a. Hayaan ang dalawang tuwid na linya na ibigay. Ang mga tuwid na linya na ito, tulad ng ipinahiwatig sa Kabanata 1, ay bumubuo ng iba't ibang mga positibo at negatibong mga anggulo, na maaaring parehong talamak at mapagmataas. Alam ang isa sa mga anggulong ito, madali kaming makahanap ng iba pa.
Sa pamamagitan ng paraan, para sa lahat ng mga anggulong ito, ang numerong halaga ng tangent ay pareho, ang pagkakaiba ay maaari lamang sa pag-sign
Mga equation ng mga linya. Ang mga numero ay mga pagpapahiwatig ng mga direksyon ng mga vector ng una at pangalawang mga tuwid na linya. Ang anggulo sa pagitan ng mga vector na ito ay katumbas ng isa sa mga anggulo na nabuo ng mga tuwid na linya. Samakatuwid, ang gawain ay nabawasan upang matukoy ang anggulo sa pagitan ng mga vector, Nakukuha namin
Para sa pagiging simple, maaari kaming sumang-ayon sa anggulo sa pagitan ng dalawang tuwid na linya upang mangahulugan ng isang matinding positibong anggulo (tulad ng, halimbawa, sa Larawan 53).
Pagkatapos ang tangent ng anggulong ito ay palaging magiging positibo. Samakatuwid, kung ang isang tanda ng minus ay nakuha sa kanang bahagi ng pormula (1), pagkatapos ay dapat nating itapon ito, iyon ay, panatilihin lamang ang ganap na halaga.
Halimbawa. Tukuyin ang anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya
Sa pamamagitan ng pormula (1), mayroon tayo
kasama si Kung ipinahiwatig kung alin sa mga gilid ng anggulo ang simula nito at kung saan ang wakas, kung gayon, palaging binibilang ang direksyon ng anggulo nang pabaliktad, makakakuha kami ng isang bagay na higit pa sa pormula (1). Tulad ng madaling makita mula sa Fig. Ang ika-53 na palatandaan na nakuha sa kanang bahagi ng pormula (1) ay magpapahiwatig kung aling - talamak o mapang-akit - angulo ay bumubuo ng pangalawang tuwid na linya sa una.
(Sa katunayan, mula sa Fig, 53, nakikita natin na ang anggulo sa pagitan ng una at pangalawang mga direksyon ng vector ay maaaring katumbas ng nais na anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya, o naiiba mula rito ng ± 180 °.)
d. Kung ang mga tuwid na linya ay parallel, kung gayon ang kanilang mga direksyon na vector ay parallel din. Ang paglalapat ng kondisyon ng parallelism ng dalawang mga vector, nakukuha natin!
Ito ay isang kinakailangan at sapat na kondisyon para sa parallelism ng dalawang tuwid na linya.
Halimbawa. Direkta
ay magkapareho sapagkat
e. Kung ang mga tuwid na linya ay patayo, kung gayon ang kanilang mga direksyon na vector ay patayo rin. Ang paglalapat ng kundisyon ng perpendicularity ng dalawang mga vector, nakukuha namin ang kondisyon ng perpendicularity ng dalawang tuwid na linya, lalo
Halimbawa. Direkta
ay patayo dahil sa ang katunayan na
Kaugnay sa mga kundisyon ng parallelism at perpendicularity, malulutas namin ang mga sumusunod na dalawang problema.
f. Gumuhit ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng isang punto na parallel sa tuwid na linya na ito
Isinasagawa ang solusyon tulad ng sumusunod. Dahil ang hinahangad na linya ay kahanay sa ibinigay na isa, kung gayon para sa direksyon ng vector ay maaari nating kunin ang katulad ng para sa ibinigay na tuwid na linya, iyon ay, isang vector na may mga pagpapakitang A at B. At pagkatapos ang equation ng hinahangad na linya ay magiging nakasulat sa form (§ 1)
Halimbawa. Ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang punto (1; 3) na parallel sa isang tuwid na linya
ang susunod!
g. Gumuhit ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng isang punto na patayo sa tuwid na linya na ito
Dito hindi na angkop na kumuha ng isang vector na may mga pagpapakitang A at bilang isang direksyon na vector, ngunit ang isang vector na patayo sa ito ay dapat na hinipan. Ang mga pagpapakitang ito ng vector ay dapat mapili, samakatuwid, ayon sa kondisyon ng perpendicularity ng parehong mga vector, ibig sabihin, ayon sa kundisyon
Ang kundisyong ito ay maaaring matupad sa hindi mabilang na mga paraan, dahil narito ang isang equation na may dalawang hindi alam Ngunit ang pinakamadaling paraan ay tumuloy Pagkatapos ang equation ng nais na tuwid na linya ay isusulat sa form
Halimbawa. Ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa point (-7; 2) sa isang patayo na linya
ay ang sumusunod (ayon sa pangalawang pormula)!
h Sa kaso kapag ang mga tuwid na linya ay ibinibigay ng mga equation ng form
Magiging maikli ako. Ang anggulo sa pagitan ng dalawang linya ay katumbas ng anggulo sa pagitan ng kanilang mga direksyon na mga vector. Kaya, kung mahahanap mo ang mga koordinasyon ng mga direksyon na vector a = (x 1; y 1; z 1) at b = (x 2; y 2; z 2), mahahanap mo ang anggulo. Mas tiyak, ang cosine ng anggulo sa pamamagitan ng formula:
Tingnan natin kung paano gumagana ang formula na ito sa mga tukoy na halimbawa:
Gawain. Ang mga puntos na E at F ay minarkahan sa kubo ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - ang mga midpoint ng mga gilid A 1 B 1 at B 1 C 1, ayon sa pagkakabanggit. Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga linya na AE at BF.
