1. आइए सबसे पहले महत्वपूर्ण संख्या-सैद्धांतिक मोबिओ फ़ंक्शन की परिभाषा को याद करें
1 अगर एन = 1
µ (n)=0 यदि कोई अभाज्य संख्या p मौजूद है, p2 n (-1)k यदि n = p1 … pk k विशिष्ट अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल है।
आइए हम मोबियस फ़ंक्शन की मुख्य संपत्ति को साबित करें:
प्रमेय 1.
यदि n = 1 है, तो एकमात्र भाजक d = 1 है और (1) सत्य है, क्योंकि µ (1) = 1. अब n > 1 मान लीजिए। हम इसे फ़ॉर्म में निरूपित करते हैं
n = p1 s 1 ps 2 2 k ps k k ,
जहाँ pi, i 1, k अभाज्य संख्याएँ हैं, si उनकी शक्तियाँ हैं। यदि d, n का भाजक है, तो d = p1 d 1 pd 2 2 K pd k k,
जहाँ 0 di ≤ si , i 1 , k । यदि कुछ i 1, k के लिए di > 1 है, तो μ (d) = 0. इसलिए, (1) में हमें केवल उन d पर विचार करने की आवश्यकता है जिनके लिए di 1, i 1, k है। ऐसा प्रत्येक भाजक
r विभिन्न अभाज्यों के गुणनफल से खड़ा है, जहाँ r 1, k और योग में इसका योगदान है
(1) (-1)r के बराबर है और कुल में k हैं। इस प्रकार, हम प्राप्त करते हैं
µ (डी) = 1 − |
के + (−1) के |
0. ♦ |
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प्रमेय 2। (मोबियस उलटा सूत्र)। चलो f(n) और g(n) प्राकृतिक के कार्य हैं |
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वास्तविक तर्क। फिर समानता |
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f(डी) |
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सच है अगर और केवल अगर समानता सच है |
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μ (डी) जी ( |
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माना (2) किसी भी n के लिए सत्य है। फिर
जी (डी एन) = ∑ एफ (डी′)
d'dn
(3) के दायीं ओर प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं
μ (डी) जी ( |
) = μ (डी) ∑ एफ (डी′) |
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डी' |
|||||||
दाईं ओर दोहरा योग d, d′ के सभी युग्मों पर इस प्रकार किया जाता है कि d d′ n । यदि हम d′ चुनते हैं, तो d d n के सभी भाजक से होकर गुजरेगा। इस प्रकार
μ (डी) जी ( |
) = ∑ एफ (डी′) ∑ μ (डी′) |
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डी' |
डी' |
||||||||||||
डी' |
एन> डी′ |
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लेकिन (1) के अनुसार हमारे पास . है |
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µ (डी′) = |
एन = डी′ |
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डी' |
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डी' |
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इसलिए, समानता (3) स्थापित की जाती है। माना अब (3) किसी भी n के लिए मान्य है। फिर
∑ एफ (डी) = |
μ (डी′) जी ( |
) , d′′ = d d ′ - n का भाजक है और दुगना योग हो सकता है |
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डी' |
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रा' |
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के रूप में फिर से लिखा जाना |
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μ (डी′) जी (डी′′) = |
