Ang paghahati ng mga natural na numero sa prime at composite na mga numero ay iniuugnay sa sinaunang Greek mathematician na si Pythagoras. At kung susundin mo ang Pythagoras, kung gayon ang hanay ng mga natural na numero ay maaaring nahahati sa tatlong klase: (1) - isang set na binubuo ng isang numero - isa; (2, 3, 5, 7, 11, 13,) - isang hanay ng mga prime; (4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15,) - isang hanay ng mga pinagsama-samang numero.
Ang pangalawang set ay nagtatago ng maraming iba't ibang mga misteryo. Ngunit una, alamin natin kung ano ang isang kalakasan. Binuksan namin ang "Mathematical Encyclopedic Dictionary" (Yu. V. Prokhorov, publishing house "Soviet Encyclopedia", 1988) at basahin:
“Ang prime number ay isang positive integer na mas malaki sa isa, na walang ibang divisors bukod sa sarili nito at isa: 2,3,5,7,11,13,
Ang konsepto ng isang prime number ay pangunahing sa pag-aaral ng divisibility ng natural na mga numero; ibig sabihin, ang pangunahing theorem ng arithmetic ay nagsasaad na ang anumang positibong integer maliban sa 1 ay maaaring natatanging mabulok sa isang produkto ng mga primes (ang pagkakasunud-sunod ng mga kadahilanan ay hindi isinasaalang-alang sa kasong ito). Mayroong walang katapusan na maraming prime (ang proposisyong ito, na tinatawag na Euclid's theorem, ay kilala sa mga sinaunang Greek mathematician, ang patunay nito ay matatagpuan sa Book 9 ng Euclid's Elements). Itinatag ni P. Dirichlet (1837) na sa pag-unlad ng arithmetic a + bx para sa x = 1. , 2, c na may coprime integers a at b ay naglalaman din ng walang katapusang maraming prime.
Upang mahanap ang mga prime number mula 1 hanggang x, ito ay kilala mula sa ika-3 siglo. BC e. salain na paraan ng Eratosthenes. Ang pagsusuri sa sequence (*) ng mga primes mula 1 hanggang x ay nagpapakita na sa pagtaas ng x ito ay nagiging, sa karaniwan, mas bihira. Mayroong di-makatwirang mahabang mga segment ng isang serye ng mga natural na numero, kung saan walang isang solong prime number (Theorem 4). Kasabay nito, mayroong gayong mga primes, ang pagkakaiba sa pagitan ng kung saan ay katumbas ng 2 (ang tinatawag na kambal). Hanggang ngayon (1987), ito ay hindi kilala, siyempre, o isang walang katapusang bilang ng naturang kambal. Ang mga talahanayan ng mga prima sa loob ng unang 11 milyong natural na mga numero ay nagpapakita ng napakalaking kambal (hal. 10,006,427 at 10,006,429).
Ang paghahanap ng distribusyon ng mga prime sa natural na serye ng mga numero ay isang napakahirap na gawain sa teorya ng numero. Ipinapalagay ito bilang pag-aaral ng asymptotic na pag-uugali ng isang function na nagsasaad ng bilang ng mga prime na hindi lalampas sa isang positibong numero x. Malinaw mula sa teorama ni Euclid na para sa. Ipinakilala ni L. Euler ang zeta function noong 1737.
Pinatunayan din niya iyon para sa
Kung saan ang pagsusuma ay isinasagawa sa lahat ng natural na numero, at ang produkto ay kinuha sa lahat ng prime number. Ang pagkakakilanlan na ito at ang mga paglalahat nito ay may pangunahing papel sa teorya ng pamamahagi ng mga prime number. Pagpapatuloy mula dito, napatunayan ni L. Euler na ang serye at ang produkto ay magkaiba sa primes p. Bukod dito, itinatag ni L. Euler na mayroong "maraming" primes, dahil
At sa parehong oras, halos lahat ng mga natural na numero ay pinagsama-sama, dahil sa.
at, para sa anumang (ibig sabihin, kung ano ang lumalaki bilang isang function). Sa kronolohikal, ang susunod na makabuluhang resulta sa pagpino sa teorama ni Chebyshev ay ang tinatawag na. ang asymptotic na batas ng pamamahagi ng mga prime number (J. Hadamard, 1896, C. La Vallée Poussin, 1896), kung saan ang limitasyon ng ratio sa ay katumbas ng 1. Kasunod nito, ang makabuluhang pagsisikap ng mga mathematician ay itinuro upang linawin ang asymptotic na batas ng pamamahagi ng mga prime number. Ang pamamahagi ng mga pangunahing numero ay pinag-aaralan kapwa sa pamamagitan ng mga pamamaraan ng elementarya at sa pamamagitan ng mga pamamaraan ng pagsusuri sa matematika.
Makatuwirang magbigay ng patunay ng ilan sa mga theorems na ibinigay sa artikulo.
Lemma 1. Kung ang GCD (a, b) = 1, may mga integer na x, y na ganoon.
Patunay. Hayaang ang a at b ay mga numerong coprime. Isaalang-alang ang set J ng lahat ng natural na numerong z na kinakatawan sa anyo at piliin ang pinakamaliit na bilang d sa loob nito.
Patunayan natin na ang a ay nahahati sa d. Hatiin natin ang a sa d sa natitira: at hayaan. Dahil, mayroon itong anyo, samakatuwid,
Nakikita natin yan.
Dahil ipinapalagay namin na ang d ay ang pinakamaliit na numero sa J, nakakakuha kami ng isang kontradiksyon. Samakatuwid, ang a ay nahahati ng d.
Patunayan natin sa parehong paraan na ang b ay nahahati ng d. Samakatuwid, d = 1. Ang lemma ay napatunayan.
Theorem 1. Kung ang mga numerong a at b ay coprime at ang produktong bx ay nahahati sa a, kung gayon ang x ay nahahati sa a.
Patunay 1. Kailangan nating patunayan na ang ax ay nahahati sa b at gcd (a, b) = 1, at ang x ay nahahati sa b.
Sa pamamagitan ng Lemma 1, mayroong x, y na ganyan. Pagkatapos, malinaw naman, ay nahahati ng b.
Patunay 2. Isaalang-alang ang set J ng lahat ng natural na numerong z na ang zc ay nahahati sa b. Hayaan ang d ang pinakamaliit na bilang sa J. Madaling makita iyon. Katulad ng patunay ng Lemma 1, napatunayan na ang a ay nahahati ng d at ang b ay nahahati ng d
Lemma 2. Kung ang mga numerong q, p1, p2, pn ay prime at ang produkto ay nahahati sa q, kung gayon ang isa sa mga numerong pi ay katumbas ng q.
Patunay. Una sa lahat, tandaan na kung ang isang prime number p ay nahahati sa q, kung gayon p = q. Ito ay agad na nagpapahiwatig ng assertion ng lemma para sa n = 1. Para sa n = 2 ito ay sumusunod nang direkta mula sa Theorem 1: kung ang p1p2 ay nahahati ng isang prime q u, kung gayon ang p2 ay nahahati ng q (i.e.).
Pinatutunayan namin ang lemma para sa n = 3 bilang mga sumusunod. Hayaan ang p1 p2 p3 ay mahahati ng q. Kung р3 = q, kung gayon ang lahat ay napatunayan. Kung, ayon sa Theorem 1, ang р1 р2 ay nahahati sa q. Kaya, binawasan namin ang kaso n = 3 sa itinuturing na kaso n = 2.
Sa parehong paraan, maaari tayong pumunta mula sa n = 3 hanggang n = 4, pagkatapos ay sa n = 5, at sa pangkalahatan, sa pag-aakala na ang assertion ng lemma ay napatunayan, madali nating mapatunayan ito para sa n = k + 1. Ito ay nakakumbinsi sa atin na ang lemma ay totoo para sa lahat ng n.
Ang pangunahing teorama ng arithmetic. Ang bawat natural na numero ay natatanging nabubulok sa mga pangunahing kadahilanan.
Patunay. Ipagpalagay na mayroong dalawang pangunahing factorization ng isang:
Dahil ang kanang bahagi ay nahahati sa q1, ang kaliwang bahagi ng pagkakapantay-pantay ay dapat ding nahahati sa q1. Ayon sa Lemma 2, ang isa sa mga numero ay katumbas ng q1. Ikansela natin ang magkabilang panig ng pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng q1.
Isagawa natin ang parehong pangangatwiran para sa q2, pagkatapos ay para sa q3, para sa qi. Sa huli, lahat ng salik sa kanan ay magkansela at mananatili ang 1. Natural, walang matitira sa kaliwa kundi isa. Mula dito napagpasyahan namin na ang dalawang pagpapalawak at maaaring magkaiba lamang sa pagkakasunud-sunod ng mga kadahilanan. Ang teorama ay napatunayan.
Ang teorama ni Euclid. Ang primes ay walang katapusan.
Patunay. Ipagpalagay na ang serye ng mga prime ay may hangganan, at tukuyin ang huling prime number sa pamamagitan ng titik N. Buuin ang produkto
Dagdagan natin ito ng 1. Nakukuha natin:
Ang numerong ito, bilang isang integer, ay dapat maglaman ng hindi bababa sa isang prime factor, iyon ay, dapat itong mahahati ng hindi bababa sa isang prime number. Ngunit ang lahat ng mga prime, sa pamamagitan ng pagpapalagay, ay hindi lalampas sa N, habang ang bilang na M + 1 ay hindi mahahati nang walang nalalabi sa alinman sa mga prime na mas mababa sa o katumbas ng N — sa bawat oras na makakakuha tayo ng natitirang 1. Ang teorama ay napatunayan.
Theorem 4. Ang mga bahagi ng pinagsama-samang mga numero sa pagitan ng mga prime na numero ay maaaring may anumang haba. Papatunayan natin ngayon na ang serye ay binubuo ng n magkakasunod na composite number.
Ang mga numerong ito ay direktang magkakasunod sa isang natural na hanay, dahil ang bawat susunod ay 1 higit pa kaysa sa nauna. Ito ay nananatiling patunayan na lahat sila ay pinagsama-sama.
Unang numero
Kahit na, dahil ang parehong mga termino nito ay naglalaman ng isang kadahilanan 2. At anumang kahit na numero na mas malaki kaysa sa 2 ay pinagsama-sama.
Ang pangalawang numero ay binubuo ng dalawang termino, ang bawat isa ay multiple ng 3. Nangangahulugan ito na ang numerong ito ay pinagsama-sama.
Sa katulad na paraan, itinatag namin na ang susunod na numero ay isang multiple ng 4, atbp. Sa madaling salita, ang bawat numero sa aming serye ay naglalaman ng isang kadahilanan na naiiba sa isa at mula sa sarili nito; ito ay samakatuwid ay pinagsama-sama. Ang teorama ay napatunayan.
Ang pagkakaroon ng pag-aaral ng mga patunay ng theorems, ipagpapatuloy namin ang aming pagsasaalang-alang sa artikulo. Sa kanyang teksto, binanggit ang sieve method ng Eratosthenes bilang isang paraan ng paghahanap ng mga prime number. Basahin natin ang tungkol sa pamamaraang ito mula sa parehong diksyunaryo:
“Eratosthenes sieve - isang paraan na binuo ni Eratosthenes at nagbibigay-daan sa iyong alisin ang mga composite na numero mula sa natural na serye. Ang kakanyahan ng salaan ng Eratosthenes ay ang mga sumusunod. Ang isa ay na-cross out. Simple lang ang number two. Ang lahat ng mga natural na numero na mahahati ng 2 ay e-cross out. Numero 3 - ang unang uncrossed na numero ay magiging prime. Pagkatapos ang lahat ng natural na numero na nahahati sa 3 ay e-cross out. Ang numero 5 - ang susunod na hindi natawid na numero - ay magiging prime. Sa pagpapatuloy ng mga katulad na kalkulasyon, makakahanap ka ng isang di-makatwirang mahabang bahagi ng isang pagkakasunud-sunod ng mga prime. Ang salaan ng Eratosthenes bilang isang teoretikal na pamamaraan para sa pag-aaral ng teorya ng numero ay binuo ni W. Brun (1919).
