फॉर्म के संबंध पर विचार करें एफ (एक्स, वाई) = 0चर को जोड़ना एक्सऔर पर. समानता (1) कहलाएगी दो चर x, y, के साथ समीकरणयदि यह समानता संख्याओं के सभी युग्मों के लिए सत्य नहीं है एक्सऔर पर. समीकरण उदाहरण: 2x + 3y \u003d 0, x 2 + y 2 - 25 \u003d 0,
पाप x + पाप y - 1 = 0.
यदि संख्या x और y के सभी युग्मों के लिए (1) सत्य है, तो इसे कहते हैं पहचान. पहचान उदाहरण: (x + y) 2 - x 2 - 2xy - y 2 \u003d 0, (x + y) (x - y) - x 2 + y 2 \u003d 0।
समीकरण (1) कहा जाएगा बिंदुओं के समुच्चय का समीकरण (x; y),यदि यह समीकरण निर्देशांक से संतुष्ट है एक्सऔर परसमुच्चय का कोई भी बिंदु और किसी ऐसे बिंदु के निर्देशांकों को संतुष्ट नहीं करता जो इस समुच्चय से संबंधित नहीं हैं।
विश्लेषणात्मक ज्यामिति में एक महत्वपूर्ण अवधारणा एक रेखा के समीकरण की अवधारणा है। एक आयताकार समन्वय प्रणाली और कुछ रेखा दें α.
परिभाषा।समीकरण (1) को रेखा समीकरण कहा जाता है α
(बनाई गई समन्वय प्रणाली में), यदि यह समीकरण निर्देशांक से संतुष्ट है एक्सऔर पररेखा पर कोई बिंदु α
, और किसी भी बिंदु के निर्देशांक को संतुष्ट नहीं करते जो इस रेखा पर स्थित नहीं है।
यदि (1) रेखा समीकरण है α, तब हम कहेंगे कि समीकरण (1) निर्धारित करता है (सेट)रेखा α.
रेखा α न केवल फॉर्म (1) के समीकरण द्वारा निर्धारित किया जा सकता है, बल्कि फॉर्म के समीकरण द्वारा भी निर्धारित किया जा सकता है
एफ (पी, ) = 0, ध्रुवीय निर्देशांक युक्त।
- ढलान के साथ एक सीधी रेखा का समीकरण;
मान लीजिए कि कुछ सीधी रेखा है, जो अक्ष के लंबवत नहीं है ओह. चलो कॉल करो झुकाव कोणअक्ष को दी गई रेखा ओहइंजेक्शन α जिसके द्वारा अक्ष को घुमाना है ओहताकि सकारात्मक दिशा सीधी रेखा की दिशाओं में से एक के साथ मेल खाती हो। अक्ष पर एक सीधी रेखा के झुकाव कोण की स्पर्शरेखा ओहबुलाया ढलान कारकयह सीधी रेखा और अक्षर द्वारा निरूपित सेवा.
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हम इस सरल रेखा का समीकरण व्युत्पन्न करते हैं, यदि हम इसकी सेवाऔर खंड में मूल्य ओवी, जिसे वह अक्ष पर काटती है कहां.
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समीकरण (2) कहा जाता है ढलान के साथ एक सीधी रेखा का समीकरण।यदि एक के = 0, तो रेखा अक्ष के समानांतर है ओहऔर इसका समीकरण है वाई = बी।
- दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण;
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. यह समीकरण है अगर वाई 1 वाई 2, के रूप में लिखा जा सकता है: यदि एक वाई 1 = वाई 2, तो वांछित सीधी रेखा के समीकरण का रूप है वाई = वाई 1. इस मामले में, रेखा अक्ष के समानांतर है ओह. यदि एक एक्स 1 = एक्स 2, फिर बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा एम 1और एम 2, अक्ष के समानांतर कहां, इसके समीकरण का रूप है एक्स = एक्स 1.
