi množice točk, ki predstavljajo kompleksna števila, katerih moduli r in argumenti φ izpolnjujejo pogoje:

1) r = 1, φ = π / 4 ; 4) r < 3; 7) 0 < φ < π / 6 ;

2) r =2; 5) 2 < r <3; 8) 0 < φ < я;

3) r < 3; 6) φ = π / 3 ; 9) 1 < r < 2,

10) 0 < φ < π / 2 .

2049. Ali so lahko števila hkrati modul kompleksnega števila? r In - r ?

2050. Ali je lahko argument kompleksnega števila hkrati kot φ In - φ ?

Predstavite ta kompleksna števila v trigonometrični obliki z definiranjem njihovih modulov in argumentov:

2051*. 1 + cos α + jaz greh α . 2054*. 2 (cos 20° - jaz greh 20°).

2052*. greh φ + jaz cos φ . 2055*. 3 (- cos 15° - jaz greh 15°).

Predavanje

Trigonometrična oblika kompleksnega števila

Načrtujte

1.Geometrijski prikaz kompleksnih števil.

2.Trigonometrični zapis kompleksnih števil.

3. Dejanja na kompleksna števila v trigonometrični obliki.

Geometrijski prikaz kompleksnih števil.

a) Kompleksna števila so predstavljena s točkami ravnine po naslednjem pravilu: a + bi = M ( a ; b ) (slika 1).

Slika 1

b) Kompleksno število lahko predstavimo kot vektor, ki se začne v točkiO in se konča na dani točki (slika 2).

Slika 2

Primer 7. Narišite točke, ki predstavljajo kompleksna števila:1; - jaz ; - 1 + jaz ; 2 – 3 jaz (slika 3).

Slika 3

Trigonometrični zapis kompleksnih števil.

Kompleksno številoz = a + bi se lahko nastavi z uporabo vektorja radija s koordinatami( a ; b ) (slika 4).

Slika 4

Opredelitev . Dolžina vektorja ki predstavlja kompleksno številoz , se imenuje modul tega števila in je označen ozr .

Za katero koli kompleksno številoz njegov modulr = | z | je enolično določena s formulo .

Opredelitev . Vrednost kota med pozitivno smerjo realne osi in vektorjem ki predstavlja kompleksno število, se imenuje argument tega kompleksnega števila in je označenAMPAK rg z ozφ .

Argument kompleksnega številaz = 0 ni določeno. Argument kompleksnega številaz≠ 0 je večvrednostna količina in je določena do izraza2πk (k = 0; - 1; 1; - 2; 2; ...): Arg z = arg z + 2πk , kjearg z - glavna vrednost argumenta, zaprta v intervalu(-π; π] , tj-π < arg z ≤ π (včasih se vrednost, ki pripada intervalu, vzame kot glavna vrednost argumenta .

Ta formula zar =1 pogosto imenovana De Moivreova formula:

(cos φ + i sin φ) n = cos (nφ) + i sin (nφ), n  N .

Primer 11 Izračunaj(1 + jaz ) 100 .

Zapišimo kompleksno število1 + jaz v trigonometrični obliki.

a = 1, b = 1 .

cos φ = , sin φ = , φ = .

(1+i) 100 = [ (cos + grešim )] 100 = ( ) 100 (cos 100 + greh 100) = = 2 50 (cos 25π + i sin 25π) = 2 50 (cos π + i sin π) = - 2 50 .

4) Ekstrahiranje kvadratnega korena kompleksnega števila.

Pri ekstrakciji kvadratnega korena kompleksnega številaa + bi imamo dva primera:

čeb > približno , potem ;

Dejanja nad kompleksnimi števili, zapisana v algebraični obliki

Algebraična oblika kompleksnega števila z =(a,b) se imenuje algebraični izraz obrazca

z = a + bi.

Aritmetične operacije nad kompleksnimi števili z 1 = a 1 +b 1 jaz in z 2 = a 2 +b 2 jaz, napisani v algebraični obliki, se izvajajo na naslednji način.

1. Vsota (razlika) kompleksnih števil

z 1 ±z 2 = (a 1 ± a 2) + (b 1 ±b 2)∙i,

tiste. seštevanje (odštevanje) poteka po pravilu seštevanja polinomov z redukcijo podobnih členov.

2. Produkt kompleksnih števil

z 1 ∙z 2 = (a 1 ∙a 2 -b 1 ∙b 2) + (a 1 ∙b 2 +a 2 ∙b 1)∙i,

tiste. množenje se izvaja po običajnem pravilu za množenje polinomov, ob upoštevanju dejstva, da jaz 2 = 1.

3. Delitev dveh kompleksnih števil se izvede po naslednjem pravilu:

, (z 2 ≠ 0),

tiste. deljenje izvedemo tako, da pomnožimo dividendo in delitelj s konjugatom delitelja.

Eksponentacija kompleksnih števil je definirana na naslednji način:

To je enostavno pokazati

Primeri.

1. Poiščite vsoto kompleksnih števil z 1 = 2 – jaz in z 2 = – 4 + 3jaz.

z 1 +z 2 = (2 + (–1)∙i)+ (–4 + 3jaz) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) jaz = –2+2jaz.

2. Poišči produkt kompleksnih števil z 1 = 2 – 3jaz in z 2 = –4 + 5jaz.

= (2 – 3jaz) ∙ (–4 + 5jaz) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3jaz)+ 2∙5jaz– 3i∙ 5i = 7+22jaz.

3. Poiščite zasebno z iz divizije z 1 \u003d 3 - 2 z 2 = 3 – jaz.

z= .

4. Reši enačbo:, x in y Î R.

(2x+y) + (x+y)i = 2 + 3jaz.

Na podlagi enakosti kompleksnih števil imamo:

kje x=–1 , y= 4.

5. Izračunaj: jaz 2 ,jaz 3 ,jaz 4 ,jaz 5 ,jaz 6 ,jaz -1 , jaz -2 .

6. Izračunaj, če .

7. Izračunaj recipročno vrednost števila z=3-jaz.

Kompleksna števila v trigonometrični obliki

kompleksna ravnina se imenuje ravnina s kartezičnimi koordinatami ( x, y), če je vsaka točka s koordinatami ( a, b) je dodeljena kompleksna številka z = a + bi. V tem primeru se imenuje abscisna os realna os, in os y je imaginarno. Nato vsako kompleksno število a+bi geometrijsko predstavljen na ravnini kot točka A (a, b) ali vektor .

Zato položaj točke AMPAK(in zato kompleksno število z) se lahko nastavi z dolžino vektorja | | = r in kota j tvorjen z vektorjem | | s pozitivno smerjo realne osi. Dolžina vektorja se imenuje modul kompleksnega števila in je označena z | z|=r, in kot j poklical argument kompleksnega števila in označena j = argz.

Jasno je, da | z| ³ 0 in | z | = 0 Û z= 0.

Iz sl. 2 kaže, da.

Argument kompleksnega števila je definiran dvoumno in do 2 pk, kÎ Z.

Iz sl. 2 tudi kaže, da če z=a+bi in j=argz, potem

cos j =, greh j =, tg j = .

Če zОR in z > 0 potem argz = 0 +2pk;

če z ОR in z< 0 potem argz = p + 2pk;

če z= 0,argz ni določeno.

Glavna vrednost argumenta je določena na intervalu 0 £argz 2 £ p,

oz -str£ arg z £ p.

Primeri:

1. Poiščite modul kompleksnih števil z 1 = 4 – 3jaz in z 2 = –2–2jaz.