जी (डी′′) |
μ (डी′) |
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डी'' |
रा' |
डी'' |
डी'' |
डी' |
डी'' |
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(1) के अनुसार, अन्य मामलों में d′′ = n के मामले में अंतिम योग एकता में बदल जाता है
चाय यह शून्य है। यह सिद्ध करता है (2)। 2. मोबियस उलटा के आवेदन पर विचार करें।
मान लीजिए कि s अक्षरों का एक अक्षर A दिया गया है। दिए गए वर्णमाला में लंबाई n के sn शब्द हैं। प्रत्येक शब्द के लिए w0 = a1 a2 … एक n - 1 शब्दों को परिभाषित किया जा सकता है
w1 = a2 a3 … a a1, w2 = a3 a4 … a1 a2 , … , wk-1 = an a1 … an-1 , चक्रीय पारियों द्वारा एक दूसरे से प्राप्त किया। सभी एसएन शब्दों के सेट पर, हम एक तुल्यता संबंध का परिचय देते हैं: दो शब्दों को समतुल्य घोषित किया जाता है यदि एक दूसरे को चक्रीय बदलाव द्वारा प्राप्त किया जाता है। हम उन वर्गों की संख्या में रुचि लेंगे जिनमें ठीक n शब्द हों। कोड को सिंक्रनाइज़ करने के सिद्धांत में ऐसी समस्या उत्पन्न होती है।
हम एक शब्द w degenerate कहेंगे यदि w वाले तुल्यता वर्ग में n से कम शब्द हों। हम w आवर्त कहते हैं यदि कोई शब्द u और एक प्राकृत संख्या m मौजूद है जैसे कि w = u u … u (m बार)।
प्रमेय 3. एक शब्द w आवर्त है यदि और केवल यदि यह पतित है।
आप के रूप में हम एक ले सकते हैं 1 a 2 … a p , और m = . के रूप में
यह स्पष्ट है कि यदि w आवर्त है, तो यह पतित है। चलो पतित हो। मान लीजिए कि p सबसे छोटा पूर्णांक इस प्रकार है कि w = wp है। तो अगर
w = a1 a2 … a , फिर wp = a1+p a2+p … an+p (सूचकांक n)। इसलिए हम इसे n p में प्राप्त करते हैं। (यह देखना आसान है कि p n)। वॉलपेपर
एम (डी) के संदर्भ में महत्वपूर्ण है - डी शब्दों वाले वर्गों की संख्या। पिछले एक से हमारे पास है
डी.एन. इस प्रकार, सूत्रडीएम (डी) = एस एन। घ नहीं
आइए मामले g(n) = sn , f(d) = dM(d) के लिए मोबियस उलटा सूत्र लागू करें। तब हमें मिलता है
एनएम (एन) = μ (डी) एस एन डी डी एन
μ (डी) एसएन डी |
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इस प्रकार, एम (एन) हमारे लिए ब्याज की संख्या है। यदि n = p एक अभाज्य संख्या है, तो |
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- एस) |
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मोबियस उलटा का एक गुणक संस्करण है। गोरा |
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प्रमेय 4. मान लीजिए f(n) और g(n) संबंधित प्राकृतिक तर्क के फलन हैं |
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पहना हुआ |
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एफ (एन) = ∏g (डी) |
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μ(एन |
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जी (एन) = ∏f (डी) |
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और इसके विपरीत, (5) से (4) अनुसरण करता है।
मोबियस व्युत्क्रम सूत्र का उपयोग करके, एक परिमित क्षेत्र में एक निश्चित डिग्री के इरेड्यूसबल बहुपदों की संख्या की व्यावहारिक रूप से महत्वपूर्ण समस्या को हल कर सकते हैं। माना GF(q) q तत्वों का क्षेत्र है और m एक प्राकृत संख्या है। फिर संख्या के लिए
