भौतिकी और गणित में विभिन्न समस्याओं को हल करते समय द्विघात समीकरण अक्सर दिखाई देते हैं। इस लेख में, हम देखेंगे कि इन समानताओं को कैसे हल किया जाए एक सार्वभौमिक तरीके से"विभेदक के माध्यम से"। प्राप्त ज्ञान का उपयोग करने के उदाहरण भी लेख में दिए गए हैं।

हम किस समीकरण के बारे में बात कर रहे हैं?

नीचे दिया गया आंकड़ा एक सूत्र दिखाता है जिसमें x एक अज्ञात चर है, और लैटिन प्रतीक a, b, c कुछ ज्ञात संख्याओं का प्रतिनिधित्व करते हैं।

इनमें से प्रत्येक प्रतीक को गुणांक कहा जाता है। जैसा कि आप देख सकते हैं, संख्या "a" चुकता चर x के सामने है। यह प्रस्तुत व्यंजक की अधिकतम घात है, इसलिए इसे द्विघात समीकरण कहते हैं। इसका दूसरा नाम अक्सर प्रयोग किया जाता है: दूसरे क्रम समीकरण। मान स्वयं वर्ग गुणांक है (चर वर्ग के लिए खड़ा है), b रैखिक गुणांक है (यह पहली शक्ति तक उठाए गए चर के बगल में है), और अंत में, संख्या c मुक्त शब्द है।

ध्यान दें कि ऊपर की आकृति में दिखाया गया समीकरण का रूप एक सामान्य शास्त्रीय वर्ग अभिव्यक्ति है। इसके अलावा, दूसरे क्रम के अन्य समीकरण भी हैं जिनमें गुणांक b, c शून्य हो सकते हैं।

जब समस्या को माना समानता को हल करने के लिए प्रस्तुत किया जाता है, तो इसका मतलब है कि चर x के ऐसे मूल्यों को खोजने की जरूरत है जो इसे संतुष्ट करेंगे। यहाँ, सबसे पहले याद रखने वाली बात निम्नलिखित है: चूँकि x की अधिकतम घात 2 है, इस प्रकार के व्यंजक के 2 से अधिक हल नहीं हो सकते। इसका मतलब यह है कि अगर, समीकरण को हल करते समय, x के 2 मान पाए गए जो इसे संतुष्ट करते हैं, तो आप यह सुनिश्चित कर सकते हैं कि कोई तीसरी संख्या नहीं है, जिसे x के बजाय, समानता भी सत्य होगी। गणित में किसी समीकरण के हल को मूल कहते हैं।

दूसरे क्रम के समीकरणों को हल करने के तरीके

इस प्रकार के समीकरणों को हल करने के लिए उनके बारे में कुछ सिद्धांत के ज्ञान की आवश्यकता होती है। स्कूल बीजगणित पाठ्यक्रम 4 . की जांच करता है विभिन्न तरीकेसमाधान। आइए उन्हें सूचीबद्ध करें:

• गुणनखंडन का उपयोग करना;
• पूर्ण वर्ग के लिए सूत्र का उपयोग करना;
• संबंधित द्विघात फलन का ग्राफ लगाने पर;
• विभेदक समीकरण का उपयोग करना।

पहली विधि का लाभ इसकी सादगी में निहित है, हालांकि, इसे सभी समीकरणों पर लागू नहीं किया जा सकता है। दूसरी विधि सार्वभौमिक है, लेकिन कुछ हद तक बोझिल है। तीसरी विधि इसकी स्पष्टता के लिए उल्लेखनीय है, लेकिन यह हमेशा सुविधाजनक और लागू नहीं होती है। और, अंत में, विभेदक समीकरण का उपयोग करना किसी भी दूसरे क्रम के समीकरण की जड़ों को खोजने का एक सार्वभौमिक और काफी सरल तरीका है। इसलिए, लेख में हम केवल इस पर विचार करेंगे।

समीकरण के मूल ज्ञात करने का सूत्र

आइए की ओर मुड़ें सामान्य दृष्टि से द्विघात समीकरण... आइए इसे लिख लें: a * x² + b * x + c = 0। इसे "विभेदक के माध्यम से" हल करने की विधि का उपयोग करने से पहले, समानता को हमेशा लिखित रूप में कम किया जाना चाहिए। अर्थात्, इसमें तीन पद होने चाहिए (या कम यदि b या c 0 है)।

उदाहरण के लिए, यदि कोई व्यंजक है: x²-9 * x + 8 = -5 * x + 7 * x², तो आपको पहले इसके सभी पदों को समानता के एक तरफ ले जाना होगा और चर x वाले पदों को जोड़ना होगा। समान शक्तियां।

वी इस मामले मेंइस ऑपरेशन के परिणामस्वरूप निम्नलिखित अभिव्यक्ति होगी: -6 * x²-4 * x + 8 = 0, जो समीकरण 6 * x² + 4 * x-8 = 0 के बराबर है (यहां हमने बाएं और दाएं पक्षों को गुणा किया है -1 द्वारा समानता)।

ऊपर के उदाहरण में, a = 6, b = 4, c = -8। ध्यान दें कि माना समानता की सभी शर्तों को हमेशा आपस में जोड़ा जाता है, इसलिए यदि "-" चिह्न दिखाई देता है, तो इसका मतलब है कि संबंधित गुणांक ऋणात्मक है, जैसे इस मामले में संख्या सी।

इस बिंदु की जांच करने के बाद, अब हम स्वयं सूत्र की ओर मुड़ते हैं, जिससे द्विघात समीकरण के मूल प्राप्त करना संभव हो जाता है। इसका फॉर्म नीचे फोटो में दिखाया गया है।

जैसा कि आप इस अभिव्यक्ति से देख सकते हैं, यह आपको दो जड़ें प्राप्त करने की अनुमति देता है (आपको "±" चिह्न पर ध्यान देना चाहिए)। ऐसा करने के लिए, इसमें गुणांक b, c और a को प्रतिस्थापित करना पर्याप्त है।

भेदभावपूर्ण अवधारणा

पिछले पैराग्राफ में, एक सूत्र दिया गया था जो आपको किसी भी दूसरे क्रम के समीकरण को जल्दी से हल करने की अनुमति देता है। इसमें मूलक व्यंजक को विवेचक कहा जाता है, अर्थात् D = b²-4 * a * c।

सूत्र के इस भाग को क्यों हाइलाइट किया गया है, और इसका अपना नाम भी है? तथ्य यह है कि विवेचक समीकरण के सभी तीन गुणांकों को एक ही व्यंजक में जोड़ता है। उत्तरार्द्ध तथ्य का अर्थ है कि यह जड़ों के बारे में पूरी तरह से जानकारी रखता है, जिसे निम्नलिखित सूची द्वारा व्यक्त किया जा सकता है:

1. डी> 0: समानता के 2 अलग-अलग समाधान हैं, जिनमें से दोनों वास्तविक संख्याएं हैं।
2. D = 0: समीकरण का केवल एक मूल है और यह एक वास्तविक संख्या है।

विभेदक का निर्धारण करने का कार्य

आइए एक सरल उदाहरण दें कि विवेचक को कैसे खोजा जाए। निम्नलिखित समानता दें: 2 * x² - 4 + 5 * x-9 * x² = 3 * x-5 * x² + 7.