Dahil ang gilid ng kubo ay hindi ipinahiwatig, itinakda namin ang AB = 1. Ipakilala ang karaniwang sistema ng coordinate: ang pinagmulan ay nasa punto A, ang x, y, z axes ay nakadirekta kasama ng AB, AD at AA 1, ayon sa pagkakabanggit. Ang segment ng unit ay katumbas ng AB = 1. Ngayon nakita namin ang mga coordinate ng mga vector ng direksyon para sa aming mga linya.
Hanapin natin ang mga coordinate ng vector AE. Upang magawa ito, kailangan natin ng mga puntong A = (0; 0; 0) at E = (0.5; 0; 1). Dahil ang point E ay ang midpoint ng segment A 1 B 1, ang mga coordinate nito ay katumbas ng arithmetic mean ng mga coordinate ng mga dulo. Tandaan na ang pinagmulan ng vector AE ay kasabay ng pinagmulan, kaya ang AE = (0.5; 0; 1).
Ngayon makitungo tayo sa vector BF. Katulad nito, pinaparehas namin ang mga puntos na B = (1; 0; 0) at F = (1; 0.5; 1), sapagkat F - midpoint ng segment B 1 C 1. Meron kami:
BF = (1 - 1; 0.5 - 0; 1 - 0) = (0; 0.5; 1).
Kaya handa na ang mga vector vector. Ang cosine ng anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya ay ang cosine ng anggulo sa pagitan ng mga direksyon ng mga vector, kaya mayroon kaming:
Gawain. Sa isang regular na prisma ng triangle na ABCA 1 B 1 C 1, lahat ng mga gilid nito ay katumbas ng 1, mga puntos na D at E ay minarkahan - ang mga midpoint ng mga gilid A 1 B 1 at B 1 C 1, ayon sa pagkakabanggit. Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga linya na AD at BE.
Ipakilala natin ang karaniwang sistema ng coordinate: ang pinagmulan ay sa punto A, ang x axis ay nakadirekta kasama ng AB, z - kasama ang AA 1. Dinidirekta namin ang y-axis upang ang eroplano ng OXY ay sumabay sa eroplano ng ABC. Ang segment ng unit ay katumbas ng AB = 1. Hanapin ang mga koordinasyon ng mga direksyon na vector para sa mga hinahangad na linya.
Una, hanapin natin ang mga coordinate ng AD vector. Isaalang-alang ang mga puntos: A = (0; 0; 0) at D = (0.5; 0; 1), sapagkat D - midpoint ng segment A 1 B 1. Dahil ang pinagmulan ng vector AD ay sumabay sa pinagmulan, nakakakuha kami ng AD = (0.5; 0; 1).
Ngayon hanapin natin ang mga coordinate ng vector na BE. Ang point B = (1; 0; 0) ay madali. Sa puntong E - ang gitna ng segment na C 1 B 1 - medyo mahirap ito. Meron kami:
Nananatili ito upang mahanap ang cosine ng anggulo:
Gawain. Sa isang regular na hexagonal prism na ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, ang lahat ng mga gilid na katumbas ng 1, ang mga puntos na K at L ay minarkahan - ang mga midpoint ng mga gilid A 1 B 1 at B 1 C 1, ayon sa pagkakabanggit. Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga linya AK at BL.
Ipaalam sa amin ipakilala ang isang karaniwang sistema ng coordinate para sa isang prisma: ilagay ang pinagmulan ng mga coordinate sa gitna ng mas mababang base, idirekta ang x-axis kasama ang FC, ang y-axis sa pamamagitan ng mga midpoint ng mga segment na AB at DE, at ang z- axis patayo paitaas. Ang segment ng unit ay muling katumbas ng AB = 1. Isulat namin ang mga coordinate ng mga punto ng interes sa amin:
Ang Points K at L ay ang mga midpoint ng mga segment A 1 B 1 at B 1 C 1, ayon sa pagkakabanggit, sa gayon ang kanilang mga coordinate ay matatagpuan sa pamamagitan ng ibig sabihin ng arithmetic. Alam ang mga puntos, nakita namin ang mga koordinasyon ng mga direksyon na vector ng AK at BL:
Ngayon hanapin natin ang cosine ng anggulo:
Gawain. Sa regular na quadrangular pyramid SABCD, ang lahat ng mga gilid nito ay katumbas ng 1, mga puntos na E at F ay minarkahan - ang mga midpoint ng panig ng SB at SC, ayon sa pagkakabanggit. Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga linya na AE at BF.
Ipakilala natin ang isang karaniwang sistema ng coordinate: ang pinagmulan ay sa punto A, ang x at y axes ay nakadirekta kasama ang AB at AD, ayon sa pagkakabanggit, at ang z axis ay nakadirekta patayo paitaas. Ang segment ng unit ay katumbas ng AB = 1.