m (q) क्षेत्र GF(q) पर अपरिवर्तनीय बहुपदों का, हमारे पास सूत्र है
आइए हम फ़ंक्शन m (2) के कई पहले मानों की एक तालिका दें
m(2) |
5. परमानेंट और गणना के लिए उनका आवेदन
1. कई संयोजन समस्याओं को हल करने के लिए, स्थायी का उपयोग किया जाता है। एक संख्या मैट्रिक्स पर विचार करें
ए = (एआई, जे), आई = 1, एन, जे = 1, एम, एन ≤ एम
मैट्रिक्स ए का स्थायी (नोटेशन - प्रति ए) समानता द्वारा परिभाषित किया गया है
प्रति ए = |
ए 2 जे एल ए एनजे |
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(जे 1, के, जेएन) |
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जहाँ m तत्वों 1, 2, m के सभी n-क्रमपरिवर्तनों पर योग किया जाता है। दूसरे शब्दों में, मैट्रिक्स का स्थायी प्रत्येक पंक्ति और विभिन्न स्तंभों से एक बार में लिए गए तत्वों के उत्पादों के योग के बराबर होता है।
सूत्र (1) का तात्पर्य स्थायी के कुछ स्पष्ट गुणों से है, जो वर्ग मैट्रिक्स के निर्धारक के समान हैं।
1. यदि पंक्तियों में से एक(एन × एम)-मैट्रिक्स ए (एन ≤ एम) में शून्य होते हैं, फिर प्रति ए = 0. एन = एम के लिए, कॉलम के लिए भी यही सच है।
2. मैट्रिक्स A की किसी एक पंक्ति के सभी तत्वों को किसी संख्या से गुणा करने पर, स्थायी A के मान को उसी संख्या से गुणा किया जाता है।
3. एक स्थायी नहीं बदलता है जब इसकी पंक्तियों और स्तंभों को पुनर्व्यवस्थित किया जाता है।
i-वें पंक्ति और j-वें स्तंभ को हटाकर A से प्राप्त आव्यूह को Aij द्वारा निरूपित करें।
4. i-वें पंक्ति में स्थायी के विस्तार का सूत्र प्रति A = ai1 प्रति Ai1 + ai2 प्रति Ai2 + ... + लक्ष्य प्रति लक्ष्य (2) के लिए मान्य है।
इस प्रकार, स्थायी के कई गुण निर्धारकों के समान होते हैं।
हालांकि, निर्धारकों की मुख्य संपत्ति det(A B) = detA detB स्थायी के लिए नहीं है, और यह परिस्थिति उनकी गणना को बहुत जटिल करती है।
उदाहरण के लिए, |
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2, पे |
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हालांकि, 4 = प्रति |
पे |
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आइए हम संयोजक समस्याओं में स्थायी की अवधारणा के सबसे महत्वपूर्ण अनुप्रयोगों में से एक पर विचार करें।
दचास मान लीजिए X = (x1, xm) एक परिमित समुच्चय है, और X1, ..., Xn उपसमुच्चय का एक निकाय है।
इस मामले में, तत्व xi को सेट शी का प्रतिनिधित्व करने के लिए कहा जाता है। कई लागू समस्याओं को हल करने में विभिन्न प्रतिनिधियों की एक प्रणाली खोजने की आवश्यकता उत्पन्न होती है। निम्नलिखित कोडिंग समस्या पर विचार करें। कुछ वाक्य हो, अर्थात्। कुछ वर्णमाला में शब्दों का एक क्रमबद्ध सेट। इस वाक्य को सांकेतिक शब्दों में बदलना आवश्यक है ताकि प्रत्येक शब्द एक अक्षर से जुड़ा हो, और यह अक्षर इस शब्द का हिस्सा होना चाहिए, और विभिन्न अक्षरों को अलग-अलग शब्दों के अनुरूप होना चाहिए।
उदाहरण: वाक्य a bc ab d abe c de cd e को abcd के रूप में एन्कोड किया जा सकता है। उसी समय, वाक्य ab ab bc abc bcd को इस तरह से एन्कोड नहीं किया जा सकता है, क्योंकि कुल पहले चार शब्दों में केवल तीन अक्षर होते हैं।
