Najmanjše kumulativno število. Najmanj pogosti večkratnik (LCM)

Nazaj naprej

Pozor! Predogledi diapozitivov so samo informativni in morda ne predstavljajo vseh možnosti predstavitve. Če vas to delo zanima, prenesite celotno različico.

S konceptoma največjega skupnega delitelja (GCD) in najmanjšega skupnega večkratnika (LCM) se dijaki nahajajo v šestem razredu. To temo je vedno težko razumeti. Otroci pogosto zamenjujejo te pojme, ne razumejo, zakaj jih je treba preučevati. V poljudnoznanstveni literaturi se v zadnjem času pojavljajo posamezne izjave, da je treba to snov izključiti iz šolskega učnega načrta. Mislim, da to ni povsem res in ga je treba preučevati, če ne v razredu, pa med obšolskimi urami v učilnici šolske komponente, je nujno, saj to prispeva k razvoju logičnega razmišljanja. šolarji, povečanje hitrosti računskih operacij in sposobnost reševanja problemov z lepimi metodami.

Pri seštevanju in odštevanju ulomkov z različnimi imenovalci otroke učimo, kako najti skupni imenovalec dveh ali več števil. Na primer, dodajte ulomka 1/3 in 1/5. Učenci zlahka najdejo število, ki je deljivo s 3 in 5 brez ostanka. To število je 15. Dejansko, če so števila majhna, potem je njihov skupni imenovalec enostavno najti, če dobro poznamo tabelo množenja. Nekateri otroci opazijo, da je to število zmnožek številk 3 in 5. Otroci menijo, da se na ta način vedno najde skupni imenovalec za števila. Na primer, odštejte ulomka 7/18 in 5/24. Poiščite zmnožek številk 18 in 24. Enako je 432. Prejeli smo že veliko število, in če je treba nadalje narediti nekaj izračunov (zlasti za primere za vsa dejanja), se verjetnost napake poveča. Toda najdeni najmanjši skupni večkratnik števil (LCM), ki je v tem primeru enakovreden najmanjšemu skupnemu imenovalcu (LCM) - številu 72 - bo močno olajšal izračune in vodil do hitrejše rešitve primera ter s tem prihranil čas, predviden za nalogo, ki ima pomembno vlogo pri izvedbi zaključnega preizkusa, kontrolnega dela, še posebej pri zaključnem certificiranju.

Pri preučevanju teme "Zmanjševanje ulomkov" se lahko zaporedoma premikate tako, da števec in imenovalec ulomka delite z istim naravnim številom, pri čemer uporabite znake deljivosti števil in na koncu dobite nezmanjšljiv ulomek. Recimo, da želite preklicati ulomek 128/344. Najprej delimo števec in imenovalec ulomka s številom 2, dobimo ulomek 64/172. Še enkrat delimo števec in imenovalec nastalega ulomka z 2, dobimo ulomek 32/86. Še enkrat delimo števec in imenovalec ulomka z 2, dobimo nezmanjšljiv ulomek 16/43. Toda zmanjšanje ulomka lahko naredimo veliko lažje, če najdemo največji skupni delilec števil 128 in 344. GCD (128, 344) = 8. Če števec in imenovalec ulomka delimo s tem številom, takoj dobimo nezmanjšljiv ulomek.

Otrokom morate pokazati različne načine iskanja največjega skupnega delitelja (GCD) in najmanjšega skupnega večkratnika (LCM) števil. V preprostih primerih je priročno poiskati največji skupni delilec (GCD) in najmanjši skupni večkratnik (LCM) števil s preprostim štetjem. Ko se številke povečajo, lahko uporabite razporeditev praštevil. Učbenik za šesti razred (avtor N.Ya. Vilenkin) prikazuje naslednjo metodo za iskanje največjega skupnega delitelja (GCD) števil. Razdelimo številke na glavne faktorje:

