द्विघात समीकरणों का हल। समीकरण और इसकी जड़ें: परिभाषाएं, उदाहरण

गणित में विभिन्न समीकरण होते हैं। उन्हें हमेशा हल करने की आवश्यकता होती है, अर्थात उन सभी संख्याओं की तलाश करना जो इसे एक सच्ची समानता बना दें। समाधान खोजने के तरीके समीकरण के प्रारंभिक रूप से निर्धारित होते हैं। चर के सही मानों की संख्या, जिन्हें समीकरण के मूल के रूप में निर्दिष्ट किया गया है, भी इस पर निर्भर करेगा। यह संख्या शून्य से अनंत तक भिन्न हो सकती है।

समीकरण और उसके मूल से क्या तात्पर्य है?

नाम से यह स्पष्ट है कि यह दो मात्राओं की बराबरी करता है जिन्हें संख्यात्मक या वर्णमाला के भावों द्वारा दर्शाया जा सकता है। इसके अलावा, उनमें अभी भी अज्ञात मात्राएँ हैं। सबसे सरल समीकरण में केवल एक होता है।

समीकरणों के प्रकार एक बड़ी संख्या की, लेकिन उनके लिए जड़ की अवधारणा हमेशा समान होती है। एक समीकरण का मूल एक अज्ञात संख्या का वह मान होता है जिस पर समीकरण एक वास्तविक समानता बन जाता है। ऐसी स्थितियाँ होती हैं जब ऐसी कई संख्याएँ होती हैं, तो अज्ञात को चर कहा जाता है।

किसी समीकरण के सभी संभावित मूल ज्ञात करना ही उसका हल होता है। यही है, आपको गणितीय कार्यों की एक श्रृंखला करने की आवश्यकता है जो इसे सरल बनाते हैं। और फिर वे समानता की ओर ले जाते हैं, जिसमें केवल अज्ञात और कुछ संख्या होती है।

बीजगणित में, समीकरणों को हल करते समय, आप ऐसी स्थिति में आ सकते हैं कि कोई मूल नहीं होगा। तब वे कहते हैं कि यह असंभव है। और इस तरह के समीकरण के उत्तर में, आपको यह लिखना होगा कि कोई समाधान नहीं है।

लेकिन कभी-कभी इसके विपरीत होता है। यही है, कई परिवर्तनों की प्रक्रिया में, बाहरी जड़ें दिखाई देती हैं। प्रतिस्थापित करते समय वे सच्ची समानता नहीं देंगे। इसलिए, उत्तर में अतिरिक्त जड़ों वाली स्थिति से बचने के लिए हमेशा संख्याओं की जाँच करनी चाहिए। अन्यथा, समीकरण हल नहीं माना जाएगा।

रैखिक समीकरण के बारे में

इसे हमेशा निम्न रूप में परिवर्तित किया जा सकता है: a * x + b \u003d 0। इसमें, "a" हमेशा गैर-शून्य होता है। यह समझने के लिए कि समीकरण के कितने मूल हैं, इसे सामान्य तरीके से हल करना होगा।

परिवर्तन एल्गोरिथ्म:

• शब्द "सी" को समानता के दाईं ओर ले जाएं, इसके चिन्ह को विपरीत के साथ बदलें;
• परिणामी समानता के दोनों भागों को गुणांक "ए" से विभाजित करें।

समाधान का सामान्य रूप इस प्रकार है:

एक्स \u003d -वी / ए.

इससे स्पष्ट है कि उत्तर एक अंक होगा। यानी केवल एक जड़ है।

द्विघात समीकरण

इसकी सामान्य उपस्थिति: ए * एक्स 2 + बी * एक्स + सी = 0. यहां गुणांक पहले वाले "ए" को छोड़कर कोई भी संख्या है, जो शून्य नहीं हो सकता। आखिरकार, यह स्वचालित रूप से एक रैखिक में बदल जाएगा। समीकरण की कितनी जड़ें हैं, इस सवाल का जवाब अब उतना स्पष्ट नहीं होगा जितना कि पिछले मामले में था।

सब कुछ विवेचक के मूल्य पर निर्भर करेगा। इसकी गणना सूत्र के अनुसार की जाती है डी \u003d 2 - 4 ए * एस . में. गणना के बाद, "डी" शून्य से अधिक, कम या बराबर हो सकता है। पहले मामले में समीकरण के दो मूल होंगे, दूसरे में उत्तर "कोई जड़ नहीं" होगा, और तीसरी स्थिति अज्ञात का केवल एक मान देगी।

सूत्र जो द्विघात समीकरण की जड़ों को खोजने के लिए उपयोग किए जाते हैं, और जिसमें एक विवेचक होता है

सामान्य तौर पर, जब "डी" एक सकारात्मक संख्या है जो शून्य के बराबर नहीं है, तो आपको निम्न सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता है:

x 1.2 \u003d (-इन ± D) / (2 * ए).

