Bumalik pasulong
Pansin! Ang mga slide preview ay para sa mga layuning pang-impormasyon lamang at maaaring hindi kumakatawan sa lahat ng mga opsyon sa pagtatanghal. Kung interesado ka sa gawaing ito, mangyaring i-download ang buong bersyon.
Gamit ang mga konsepto ng greatest common divisor (GCD) at least common multiple (LCM), ang mga mag-aaral sa high school ay matatagpuan sa ikaanim na baitang. Ang paksang ito ay palaging mahirap unawain. Ang mga bata ay madalas na nalilito ang mga konseptong ito, hindi naiintindihan kung bakit kailangan nilang pag-aralan. Kamakailan lamang, sa tanyag na panitikan sa agham, may mga indibidwal na pahayag na ang materyal na ito ay dapat na hindi kasama sa kurikulum ng paaralan. Sa palagay ko hindi ito ganap na totoo, at kinakailangan na pag-aralan ito, kung hindi sa silid-aralan, kung gayon sa mga oras ng ekstrakurikular sa silid-aralan ng bahagi ng paaralan, ito ay kinakailangan, dahil ito ay nag-aambag sa pagbuo ng lohikal na pag-iisip ng mga mag-aaral, pagtaas ng bilis ng mga pagpapatakbo ng computational, at ang kakayahang lutasin ang mga problema gamit ang magagandang pamamaraan.
Sa pagdaragdag at pagbabawas ng mga fraction na may iba't ibang denominator, tinuturuan namin ang mga bata kung paano hanapin ang karaniwang denominator ng dalawa o higit pang mga numero. Halimbawa, idagdag ang mga fraction na 1/3 at 1/5. Ang mga mag-aaral ay madaling makahanap ng isang numero na nahahati sa 3 at 5 nang walang natitira. Ang numerong ito ay 15. Sa katunayan, kung ang mga numero ay maliit, kung gayon ang kanilang karaniwang denominator ay madaling mahanap, alam na alam ang talahanayan ng pagpaparami. Napansin ng ilan sa mga bata na ang bilang na ito ay produkto ng mga numero 3 at 5. Ang mga bata ay naniniwala na sa paraang ito ay palagi kang makakahanap ng karaniwang denominator para sa mga numero. Halimbawa, ibawas ang mga fraction na 7/18 at 5/24. Hanapin ang produkto ng mga numero 18 at 24. Ito ay katumbas ng 432. Nakatanggap na kami ng isang malaking bilang, at kung kailangan ng karagdagang mga kalkulasyon (lalo na para sa mga halimbawa para sa lahat ng mga aksyon), kung gayon ang posibilidad ng error ay tumataas. Ngunit ang natagpuang least common multiple of numbers (LCM), na sa kasong ito ay katumbas ng least common denominator (LCM) - ang numero 72 - ay lubos na magpapadali sa mga kalkulasyon at hahantong sa isang mas mabilis na solusyon sa halimbawa, at sa gayon ay mai-save ang oras na inilaan para sa gawain, na gumaganap ng isang mahalagang papel sa pagganap ng panghuling pagsubok, kontrol sa trabaho, lalo na sa panahon ng huling sertipikasyon.
Kapag pinag-aaralan ang paksang "Pagbabawas ng mga fraction", maaari mong ilipat ang sunud-sunod na paghahati ng numerator at denominator ng isang fraction sa parehong natural na numero, gamit ang mga palatandaan ng divisibility ng mga numero, sa huli ay makakuha ng hindi mababawasan na fraction. Halimbawa, ipagpalagay na gusto mong kanselahin ang fraction na 128/344. Hatiin muna ang numerator at denominator ng fraction sa numero 2, makuha natin ang fraction na 64/172. Muli, hatiin ang numerator at denominator ng resultang fraction ng 2, makuha natin ang fraction na 32/86. Hatiin muli ang numerator at denominator ng fraction sa pamamagitan ng 2, makuha natin ang hindi mababawasang fraction na 16/43. Ngunit ang pagbabawas ng fraction ay maaaring gawin nang mas madali kung makikita natin ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numero 128 at 344. GCD (128, 344) = 8. Ang paghahati ng numerator at denominator ng fraction sa numerong ito, agad tayong makakakuha ng isang irreducible fraction.