- दिए गए ढलान के साथ दिए गए बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण;
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और, इसके विपरीत, स्वेच्छ गुणांकों के लिए समीकरण (5) ए, बी, सी (लेकिनऔर बी 0एक साथ) एक आयताकार समन्वय प्रणाली में कुछ रेखा को परिभाषित करता है ओह।
प्रमाण।
आइए पहले पहले दावे को साबित करें। यदि रेखा लंबवत नहीं है ओह,तो यह पहली डिग्री के समीकरण द्वारा निर्धारित किया जाता है: वाई = केएक्स + बी, अर्थात। फॉर्म का समीकरण (5), जहां
ए = के, बी = -1और सी = बी।यदि रेखा लंबवत है ओह,तो उसके सभी बिंदुओं का मान के बराबर भुजिका होती है α अक्ष पर एक सीधी रेखा द्वारा काटे गए खंड ओह।
इस रेखा के समीकरण का रूप है एक्स = α,वे। फॉर्म (5) का प्रथम-डिग्री समीकरण भी है, जहां ए \u003d 1, बी \u003d 0, सी \u003d - α।यह पहला दावा साबित करता है।
आइए हम विलोम कथन को सिद्ध करें। चलो समीकरण (5) दिया गया है, और कम से कम एक गुणांक लेकिनऔर बी 0.
यदि एक बी 0, तब (5) के रूप में लिखा जा सकता है। झुका हुआ 
, हमें समीकरण मिलता है वाई = केएक्स + बी, अर्थात। फॉर्म (2) का एक समीकरण जो एक सीधी रेखा को परिभाषित करता है।
यदि एक बी = 0, तब ए 0और (5) रूप लेता है। के माध्यम से निरूपित करना α, हम पाते हैं
एक्स = α, अर्थात। एक सीधी रेखा के लम्बवत ऑक्स का समीकरण।
पहली डिग्री के समीकरण द्वारा एक आयताकार समन्वय प्रणाली में परिभाषित रेखाएं कहलाती हैं पहली आदेश पंक्तियाँ।
समीकरण टाइप करें आह + वू + सी = 0अधूरा है, अर्थात्। गुणांक में से एक शून्य के बराबर है।
1) सी = 0; आह + वू = 0और मूल से गुजरने वाली एक रेखा को परिभाषित करता है।
2) बी = 0 (ए 0); समीकरण कुल्हाड़ी + सी = 0 ओ.यू.
3) ए = 0 (बी ≠ 0); वू + सी = 0और समानांतर रेखा को परिभाषित करता है ओह।
समीकरण (6) को "खंडों में" एक सीधी रेखा का समीकरण कहा जाता है। नंबर एऔर बीउन खंडों के मान हैं जिन्हें सीधी रेखा समन्वय अक्षों पर काटती है। समीकरण का यह रूप एक सीधी रेखा के ज्यामितीय निर्माण के लिए सुविधाजनक है।
- एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण;
x + Вy + = 0 किसी सीधी रेखा का सामान्य समीकरण है, और (5) एक्सक्योंकि α + y पाप α - पी = 0(7)
इसका सामान्य समीकरण।
चूँकि समीकरण (5) और (7) एक ही सीधी रेखा को परिभाषित करते हैं, तो ( ए 1x + बी 1y + सी 1 \u003d 0और
ए 2x + बी 2y + सी 2 = 0 => 
) इन समीकरणों के गुणांक आनुपातिक हैं। इसका अर्थ है कि समीकरण (5) के सभी पदों को किसी गुणनखंड M से गुणा करने पर हमें समीकरण प्राप्त होता है एमए एक्स + एमबी वाई + एमएस = 0, समीकरण (7) के साथ मेल खाता है यानी।
MA = cos α, MB = sin α, MC = - P(8)
M गुणनखंड ज्ञात करने के लिए, हम इनमें से पहले दो समानताओं का वर्ग करते हैं और जोड़ते हैं:
एम 2 (ए 2 + बी 2) \u003d क्योंकि 2 α + पाप 2 α \u003d 1
(9)
XOY तल पर एक रेखा का समीकरण एक ऐसा समीकरण है जो उस रेखा के प्रत्येक बिंदु के x और y निर्देशांक को संतुष्ट करता है और उस रेखा पर स्थित किसी भी बिंदु के निर्देशांक को संतुष्ट नहीं करता है। सामान्य तौर पर, रेखा समीकरण को 0), (yx. F या) (xfy .) के रूप में लिखा जा सकता है
मान लीजिए कि एक सीधी रेखा दी गई है जो y-अक्ष को बिंदु B (0, c) पर काटती है और x-अक्ष के साथ एक कोण α बनाती है। आइए हम सीधी रेखा पर एक मनमाना बिंदु M(x, y) चुनें।
एक्स वाई एम एन
प्वाइंट एन निर्देशांक (एक्स, इन)। त्रिभुज BMN से: k रेखा का ढाल है। k x by NB MN tg bkxy