Ang Points E at F ay ang mga midpoint ng mga segment na SB at SC, ayon sa pagkakabanggit, sa gayon ang kanilang mga coordinate ay matatagpuan bilang arithmetic mean ng mga dulo. Isulat natin ang mga coordinate ng mga punto ng interes sa amin:
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)
Alam ang mga puntos, nakita namin ang mga coordinate ng mga direksyon na vector ng AE at BF:
Ang mga coordinate ng vector AE ay sumabay sa mga coordinate ng point E, dahil ang point A ang pinagmulan. Nananatili ito upang mahanap ang cosine ng anggulo:
Oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo Samakatuwid, magpapatuloy kami sa unang seksyon, inaasahan kong, sa pagtatapos ng artikulo ay mapanatili ko ang isang masayang kaisipan.
Ang kamag-anak na posisyon ng dalawang tuwid na linya
Ang kaso kapag kumakanta ang madla kasama ng koro. Maaari ang dalawang tuwid na linya:
1) tugma;
2) maging parallel:;
3) o intersect sa isang solong point:.
Tulong para sa mga Dummy : mangyaring tandaan ang matematiko na tanda ng intersection, ito ay magiging napaka-karaniwan. Ipinapahiwatig ng rekord na ang linya ay lumiliko sa linya sa isang punto.
Paano matutukoy ang kamag-anak na posisyon ng dalawang tuwid na linya?
Magsimula tayo sa unang kaso:
Dalawang tuwid na linya ang nag-tutugma kung at kung ang kanilang mga kaukulang koepisyent ay proporsyonal, iyon ay, mayroong isang bilang ng mga "lambdas" na ang pagkakapantay-pantay
Isaalang-alang ang mga tuwid na linya at bumuo ng tatlong mga equation mula sa mga kaukulang koepisyent:. Sinusundan ito mula sa bawat equation na, samakatuwid, ang mga linyang ito ay nag-tutugma.
Sa katunayan, kung ang lahat ng mga coefficients ng equation 
paramihin sa pamamagitan ng -1 (baguhin ang mga palatandaan), at lahat ng mga coefficients ng equation 
nabawasan ng 2, nakakuha ka ng parehong equation:
Ang pangalawang kaso, kapag ang mga linya ay parallel:
Ang dalawang tuwid na linya ay magkapareho kung at kung ang kanilang mga coefficients para sa mga variable ay proporsyonal: 
, ngunit.
Bilang halimbawa, isaalang-alang ang dalawang linya. Sinusuri namin ang proporsyonalidad ng mga kaukulang koepisyent para sa mga variable: 
Gayunpaman, ito ay lubos na malinaw na.
At ang pangatlong kaso, kapag ang mga linya ay lumusot:
Dalawang tuwid na linya ang lumusot kung at kung ang kanilang mga coefficients para sa mga variable ay HINDI proporsyonal, iyon ay, HINDI tulad ng isang halaga ng lambda na ang mga pagkakapantay-pantay ay natupad 
Kaya, para sa mga tuwid na linya ay bubuo kami ng system: 
Mula sa unang equation sumusunod ito, at mula sa pangalawang equation :, samakatuwid, ang sistema ay hindi naaayon(walang mga solusyon). Kaya, ang mga coefficients ng mga variable ay hindi proporsyonal.
Konklusyon: magkrus ang mga linya
Sa mga praktikal na problema, maaari mong gamitin ang scheme ng solusyon na isinasaalang-alang lamang. Sa pamamagitan ng paraan, ito ay halos kapareho sa algorithm para sa pag-check ng mga vector para sa collinearity, na isinasaalang-alang namin sa aralin Ang konsepto ng linear (non) pagpapakandili ng mga vector. Batayan ng mga vector... Ngunit mayroong isang mas sibilisadong packaging:
Halimbawa 1
Alamin ang kamag-anak na posisyon ng mga tuwid na linya: 
Solusyon batay sa pag-aaral ng mga direksyon ng mga vector ng mga tuwid na linya:
a) Mula sa mga equation nakikita namin ang mga direksyon ng mga vector ng mga tuwid na linya: 
.
, kaya ang mga vector ay hindi collinear at ang mga linya ay nagsalubong.
Kung sakali, maglalagay ako ng isang bato na may mga pahiwatig sa mga sangang daan:
Ang natitira ay tumalon sa bato at sumunod, dumiretso sa Kashchei the Immortal =)
b) Hanapin ang mga direksyon ng mga vector ng mga tuwid na linya: 
Ang mga linya ay may parehong vector vector, na nangangahulugang pareho ang mga ito o magkakasabay. Hindi na kailangang bilangin din ang tumutukoy dito.
Malinaw na, ang mga coefficients para sa mga hindi kilalang proporsyonal, habang.
Alamin natin kung totoo ang pagkakapantay-pantay: 
Kaya,
c) Hanapin ang mga direksyon ng mga vector ng mga tuwid na linya: 
Kalkulahin natin ang determinant na binubuo ng mga coordinate ng mga vector na ito: 
samakatuwid ang direksyon ng mga vector ay collinear. Ang mga linya ay maaaring parallel o magkasabay.