Narito ang pinakamalaking bilang na kasalukuyang kilalang simple:
Ang numerong ito ay may humigit-kumulang pitong daang decimal na lugar. Ang mga kalkulasyon kung saan itinatag na ang numerong ito ay simple ay isinagawa sa mga modernong computer.
"Ang Riemann zeta function, -function, ay isang analytic function ng isang kumplikadong variable, para sa σ> 1, ito ay ganap at pare-parehong tinutukoy ng Dirichlet series:
Para sa σ> 1, ang representasyon sa anyo ng isang produkto ng Euler ay wasto:
(2) kung saan ang p ay sumasaklaw sa lahat ng prime number.
Ang pagkakakilanlan ng serye (1) at produkto (2) ay isa sa mga pangunahing katangian ng zeta function. Pinapayagan ka nitong makakuha ng iba't ibang mga relasyon na nagkokonekta sa zeta function na may pinakamahalagang number-theoretic function. Samakatuwid, ang zeta function ay gumaganap ng isang mahalagang papel sa teorya ng numero.
Ang zeta function ay ipinakilala bilang isang function ng isang tunay na variable ni L. Euler (1737, publication 1744), na nagpahiwatig ng lokasyon nito sa produkto (2). Pagkatapos ang zeta function ay isinasaalang-alang ni P. Dirichlet at lalo na matagumpay ni P. L. Chebyshev na may kaugnayan sa pag-aaral ng batas ng pamamahagi ng mga prime number. Gayunpaman, ang pinakamalalim na katangian ng zeta function ay natuklasan pagkatapos ng mga gawa ni B. Riemann, na sa unang pagkakataon noong 1859 ay isinasaalang-alang ang zeta function bilang isang function ng isang complex variable, ipinakilala rin niya ang pangalang "zeta function" at ang notasyon "" ".
Ngunit ang tanong ay lumitaw: anong praktikal na aplikasyon ang mayroon para sa lahat ng gawaing ito sa primes? Sa katunayan, halos walang gamit para sa kanila, ngunit mayroong isang lugar kung saan ang mga prime at ang kanilang mga katangian ay nalalapat hanggang sa araw na ito. Ito ay cryptography. Dito ginagamit ang mga prime number sa mga encryption system na walang key transfer.
Sa kasamaang palad, iyon lang ang dapat malaman tungkol sa primes. Marami ring misteryo ang natitira. Halimbawa, hindi alam kung ang hanay ng mga prime na maaaring katawanin bilang dalawang parisukat ay walang katapusan.
"SIMPLE PRIME NUMBERS".
Nagpasya akong gumawa ng kaunting pagsasaliksik upang makahanap ng mga sagot sa ilang tanong tungkol sa primes. Una sa lahat, nag-compile ako ng program na naglalabas ng lahat ng sequential primes na mas mababa sa 1,000,000,000. Bukod pa rito, nag-compile ako ng program na tumutukoy kung prime ang ipinasok na numero. Upang pag-aralan ang mga problema ng mga prime number, gumawa ako ng graph na nagpapakita ng dependence ng value ng isang prime number sa ordinal number. Bilang karagdagang plano sa pananaliksik, nagpasya akong gamitin ang artikulo ni IS Zeltser at BA Kordemsky "Amusing flocks of prime numero." Tinukoy ng mga may-akda ang mga sumusunod na landas ng pananaliksik:
1. 168 na lugar ng unang libong natural na mga numero ay inookupahan ng mga prime number. Sa mga ito, 16 na numero ang palindromic - bawat isa ay katumbas ng baligtad: 11, 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919, 9.
Mayroong kabuuang 1,061 apat na digit na prime, at wala sa mga ito ang palindromic.
Mayroong maraming limang-digit na simpleng palindromic na numero. Kasama nila ang gayong mga kagandahan: 13331, 15551, 16661, 19991. Walang alinlangan, may mga kawan ng ganitong uri:,. Ngunit gaano karaming mga specimen ang mayroon sa bawat naturang kawan?
3 + x + x + x + 3 = 6 + 3x = 3 (2 + x)
9 + x + x + x + 9 = 18 + 3x = 3 (6 + x)
Makikita na ang kabuuan ng mga digit ng mga numero at nahahati sa 3, samakatuwid ang mga numerong ito mismo ay nahahati din ng 3.
Tulad ng para sa mga numero ng form, kasama ng mga ito ang mga pangunahing numero ay 72227, 75557, 76667, 78887, 79997.
2. Sa unang libong numero ay mayroong limang "quartets" na binubuo ng magkakasunod na prime number, ang mga huling digit na bumubuo ng sequence 1, 3, 7, 9: (11, 13, 17, 19), (101, 103, 107, 109 ), (191, 193, 197, 199), (211, 223, 227, 229), (821, 823, 827, 829).
Gaano karaming mga quartet ang mayroon sa mga n-digit na prime para sa n> 3?
Sa tulong ng programang sinulat ko, natagpuan ang isang quartet na hindi nakuha ng mga may-akda: (479, 467, 463, 461) at quartets para sa n = 4, 5, 6. Para sa n = 4, mayroong 11 quartets
3. Isang kawan ng siyam na pangunahing numero: 199, 409, 619, 829, 1039, 1249, 1459, 1669, 1879 - kaakit-akit hindi lamang dahil ito ay isang arithmetic progression na may pagkakaiba na 210, kundi pati na rin ang kakayahang magkasya sa siyam mga cell upang, na ang isang magic square ay nabuo na may pare-parehong katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng dalawang prime number: 3119 - 2:
Ang susunod, ikasampung miyembro ng itinuturing na progression 2089 ay isa ring prime number. Kung aalisin mo ang numero 199 mula sa kawan, ngunit isama ang 2089, kung gayon sa komposisyon na ito ang kawan ay maaari ring bumuo ng isang magic square - isang paksa para sa paghahanap.
Dapat tandaan na may iba pang mga magic square na binubuo ng mga prime number:
1847 6257 6197 3677 1307 1877 2687
2267 1427 5987 5927 1667 2027 4547
2897 947 2357 4517 3347 5867 3917
3557 4157 4397 3407 2417 2657 3257
4337 5717 3467 2297 4457 1097 2477
4817 4767 827 887 5147 5387 1997
4127 557 617 3137 5507 4937 4967
Ang iminungkahing parisukat ay kawili-wili dahil
1. Ito ay isang 7x7 magic square;
2. Naglalaman ito ng 5x5 magic square;
3. Ang magic square 5x5 ay naglalaman ng magic square na 3x3;
4. Ang lahat ng mga parisukat na ito ay may isang karaniwang sentral na numero - 3407;
5. Lahat ng 49 na numero ay kasama sa 7x7 square end na may 7;
6. Ang lahat ng 49 na numero na kasama sa 7x7 square ay prime number;
7. Ang bawat isa sa 49 na numero na kasama sa 7x7 square ay maaaring katawanin bilang 30n + 17.
Ang mga programang ginamit ay isinulat ko sa programming language na Dev-C ++ at ipinakita ko ang kanilang mga teksto sa apendiks (tingnan ang mga file na may extension. Cp). Bilang karagdagan sa lahat ng nasa itaas, nagsulat ako ng isang programa na nagde-decompose ng mga sunud-sunod na natural na numero sa mga prime factor (tingnan ang Divisors 1. cp) at isang program na nagde-decompose lamang ng inilagay na numero sa prime factor (tingnan ang Divisors 2. cp). Dahil ang mga programang ito sa pinagsama-samang anyo ay tumatagal ng masyadong maraming espasyo, ang kanilang mga teksto lamang ang ibinigay. Gayunpaman, maaaring i-compile ng sinuman ang mga ito kung mayroon silang angkop na programa.
MGA TALAMBUHAY NG MGA SCIENTIST NA GUMAGAWA SA MGA PRIME NUMBERS
EUCLIDES
(mga 330 BC - mga 272 BC)
Napakakaunting maaasahang impormasyon tungkol sa buhay ng pinakasikat na matematiko ng Antiquity. Ito ay pinaniniwalaan na siya ay nag-aral sa Athens, na nagpapaliwanag ng kanyang napakatalino na kasanayan sa geometry, na binuo ng paaralan ng Plato. Gayunpaman, lumilitaw na hindi siya pamilyar sa mga isinulat ni Aristotle. Nagturo siya sa Alexandria, kung saan nakakuha siya ng mataas na papuri para sa kanyang mga aktibidad sa pagtuturo noong panahon ng paghahari ni Ptolemy I Soter. Mayroong isang alamat na hiniling ng tsar na ito na tumuklas ng isang paraan para makamit niya ang mabilis na tagumpay sa matematika, kung saan sinagot ni Euclid na walang mga royal na paraan sa geometry (gayunpaman, ang isang katulad na kuwento ay sinabi rin tungkol kay Menchem, na sinasabing tinanong halos pareho ni Alexander the Great). Napanatili ng tradisyon ang alaala ni Euclid bilang isang mabait at mapagkumbaba na tao. Si Euclid ang may-akda ng mga treatise sa iba't ibang paksa, ngunit ang kanyang pangalan ay pangunahing nauugnay sa isa sa mga treatise na tinatawag na "Beginnings". Ito ay tungkol sa isang koleksyon ng mga gawa ng mga mathematician na nagtrabaho bago siya (ang pinakatanyag sa kanila ay Hippocrates of Kos), ang mga resulta kung saan dinala niya sa pagiging perpekto salamat sa kanyang kakayahang mag-generalize at masipag.
EULER LEONARD
(Basel, Switzerland 1707 - St. Petersburg, 1783)
Mathematician, mekaniko at physicist. Ipinanganak sa pamilya ng isang mahirap na pastor na si Paul Euler. Nag-aral muna mula sa kanyang ama, at noong 1720–24 sa Unibersidad ng Basel, kung saan dumalo siya sa mga lektura sa matematika ni I. Bernoulli.
Sa pagtatapos ng 1726, inanyayahan si Euler sa St. Petersburg Academy of Sciences at noong Mayo 1727 ay dumating sa St. Petersburg. Sa bagong organisadong akademya, natagpuan ni Euler ang mga kanais-nais na kondisyon para sa aktibidad na pang-agham, na nagpapahintulot sa kanya na agad na magsimulang mag-aral ng matematika at mekanika. Sa loob ng 14 na taon ng unang yugto ng Petersburg ng kanyang buhay, naghanda si Euler ng humigit-kumulang 80 mga gawa para sa publikasyon at inilathala ng higit sa 50. Sa Petersburg, nag-aral siya ng Russian.
Lumahok si Euler sa maraming lugar ng St. Petersburg Academy of Sciences. Nag-lecture siya sa mga mag-aaral ng akademikong unibersidad, lumahok sa iba't ibang teknikal na eksaminasyon, nagtrabaho sa pagguhit ng mga mapa ng Russia, isinulat ang pampublikong magagamit na "Gabay sa Arithmetic" (1738–40). Sa isang espesyal na komisyon mula sa akademya, naghanda si Euler para sa publikasyong Marine Science (1749), isang pangunahing gawain sa teorya ng paggawa ng barko at pag-navigate.
Noong 1741, tinanggap ni Euler ang alok ng hari ng Prussian na si Frederick II na lumipat sa Berlin, kung saan muling ayusin ang Academy of Sciences. Sa Berlin Academy of Sciences, kinuha ni Euler ang posisyon ng direktor ng klase ng matematika at miyembro ng lupon, at pagkamatay ng unang pangulo nito, si P. Maupertuis, sa loob ng ilang taon (mula 1759) siya talaga ang namuno sa akademya. Sa loob ng 25 taon ng kanyang buhay sa Berlin, naghanda siya ng humigit-kumulang 300 mga gawa, kabilang ang maraming malalaking monograp.