• 16 = 2*2*2*2
• 120 = 2*2*2*3*5

Nato iz faktorjev, vključenih v razgradnjo enega od teh števil, izbrišemo tiste, ki niso vključeni v razgradnjo drugega števila. Zmnožek preostalih faktorjev bo največji skupni delilec teh števil. V tem primeru je to število 8. Iz lastnih izkušenj sem se prepričal, da je otrokom bolj razumljivo, če pri razširjanjih števil podčrtamo enake dejavnike, nato pa v enem od razširitev najdemo produkt poudarjeni dejavniki. To je največji skupni delilec teh števil. V šestem razredu so otroci aktivni in radovedni. Postavite jim lahko naslednjo težavo: poskusite na opisan način najti največji skupni delilec števil 343 in 287. Ne morete takoj videti, kako ju razstaviti na prafaktorje. In tukaj jim lahko poveste o čudoviti metodi, ki so jo izumili stari Grki, ki vam omogoča, da najdete največji skupni faktor (GCD), ne da bi upoštevali osnovne faktorje. Ta način iskanja največjega skupnega delitelja je bil prvič opisan v Evklidovi knjigi "Začetki". Imenuje se Evklidov algoritem. Sestoji iz naslednjega: Najprej delite večje število z manjšim. Če dobite ostanek, potem manjše število delite s preostankom. Če ponovno dobimo ostanek, delimo prvi ostanek z drugim. To se nadaljuje z deljenjem, dokler ostanek ni nič. Zadnji delilec je največji skupni delitelj (GCD) teh števil.

Vrnimo se k našemu primeru in si zaradi jasnosti zapišimo rešitev v obliki tabele.

Torej, GCD (344,287) = 7

Kako najdete najmanjši skupni večkratnik (LCM) istih števil? Ali tudi za to ne obstaja način, ki ne zahteva predhodne razčlenitve teh števil na prafaktorje? Izkazalo se je, da obstaja, in poleg tega zelo preprosto. Te številke morate pomnožiti in produkt deliti z največjim skupnim deliteljem (GCD), ki smo ga našli. V tem primeru je zmnožek števil 98441. Delite ga s 7, da dobite število 14063. LCM (343,287) = 14063.

Ena izmed težkih tem v matematiki je reševanje besednih problemov. Študentom je treba pokazati, kako lahko koncepta "Največji skupni delitelj (GCD)" in "Najmanjši skupni večkratnik (LCM)" rešujeta probleme, ki jih je včasih težko rešiti na običajen način. Tukaj je primerno, da z učenci poleg nalog, ki so jih predlagali avtorji šolskega učbenika, razmislimo o starih in zabavnih nalogah, ki razvijajo otrokovo radovednost in povečujejo zanimanje za preučevanje te teme. Spretno poznavanje teh konceptov študentom omogoča, da vidijo lepo rešitev nestandardnega problema. In če se otrokovo razpoloženje dvigne po rešitvi dobre težave, je to znak uspešnega dela.

Tako v šoli preučujejo koncepte, kot sta "Največji skupni delitelj (GCD)" in "Najmanjši skupni večkratnik (LCM)" števil.

Omogoča vam, da prihranite čas, porabljen za delo, kar vodi do znatnega povečanja obsega opravljenih nalog;

Poveča hitrost in natančnost izvajanja aritmetičnih operacij, kar vodi do znatnega zmanjšanja števila dovoljenih računskih napak;

Omogoča vam, da najdete čudovite načine za reševanje nestandardnih besednih problemov;

Razvija radovednost učencev, širi njihova obzorja;

Ustvarja predpogoje za vzgojo vsestranske ustvarjalne osebnosti.

GCD je največji skupni imenovalec.

Če želite najti največji skupni delitelj več števil, potrebujete:

• določite dejavnike, ki so skupni obema številkama;
• poiščite produkt skupnih faktorjev.

Primer iskanja GCD:

Poiščite GCD številk 315 in 245.

315 = 5 * 3 * 3 * 7;

245 = 5 * 7 * 7.

2. Zapišimo faktorje, ki so skupni obema številkama:

3. Poiščite zmnožek skupnih faktorjev:

GCD (315; 245) = 5 * 7 = 35.