Kailangan mong ipakita sa mga bata ang iba't ibang paraan ng paghahanap ng greatest common divisor (GCD) at least common multiple (LCM) ng mga numero. Sa mga simpleng kaso, madaling mahanap ang greatest common divisor (GCD) at least common multiple (LCM) ng mga numero sa pamamagitan ng simpleng enumeration. Habang lumalaki ang mga numero, maaari mong gamitin ang prime factorization. Ipinapakita ng textbook sa ikaanim na baitang (ni N.Ya. Vilenkin) ang sumusunod na paraan para sa paghahanap ng pinakamalaking karaniwang divisor (GCD) ng mga numero. Hatiin natin ang mga numero sa mga pangunahing kadahilanan:
- 16 = 2*2*2*2
- 120 = 2*2*2*3*5
Pagkatapos, mula sa mga salik na kasama sa agnas ng isa sa mga numerong ito, tatanggalin namin ang mga hindi kasama sa agnas ng isa pang numero. Ang produkto ng natitirang mga salik ang magiging pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numerong ito. Sa kasong ito, ito ang numero 8. Mula sa aking sariling karanasan, kumbinsido ako na mas nauunawaan para sa mga bata kung salungguhitan natin ang parehong mga kadahilanan sa pagpapalawak ng mga numero, at pagkatapos ay sa isa sa mga pagpapalawak ay makikita natin ang produkto ng may salungguhit na mga salik. Ito ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numerong ito. Sa ikaanim na baitang, ang mga bata ay aktibo at mausisa. Maaari mong itakda sa kanila ang sumusunod na problema: subukang hanapin ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numerong 343 at 287 sa inilarawang paraan. Hindi mo agad makikita kung paano mabulok ang mga ito sa mga pangunahing kadahilanan. At dito maaari mong sabihin sa kanila ang tungkol sa isang kahanga-hangang pamamaraan na naimbento ng mga sinaunang Griyego, na nagbibigay-daan sa iyo upang mahanap ang pinakadakilang karaniwang kadahilanan (GCD) nang hindi isinasaalang-alang ang mga pangunahing kadahilanan. Ang pamamaraang ito ng paghahanap ng pinakamalaking karaniwang divisor ay unang inilarawan sa aklat ni Euclid na "Mga Simula". Ito ay tinatawag na Euclid's algorithm. Ito ay binubuo ng mga sumusunod: Una, hatiin ang mas malaking bilang sa mas maliit. Kung nakakuha ka ng natitira, pagkatapos ay hatiin ang mas maliit na numero sa natitira. Kung ang isang natitira ay nakuha muli, pagkatapos ay hatiin ang unang natitira sa pangalawa. Patuloy itong hinahati hanggang ang natitira ay zero. Ang huling divisor ay ang greatest common divisor (GCD) ng mga numerong ito.
Bumalik tayo sa aming halimbawa at isulat ang solusyon sa anyo ng isang talahanayan para sa kalinawan.
| Dibidendo | Divider | Pribado | natitira |
| 343 | 287 | 1 | 56 |
| 287 | 56 | 5 | 7 |
| 56 | 7 | 8 | 0 |
Kaya, GCD (344.287) = 7
Paano mo mahahanap ang least common multiple (LCM) ng parehong mga numero? Wala bang anumang paraan para dito, masyadong, na hindi nangangailangan ng isang paunang agnas ng mga numerong ito sa pangunahing mga kadahilanan? Ito ay lumalabas na mayroon, at, bukod dito, napaka-simple. Kailangan mong i-multiply ang mga numerong ito at hatiin ang produkto sa greatest common divisor (GCD) na nakita namin. Sa halimbawang ito, ang produkto ng mga numero ay 98441. Hatiin ito sa 7 upang makuha ang numerong 14063. LCM (343.287) = 14063.