Habang naninirahan sa Berlin, hindi huminto si Euler sa masinsinang pagtatrabaho para sa Petersburg Academy of Sciences, na pinanatili ang titulo ng honorary member nito. Nagsagawa siya ng malawak na pang-agham at pang-agham-organisasyon na sulat, sa partikular, nakipag-ugnayan siya kay M. Lomonosov, na lubos niyang pinahahalagahan. In-edit ni Euler ang mathematical department ng Russian academic scientific organ, kung saan sa panahong ito ay naglathala siya ng halos kasing dami ng mga artikulo tulad ng sa "Memoirs" ng Berlin Academy of Sciences. Siya kinuha ng isang aktibong bahagi sa pagsasanay ng Russian mathematicians; ang hinaharap na mga akademiko na sina S. Kotelnikov, S. Rumovsky at M. Sofronov ay ipinadala sa Berlin upang mag-aral sa ilalim ng kanyang pamumuno. Nagbigay ng malaking tulong si Euler sa St. Petersburg Academy of Sciences, pagkuha ng siyentipikong literatura at kagamitan para dito, pakikipagnegosasyon sa mga kandidato para sa mga posisyon sa Academy, atbp.
Noong Hulyo 17 (28), 1766, bumalik si Euler sa St. Petersburg kasama ang kanyang pamilya. Sa kabila ng kanyang katandaan at halos ganap na pagkabulag, nagtrabaho siya nang produktibo hanggang sa katapusan ng kanyang buhay. Sa loob ng 17 taon ng kaniyang ikalawang pananatili sa St. Petersburg, naghanda siya ng mga 400 obra, kabilang ang ilang malalaking aklat. Patuloy na lumahok si Euler sa gawaing pang-organisasyon ng akademya. Noong 1776 siya ay isa sa mga eksperto sa proyekto ng isang solong-arko na tulay sa kabila ng Neva, na iminungkahi ni I. Kulibin, at isa sa buong komisyon ang nagbigay ng malawak na suporta sa proyekto.
Ang mga merito ni Euler bilang isang kilalang siyentipiko at tagapag-ayos ng siyentipikong pananaliksik ay lubos na pinahahalagahan kahit sa panahon ng kanyang buhay. Bilang karagdagan sa mga akademya ng St. Petersburg at Berlin, miyembro siya ng pinakamalaking institusyong pang-agham: ang Paris Academy of Sciences, ang Royal Society of London at iba pa.
Isa sa mga tanda ng trabaho ni Euler ay ang kanyang pambihirang produktibo. Sa kanyang buhay lamang, humigit-kumulang 550 sa kanyang mga libro at artikulo ang nai-publish (ang listahan ng mga gawa ni Euler ay naglalaman ng mga 850 mga pamagat). Noong 1909, nagsimulang ilathala ng Swiss Natural Science Society ang kumpletong mga gawa ni Euler, na natapos noong 1975; ito ay binubuo ng 72 tomo. Ang malaking interes ay ang napakalaking pang-agham na sulat ni Euler (humigit-kumulang 3000 titik), na sa ngayon ay bahagyang nai-publish lamang.
Ang hanay ng mga pag-aaral ni Euler ay hindi pangkaraniwang malawak, na sumasaklaw sa lahat ng mga departamento ng kontemporaryong matematika at mekanika, ang teorya ng pagkalastiko, matematikal na pisika, optika, teorya ng musika, teorya ng makina, ballistics, agham ng dagat, insurance, atbp. matematika, ang natitirang 2/5 higit sa lahat sa mga aplikasyon nito. Isinaayos ng siyentipiko ang kanyang mga resulta at ang mga resulta na nakuha ng iba sa isang bilang ng mga klasikal na monograp, na isinulat nang may kamangha-manghang kalinawan at binigyan ng mahahalagang halimbawa. Ito ay, halimbawa, "Mechanics, or the Science of Motion, Expounded Analytically" (1736), "Introduction to Analysis" (1748), "Differential Calculus" (1755), "Theory of Motion of a Rigid Body" (1765). ), "Universal Arithmetic" (1768–69), na dumaan sa humigit-kumulang 30 edisyon sa 6 na wika, "Integral Calculus" (1768–94), atbp. Noong ika-18 siglo. , at bahagyang noong ika-19 na siglo. napakalaking katanyagan ang natamo ng magagamit ng publiko na "Mga liham sa iba't ibang pisikal at pilosopikal na mga bagay, na isinulat sa isang prinsesa ng Aleman. "(1768–74), na nakatiis ng mahigit 40 edisyon sa 10 wika. Karamihan sa nilalaman ng mga monograp ni Euler ay pumasok sa mga aklat-aralin para sa mas mataas at bahagyang sekondaryang paaralan. Imposibleng ilista ang lahat ng theorems, method at formula ng Euler na ginamit hanggang ngayon, kung saan iilan lamang ang makikita sa literature sa ilalim ng kanyang pangalan [halimbawa, ang Euler polygonal method, Euler substitutions, Euler's constant, Euler's equation, Euler's formulas. , Euler's function, Euler's number, Euler's formula - Maclaurin, Euler - Fourier formula, Euler na katangian, Euler integrals, Euler angles].
Sa Mechanics, si Euler ang unang nagpaliwanag ng dinamika ng isang punto sa tulong ng mathematical analysis: ang malayang paggalaw ng isang punto sa ilalim ng pagkilos ng iba't ibang pwersa kapwa sa kawalan at sa isang medium na may pagtutol; paggalaw ng isang punto kasama ang isang ibinigay na linya o kasama ang isang ibinigay na ibabaw; kilusan sa ilalim ng pagkilos ng mga sentral na pwersa. Noong 1744 una niyang binalangkas nang tama ang mekanikal na prinsipyo ng hindi bababa sa pagkilos at ipinakita ang mga unang aplikasyon nito. Sa "Theory of motion of a rigid body" binuo ni Euler ang kinematics at dynamics ng isang matibay na katawan at ibinigay ang mga equation ng pag-ikot nito sa paligid ng isang nakapirming punto, na naglalagay ng pundasyon para sa teorya ng mga gyroscope. Sa kanyang teorya ng spaceship, gumawa si Euler ng mahalagang kontribusyon sa teorya ng katatagan. Ang mga natuklasan ni Euler ay makabuluhan sa celestial mechanics (halimbawa, sa theory of the motion of the Moon), sa mechanics ng tuluy-tuloy na media (ang mga pangunahing equation ng paggalaw ng isang perpektong likido sa anyo ng Euler at sa tinatawag na Lagrange mga variable, oscillations ng isang gas sa mga tubo, atbp.). Sa optika, ibinigay ni Euler (1747) ang formula para sa isang biconvex lens at iminungkahi ang isang paraan para sa pagkalkula ng refractive index ng isang medium. Si Euler ay sumunod sa wave theory ng liwanag. Naniniwala siya na ang iba't ibang kulay ay tumutugma sa iba't ibang wavelength ng liwanag. Iminungkahi ni Euler ang mga pamamaraan para sa pag-aalis ng chromatic aberration ng mga lente at nagbigay ng mga pamamaraan para sa pagkalkula ng mga optical unit ng isang mikroskopyo. Isang malawak na cycle ng trabaho, na nagsimula noong 1748, Euler nakatuon sa matematika physics: mga problema ng panginginig ng boses ng isang string, plato, lamad, atbp Ang lahat ng mga pag-aaral stimulated ang pagbuo ng teorya ng kaugalian equation, tinatayang pamamaraan ng pagsusuri, espesyal. function, differential geometry, atbp. Marami sa mga pagtuklas sa matematika ni Euler ay nakapaloob sa mga gawang ito.
Ang pangunahing negosyo ni Euler bilang isang mathematician ay ang pagbuo ng mathematical analysis. Inilatag niya ang mga pundasyon ng ilang mga matematikal na disiplina, na nasa panimulang anyo lamang o ganap na wala sa calculus ng infinitesimal I. Newton, G. Leibniz, Bernoulli brothers. Kaya, si Euler ang unang nagpakilala ng mga function ng isang kumplikadong argumento at nag-imbestiga sa mga katangian ng mga pangunahing elementarya na pag-andar ng isang kumplikadong variable (exponential, logarithmic at trigonometric function); sa partikular, nagmula siya ng mga formula na nag-uugnay sa mga function ng trigonometriko sa mga exponential. Ang gawain ni Euler sa direksyong ito ay naglatag ng pundasyon para sa teorya ng mga pag-andar ng isang kumplikadong variable.
Si Euler ang lumikha ng calculus of variations, na itinakda sa akdang "Ang paraan ng paghahanap ng mga hubog na linya na may mga katangian ng maximum o minimum. "(1744). Ang pamamaraan kung saan nakuha ni Euler noong 1744 ang kinakailangang kondisyon para sa extremum ng isang functional, ang Euler equation, ay ang prototype ng mga direktang pamamaraan ng calculus of variations noong ika-20 siglo. Nilikha ni Euler ang teorya ng mga ordinaryong differential equation bilang isang malayang disiplina at inilatag ang mga pundasyon para sa teorya ng partial differential equation. Dito nakagawa siya ng malaking bilang ng mga pagtuklas: ang klasikal na paraan ng paglutas ng mga linear equation na may mga pare-parehong coefficient, ang paraan ng pagkakaiba-iba ng mga di-makatwirang constants, ang pagpapaliwanag ng mga pangunahing katangian ng Riccati equation, ang pagsasama ng mga linear equation na may variable na coefficient gamit ang infinite series , pamantayan para sa mga singular na solusyon, ang teorya ng integrating factor, iba't ibang tinatayang pamamaraan at isang bilang ng mga diskarte para sa paglutas ng mga partial differential equation. Nakolekta ni Euler ang isang makabuluhang bahagi ng mga resultang ito sa kanyang "Integral Calculus".
Pinayaman din ni Euler ang differential at integral calculus sa makitid na kahulugan ng salita (halimbawa, ang doktrina ng pagbabago ng mga variable, ang theorem sa homogenous na function, ang konsepto ng double integral, at ang pagkalkula ng maraming espesyal na integral). Sa Differential Calculus, ipinahayag at sinuportahan ni Euler ng mga halimbawa ang paninindigan ng pagpapayo ng paggamit ng magkakaibang serye at mga iminungkahing pamamaraan para sa pangkalahatan na pagbubuod ng mga serye, na inaasahan ang mga ideya ng modernong mahigpit na teorya ng divergent na serye, na nilikha sa pagpasok ng ika-19 at ika-20 siglo. . Bilang karagdagan, nakakuha si Euler ng maraming konkretong resulta sa teorya ng serye. Natuklasan niya ang tinatawag na. ang Euler - Maclaurin summation formula, ay nagmungkahi ng pagbabago ng serye na nagtataglay ng kanyang pangalan, tinutukoy ang mga kabuuan ng isang malaking bilang ng mga serye at ipinakilala ang mga bagong mahahalagang uri ng serye (halimbawa, trigonometriko na serye) sa matematika. Ang mga pag-aaral ni Euler sa teorya ng patuloy na mga praksiyon at iba pang mga prosesong walang hanggan ay katabi rin nito.
Si Euler ang nagtatag ng teorya ng mga espesyal na tungkulin. Siya ang unang tumingin sa sine at cosine bilang mga function, hindi bilang mga segment sa isang bilog. Nakuha niya ang halos lahat ng mga klasikal na pagpapalawak ng elementarya na mga function sa walang katapusang serye at mga produkto. Sa kanyang mga gawa, nilikha ang teorya ng γ-function. Inimbestigahan niya ang mga katangian ng mga elliptic integral, hyperbolic at cylindrical function, ang ζ-function, ilang θ-function, ang integral logarithm, at mahahalagang klase ng mga espesyal na polynomial.
Tulad ng nabanggit ni P. Chebyshev, sinimulan ni Euler ang lahat ng mga pagsisiyasat na bumubuo sa pangkalahatang bahagi ng teorya ng numero. Halimbawa, pinatunayan ni Euler ang isang bilang ng mga pahayag na ginawa ni P. Fermat (halimbawa, ang maliit na teorama ni Fermat), binuo ang mga pundasyon ng teorya ng mga nalalabi sa kapangyarihan at ang teorya ng mga parisukat na anyo, natuklasan (ngunit hindi napatunayan) ang batas ng parisukat na katumbasan. , at nag-imbestiga ng ilang problema sa pagsusuri ng Diophantine. Sa kanyang mga gawa sa paghahati ng mga numero sa mga termino at sa teorya ng mga prime number, si Euler ang unang gumamit ng mga pamamaraan ng pagsusuri, at sa gayo'y naging lumikha ng analytic theory ng mga numero. Sa partikular, ipinakilala niya ang ζ-function at pinatunayan ang tinatawag na. Ang pagkakakilanlan ni Euler na nagkokonekta ng mga prime number sa lahat ng natural na numero.