आइए विशेष मामलों पर विचार करें: - मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण। 10 bkxy 2 bytg 00 x-अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा का समीकरण है।
यानी, ऊर्ध्वाधर रेखा का कोई ढलान नहीं है। 3 22 tg - मौजूद नहीं है y-अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा के समीकरण में, इस मामले में, कुल्हाड़ी का रूप होता है जहां a एक खंड है जिसे x-अक्ष पर एक सीधी रेखा द्वारा काटा जाता है।
मान लीजिए कि एक सीधी रेखा किसी दिए गए बिंदु से गुजरती है और x-अक्ष के साथ एक कोण बनाती है, (111 yx। M)
चूँकि बिंदु M 1 एक सीधी रेखा पर स्थित है, इसके निर्देशांकों को समीकरण (1) को संतुष्ट करना चाहिए: इस समीकरण को समीकरण (1): bkxy 11)(11 xxkyy से घटाएँ)
यदि इस समीकरण में ढलान को परिभाषित नहीं किया गया है, तो यह किसी दिए गए बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं के एक बंडल को परिभाषित करता है, केवल y-अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा को छोड़कर, जिसमें ढलान नहीं है। xy
मान लीजिए कि दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा दी गई है: आइए बिंदु M से गुजरने वाली सीधी रेखाओं की एक पेंसिल का समीकरण लिखें
चूँकि बिंदु M 2 एक दी गई रेखा पर स्थित है, हम इसके निर्देशांकों को रेखाओं की पेंसिल के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं :) (1212 xxkyy 12 12 xx yy k हम k को रेखाओं की पेंसिल के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं। यह बीम दो दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा है:
1 12 12 1 xx xx yy yy या 12 1 xx xx yy yy
फेसला। हम बिंदुओं के निर्देशांकों को दो बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं। 53 5 42 4 xy)5(8 6 4 xy 4 1 4 3 xy
मान लीजिए कि एक सीधी रेखा दी गई है जो निर्देशांक अक्षों पर a और b के बराबर खंडों को काटती है। इसका अर्थ है कि यह बिंदुओं से होकर गुजरता है)0, (a. A), 0(b. B) आइए इस रेखा का समीकरण ज्ञात करें।
xy 0 अब
आइए हम बिंदुओं A और B के निर्देशांकों को दो बिंदुओं (3) से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के समीकरण में प्रतिस्थापित करें: a ax b y 00 0 a ax b y 1 ax b y 1 b y a x
उदाहरण। बिंदु A (2, -1) से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के समीकरण की रचना करें, यदि वह धनात्मक अर्ध-अक्ष y से एक खंड को काटती है, जो धनात्मक अर्ध-अक्ष x पर दो बार लंबा है।
फेसला। समस्या की स्थिति के अनुसार, ab 2 समीकरण में स्थानापन्न (4): 1 2 a y a x बिंदु A(2, -1) इस रेखा पर स्थित है, इसलिए इसके निर्देशांक इस समीकरण को संतुष्ट करते हैं: 1 2 12 एए 1 2 41 ए 23 ए 1 35. 1 yx
समीकरण पर विचार करें: इस समीकरण के विशेष मामलों पर विचार करें और दिखाएं कि गुणांक ए, बी (एक ही समय में शून्य के बराबर नहीं) और सी के किसी भी मूल्य के लिए, यह समीकरण एक विमान पर एक सीधी रेखा का समीकरण है। 0 सीबीआई। कुल्हाड़ी
तब समीकरण (5) को निम्न प्रकार से दर्शाया जा सकता है: तब हम समीकरण (1) प्राप्त करते हैं: निरूपित करें: 10 B B C x B A y k B A b B C bkxy
तब समीकरण दिखता है: हमें समीकरण मिलता है: - मूल से गुजरने वाली सीधी रेखा का समीकरण। 2000 CAB x B A y 3 000 CAB BC y, x अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा का समीकरण है।
तब समीकरण इस तरह दिखता है: हमें समीकरण मिलता है: - x-अक्ष समीकरण। 40 y 5 000 CAB, y-अक्ष के समांतर एक सरल रेखा का समीकरण है। 000 कैब एसी x