Isa sa mahirap na paksa sa matematika ay ang paglutas ng problema sa salita. Kinakailangang ipakita sa mga mag-aaral kung paano malulutas ng mga konsepto ng "Greatest common divisor (GCD)" at "Least common multiple (LCM)" ang mga problema na kung minsan ay mahirap lutasin sa karaniwang paraan. Dito nararapat na isaalang-alang sa mga mag-aaral, kasama ang mga gawaing iminungkahi ng mga may-akda ng aklat-aralin sa paaralan, mga luma at nakakaaliw na gawain na nagpapaunlad ng pagkamausisa ng mga bata at nagpapataas ng interes sa pag-aaral ng paksang ito. Ang mahusay na kaalaman sa mga konseptong ito ay nagpapahintulot sa mga mag-aaral na makakita ng magandang solusyon sa isang hindi karaniwang problema. At kung ang mood ng isang bata ay tumaas pagkatapos malutas ang isang magandang problema, ito ay tanda ng matagumpay na trabaho.
Kaya, ang pag-aaral sa paaralan ng mga konsepto tulad ng "Greatest common divisor (GCD)" at "Least common multiple (LCM)" ng mga numero
Pinapayagan kang makatipid ng oras na ginugol sa trabaho, na humahantong sa isang makabuluhang pagtaas sa dami ng mga nakumpletong gawain;
Pinapataas ang bilis at katumpakan ng pagsasagawa ng mga pagpapatakbo ng aritmetika, na humahantong sa isang makabuluhang pagbawas sa bilang ng mga pinahihintulutang error sa pagkalkula;
Binibigyang-daan kang makahanap ng magagandang paraan upang malutas ang hindi karaniwang mga problema sa salita;
Nabubuo ang pagkamausisa ng mga mag-aaral, pinalawak ang kanilang mga abot-tanaw;
Lumilikha ng mga kinakailangan para sa edukasyon ng isang maraming nalalaman na malikhaing personalidad.
Ang GCD ang pinakamalaking common denominator.
Upang mahanap ang pinakamalaking karaniwang divisor ng ilang numero, kailangan mo:
- matukoy ang mga kadahilanan na karaniwan sa parehong mga numero;
- hanapin ang produkto ng mga karaniwang salik.
Isang halimbawa ng paghahanap ng GCD:
Hanapin ang GCD ng mga numerong 315 at 245.
315 = 5 * 3 * 3 * 7;
245 = 5 * 7 * 7.
2. Isulat natin ang mga salik na karaniwan sa parehong mga numero:
3. Hanapin ang produkto ng mga karaniwang salik:
GCD (315; 245) = 5 * 7 = 35.
Sagot: GCD (315; 245) = 35.
Paghahanap ng NOC
Ang LCM ay ang Least Common Multiple.
Upang mahanap ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng ilang mga numero, kailangan mo:
- mabulok ang mga numero sa pangunahing mga kadahilanan;
- isulat ang mga salik na kasama sa pagkabulok ng isa sa mga numero;
- idagdag sa kanila ang mga nawawalang salik mula sa pagpapalawak ng pangalawang numero;
- hanapin ang produkto ng mga nagresultang salik.
Isang halimbawa ng paghahanap ng LCM:
Hanapin ang LCM ng mga numero 236 at 328:
1. I-decompose natin ang mga numero sa prime factors:
236 = 2 * 2 * 59;
328 = 2 * 2 * 2 * 41.
2. Isulat natin ang mga salik na kasama sa pagkabulok ng isa sa mga numero at idagdag sa kanila ang mga nawawalang salik mula sa pagkabulok ng pangalawang numero:
2; 2; 59; 2; 41.
3. Hanapin ang produkto ng mga nagresultang salik:
LCM (236; 328) = 2 * 2 * 59 * 2 * 41 = 19352.