Ang mga serbisyo ni Euler ay mahusay din sa iba pang larangan ng matematika. Sa algebra, nai-publish niya ang mga papeles sa solusyon sa mga radical ng mga equation ng mas mataas na degree at sa mga equation sa dalawang hindi alam, pati na rin ang tinatawag na. Ang apat na parisukat na pagkakakilanlan ni Euler. Si Euler ay gumawa ng mga makabuluhang pagsulong sa analytic geometry, lalo na ang teorya ng second-order surface. Sa differential geometry, pinag-aralan niya nang detalyado ang mga katangian ng mga geodesic na linya, sa unang pagkakataon na inilapat ang mga natural na equation ng mga kurba, at pinaka-mahalaga, inilatag ang mga pundasyon ng teorya ng mga ibabaw. Ipinakilala niya ang konsepto ng mga pangunahing direksyon sa isang punto sa isang ibabaw, pinatunayan ang kanilang orthogonality, nakuha ang isang formula para sa curvature ng anumang normal na seksyon, nagsimulang pag-aralan ang pagbuo ng mga ibabaw, atbp.; sa isang posthumously nai-publish na trabaho (1862), siya bahagyang anticipated ang pag-aaral ng K. Gauss sa intrinsic geometry ng mga ibabaw. Nakipag-usap din si Euler sa mga indibidwal na katanungan ng topology at pinatunayan, halimbawa, ang isang mahalagang teorama sa convex polytopes. Si Euler ang mathematician ay madalas na inilarawan bilang isang henyong "calculator". Sa katunayan, siya ay isang hindi maunahang master ng mga pormal na kalkulasyon at pagbabago, sa kanyang mga akda maraming mga mathematical formula at simbolismo ang nakatanggap ng modernong hitsura (halimbawa, siya ang nagmamay-ari ng notasyon para sa e at π). Gayunpaman, ipinakilala din ni Euler ang ilang malalalim na ideya sa agham, na ngayon ay mahigpit na pinatutunayan at nagsisilbing modelo para sa lalim ng pagtagos sa paksa ng pananaliksik.
Ayon kay P. Laplace, si Euler ang guro ng mga mathematician noong ikalawang kalahati ng ika-18 siglo.
DIRICHLET PETER GUSTAV
(Duren, Germany ngayon, 1805 - Göttingen, ibid., 1859)
Siya-aral sa Paris, pinananatili friendly na relasyon sa mga natitirang mathematicians, sa partikular na sa Fourier. Pagkatapos matanggap ang kanyang degree, siya ay isang propesor sa mga unibersidad ng Breslau (1826 - 1828), Berlin (1828 - 1855) at Göttingen, kung saan siya ay naging pinuno ng departamento ng matematika pagkatapos ng pagkamatay ng siyentipiko na si Karl Friedrich Gauss. Ang kanyang pinakanamumukod-tanging kontribusyon sa agham ay may kinalaman sa teorya ng numero, pangunahin ang pag-aaral ng serye. Pinahintulutan siya nitong bumuo ng teorya ng serye na iminungkahi ni Fourier. Gumawa siya ng sarili niyang bersyon ng patunay ng teorama ni Fermat, gumamit ng mga analytical function upang malutas ang mga problema sa aritmetika at ipinakilala ang pamantayan ng convergence para sa serye. Sa larangan ng mathematical analysis, pinagbuti niya ang kahulugan at konsepto ng mga function, sa larangan ng theoretical mechanics, nakatuon siya sa pag-aaral ng katatagan ng mga sistema at sa Newtonian na konsepto ng potensyal.
CHEBYSHEV PAFNUTY LVOVICH
Russian mathematician, tagapagtatag ng St. Petersburg scientific school, academician ng St. Petersburg Academy of Sciences (1856). Inilatag ng mga gawa ni Chebyshev ang pundasyon para sa pagbuo ng maraming bagong sangay ng matematika.
Ang pinakamaraming mga gawa ni Chebyshev ay nasa larangan ng mathematical analysis. Sa partikular, siya ay nakatuon sa isang disertasyon sa karapatang magbigay ng panayam, kung saan sinisiyasat ni Chebyshev ang integrability ng ilang hindi makatwiran na mga expression sa algebraic function at logarithms. Inilaan din ni Chebyshev ang ilang iba pang mga gawa sa pagsasama-sama ng mga algebraic function. Sa isa sa kanila (1853), nakuha ang isang kilalang teorama sa mga kondisyon ng pagkakaisa sa elementarya na pag-andar ng isang differential binomial. Ang isang mahalagang lugar ng pananaliksik sa pagsusuri sa matematika ay ang kanyang trabaho sa pagbuo ng isang pangkalahatang teorya ng orthogonal polynomials. Ang dahilan para sa paglikha nito ay ang parabolic interpolation sa pamamagitan ng least squares method. Ang pananaliksik ni Chebyshev sa problema ng mga sandali at sa mga formula ng quadrature ay magkadugtong sa parehong bilog ng mga ideya. Isinasaisip ang pagbabawas ng mga kalkulasyon, iminungkahi ni Chebyshev (1873) na isaalang-alang ang mga quadrature formula na may pantay na coefficients (tinatayang pagsasama). Ang pananaliksik sa mga formula ng quadrature at sa teorya ng interpolation ay malapit na nauugnay sa mga gawain na ibinigay kay Chebyshev sa departamento ng artilerya ng komite ng siyentipikong militar.
Sa teorya ng probabilidad, si Chebyshev ay kinikilala sa sistematikong pagpapakilala ng mga random na variable sa pagsasaalang-alang at ang paglikha ng isang bagong paraan ng pagpapatunay ng limitasyon ng theorems ng probability theory - ang tinatawag na. paraan ng mga sandali (1845, 1846, 1867, 1887). Pinatunayan niya ang batas ng malalaking numero sa isang napaka-pangkalahatang anyo; kasabay nito, ang kanyang patunay ay kapansin-pansin sa pagiging simple at elementarya nito. Hindi nakumpleto ni Chebyshev ang pag-aaral ng mga kondisyon para sa convergence ng distribution functions ng mga sums ng independent random variables sa normal na batas. Gayunpaman, sa pamamagitan ng ilang mga karagdagan sa mga pamamaraan ni Chebyshev, nagtagumpay si A.A.Markov sa paggawa nito. Nang walang mahigpit na mga konklusyon, binalangkas din ni Chebyshev ang posibilidad ng pagpino sa limitasyong teorem na ito sa anyo ng mga asymptotic na pagpapalawak ng function ng pamamahagi ng kabuuan ng mga independiyenteng termino sa mga kapangyarihan ng n¾1 / 2, kung saan ang n ay ang bilang ng mga termino. Ang gawain ni Chebyshev sa teorya ng probabilidad ay bumubuo ng isang mahalagang yugto sa pag-unlad nito; bilang karagdagan, sila ang batayan kung saan lumaki ang Russian school of probability theory, sa una na binubuo ng mga direktang estudyante ni Chebyshev.
RIEMAN GEORG FRIEDRIG BERNHARD
(Breselenz, Lower Saxony, 1826 - Selasca, malapit sa Intra, Italy 66)
Aleman na matematiko. Noong 1846 pumasok siya sa Unibersidad ng Göttingen: nakinig siya sa mga lektura ni K. Gauss, na marami sa mga ideya ay binuo niya mamaya. Noong 1847–49 dumalo siya sa mga lektura sa Unibersidad ng Berlin; sa 1849 siya ay bumalik sa Gottingen, kung saan siya ay naging malapit sa Gauss's collaborator, ang physicist W. Weber, na awakened sa kanya ng isang malalim na interes sa mga katanungan ng matematika natural na agham.
Noong 1851 ipinagtanggol niya ang kanyang disertasyong pang-doktor na "Mga Pundasyon ng pangkalahatang teorya ng mga pag-andar ng isang kumplikadong variable." Mula 1854 assistant professor, mula 1857 professor sa University of Göttingen.
Malaki ang impluwensya ng mga gawa ni Riemann sa pag-unlad ng matematika sa ikalawang kalahati ng ika-19 na siglo. at sa XX siglo. Sa kanyang disertasyon ng doktor, inilatag ni Riemann ang pundasyon para sa geometriko na direksyon ng teorya ng analytic function; ipinakilala niya ang tinatawag na mga ibabaw ng Riemann, na mahalaga sa pag-aaral ng mga multivalued function, binuo ang teorya ng conformal mappings at ibinigay sa koneksyon na ito ang mga pangunahing ideya ng topology, pinag-aralan ang mga kondisyon para sa pagkakaroon ng analytic function sa loob ng mga domain ng iba't ibang uri (ang tinatawag na Dirichlet na prinsipyo), atbp. Ang mga pamamaraan na binuo ni Riemann ay malawakang ginamit sa kanyang karagdagang mga gawa sa teorya ng algebraic function at integral, sa analytic theory ng differential equation (sa partikular, mga equation na tumutukoy sa hypergeometric functions), sa analytic number theory (halimbawa, ipinahiwatig ni Riemann ang koneksyon sa pagitan ng pamamahagi ng mga primes at ng mga katangian ng ζ-function, lalo na sa pamamahagi ng mga zero nito sa kumplikadong domain - ang tinatawag na Riemann hypothesis, ang bisa nito ay may hindi pa napatunayan), atbp.
Sa isang bilang ng mga gawa, sinisiyasat ni Riemann ang pagkabulok ng mga function sa trigonometric series at, kaugnay nito, tinukoy ang kinakailangan at sapat na mga kondisyon para sa integrability sa kahulugan ng Riemann, na mahalaga para sa teorya ng mga set at function ng isang tunay na variable. Iminungkahi rin ni Riemann ang mga pamamaraan para sa pagsasama ng mga partial differential equation (halimbawa, gamit ang tinatawag na Riemann invariants at ang Riemann function).
Sa kanyang tanyag na panayam noong 1854 "On the hypotheses underlying geometry" (1867), si Riemann ay nagbigay ng pangkalahatang ideya ng isang mathematical space (sa kanyang mga salita, "manifolds"), kabilang ang functional at topological spaces. Dito ay itinuring niya ang geometry sa isang malawak na kahulugan bilang ang doktrina ng tuluy-tuloy na n-dimensional na manifold, iyon ay, mga koleksyon ng anumang homogenous na mga bagay at, pag-generalize ng mga resulta ni Gauss sa intrinsic na geometry ng isang ibabaw, ay nagbigay ng pangkalahatang konsepto ng isang linear na elemento (ang kaugalian ng distansya sa pagitan ng mga punto ng isang manifold), sa gayon ay tinutukoy ang tinatawag na mga puwang ng Finsler. Isinaalang-alang ni Riemann nang mas detalyado ang tinatawag na mga puwang ng Riemannian, na ginagawang pangkalahatan ang mga puwang ng mga geometry ng Euclid, Lobachevsky at Riemann's elliptic geometry, na nailalarawan sa pamamagitan ng isang espesyal na uri ng linear na elemento, at binuo ang doktrina ng kanilang curvature. Tinatalakay ang aplikasyon ng kanyang mga ideya sa pisikal na espasyo, itinanong ni Riemann ang tanong ng "mga dahilan para sa mga katangian ng panukat" nito, na parang inaabangan ang ginawa sa pangkalahatang teorya ng relativity.
Ang mga ideya at pamamaraan na iminungkahi ni Riemann ay nagsiwalat ng mga bagong paraan sa pagbuo ng matematika at natagpuan ang aplikasyon sa mekanika at pangkalahatang relativity. Namatay ang siyentipiko noong 1866 mula sa tuberculosis.