तब समीकरण का रूप होता है: - y अक्ष का समीकरण। 60 x 000 सीएबी इस प्रकार, गुणांक ए, बी (एक ही समय में शून्य के बराबर नहीं) और सी के किसी भी मूल्य के लिए, समीकरण (5) एक विमान पर एक सीधी रेखा का समीकरण है। ये है
यदि दो रेखाएँ एक तीसरी रेखा के समांतर हों, तो वे समांतर होती हैं।3. किस प्रमेय को इस प्रमेय का प्रतिलोम कहा जाता है? उन प्रमेयों के उदाहरण दीजिए जो डेटा के विपरीत हैं। 4. सिद्ध करें कि जब दो समानांतर रेखाएँ एक छेदक को काटती हैं, तो कोण बराबर होते हैं। 5. सिद्ध करें कि यदि कोई रेखा इनमें से किसी एक के लंबवत है दो समानांतर रेखाएं, तो यह अन्य के लिए भी लंबवत है। 6. साबित करें कि एक छेदक की दो समानांतर रेखाओं के चौराहे पर: ए) संबंधित कोण बराबर होते हैं; b) एक तरफा कोणों का योग 180° होता है।
कृपया ज्यामिति पर प्रश्नों के साथ मदद करें (ग्रेड 9)! 2) एक वेक्टर को दो में विघटित करने का क्या अर्थ हैदिए गए वैक्टर। 9) किसी बिंदु की त्रिज्या सदिश क्या है? सिद्ध कीजिए कि एक बिंदु के निर्देशांक सदिशों के संगत निर्देशांकों के बराबर होते हैं। 10) किसी सदिश के आरंभ और अंत के निर्देशांकों से उसके निर्देशांकों की गणना के लिए सूत्र व्युत्पन्न कीजिए। 11) किसी सदिश के सिरों के निर्देशांकों से उसके निर्देशांकों की गणना के लिए सूत्र व्युत्पन्न कीजिए। 12) किसी सदिश की लंबाई उसके निर्देशांकों द्वारा परिकलित करने के लिए एक सूत्र व्युत्पन्न कीजिए। 13) दो बिंदुओं के बीच की दूरी को उनके निर्देशांकों द्वारा परिकलित करने के लिए एक सूत्र व्युत्पन्न कीजिए। 15) इस रेखा का समीकरण किस समीकरण को कहते हैं?एक उदाहरण दीजिए। 16) किसी दिए गए बिंदु पर केन्द्रित दी गई त्रिज्या के एक वृत्त का समीकरण व्युत्पन्न कीजिए।
1) समरेखी सदिशों के बारे में एक प्रमेयिका बनाइए और सिद्ध कीजिए।
3) दो असंरेखीय सदिशों में एक सदिश के प्रसार पर एक प्रमेय बनाइए और सिद्ध कीजिए।
4) स्पष्ट करें कि एक आयताकार समन्वय प्रणाली कैसे पेश की जाती है।
5) निर्देशांक सदिश क्या हैं?
6) निर्देशांक सदिशों में एक स्वेच्छ सदिश के अपघटन के बारे में कथन तैयार कीजिए और सिद्ध कीजिए।
7) वेक्टर निर्देशांक क्या हैं?
8) दिए गए सदिश निर्देशांकों के अनुसार सदिशों के योग और अंतर के साथ-साथ एक सदिश का गुणनफल ज्ञात करने के लिए नियम बनाना और सिद्ध करना।
10) किसी सदिश के आरंभ और अंत के निर्देशांकों से उसके निर्देशांकों की गणना के लिए सूत्र व्युत्पन्न कीजिए।
11) किसी सदिश के सिरों के निर्देशांकों से उसके निर्देशांकों की गणना के लिए सूत्र व्युत्पन्न कीजिए।
12) किसी सदिश की लंबाई उसके निर्देशांकों द्वारा परिकलित करने के लिए एक सूत्र व्युत्पन्न कीजिए।
13) दो बिंदुओं के बीच की दूरी को उनके निर्देशांकों द्वारा परिकलित करने के लिए एक सूत्र व्युत्पन्न कीजिए।
14) निर्देशांक विधि का उपयोग करके एक ज्यामितीय समस्या को हल करने का एक उदाहरण दें।
16) किसी दिए गए बिंदु पर केन्द्रित दी गई त्रिज्या के एक वृत्त का समीकरण व्युत्पन्न कीजिए।
17) मूल बिन्दु पर केन्द्रित त्रिज्या वाले वृत्त के लिए समीकरण लिखिए।
18) एक आयताकार निर्देशांक प्रणाली में इस रेखा का समीकरण व्युत्पन्न कीजिए।
19) दिए गए बिंदु M0 (X0: Y0) से गुजरने वाली और निर्देशांक अक्षों के समानांतर रेखाओं का समीकरण लिखिए।
20) निर्देशांक अक्षों का समीकरण लिखिए।
21) ज्यामितीय समस्याओं को हल करने में एक वृत्त और एक सीधी रेखा के समीकरणों के उपयोग के उदाहरण दीजिए।
कृपया, यह बहुत जरूरी है! अधिमानतः चित्र के साथ (जहाँ आवश्यक हो)!