Sagot: LCM (236; 328) = 19352.
Upang mahanap ang GCD (pinakamahusay na karaniwang divisor) ng dalawang numero, kailangan mo:
2. Hanapin (salungguhitan) ang lahat ng karaniwang pangunahing salik sa mga resultang pagpapalawak.
3. Hanapin ang produkto ng karaniwang prime factor.
Upang mahanap ang LCM (least common multiple) ng dalawang numero, kailangan mo ng:
1. I-decompose ang mga numerong ito sa prime factors.
2. Ang pagpapalawak ng isa sa mga ito ay dapat dagdagan ng mga salik na iyon ng pagpapalawak ng iba pang numero, na wala sa pagpapalawak ng una.
3. Kalkulahin ang produkto ng nakuhang mga salik.
Binibigyang-daan ka ng online na calculator na mabilis na mahanap ang pinakamalaking common divisor at least common multiple para sa dalawa o anumang iba pang bilang ng mga numero.
Calculator para sa paghahanap ng GCD at LCM
Hanapin ang GCD at LCM
Natagpuan ang GCD at NOC: 5806
Paano gamitin ang calculator
- Maglagay ng mga numero sa input field
- Kung nagpasok ka ng mga maling character, ang input field ay iha-highlight sa pula
- i-click ang button na "Hanapin ang GCD at LCM"
Paano magpasok ng mga numero
- Ang mga numero ay ipinasok na pinaghihiwalay ng espasyo, tuldok o kuwit
- Ang haba ng mga inilagay na numero ay hindi limitado, kaya hindi magiging mahirap ang paghahanap ng GCD at LCM ng mahahabang numero
Ano ang GCD at NOC?
Pinakamahusay na karaniwang divisor maramihang numero - ito ang pinakamalaking natural na integer kung saan ang lahat ng orihinal na numero ay nahahati nang walang natitira. Ang pinakamalaking karaniwang kadahilanan ay dinaglat bilang Gcd.
Hindi bababa sa karaniwang maramihang ang maramihang mga numero ay ang pinakamaliit na numero na nahahati sa bawat isa sa mga orihinal na numero nang walang natitira. Ang hindi bababa sa karaniwang maramihang ay dinaglat bilang NOC.
Paano suriin na ang isang numero ay nahahati sa isa pang numero nang walang natitira?
Upang malaman kung ang isang numero ay nahahati ng isa pa nang walang natitira, maaari mong gamitin ang ilan sa mga katangian ng divisibility ng mga numero. Pagkatapos, sa pamamagitan ng pagsasama-sama ng mga ito, masusuri ng isa ang divisibility sa ilan sa mga ito at ang kanilang mga kumbinasyon.
Ang ilang mga palatandaan ng divisibility ng mga numero
1. Ang pamantayan para sa divisibility ng isang numero sa pamamagitan ng 2
Upang matukoy kung ang isang numero ay nahahati sa dalawa (kung ito ay kahit), sapat na upang tingnan ang huling digit ng numerong ito: kung ito ay 0, 2, 4, 6 o 8, kung gayon ang numero ay pantay, na nangangahulugang ito ay nahahati sa 2.
Halimbawa: tukuyin kung ang 34938 ay mahahati ng 2.
Solusyon: tingnan ang huling digit: 8 - kaya ang numero ay nahahati sa dalawa.
2. Ang tanda ng divisibility ng isang numero sa pamamagitan ng 3
Ang isang numero ay nahahati sa 3 kapag ang kabuuan ng mga digit nito ay nahahati sa tatlo. Kaya, upang matukoy kung ang isang numero ay mahahati ng 3, kailangan mong kalkulahin ang kabuuan ng mga digit at suriin kung ito ay mahahati ng 3. Kahit na ang kabuuan ng mga digit ay napakalaki, maaari mong ulitin ang parehong proseso muli.
Halimbawa: tukuyin kung ang 34938 ay mahahati ng 3.