Sa artikulong ito, tutuklasin natin prime at composite na mga numero... Una, magbibigay kami ng mga kahulugan ng prime at composite na mga numero, pati na rin magbigay ng mga halimbawa. Pagkatapos nito, papatunayan natin na mayroong walang katapusang maraming prime. Susunod, isusulat namin ang isang talahanayan ng mga primes, at isaalang-alang ang mga paraan ng pag-compile ng isang talahanayan ng mga primes, na may partikular na atensyon sa pamamaraan na tinatawag na salaan ng Eratosthenes. Sa konklusyon, i-highlight namin ang mga pangunahing punto na kailangang isaalang-alang kapag nagpapatunay na ang isang naibigay na numero ay prime o composite.
Pag-navigate sa pahina.
Prime at Composite Numbers - Mga Kahulugan at Halimbawa
Ang mga prime number at composite na numero ay tumutukoy sa mga mas malaki sa isa. Ang nasabing mga integer, depende sa bilang ng kanilang mga positibong divisors, ay nahahati sa prime at composite na mga numero. Para maintindihan mga kahulugan ng prime at composite na mga numero, kailangan mong magkaroon ng magandang ideya kung ano ang mga divisors at multiple.
Kahulugan.
Pangunahing numero Ay mga integer, malaki, na mayroon lamang dalawang positibong divisors, katulad ng kanilang mga sarili at 1.
Kahulugan.
Mga pinagsama-samang numero Ang mga buong numero, malalaki, na mayroong hindi bababa sa tatlong positibong divisors.
Hiwalay, tandaan namin na ang numero 1 ay hindi nalalapat sa alinman sa prime o composite na mga numero. Ang unit ay mayroon lamang isang positibong divisor, na ang numero 1 mismo. Ganito ang pagkakaiba ng numero 1 sa lahat ng iba pang positibong integer na mayroong hindi bababa sa dalawang positibong divisor.
Dahil ang mga positibong integer ay, at ang yunit ay mayroon lamang isang positibong divisor, maaari kang magbigay ng iba pang mga pormulasyon ng mga tunog na kahulugan ng prime at composite na mga numero.
Kahulugan.
Mga simpleng numero ay mga natural na numero na mayroon lamang dalawang positibong divisors.
Kahulugan.
Mga pinagsama-samang numero ay mga natural na numero na mayroong higit sa dalawang positibong divisors.
Tandaan na ang bawat positive integer na mas malaki sa isa ay prime o composite. Sa madaling salita, walang isang solong integer na hindi simple o composite. Ito ay sumusunod mula sa divisibility property, na nagsasaad na ang mga numero 1 at a ay palaging mga divisors ng anumang integer a.
Batay sa impormasyon sa nakaraang talata, maaari mong ibigay ang sumusunod na kahulugan ng mga pinagsama-samang numero.
Kahulugan.
Ang mga natural na numero na hindi prime ay tinatawag bumubuo.
Bigyan natin mga halimbawa ng prime at composite na mga numero.
Ang mga halimbawa ng pinagsama-samang numero ay 6, 63, 121, at 6697. Ang pahayag na ito ay nangangailangan din ng paglilinaw. Ang numero 6 ay may, bilang karagdagan sa mga positibong divisors 1 at 6, ay mayroon ding mga divisors 2 at 3, dahil ang 6 = 2 · 3, samakatuwid ang 6 ay talagang isang composite number. Ang mga positibong divisors ng 63 ay 1, 3, 7, 9, 21, at 63. Ang 121 ay katumbas ng 11 11, kaya ang mga positibong salik ay 1, 11, at 121. At ang bilang na 6 697 ay pinagsama-sama, dahil ang mga positibong divisors nito, bilang karagdagan sa 1 at 6 697, ay ang mga numerong 37 at 181 din.
Sa pagtatapos ng puntong ito, nais ko ring iguhit ang iyong pansin sa katotohanan na ang mga prime number at coprime na numero ay malayo sa parehong bagay.
Pangunahing talahanayan ng numero
Ang mga pangunahing numero, para sa kaginhawahan ng kanilang karagdagang paggamit, ay naitala sa isang talahanayan na tinatawag na talahanayan ng mga pangunahing numero. Nasa ibaba ang talahanayan ng pangunahing numero hanggang 1,000.
Ang isang lohikal na tanong ay lumitaw: "Bakit namin pinunan ang talahanayan ng mga prime hanggang sa 1000 lamang, hindi ba posible na mag-compile ng isang talahanayan ng lahat ng umiiral na mga prime number"?
Sagutin muna natin ang unang bahagi ng tanong na ito. Para sa karamihan ng mga problema, sa solusyon kung saan kakailanganin mong gumamit ng mga prime number, ang mga prime number sa loob ng isang libo ay magiging sapat para sa amin. Sa ibang mga kaso, malamang, kakailanganin mong gumamit ng ilang mga espesyal na paraan ng solusyon. Bagaman, walang alinlangan, maaari tayong mag-compile ng isang talahanayan ng mga prime hanggang sa isang arbitraryong malaking finite positive integer, maging ito ay 10,000 o 1,000,000,000, sa susunod na talata ay pag-uusapan natin ang tungkol sa mga pamamaraan para sa pag-compile ng mga talahanayan ng primes, lalo na, susuriin natin ang pamamaraan na ay nakatanggap ng pangalan.
Ngayon, alamin natin ang posibilidad (o sa halip, ang imposibilidad) ng pag-compile ng talahanayan ng lahat ng umiiral na prime number. Hindi tayo maaaring mag-compile ng isang talahanayan ng lahat ng mga prime, dahil mayroong walang katapusang maraming mga prime. Ang huling pahayag ay isang teorama na patunayan natin pagkatapos ng susunod na pantulong na teorama.
Teorama.
Ang pinakamaliit na positive at non-1 divisor ng isang natural na numerong mas malaki sa isa ay isang prime number.
Patunay.
Hayaan Ang a ay isang natural na bilang na mas malaki sa isa, at ang b ay ang pinakamaliit na positibong hindi isang divisor ng a. Patunayan natin na ang b ay isang prime number sa pamamagitan ng kontradiksyon.
Ipagpalagay na ang b ay isang pinagsama-samang numero. Pagkatapos ay mayroong isang divisor ng bilang b (ipahiwatig natin ito b 1), na iba sa parehong 1 at b. Kung isasaalang-alang din natin na ang ganap na halaga ng divisor ay hindi lalampas sa ganap na halaga ng dibidendo (alam natin ito mula sa mga katangian ng divisibility), kung gayon ang kundisyon 1
Dahil ang numero a ay nahahati ng b ayon sa kundisyon, at sinabi namin na ang b ay nahahati ng b 1, ang paniwala ng divisibility ay nagpapahintulot sa amin na magsalita tungkol sa pagkakaroon ng mga integer q at q 1 na ang a = bq at b = b 1 q 1 , kung saan a = b 1 (q 1 q). Kasunod nito na ang produkto ng dalawang integer ay isang integer, pagkatapos ay ang pagkakapantay-pantay a = b 1 · (q 1 · q) ay nagpapahiwatig na ang b 1 ay isang divisor ng numerong a. Isinasaalang-alang ang mga hindi pagkakapantay-pantay sa itaas 1
Ngayon ay maaari nating patunayan na mayroong walang katapusang maraming prime.
Teorama.
Mayroong walang katapusang maraming primes.
Patunay.
Ipagpalagay natin na hindi. Iyon ay, ipagpalagay na mayroon lamang n prime number, at ang mga prime na ito ay p 1, p 2, ..., p n. Ipakita natin na palagi tayong makakahanap ng prime number maliban sa mga ipinahiwatig.
Isaalang-alang ang isang numerong p katumbas ng p 1 · p 2 ·… · p n +1. Malinaw na ang bilang na ito ay iba sa bawat primes p 1, p 2,…, p n. Kung ang p ay prime, kung gayon ang teorama ay napatunayan. Kung ang bilang na ito ay pinagsama-sama, kung gayon sa pamamagitan ng nakaraang teorama ay mayroong isang pangunahing divisor ng numerong ito (tinutukoy namin ito sa pamamagitan ng p n + 1). Ipakita natin na ang divisor na ito ay hindi tumutugma sa alinman sa mga numerong p 1, p 2,…, p n.
Kung hindi gayon, sa pamamagitan ng mga katangian ng divisibility ang produkto p 1 · p 2 ·… · p n ay mahahati ng p n + 1. Ngunit ang bilang na p ay nahahati din ng p n + 1, na katumbas ng kabuuan ng p 1 · p 2 ·… · p n +1. Kasunod nito na ang pangalawang termino ng kabuuan na ito, na katumbas ng isa, ay dapat na hatiin ng p n + 1, ngunit ito ay imposible.
Napatunayan na ang isang bagong prime ay palaging matatagpuan na wala sa alinmang bilang ng mga pre-assigned prime. Samakatuwid, mayroong walang katapusang maraming primes.
Kaya, dahil sa ang katunayan na mayroong walang katapusang maraming mga prime, kapag nag-compile ng mga talahanayan ng mga primes, palagi nilang nililimitahan ang kanilang mga sarili mula sa itaas ng ilang numero, kadalasang 100, 1,000, 10,000, atbp.
Salain ng Eratosthenes
Tatalakayin natin ngayon ang mga paraan upang mag-compile ng mga talahanayan ng mga pangunahing numero. Sabihin nating kailangan nating gumawa ng talahanayan ng mga primes hanggang 100.
Ang pinaka-halatang paraan para sa paglutas ng problemang ito ay ang sunud-sunod na suriin ang mga positibong integer, simula sa 2, at nagtatapos sa 100, para sa pagkakaroon ng positibong divisor na mas malaki kaysa sa 1 at mas mababa kaysa sa nasubok na numero (mula sa mga katangian ng divisibility, alam natin na ang absolute value ng divisor ay hindi lalampas sa absolute value ng dividend, nonzero). Kung ang naturang divisor ay hindi natagpuan, kung gayon ang naka-check na numero ay prime, at ito ay ipinasok sa talahanayan ng mga prime number. Kung ang naturang divisor ay natagpuan, kung gayon ang naka-check na numero ay pinagsama-sama, HINDI ito ipinasok sa talahanayan ng mga pangunahing numero. Pagkatapos nito, ang paglipat sa susunod na numero ay nagaganap, na katulad na sinuri para sa pagkakaroon ng isang divisor.
Ilarawan natin ang mga unang hakbang.
Magsisimula tayo sa numero 2. Ang numero 2 ay walang mga positibong divisors, maliban sa 1 at 2. Samakatuwid, ito ay simple, samakatuwid, ipinasok namin ito sa talahanayan ng mga pangunahing numero. Dapat sabihin dito na 2 ang pinakamaliit na prime number. Lumipat sa numero 3. Ang posibleng positive divisor nito, maliban sa 1 at 3, ay 2. Ngunit ang 3 ay hindi nahahati ng 2, samakatuwid, ang 3 ay isang prime number, at kailangan din itong ipasok sa talahanayan ng mga prime number. Lumipat sa numero 4. Ang mga positibong kadahilanan nito, maliban sa 1 at 4, ay maaaring ang mga numero 2 at 3, suriin natin ang mga ito. Ang numero 4 ay nahahati sa 2, kaya ang 4 ay isang pinagsama-samang numero at hindi kailangang ilagay sa prime table. Tandaan na ang 4 ay ang pinakamaliit na composite number. Lumipat sa numero 5. Suriin kung kahit isa sa mga numerong 2, 3, 4 ang divisor nito. Dahil ang 5 ay hindi nahahati sa 2, 3 o 4, ito ay simple at dapat na isulat sa talahanayan ng mga prime number. Pagkatapos ay mayroong isang paglipat sa mga numero 6, 7, at iba pa hanggang 100.
Ang diskarte na ito sa pag-compile ng isang talahanayan ng mga primes ay malayo sa perpekto. Sa isang paraan o iba pa, may karapatan itong umiral. Tandaan na sa ganitong paraan ng pagbuo ng isang talahanayan ng mga integer, maaari mong gamitin ang pamantayan ng divisibility, na bahagyang magpapabilis sa proseso ng paghahanap ng mga divisors.
