Najprej se spomnimo, kaj je vektorski produkt.

Opomba 1

vektorska umetnost za $\vec(a)$ in $\vec(b)$ je $\vec(c)$, ki je nek tretji vektor $\vec(c)= ||$, in ta vektor ima posebne lastnosti:

• Skalar dobljenega vektorja je produkt $|\vec(a)|$ in $|\vec(b)|$ pomnožen sinus kota $\vec(c)= ||= |\vec(a )| \cdot |\vec(b)|\cdot \sin α \left(1\right)$;
• Vsi $\vec(a), \vec(b)$ in $\vec(c)$ tvorijo desno trojko;
• Nastali vektor je ortogonalen na $\vec(a)$ in $\vec(b)$.

Če obstaja nekaj koordinat za vektorje ($\vec(a)=\(x_1; y_1; z_1\)$ in $\vec(b)= \(x_2; y_2; z_2\)$), potem je njihov vektorski produkt v Kartezijev koordinatni sistem je mogoče določiti s formulo:

$ = \(y_1 \cdot z_2 - y_2 \cdot z_1; z_1 \cdot x_2 - z_2 \cdot x_1; x_2 \cdot y_2 - x_2 \cdot y_1\)$

To formulo si najlažje zapomnite, če jo zapišete v obliki determinante:

$ = \begin(array) (|ccc|) i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ \end(array)$.

Ta formula je zelo priročna za uporabo, a da bi razumeli, kako jo uporabljati, se morate najprej seznaniti s temo matrik in njihovih determinant.

Območje paralelograma, katerega stranice sta definirana z dvema vektorjema $\vec(a)$ in $vec(b)$ je enaka na skalar navzkrižnega produkta danih dveh vektorjev.

To razmerje je precej enostavno izpeljati.

Spomnimo se formule za iskanje površine navadnega paralelograma, ki ga lahko označimo z njegovimi segmenti $a$ in $b$:

$S = a \cdot b \cdot \sin α$

V tem primeru so dolžine strani enake skalarnim vrednostim vektorjev $\vec(a)$ in $\vec(b)$, kar je za nas zelo primerno, torej skalar vektorski produkt teh vektorjev bo površina obravnavane figure.

Primer 1

Podana vektorja $\vec(c)$ s koordinatami $\(5;3; 7\)$ in vektor $\vec(g)$ s koordinatami $\(3; 7;10 \)$ v kartezičnih koordinatah. Poiščite površino paralelograma, ki ga tvorita $\vec(c)$ in $\vec(g)$.

Odločitev:

Poiščite vektorski produkt za te vektorje:

$ = \begin(matrika) (|ccc|) i & j & k \\ 5 & 3 & 7 \\ 3 & 7 & 10 \\ \end(array)= i \cdot \begin(array) (|cc |) 3 & 7 \\ 7 & 10 \\ \end(matrika) - j \cdot \begin(array) (|cc|) 5 & 7 \\ 3 & 10 \\ \end(matrika) + k \cdot \begin(matrika) (|cc|) 5 & 3 \\ 3 & 7 \\ \end(matrika) = i \cdot (3 \cdot 10 - 49) - j \cdot (50 -21) + k \cdot (35-9) = -19i -29j + 26k=\(- 19; 29; 26\)$.

Zdaj poiščimo modularno vrednost za nastali smerni segment, to je vrednost površine konstruiranega paralelograma:

$S= \sqrt(|19|^2 + |29|^2 + |26|^2) = \sqrt(1878) ≈ 43,34 $.

Ta način razmišljanja ne velja le za iskanje območja v 3-dimenzionalnem prostoru, ampak tudi za dvodimenzionalni prostor. Oglejte si naslednje vprašanje na to temo.

Primer 2

Izračunajte površino paralelograma, če so njegovi generirajoči segmenti podani z vektorji $\vec(m)$ s koordinatama $\(2; 3\)$ in $\vec(d)$ s koordinatama $\(-5; 6\)$.

Odločitev:

Ta problem je poseben primer problema 1, ki je bil rešen zgoraj, vendar oba vektorja ležita v isti ravnini, kar pomeni, da lahko tretjo koordinato, $z$, vzamemo kot nič.