Solusyon: binibilang namin ang kabuuan ng mga digit: 3 + 4 + 9 + 3 + 8 = 27.27 ay nahahati sa 3, na nangangahulugan na ang numero ay nahahati sa tatlo.
3. Ang tanda ng divisibility ng isang numero sa pamamagitan ng 5
Ang isang numero ay nahahati sa 5 kapag ang huling digit nito ay zero o lima.
Halimbawa: tukuyin kung ang 34938 ay mahahati sa 5.
Solusyon: tingnan ang huling digit: 8 ay nangangahulugan na ang numero ay HINDI nahahati sa lima.
4. Ang tanda ng divisibility ng isang numero sa pamamagitan ng 9
Ang tampok na ito ay halos kapareho sa divisibility ng tatlo: ang isang numero ay nahahati ng 9 kapag ang kabuuan ng mga digit nito ay nahahati ng 9.
Halimbawa: tukuyin kung ang 34938 ay mahahati ng 9.
Solusyon: binibilang namin ang kabuuan ng mga digit: 3 + 4 + 9 + 3 + 8 = 27.27 ay nahahati sa 9, na nangangahulugan na ang numero ay nahahati sa siyam.
Paano mahanap ang gcd at LCM ng dalawang numero
Paano mahanap ang gcd ng dalawang numero
Ang pinakasimpleng paraan upang kalkulahin ang pinakamalaking karaniwang divisor ng dalawang numero ay upang mahanap ang lahat ng posibleng divisors ng mga numerong iyon at piliin ang pinakamalaki.
Isaalang-alang natin ang pamamaraang ito gamit ang halimbawa ng paghahanap ng GCD (28, 36):
- I-factor ang parehong numero: 28 = 1 2 2 7, 36 = 1 2 2 3 3
- Nahanap namin ang mga karaniwang kadahilanan, iyon ay, ang parehong mga numero ay may: 1, 2 at 2.
- Kinakalkula namin ang produkto ng mga salik na ito: 1 · 2 · 2 = 4 - ito ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numero 28 at 36.
Paano mahanap ang LCM ng dalawang numero
Mayroong dalawang pinakakaraniwang paraan upang mahanap ang hindi bababa sa maramihang ng dalawang numero. Ang unang paraan ay maaari mong isulat ang mga unang multiple ng dalawang numero, at pagkatapos ay pumili sa kanila ng isang numero na magiging karaniwan sa parehong mga numero at sa parehong oras ang pinakamaliit. At ang pangalawa ay upang mahanap ang GCD ng mga numerong ito. Isaalang-alang natin ito lamang.
Upang kalkulahin ang LCM, kailangan mong kalkulahin ang produkto ng mga orihinal na numero at pagkatapos ay hatiin ito sa dating nakitang GCD. Hanapin natin ang LCM para sa parehong mga numero 28 at 36:
- Hanapin ang produkto ng mga numero 28 at 36: 28 36 = 1008
- Ang GCD (28, 36), gaya ng alam na, ay katumbas ng 4
- LCM (28, 36) = 1008/4 = 252.
Paghahanap ng GCD at LCM para sa ilang numero
Ang pinakamalaking karaniwang kadahilanan ay matatagpuan para sa ilang mga numero, hindi lamang dalawa. Para dito, ang mga numerong hahanapin para sa pinakamalaking karaniwang salik ay nabubulok sa mga pangunahing salik, pagkatapos ay makikita ang produkto ng mga karaniwang pangunahing salik ng mga numerong ito. Gayundin, upang mahanap ang GCD ng ilang numero, maaari mong gamitin ang sumusunod na ratio: Gcd (a, b, c) = gcd (gcd (a, b), c).
Ang isang katulad na relasyon ay wasto para sa hindi bababa sa karaniwang maramihang: LCM (a, b, c) = LCM (LCM (a, b), c)
Halimbawa: hanapin ang GCD at LCM para sa mga numero 12, 32 at 36.