Odgovor: GCD (315; 245) = 35.

Iskanje NOC

LCM je najmanjši skupni večkratnik.

Če želite najti najmanjši skupni večkratnik več številk, potrebujete:

• razgraditi števila na prafaktorje;
• napišite faktorje, vključene v razgradnjo enega od številk;
• dodajte jim manjkajoče faktorje iz razširitve drugega števila;
• poiščite produkt nastalih faktorjev.

Primer iskanja LCM:

Poiščite LCM številk 236 in 328:

1. Razstavimo števila na prafaktorje:

236 = 2 * 2 * 59;

328 = 2 * 2 * 2 * 41.

2. Zapišimo faktorje, ki so vključeni v razgradnjo enega od številk, in jim dodajmo manjkajoče faktorje iz razgradnje drugega števila:

2; 2; 59; 2; 41.

3. Poiščite produkt dobljenih faktorjev:

LCM (236; 328) = 2 * 2 * 59 * 2 * 41 = 19352.

Odgovor: LCM (236; 328) = 19352.

Če želite najti GCD (največji skupni delilec) dveh števil, potrebujete:

2. Poišči (podčrtaj) vse skupne pra faktorje v nastalih razširitvah.

3. Poišči zmnožek skupnih prafaktorjev.

Če želite najti LCM (najmanj skupni večkratnik) dveh številk, potrebujete:

1. Razstavi ta števila na prafaktorje.

2. Razširitev enega od njih je treba dopolniti s tistimi faktorji razširitve drugega števila, ki niso v razširitvi prvega.

3. Izračunaj produkt dobljenih faktorjev.

Spletni kalkulator vam omogoča hitro iskanje največjega skupnega delitelja in najmanjšega skupnega večkratnika za dve ali katero koli drugo število števil.

Kalkulator za iskanje GCD in LCM

Poiščite GCD in LCM

Najdeno GCD in NOC: 5806

Kako uporabljati kalkulator

• V vnosno polje vnesite številke
• Če vnesete napačne znake, bo polje za vnos označeno z rdečo
• kliknite gumb "Najdi GCD in LCM"

Kako vnesti številke

• Številke se vnesejo ločene s presledkom, piko ali vejico
• Dolžina vnesenih številk ni omejena, zato iskanje GCD in LCM dolgih števil ne bo težko

Kaj sta GCD in NOC?

Največji skupni delilec večkratna števila - to je največje naravno celo število, s katerim so vsa izvirna števila deljiva brez ostanka. Največji skupni faktor je skrajšano kot Gcd.
Najmanj pogosti večkratnik večkratno število je najmanjše število, ki je deljivo z vsakim od prvotnih števil brez ostanka. Najmanj pogosti večkratnik je skrajšano kot NOC.

Kako preveriti, ali je število deljivo z drugim številom brez ostanka?

Če želite ugotoviti, ali je eno število deljivo z drugim brez ostanka, lahko uporabite nekatere lastnosti deljivosti števil. Nato lahko z združevanjem preverimo deljivost na nekatere od njih in njihove kombinacije.

Nekateri znaki deljivosti števil

1. Merilo za deljivost števila z 2
Če želite ugotoviti, ali je število deljivo z dvema (ali je sodo), je dovolj, da pogledate zadnjo številko tega števila: če je 0, 2, 4, 6 ali 8, potem je število sodo, kar pomeni je deljivo z 2.
Primer: ugotovi, ali je 34938 deljivo z 2.
rešitev: poglejte zadnjo številko: 8 - torej je število deljivo z dvema.

2. Znak deljivosti števila s 3
Število je deljivo s 3, če je vsota njegovih števk deljiva s tri. Če želite torej ugotoviti, ali je število deljivo s 3, morate izračunati vsoto števk in preveriti, ali je deljivo s 3. Tudi če je vsota števk zelo velika, lahko isti postopek ponovite še enkrat.
Primer: ugotovi, ali je 34938 deljivo s 3.
rešitev:štejemo vsoto števk: 3 + 4 + 9 + 3 + 8 = 27,27 je deljivo s 3, kar pomeni, da je število deljivo s tri.