Mayroong isang mas maginhawang paraan upang mag-compile ng isang talahanayan ng mga primes, na tinatawag na. Ang salitang "sieve" na naroroon sa pangalan ay hindi sinasadya, dahil ang mga aksyon ng pamamaraang ito ay tumutulong, tulad ng, upang "magsala" sa pamamagitan ng salaan ng mga buong numero ng Eratosthenes, malalaking yunit, upang paghiwalayin ang prime mula sa composite.
Ipakita natin ang salaan ng Eratosthenes sa pagkilos kapag nag-compile ng talahanayan ng mga prime hanggang 50.
Una, isulat namin ang mga numero 2, 3, 4,…, 50 sa pagkakasunud-sunod.
Ang unang naitala na numero 2 ay prime. Ngayon, mula sa numero 2, kami ay sunud-sunod na lumilipat sa kanan sa pamamagitan ng dalawang numero at i-cross out ang mga numerong ito hanggang sa makarating kami sa dulo ng pinagsama-samang talahanayan ng mga numero. Tatanggalin nito ang lahat ng multiple ng dalawa.
Ang unang uncrossed na numero kasunod ng 2 ay 3. Ang numerong ito ay prime. Ngayon, mula sa numero 3, kami ay sunud-sunod na lumilipat sa kanan ng tatlong numero (isinasaalang-alang ang na-cross out na mga numero) at i-cross out ang mga ito. Tatanggalin nito ang lahat ng numero na multiple ng tatlo.
Ang unang uncrossed na numero kasunod ng 3 ay 5. Ang numerong ito ay prime. Ngayon, mula sa numero 5, sunud-sunod kaming lumipat sa kanan ng 5 numero (isinasaalang-alang namin ang mga naunang na-cross out na mga numero) at i-cross out ang mga ito. Tatanggalin nito ang lahat ng multiple ng lima.
Pagkatapos ay ekis ang mga numero na multiple ng 7, pagkatapos ay multiple ng 11, at iba pa. Ang proseso ay nagtatapos kapag walang mga numero na natitira upang i-cross out. Nasa ibaba ang isang kumpletong talahanayan ng mga primes hanggang 50, na nakuha gamit ang salaan ng Eratosthenes. Ang lahat ng uncrossed na numero ay prime, at lahat ng strikethrough na numero ay composite.
Bumuo tayo at patunayan ang isang theorem na magpapabilis sa proseso ng pag-compile ng table of primes gamit ang sieve ng Eratosthenes.
Teorama.
Ang pinakamaliit na positive at non-one divisor ng isang composite number a ay hindi lalampas, kung saan mula sa a.
Patunay.
Hayaang tukuyin ng b ang pinakamaliit at hindi-isang divisor ng isang composite number a (ang bilang b ay prime, na sumusunod mula sa theorem na pinatunayan sa pinakasimula ng nakaraang subsection). Pagkatapos ay mayroong isang integer q na ang a = b q (dito ang q ay isang positibong integer, na sumusunod mula sa mga patakaran para sa pagpaparami ng mga integer), at (para sa b> q ang kundisyon na ang b ay ang pinakamaliit na divisor ng a ay nilabag, dahil q ay isa ring divisor ng bilang a sa bisa ng pagkakapantay-pantay a = q · b). Ang pagpaparami ng magkabilang panig ng hindi pagkakapantay-pantay sa isang positibong integer b na mas malaki kaysa sa isa (pinapayagan tayong gawin ito), nakukuha natin, kung saan at.
Ano ang ibinibigay sa atin ng napatunayang teorama tungkol sa salaan ng Eratosthenes?
Una, ang pagtanggal ng mga composite na numero na mga multiple ng isang prime number b ay dapat magsimula sa isang numero na katumbas ng (ito ay sumusunod mula sa hindi pagkakapantay-pantay). Halimbawa, ang pagtawid sa mga numero na multiple ng dalawa ay dapat magsimula sa 4, multiple ng tatlo na may 9, multiple ng lima na may 25, at iba pa.
Pangalawa, ang pagsasama-sama ng isang talahanayan ng mga prime hanggang sa numero n gamit ang salaan ng Eratosthenes ay maaaring ituring na kumpleto kapag ang lahat ng pinagsama-samang mga numero na mga multiple ng mga prime na numero na hindi lalampas ay tinanggal. Sa aming halimbawa, n = 50 (dahil nag-iipon kami ng isang talahanayan ng mga prime hanggang 50) at, samakatuwid, ang salaan ng Eratosthenes ay dapat alisin ang lahat ng pinagsama-samang mga numero na mga multiple ng primes 2, 3, 5 at 7 na hindi lalampas ang arithmetic square root ng 50. Ibig sabihin, hindi na natin kailangang hanapin at i-cross out ang mga numero na multiple ng prime number na 11, 13, 17, 19, 23 at iba pa hanggang 47, dahil ie-cross out na ang mga ito bilang multiple ng mas maliliit na prime 2, 3, 5 at 7 ...
Ang numero ba na ito ay prime o composite?
Ang ilang mga gawain ay nangangailangan ng pag-alam kung ang isang ibinigay na numero ay prime o composite. Sa pangkalahatang kaso, ang gawaing ito ay malayo sa madali, lalo na para sa mga numero, ang pag-record nito ay binubuo ng isang makabuluhang bilang ng mga character. Sa karamihan ng mga kaso, kailangan mong maghanap ng ilang partikular na paraan upang malutas ito. Gayunpaman, susubukan naming magbigay ng direksyon sa tren ng pag-iisip para sa mga simpleng kaso.
Walang alinlangan, maaari mong subukang gamitin ang pamantayan sa divisibility upang patunayan na ang isang naibigay na numero ay pinagsama-sama. Kung, halimbawa, ang ilang senyales ng divisibility ay nagpapakita na ang ibinigay na numero ay nahahati ng ilang positive integer na mas malaki sa isa, kung gayon ang orihinal na numero ay composite.
Halimbawa.
Patunayan na ang numerong 898 989 898 989 898 989 ay composite.
Solusyon.
Ang kabuuan ng mga digit ng numerong ito ay 9 8 + 9 9 = 9 17. Dahil ang bilang na katumbas ng 9 · 17 ay nahahati sa 9, kung gayon, batay sa divisibility ng 9, maaari itong pagtalunan na ang orihinal na numero ay nahahati din ng 9. Samakatuwid, ito ay pinagsama-sama.
Ang isang makabuluhang disbentaha ng diskarteng ito ay hindi pinapayagan ng mga pagsusuri sa divisibility na patunayan ng isa na ang isang numero ay prime. Samakatuwid, kapag sinusuri ang isang numero kung ito ay simple o pinagsama-sama, kailangan mong kumilos nang iba.
Ang pinaka-lohikal na diskarte ay ang pag-ulit sa lahat ng posibleng divisors ng isang naibigay na numero. Kung wala sa mga posibleng divisor ang tunay na divisor ng isang naibigay na numero, ang numerong ito ay magiging prime, kung hindi, ito ay magiging composite. Mula sa mga theorems na napatunayan sa nakaraang seksyon, sumusunod na ang mga divisors ng isang naibigay na numero ay dapat na hanapin sa mga primes na hindi hihigit. Kaya, ang isang naibigay na numero a ay maaaring sunud-sunod na hatiin ng mga prime number (na madaling kunin mula sa talahanayan ng mga prime number), sinusubukang hanapin ang divisor ng numero a. Kung natagpuan ang divisor, kung gayon ang numero a ay pinagsama-sama. Kung, sa mga prime number na hindi lalampas, walang divisor ng number a, kung gayon ang number a ay prime.
Halimbawa.
Numero 11 723 simple o tambalan?
Solusyon.
Alamin natin kung anong prime number ang maaaring maging divisors ng number 11 723. Para dito ay ating tantiyahin.
Ito ay medyo halata na 
, mula noong 200 2 = 40 000, at 11 723<40 000
(при необходимости смотрите статью paghahambing ng mga numero). Kaya, ang posibleng mga pangunahing kadahilanan para sa 11,723 ay mas mababa sa 200. Ito ay lubos na nagpapadali sa ating gawain. Kung hindi natin alam ito, kailangan nating umulit sa lahat ng prime hindi hanggang 200, ngunit hanggang sa numerong 11 723.
Kung ninanais, maaari mong tantiyahin nang mas tumpak. Dahil 108 2 = 11 664, at 109 2 = 11 881, pagkatapos ay 108 2<11 723<109 2
, следовательно, 
... Kaya, alinman sa mga primes na mas mababa sa 109 ay potensyal na isang pangunahing divisor ng ibinigay na bilang na 11,723.
Ngayon ay sunud-sunod nating hahatiin ang numerong 11 723 sa mga primes 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71 , 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107. Kung ang bilang na 11,723 ay ganap na hinati sa isa sa mga nakasulat na prime, kung gayon ito ay magiging composite. Kung hindi ito nahahati sa alinman sa mga nakasulat na prime number, kung gayon ang orihinal na numero ay prime.
Hindi namin ilalarawan ang buong monotonous at monotonous na proseso ng paghahati. Sabihin natin kaagad na 11 723
Ang lahat ng natural na numero, maliban sa isa, ay nahahati sa prime at composite. Ang prime number ay isang natural na numero na mayroon lamang dalawang divisors: isa at mismo... Ang lahat ng iba ay tinatawag na composite. Ang pag-aaral ng mga katangian ng prime numbers ay tumatalakay sa isang espesyal na sangay ng matematika - teorya ng numero. Sa teorya ng singsing, ang mga prime ay nauugnay sa mga hindi mababawasang elemento.
Narito ang isang sequence ng primes na nagsisimula sa 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, ... atbp.
Ayon sa pangunahing theorem ng arithmetic, ang bawat natural na numero na mas malaki sa isa ay maaaring katawanin bilang isang produkto ng mga prime number. Kasabay nito, ito ang tanging paraan upang kumatawan sa mga natural na numero hanggang sa pagkakasunud-sunod ng mga kadahilanan. Batay dito, masasabi natin na ang mga primes ay ang mga elementarya na bahagi ng natural na mga numero.
Ang nasabing representasyon ng isang natural na numero ay tinatawag na prime number decomposition o number factorization.
Isa sa pinakaluma at pinaka-epektibong paraan ng pagkalkula ng mga prime number ay ang Erastofen sieve.
Ipinakita ng pagsasanay na pagkatapos kalkulahin ang mga prime number gamit ang Erastofen sieve, kinakailangang suriin kung prime ang ibinigay na numero. Para dito, ang mga espesyal na pagsubok ay binuo, ang tinatawag na mga pagsubok sa pagiging simple. Ang algorithm ng mga pagsubok na ito ay probabilistic. Ang mga ito ay kadalasang ginagamit sa cryptography.
Sa pamamagitan ng paraan, mayroong mga espesyal na epektibong pagsubok sa pagiging simple para sa ilang mga klase ng mga numero. Halimbawa, ang pagsubok sa Luc-Lemaire ay ginagamit upang suriin ang mga numero ng Mersenne para sa pagiging simple, at ang pagsubok ng Pepin ay ginagamit upang suriin ang mga numero ng Fermat para sa pagiging simple.
Alam nating lahat na mayroong walang katapusang maraming numero. Ang tanong ay lumitaw: gaano karaming mga prime ang naroon? Mayroon ding walang katapusang bilang ng mga prime. Ang pinaka sinaunang patunay ng panukalang ito ay ang patunay ng Euclid, na nakalagay sa "Mga Elemento". Ang patunay ni Euclid ay ang mga sumusunod:
Isipin natin na ang bilang ng mga primes ay may hangganan. Paramihin natin sila at magdagdag ng isa. Ang resultang numero ay hindi maaaring hatiin ng alinman sa mga may hangganan na hanay ng mga prima, dahil ang natitira sa paghahati ng alinman sa mga ito ay nagbibigay ng isa. Kaya, ang numero ay dapat na mahahati sa ilang prime number na hindi kasama sa set na ito.
Ang prime number theorem ay nagsasaad na ang bilang ng mga primes na mas mababa sa n, na tinutukoy ng π (n), ay lumalaki bilang n / ln (n).