यहां हमेशा दो जवाब होते हैं। यह इस तथ्य के कारण है कि मूल सूत्र में प्लस / माइनस चिह्न है। यह अज्ञात के मूल्य को महत्वपूर्ण रूप से बदल देता है।

जब "D" शून्य के बराबर होता है, तो समीकरण का मूल एक एकल संख्या होती है। सिर्फ इसलिए कि शून्य का वर्गमूल शून्य होता है। तो, आपको शून्य जोड़ना और घटाना होगा। यह संख्या नहीं बदलेगी। इसलिए, समीकरण की जड़ का सूत्र "डी" का उल्लेख किए बिना लिखा जा सकता है:

एक्स \u003d (-बी) / (2 * ए)।

विवेचक के ऋणात्मक मान के साथ, उसमें से वर्गमूल निकालना संभव नहीं है। इसलिए, इस समीकरण की कोई जड़ें नहीं होंगी।

टिप्पणी। यह पाठ्यक्रम के लिए सच है स्कूल के पाठ्यक्रम, जो सम्मिश्र संख्याओं का अध्ययन नहीं करता है। जब उनका परिचय कराया जाता है, तो पता चलता है कि इस स्थिति में दो उत्तर होंगे।

एक द्विघात समीकरण की जड़ों की गणना के लिए सूत्र जो एक विवेचक का उपयोग नहीं करते हैं

यह विएटा का प्रमेय है। यह तब मान्य होता है जब द्विघात समीकरण को थोड़े भिन्न रूप में लिखा जाता है:

एक्स 2 + बी * एक्स + सी = 0।

फिर द्विघात समीकरण की जड़ों का सूत्र दो रैखिक समीकरणों को हल करने के लिए घटाया जाता है:

एक्स 1 + एक्स 2 = -इन
और
एक्स 1 * एक्स 2 = एस।

यह इस तथ्य के कारण हल किया जाता है कि जड़ों में से एक के लिए अभिव्यक्ति पहले से ली गई है। और इस मान को दूसरे में प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए। तो दूसरी जड़ मिलेगी, और फिर पहली।

आप इस विकल्प पर कभी भी आ सकते हैं सामान्य दृष्टि सेद्विघात समीकरण।

यह सभी गुणांकों को "ए" से विभाजित करने के लिए पर्याप्त है।

क्या होगा यदि आपको रूट का सबसे छोटा मूल्य खोजने की आवश्यकता है?

समीकरण को हल करें और उत्तर में फिट होने वाली सभी संभावित संख्याएं खोजें। और फिर सबसे छोटा चुनें। यह समीकरण का सबसे छोटा मूल होगा।

अक्सर, ऐसे प्रश्न उन कार्यों में पाए जाते हैं जिनकी डिग्री 2 से अधिक होती है, या जिनमें त्रिकोणमितीय कार्य होते हैं। एक उदाहरण जब आपको सबसे छोटी जड़ खोजने की आवश्यकता होती है तो निम्न समानता है:

2 x 5 + 2 x 4 - 3 x 3 - 3 x 2 + x + 1 = 0.

प्रत्येक मान को खोजने के लिए जिसे "समीकरण की जड़" कहा जा सकता है, इस समानता को रूपांतरित किया जाना चाहिए। पहली क्रिया: इसके सदस्यों को जोड़ियों में समूहित करें: पहला दूसरे के साथ और इसी तरह। फिर प्रत्येक जोड़े में से उभयनिष्ठ गुणनखंड निकालें।

प्रत्येक कोष्ठक में (x + 1) होगा। पहले जोड़े में सामान्य गुणक 2 x 4 होगा, दूसरे 3 x 2 में। अब फिर से आपको सामान्य कारक को हटाने की जरूरत है, जो एक ही ब्रैकेट होगा।