3. Znak deljivosti števila s 5
Število je deljivo s 5, če je njegova zadnja številka nič ali pet.
Primer: ugotovi, ali je 34938 deljivo s 5.
rešitev: poglejte zadnjo številko: 8 pomeni, da število NI deljivo s pet.

4. Znak deljivosti števila z 9
Ta lastnost je zelo podobna deljivosti s tri: število je deljivo z 9, če je vsota njegovih števk deljiva z 9.
Primer: ugotovi, ali je 34938 deljivo z 9.
rešitev:štejemo vsoto števk: 3 + 4 + 9 + 3 + 8 = 27,27 je deljivo z 9, kar pomeni, da je število deljivo z devet.

Kako najti gcd in LCM dveh številk

Kako najti gcd dveh številk

Najpreprostejši način za izračun največjega skupnega delitelja dveh števil je, da poiščete vse možne delitelje teh števil in izberete največjega.

Oglejmo si to metodo na primeru iskanja GCD (28, 36):

1. Faktor obe številki: 28 = 1 2 2 7, 36 = 1 2 2 3 3
2. Najdemo skupne faktorje, torej tiste, ki jih imata obe številki: 1, 2 in 2.
3. Izračunamo produkt teh faktorjev: 1 · 2 · 2 = 4 - to je največji skupni delilec števil 28 in 36.

Kako najti LCM dveh številk

Obstajata dva najpogostejša načina za iskanje najmanjšega večkratnika dveh števil. Prvi način je, da lahko zapišete prve večkratnike dveh števil, nato pa med njimi izberete takšno število, ki bo skupno obema številoma in hkrati najmanjše. In drugo je najti GCD teh številk. Upoštevajmo samo to.

Za izračun LCM morate izračunati zmnožek prvotnih številk in ga nato deliti s predhodno najdenim GCD. Poiščimo LCM za isti številki 28 in 36:

1. Poiščite zmnožek števil 28 in 36: 28 36 = 1008
2. GCD (28, 36), kot je že znano, je enak 4
3. LCM (28, 36) = 1008/4 = 252.

Iskanje GCD in LCM za več številk

Največji skupni faktor je mogoče najti za več številk, ne le za dve. Za to se števila, ki jih je treba iskati za največji skupni faktor, razstavijo na prafaktorje, nato pa najdemo zmnožek skupnih prafaktorjev teh števil. Če želite najti GCD več številk, lahko uporabite naslednje razmerje: Gcd (a, b, c) = gcd (gcd (a, b), c).

Podobno razmerje velja za najmanjši skupni večkratnik: LCM (a, b, c) = LCM (LCM (a, b), c)

Primer: poiščite GCD in LCM za številke 12, 32 in 36.

1. Najprej razčlenite števila: 12 = 1 2 2 3, 32 = 1 2 2 2 2 2 2, 36 = 1 2 2 3 3.
2. Poiščimo skupne faktorje: 1, 2 in 2.
3. Njihov produkt bo dal GCD: 1 2 2 = 4
4. Zdaj poiščimo LCM: za to najprej poiščemo LCM (12, 32): 12 · 32/4 = 96.
5. Če želite najti LCM vseh treh številk, morate najti GCD (96, 36): 96 = 1 2 2 2 2 2 2 3, 36 = 1 2 2 3 3, GCD = 1 2 2 3 = 12.
6. LCM (12, 32, 36) = 96 36/12 = 288.

Opredelitev. Imenuje se največje naravno število, s katerim sta števili a in b deljivi brez ostanka največji skupni faktor (gcd) te številke.

Poiščite največji skupni delilec 24 in 35.
Delitelji 24 bodo števila 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, delitelji 35 pa števila 1, 5, 7, 35.
Vidimo, da imata številki 24 in 35 samo en skupni delilec - število 1. Takšna števila se imenujejo obojestransko preprosto.