ज्यामिति 9वीं कक्षा।1) समरेखी सदिशों के बारे में एक प्रमेयिका बनाइए और सिद्ध कीजिए।
2) दिए गए दो सदिशों में एक सदिश को विघटित करने का क्या अर्थ है।
3) दो असंरेखीय सदिशों में एक सदिश के प्रसार पर एक प्रमेय बनाइए और सिद्ध कीजिए।
4) स्पष्ट करें कि एक आयताकार समन्वय प्रणाली कैसे पेश की जाती है।
5) निर्देशांक सदिश क्या हैं?
6) निर्देशांक सदिशों में एक स्वेच्छ सदिश के अपघटन के बारे में कथन तैयार कीजिए और सिद्ध कीजिए।
7) वेक्टर निर्देशांक क्या हैं?
8) दिए गए सदिश निर्देशांकों के अनुसार सदिशों के योग और अंतर के साथ-साथ एक सदिश का गुणनफल ज्ञात करने के लिए नियम बनाना और सिद्ध करना।
9) किसी बिंदु की त्रिज्या सदिश क्या है? सिद्ध कीजिए कि बिंदु के निर्देशांक सदिशों के संगत निर्देशांकों के बराबर होते हैं।
14) निर्देशांक विधि का उपयोग करके एक ज्यामितीय समस्या को हल करने का एक उदाहरण दें।
15) इस रेखा का समीकरण किस समीकरण को कहते हैं? एक उदाहरण दें।
17) मूल बिन्दु पर केन्द्रित त्रिज्या वाले वृत्त के लिए समीकरण लिखिए।
18) एक आयताकार निर्देशांक प्रणाली में इस रेखा का समीकरण व्युत्पन्न कीजिए।
19) दिए गए बिंदु M0 (X0: Y0) से गुजरने वाली और निर्देशांक अक्षों के समानांतर रेखाओं का समीकरण लिखिए।
20) निर्देशांक अक्षों का समीकरण लिखिए।
21) ज्यामितीय समस्याओं को हल करने में एक वृत्त और एक सीधी रेखा के समीकरणों के उपयोग के उदाहरण दीजिए।
F(x, y) = 0 के रूप की समानता को दो चरों x, y के साथ एक समीकरण कहा जाता है, यदि यह संख्या x, y के किसी भी युग्म के लिए मान्य नहीं है। वे कहते हैं कि दो संख्याएँ x \u003d x 0, y \u003d y 0, F (x, y) \u003d 0 के रूप के कुछ समीकरण को संतुष्ट करती हैं, यदि इन संख्याओं को समीकरण में चर x और y के लिए प्रतिस्थापित किया जाता है, तो इसके बाएँ पक्ष गायब हो जाता है।
किसी दी गई रेखा का समीकरण (सौंपे गए निर्देशांक प्रणाली में) दो चरों में एक समीकरण है जो इस रेखा पर स्थित प्रत्येक बिंदु के निर्देशांक से संतुष्ट होता है, और उस पर न पड़े प्रत्येक बिंदु के निर्देशांक से संतुष्ट नहीं होता है।
निम्नलिखित में, अभिव्यक्ति के बजाय "रेखा F(x, y) = 0" का समीकरण दिया गया है, हम अक्सर इसे छोटा कहेंगे: दी गई रेखा F(x, y) = 0।
यदि दो रेखाओं F(x, y) = 0 और Ф(x, y) = 0 के समीकरण दिए गए हैं, तो निकाय का संयुक्त हल
एफ (एक्स, वाई) = 0, एफ (एक्स, वाई) = 0
उनके चौराहे के सभी बिंदु देता है। अधिक सटीक रूप से, संख्याओं की प्रत्येक जोड़ी जो इस प्रणाली का एक संयुक्त समाधान है, प्रतिच्छेदन बिंदुओं में से एक को निर्धारित करती है,