गुणक के बाद (x + 1) होगा (2 x 4 - 3 x 2 + 1)। दो कारकों का गुणनफल शून्य तभी होता है जब उनमें से एक शून्य के बराबर हो।

x = -1 के लिए पहला कोष्ठक शून्य है। यह समीकरण की जड़ों में से एक होगा।

अन्य शून्य पर सेट किए गए दूसरे कोष्ठक द्वारा बनाए गए समीकरण से प्राप्त होंगे। यह द्वि-वर्ग है। इसे हल करने के लिए, आपको अंकन दर्ज करना होगा: x 2 \u003d y। तब समीकरण महत्वपूर्ण रूप से बदल जाएगा और द्विघात समीकरण का सामान्य रूप ले लेगा।

इसका विवेचक D \u003d 1 के बराबर है। यह शून्य से बड़ा है, जिसका अर्थ है कि दो जड़ें होंगी। पहली जड़ 1 निकली, दूसरी 0.5 होगी। लेकिन ये "y" के अर्थ हैं।

आपको दर्ज पदनाम पर वापस जाने की आवश्यकता है। x 1.2 = ± 1, x 3.4 = ± 0.5। समीकरण के सभी मूल: -1; एक; -√0.5; 0.5. उनमें से सबसे छोटा -1 है। यही उत्तर है।

एक निष्कर्ष के रूप में

रिमाइंडर: यह देखने के लिए कि क्या रूट फिट बैठता है, सभी समीकरणों की जाँच करने की आवश्यकता है। शायद वह एक बाहरी व्यक्ति है? यह प्रस्तावित उदाहरण की जाँच के लायक है।

यदि हम "x" के बजाय शुरू में दिए गए समीकरण में से एक को प्रतिस्थापित करते हैं, तो यह पता चलता है कि 0 \u003d 0. यह मूल सही है।

यदि x = -1, तो वही परिणाम प्राप्त होता है। जड़ भी अच्छी है।

इसी तरह -√0.5 और 0.5 के बराबर "x" के मान के साथ, सही समानता फिर से सामने आती है। सभी जड़ें फिट हैं।

इस उदाहरण ने बाहरी जड़ें नहीं दीं। ऐसा हमेशा नहीं होता। यह अच्छी तरह से पता चल सकता है कि सबसे छोटा मूल्य परीक्षण के लिए उपयुक्त नहीं होगा। फिर आपको बाकी में से चुनना होगा।

निष्कर्ष: आपको चेक के बारे में याद रखने और निर्णय को ध्यान से देखने की आवश्यकता है।

यदि दो राशियाँ हैं, और उनके बीच एक समान चिह्न है, तो यह एक उदाहरण है जिसे समीकरण कहा जाता है। अज्ञात की गणना करते हुए, हम मूल पाते हैं। इस अज्ञात को डीक्लासिफाई करने के लिए आपको कैलकुलेशन पर काम करना होगा।

यदि हम एक विशिष्ट समीकरण को काम में लेते हैं तो यह स्पष्ट हो जाएगा: x + 10 \u003d 16-2x। यह रैखिक, इसके मुक्त सदस्यों और अज्ञात x को संदर्भित करता है। हम इन घटकों को समान चिह्न से अलग-अलग दिशाओं में फैलाते हैं। अब समीकरण ने यह रूप ले लिया है: 2x + x \u003d 16 - 10 या 3x \u003d 6; x = 2। परिणाम: x = 2। उदाहरण में जहां वांछित चुकता है, जड़ की गणना करने के लिए थोड़ा और ज्ञान की आवश्यकता है। यह समीकरण द्विघात है और रैखिक से इसका अंतर यह है कि 1 या 2 परिणाम हो सकते हैं या यह पाया जाएगा कि जड़ें 0 हैं। बेहतर ढंग से समझने के लिए, हम समीकरण को हल करते हैं: X वर्ग, 3 + 3X = 90 से गुणा किया जाता है . हम इसे इस तरह बनाते हैं कि 0 दाईं ओर बना: X2 x 3 + 3X -90 = 0. X के सामने की संख्या 1, 3, 3 के गुणांक हैं। विवेचक की परिभाषा आवश्यक है: हम वर्ग 3 - दूसरा गुणांक और 1 और 3 के गुणनफल को घटाएं। परिणामस्वरूप, हमें 6 प्राप्त होता है - जिसका अर्थ है कि गणना को पूरा करने पर, हम पाते हैं कि इस समीकरण के 2 मूल हैं। यदि विवेचक को ऋणात्मक संख्या के रूप में व्यक्त किया जाता है, तो यह अपरिमेय होगा जड़ों की गणना में उत्कृष्टता प्राप्त करने के लिए - वे बस मौजूद नहीं हैं। मामले में डी = 0, रूट केवल 1 है। अब हम इन 2 जड़ों को निर्धारित करने के लिए गणना करते हैं। एक चिह्न के साथ दूसरे गुणांक में 1 मूल की गणना करने के लिए - डी की जड़ जोड़ें और इसे पहले गुणांक से दो बार विभाजित करें: -3 + 16 का वर्गमूल, 2 से विभाजित करें। यह 1/2 निकलेगा। सेकण्ड की गणना समान है, केवल D का मूल घटाया जा सकता है। परिणामस्वरूप, हमारे पास 3 पूर्णांक और 1/2 हैं।