Če povzamemo zgornje, bo površina paralelograma:

$S = \begin(array) (||cc||) 2 & 3\\ -5 & 6 \\ \end(array) = \sqrt(12 + 15) =3 \sqrt3$.

Primer 3

Dani vektorji $\vec(a) = 3i – j + k; \vec(b)=5i$. Poiščite površino paralelograma, ki ga tvorijo.

$[ \vec(a) \times \vec(b)] = (3i - j + k) \times 5i = 15 - 5 + $

Poenostavimo glede na podano tabelo za vektorje enot:

Slika 1. Dekompozicija vektorja glede na osnovo. Author24 - spletna izmenjava študentskih prispevkov

$[ \vec(a) \times \vec(b)] = 5 k + 5 j$.

čas izračuna:

$S = \sqrt(|-5|^2 + |5|^2) = 5\sqrt(2)$.

Prejšnji problemi so se nanašali na vektorje, katerih koordinate so podane v kartezijanskem koordinatnem sistemu, upoštevajte pa tudi primer, če se kot med osnovnimi vektorji razlikuje od $90°$:

Primer 4

Vektor $\vec(d) = 2a + 3b$, $\vec(f)= a – 4b$, dolžini $\vec(a)$ in $\vec(b)$ sta med seboj enaki in enaka ena, kot med $\vec(a)$ in $\vec(b)$ pa je 45°.

Odločitev:

Izračunajmo vektorski produkt $\vec(d) \times \vec(f)$:

$[\vec(d) \times \vec(f) ]= (2a + 3b) \times (a - 4b) = 2 - 8 + 3 - 12 $.

Za vektorske produkte glede na njihove lastnosti velja naslednje: $$ in $$ sta enaka nič, $ = - $.

Uporabimo to za poenostavitev:

$[\vec(d) \times \vec(f) ]= -8 + 3 = -8 - 3 = -11$.

Zdaj uporabimo formulo $(1)$:

$[\vec(d) \times \vec(f)] = |-11 | = 11 \cdot |a| \cdot |b| \cdot \sin α = 11 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac12=5,5$.

Površina paralelograma, zgrajenega na vektorjih, je enaka zmnožku dolžin teh vektorjev in kota kota, ki leži med njimi.

Dobro je, če so dolžine teh istih vektorjev podane glede na pogoje. Vendar se zgodi tudi, da je formulo za površino paralelograma, zgrajenega na vektorjih, mogoče uporabiti šele po izračunih na koordinatah.
Če imate srečo in so dolžine vektorjev podane glede na pogoje, potem morate samo uporabiti formulo, ki smo jo že podrobno analizirali v članku. Površina bo enaka produktu modulov in sinusa kota med njimi:

Razmislite o primeru izračuna površine paralelograma, zgrajenega na vektorjih.

naloga: Paralelogram je zgrajen na vektorjih in . Poiščite površino, če , in kot med njima je 30°.
Izrazimo vektorje glede na njihove vrednosti:

Morda imate vprašanje - od kod so prišle ničle? Ne smemo pozabiti, da delamo z vektorji in zanje . upoštevajte tudi, da če kot rezultat dobimo izraz, bo pretvorjen v. Zdaj pa naredimo končne izračune:

Vrnimo se k problemu, ko dolžine vektorjev niso določene v pogojih. Če vaš paralelogram leži v kartezičnem koordinatnem sistemu, morate narediti naslednje.

Izračun dolžin stranic figure, podane s koordinatami

Za začetek poiščemo koordinate vektorjev in od končnih koordinat odštejemo ustrezne začetne koordinate. Predpostavimo koordinate vektorja a (x1;y1;z1) in vektorja b (x3;y3;z3).
Zdaj najdemo dolžino vsakega vektorja. Če želite to narediti, je treba vsako koordinato kvadrirati, nato sešteti rezultate in izvleči koren iz končnega števila. Glede na naše vektorje bodo narejeni naslednji izračuni:


Zdaj moramo najti pik produkt naših vektorjev. Za to se njihove ustrezne koordinate pomnožijo in seštejejo.