सेट X1 , … , Xn की एक प्रणाली के लिए हम परिभाषित करते हैं घटना मैट्रिक्सए = (एज), आई = 1, एन,
1 अगर xi |
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एक आईज = |
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0 अन्यथा। |
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गोरा |
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प्रमेय 1. मान लीजिए A = (aij), i = |
(एन ≤ एम) घटना मैट्रिक्स |
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X1, ..., Xn सेट करता है, जहां Xi X, i = 1, n, X = (x1, …, xm) है। फिर सिस्टम की संख्या के लिए
व्यक्तिगत प्रतिनिधि R(X1,… , Xn ) सेट X1 ,… , Xn . के
आर (एक्स 1, ..., एक्सएन) = प्रति ए |
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वास्तव में, चूँकि आव्यूह A में अवयव aij = 1 है, यदि xj Xi और aij = 0, |
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अगर xj |
कश्मीर, xi |
) एक्स के तत्व विभिन्न पूर्व की एक प्रणाली है- |
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शी , फिर समुच्चय (xi |
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X1, ..., Xn . के लिए आपूर्तिकर्ता |
अगर और केवल अगर a1i |
कश्मीर, एक नि |
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पुलिस ए1आई |
कश्मीर, एक नि |
मैट्रिक्स ए के विभिन्न कॉलम में हैं। संख्याओं का योग करें |
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a1i, कश्मीर, एक नि |
तत्वों 1, 2, ... , m के सभी n-क्रमपरिवर्तनों पर। तब हमें एक सौ |
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दूसरी ओर, X1, ..., Xn के लिए विभिन्न प्रतिनिधियों की प्रणालियों की संख्या, और दूसरी ओर, प्रति- का मान-
मैट्रिक्स ए
एक 1i 1 एक 2i 2 एल एक नी n
परिणाम। X1 , … , Xn के लिए विभिन्न प्रतिनिधियों की एक प्रणाली मौजूद है यदि और केवल तभी जब संबंधित मैट्रिक्स के लिए घटना A होती है:
चूँकि सूत्र (1) में m(m - 1) ... (m - n +1) पद हैं, इसलिए परिभाषा के आधार पर स्थायी की गणना कठिन है। हम इस उद्देश्य के लिए एक सामान्य सूत्र देते हैं।
2. हम स्वयं को वर्ग संख्यात्मक आव्यूह А = (aij), i, j = 1, n के विचार तक सीमित रखते हैं।
फिर प्रति ए =
(i1, के, इन)
जहां योग सभी क्रमपरिवर्तन i1 , … , तत्वों में फैला हुआ है
1, 2, ..., एन। आइए मैट्रिक्स ए के स्थायी की गणना करने के लिए समावेशन-बहिष्करण सूत्र लागू करें। प्रत्येक सेट i1 , … , in को a1i 1, K ,a ni n के बराबर वजन सौंपा जाएगा।
तो स्थायी ए उन सेटों के वजन का योग है जो क्रमपरिवर्तन के अनुरूप हैं। आइए सभी संग्रहों के सेट पर n गुण P1 , … , P का परिचय दें i1, i2 ,… , 1, 2,… , n से, जहां संपत्ति Pi का अर्थ है कि संग्रह i1 ,… , में कोई तत्व i नहीं है। इस प्रकार, स्थायी A समुच्चयों के भारों का योग है i1 , … , जिसमें कोई भी गुण P1 , … , Pn नहीं है। यह k गुणों वाले सेटों के भार W(Pi 1,K, Pi k ) का योग निर्धारित करने के लिए बनी हुई है
पीआई 1, के, पीआई के। हमारे पास सभी सेटों i1 , … , ik के भार W(0) के योग के लिए है। |