Ang koepisyent ng proportionality na "lambda" ay madaling makita nang direkta mula sa ratio ng mga vector ng direksyon ng collinear. Gayunpaman, maaari rin itong matagpuan sa pamamagitan ng mga koepisyent ng mga equation mismo: 
.
Alamin natin ngayon kung totoo ang pagkakapantay-pantay. Ang parehong mga libreng termino ay zero, kaya:
Ang nagresultang halaga ay nasisiyahan ang equation na ito (anumang bilang sa pangkalahatan ay nasiyahan ito).
Kaya, magkatugma ang mga linya.
Sagot:
Sa lalong madaling panahon malalaman mo (o kahit na natutunan na) kung paano malutas ang isinasaalang-alang na problema nang pasalita nang literal sa isang segundo. Kaugnay nito, wala akong nakitang dahilan upang mag-alok ng anuman para sa isang independiyenteng solusyon, mas mahusay na maglagay ng isa pang mahalagang brick sa geometric na pundasyon:
Paano bumuo ng isang tuwid na linya na kahanay sa isang naibigay?
Para sa kamangmangan sa simpleng gawaing ito, mahigpit na pinarusahan ng Nightingale the Robber.
Halimbawa 2
Ang tuwid na linya ay ibinibigay ng equation. Pantayin ang isang parallel na tuwid na linya na dumadaan sa isang punto.
Solusyon: Tukuyin natin ang hindi kilalang tuwid na titik. Ano ang sinasabi ng kundisyon tungkol sa kanya? Ang tuwid na linya ay dumadaan sa punto. At kung ang mga tuwid na linya ay parallel, kung gayon ay halata na ang nagdidirektang vector ng tuwid na linya na "tse" ay angkop din para sa pagbuo ng tuwid na linya na "de".
Inilabas namin ang vector ng direksyon mula sa equation:
Sagot:
Ang geometry ng halimbawa ay mukhang prangka: 
Ang pag-verify na analitikal ay binubuo ng mga sumusunod na hakbang:
1) Sinusuri namin na ang mga linya ay may parehong vector vector (kung ang equation ng linya ay hindi pinasimple nang maayos, kung gayon ang mga vector ay magiging collinear).
2) Suriin kung ang punto ay nasiyahan ang nakuha na equation.
Ang pagsusuri ng pagsusuri ay sa karamihan ng mga kaso madaling gawin nang pasalita. Tingnan ang dalawang mga equation, at marami sa iyo ay mabilis na malaman ang parallelism ng mga tuwid na linya nang walang anumang pagguhit.
Ang mga halimbawa para sa isang solusyong gagawin ngayon ay magiging malikhain. Dahil kailangan mo pang makipagkumpetensya sa Baba Yaga, at siya, alam mo, ay mahilig sa lahat ng uri ng mga bugtong.
Halimbawa 3
Gumawa ng isang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang punto na parallel sa isang tuwid na linya kung
Mayroong isang makatuwiran at hindi masyadong makatuwiran na solusyon. Ang pinakamaikling paraan ay sa pagtatapos ng aralin.
Nagtrabaho kami nang kaunti sa mga parallel na linya at babalik sa kanila sa paglaon. Ang kaso ng pagsabay sa tuwid na mga linya ay hindi gaanong interes, kaya isaalang-alang ang isang problema na alam mo mula sa kurikulum ng paaralan:
Paano makahanap ng intersection point ng dalawang linya?
Kung diretso 
intersect sa isang punto, pagkatapos ang mga coordinate nito ang solusyon mga sistema ng mga linear equation 
Paano makahanap ng punto ng intersection ng mga linya? Lutasin ang system.
Sobra para sayo geometriko kahulugan ng isang sistema ng dalawang mga linear equation sa dalawang hindi alam Ay dalawang intersecting (madalas) tuwid na mga linya sa isang eroplano.
Halimbawa 4
Hanapin ang punto ng intersection ng mga linya
Solusyon: Mayroong dalawang paraan ng paglutas - graphic at analitikal.
Ang grapikong paraan ay upang iguhit lamang ang mga linya ng data at alamin ang intersection point nang direkta mula sa pagguhit: 
Narito ang aming punto:. Upang suriin, dapat mong palitan ang mga coordinate nito sa bawat equation ng tuwid na linya, dapat silang magkasya pareho doon at doon. Sa madaling salita, ang mga coordinate ng isang punto ay ang solusyon ng system. Talaga, tiningnan namin ang isang grapikong paraan upang malutas mga sistema ng mga linear equation na may dalawang equation, dalawang hindi alam.
Ang grapikong pamamaraan, siyempre, ay hindi masama, ngunit may mga kapansin-pansin na mga kawalan. Hindi, ang puntong ito ay hindi ang pang-pitong mga graders ang nagpasya kung gayon, ang punto ay magtatagal ng oras upang makakuha ng isang tama at Eksaktong pagguhit. Bilang karagdagan, ang ilang mga tuwid na linya ay hindi gaanong madaling maitayo, at ang intersection point mismo ay maaaring matatagpuan sa isang lugar sa tatlumpung kaharian sa labas ng notebook sheet.