Glede na dolžine vektorjev in njihov skalarni produkt lahko najdemo kosinus kota, ki leži med njimi .
Zdaj lahko najdemo sinus istega kota:
Zdaj imamo vse potrebne količine in z že znano formulo zlahka najdemo površino paralelograma, zgrajenega na vektorjih.

V tej lekciji si bomo ogledali še dve operaciji z vektorji: navzkrižni produkt vektorjev in mešani produkt vektorjev (takojšnja povezava za tiste, ki jo potrebujejo). Nič hudega, včasih se zgodi, da za popolno srečo poleg pik produkt vektorjev, potrebno je vedno več. Takšna je vektorska odvisnost. Človek lahko dobi vtis, da gremo v džunglo analitične geometrije. To ni res. V tem oddelku višje matematike je na splošno malo drv, razen morda dovolj za Ostržka. Pravzaprav je material zelo pogost in preprost - komaj težji od enakega skalarni produkt, tudi tipičnih opravil bo manj. Glavna stvar v analitični geometriji, kot jo bodo mnogi videli ali so že videli, je, da se NE ZMOTI IZRAČUN. Ponovite kot urok in srečni boste =)

Če se vektorji iskrijo nekje daleč, kot strela na obzorju, je vseeno, začnite z lekcijo Vektorji za lutke obnoviti ali ponovno pridobiti osnovno znanje o vektorjih. Bolj pripravljeni bralci se lahko selektivno seznanijo z informacijami, poskušal sem zbrati najbolj popolno zbirko primerov, ki jih pogosto najdemo v praktičnem delu

Kaj vas bo osrečilo? Ko sem bil majhen, sem lahko žongliral z dvema in celo tremi žogicami. Dobro se je izšlo. Zdaj sploh ni treba žonglirati, saj bomo razmislili samo vektorji vesolja, ploščati vektorji z dvema koordinatama pa bodo izpuščeni. zakaj? Tako so se rodila ta dejanja - vektor in mešani produkt vektorjev sta definirana in delujeta v tridimenzionalnem prostoru. Že lažje!

Pri tej operaciji, na enak način kot pri skalarnem produktu, dva vektorja. Naj bodo to neminljive črke.

Sama akcija označeno na naslednji način:. Obstajajo še druge možnosti, vendar sem navzkrižni produkt vektorjev označeval na ta način, v oglatih oklepajih s križcem.

In takoj vprašanje: če je v pik produkt vektorjev vpletena sta dva vektorja in tu sta dva vektorja tudi pomnožena kakšna je razlika? Jasna razlika, najprej v REZULTATU:

Rezultat skalarnega produkta vektorjev je ŠTEVILKA:

Rezultat navzkrižnega produkta vektorjev je VEKTOR: , torej pomnožimo vektorje in spet dobimo vektor. Zaprt klub. Pravzaprav od tod tudi ime operacije. V različni izobraževalni literaturi se lahko oznake tudi razlikujejo, uporabil bom črko .

Opredelitev navzkrižnega produkta

Najprej bo definicija s sliko, nato pa komentarji.

Opredelitev: navzkrižni izdelek nekolinearno vektorji, vzeti v tem vrstnem redu, se imenuje VEKTOR, dolžina ki je številčno enako površini paralelograma, zgrajena na teh vektorjih; vektor ortogonalno na vektorje, in je usmerjen tako, da ima osnova pravilno usmerjenost:

Definicijo analiziramo po kosteh, veliko je zanimivih stvari!

Torej lahko izpostavimo naslednje pomembne točke:

1) Izvorni vektorji, po definiciji označeni z rdečimi puščicami ne kolinearno. Primer kolinearnih vektorjev bo obravnavati nekoliko kasneje.

2) Zajeti vektorji v strogem vrstnem redu: – "a" se pomnoži z "be", ne "biti" do "a". Rezultat vektorskega množenja je VECTOR , ki je označen z modro. Če vektorje pomnožimo v obratnem vrstnem redu, dobimo vektor enake dolžine in v nasprotni smeri (rdeča barva). Se pravi enakost .