द्विघात समीकरण से अधिक जटिल एक घन है। यह इस तरह दिखता है: x3-3x2-4x+20=0. हम एक संख्या का चयन करते हैं जिसके द्वारा मुक्त पद को विभाजित किया जा सकता है ताकि 0 बाईं ओर दिखाई दे। 20 के भाजक ±1, ±2, ±4, ±5, ± 10, ± 20 हैं। यह पता चला है कि यह एक है 5 का भाजक, यह भी वांछित मूलों में से एक है। यह द्विघात समीकरण को हल करना बाकी है और सभी जड़ों को जाना जाता है।

वह सब ज्ञान है। कुछ भी जटिल नहीं है, लेकिन इसे बहुत सरल बनाने के लिए, आप एक ऑनलाइन कैलकुलेटर का उपयोग कर सकते हैं।

कक्षा 8 में द्विघात समीकरणों का अध्ययन किया जाता है, इसलिए यहाँ कुछ भी जटिल नहीं है। उन्हें हल करने की क्षमता जरूरी है।

द्विघात समीकरण ax 2 + bx + c = 0 के रूप का एक समीकरण है, जहां गुणांक a , b और c मनमानी संख्याएं हैं, और a 0।

विशिष्ट समाधान विधियों का अध्ययन करने से पहले, हम ध्यान दें कि सभी द्विघात समीकरणों को तीन वर्गों में विभाजित किया जा सकता है:

1. कोई जड़ नहीं है;
2. उनकी ठीक एक जड़ है;
3. उनकी दो अलग-अलग जड़ें हैं।

यह महत्वपूर्ण अंतर है द्विघातीय समीकरणरैखिक से, जहां जड़ हमेशा मौजूद होती है और अद्वितीय होती है। कैसे निर्धारित करें कि एक समीकरण की कितनी जड़ें हैं? इसमें एक अद्भुत बात है - विभेदक.

विभेदक

मान लीजिए कि द्विघात समीकरण ax 2 + bx + c = 0 दिया गया है, तो विवेचक केवल संख्या D = b 2 − 4ac है।

इस सूत्र को दिल से जानना चाहिए। यह कहां से आता है यह अब महत्वपूर्ण नहीं है। एक और बात महत्वपूर्ण है: विवेचक के चिह्न से, आप यह निर्धारित कर सकते हैं कि द्विघात समीकरण की कितनी जड़ें हैं। अर्थात्:

1. अगर डी< 0, корней нет;
2. यदि D = 0 है, तो ठीक एक मूल है;
3. यदि D > 0, तो दो मूल होंगे।

कृपया ध्यान दें: विवेचक जड़ों की संख्या को इंगित करता है, और उनके सभी संकेतों को नहीं, जैसा कि किसी कारण से बहुत से लोग सोचते हैं। उदाहरणों पर एक नज़र डालें और आप खुद ही सब कुछ समझ जाएंगे:

काम। द्विघात समीकरणों की कितनी जड़ें होती हैं:

1. एक्स 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. एक्स 2 - 6x + 9 = 0।

हम पहले समीकरण के लिए गुणांक लिखते हैं और विवेचक पाते हैं:
ए = 1, बी = -8, सी = 12;
डी = (−8) 2 - 4 1 12 = 64 - 48 = 16

तो, विवेचक सकारात्मक है, इसलिए समीकरण की दो अलग-अलग जड़ें हैं। हम दूसरे समीकरण का उसी तरह विश्लेषण करते हैं:
ए = 5; बी = 3; सी = 7;
डी \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131।