- Una, i-factor ang mga numero: 12 = 1 2 2 3, 32 = 1 2 2 2 2 2 2, 36 = 1 2 2 3 3 3.
- Maghanap tayo ng mga karaniwang salik: 1, 2 at 2.
- Ang kanilang produkto ay magbibigay sa GCD: 1 2 2 = 4
- Hanapin natin ngayon ang LCM: para dito, hanapin muna natin ang LCM (12, 32): 12 · 32/4 = 96.
- Upang mahanap ang LCM ng lahat ng tatlong numero, kailangan mong hanapin ang GCD (96, 36): 96 = 1 2 2 2 2 2 2 3, 36 = 1 2 2 3 3, GCD = 1 2 2 3 = 12.
- LCM (12, 32, 36) = 96 36/12 = 288.
Kahulugan. Ang pinakamalaking natural na bilang kung saan ang mga numerong a at b ay nahahati nang walang natitira ay tinatawag pinakamalaking karaniwang kadahilanan (gcd) ang mga numerong ito.
Hanapin ang pinakamalaking karaniwang divisor ng 24 at 35.
Ang mga divisors ng 24 ay ang mga numerong 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24, at ang mga divisors ng 35 ay ang mga numerong 1, 5, 7, 35.
Nakikita natin na ang mga numerong 24 at 35 ay mayroon lamang isang karaniwang divisor - ang numero 1. Ang mga naturang numero ay tinatawag kapwa simple.
Kahulugan. Ang mga natural na numero ay tinatawag kapwa simple kung ang kanilang greatest common divisor (GCD) ay 1.
Pinakamahusay na karaniwang divisor (GCD) ay matatagpuan nang hindi isinusulat ang lahat ng mga divisors ng mga ibinigay na numero.
Ang pag-factor ng mga numero 48 at 36, nakukuha natin:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
Mula sa mga salik na kasama sa agnas ng una sa mga numerong ito, tanggalin ang mga hindi kasama sa agnas ng pangalawang numero (iyon ay, dalawang dalawa).
Ang mga kadahilanan ay nananatiling 2 * 2 * 3. Ang kanilang produkto ay 12. Ang numerong ito ay ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga numero 48 at 36. Ang pinakamalaking karaniwang divisor ng tatlo o higit pang mga numero ay matatagpuan din.
Hanapin pinakamalaking karaniwang kadahilanan
2) mula sa mga kadahilanan na kasama sa agnas ng isa sa mga numerong ito, tanggalin ang mga hindi kasama sa agnas ng iba pang mga numero;
3) hanapin ang produkto ng natitirang mga kadahilanan.
Kung ang lahat ng mga numerong ito ay nahahati sa isa sa kanila, ang numerong ito ay pinakamalaking karaniwang kadahilanan binigay na mga numero.
Halimbawa, ang pinakamalaking karaniwang divisor ng 15, 45, 75, at 180 ay 15, dahil ang lahat ng iba pang mga numero ay nahahati nito: 45, 75, at 180.
Least Common Multiple (LCM)
Kahulugan. Least Common Multiple (LCM) Ang mga natural na numero a at b ay tinatawag na pinakamaliit na natural na numero, na isang multiple ng parehong a at b. Ang least common multiple (LCM) ng mga numerong 75 at 60 ay makikita nang hindi isinusulat ang mga multiple ng mga numerong ito sa isang hilera. Upang gawin ito, nabubulok namin ang 75 at 60 sa pangunahing mga kadahilanan: 75 = 3 * 5 * 5, at 60 = 2 * 2 * 3 * 5.
Isulat natin ang mga salik na kasama sa agnas ng una sa mga numerong ito, at idagdag sa kanila ang nawawalang mga salik 2 at 2 mula sa agnas ng pangalawang numero (i.e., pagsamahin ang mga salik).
Nakukuha namin ang limang salik 2 * 2 * 3 * 5 * 5, ang produkto nito ay 300. Ang numerong ito ay ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng 75 at 60.