आइए इसे मानक रूप में लाते हैं, हमें मिलता है: (2 * x²-9 * x² + 5 * x²) + (5 * x-3 * x) + (- 4-7) = 0, जहां से हम समानता पर पहुंचते हैं : -2 * x² + 2 * x-11 = 0. यहाँ a = -2, b = 2, c = -11।

अब आप विभेदक के लिए नामित सूत्र का उपयोग कर सकते हैं: डी = 2² - 4 * (- 2) * (- 11) = -84। परिणामी संख्या कार्य का उत्तर है। चूँकि उदाहरण में विवेचक शून्य से कम है, तो हम कह सकते हैं कि इस द्विघात समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है। केवल सम्मिश्र संख्याएँ ही उसका हल होंगी।

भेदभाव के माध्यम से असमानता का एक उदाहरण

आइए थोड़ा अलग प्रकार की समस्याओं को हल करें: समानता -3 * x²-6 * x + c = 0 को देखते हुए। c के ऐसे मानों को खोजना आवश्यक है जिनके लिए D> 0.

इस मामले में, 3 में से केवल 2 गुणांक ज्ञात हैं, इसलिए विवेचक के सटीक मूल्य की गणना करना संभव नहीं होगा, लेकिन यह ज्ञात है कि यह सकारात्मक है। असमानता को चित्रित करते समय हम अंतिम तथ्य का उपयोग करते हैं: डी = (-6) ²-4 * (- 3) * सी> 0 => 36 + 12 * सी> 0। प्राप्त असमानता का समाधान परिणाम की ओर जाता है: c> -3।

आइए प्राप्त संख्या की जांच करें। ऐसा करने के लिए, 2 मामलों के लिए डी की गणना करें: सी = -2 और सी = -4। संख्या -2 प्राप्त परिणाम (-2> -3) को संतुष्ट करती है, संबंधित विवेचक का मान होगा: D = 12> 0। बदले में, संख्या -4 असमानता को संतुष्ट नहीं करती है (-4 इस प्रकार, कोई भी संख्या c जो -3 से बड़ी है, शर्त को पूरा करेगी।

समीकरण हल करने का एक उदाहरण

आइए हम एक ऐसी समस्या प्रस्तुत करते हैं, जिसमें न केवल विवेचक का पता लगाना शामिल है, बल्कि समीकरण को हल करना भी शामिल है। आपको समानता -2 * x² + 7-9 * x = 0 के मूल ज्ञात करने होंगे।

इस उदाहरण में, विवेचक निम्न मान के बराबर है: D = 81-4 * (- 2) * 7 = 137. फिर समीकरण की जड़ों को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है: x = (9 ± 137) / (- 4))। यह सटीक मानजड़ें, यदि आप अनुमानित मूल की गणना करते हैं, तो आपको संख्याएँ मिलती हैं: x = -5.176 और x = 0.676।

ज्यामितीय समस्या

आइए एक ऐसी समस्या को हल करें जिसमें न केवल विवेचक की गणना करने की क्षमता की आवश्यकता होगी, बल्कि अमूर्त सोच कौशल और द्विघात समीकरण बनाने के ज्ञान के उपयोग की भी आवश्यकता होगी।

बॉब के पास 5 x 4 मीटर का डुवेट था। लड़का परिधि के चारों ओर सुंदर कपड़े की एक सतत पट्टी सिलना चाहता था। यह पट्टी कितनी मोटी होगी यदि बॉब के पास 10 वर्ग मीटर का कपड़ा है।

मान लें कि पट्टी की मोटाई xm है, तो कंबल के लंबे किनारे के साथ कपड़े का क्षेत्र होगा (5 + 2 * x) * x, और चूंकि 2 लंबी भुजाएँ हैं, हमारे पास: 2 * x * (5 + 2 * x)। छोटी तरफ, सिलने वाले कपड़े का क्षेत्रफल 4 * x होगा, क्योंकि इनमें से 2 पक्ष हैं, हमें 8 * x का मान मिलता है। ध्यान दें कि 2 * x को लंबे पक्ष में जोड़ा गया है क्योंकि कंबल की लंबाई उस संख्या से बढ़ गई है। कंबल से सिलने वाले कपड़े का कुल क्षेत्रफल 10 वर्ग मीटर है। इसलिए, हमें समानता मिलती है: 2 * x * (5 + 2 * x) + 8 * x = 10 => 4 * x² + 18 * x-10 = 0।

इस उदाहरण के लिए, विवेचक है: D = 18²-4 * 4 * (- 10) = 484। इसका मूल 22 है। सूत्र का उपयोग करके, हम आवश्यक जड़ें पाते हैं: x = (-18 ± 22) / (2 * 4) = (- 5; 0.5)। स्पष्ट है कि दो मूलों में से केवल 0.5 ही समस्या कथन के लिए उपयुक्त है।

इस प्रकार, बॉब जिस कपड़े की पट्टी को अपने कंबल से सिलेगा वह 50 सेमी चौड़ा होगा।

द्विघातीय समीकरण। भेदभाव करने वाला। समाधान, उदाहरण।

ध्यान!
अतिरिक्त हैं
विशेष धारा 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो बहुत "बहुत नहीं ..." हैं
और उन लोगों के लिए जो "बहुत सम ...")

द्विघात समीकरणों के प्रकार

द्विघात समीकरण क्या है? यह कैसा दिखता है? अवधि में द्विघात समीकरणकुंजी शब्द है "वर्ग"।इसका मतलब है कि समीकरण में आवश्यक रूप सेएक x चुकता होना चाहिए। उसके अलावा, समीकरण (या नहीं भी हो सकता है!) बस x (पहली शक्ति में) और सिर्फ एक संख्या (स्वतंत्र सदस्य)।और x की डिग्री दो से अधिक नहीं होनी चाहिए।

गणितीय रूप से बोलते हुए, एक द्विघात समीकरण रूप का एक समीकरण है:

यहां ए, बी और सी- कुछ नंबर। बी और सी- बिल्कुल कोई, लेकिन ए- शून्य के अलावा कुछ भी। उदाहरण के लिए:

यहां ए =1; बी = 3; सी = -4

यहां ए =2; बी = -0,5; सी = 2,2

यहां ए =-3; बी = 6; सी = -18

खैर, आप विचार समझ गए ...