157. दिए गए अंक *) एम 1 (2; -2), एम 2 (2; 2), एम 3 (2; - 1), एम 4 (3; -3), एम 5 (5; -5), एम 6 (3; -2)। निर्धारित करें कि दिए गए बिंदुओं में से कौन सा समीकरण x + y = 0 द्वारा परिभाषित रेखा पर स्थित है, और कौन सा उस पर नहीं है। इस समीकरण द्वारा कौन सी रेखा परिभाषित की गई है? (इसे ड्राइंग पर दिखाएं।)
158. समीकरण x 2 + y 2 \u003d 25 द्वारा परिभाषित रेखा पर, ऐसे बिंदु खोजें जिनके भुज निम्नलिखित संख्याओं के बराबर हैं: 1) 0, 2) -3, 3) 5, 4) 7; उसी रेखा पर, ऐसे बिंदु ज्ञात कीजिए जिनके निर्देशांक निम्नलिखित संख्याओं के बराबर हैं: 5) 3, 6) -5, 7) -8। इस समीकरण द्वारा कौन सी रेखा परिभाषित की गई है? (इसे ड्राइंग पर दिखाएं।)
159. निर्धारित करें कि कौन सी रेखाएँ निम्नलिखित समीकरणों द्वारा निर्धारित की जाती हैं (उन्हें चित्र पर बनाएँ): 1) x - y \u003d 0; 2) एक्स + वाई = 0; 3) एक्स - 2 = 0; 4)x + 3 = 0; 5) वाई - 5 = 0; 6) वाई + 2 = 0; 7) एक्स = 0; 8) वाई = 0; 9) x 2 - xy \u003d 0; 10) xy + y 2 = 0; 11) एक्स 2 - वाई 2 \u003d 0; 12) xy = 0; 13) 2 - 9 = 0; 14) x 2 - 8x + 15 = 0; 15) वाई 2 + बाय + 4 = 0; 16) x 2 y - 7xy + 10y = 0; 17) वाई - |x|; 18) एक्स - |वाई|; 19) वाई + |x| = 0; 20) x + |y| = 0; 21) y = |x - 1|; 22) y = |x + 2|; 23) x 2 + y 2 = 16; 24) (एक्स - 2) 2 + (वाई - 1) 2 \u003d 16; 25 (x + 5) 2 + (y-1) 2 = 9; 26) (एक्स -1) 2 + वाई 2 = 4; 27) एक्स 2 + (वाई + 3) 2 = 1; 28) (एक्स - 3) 2 + वाई 2 = 0; 29) x2 + 2y2 = 0; 30) 2x2 + 3y2 + 5 = 0; 31) (एक्स - 2) 2 + (वाई + 3) 2 + 1 = 0।
160. रेखाएँ दी गई हैं: l)x + y = 0; 2) एक्स - वाई \u003d 0; 3) x 2 + y 2 - 36 = 0; 4) x 2 + y 2 - 2x + y \u003d 0; 5) x 2 + y 2 + 4x - 6y - 1 = 0. निर्धारित करें कि उनमें से कौन मूल बिंदु से होकर गुजरता है।
161. रेखाएँ दी गई हैं: 1) x 2 + y 2 = 49; 2) (एक्स - 3) 2 + (वाई + 4) 2 = 25; 3) (एक्स + 6) 2 + (वाई - जेड) 2 = 25; 4) (एक्स + 5) 2 + (वाई - 4) 2 = 9; 5) x 2 + y 2 - 12x + 16y - 0; 6) x 2 + y 2 - 2x + 8y + 7 = 0; 7) x 2 + y 2 - 6x + 4y + 12 = 0. उनके प्रतिच्छेदन के बिंदु खोजें: a) x-अक्ष के साथ; बी) ओए अक्ष के साथ।
162. दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए:
1) एक्स 2 + वाई 2 - 8; एक्स - वाई \u003d 0;
2) x 2 + y 2 - 16x + 4y + 18 = 0; एक्स + वाई = 0;
3) x 2 + y 2 - 2x + 4y - 3 = 0; एक्स 2 + वाई 2 = 25;
4) x 2 + y 2 - 8y + 10y + 40 = 0; एक्स 2 + वाई 2 = 4।
163. अंक एम 1 (एल; π/3), एम 2 (2; 0), एम 3 (2; π/4), एम 4 (√3; π/6) और एम 5 ( 1;2/3π ) निर्धारित करें कि इनमें से कौन सा बिंदु समीकरण p = 2cosΘ द्वारा ध्रुवीय निर्देशांक में परिभाषित रेखा पर स्थित है, और कौन सा उस पर नहीं है। इस समीकरण से कौन सी रेखा निर्धारित होती है? (इसे ड्राइंग पर दिखाएं।)