|||||||||
डब्ल्यू (0) = |
कश्मीर, एक निस |
= (ए 11 + एल + ए 1एन) (ए 21 + एल + ए 2एन) एल (ए एन 1 + एल + ए एनएन) |
|||||||
आई1, के, इन |
|||||||||
डब्ल्यू (एन (पाई)) = |
a1i, कश्मीर, एक नि |
= (ए 11 + एल + ए 1i |
एल + ए1एन) एल (ए एन1 + एल ए नी + एल + ए एनएन) (9) |
||||||
i |
|||||||||
जहां मैट्रिक्स ए के एक तत्व पर ^ साइन का मतलब है कि इस तत्व को छोड़ दिया जाना चाहिए। इसी प्रकार sij के लिए (i< j) имеем
W(N(Pi , Pj )) = (a11 + L + a1i .) |
एल+ए1जे |
एल + ए1एन) एल (ए एन1 + एल ए नी + एल + ए एनजे + एल + ए एनएन) (10) |
|
अब, समावेश-बहिष्करण सूत्र का उपयोग करते हुए, हम स्थायी A के लिए रेज़र सूत्र प्राप्त करते हैं:
प्रति A = ∏ i n = 1 (ai1 + L + ain ) - ∑∏ k n = 1 (a k1 + L + a ki + L + a kn )+ L + |
|||||
+ (- 1)एस |
n |
||||
(ए के1 + एल + ए की1 |
एल+ए कि |
एल + ए केएन) + एल |
|||
1≤ i1< L < is ≤ k n= 1 |
|||||
रेज़र सूत्र के अनुसार स्थायी की गणना इस तरह से व्यवस्थित की जा सकती है कि इसकी आवश्यकता हो
(2n - 1)(n - 4) गुणा और (2n - 2)(n + 1) जोड़। यद्यपि यह मान n के साथ तेजी से बढ़ता है, यह सूत्र स्थायी गणना करने का सबसे कुशल तरीका प्रदान करता है।
3. आइए अब हम (0, 1)-मैट्रिक्स के स्थायी के शून्य की समानता के लिए शर्तों के प्रश्न को स्पष्ट करें। हम खुद को एक वर्ग मैट्रिक्स के मामले तक सीमित रखते हैं।
प्रमेय 2. मान लीजिए A = (aij), i, j = 1, n एक (0, 1)-कोटि n का आव्यूह है। फिर
प्रति ए = 0 यदि और केवल अगर ए के पास शून्य का एस × टी सबमैट्रिक्स है, जहां एस + टी = एन + 1 है।
मान लें कि ऐसा शून्य सबमैट्रिक्स A में मौजूद है। चूंकि स्थायी पंक्तियों और स्तंभों के क्रमपरिवर्तन से नहीं बदलता है, हम मान सकते हैं कि यह सबमैट्रिक्स निचले बाएं कोने में स्थित है, अर्थात।
जहाँ O - (s × t) शून्य का एक मैट्रिक्स है, सबमैट्रिक्स B का आकार (n - s) × t है। स्थायी ए के किसी भी सदस्य में पहले टी कॉलम से प्रत्येक में एक तत्व होना चाहिए। इसलिए, यदि हम स्थायी के एक सकारात्मक सदस्य की तलाश कर रहे हैं, तो इन स्तंभों के तत्वों को जोड़े में अलग-अलग पंक्तियों में संख्या 1, 2, …, n - s के साथ होना चाहिए। हालाँकि, n - s = t - 1< t и поэтому данное условие выполнить нельзя, т.е. per A = 0.
मान लीजिए अब प्रति A = 0 है। हम n पर प्रेरण द्वारा प्रमेय को सिद्ध करते हैं। n = 1 के लिए अभिकथन स्पष्ट है (A = (0))। इसे n से कम के सभी ऑर्डर के लिए मान्य होने दें। यदि A क्रम n का एक शून्य आव्यूह है, तो अभिकथन स्पष्ट है। यदि A एक शून्य आव्यूह नहीं है, तो मान लीजिए aij = 1. आइए A के अपघटन को पंक्ति i में लिखें:
प्रति A = ai1 Ai1 + … + ain Ain
चूँकि प्रति А = 0, तो प्रति ij = 0. लेकिन ij का आकार (n-1) × (n-1) होता है और, प्रेरण परिकल्पना के अनुसार, आकार के शून्यों का एक सबमैट्रिक्स मौजूद होता है।
s1 × t1 , और s1 + t1 = n - 1 + 1 = n। पंक्तियों और स्तंभों को पुनर्व्यवस्थित करें ताकि यह शून्य सबमैट्रिक्स निचले बाएँ कोने में हो:
ए → बी = |
|
जहाँ О - s1 × t1, s1 + t1 = n, - आकार का शून्य सबमैट्रिक्स (n - s1) × t1, D - है