इन द्विघात समीकरणों में बाईं ओर है पूरा स्थिरसदस्य गुणांक के साथ एक्स चुकता ए,गुणांक के साथ पहली शक्ति के लिए x बीतथा के साथ मुक्त अवधि।

ऐसे द्विघात समीकरण कहलाते हैं भरा हुआ।

क्या हो अगर बी= 0, हमें क्या मिलता है? हमारे पास है एक्स पहली डिग्री में गायब हो जाएगा।यह गुणा से शून्य से होता है।) यह पता चला है, उदाहरण के लिए:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x = 0,

-एक्स 2 + 4x = 0

आदि। और यदि दोनों गुणांक, बीतथा सीशून्य के बराबर हैं, तो सब कुछ और भी सरल है:

2x 2 = 0,

-0.3x 2 = 0

ऐसे समीकरण, जिनमें कुछ छूट जाता है, कहलाते हैं अपूर्ण द्विघात समीकरण।जो काफी तार्किक है।) कृपया ध्यान दें कि x वर्ग सभी समीकरणों में मौजूद है।

वैसे, क्यों एशून्य नहीं हो सकता? और आप स्थानापन्न एशून्य।) वर्ग में X हमसे गायब हो जाएगा! समीकरण रैखिक हो जाता है। और यह पूरी तरह से अलग तरीके से तय किया जाता है ...

ये सभी मुख्य प्रकार के द्विघात समीकरण हैं। पूर्ण और अपूर्ण।

द्विघात समीकरणों को हल करना।

पूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करना।

द्विघात समीकरणों को हल करना आसान है। सूत्रों और स्पष्ट, सरल नियमों के अनुसार। पहले चरण में, दिए गए समीकरण को एक मानक रूप में लाना आवश्यक है, अर्थात। देखने के लिए:

यदि इस रूप में आपको पहले से ही समीकरण दिया गया है, तो आपको पहले चरण को करने की आवश्यकता नहीं है।) मुख्य बात सभी गुणांकों को सही ढंग से निर्धारित करना है, ए, बीतथा सी.

द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात करने का सूत्र इस प्रकार है:

मूल चिह्न के नीचे एक व्यंजक कहलाता है विभेदक... लेकिन उसके बारे में - नीचे। जैसा कि आप देख सकते हैं, x ज्ञात करने के लिए, हम उपयोग करते हैं केवल ए, बी और सी. वे। द्विघात समीकरण से गुणांक। बस मूल्यों को ध्यान से बदलें ए, बी और सीइस सूत्र और गिनती में। विकल्प अपने संकेतों के साथ! उदाहरण के लिए, समीकरण में:

ए =1; बी = 3; सी= -4। तो हम लिखते हैं:

उदाहरण व्यावहारिक रूप से हल हो गया है:

यही उत्तर है।

सब कुछ बहुत सरल है। और क्या, आपको लगता है, गलत होना असंभव है? अच्छा, हाँ, कैसे...

अर्थ संकेतों के साथ सबसे आम गलतियाँ भ्रम हैं। ए, बी और सी... बल्कि, उनके संकेतों के साथ नहीं (कहां भ्रमित होना है?), लेकिन जड़ों की गणना के लिए सूत्र में नकारात्मक मूल्यों के प्रतिस्थापन के साथ। यहां, विशिष्ट संख्याओं के साथ सूत्र का एक विस्तृत अंकन सहेजता है। यदि कम्प्यूटेशनल समस्याएं हैं, ऐसा करो!

मान लीजिए कि आपको इस उदाहरण को हल करने की आवश्यकता है:

यहां ए = -6; बी = -5; सी = -1

मान लीजिए कि आप जानते हैं कि आपको शायद ही पहली बार उत्तर मिलते हैं।

खैर, आलसी मत बनो। एक अतिरिक्त लाइन लिखने में 30 सेकंड का समय लगेगा और त्रुटियों की संख्या तेजी से घटेगा... इसलिए हम सभी कोष्ठकों और चिह्नों के साथ विस्तार से लिखते हैं:

इतनी सावधानी से पेंट करना अविश्वसनीय रूप से कठिन लगता है। लेकिन ऐसा लगता ही है। इसे अजमाएं। अच्छा, या चुनें। कौन सा बेहतर है, तेज, या सही? इसके अलावा, मैं तुम्हें खुश कर दूंगा। थोड़ी देर बाद, सब कुछ इतनी सावधानी से पेंट करने की आवश्यकता नहीं होगी। यह अपने आप ठीक हो जाएगा। खासकर यदि आप नीचे वर्णित व्यावहारिक तकनीकों का उपयोग करते हैं। कमियों के एक समूह के साथ यह बुरा उदाहरण आसानी से और त्रुटियों के बिना हल किया जा सकता है!

लेकिन, अक्सर, द्विघात समीकरण थोड़े अलग दिखते हैं। उदाहरण के लिए, इस तरह:

क्या आपको पता चला?) हाँ! यह अपूर्ण द्विघात समीकरण.

अपूर्ण द्विघात समीकरणों को हल करना।

उन्हें एक सामान्य सूत्र का उपयोग करके भी हल किया जा सकता है। आपको बस सही ढंग से यह पता लगाने की जरूरत है कि वे किसके बराबर हैं ए, बी और सी.

क्या आपने इसका पता लगा लिया? पहले उदाहरण में ए = 1; बी = -4;ए सी? वह वहाँ बिल्कुल नहीं है! अच्छा, हाँ, यह सही है। गणित में, इसका अर्थ है कि सी = 0 ! बस इतना ही। के स्थान पर सूत्र में शून्य रखिए सी,और हम सफल होंगे। दूसरे उदाहरण के साथ भी ऐसा ही है। केवल शून्य हमारे यहाँ नहीं है साथ, ए बी !