164. समीकरण p \u003d 3 / cosΘ द्वारा परिभाषित रेखा पर, ऐसे बिंदु खोजें जिनके ध्रुवीय कोण निम्नलिखित संख्याओं के बराबर हों: a) / 3, b) - / 3, c) 0, d) / 6 . इस समीकरण द्वारा कौन सी रेखा परिभाषित की गई है? (इसे ड्राइंग पर बनाएं।)
165. समीकरण p \u003d 1 / sinΘ द्वारा परिभाषित रेखा पर, ऐसे बिंदु खोजें जिनकी ध्रुवीय त्रिज्या निम्नलिखित संख्याओं के बराबर हों: a) 1 6) 2, c) 2। इस समीकरण द्वारा कौन सी रेखा परिभाषित की गई है? (इसे ड्राइंग पर बनाएं।)
166. निर्धारित करें कि कौन सी रेखाएँ ध्रुवीय निर्देशांक में निम्नलिखित समीकरणों द्वारा निर्धारित की जाती हैं (उन्हें चित्र पर बनाएँ): 1) p \u003d 5; 2) = /2; 3) = - /4; 4) पी कोस = 2; 5) पी पापΘ = 1; 6.) p = 6cosΘ; 7) पी = 10 पापΘ; 8) पापΘ = 1/2; 9) पाप = 1/2।
167. चित्र पर आर्किमिडीज के निम्नलिखित सर्पिलों की रचना कीजिए: 1) p = 20; 2) पी = 50; 3) पी = /π; 4) पी \u003d -Θ / ।
168. आरेख पर निम्नलिखित अतिपरवलयिक सर्पिलों की रचना कीजिए: 1) p = 1/Θ; 2) पी = 5/Θ; 3) पीआर = /Θ; 4) पी = - /Θ
169. ड्राइंग में निम्नलिखित लॉगरिदमिक सर्पिल का निर्माण करें: 1) पी \u003d 2 ; 2) पी = (1/2) ।
170. उन खंडों की लंबाई निर्धारित करें जिनमें आर्किमिडीज सर्पिल पी = 3Θ ध्रुव को छोड़कर बीम को काटता है और कोण Θ = / 6 पर ध्रुवीय अक्ष की ओर झुकता है। एक चित्र बनाओ।
171. बिंदु C को आर्किमिडीज सर्पिल p \u003d 5 / पर लिया गया है, जिसका ध्रुवीय त्रिज्या 47 है। निर्धारित करें कि यह सर्पिल बिंदु C के ध्रुवीय त्रिज्या को कितने भागों में काटता है। एक चित्र बनाएं।
172. हाइपरबोलिक सर्पिल P \u003d 6 / पर, एक बिंदु P खोजें, जिसकी ध्रुवीय त्रिज्या 12 है। एक चित्र बनाएं।
173. लॉगरिदमिक सर्पिल पी \u003d 3 एक बिंदु पी खोजें, जिसकी ध्रुवीय त्रिज्या 81 है। एक चित्र बनाएं।
आइए दोहराएँ * द्विघात समीकरण क्या है? * किन समीकरणों को अपूर्ण द्विघात समीकरण कहते हैं? * किस द्विघात समीकरण को घटा हुआ कहते हैं? * द्विघात समीकरण का मूल क्या है? * द्विघात समीकरण को हल करने का क्या अर्थ है? द्विघात समीकरण क्या है? अपूर्ण द्विघात समीकरण किसे कहते हैं? किस द्विघात समीकरण को कम किया जाता है? द्विघात समीकरण का मूल क्या है? द्विघात समीकरण को हल करने का क्या अर्थ है? द्विघात समीकरण क्या है? अपूर्ण द्विघात समीकरण किसे कहते हैं? किस द्विघात समीकरण को कम किया जाता है? द्विघात समीकरण का मूल क्या है? द्विघात समीकरण को हल करने का क्या अर्थ है?