Samakatuwid, mas kapaki-pakinabang na maghanap para sa intersection point gamit ang pamamaraang analytical. Solusyunan natin ang system: 
Upang malutas ang system, ginamit ang paraan ng pagdaragdag ng mga equation sa bawat panahon. Upang makabuo ng mga nauugnay na kasanayan, bisitahin ang aralin Paano malutas ang isang sistema ng mga equation?
Sagot:
Ang tseke ay walang halaga - ang mga coordinate ng intersection point ay dapat masiyahan ang bawat equation sa system.
Halimbawa 5
Hanapin ang punto ng intersection ng mga linya kung lumusot ang mga ito.
Ito ay isang halimbawa para sa isang solusyon na gawin sa sarili. Maginhawa upang hatiin ang gawain sa maraming mga yugto. Ang pagtatasa ng kundisyon ay nagpapahiwatig kung ano ang kinakailangan:
1) Gawin ang equation ng tuwid na linya.
2) Gawin ang equation ng tuwid na linya.
3) Alamin ang kamag-anak na posisyon ng mga tuwid na linya.
4) Kung ang mga linya ay lumusot, pagkatapos hanapin ang intersection point.
Ang pagbuo ng isang algorithm ng mga aksyon ay tipikal para sa maraming mga problema sa geometriko, at paulit-ulit kong ituon ito.
Buong solusyon at sagot sa pagtatapos ng tutorial:
Ang isang pares ng sapatos ay hindi pa napapagod, nang makarating kami sa ikalawang seksyon ng aralin:
Perpendikular na tuwid na mga linya. Distansya mula sa punto hanggang linya.
Angle sa pagitan ng mga tuwid na linya
Magsimula tayo sa isang tipikal at napakahalagang gawain. Sa unang bahagi, natutunan namin kung paano bumuo ng isang tuwid na linya na kahilera sa isang ito, at ngayon ang kubo sa mga binti ng manok ay magiging 90 degree:
Paano bumuo ng isang tuwid na linya patayo sa isang naibigay?
Halimbawa 6
Ang tuwid na linya ay ibinibigay ng equation. Pantayin ang isang patayo na linya sa pamamagitan ng isang punto.
Solusyon: Sa kundisyon nalalaman ito. Masarap na makahanap ng direksyon ng vector ng tuwid na linya. Dahil ang mga linya ay patayo, ang bilis ng kamay ay simple:
Mula sa equation na "alisin" ang normal na vector :, na magiging direksyon ng vector ng tuwid na linya.
Bumuo tayo ng equation ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng isang punto at isang direksyon na vector:
Sagot: 
Palawakin natin ang geometric sketch:
Hmmm ... Orange sky, orange sea, orange camel.
Analytical verification ng solusyon:
1) Ilabas ang mga direksyon ng mga vector mula sa mga equation 
at sa tulong tuldok na produkto ng mga vector nakarating kami sa konklusyon na ang mga tuwid na linya ay talagang patayo:.
Sa pamamagitan ng paraan, maaari kang gumamit ng mga normal na vector, mas madali ito.
2) Suriin kung ang punto ay nasiyahan ang nakuha na equation 
.
Ang tseke ay, muli, madaling gawin sa salita.
Halimbawa 7
Hanapin ang punto ng intersection ng mga patayo na linya kung kilala ang equation 
at point.
Ito ay isang halimbawa para sa isang solusyon na gawin sa sarili. Mayroong maraming mga pagkilos sa gawain, kaya't maginhawa upang iguhit ang solusyon point ayon sa punto.
Nagpapatuloy ang aming nakagaganyak na paglalakbay:
Distansya mula sa punto hanggang linya
Bago sa amin ay isang tuwid na strip ng ilog at ang aming gawain ay upang maabot ito sa pamamagitan ng pinakamaikling paraan. Walang mga hadlang, at ang pinaka-optimal na ruta ay ang paggalaw kasama ang patayo. Iyon ay, ang distansya mula sa isang punto hanggang sa isang tuwid na linya ay ang haba ng isang patayo na linya.
Ang distansya sa geometry ay ayon sa kaugalian na tinukoy ng titik na Griyego na "ro", halimbawa: - ang distansya mula sa puntong "em" hanggang sa tuwid na linya na "de".
Distansya mula sa punto hanggang linya 
ipinahayag ng pormula
Halimbawa 8
Hanapin ang distansya mula sa isang punto hanggang sa isang tuwid na linya 
Solusyon: ang kailangan lamang ay maingat na palitan ang mga numero sa pormula at isagawa ang mga kalkulasyon:
Sagot: 
Isagawa natin ang pagguhit: 
Ang distansya mula sa punto sa linya na natagpuan ay eksaktong haba ng pulang linya. Kung gumuhit ka ng isang guhit sa checkered paper sa isang sukat na 1 yunit. = 1 cm (2 cells), kung gayon ang distansya ay maaaring masukat sa isang ordinaryong pinuno.
Isaalang-alang ang isa pang gawain para sa parehong blueprint:
Ang gawain ay upang hanapin ang mga coordinate ng isang punto na simetriko sa isang punto na may paggalang sa isang tuwid na linya 
... Iminumungkahi kong isagawa ang mga pagkilos sa iyong sarili, ngunit ibabalangkas ko ang solusyon sa algorithm na may mga intermediate na resulta:
1) Humanap ng isang linya na patayo sa linya.