आकार s1 × (n - t) है। इसलिए, आव्यूह С और D वर्गाकार हैं और इनका क्रम क्रमशः (t1 × t1) और (s1 × s1) है। स्थायी की परिभाषा के अनुसार, हमारे पास प्रति बी = प्रति ए और,
प्रति बी = प्रति सी प्रति डी और इसलिए प्रति ए = 0 से यह इस प्रकार है कि प्रति सी = 0 या प्रति डी = 0।
प्रति सी = 0 दें। आगमनात्मक परिकल्पना के अनुसार, सी के आकार का शून्य सबमैट्रिक्स है
u × v, जहाँ u + v = t1 + 1. मान लीजिए कि यह संख्या i1,…, iu और संख्याओं j1,…, jv वाली पंक्तियों में स्थित है। पंक्तियों से मिलकर एक सबमैट्रिक्स बी पर विचार करें
i1 , … , iu , t1 + 1, … , n और कॉलम j1 , … , jv । यह आकार का एक शून्य सबमैट्रिक्स है (u + n - t1) × v,
जहां यू + एन - टी 1 + वी = एन + +1। तो, मैट्रिक्स B में s × t आकार का एक शून्य सबमैट्रिक्स होता है, जहाँ s + t = n + 1। चूंकि मैट्रिक्स A और B पंक्तियों और स्तंभों के क्रमपरिवर्तन में भिन्न होते हैं, प्रमेय सिद्ध होता है। मैं
आइए अब मैट्रिक्स ए के एक महत्वपूर्ण विशेष मामले पर विचार करें। प्रत्येक पंक्ति और प्रत्येक कॉलम (के> 0) के लिए 0.1 तत्वों के n × n मैट्रिक्स के ए (के, एन) द्वारा निरूपित करें।
प्रमेय 3. किसी भी आव्यूह A(k, n) के लिए हमारे पास प्रति A(k, n) > 0 है।
इसके विपरीत मान लें कि प्रति A(k, n) = 0. तब, प्रमेय 2 के अनुसार शून्य का अस्तित्व है।
आकार s × t का सबमैट्रिक्स, जहाँ s + t = n + 1। फिर, मैट्रिक्स A(k, n) की पंक्तियों और स्तंभों को पुनर्व्यवस्थित करके, हम मैट्रिक्स प्राप्त करते हैं
जहाँ 0 शून्य (s × t) आव्यूह है।
आइए मैट्रिक्स बी और डी में 1s की संख्या की गणना करें। चूंकि ए (के, एन) में प्रत्येक पंक्ति और प्रत्येक कॉलम में के 1 एस है, बी के प्रत्येक कॉलम और डी की प्रत्येक पंक्ति में बिल्कुल k 1s हैं।
इकाइयां A(k, n) में कुल n k इकाइयाँ हैं, इसलिए nk tk + sk = (t + s)n। इस प्रकार
ज़ोम, एन टी + एस, जो असंभव है, क्योंकि एस + टी = एन + 1
दावे की वैधता। इसी प्रकार सिद्ध होता है
प्रमेय 3क. मान लीजिए A एक (0,1) - मैट्रिक्स आकार n × m (n≤ m) है। फिर perA = 0 यदि और केवल यदि इसमें s × t आकार का शून्य सबमैट्रिक्स है, जहां s+t=m+1 है।
4. आइए अब हम एक अक्षांश की रचना में विचाराधीन प्रश्नों के प्रयोग पर विचार करें।
टिन वर्ग। लैटिन (एन × एम) -आयतसेट के ऊपर X=(x1,…,xm)
X के तत्वों का एक (n × m)-मैट्रिक्स कहा जाता है, जिसमें प्रत्येक पंक्ति X का n-क्रमपरिवर्तन है, और प्रत्येक स्तंभ सेट X का m-क्रमपरिवर्तन है। n=m के लिए, लैटिन आयत है बुलाया लैटिन वर्ग।
यह स्पष्ट है कि n=1 के लिए लैटिन 1 × m आयतों की संख्या m! के बराबर है। n=2 के लिए, पहली पंक्ति के चयन के बाद, किसी भी क्रमपरिवर्तन को दूसरे के रूप में लिया जा सकता है।
नवाचार जो चुने हुए के विपरीत है। ऐसे क्रमपरिवर्तनों की संख्या Dm है, इसलिए संख्या 2×m -
लैटिन आयत बराबर मी! डीएम
लैटिन वर्गों के आगमनात्मक निर्माण के संबंध में एक स्वाभाविक प्रश्न उठता है। आइए हम एक लैटिन (n × m)-आयत (n .) की रचना करें< m). Можно ли его расширить до ((n+1)× m) -прямоугольника добавлением (n+1)-й строки?