Opredelitev. Naravna števila se imenujejo obojestransko preprostoče je njihov največji skupni delitelj (GCD) 1.

Največji skupni delitelj (GCD) najdemo, ne da bi zapisali vse delitelje danih števil.

Če množimo številki 48 in 36, dobimo:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Iz faktorjev, vključenih v razgradnjo prvega od teh številk, izbrišemo tiste, ki niso vključeni v razgradnjo drugega števila (to je dve dvojki).
Faktorji ostanejo 2 * 2 * 3. Njihov zmnožek je 12. To število je največji skupni delilec števil 48 in 36. Najdemo tudi največjega skupnega delitelja treh ali več števil.

Najti največji skupni dejavnik

2) iz faktorjev, ki so vključeni v razgradnjo enega od teh števil, izbrišite tiste, ki niso vključeni v razgradnjo drugih številk;
3) poiščite produkt preostalih faktorjev.

Če so vsa ta števila deljiva z eno od njih, potem je to število največji skupni dejavnik dane številke.
Na primer, največji skupni delilec 15, 45, 75 in 180 je 15, saj so z njim deljiva vsa druga števila: 45, 75 in 180.

Najmanj pogosti večkratnik (LCM)

Opredelitev. Najmanj pogosti večkratnik (LCM) naravni števili a in b imenujemo najmanjše naravno število, ki je večkratnik obeh a in b. Najmanjši skupni mnogokratnik (LCM) številk 75 in 60 je mogoče najti brez zapisovanja večkratnikov teh števil v vrsti. Da bi to naredili, razstavimo 75 in 60 na prafaktorje: 75 = 3 * 5 * 5 in 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Zapišimo faktorje, ki so vključeni v razgradnjo prvega od teh številk, in jim dodajmo manjkajoči faktor 2 in 2 iz razgradnje drugega števila (tj. združimo faktorje).
Dobimo pet faktorjev 2 * 2 * 3 * 5 * 5, katerih produkt je 300. To število je najmanjši skupni večkratnik 75 in 60.

Poišči tudi najmanjši skupni večkratnik za tri ali več številk.

Za poišči najmanjši skupni večkratnik več naravnih števil, potrebujete:
1) jih razstavimo na prafaktorje;
2) zapišite faktorje, vključene v razgradnjo enega od številk;
3) prištej jim manjkajoče faktorje iz razširitev preostalih številk;
4) poiščite produkt nastalih faktorjev.

Upoštevajte, da če je eno od teh številk deljivo z vsemi drugimi števili, je to število najmanjši skupni večkratnik teh števil.
Na primer, najmanjši skupni večkratnik 12, 15, 20 in 60 je 60, ker je deljiv z vsemi temi števili.

Pitagora (VI stoletje pr.n.št.) in njegovi učenci so preučevali vprašanje deljivosti števil. Število, ki je enako vsoti vseh njegovih deliteljev (brez števila samega), so imenovali popolno število. Na primer, številke 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) so ​​popolne. Naslednja popolna števila so 496, 8128, 33 550 336. Pitagorejci so poznali le prva tri popolna števila. Četrti - 8128 - je postal znan v 1. stoletju. n. NS. Peti - 33 550 336 - so našli v 15. stoletju. Do leta 1983 je bilo znanih že 27 popolnih številk. Toda do zdaj znanstveniki ne vedo, ali obstajajo neparna popolna števila, ali obstaja največje popolno število.
Zanimanje starodavnih matematikov za praštevila je posledica dejstva, da je katero koli število praštevilo ali pa ga je mogoče predstaviti kot produkt praštevil, to je, da so praštevila kot opeke, iz katerih so zgrajena preostala naravna števila.
Verjetno ste opazili, da se praštevila v nizu naravnih števil pojavljajo neenakomerno – v nekaterih delih niza jih je več, v drugih – manj. Toda bolj ko se premikamo po številski vrsti, manj pogosta so praštevila. Postavlja se vprašanje: ali obstaja zadnje (največje) praštevilo? Starogrški matematik Evklid (III. stoletje pr.n.št.) je v svoji knjigi "Začetki", ki je bila dva tisoč let glavni učbenik matematike, dokazal, da je neskončno veliko praštevil, torej za vsakim praštevilom še večje .
Za iskanje praštevil je tako metodo izmislil drug grški matematik istega časa, Eratosten. Zapisal je vsa števila od 1 do nekega števila, nato pa prečrtal enoto, ki ni niti pra niti sestavljeno število, nato pa prečrtal vsa števila po 2 (števila, deljiva z 2, tj. 4, 6, 8 itd. .). Prvo preostalo število po 2 je bilo 3. Nato so vsa števila po 3 (števila, ki so večkratniki 3, torej 6, 9, 12 itd.) prečrtana po dveh. na koncu so ostala neprečrtana le praštevila.