2) Hanapin ang punto ng intersection ng mga linya: 
.
Ang parehong mga pagkilos ay sakop ng detalye sa araling ito.
3) Ang punto ay ang midpoint ng segment ng linya. Alam namin ang mga coordinate ng gitna at isa sa mga dulo. Ni ang mga formula para sa mga coordinate ng midpoint ng segment nahahanap namin
Hindi ito magiging kalabisan upang suriin na ang distansya ay 2.2 unit din.
Ang mga kahirapan dito ay maaaring lumitaw sa mga kalkulasyon, ngunit sa tore ang isang micro calculator ay makakatulong nang mahusay, na nagbibigay-daan sa iyo upang mabilang ang mga ordinaryong praksiyon. Paulit-ulit na pinayuhan, magpapayo at muli.
Paano makahanap ng distansya sa pagitan ng dalawang magkatulad na linya?
Halimbawa 9
Hanapin ang distansya sa pagitan ng dalawang magkatulad na linya
Ito ay isa pang halimbawa para sa isang malayang solusyon. Hayaan akong bigyan ka ng kaunting pahiwatig: maraming mga paraan upang malutas ito. Ang pagdidiskubre sa pagtatapos ng aralin, ngunit mas mahusay na subukang hulaan para sa iyong sarili, sa palagay ko nakaya mong paalisin nang husto ang iyong talino.
Angle sa pagitan ng dalawang tuwid na linya
Ang bawat anggulo ay isang jamb: 
Sa geometry, ang anggulo sa pagitan ng dalawang tuwid na linya ay kinukuha bilang PINAKAMALIIT na anggulo, mula sa kung saan awtomatiko nitong sinusundan na hindi ito maaaring maging mapang-akit. Sa pigura, ang anggulo na ipinahiwatig ng pulang arko ay hindi binibilang bilang angulo sa pagitan ng mga intersecting straight line. At ang kanyang "berde" na kapit-bahay ay itinuturing na tulad, o salungat sa oriented Sulok ng "Crimson".
Kung ang mga tuwid na linya ay patayo, kung gayon ang alinman sa 4 na mga anggulo ay maaaring makuha bilang angulo sa pagitan nila.
Paano magkakaiba ang mga anggulo? Oryentasyon Una, ang direksyon ng sulok na "pag-scroll" ay pangunahing mahalaga. Pangalawa, ang isang anggulong negatibong oriented ay nakasulat na may isang minus sign, halimbawa, kung.
Bakit ko nasabi to? Tila ang karaniwang konsepto ng isang anggulo ay maaaring maibawas. Ang totoo ay sa mga pormula kung saan namin mahahanap ang mga anggulo, madali kang makakakuha ng isang negatibong resulta, at hindi ka ito sorpresahin. Ang isang anggulo na may isang minus sign ay hindi mas masahol, at may isang napaka-tiyak na kahulugan ng geometriko. Sa pagguhit, para sa isang negatibong anggulo, tiyaking ipahiwatig ang oryentasyon nito gamit ang isang arrow (pakanan.
Paano mahahanap ang anggulo sa pagitan ng dalawang tuwid na linya? Mayroong dalawang gumaganang mga formula:
Halimbawa 10
Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya
Solusyon at Paraan ng isa
Isaalang-alang ang dalawang tuwid na linya na ibinigay ng mga equation sa pangkalahatang form: 
Kung diretso hindi patayo, kung gayon nakatuon ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay maaaring kalkulahin gamit ang formula: 
Bigyang pansin natin ang denominator - eksakto ito produkto ng scalar direksyon ng mga vector ng mga tuwid na linya:
Kung, kung gayon ang denominator ng formula ay nawala, at ang mga vector ay magiging orthogonal at ang mga tuwid na linya ay patayo. Iyon ang dahilan kung bakit nagawa ang isang pagpapareserba tungkol sa hindi perpendikularidad ng mga tuwid na linya sa pagbabalangkas.
Batay sa naunang nabanggit, maginhawa upang gumuhit ng isang solusyon sa dalawang hakbang:
1) Kalkulahin ang produkto ng scalar ng mga direksyon na vector ng mga tuwid na linya:
, kaya ang mga tuwid na linya ay hindi patayo.
2) Ang anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya ay natagpuan ng pormula:
Gamit ang kabaligtaran na pag-andar, madaling hanapin ang sulok mismo. Sa kasong ito, ginagamit namin ang kakatwa ng arctangent (tingnan. Mga graphic at katangian ng mga pagpapaandar sa elementarya):
Sagot: 
Sa sagot, ipinapahiwatig namin ang eksaktong halaga, pati na rin ang tinatayang halaga (mas mabuti kapwa sa mga degree at sa mga radian), na kinakalkula gamit ang isang calculator.
Well, minus, so minus, okay lang yan. Narito ang isang geometric na paglalarawan: 
Hindi nakakagulat na ang anggulo ay naging isang negatibong oryentasyon, dahil sa pahayag ng problema ang unang numero ay isang tuwid na linya at ang "pag-ikot" ng anggulo ay nagsimula dito.