3) Zdaj pa se seznanimo z geometrijskim pomenom vektorskega produkta. To je zelo pomembna točka! DOLŽINA modrega vektorja (in s tem škrlatne vektorje) je številčno enaka POVRŠINI paralelograma, zgrajenega na vektorjih. Na sliki je ta paralelogram osenčen s črno.

Opomba : risba je shematična in seveda nazivna dolžina križnega produkta ni enaka površini paralelograma.

Spomnimo se ene od geometrijskih formul: površina paralelograma je enaka zmnožku sosednjih stranic in sinusa kota med njima. Zato je na podlagi zgoraj navedenega veljavna formula za izračun DOLŽINE vektorskega produkta:

Poudarjam, da v formuli govorimo o DOLŽINI vektorja in ne o samem vektorju. Kaj je praktični pomen? In pomen je takšen, da v problemih analitične geometrije območje paralelograma pogosto najdemo skozi koncept vektorskega produkta:

Dobimo drugo pomembno formulo. Diagonala paralelograma (rdeča pikčasta črta) ga razdeli na dva enaka trikotnika. Zato lahko površino trikotnika, zgrajenega na vektorjih (rdeče senčenje), najdemo po formuli:

4) Enako pomembno dejstvo je, da je vektor ortogonalen na vektorje , tj . Seveda je tudi nasprotno usmerjen vektor (crvena puščica) pravokoten na izvirne vektorje.

5) Vektor je usmerjen tako, da osnova Ima prav orientacijo. V lekciji o prehod na novo osnovo O tem sem podrobno govoril ravninska orientacija, zdaj pa bomo ugotovili, kakšna je orientacija prostora. Na prste vam bom razložil desno roko. Mentalno združiti kazalec z vektorjem in sredinec z vektorjem. Prstanec in mezinec pritisnite v dlan. Kot rezultat palec- vektorski produkt bo poiskal navzgor. To je desno usmerjena osnova (na sliki je). Zdaj zamenjajte vektorje ( kazalec in srednji prst) ponekod se bo zaradi tega palec obrnil in vektorski produkt bo že gledal navzdol. To je tudi desno usmerjena osnova. Morda imate vprašanje: na kakšni podlagi je leva usmerjenost? "Dodeli" iste prste leva roka vektorjev in pridobite levo osnovo in levo orientacijo prostora (v tem primeru bo palec nameščen v smeri spodnjega vektorja). Slikovito rečeno, te podlage "zvijajo" ali usmerjajo prostor v različne smeri. In tega koncepta ne bi smeli šteti za nekaj namišljenega ali abstraktnega - na primer, najbolj navadno ogledalo spremeni orientacijo prostora in če "odsevani predmet potegnete iz ogledala", potem na splošno ne bo mogoče kombinirajte z "originalom". Mimogrede, prinesite tri prste k ogledalu in analizirajte odsev ;-)

... kako dobro je, da zdaj veš desno in levo usmerjeno osnove, ker so izjave nekaterih predavateljev o spremembi orientacije grozne =)

Vektorski produkt kolinearnih vektorjev

Definicija je bila podrobno izdelana, še vedno je treba ugotoviti, kaj se zgodi, ko so vektorji kolinearni. Če so vektorji kolinearni, jih lahko postavimo na eno ravno črto in tudi naš paralelogram se "zloži" v eno ravno črto. Področje takega, kot pravijo matematiki, degenerirati paralelogram je nič. Enako sledi iz formule - sinus nič ali 180 stopinj je enak nič, kar pomeni, da je površina nič

Torej, če, potem in . Upoštevajte, da je sam navzkrižni produkt enak ničelnemu vektorju, vendar se v praksi to pogosto zanemarja in zapiše, da je tudi enak nič.

Poseben primer je vektorski produkt vektorja in samega sebe:

Z navzkrižnim produktom lahko preverite kolinearnost tridimenzionalnih vektorjev, med drugim pa bomo analizirali tudi ta problem.

Za reševanje praktičnih primerov bo morda potrebno trigonometrična miza iz nje najti vrednosti sinusov.