लेकिन अधूरे द्विघात समीकरणों को बहुत आसानी से हल किया जा सकता है। बिना किसी सूत्र के। पहले अपूर्ण समीकरण पर विचार करें। आप वहां बाईं ओर क्या कर सकते हैं? आप x को कोष्ठक से बाहर रख सकते हैं! आइए इसे बाहर निकालें।

और इसका क्या? और तथ्य यह है कि उत्पाद शून्य के बराबर है यदि और केवल अगर कोई भी कारक शून्य के बराबर है! मुझ पर विश्वास नहीं करते? ठीक है, तो दो गैर-शून्य संख्याओं के बारे में सोचें, जिन्हें गुणा करने पर शून्य मिलेगा!
काम नहीं करता? इतना ही ...
इसलिए, हम विश्वास के साथ लिख सकते हैं: एक्स 1 = 0, एक्स 2 = 4.

हर चीज़। ये हमारे समीकरण की जड़ें होंगी। दोनों फिट। उनमें से किसी को भी मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें सही पहचान 0 = 0 प्राप्त होती है। जैसा कि आप देख सकते हैं, सामान्य सूत्र का उपयोग करने की तुलना में समाधान बहुत आसान है। वैसे, मैं ध्यान दूंगा कि कौन सा एक्स पहला होगा, और दूसरा कौन सा होगा - यह बिल्कुल उदासीन है। क्रम में लिखना सुविधाजनक है, एक्स 1- क्या कम है, और एक्स 2- अधिक क्या है।

दूसरा समीकरण भी सरलता से हल किया जा सकता है। 9 से . ले जाएँ दाईं ओर... हम पाते हैं:

यह 9 से जड़ निकालने के लिए बनी हुई है, और बस। यह निकलेगा:

साथ ही दो जड़ें . एक्स 1 = -3, एक्स 2 = 3.

इस प्रकार सभी अपूर्ण द्विघात समीकरण हल हो जाते हैं। या तो x को कोष्ठकों में रखकर, या केवल संख्या को दाईं ओर ले जाकर और फिर रूट निकालकर।
इन तकनीकों को भ्रमित करना बेहद मुश्किल है। सिर्फ इसलिए कि पहले मामले में आपको एक्स से रूट निकालना होगा, जो किसी भी तरह समझ से बाहर है, और दूसरे मामले में ब्रैकेट से बाहर निकलने के लिए कुछ भी नहीं है ...

भेदभाव करने वाला। विभेदक सूत्र।

जादुई शब्द विभेदक ! हाई स्कूल के एक दुर्लभ छात्र ने यह शब्द नहीं सुना है! वाक्यांश "विभेदक के माध्यम से निर्णय लेना" आश्वस्त करने वाला और आश्वस्त करने वाला है। क्योंकि विवेचक से गंदी चाल का इंतजार करने की जरूरत नहीं है! यह सरल और विश्वसनीय है।) मैं आपको सबसे ज्यादा याद दिलाता हूं सामान्य सूत्रसमाधान के लिए कोई भीद्विघातीय समीकरण:

मूल चिह्न के नीचे के व्यंजक को विवेचक कहा जाता है। आमतौर पर विवेचक को पत्र द्वारा निरूपित किया जाता है डी... विभेदक सूत्र:

डी = बी 2 - 4ac

और इस अभिव्यक्ति के बारे में इतना उल्लेखनीय क्या है? यह एक विशेष नाम के लायक क्यों था? क्या विभेदक का अर्थ?आख़िरकार -बी,या 2एइस सूत्र में वे विशेष रूप से नाम नहीं ... अक्षर और अक्षर।

ये रही चीजें। इस सूत्र का उपयोग करके द्विघात समीकरण को हल करते समय, यह संभव है केवल तीन मामले।

1. विवेचक सकारात्मक है।इसका मतलब है कि आप इससे जड़ निकाल सकते हैं। अच्छी जड़ निकाली जाती है, या खराब - एक और सवाल। यह महत्वपूर्ण है कि सिद्धांत रूप में क्या निकाला जाता है। तब आपके द्विघात समीकरण के दो मूल होंगे। दो अलग समाधान।

2. विवेचक शून्य है।तो आपके पास एक ही उपाय है। चूँकि अंश में शून्य का जोड़-घटाव कुछ भी नहीं बदलता है। कड़ाई से बोलते हुए, यह एक जड़ नहीं है, बल्कि दो समान... लेकिन, एक सरलीकृत संस्करण में, इसके बारे में बात करने की प्रथा है एक हल।

3. विवेचक ऋणात्मक है।से ऋणात्मक संख्यावर्गमूल नहीं निकाला जाता है। चलो ठीक है। इसका मतलब है कि कोई समाधान नहीं हैं।

ईमानदारी से, द्विघात समीकरणों के एक सरल समाधान के साथ, विवेचक की अवधारणा की विशेष रूप से आवश्यकता नहीं है। हम गुणांकों के मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं, लेकिन हम गिनते हैं। सब कुछ अपने आप निकल जाता है, और दो जड़ें होती हैं, और एक, और एक नहीं। हालाँकि, अधिक जटिल कार्यों को हल करते समय, बिना ज्ञान के अर्थ और विभेदक सूत्रपर्याप्त नहीं। विशेष रूप से - मापदंडों के साथ समीकरणों में। इस तरह के समीकरण राज्य परीक्षा और एकीकृत राज्य परीक्षा में एरोबेटिक्स हैं!)

इसलिए, द्विघात समीकरणों को कैसे हल करेंआपके द्वारा याद किए गए विवेचक के माध्यम से। या सीखा है, जो अच्छा भी है।) आप सही ढंग से पहचानना जानते हैं ए, बी और सी... तुम्हे पता है कैसै ध्यान सेउन्हें मूल सूत्र में प्रतिस्थापित करें और ध्यान सेपरिणाम पढ़ें। आपको यह विचार आता है कि यहाँ मुख्य शब्द है ध्यान से?

अभी के लिए, उन सर्वोत्तम प्रथाओं पर ध्यान दें जो त्रुटियों को बहुत कम कर देंगी। वही जो असावधानी के कारण होते हैं। ... जिसके लिए फिर दुख और अपमान करते हैं ...