Hanapin din ang hindi bababa sa karaniwang multiple para sa tatlo o higit pang mga numero.
Upang maghanap ng hindi bababa sa karaniwang maramihang ilang natural na numero, kailangan mo:
1) mabulok ang mga ito sa pangunahing mga kadahilanan;
2) isulat ang mga salik na kasama sa pagkabulok ng isa sa mga numero;
3) idagdag sa kanila ang mga nawawalang salik mula sa pagpapalawak ng natitirang mga numero;
4) hanapin ang produkto ng mga nagresultang salik.
Tandaan na kung ang isa sa mga numerong ito ay mahahati sa lahat ng iba pang mga numero, ang numerong ito ay ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numerong ito.
Halimbawa, ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng 12, 15, 20, at 60 ay 60 dahil ito ay nahahati sa lahat ng mga numerong ito.
Pinag-aralan ni Pythagoras (VI siglo BC) at ng kanyang mga estudyante ang tanong ng divisibility ng mga numero. Isang numero na katumbas ng kabuuan ng lahat ng mga divisors nito (nang walang numero mismo), tinawag nila ang isang perpektong numero. Halimbawa, ang mga numero 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) ay perpekto. Ang susunod na perpektong numero ay 496, 8128, 33 550 336. Alam lamang ng mga Pythagorean ang unang tatlong perpektong numero. Ang ikaapat - 8128 - ay nakilala noong ika-1 siglo. n. e. Ang ikalima - 33 550 336 - ay natagpuan noong ika-15 siglo. Sa pamamagitan ng 1983, 27 perpektong numero ay kilala na. Ngunit hanggang ngayon, hindi alam ng mga siyentipiko kung mayroong kakaibang perpektong numero, kung mayroong pinakamalaking perpektong numero.
Ang interes ng mga sinaunang mathematician sa mga prime number ay dahil sa ang katunayan na ang anumang numero ay alinman sa prime o maaaring kinakatawan bilang isang produkto ng mga prime number, iyon ay, ang mga prime number ay tulad ng mga brick kung saan ang natitirang mga natural na numero ay binuo.
Marahil ay napansin mo na ang mga pangunahing numero sa isang serye ng mga natural na numero ay nangyayari nang hindi pantay - sa ilang bahagi ng serye ay mas marami sa kanila, sa iba - mas kaunti. Ngunit habang patuloy tayong gumagalaw sa serye ng numero, hindi gaanong karaniwan ang mga prime number. Ang tanong ay lumitaw: mayroon bang huling (pinakamalaking) prime number? Ang sinaunang Griyegong matematiko na si Euclid (III siglo BC) sa kanyang aklat na "Mga Simula", na sa loob ng dalawang libong taon ang pangunahing aklat-aralin ng matematika, ay nagpatunay na mayroong walang katapusang maraming mga prime, iyon ay, sa likod ng bawat prime mayroong isang mas malaking prime number. .
Upang makahanap ng mga prime number, isa pang Greek mathematician noong panahong iyon, si Eratosthenes, ang gumawa ng ganitong paraan. Isinulat niya ang lahat ng mga numero mula 1 hanggang sa ilang numero, at pagkatapos ay i-cross out ang isang yunit na hindi prime o composite na numero, pagkatapos ay i-cross out ang lahat ng numero pagkatapos ng 2 (mga numerong nahahati sa 2, ibig sabihin, 4, 6, 8, atbp. .). Ang unang natitirang numero pagkatapos ng 2 ay 3. Pagkatapos ang lahat ng mga numero pagkatapos ng 3 (mga numero na multiple ng 3, iyon ay, 6, 9, 12, atbp.) ay na-cross out pagkatapos ng dalawa. sa huli, tanging ang mga prime number lang ang nananatiling uncrossed.
Upang maunawaan kung paano kalkulahin ang LCM, kailangan mo munang magpasya sa kahulugan ng terminong "multiple".