गोरा
प्रमेय 4. प्रत्येक लैटिन (n × m) -आयत n ♦ मान लीजिए X=(x1,…,xm ) और L-Latin (n × m) - X से तत्वों के साथ आयत। सेट A1 ,… , Am के एक सेट पर विचार करें जहां A लैटिन आयत के ith स्तंभ के तत्व हैं L. मान लीजिए A - सेट सिस्टम A1 ,… ,Am का आपतन मैट्रिक्स। इसका आकार m × m है, और मैट्रिक्स A की प्रत्येक पंक्ति में ठीक n वाले हैं, क्योंकि Ai = n, i = 1, m। प्रत्येक तत्व xi X कॉलम L में m बार से अधिक नहीं दिखाई दे सकता है, अन्यथा एक पंक्ति होगी जिसमें यह तत्व दो बार होता है। तत्वों की कुल संख्या L, m n के बराबर है, इसलिए प्रत्येक तत्व xi X कॉलम में ठीक n बार दिखाई देता है। इसका तात्पर्य यह है कि मैट्रिक्स A के प्रत्येक कॉलम में ठीक n वाले होते हैं। अब प्रत्येक 1 को शून्य से और प्रत्येक शून्य को 1 से बदलकर प्राप्त मैट्रिक्स ए पर विचार करें। आव्यूह A समुच्चय X1,…, Xn के निकाय का आपतन मैट्रिक्स है, जहाँ Xi = X\Ai, मैं = 1, एम। इसमें प्रत्येक पंक्ति में और प्रत्येक स्तंभ में m - n होते हैं। प्रमेय द्वारा > 0. मान लीजिए ai1 ... एक मील 0. तब हमारे पास xi X1, K, xi . है एक्सएम और सभी तत्व xi, कश्मीर, xi जोड़ीदार अलग हैं। रेखा xi, कश्मीर, xi (n + 1)th . के रूप में लिया जा सकता है लैटिन (n × m)-आयताकार L के लिए। इस प्रक्रिया को जारी रखते हुए, हम लैटिन प्राप्त करते हैं आकाश वर्ग। मैं निरूपित करें l n - क्रम n के लैटिन वर्गों की संख्या, सेट X = (1, 2, ..., n) के तत्वों के साथ, जिसमें पहले स्तंभ और पहली पंक्ति के तत्व प्राकृतिक क्रम में हैं। यहाँ संख्या l n के कई ज्ञात मानों की तालिका दी गई है: 5. एक n × n मैट्रिक्स A = (aij ) जिसमें वास्तविक, गैर-ऋणात्मक तत्व होते हैं, कहलाते हैं दोगुना स्टोकेस्टिक, अगर μ( एन) सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए परिभाषित है एनऔर संख्या के अपघटन की प्रकृति के आधार पर मान लेता है एनप्रमुख कारकों में: परिभाषा के अनुसार, μ(1) = 1 भी माना जाता है। मोबियस फ़ंक्शन गुणक है: किसी भी अपेक्षाकृत अभाज्य संख्याओं के लिए एऔर बीसमानता μ( एबी) = μ( ए)μ( बी)
. एक पूर्णांक के सभी भाजक पर मोबियस फ़ंक्शन के मानों का योग एन, एक के बराबर नहीं, शून्य के बराबर है शैली = "अधिकतम-चौड़ाई: 98%; ऊंचाई: ऑटो; चौड़ाई: ऑटो;" src="/Pictures/wiki/files/49/1bee8d0f6bd91176912a8cedc63e174b.png" बॉर्डर="0"> इससे, विशेष रूप से, यह इस प्रकार है कि किसी भी गैर-रिक्त परिमित सेट के लिए, विषम संख्या में तत्वों से युक्त विभिन्न उपसमुच्चय की संख्या तत्वों की एक समान संख्या वाले विभिन्न उपसमुच्चय की संख्या के बराबर होती है - एक तथ्य जिसका उपयोग किया जाता है प्रमाण। मोबियस फ़ंक्शन संबंध द्वारा मर्टेंस फ़ंक्शन से संबंधित है मर्टेंस फ़ंक्शन, बदले में, रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन के शून्य की समस्या से निकटता से संबंधित है, मर्टेंस अनुमान लेख देखें। अंकगणितीय कार्यों के लिए एफऔर जी