पहला स्वागत ... द्विघात समीकरण को हल करने से पहले इसे मानक रूप में लाने में आलस न करें। इसका क्या मतलब है?
मान लीजिए, कुछ परिवर्तनों के बाद, आपको निम्नलिखित समीकरण मिला:

मूल सूत्र लिखने में जल्दबाजी न करें! आप लगभग निश्चित रूप से बाधाओं को मिलाएंगे। ए, बी और सी।उदाहरण सही ढंग से बनाएँ। पहले, X को चुकता किया जाता है, फिर बिना वर्ग के, फिर मुक्त पद के लिए। इस कदर:

और फिर, जल्दी मत करो! वर्ग में x के सामने माइनस आपको सचमुच दुखी कर सकता है। इसे भूलना आसान है ... माइनस से छुटकारा पाएं। कैसे? हाँ, जैसा कि पिछले विषय में पढ़ाया गया था! आपको पूरे समीकरण को -1 से गुणा करना है। हम पाते हैं:

लेकिन अब आप जड़ों के लिए सूत्र को सुरक्षित रूप से लिख सकते हैं, विवेचक की गणना कर सकते हैं और उदाहरण को पूरा कर सकते हैं। यह अपने आप करो। आपकी जड़ें 2 और -1 होनी चाहिए।

रिसेप्शन दूसरा। जड़ों की जाँच करें! Vieta के प्रमेय द्वारा। घबराओ मत, मैं सब कुछ समझा दूंगा! चेकिंग आखिरी बातसमीकरण। वे। जिसके द्वारा हमने मूलों का सूत्र लिख दिया था। अगर (इस उदाहरण में) गुणांक ए = 1, जड़ों की जाँच करना आसान है। उन्हें गुणा करने के लिए पर्याप्त है। आपको एक मुफ्त सदस्य मिलना चाहिए, अर्थात। हमारे मामले में, -2। ध्यान दें, 2 नहीं, बल्कि -2! स्वतंत्र सदस्य मेरे संकेत के साथ ... अगर यह काम नहीं किया, तो यह पहले से ही कहीं खराब हो गया है। त्रुटि की तलाश करें।

यदि यह काम करता है, तो आपको जड़ों को मोड़ना होगा। अंतिम और अंतिम जांच। आपको एक गुणांक मिलना चाहिए बीसाथ विलोम परिचित। हमारे मामले में, -1 + 2 = +1। और गुणांक बीजो x से पहले -1 है। तो, सब कुछ सही है!
यह अफ़सोस की बात है कि यह केवल उन उदाहरणों के लिए इतना सरल है जहाँ x वर्ग शुद्ध है, एक गुणांक के साथ ए = 1.लेकिन कम से कम ऐसे समीकरणों में, जाँच करें! कम गलतियाँ होंगी।

रिसेप्शन तीसरा ... यदि आपके समीकरण में भिन्नात्मक गुणांक हैं, तो भिन्नों से छुटकारा पाएं! समीकरणों को कैसे हल करें? समान रूपांतरण पाठ में वर्णित सामान्य हर से समीकरण को गुणा करें। भिन्नों के साथ काम करते समय, किसी कारण से, त्रुटियां सामने आती हैं ...

वैसे, मैंने बुरे उदाहरण को विपक्ष के एक समूह के साथ सरल बनाने का वादा किया था। कृपया! यही पर है।

Minuses में भ्रमित न होने के लिए, हम समीकरण को -1 से गुणा करते हैं। हम पाते हैं:

बस इतना ही! निर्णय लेना खुशी की बात है!

तो, विषय को संक्षेप में प्रस्तुत करने के लिए।

प्रायोगिक उपकरण:

1. हल करने से पहले, हम द्विघात समीकरण को मानक रूप में लाते हैं, इसे बनाते हैं अधिकार.

2. यदि वर्ग में x के सामने ऋणात्मक गुणांक है, तो हम पूरे समीकरण को -1 से गुणा करके इसे समाप्त कर देते हैं।

3. यदि गुणांक भिन्नात्मक हैं, तो हम संपूर्ण समीकरण को उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करके भिन्नों को हटा देते हैं।

4. यदि x वर्ग शुद्ध है, उस पर गुणांक एक के बराबर है, तो समाधान को Vieta के प्रमेय द्वारा आसानी से सत्यापित किया जा सकता है। कर दो!

अब आप तय कर सकते हैं।)

समीकरण हल करें:

8x 2 - 6x + 1 = 0

एक्स 2 + 3x + 8 = 0

एक्स 2 - 4x + 4 = 0

(एक्स + 1) 2 + एक्स + 1 = (एक्स + 1) (एक्स + 2)

उत्तर (अव्यवस्था में):

एक्स 1 = 0
एक्स 2 = 5

एक्स 1.2 =2

एक्स 1 = 2
एक्स 2 = -0.5

एक्स - कोई भी संख्या

एक्स 1 = -3
एक्स 2 = 3

कोई समाधान नहीं

एक्स 1 = 0.25
एक्स 2 = 0.5

क्या यह सब एक साथ फिट बैठता है? जुर्माना! द्विघात समीकरण आपके नहीं हैं सरदर्द... पहले तीन ने काम किया, लेकिन बाकी ने नहीं किया? तब समस्या द्विघात समीकरणों के साथ नहीं है। समस्या समीकरणों के समान परिवर्तनों में है। लिंक पर टहलें, यह मददगार है।

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कक्षा 8 में द्विघात समीकरणों का अध्ययन किया जाता है, इसलिए यहाँ कुछ भी कठिन नहीं है। उन्हें हल करने की क्षमता नितांत आवश्यक है।

द्विघात समीकरण ax 2 + bx + c = 0 के रूप का एक समीकरण है, जहाँ गुणांक a, b और c मनमानी संख्याएँ हैं, और a 0।

विशिष्ट समाधान विधियों का अध्ययन करने से पहले, हम ध्यान दें कि सभी द्विघात समीकरणों को सशर्त रूप से तीन वर्गों में विभाजित किया जा सकता है:

1. कोई जड़ नहीं है;
2. बिल्कुल एक जड़ है;
3. उनकी दो अलग जड़ें हैं।

यह द्विघात और रैखिक समीकरणों के बीच एक महत्वपूर्ण अंतर है, जहां मूल हमेशा मौजूद होता है और अद्वितीय होता है। आप कैसे निर्धारित करते हैं कि एक समीकरण की कितनी जड़ें हैं? इसमें एक अद्भुत बात है - विभेदक.