Ang multiple ng A ay isang natural na numero na nahahati nang walang natitira sa A. Kaya, ang mga multiple ng 5 ay maaaring ituring na 15, 20, 25, at iba pa.
Maaaring may limitadong bilang ng mga divisors ng isang partikular na numero, ngunit mayroong walang katapusang maraming multiple.
Ang karaniwang multiple ng mga natural na numero ay isang numero na nahahati ng mga ito nang walang nalalabi.
Paano mahanap ang hindi bababa sa karaniwang maramihang mga numero
Ang least common multiple (LCM) ng mga numero (dalawa, tatlo, o higit pa) ay ang pinakamaliit na natural na numero na pantay na nahahati ng lahat ng mga numerong ito.
Mayroong ilang mga paraan upang mahanap ang LCM.
Para sa maliliit na numero, maginhawang isulat ang lahat ng multiple ng mga numerong ito sa isang linya hanggang sa magkaroon ng karaniwan sa kanila. Ang mga multiple ay itinalaga sa entry na may malaking titik K.
Halimbawa, ang mga multiple ng 4 ay maaaring isulat ng ganito:
K (4) = (8.12, 16, 20, 24, ...)
K (6) = (12, 18, 24, ...)
Kaya, makikita mo na ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng 4 at 6 ay 24. Ang entry na ito ay ginanap bilang sumusunod:
LCM (4, 6) = 24
Kung ang mga numero ay malaki, hanapin ang karaniwang multiple ng tatlo o higit pang mga numero, pagkatapos ay mas mahusay na gumamit ng ibang paraan para sa pagkalkula ng LCM.
Upang makumpleto ang gawain, kailangan mong i-decompose ang mga iminungkahing numero sa mga pangunahing kadahilanan.
Una kailangan mong isulat ang pagpapalawak ng pinakamalaking ng mga numero sa isang linya, at sa ibaba nito - ang natitira.
Sa decomposition ng bawat numero, maaaring magkaroon ng ibang bilang ng mga salik.
Halimbawa, i-factor natin ang mga numerong 50 at 20 sa prime factor.
Sa pagpapalawak ng isang mas maliit na numero, dapat mong bigyang-diin ang mga salik na wala sa pagpapalawak ng unang pinakamalaking bilang, at pagkatapos ay idagdag ang mga ito dito. Sa halimbawang ipinakita, isang dalawa ang nawawala.
Maaari mo na ngayong kalkulahin ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng 20 at 50.
LCM (20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100
Kaya, ang produkto ng prime factor ng mas malaking numero at mga factor ng pangalawang numero na hindi kasama sa pagpapalawak ng mas malaking numero ang magiging least common multiple.
Upang mahanap ang LCM ng tatlong numero o higit pa, lahat ng mga ito ay dapat na mabulok sa mga pangunahing kadahilanan, tulad ng sa nakaraang kaso.
Bilang halimbawa, hanapin ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng 16, 24, 36.
36 = 2 * 2 * 3 * 3
24 = 2 * 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
Kaya, ang factorization ng isang mas malaking bilang sa mga kadahilanan ay hindi kasama lamang ang dalawang dalawa mula sa factorization ng labing-anim (isa ay nasa factorization ng dalawampu't apat).
Kaya, kailangan nilang idagdag sa pagpapalawak ng mas malaking bilang.
LCM (12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9
May mga espesyal na kaso ng pagtukoy ng hindi bababa sa karaniwang maramihang. Kaya, kung ang isa sa mga numero ay maaaring hatiin nang walang natitira sa isa pa, kung gayon ang mas malaki sa mga numerong ito ay ang hindi bababa sa karaniwang maramihang.
Halimbawa, ang LCM ng labindalawa at dalawampu't apat ay magiging dalawampu't apat.
Kung kailangan mong hanapin ang hindi bababa sa karaniwang multiple ng mga numero ng coprime na walang parehong divisors, ang kanilang LCM ay magiging katumbas ng kanilang produkto.
Halimbawa, LCM (10, 11) = 110.