विभेदक नकारात्मक है, कोई जड़ नहीं है। अंतिम समीकरण रहता है:
ए = 1; बी = -6; सी = 9;
डी = (-6) 2 - 4 1 9 = 36 - 36 = 0।

विवेचक शून्य के बराबर है - मूल एक होगा।

ध्यान दें कि प्रत्येक समीकरण के लिए गुणांक लिखे गए हैं। हां, यह लंबा है, हां, यह थकाऊ है - लेकिन आप बाधाओं को नहीं मिलाएंगे और मूर्खतापूर्ण गलतियां नहीं करेंगे। अपने लिए चुनें: गति या गुणवत्ता।

वैसे, यदि आप "अपना हाथ भरते हैं", तो थोड़ी देर बाद आपको सभी गुणांक लिखने की आवश्यकता नहीं होगी। आप अपने सिर में ऐसे ऑपरेशन करेंगे। ज्यादातर लोग 50-70 हल समीकरणों के बाद कहीं ऐसा करना शुरू करते हैं - सामान्य तौर पर, इतने नहीं।

द्विघात समीकरण की जड़ें

अब चलिए समाधान की ओर बढ़ते हैं। यदि विभेदक D > 0 है, तो सूत्रों का उपयोग करके जड़ों को पाया जा सकता है:

द्विघात समीकरण के मूल का मूल सूत्र

जब डी = 0, आप इनमें से किसी भी सूत्र का उपयोग कर सकते हैं - आपको वही संख्या मिलती है, जिसका उत्तर होगा। अंत में, यदि डी< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. एक्स 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x 2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

पहला समीकरण:
एक्स 2 - 2x - 3 = 0 ए = 1; बी = -2; सी = -3;
डी = (-2) 2 - 4 1 (-3) = 16।

D > 0 समीकरण के दो मूल हैं। आइए उन्हें ढूंढते हैं:

दूसरा समीकरण:
15 − 2x - x 2 = 0 a = −1; बी = -2; सी = 15;
डी = (-2) 2 - 4 (-1) 15 = 64।

D > 0 समीकरण के दो मूल हैं। आइए उन्हें ढूंढते हैं

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \अंत (संरेखित करें)\]

अंत में, तीसरा समीकरण:
एक्स 2 + 12x + 36 = 0 ए = 1; बी = 12; सी = 36;
डी = 12 2 - 4 1 36 = 0।

D = 0 समीकरण का एक मूल है। किसी भी सूत्र का उपयोग किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, पहला वाला:

जैसा कि आप उदाहरणों से देख सकते हैं, सब कुछ बहुत सरल है। यदि आप सूत्र जानते हैं और गिनने में सक्षम हैं, तो कोई समस्या नहीं होगी। अक्सर, त्रुटियाँ तब होती हैं जब सूत्र में ऋणात्मक गुणांकों को प्रतिस्थापित किया जाता है। यहां, फिर से, ऊपर वर्णित तकनीक मदद करेगी: सूत्र को शाब्दिक रूप से देखें, प्रत्येक चरण को पेंट करें - और बहुत जल्द गलतियों से छुटकारा पाएं।

अपूर्ण द्विघात समीकरण

ऐसा होता है कि द्विघात समीकरण परिभाषा में दी गई चीज़ों से कुछ अलग है। उदाहरण के लिए:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 - 16 = 0.

यह देखना आसान है कि इन समीकरणों में से एक पद गायब है। इस तरह के द्विघात समीकरणों को मानक समीकरणों की तुलना में हल करना और भी आसान है: उन्हें विवेचक की गणना करने की भी आवश्यकता नहीं है। तो चलिए एक नई अवधारणा पेश करते हैं:

समीकरण कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी = 0 को अपूर्ण द्विघात समीकरण कहा जाता है यदि बी = 0 या सी = 0, अर्थात। चर x या मुक्त तत्व का गुणांक शून्य के बराबर है।

बेशक, एक बहुत ही कठिन मामला संभव है जब ये दोनों गुणांक शून्य के बराबर हों: b \u003d c \u003d 0. इस मामले में, समीकरण कुल्हाड़ी 2 \u003d 0 का रूप लेता है। जाहिर है, इस तरह के समीकरण में एक एकल होता है जड़: x \u003d 0.