विभेदक

मान लीजिए कि एक द्विघात समीकरण ax 2 + bx + c = 0 दिया गया है। तब विवेचक केवल संख्या D = b 2 - 4ac है।

आपको इस फॉर्मूले को दिल से जानना होगा। यह कहाँ से आता है - अब कोई फर्क नहीं पड़ता। एक और बात महत्वपूर्ण है: विवेचक के चिन्ह से, आप यह निर्धारित कर सकते हैं कि द्विघात समीकरण की कितनी जड़ें हैं। अर्थात्:

1. अगर डी< 0, корней нет;
2. यदि D = 0 है, तो ठीक एक मूल है;
3. यदि D> 0, तो दो मूल होंगे।

कृपया ध्यान दें: विवेचक जड़ों की संख्या को इंगित करता है, और उनके सभी संकेतों को नहीं, जैसा कि किसी कारण से कई लोग मानते हैं। उदाहरणों पर एक नज़र डालें - और आप खुद ही सब कुछ समझ जाएंगे:

कार्य। द्विघात समीकरणों की कितनी जड़ें होती हैं:

1. एक्स 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. एक्स 2 - 6x + 9 = 0।

आइए हम पहले समीकरण के गुणांकों को लिखें और विवेचक खोजें:
ए = 1, बी = -8, सी = 12;
डी = (−8) 2 - 4 1 12 = 64 - 48 = 16

तो विवेचक सकारात्मक है, इसलिए समीकरण की दो अलग-अलग जड़ें हैं। हम इसी तरह दूसरे समीकरण का विश्लेषण करते हैं:
ए = 5; बी = 3; सी = 7;
डी = 3 2 - 4 5 7 = 9 - 140 = -131।

विभेदक नकारात्मक है, कोई जड़ नहीं है। अंतिम समीकरण रहता है:
ए = 1; बी = -6; सी = 9;
डी = (−6) 2 - 4 1 9 = 36 - 36 = 0।

विवेचक शून्य है - एक जड़ होगी।

ध्यान दें कि प्रत्येक समीकरण के लिए गुणांक लिखे गए हैं। हाँ, यह लंबा है, हाँ, यह उबाऊ है - लेकिन आपने गुणांकों को नहीं मिलाया और मूर्खतापूर्ण गलतियाँ नहीं कीं। अपने लिए चुनें: गति या गुणवत्ता।

वैसे, यदि आप "अपना हाथ भरते हैं", तो थोड़ी देर बाद आपको सभी गुणांक लिखने की आवश्यकता नहीं होगी। आप अपने सिर में ऐसे ऑपरेशन करेंगे। ज्यादातर लोग 50-70 समीकरणों के हल होने के बाद कहीं ऐसा करना शुरू करते हैं - सामान्य तौर पर, इतना नहीं।

द्विघात जड़ें

अब चलिए समाधान की ओर बढ़ते हैं। यदि विभेदक D> 0, जड़ों को सूत्रों द्वारा पाया जा सकता है:

द्विघात समीकरण के मूल का मूल सूत्र

जब डी = 0, आप इनमें से किसी भी सूत्र का उपयोग कर सकते हैं - आपको वही संख्या मिलती है, जिसका उत्तर होगा। अंत में, यदि डी< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. एक्स 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

पहला समीकरण:
एक्स 2 - 2x - 3 = 0 ए = 1; बी = -2; सी = -3;
डी = (−2) 2 - 4 1 (−3) = 16।

D> 0 समीकरण के दो मूल हैं। आइए उन्हें ढूंढते हैं:

दूसरा समीकरण:
15 - 2x - x 2 = 0 a = −1; बी = -2; सी = 15;
डी = (−2) 2 - 4 (−1) 15 = 64।

D> 0 समीकरण के दो मूल हैं। उनको ढूंढो

\ [\ start (संरेखण) और ((x) _ (1)) = \ frac (2+ \ sqrt (64)) (2 \ cdot \ बाएँ (-1 \ दाएँ)) = - 5; \\ & ((x) _ (2)) = \ frac (2- \ sqrt (64)) (2 \ cdot \ बाएँ (-1 \ दाएँ)) = 3. \\ \ अंत (संरेखित करें) \]

अंत में, तीसरा समीकरण:
एक्स 2 + 12x + 36 = 0 ए = 1; बी = 12; सी = 36;
डी = 12 2 - 4 · 1 · 36 = 0।

D = 0 समीकरण का एक मूल है। किसी भी सूत्र का उपयोग किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, पहला वाला:

जैसा कि आप उदाहरणों से देख सकते हैं, सब कुछ बहुत सरल है। यदि आप सूत्र जानते हैं और गिनने में सक्षम हैं, तो कोई समस्या नहीं होगी। अक्सर, सूत्र में नकारात्मक गुणांक को प्रतिस्थापित करते समय त्रुटियां होती हैं। यहां, फिर से, ऊपर वर्णित तकनीक मदद करेगी: सूत्र को शाब्दिक रूप से देखें, प्रत्येक चरण का वर्णन करें - और बहुत जल्द आपको गलतियों से छुटकारा मिलेगा।

अपूर्ण द्विघात समीकरण

ऐसा होता है कि द्विघात समीकरण परिभाषा में दिए गए समीकरण से कुछ भिन्न होता है। उदाहरण के लिए:

1. एक्स 2 + 9एक्स = 0;
2. एक्स 2 - 16 = 0।

यह देखना आसान है कि इन समीकरणों में से एक पद गायब है। इस तरह के द्विघात समीकरणों को मानक समीकरणों की तुलना में हल करना और भी आसान है: उन्हें विवेचक की गणना करने की भी आवश्यकता नहीं है। तो, चलिए एक नई अवधारणा पेश करते हैं:

समीकरण कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी = 0 को अपूर्ण द्विघात समीकरण कहा जाता है यदि बी = 0 या सी = 0, अर्थात। चर x या मुक्त तत्व पर गुणांक शून्य के बराबर है।

बेशक, एक बहुत ही कठिन मामला संभव है जब ये दोनों गुणांक शून्य के बराबर हों: b = c = 0. इस मामले में, समीकरण ax 2 = 0 का रूप लेता है। जाहिर है, इस तरह के समीकरण का एक ही मूल होता है: x = 0.

आइए बाकी मामलों पर विचार करें। मान लीजिए b = 0, तो हमें ax 2 + c = 0 के रूप का एक अपूर्ण द्विघात समीकरण प्राप्त होता है। आइए इसे थोड़ा रूपांतरित करें:

चूंकि अंकगणितीय वर्गमूल केवल एक गैर-ऋणात्मक संख्या से मौजूद है, अंतिम समानता केवल (−c / a) 0 के लिए समझ में आता है। निष्कर्ष:

1. यदि असमानता (−c / a) 0, ax 2 + c = 0 के रूप के अपूर्ण द्विघात समीकरण में बनी रहती है, तो दो मूल होंगे। सूत्र ऊपर दिया गया है;
2. अगर (-सी / ए)< 0, корней нет.