Če želite razumeti, kako izračunati LCM, se morate najprej odločiti o pomenu izraza "več".

Mnogokratnik števila A je naravno število, ki je brez ostanka deljivo z A. Torej lahko večkratnike števila 5 štejemo za 15, 20, 25 itd.

Število delilcev določenega števila je lahko omejeno, večkratnikov pa je neskončno veliko.

Skupni večkratnik naravnih števil je število, ki je z njimi deljivo brez ostanka.

Kako najti najmanjši skupni večkratnik števil

Najmanjši skupni večkratnik (LCM) števil (dva, tri ali več) je najmanjše naravno število, ki je enakomerno deljivo z vsemi temi števili.

LCM lahko najdete na več načinov.

Za majhna števila je priročno zapisati vse večkratnike teh števil v vrstico, dokler med njimi ni skupnega. Večkratniki so v vnosu označeni z veliko črko K.

Na primer, večkratnike 4 lahko zapišemo takole:

K (4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K (6) = (12, 18, 24, ...)

Tako lahko vidite, da je najmanjši skupni večkratnik 4 in 6 24. Ta vnos se izvede na naslednji način:

LCM (4, 6) = 24

Če so številke velike, poiščite skupni večkratnik treh ali več številk, potem je bolje uporabiti drugo metodo za izračun LCM.

Za dokončanje naloge morate predlagana števila razstaviti na prafaktorje.

Najprej morate napisati razširitev največje od številk v vrstici, pod njo pa ostale.

Pri razgradnji vsakega števila je lahko prisotno različno število faktorjev.

Na primer, razdelimo številki 50 in 20 v prafaktorje.

Pri razširitvi manjšega števila morate poudariti dejavnike, ki jih pri razširitvi prvega največjega števila ni, nato pa mu jih prišteti. V predstavljenem primeru manjka dvojka.

Zdaj lahko izračunate najmanjši skupni večkratnik 20 in 50.

LCM (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Torej, zmnožek prafaktorjev večjega števila in faktorjev drugega števila, ki niso vključeni v razširitev večjega števila, bo najmanjši skupni mnogokratnik.

Da bi našli LCM treh ali več števil, jih je treba vse razstaviti na prafaktorje, kot v prejšnjem primeru.

Kot primer poiščite najmanjši skupni večkratnik 16, 24, 36.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Torej, faktorizacija večjega števila v faktorje ni vključevala le dveh dvojk iz faktorizacije šestnajst (ena je v faktorizaciji štiriindvajsetih).

Zato jih je treba dodati k razširitvi večjega števila.

LCM (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Obstajajo posebni primeri določanja najmanjšega skupnega večkratnika. Torej, če je mogoče eno od številk brez preostanka deliti z drugim, bo večje od teh številk najmanjši skupni večkratnik.

Na primer, LCM dvanajst in štiriindvajset bi bil štiriindvajset.

Če morate najti najmanjši skupni večkratnik sopramestnih števil, ki nimajo enakih deliteljev, bo njihov LCM enak njihovemu produktu.

Na primer, LCM (10, 11) = 110.