द्विघात समीकरण को हल करने के लिए एल्गोरिथम: 1. निर्धारित करें कि द्विघात समीकरण को हल करने के लिए कौन सा तरीका अधिक तर्कसंगत है 2. हल करने के लिए सबसे तर्कसंगत तरीका चुनें 3. द्विघात समीकरण की जड़ों की संख्या निर्धारित करना 4. द्विघात समीकरण तालिका की जड़ों का पता लगाना ...
अतिरिक्त स्थिति समीकरण मूल उदाहरण 1. c = c = 0, a 0 ax 2 = 0 x 1 = 0 2. c = 0, a 0, a 0 ax 2 + bx = 0 x 1 = 0, x 2 = -b / ए 3. सी \u003d 0, ए 0, सी 0 कुल्हाड़ी 2 + सी \u003d 0 4. ए 0 कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी \u003d 0 एक्स 1.2 \u003d (-बी ± डी) / 2 ए, जहां डी \u003d 2 - 4 में, D0 5. c एक सम संख्या है (b \u003d 2k), लेकिन 0, 0 पर, 0 ax 2 + 2kx + c \u003d 0 x 1.2 \u003d (-b ± D) के साथ / ए, डी 1 \u003d के 2 - एसी, जहां के \u003d 6. प्रमेय विएटा प्रमेय x 2 + px + q = 0x 1 + x 2 = - p x 1 x 2 = q के विपरीत है।
द्वितीय. विशेष विधियाँ 7. द्विपद का वर्ग निकालने की विधि। उद्देश्य: सामान्य समीकरण को अपूर्ण द्विघात समीकरण में कम करें। नोट: यह विधि किसी भी द्विघात समीकरण के लिए लागू होती है, लेकिन इसका उपयोग करना हमेशा सुविधाजनक नहीं होता है। द्विघात समीकरण की जड़ों के सूत्र को सिद्ध करने के लिए उपयोग किया जाता है। उदाहरण: समीकरण x 2 -6 x + 8 = 0 8 को हल करें। वरिष्ठ गुणांक के "स्थानांतरण" की विधि। द्विघात समीकरणों की जड़ें ax 2 + bx + c = 0 और y 2 +by+ac=0 संबंधों से संबंधित हैं: और नोट: विधि "सुविधाजनक" गुणांक वाले द्विघात समीकरणों के लिए अच्छी है। कुछ मामलों में, यह आपको मौखिक रूप से द्विघात समीकरण को हल करने की अनुमति देता है। उदाहरण: समीकरण 2 x 2 -9 x-5=0 को प्रमेयों के आधार पर हल करें: उदाहरण: समीकरण 157 x x-177=0 9 को हल करें। यदि द्विघात समीकरण में a + b + c = 0 है, तो इनमें से एक जड़ें 1 हैं, और दूसरी, वियत प्रमेय के अनुसार, c / a 10 के बराबर है। यदि द्विघात समीकरण a + c \u003d b में, तो जड़ों में से एक -1 के बराबर है, और दूसरा, विएटा प्रमेय के अनुसार, बराबर है - सी / ए उदाहरण: समीकरण 203 x x + 17 \u003d 0 x 1 \u003d y 1 / a, x 2 \u003d y 2 / a हल करें
III. समीकरणों को हल करने की सामान्य विधियाँ 11. गुणनखंड विधि। उद्देश्य: A(x)·B(x)=0 के रूप में एक सामान्य द्विघात समीकरण लाने के लिए, जहां A(x) और B(x) x के संबंध में बहुपद हैं। तरीके: सामान्य कारक को ब्रैकेट करना; संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग करना; समूहन विधि। उदाहरण: समीकरण 3 x 2 +2 x-1=0 12 को हल करें। एक नया चर पेश करने की विधि। एक नए चर का एक अच्छा विकल्प समीकरण की संरचना को और अधिक पारदर्शी बनाता है उदाहरण: समीकरण को हल करें (x 2 +3 x-25) 2 -6 (x 2 +3 x-25) = - 8