Sa pamamagitan ng libu-libong taon ng pananaliksik sa mga prime, ang pinakamalaking kilalang prime number ay natagpuan na 243112609 - 1. Kasama sa numerong ito ang 12,978,189 decimal digit at isang Mersenne prime (M43112609). Ang pagtuklas na ito ay ginawa noong Agosto 23, 2008 sa departamento ng matematika ng Unibersidad ng uCLA bilang bahagi ng ipinamahagi na paghahanap ng GIMPS para sa Mersenne primes.
Ang pangunahing natatanging tampok ng mga numero ng Mersenne ay ang lubos na epektibong pagsubok sa pagiging simple ng Luc-Lehmer. Sa tulong nito, ang mga prime ng Mersenne ay ang pinakamalaking kilalang prime number sa mahabang panahon.
Gayunpaman, hanggang sa araw na ito, maraming mga katanungan tungkol sa mga prime ang hindi nakatanggap ng mga tiyak na sagot. Sa 5th International Congress of Mathematics, binalangkas ni Edmund Landau ang mga pangunahing problema sa larangan ng primes:
Ang problema ni Goldbach o ang unang problema ng Landau ay kinakailangang patunayan o pabulaanan na ang bawat even na numerong higit sa dalawa ay maaaring irepresenta bilang isang kabuuan ng dalawang prime, at bawat kakaibang numero na higit sa 5 ay maaaring katawanin bilang isang kabuuan ng tatlong primes na numero.
Ang pangalawang problema ng Landau ay nangangailangan ng paghahanap ng sagot sa tanong: mayroon bang walang katapusang hanay ng "simpleng kambal" - primes, ang pagkakaiba sa pagitan ng katumbas ng 2?
Ang haka-haka ni Legendre o ang pangatlong problema ni Landau ay ito: totoo bang laging may prime sa pagitan ng n2 at (n + 1) 2?
Pang-apat na problema ng Landau: mayroon bang walang katapusang hanay ng mga prime ng anyong n2 + 1?
Bilang karagdagan sa mga problema sa itaas, mayroong problema sa pagtukoy ng walang katapusang bilang ng mga prime sa maraming integer sequence tulad ng Fibonacci number, Fermat's number, atbp.
- Pagsasalin
Ang mga katangian ng prime numbers ay unang pinag-aralan ng mga mathematician ng Sinaunang Greece. Ang mga mathematician ng Pythagorean school (500 - 300 BC) ay pangunahing interesado sa mystical at numerological na katangian ng mga prime number. Sila ang unang nakaisip ng ideya ng perpekto at palakaibigang mga numero.
Para sa isang perpektong numero, ang kabuuan ng sarili nitong mga divisors ay katumbas ng sarili nito. Halimbawa, ang tamang divisors ng 6 ay 1, 2, at 3.1 + 2 + 3 = 6. Para sa 28, ang divisors ay 1, 2, 4, 7 at 14. Bukod dito, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.
Ang mga numero ay tinatawag na friendly kung ang kabuuan ng mga wastong divisors ng isang numero ay katumbas ng isa pa, at vice versa - halimbawa, 220 at 284. Masasabi nating ang perpektong numero ay palakaibigan sa sarili nito.
Sa oras ng paglitaw ng akda ni Euclid na "Mga Simula" noong 300 BC. ilang mahahalagang katotohanan tungkol sa mga prime number ang napatunayan na. Sa Book IX of the Beginnings, pinatunayan ni Euclid na mayroong walang katapusang bilang ng mga prime. Ito, hindi sinasadya, ay isa sa mga unang halimbawa ng paggamit ng patunay sa pamamagitan ng kontradiksyon. Pinatunayan din niya ang Basic Theorem of Arithmetic - bawat integer ay maaaring irepresenta nang natatangi bilang isang produkto ng prime numbers.
Ipinakita rin niya na kung ang numero 2 n -1 ay prime, kung gayon ang numero 2 n-1 * (2 n -1) ay magiging perpekto. Ang isa pang mathematician, si Euler, ay naipakita noong 1747 na ang lahat ng kahit na perpektong mga numero ay maaaring isulat sa form na ito. Hanggang ngayon, hindi alam kung may mga kakaibang perpektong numero.
Noong taong 200 BC. ang Greek Eratosthenes ay gumawa ng isang algorithm para sa paghahanap ng mga prime number na tinatawag na "Sieve of Eratosthenes."
At pagkatapos ay nagkaroon ng malaking pahinga sa kasaysayan ng pag-aaral ng mga pangunahing numero, na nauugnay sa Middle Ages.
Ang mga sumusunod na pagtuklas ay ginawa na sa simula ng ika-17 siglo ng mathematician na si Fermat. Pinatunayan niya ang hypothesis ni Albert Girard na ang anumang prime number ng anyong 4n + 1 ay maaaring isulat sa kakaibang paraan bilang kabuuan ng dalawang parisukat, at binabalangkas din ang theorem na anumang numero ay maaaring katawanin bilang kabuuan ng apat na parisukat.
Gumawa siya ng bagong paraan para sa pagsasaliksik ng malalaking numero, at ipinakita ito sa numerong 2027651281 = 44021 × 46061. Pinatunayan din niya ang Fermat's Little Theorem: kung ang p ay isang prime number, kung gayon para sa anumang integer a ito ay magiging totoo ap = a modulo p .
Ang pahayag na ito ay nagpapatunay sa kalahati ng kung ano ang kilala bilang "Chinese hypothesis" at nagsimula noong 2000 taon na ang nakalilipas: ang isang integer n ay prime kung at kung ang 2 n -2 ay nahahati sa n. Ang pangalawang bahagi ng hypothesis ay naging mali - halimbawa, 2341 - 2 ay nahahati sa 341, bagaman ang 341 ay isang pinagsama-samang numero: 341 = 31 × 11.
Ang Little Theorem ni Fermat ay nagsilbing batayan para sa maraming iba pang mga resulta sa teorya ng numero at mga pamamaraan para sa pagsubok ng mga numero na nabibilang sa mga pangunahing numero - marami sa mga ito ay ginagamit pa rin hanggang ngayon.
Maraming nakipag-ugnayan si Fermat sa kanyang mga kontemporaryo, lalo na sa isang monghe na nagngangalang Maren Mersenne. Sa isa sa kanyang mga titik, ipinalagay niya na ang mga numero ng anyong 2 n +1 ay palaging magiging prime kung ang n ay isang kapangyarihan ng dalawa. Sinuri niya ito para sa n = 1, 2, 4, 8, at 16, at kumpiyansa na sa kaso kung saan ang n ay hindi isang kapangyarihan ng dalawa, ang numero ay hindi kinakailangang simple. Ang mga numerong ito ay tinatawag na mga numero ng Fermat, at pagkaraan lamang ng 100 taon ay ipinakita ni Euler na ang susunod na numero, 2 32 + 1 = 4294967297 ay nahahati sa 641, at samakatuwid ay hindi prime.
Ang mga numero ng anyong 2 n - 1 ay naging paksa din ng pananaliksik, dahil madaling ipakita na kung ang n ay pinagsama-sama, kung gayon ang bilang mismo ay pinagsama din. Ang mga numerong ito ay tinatawag na mga numero ng Mersenne dahil aktibo niyang pinag-aralan ang mga ito.
Ngunit hindi lahat ng numero ng anyong 2 n - 1, kung saan ang n ay prime, ay prime. Halimbawa, 2 11 - 1 = 2047 = 23 * 89. Ito ay unang natuklasan noong 1536.
Sa loob ng maraming taon, ang mga numerong ganito ang nagbigay sa mga mathematician ng pinakamalaking kilalang prime number. Ang bilang na M 19 ay pinatunayan ni Cataldi noong 1588, at ito ang pinakamalaking kilalang prime number sa loob ng 200 taon, hanggang sa napatunayan ni Euler na ang M 31 ay prime din. Ang rekord na ito ay tumagal ng isa pang daang taon, at pagkatapos ay ipinakita ni Lucas na ang M 127 ay simple (at ito ay isang 39-digit na numero), at pagkatapos ng pananaliksik na iyon ay nagpatuloy sa pagdating ng mga computer.
Noong 1952, napatunayan ang pagiging simple ng mga numerong M 521, M 607, M 1279, M 2203, at M 2281.
Noong 2005, 42 Mersenne prime ang natagpuan. Ang pinakamalaki sa kanila, M 25964951, ay binubuo ng 7,816,230 digit.
Ang gawain ni Euler ay may malaking epekto sa teorya ng mga numero, kabilang ang mga pangunahing numero. Pinalawak niya ang Little Theorem ni Fermat at ipinakilala ang φ-function. Na-factor ang ika-5 numero ni Fermat na 2 32 +1, nakahanap ng 60 pares ng mga friendly na numero, at binuo (ngunit hindi mapapatunayan) ang quadratic reciprocity law.
Siya ang unang nagpakilala ng mga pamamaraan ng mathematical analysis at binuo ang analytical theory ng mga numero. Siya pinatunayan na hindi lamang isang maharmonya serye ∑ (1 / n), ngunit din ng isang serye ng mga form
1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…
Ang kabuuan na nakuha ng kabaligtaran ng mga prime number ay nag-iiba din. Ang kabuuan ng n termino ng harmonic series ay lumalaki nang humigit-kumulang tulad ng log (n), at ang pangalawang serye ay nag-iiba nang mas mabagal, tulad ng log [log (n)]. Nangangahulugan ito na, halimbawa, ang kabuuan ng mga kapalit sa lahat ng mga prime na natagpuan hanggang sa kasalukuyan ay magbibigay lamang ng 4, bagama't ang serye ay naghihiwalay pa rin.
Sa unang sulyap, tila ang mga prime ay ipinamamahagi nang random sa mga integer. Halimbawa, sa 100 na numero na direktang pumunta bago ang 10,000,000, mayroong 9 na prime, at kabilang sa 100 na numero kaagad pagkatapos ng halagang ito, mayroon lamang 2. Ngunit sa malalaking segment, ang mga prime ay ibinahagi nang pantay-pantay. Hinarap nina Legendre at Gauss ang kanilang pamamahagi. Minsang sinabi ni Gauss sa isang kaibigan na sa anumang libreng 15 minuto ay palagi niyang binibilang ang bilang ng mga prime sa susunod na 1000 na numero. Sa pagtatapos ng kanyang buhay, binilang niya ang lahat ng mga pangunahing numero sa hanay na hanggang 3 milyon. Ang Legendre at Gauss ay pantay na kinakalkula na para sa malaking n ang prime density ay 1 / log (n). Tinantya ni Legendre ang bilang ng mga prime sa hanay mula 1 hanggang n bilang
π (n) = n / (log (n) - 1.08366)
At Gauss - bilang isang logarithmic integral
π (n) = ∫ 1 / log (t) dt
Sa pagitan ng integration mula 2 hanggang n.
Ang pahayag tungkol sa density ng prime numbers 1 / log (n) ay kilala bilang Prime Number Theorem. Sinubukan nilang patunayan ito sa buong ika-19 na siglo, at ang pag-unlad ay ginawa nina Chebyshev at Riemann. Iniugnay nila ito sa Riemann hypothesis, isang hindi pa napatunayang hypothesis sa pamamahagi ng mga zero ng Riemann zeta function. Ang density ng prime numbers ay sabay-sabay na pinatunayan nina Hadamard at de la Vallée-Poussin noong 1896.
Marami pa ring hindi naresolbang isyu sa prime number theory, ang ilan sa mga ito ay maraming daan-daang taong gulang na:
- haka-haka tungkol sa twin primes - tungkol sa isang walang katapusang bilang ng mga pares ng prime na may pagkakaiba sa bawat isa ng 2
- Ang haka-haka ni Goldbach: anumang kahit na numero, simula sa 4, ay maaaring katawanin bilang kabuuan ng dalawang prime
- Mayroon bang walang katapusang bilang ng mga prime ng anyong n 2 + 1?
- laging posible bang makahanap ng prime number sa pagitan ng n 2 at (n + 1) 2? (ang katotohanan na palaging may pangunahing numero sa pagitan ng n at 2n ay pinatunayan ni Chebyshev)
- Walang katapusan ba ang mga primes ni Fermat? Mayroon bang anumang Fermat primes pagkatapos ng ika-4?