No, zanetimo ogenj:

Primer 1

a) Poiščite dolžino vektorskega produkta vektorjev, če

b) Poišči površino paralelograma, zgrajenega na vektorjih, če

Odločitev: Ne, to ni tipkarska napaka, namenoma sem izenačil začetne podatke v postavkah pogoja. Ker bo zasnova rešitev drugačna!

a) Glede na pogoj je treba najti dolžina vektor (vektorski produkt). Po ustrezni formuli:

Odgovori:

Ker je bilo vprašanje o dolžini, potem v odgovoru navedemo dimenzijo - enote.

b) Glede na pogoj je treba najti kvadratni paralelogram, zgrajen na vektorjih. Površina tega paralelograma je številčno enaka dolžini križnega produkta:

Odgovori:

Upoštevajte, da v odgovoru o vektorskem produktu sploh ni govora, o čemer smo bili vprašani območje figure, oziroma je dimenzija kvadratne enote.

Vedno pogledamo, KAJ se zahteva, da bi našli pogoj, in na podlagi tega formuliramo jasno odgovori. Morda se zdi literalizem, vendar je med učitelji dovolj literalistov in naloga z dobrimi možnostmi bo vrnjena v popravek. Čeprav to ni posebej obremenjena izbirka - če je odgovor napačen, dobimo vtis, da oseba ne razume preprostih stvari in/ali ni razumela bistva naloge. Ta trenutek je treba vedno držati pod nadzorom, reševati kakršen koli problem pri višji matematiki, pa tudi pri drugih predmetih.

Kam je izginila velika črka "en"? Načeloma bi se lahko še dodatno zataknilo pri rešitvi, a zaradi skrajšanja zapisa nisem. Upam, da vsi to razumejo in je oznaka iste stvari.

Priljubljen primer rešitve naredi sam:

Primer 2

Poiščite površino trikotnika, zgrajenega na vektorjih, če

Formula za iskanje površine trikotnika skozi vektorski produkt je podana v komentarjih k definiciji. Rešitev in odgovor na koncu lekcije.

V praksi je naloga res zelo pogosta, trikotnike je na splošno mogoče mučiti.

Za reševanje drugih težav potrebujemo:

Lastnosti navzkrižnega produkta vektorjev

Nekatere lastnosti vektorskega produkta smo že obravnavali, vendar jih bom vključil na ta seznam.

Za poljubne vektorje in poljubno število veljajo naslednje lastnosti:

1) V drugih virih informacij se ta postavka običajno ne razlikuje v lastnostih, je pa v praksi zelo pomembna. Naj bo torej.

2) - nepremičnina je obravnavana tudi zgoraj, včasih se imenuje antikomutativnost. Z drugimi besedami, vrstni red vektorjev je pomemben.

3) - kombinacija oz asociativno zakoni o vektorskih produktih. Konstante se zlahka vzamejo iz meja vektorskega produkta. Res, kaj delajo tam?

4) - distribucija oz distribucijo zakoni o vektorskih produktih. Tudi z odpiranjem oklepajev ni težav.

Kot predstavitev si oglejte kratek primer:

Primer 3

Poiščite če

Odločitev: Po pogoju je spet potrebno najti dolžino vektorskega produkta. Naslikajmo našo miniaturo:

(1) V skladu z asociativnimi zakoni vzamemo konstante izven meja vektorskega produkta.

(2) Konstanto vzamemo iz modula, medtem ko modul »poje« predznak minus. Dolžina ne more biti negativna.

(3) Kar sledi, je jasno.

Odgovori:

Čas je, da vržemo drva na ogenj:

Primer 4

Izračunajte površino trikotnika, zgrajenega na vektorjih, če

Odločitev: S formulo poiščite površino trikotnika . Problem je v tem, da sta vektorja "ce" in "te" sama predstavljena kot vsote vektorjev. Algoritem tukaj je standarden in nekoliko spominja na primera št. 3 in 4 lekcije. Pik produkt vektorjev. Za jasnost ga razdelimo na tri korake:

1) V prvem koraku izrazimo vektorski produkt skozi vektorski produkt, pravzaprav izrazite vektor v smislu vektorja. O dolžini še ni besed!

(1) Zamenjamo izraze vektorjev .