आइए अन्य मामलों पर विचार करें। चलो बी \u003d 0, फिर हमें फॉर्म कुल्हाड़ी 2 + सी \u003d 0 का अधूरा द्विघात समीकरण मिलता है। आइए इसे थोड़ा रूपांतरित करें:

चूंकि अंकगणितीय वर्गमूल केवल एक गैर-ऋणात्मक संख्या से मौजूद होता है, अंतिम समानता केवल तभी समझ में आती है जब (−c / a ) 0. निष्कर्ष:

1. यदि ax 2 + c = 0 के रूप का एक अपूर्ण द्विघात समीकरण असमानता (−c / a ) 0 को संतुष्ट करता है, तो दो मूल होंगे। सूत्र ऊपर दिया गया है;
2. अगर (-सी / ए)< 0, корней нет.

जैसा कि आप देख सकते हैं, विवेचक की आवश्यकता नहीं थी - अपूर्ण द्विघात समीकरणों में कोई जटिल गणना नहीं है। वास्तव में, असमानता (−c / a ) 0 को याद रखना भी आवश्यक नहीं है। यह x 2 के मान को व्यक्त करने और समान चिह्न के दूसरी तरफ देखने के लिए पर्याप्त है। यदि कोई धनात्मक संख्या है, तो दो मूल होंगे। यदि ऋणात्मक है, तो जड़ें बिल्कुल नहीं होंगी।

अब आइए फार्म ax 2 + bx = 0 के समीकरणों पर विचार करें, जिसमें मुक्त तत्व शून्य के बराबर है। यहां सब कुछ सरल है: हमेशा दो जड़ें होंगी। यह बहुपद का गुणनखंड करने के लिए पर्याप्त है:

उभयनिष्ठ गुणनखंड को कोष्ठक से बाहर निकालना

उत्पाद शून्य के बराबर होता है जब कम से कम एक कारक शून्य के बराबर होता है। यहीं से जड़ें निकलती हैं। अंत में, हम इनमें से कई समीकरणों का विश्लेषण करेंगे:

काम। द्विघात समीकरणों को हल करें:

1. x2 - 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 - 9 = 0.

x 2 - 7x = 0 ⇒ x (x - 7) = 0 x 1 = 0; x2 = -(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6। कोई जड़ें नहीं हैं, क्योंकि वर्ग एक ऋणात्मक संख्या के बराबर नहीं हो सकता।

4x 2 - 9 = 0 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; एक्स 2 \u003d -1.5।

समीकरण का मूल ज्ञात करने के तरीके - गणना नियम।

एक समीकरण एक गणितीय अभिव्यक्ति है जिसमें एक या अधिक अज्ञात होते हैं। एक समीकरण को हल करने का अर्थ है उन तर्कों के ऐसे मूल्यों को खोजना जिनके लिए वामपंथ की समानता और सही भागभाव (दिए गए कार्यों के)। पाए गए मानों को समीकरण की जड़ें कहा जाता है।

गणित में, रैखिक, द्विघात और घन समीकरण प्रतिष्ठित हैं। समीकरण का मूल ज्ञात करने के लिए खास प्रकार काविभिन्न विधियों का उपयोग किया जाता है।

रेखीय समीकरण

a*x=b जैसे व्यंजक को रैखिक समीकरण कहा जाता है। इसमें a चर का गुणांक है, b मुक्त पद है। ऐसे तीन संभावित मामले हैं जिनमें:

• और 0. इस मामले में मूल की गणना सूत्र द्वारा की जाती है: x=b/a. उदाहरण के लिए, समीकरण x+3=9-2*x दिया गया है। "X" के साथ भाव एक दिशा में स्थानांतरित किए जाते हैं, और दूसरे में मुक्त सदस्य: x + 2 * x \u003d 9-3, या 3 * x \u003d 6. फिर x=6/3, x=2।
• ए = 0, बी = 0। समीकरण 0*x=0 रूप लेगा। यह समानता "X" के किसी भी मान के लिए सही होगी। अतः समीकरण का मूल कोई वास्तविक संख्या है।
• a \u003d 0, b 0. व्यंजक 0 * x \u003d b प्राप्त होगा, जिसके लिए कोई जड़ नहीं है।