जैसा कि आप देख सकते हैं, विवेचक की आवश्यकता नहीं थी - अपूर्ण द्विघात समीकरणों में कोई जटिल गणना नहीं होती है। वास्तव में, असमानता (−c / a) 0 को याद रखना भी आवश्यक नहीं है। यह मान x 2 को व्यक्त करने के लिए पर्याप्त है और देखें कि समान चिह्न के दूसरी तरफ क्या है। यदि कोई धनात्मक संख्या है, तो दो मूल होंगे। यदि ऋणात्मक है, तो जड़ें बिल्कुल नहीं होंगी।

अब आइए फार्म ax 2 + bx = 0 के समीकरणों पर विचार करें, जिसमें मुक्त तत्व शून्य के बराबर है। यहां सब कुछ सरल है: हमेशा दो जड़ें होंगी। यह बहुपद का गुणनखंड करने के लिए पर्याप्त है:

एक सामान्य कारक को ब्रैकेट करना

उत्पाद शून्य के बराबर होता है जब कम से कम एक कारक शून्य के बराबर होता है। यहीं से जड़ें हैं। अंत में, हम ऐसे कई समीकरणों का विश्लेषण करेंगे:

कार्य। द्विघात समीकरणों को हल करें:

1. एक्स 2 - 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 - 9 = 0.

x 2 - 7x = 0 x (x - 7) = 0 x 1 = 0; x 2 = - (- 7) / 1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 5x 2 = -30 ⇒ x 2 = -6। कोई जड़ें नहीं हैं, टीके। एक वर्ग एक ऋणात्मक संख्या के बराबर नहीं हो सकता।

4x 2 - 9 = 0 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; एक्स 2 = -1.5।

उदाहरण के लिए, त्रिपद \ (3x ^ 2 + 2x-7 \) के लिए, विवेचक \ (2 ^ 2-4 \ cdot3 \ cdot (-7) = 4 + 84 = 88 \) होगा। और त्रिपद \ (x ^ 2-5x + 11 \) के लिए, यह \ ((- 5) ^ 2-4 \ cdot1 \ cdot11 = 25-44 = -19 \) होगा।

विवेचक को \ (D \) अक्षर से निरूपित किया जाता है और इसे हल करते समय अक्सर उपयोग किया जाता है। साथ ही, विवेचक के मान से, आप समझ सकते हैं कि ग्राफ़ लगभग कैसा दिखता है (नीचे देखें)।

विभेदक और समीकरण की जड़ें

विभेदक मान द्विघात समीकरण की मात्रा को दर्शाता है:
- यदि \ (D \) धनात्मक है - समीकरण के दो मूल होंगे;
- यदि \ (D \) शून्य के बराबर है - केवल एक मूल;
- यदि \ (D \) ऋणात्मक है, तो कोई मूल नहीं है।

इसे सीखने की आवश्यकता नहीं है, इस निष्कर्ष पर आना आसान है, बस यह जानकर कि विवेचक (अर्थात, \ (\ sqrt (D) \) से क्या समीकरण की जड़ों की गणना के लिए सूत्र में प्रवेश करता है: \ (x_) (1) = \) \ (\ फ्रैक (-बी + \ sqrt (डी)) (2ए) \) और \ (x_ (2) = \) \ (\ फ्रैक (-बी- \ sqrt (डी)) ( 2a) \) आइए प्रत्येक मामले पर करीब से नज़र डालें ...

यदि विवेचक सकारात्मक है

इस स्थिति में इसका मूल कुछ धनात्मक संख्या है, जिसका अर्थ \ (x_ (1) \) और \ (x_ (2) \) अर्थ में भिन्न होगा, क्योंकि पहले सूत्र में \ (\ sqrt (D) \) जोड़ा जाता है, और दूसरे में, इसे घटाया जाता है। और हमारी दो अलग-अलग जड़ें हैं।

उदाहरण : समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए \ (x ^ 2 + 2x-3 = 0 \)
समाधान :

उत्तर : \ (x_ (1) = 1 \); \ (x_ (2) = - 3 \)

यदि विवेचक शून्य है

और यदि विवेचक शून्य है तो कितनी जड़ें होंगी? आइए तर्क करें।

मूल सूत्र इस तरह दिखते हैं: \ (x_ (1) = \) \ (\ frac (-b + \ sqrt (D)) (2a) \) और \ (x_ (2) = \) \ (\ frac ( -बी- \ sqrt (डी)) (2 ए) \)। और यदि विवेचक शून्य है, तो उसका मूल भी शून्य है। तब यह पता चलता है:

\ (x_ (1) = \) \ (\ frac (-b + \ sqrt (D)) (2a) \) \ (= \) \ (\ frac (-b + \ sqrt (0)) (2a) \) \ (= \) \ (\ फ्रैक (-बी + 0) (2 ए) \) \ (= \) \ (\ फ्रैक (-बी) (2 ए) \)

\ (x_ (2) = \) \ (\ frac (-b- \ sqrt (D)) (2a) \) \ (= \) \ (\ frac (-b- \ sqrt (0)) (2a) \) \ (= \) \ (\ frac (-b-0) (2a) \) \ (= \) \ (\ frac (-b) (2a) \)

अर्थात् समीकरण के मूलों का मान समान होगा, क्योंकि शून्य को जोड़ने या घटाने से कुछ भी नहीं बदलता है।

उदाहरण : समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए \ (x ^ 2-4x + 4 = 0 \)
समाधान :

\ (x ^ 2-4x + 4 = 0 \)		हम गुणांक लिखते हैं:
\ (ए = 1; \) \ (बी = -4; \) \ (सी = 4; \)		सूत्र द्वारा विभेदक की गणना करें \ (D = b ^ 2-4ac \)
\ (डी = (- 4) ^ 2-4 \ cdot1 \ cdot4 = \) \(=16-16=0\)		समीकरण की जड़ें खोजें
\ (x_ (1) = \) \ (\ फ्रैक (- (- 4) + \ sqrt (0)) (2 \ cdot1) \)\ (= \) \ (\ फ्रैक (4) (2) \) \ (= 2 \) \ (x_ (2) = \) \ (\ फ्रैक (- (- 4) - \ sqrt (0)) (2 \ cdot1) \)\ (= \) \ (\ फ्रैक (4) (2) \) \ (= 2 \)		हमें दो समान जड़ें मिली हैं, इसलिए उन्हें अलग-अलग लिखने का कोई मतलब नहीं है - हम उन्हें एक के रूप में लिखते हैं।

उत्तर : \ (एक्स = 2 \)

विभेदक, द्विघात समीकरणों की तरह, 8 वीं कक्षा में बीजगणित के पाठ्यक्रम में अध्ययन किया जाना शुरू होता है। आप विवेचक के माध्यम से और विएटा के प्रमेय का उपयोग करके द्विघात समीकरण को हल कर सकते हैं। द्विघात समीकरणों का अध्ययन करने की विधि, विभेदक सूत्रों की तरह, स्कूली बच्चों में असफल रूप से विकसित होती है, जैसे वास्तविक शिक्षा में। इसलिए पास स्कूल वर्ष, ग्रेड 9-11 में शिक्षा की जगह " उच्च शिक्षा"और हर कोई फिर से देख रहा है - "कैसे एक द्विघात समीकरण को हल करने के लिए?", "कैसे एक समीकरण की जड़ों को खोजने के लिए?", "विभेदक कैसे खोजें?" तथा...