- mayroon bang arithmetic progression ng magkakasunod na prime para sa anumang partikular na haba? halimbawa, para sa haba 4: 251, 257, 263, 269. Ang maximum na haba na natagpuan ay 26.
- Mayroon bang walang katapusang bilang ng mga set ng tatlong magkakasunod na prime sa isang pag-unlad ng arithmetic?
- Ang n 2 - n + 41 ay isang prime number para sa 0 ≤ n ≤ 40. Mayroon bang walang katapusang bilang ng naturang primes? Ang parehong tanong para sa formula n 2 - 79 n + 1601. Ang mga numerong ito ay prime para sa 0 ≤ n ≤ 79.
- Mayroon bang walang katapusang bilang ng mga prime tulad ng n # + 1? (n # ay ang multiplikasyon ng lahat ng primes na mas mababa sa n)
- Mayroon bang walang katapusang maraming prime tulad ng n # -1?
- Mayroon bang walang katapusang bilang ng mga prime ng anyong n! + 1?
- Mayroon bang walang katapusang bilang ng mga prime ng anyong n! - isa?
- kung ang p ay prime, kung ang 2 p -1 ay palaging hindi naglalaman ng mga prime number sa mga salik ng mga parisukat
- ang Fibonacci sequence ba ay naglalaman ng walang katapusang bilang ng mga prime?
Ang pinakamalaking kambal sa mga primes ay 2003663613 × 2 195000 ± 1. Binubuo ang mga ito ng 58711 digit at natagpuan noong 2007.
Ang pinakamalaking factorial prime (ng anyong n! ± 1) ay 147855! - 1. Binubuo ito ng 142,891 digit at natagpuan noong 2002.
Ang pinakamalaking primeval prime (bilang tulad ng n # ± 1) ay 1098133 # + 1.
Mga Tag: Magdagdag ng Mga Tag
Iba-iba ang mga numero: natural, natural, rational, buo at fractional, positibo at negatibo, kumplikado at simple, kakaiba at kahit, totoo, atbp. Mula sa artikulong ito malalaman mo kung ano ang mga prime number.
Anong mga numero ang tinatawag na salitang Ingles na "simple"?
Kadalasan, hindi alam ng mga mag-aaral kung paano sasagutin ang isa sa mga tila simpleng tanong ng matematika, tungkol sa kung ano ang prime number. Madalas nilang nalilito ang mga pangunahing numero sa mga natural na numero (iyon ay, mga numero na ginagamit ng mga tao kapag nagbibilang ng mga bagay, habang sa ilang mga mapagkukunan ay nagsisimula sila sa zero, at sa iba pa - sa isa). Ngunit ang mga ito ay ganap na dalawang magkaibang konsepto. Ang mga pangunahing numero ay natural, iyon ay, buo at positibong mga numero na mas malaki sa isa at mayroon lamang 2 natural na divisors. Bukod dito, ang isa sa mga divisors na ito ay ang ibinigay na numero, at ang pangalawa ay isa. Halimbawa, ang tatlo ay isang prime number dahil hindi ito nahahati sa anumang numero maliban sa sarili nito at isa.
Mga pinagsama-samang numero
Ang mga composite na numero ay kabaligtaran ng mga prime number. Ang mga ito ay natural din, sila ay higit pa sa isa, ngunit wala silang dalawa, ngunit isang mas malaking bilang ng mga divisors. Kaya, halimbawa, ang mga numero 4, 6, 8, 9, atbp. ay natural, composite, ngunit hindi prime number. Tulad ng nakikita mo, ang mga ito ay halos kahit na mga numero, ngunit hindi lahat. Ngunit ang "dalawa" ay isang even na numero at "unang numero" sa isang serye ng mga prima.
Pagkakasunod-sunod
Upang makabuo ng isang serye ng mga primes, kinakailangan na pumili mula sa lahat ng mga natural na numero, na isinasaalang-alang ang kanilang kahulugan, iyon ay, kailangan mong kumilos sa pamamagitan ng pagkakasalungatan. Kinakailangang isaalang-alang ang bawat isa sa mga positibong natural na numero upang makita kung mayroon itong higit sa dalawang divisors. Subukan nating bumuo ng isang serye (sequence) ng mga prime number. Ang listahan ay nagsisimula sa dalawa, ang susunod ay tatlo, dahil ito ay nahahati lamang sa sarili at sa isa. Isaalang-alang ang numero apat. Mayroon ba itong divisors maliban sa apat at isa? Oo, ito ang numero 2. Kaya ang apat ay hindi isang pangunahing numero. Ang lima ay prime din (maliban sa 1 at 5, hindi ito mahahati ng ibang numero), ngunit ang anim ay divisible. At sa pangkalahatan, kung susundin mo ang lahat ng kahit na mga numero, mapapansin mo na bukod sa "dalawa", wala sa mga ito ang simple. Mula dito napagpasyahan namin na ang kahit na mga numero, maliban sa dalawa, ay hindi prime. Ang isa pang pagtuklas: ang lahat ng mga numero na nahahati ng tatlo, maliban sa tatlo mismo, maging ito man o kakaiba, ay hindi rin simple (6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, atbp.). Ang parehong napupunta para sa mga numero na nahahati sa lima at pito. Ang lahat ng mga ito ay hindi rin simple. I-summarize natin. Kaya, lahat ng mga kakaibang numero, maliban sa isa at siyam, at mula sa kahit - "dalawa" lamang ang nabibilang sa mga simpleng solong-digit na numero. Ang mga dose-dosenang mismo (10, 20, ... 40, atbp.) ay hindi simple. Ang dalawang-digit, tatlong-digit, atbp. na mga prime ay maaaring matukoy batay sa mga prinsipyo sa itaas: kung wala silang iba pang mga divisors, maliban sa kanilang sarili at sa yunit.
Mga teorya tungkol sa mga katangian ng mga prime number
Mayroong isang agham na nag-aaral ng mga katangian ng mga integer, kabilang ang mga prime number. Ito ay isang sangay ng matematika na tinatawag na mas mataas. Bilang karagdagan sa mga katangian ng mga integer, tinatalakay din niya ang mga algebraic, transendental na numero, pati na rin ang mga function ng iba't ibang pinagmulan na nauugnay sa aritmetika ng mga numerong ito. Sa mga pag-aaral na ito, bilang karagdagan sa elementarya at algebraic na pamamaraan, ginagamit din ang mga analytical at geometric. Sa partikular, ang pag-aaral ng mga pangunahing numero ay nakatuon sa "Teorya ng mga numero".
Ang mga pangunahing numero ay ang "mga bloke ng gusali" ng mga natural na numero
Sa arithmetic mayroong isang theorem na tinatawag na pangunahing. Ayon sa kanya, ang anumang natural na numero, maliban sa isa, ay maaaring katawanin bilang isang produkto, ang mga kadahilanan kung saan ay ang mga pangunahing numero, at ang pagkakasunud-sunod ng mga kadahilanan ay natatangi, nangangahulugan ito na ang paraan ng representasyon ay natatangi. Ito ay tinatawag na prime factorization ng isang natural na numero. May isa pang pangalan para sa prosesong ito - factorization ng mga numero. Batay dito, ang mga pangunahing numero ay maaaring tawaging "mga materyales sa gusali", "mga bloke" para sa pagbuo ng mga natural na numero.
Maghanap ng mga pangunahing numero. Mga pagsubok sa pagiging simple
Sinubukan ng maraming siyentipiko mula sa iba't ibang panahon na maghanap ng ilang mga prinsipyo (systems) para sa paghahanap ng listahan ng mga prime. Alam ng agham ang mga sistema na tinatawag na Atkin sieve, ang Sundartam sieve, ang Eratosthenes sieve. Gayunpaman, hindi sila nagbibigay ng anumang makabuluhang resulta, at isang simpleng tseke ang ginagamit upang mahanap ang primes. Ang mga algorithm ay nilikha din ng mga mathematician. Ang mga ito ay tinatawag na simplicity tests. Halimbawa, mayroong isang pagsubok na binuo nina Rabin at Miller. Ito ay ginagamit ng mga cryptographer. Mayroon ding pagsubok na Kayala-Agravala-Saskena. Gayunpaman, sa kabila ng sapat na katumpakan nito, napakahirap kalkulahin, na nagpapaliit sa praktikal na halaga nito.
May limitasyon ba ang set ng primes?
Ang sinaunang Greek scientist na si Euclid ay sumulat sa aklat na "Beginnings" na ang set ng mga simpleng bagay ay infinity. Aniya: “Magpanggap tayo saglit na may limitasyon ang prime numbers. Pagkatapos ay paramihin natin sila sa isa't isa, at magdagdag ng isa sa produkto. Ang bilang na nakuha bilang resulta ng mga simpleng pagkilos na ito ay hindi mahahati ng alinman sa mga serye ng mga prime number, dahil ang natitira ay palaging naglalaman ng isa. Nangangahulugan ito na mayroon pang ibang numero na hindi pa kasama sa listahan ng mga prime number. Samakatuwid, hindi totoo ang aming palagay, at hindi maaaring magkaroon ng limitasyon ang set na ito. Bukod sa patunay ni Euclid, mayroong isang mas modernong pormula na ibinigay ng ikalabing-walong siglong Swiss mathematician na si Leonard Euler. Ayon sa kanya, ang sum reciprocal ng kabuuan ng unang n numero ay lumalaki nang walang katiyakan sa paglaki ng bilang n. At narito ang pormula ng teorama tungkol sa pamamahagi ng mga prime number: (n) lumalaki tulad ng n / ln (n).
Ano ang pinakamalaking prime number?
Ang parehong Leonard Euler ay nakahanap ng pinakamalaking prime number para sa kanyang panahon. Ito ay 2 31 - 1 = 2147483647. Gayunpaman, noong 2013, isa pang pinakatumpak na pinakamalaki sa listahan ng mga prime number ang kinakalkula - 2 57885161 - 1. Ito ay tinatawag na Mersenne number. Naglalaman ito ng humigit-kumulang 17 milyong decimal na digit. Tulad ng nakikita mo, ang bilang na natagpuan ng isang siyentipiko mula sa ikalabing walong siglo ay ilang beses na mas mababa kaysa dito. Ito ay tulad ng nararapat, dahil ginawa ni Euler ang pagkalkula nang manu-mano, habang ang aming kontemporaryo ay malamang na tinulungan ng isang computer. Bukod dito, ang bilang na ito ay nakuha sa Faculty of Mathematics sa isa sa mga American faculties. Ang mga numerong ipinangalan sa siyentipikong ito ay pumasa sa pagsubok ng pagiging simple ng Luc-Lemaire. Gayunpaman, ang agham ay hindi nais na tumigil doon. Ang Electronic Frontier Foundation, na itinatag noong 1990 sa United States of America (EFF), ay nagbigay ng monetary reward para sa paghahanap ng malalaking prime. At kung hanggang 2013 ang premyo ay dahil sa mga siyentipiko na nakahanap sa kanila mula sa 1 at 10 milyong mga decimal na numero, ngayon ang figure na ito ay umabot mula 100 milyon hanggang 1 bilyon. Ang mga premyo ay mula sa $150,000 hanggang $250,000.
Mga espesyal na pangalan ng primes
Ang mga numerong iyon na natagpuan salamat sa mga algorithm na nilikha ng ilang mga siyentipiko at nakapasa sa pagsubok sa pagiging simple ay tinatawag na espesyal. Narito ang ilan sa mga ito:
1. Merssen.
4. Cullen.
6. Mills et al.
Ang pagiging simple ng mga numerong ito, na pinangalanan sa itaas ng mga siyentipiko, ay itinatag gamit ang mga sumusunod na pagsubok:
1. Lucas-Lemer.
2. Pepina.
3. Riesel.
4. Billhart - Lemer - Selfridge at iba pa.
Ang modernong agham ay hindi titigil doon, at, marahil, sa malapit na hinaharap ay makikilala ng mundo ang mga pangalan ng mga nakakuha ng premyo na $ 250,000 sa pamamagitan ng paghahanap ng pinakamalaking prime number.