(2) Z uporabo distribucijskih zakonov odprite oklepaje po pravilu množenja polinomov.

(3) S pomočjo asociativnih zakonov izločimo vse konstante onkraj vektorskih produktov. Z malo izkušenj je mogoče dejanja 2 in 3 izvajati hkrati.

(4) Prvi in ​​zadnji člen sta zaradi prijetne lastnosti enaka nič (ničelni vektor). V drugem izrazu uporabimo lastnost antikomutativnosti vektorskega produkta:

(5) Predstavljamo podobne izraze.

Posledično se je izkazalo, da je vektor izražen skozi vektor, kar je bilo potrebno doseči:

2) V drugem koraku poiščemo dolžino vektorskega produkta, ki ga potrebujemo. To dejanje je podobno primeru 3:

3) Poiščite površino želenega trikotnika:

Korake 2-3 rešitve bi lahko razporedili v eno vrstico.

Odgovori:

Obravnavana težava je pri testih precej pogosta, tukaj je primer za neodvisno rešitev:

Primer 5

Poiščite če

Kratka rešitev in odgovor na koncu lekcije. Poglejmo, kako ste bili pozorni pri preučevanju prejšnjih primerov ;-)

Navzkrižni produkt vektorjev v koordinatah

, podano v ortonormalni osnovi , je izražena s formulo:

Formula je res preprosta: koordinatne vektorje zapišemo v zgornjo vrstico determinante, koordinate vektorjev »zapakiramo« v drugo in tretjo vrstico in vnesemo v strogem redu- najprej koordinate vektorja "ve", nato koordinate vektorja "double-ve". Če je treba vektorje pomnožiti v drugačnem vrstnem redu, je treba tudi vrstice zamenjati:

Primer 10

Preverite, ali so naslednji vektorji prostora kolinearni:
a)
b)

Odločitev: Test temelji na eni od trditev v tej lekciji: če so vektorji kolinearni, je njihov navzkrižni produkt nič (ničelni vektor): .

a) Poiščite vektorski produkt:

Torej vektorji niso kolinearni.

b) Poiščite vektorski produkt:

Odgovori: a) ni kolinearen, b)

Tukaj so morda vse osnovne informacije o vektorskem produktu vektorjev.

Ta razdelek ne bo zelo velik, saj je malo težav pri uporabi mešanega produkta vektorjev. Pravzaprav bo vse ostalo na definiciji, geometrijskem pomenu in nekaj delujočih formulah.

Mešani produkt vektorjev je produkt treh vektorjev:

Tako so se postavili v vrsto kot vlak in čakajo, komaj čakajo, da se izračunajo.

Najprej spet definicija in slika:

Opredelitev: Mešani izdelek nekoplanarno vektorji, vzeti v tem vrstnem redu, se imenuje prostornina paralelepipeda, zgrajen na teh vektorjih, opremljen z znakom "+", če je osnova desna, in znakom "-", če je osnova leva.

Naredimo risbo. Črte, ki so nam nevidne, so narisane s pikčasto črto:

Poglobimo se v definicijo:

2) Zajeti vektorji v določenem vrstnem redu, torej permutacija vektorjev v produktu, kot morda ugibate, ne gre brez posledic.

3) Preden komentiram geometrijski pomen, bom opozoril na očitno dejstvo: mešani produkt vektorjev je ŠTEVILO: . V izobraževalni literaturi je zasnova lahko nekoliko drugačna, mešani izdelek sem označeval skozi, rezultat izračunov pa s črko "pe".

A-priorat mešani produkt je prostornina paralelepipeda, zgrajena na vektorjih (slika je narisana z rdečimi vektorji in črnimi črtami). To pomeni, da je število enako volumnu danega paralelepipeda.

Opomba : Risba je shematična.

4) Ne obremenjujmo se znova s ​​konceptom orientacije osnove in prostora. Pomen zadnjega dela je, da se glasnosti lahko doda znak minus. Preprosto povedano, mešani produkt je lahko negativen: .

Formula za izračun prostornine paralelepipeda, zgrajenega na vektorjih, izhaja neposredno iz definicije.