द्विघात समीकरण

रूप का एक समीकरण द्विघात (a 0) कहलाता है। "ए" और "बी" को गुणांक कहा जाता है, और "सी" एक स्वतंत्र सदस्य है। जड़ों की संख्या विवेचक के मूल्य पर निर्भर करती है, जिसकी गणना सूत्र द्वारा की जाती है। मामले में अगर:

• डी<0 – для уравнения не существует корней.
• D=0 - एक मूल है, जो सूत्र द्वारा पाया जाता है: x=-b/(2*a)।
• D>0 - दो मूल निम्नानुसार परिभाषित हैं: उदाहरण के लिए, समीकरण 3*x2-2*x-5=0 दिया गया है। विभेदक डी=4-4*3*(-5)=64. दो जड़ें होंगी।

घन समीकरण

रूप के व्यंजक को घन समीकरण कहते हैं। इसकी कई जड़ें हो सकती हैं, जिनकी गणना के लिए आपको आवश्यकता होगी:

• सभी संभावित भाजक को तब तक प्रतिस्थापित करते हुए जब तक कि व्यंजक का बायाँ भाग शून्य न हो जाए, स्थिर पद "d" का भाजक मूल ज्ञात कीजिए।
• मूल समीकरण को पाए गए मूल से विभाजित करें, जिसके परिणामस्वरूप व्यंजक एक वर्ग रूप में कम हो जाएगा।
• परिणामी समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए। उदाहरण के लिए, एक समीकरण दिया गया है। मुक्त पद के भाजक 12 - ±2, ±3, ±4, ±6, ±12। बाईं तरफ x=2 पर 0 के बराबर मान लेता है। तो 2 पहली जड़ है। फिर आपको मूल अभिव्यक्ति को (x-2) से विभाजित करने की आवश्यकता है। द्विघात समीकरण प्राप्त करें। इसकी जड़ें संख्याएं हैं..

अन्य तरीके

आवश्यक मानों की बीजगणितीय गणना के अतिरिक्त, आप इसका उपयोग कर सकते हैं:

• मुफ्त ऑनलाइन कैलकुलेटर (allcalc.ru)।
• ग्राफिक रूप से, जब किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ प्लॉट किया जाता है, तो "X" अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु समीकरण के मूल होंगे।

आज हम USE के कार्य 5 को हल करने के कौशल को प्रशिक्षित करेंगे - समीकरण की जड़ का पता लगाएं। आइए समीकरण की जड़ की तलाश करें। ऐसे कार्यों को हल करने के उदाहरणों पर विचार करें। लेकिन पहले, आइए याद रखें - इसका क्या मतलब है - समीकरण की जड़ खोजने के लिए?

इसका मतलब है कि एक्स के तहत एन्क्रिप्टेड एक संख्या खोजना, जिसे हम एक्स के लिए प्रतिस्थापित करेंगे और हमारा समीकरण एक सच्ची समानता होगी।

उदाहरण के लिए, 3x=9 एक समीकरण है और 3 । 3=9 पहले से ही एक सच्ची समानता है। यह है इस मामले में, हमने x के बजाय संख्या 3 को प्रतिस्थापित किया - हमें सही अभिव्यक्ति या समानता मिली, जिसका अर्थ है कि हमने समीकरण को हल किया, अर्थात, हमें दी गई संख्या x = 3 मिली, जो समीकरण को एक वास्तविक समानता में बदल देती है।

हम यही करेंगे - हम समीकरण की जड़ पाएंगे।

कार्य 1 - समीकरण 2 का मूल ज्ञात कीजिए 1-4x =32

यह एक घातीय समीकरण है। इसे निम्नानुसार हल किया जाता है - यह आवश्यक है कि "बराबर" चिह्न के बाईं और दाईं ओर एक ही आधार के साथ एक डिग्री हो।

बाईं ओर हमारे पास डिग्री 2 का आधार है, और दाईं ओर कोई डिग्री नहीं है। लेकिन हम जानते हैं कि 32 पांचवीं शक्ति के लिए 2 है। यानी 32=2 5

इस प्रकार, हमारा समीकरण इस तरह दिखेगा: 2 1-4x \u003d 2 5

बाईं ओर और दाईं ओर, डिग्री के हमारे आधार समान हैं, जिसका अर्थ है कि हमारे लिए समानता रखने के लिए, घातांक भी समान होने चाहिए:

हमें एक साधारण समीकरण मिलता है। हम सामान्य तरीके से हल करते हैं - हम सभी अज्ञात को बाईं ओर छोड़ देते हैं, और ज्ञात को दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं, हमें मिलता है:

जाँच: 2 1-4 (-1) = 32

हमें समीकरण का मूल मिल गया है। उत्तर: एक्स = -1।

निम्नलिखित कार्यों में स्वयं समीकरण का मूल ज्ञात कीजिए:

बी) 2 1-3x \u003d 128

कार्य 2 - समीकरण की जड़ का पता लगाएं

हम समीकरण को इसी तरह से हल करते हैं - समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों को डिग्री के समान आधार पर लाकर। हमारे मामले में, डिग्री 2 के आधार पर।

हम निम्नलिखित डिग्री संपत्ति का उपयोग करते हैं:

इस संपत्ति से, हम अपने समीकरण के दाईं ओर प्राप्त करते हैं:

यदि घातांक के आधार बराबर हैं, तो घातांक बराबर हैं:

उत्तर: एक्स = 9।

आइए एक चेक बनाते हैं - मूल समीकरण में x के पाए गए मान को प्रतिस्थापित करते हैं - यदि हमें सही समानता मिलती है, तो हमने समीकरण को सही ढंग से हल किया है।

हमने समीकरण का मूल सही पाया है।

टास्क 3 - समीकरण की जड़ का पता लगाएं

ध्यान दें कि हमारे पास दाईं ओर 1/8 है, और 1/8 है

तब हमारा समीकरण इस प्रकार लिखा जाएगा:

यदि डिग्री के आधार समान हैं, तो घातांक बराबर हैं, हमें एक सरल समीकरण मिलता है:

उत्तर: एक्स = 5। जांच आप स्वयं करें।

कार्य 4 - समीकरण का मूल ज्ञात कीजिए लॉग 3 (15) = लघुगणक 3 2

यह समीकरण उसी तरह हल किया जाता है जैसे घातीय। हम चाहते हैं कि समान चिह्न के बाएँ और दाएँ लघुगणक के आधार समान हों। अब वे वही हैं, इसलिए हम उन भावों की बराबरी करते हैं जो लघुगणक के चिह्न के अंतर्गत हैं:

उत्तर: x=13

कार्य 5 - समीकरण का मूल ज्ञात कीजिए लॉग 3 (3-x)=3

संख्या 3, लॉग 3 27 है। इसे नीचे स्पष्ट करने के लिए, लघुगणक चिह्न के नीचे की सबस्क्रिप्ट वह संख्या है जो घात तक उठाई जाती है, हमारे मामले 3 में, लघुगणक चिह्न वह संख्या है जो घात से ऊपर उठने पर निकलती है। 27, और लघुगणक स्वयं घातांक है, जिसके लिए आपको 27 प्राप्त करने के लिए 3 को बढ़ाने की आवश्यकता है।

तस्वीर पर देखो:

इस प्रकार, किसी भी संख्या को लघुगणक के रूप में लिखा जा सकता है। इस मामले में, संख्या 3 को आधार 3 के साथ लघुगणक के रूप में लिखना बहुत सुविधाजनक है। हम प्राप्त करते हैं:

लघुगणक 3 (3-x)=लॉग 3 27

लघुगणक के आधार समान हैं, जिसका अर्थ है कि लघुगणक के चिह्न के नीचे की संख्याएँ भी समान हैं:

चलो देखते है:

लॉग 3 (3-(-24))=लॉग 3 27

लघुगणक 3 (3+24)= लघुगणक 3 27

लॉग 3 27=लॉग 3 27

उत्तर: x=-24।

समीकरण का मूल ज्ञात कीजिए। कार्य 6.

लघुगणक 2 (x+3)= लघुगणक 2 (3x-15)

जाँच करें: लॉग 2 (9+3)=लॉग 2 (27-15)

लॉग 2 12=लॉग 2 12

उत्तर: एक्स = 9।

समीकरण का मूल ज्ञात कीजिए। टास्क 7.

लॉग 2 (14-2x)=2लॉग 2 3

लघुगणक 2 (14-2x)=लॉग 2 3 2

जाँच करें: लॉग 2 (14-5)=2लॉग 2 3

log29=2log23

लॉग 2 3 2 =2लॉग 2 3

2लॉग 2 3=2लॉग 2 3

उत्तर: x=2.5

परीक्षा और ओजीई के लिए तैयारी करें - पिछले विषयों को देखें और।