Kung talagang nais mong makakuha ng isang positibong anggulo, kailangan mong palitan ang mga tuwid na linya, iyon ay, kunin ang mga coefficients mula sa ikalawang equation 
, at ang mga coefficients ay kinuha mula sa unang equation. Sa madaling salita, kailangan mong magsimula sa isang tuwid na linya 
.
Panuto
tandaan
Ang panahon ng pag-andar ng trigonometric ng tangent ay 180 degree, na nangangahulugang ang mga slope ng mga tuwid na linya ay hindi, sa ganap na halaga, ay lumampas sa halagang ito.
Nakatutulong na payo
Kung ang mga slope ay katumbas ng bawat isa, kung gayon ang anggulo sa pagitan ng mga naturang linya ay 0, dahil ang mga nasabing linya ay magkakasabay o magkapareho.
Upang matukoy ang halaga ng anggulo sa pagitan ng pagtawid ng mga tuwid na linya, kinakailangan upang ilipat ang parehong tuwid na mga linya (o isa sa mga ito) sa isang bagong posisyon gamit ang parallel transfer na pamamaraan bago tumawid. Pagkatapos nito, dapat mong makita ang halaga ng anggulo sa pagitan ng mga nagresultang intersecting straight line.
Kakailanganin mong
- Ruler, kanang tatsulok, lapis, protractor.
Panuto
Kaya, hayaan ang isang vector V = (a, b, c) at isang eroplano A x + B y + C z = 0 ibigay, kung saan ang A, B at C ay ang mga coordinate ng normal na N. Pagkatapos ang cosine ng anggulo Ang α sa pagitan ng mga vector V at N ay katumbas ng:
Upang makalkula ang halaga ng anggulo sa mga degree o radian, kailangan mong kalkulahin ang pagpapaandar na kabaligtaran sa cosine mula sa nagresultang ekspresyon, i.e. kabaligtaran cosine: α = arccos ((a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²))).
Halimbawa: hanapin iniksyon sa pagitan ng vector(5, -3, 8) at eroplano na ibinigay ng pangkalahatang equation 2 x - 5 y + 3 z = 0 Solusyon: isulat ang mga coordinate ng normal na vector ng eroplano N = (2, -5, 3). Palitan ang lahat ng mga kilalang halaga sa pormula sa itaas: cos α = (10 + 15 + 24) / √3724 ≈ 0.8 → α = 36.87 °.
Mga Kaugnay na Video
Ang isang tuwid na linya na may isang point na pareho sa isang bilog ay tangent sa bilog. Ang isa pang tampok ng tangent ay palaging patas sa radius na iginuhit sa tangent point, iyon ay, ang tangent at ang radius ay bumubuo ng isang tuwid na linya iniksyon... Kung mula sa isang punto Ang isang dalawang tangent ay iginuhit sa bilog na AB at AC, pagkatapos ay palagi silang pantay sa bawat isa. Natutukoy ang anggulo sa pagitan ng mga tangente ( iniksyon Ang ABC) ay ginawa gamit ang Pythagorean theorem.
Panuto
Upang matukoy ang anggulo, kailangan mong malaman ang radius ng bilog na OB at OS at ang distansya ng panimulang punto ng tangent mula sa gitna ng bilog - O. Kaya, ang mga anggulo na ABO at ASO ay pantay, ang radius ng OB , halimbawa, 10 cm, at ang distansya sa gitna ng bilog AO ay 15 cm. Tukuyin ang haba ng tangent kasama ang formula alinsunod sa Pythagorean theorem: AB = square root ng AO2 - OB2 o 152 - 102 = 225 - 100 = 125;
Kahulugan Kung ang dalawang tuwid na linya na y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2 ay ibinigay, kung gayon ang matinding angulo sa pagitan ng mga linyang ito ay matutukoy bilang
Dalawang tuwid na linya ang parallel kung k 1 = k 2. Dalawang tuwid na linya ay patayo kung k 1 = -1 / k 2.
Teorama Ang mga tuwid na linya Ax + Vy + C = 0 at A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 ay magkapareho kapag ang proporsyonal na mga koepisyent A 1 = λA, B 1 = λB. Kung 1 = λλ din, pagkatapos ay magkatugma ang mga linya. Ang mga coordinate ng punto ng intersection ng dalawang tuwid na linya ay natagpuan bilang isang solusyon sa system ng mga equation ng mga tuwid na linya.
Ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang naibigay na punto
Katulad ng linya na ito
Kahulugan Ang tuwid na linya na dumadaan sa puntong M 1 (x 1, y 1) at patayo sa tuwid na linya y = kx + b ay kinakatawan ng equation:
Distansya mula sa punto hanggang linya
Teorama Kung ang isang point M (x 0, y 0) ay ibinibigay, pagkatapos ang distansya sa tuwid na linya Ax + Vy + C = 0 ay natutukoy bilang
.