विभेदक सूत्र

द्विघात समीकरण a * x ^ 2 + bx + c = 0 का विभेदक D, D = b ^ 2–4 * a * c है।
द्विघात समीकरण के मूल (समाधान) विवेचक (D) के चिन्ह पर निर्भर करते हैं:
D> 0 - समीकरण के 2 भिन्न वास्तविक मूल हैं;
डी = 0 - समीकरण में 1 मूल है (दो संपाती मूल):
डी<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
विभेदक की गणना करने का सूत्र काफी सरल है, इसलिए कई साइटें एक ऑनलाइन विभेदक कैलकुलेटर प्रदान करती हैं। हमें अभी तक इस तरह की स्क्रिप्ट का पता नहीं चला है, तो कौन जानता है कि इसे कैसे लागू किया जाए, कृपया मेल पर लिखें इस ईमेल पते की सुरक्षा स्पैममबोट से की जा रही है। इसे देखने के लिए आपको जावास्क्रिप्ट सक्षम करना होगा। .

द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात करने का सामान्य सूत्र:

हम सूत्र द्वारा समीकरण के मूल ज्ञात करते हैं
यदि चर वर्ग के गुणांक को जोड़ा जाता है, तो विवेचक की गणना करने की सलाह नहीं दी जाती है, लेकिन इसके चौथे भाग
ऐसे मामलों में, समीकरण के मूल सूत्र द्वारा पाए जाते हैं

जड़ों को खोजने का दूसरा तरीका वियत का प्रमेय है।

एक प्रमेय न केवल द्विघात समीकरणों के लिए, बल्कि बहुपदों के लिए भी तैयार किया जाता है। आप इसे विकिपीडिया या अन्य इलेक्ट्रॉनिक संसाधनों पर पढ़ सकते हैं। हालांकि, सादगी के लिए, हम इसके उस हिस्से पर विचार करेंगे जो कम द्विघात समीकरणों से संबंधित है, अर्थात, रूप के समीकरण (ए = 1)
विएटा के सूत्रों का सार यह है कि समीकरण के मूलों का योग विपरीत चिह्न से लिए गए चर के गुणांक के बराबर होता है। समीकरण के मूलों का गुणनफल मुक्त पद के बराबर होता है। विएटा की प्रमेय सूत्रों में लिखी गई है।
Vieta के सूत्र की व्युत्पत्ति काफी सरल है। आइए द्विघात समीकरण को अभाज्य गुणनखंडों के रूप में लिखें
जैसा कि आप देख सकते हैं, सभी सरल एक ही समय में सरल हैं। वीटा सूत्र का उपयोग तब प्रभावी होता है जब जड़ों के निरपेक्ष मूल्यों में अंतर या जड़ों के निरपेक्ष मूल्यों में अंतर 1 के बराबर हो। उदाहरण के लिए, वीटा प्रमेय द्वारा निम्नलिखित समीकरणों में है जड़ों




4 समीकरणों तक, विश्लेषण इस तरह दिखना चाहिए। समीकरण की जड़ों का गुणनफल 6 है, इसलिए जड़ें मान (1, 6) और (2, 3) या विपरीत चिह्न वाले जोड़े हो सकते हैं। मूलों का योग 7 है (विपरीत चिह्न वाले चर का गुणांक)। इसलिए हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि द्विघात समीकरण के हल x = 2 के बराबर हैं; एक्स = 3.
मुक्त पद के भाजक के बीच समीकरण की जड़ों का चयन करना आसान है, विएटा सूत्रों को पूरा करने के लिए उनके संकेत को सही करना। शुरुआत में ऐसा करना मुश्किल लगता है, लेकिन कई द्विघात समीकरणों पर अभ्यास के साथ, ऐसी तकनीक विवेचक की गणना करने और शास्त्रीय तरीके से द्विघात समीकरण की जड़ों को खोजने की तुलना में अधिक प्रभावी होगी।
जैसा कि आप देख सकते हैं, विवेचक का अध्ययन करने का स्कूल सिद्धांत और समीकरण के समाधान खोजने के तरीके व्यावहारिक अर्थ से रहित हैं - "स्कूली बच्चों को द्विघात समीकरण की आवश्यकता क्यों है?", "विवेक करने वाले का भौतिक अर्थ क्या है?"

आइए इसे जानने की कोशिश करते हैं विभेदक क्या वर्णन करता है?

अलजेब्रा कोर्स फंक्शन, फंक्शन स्टडी चार्ट और फंक्शन ग्राफिंग सिखाता है। सभी कार्यों में, एक महत्वपूर्ण स्थान परवलय द्वारा कब्जा कर लिया जाता है, जिसके समीकरण को रूप में लिखा जा सकता है
तो द्विघात समीकरण का भौतिक अर्थ परवलय का शून्य है, अर्थात, एब्सिस्सा अक्ष ऑक्स के साथ फ़ंक्शन के ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु
मैं आपको नीचे वर्णित परवलय के गुणों को याद रखने के लिए कहता हूं। परीक्षा, परीक्षा या प्रवेश परीक्षा उत्तीर्ण करने का समय आ जाएगा और आप संदर्भ सामग्री के लिए आभारी होंगे। वर्ग में चर पर चिन्ह इस बात से मेल खाता है कि क्या ग्राफ पर परवलय की शाखाएँ ऊपर जाएँगी (a> 0),

या नीचे की शाखाओं वाला एक परवलय (a<0) .

परवलय का शीर्ष जड़ों के बीच में स्थित होता है

विवेचक का भौतिक अर्थ:

यदि विवेचक शून्य (D> 0) से अधिक है, तो परवलय में ऑक्स अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन के दो बिंदु हैं।
यदि विवेचक शून्य (D = 0) के बराबर है तो शीर्ष पर परवलय भुज अक्ष को स्पर्श करता है।
और अंतिम स्थिति, जब विवेचक शून्य से कम हो (D<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).

अपूर्ण द्विघात समीकरण