Patunay Hayaan ang puntong M 1 (x 1, y 1) na maging batayan ng patayo na bumaba mula sa puntong M papunta sa isang naibigay na tuwid na linya. Pagkatapos ang distansya sa pagitan ng mga point M at M 1:
(1)
Ang mga coordinate x 1 at y 1 ay maaaring matagpuan bilang isang solusyon sa system ng mga equation:
Ang pangalawang equation ng system ay ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang naibigay na puntong M 0 patayo sa isang naibigay na tuwid na linya. Kung binago natin ang unang equation ng system sa form:
A (x - x 0) + B (y - y 0) + Ax 0 + Ni 0 + C = 0,
pagkatapos, paglutas, nakukuha natin:
Ang pagpapalit ng mga expression na ito sa equation (1), mahahanap namin:
Pinatunayan ang teorya.
Halimbawa... Tukuyin ang anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.
k 1 = -3; k 2 = 2; tgφ = 
; φ = p / 4.
Halimbawa... Ipakita na ang mga tuwid na linya na 3x - 5y + 7 = 0 at 10x + 6y - 3 = 0 ay patayo.
Solusyon... Nalaman namin: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 * k 2 = -1, samakatuwid, ang mga tuwid na linya ay patayo.
Halimbawa... Ang mga vertex ng tatsulok na A (0; 1), B (6; 5), C (12; -1) ay ibinigay. Hanapin ang equation ng taas na iginuhit mula sa vertex C.
Solusyon... Nahanap namin ang equation ng panig na AB: 
; 4 x = 6 y - 6;
2 x - 3 y + 3 = 0;
Ang kinakailangang equation sa taas ay: Ax + Ni + C = 0 o y = kx + b. k =. Pagkatapos y =. Kasi ang taas ay dumadaan sa point C, kung gayon ang mga coordinate nito ay nasiyahan ang equation na ito: 
saan galing b = 17. Kabuuan:. 
Sagot: 3 x + 2 y - 34 = 0.
Ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang naibigay na punto sa isang naibigay na direksyon. Ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang naibigay na puntos. Ang anggulo sa pagitan ng dalawang tuwid na linya. Ang kalagayan ng parallelism at perpendicularity ng dalawang linya. Pagtukoy ng intersection point ng dalawang linya
1. Ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa isang naibigay na punto A(x 1 , y 1) sa isang naibigay na direksyon na tinutukoy ng slope k,
y - y 1 = k(x - x 1). (1)
Tinutukoy ng equation na ito ang isang bundle ng mga tuwid na linya na dumadaan sa punto A(x 1 , y 1), na tinatawag na gitna ng sinag.
2. Equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang puntos: A(x 1 , y 1) at B(x 2 , y 2) ay nakasulat tulad ng sumusunod:
Ang slope ng isang tuwid na linya na dumadaan sa dalawang ibinigay na puntos ay natutukoy ng formula
3. Angle sa pagitan ng mga tuwid na linya A at B tinawag ang anggulo kung saan kailangan mong buksan ang unang tuwid na linya A sa paligid ng punto ng intersection ng mga linya na pabaliktad hanggang sa sumabay ito sa pangalawang linya B... Kung ang dalawang tuwid na linya ay ibinibigay ng mga equation na may isang slope
y = k 1 x + B 1 ,
y = k 2 x + B 2 , (4)
pagkatapos ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay natutukoy ng formula
Tandaan na sa numerator ng maliit na bahagi, ang slope ng unang tuwid na linya ay ibabawas mula sa slope ng pangalawang tuwid na linya.
Kung ang mga equation ng tuwid na linya ay ibinibigay sa pangkalahatang form
A 1 x + B 1 y + C 1 = 0,
A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (6)
ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay natutukoy ng formula
4. Mga kondisyon para sa parallelism ng dalawang linya:
a) Kung ang mga tuwid na linya ay ibinibigay ng mga equation (4) na may slope, kung gayon ang kinakailangan at sapat na kondisyon para sa kanilang parallelism ay binubuo sa pagkakapantay-pantay ng kanilang mga slope:
k 1 = k 2 . (8)
b) Para sa kaso kung ang mga tuwid na linya ay ibinibigay ng mga equation sa pangkalahatang form (6), ang kinakailangan at sapat na kondisyon para sa kanilang parallelism ay ang mga coefficients sa kaukulang kasalukuyang mga coordinate sa kanilang mga equation ay proporsyonal, ibig sabihin
5. Mga kundisyon para sa perpendicularity ng dalawang linya:
a) Sa kaso kung ang mga tuwid na linya ay ibinibigay ng mga equation (4) na may slope, ang kinakailangan at sapat na kondisyon para sa kanilang perpendicularity ay ang kanilang mga slope ay suklian sa lakas at kabaligtaran sa pag-sign, ibig sabihin
Ang kundisyong ito ay maaari ding isulat sa form
k 1 k 2 = -1. (11)
b) Kung ang mga equation ng tuwid na linya ay ibinigay sa pangkalahatang form (6), kung gayon ang kundisyon para sa kanilang perpendicularity (kinakailangan at sapat) ay binubuo sa pagtupad ng pagkakapantay-pantay
A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)
6. Ang mga coordinate ng punto ng intersection ng dalawang tuwid na linya ay matatagpuan sa pamamagitan ng paglutas ng system ng mga equation (6). Ang mga tuwid na linya (6) ay lumusot kung at kung lamang
1. Isulat ang mga equation ng mga tuwid na linya na dumadaan sa puntong M, ang isa ay parallel at ang isa ay patayo sa isang naibigay na tuwid na linya l.