, अगर और केवल अगर वास्तविक मूल्यवान कार्यों के लिए एफ(एक्स) और जी(एक्स) पर परिभाषित, अगर और केवल अगर यहाँ योग की व्याख्या इस प्रकार की गई है। विकिमीडिया फाउंडेशन। 2010. मोबियस फ़ंक्शन μ(n) एक गुणक अंकगणितीय फ़ंक्शन है जिसका उपयोग संख्या सिद्धांत और कॉम्बिनेटरिक्स में किया जाता है, जिसका नाम जर्मन गणितज्ञ मोबियस के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने पहली बार इसे 1831 में माना था। सामग्री 1 परिभाषा 2 गुण और अनुप्रयोग ... विकिपीडिया मोबियस फ़ंक्शन μ(n) एक गुणक अंकगणितीय फ़ंक्शन है जिसका उपयोग संख्या सिद्धांत और कॉम्बिनेटरिक्स में किया जाता है, जिसका नाम जर्मन गणितज्ञ मोबियस के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने पहली बार इसे 1831 में माना था। सामग्री 1 परिभाषा 2 गुण और अनुप्रयोग ... विकिपीडिया जटिल विमान (ग्रे) और रीमैन क्षेत्र (काला) पर परिवर्तन के प्रकार सामग्री 1 परिभाषा 2 बीजीय गुण ... विकिपीडिया भिन्नात्मक रैखिक फलन जहाँ z = (z1,...,zn) सम्मिश्र या वास्तविक चर हैं, ai,b,ci,d सम्मिश्र या वास्तविक गुणांक हैं। अक्सर "रैखिक भिन्नात्मक फ़ंक्शन" शब्द का प्रयोग इसके परिवर्तन के विशेष मामले के लिए किया जाता है ... ... विकिपीडिया मोबियस श्रृंखला फॉर्म की एक कार्यात्मक श्रृंखला है इस श्रृंखला की जांच मोबियस ने की थी, जिन्होंने इस श्रृंखला के लिए एक उलटा सूत्र पाया: जहां μ (एस) मोबियस फ़ंक्शन है ... विकिपीडिया चिकित्सा अनुसंधान के तरीके- मैं। चिकित्सा अनुसंधान के सामान्य सिद्धांत। हमारे ज्ञान की वृद्धि और गहनता, क्लिनिक के अधिक से अधिक तकनीकी उपकरण, भौतिकी, रसायन विज्ञान और प्रौद्योगिकी में नवीनतम उपलब्धियों के उपयोग के आधार पर, विधियों की संबद्ध जटिलता ... ... बिग मेडिकल इनसाइक्लोपीडिया एक रोग संबंधी स्थिति जो बच्चे के जन्म के दौरान विकसित होती है और बच्चे के ऊतकों और अंगों को नुकसान पहुंचाती है, एक नियम के रूप में, उनके कार्यों में विकार के साथ। तथाकथित आर के विकास की भविष्यवाणी करने वाले कारक गलत हैं ... ... चिकित्सा विश्वकोश मोबियस फ़ंक्शन
(एन), कहाँ पे एनएक प्राकृतिक संख्या है, निम्नलिखित मान लेता है: मोबियस फ़ंक्शन आपको यूलर फ़ंक्शन को योग के रूप में लिखने की अनुमति देता है: योग n के सभी भाजक (और केवल अभाज्य भाजक के ऊपर नहीं) पर जाता है। उदाहरण।गणना करना φ
(100) मोबियस फ़ंक्शन का उपयोग करना। 100 के सभी भाजक हैं (1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100)। (2) \u003d (-1) 1 \u003d -1 (दो में एक साधारण भाजक है - 2) (4) = 0 (4, 2 के वर्ग से विभाज्य है) (5) = (-1) 1 = -1 (5 में एक अभाज्य भाजक है - 5) (10) = (-1) 2 = 1 (10 के दो अभाज्य भाजक हैं - 2 और 5) (20) = 0 (20 दो के वर्ग से विभाज्य है) (25) = 0 (25 पांच के वर्ग से विभाज्य है) (50) = 0 (50 2 2 और 5 5 दोनों से विभाज्य है) (100) = 0 (100 2 2 और 5 5 दोनों से विभाज्य है) इस प्रकार, मोबियस फ़ंक्शन की संपत्ति:. उदाहरण के लिए, एन=100,
{1,
2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100}. 16
के-तत्वों को चुनने के तरीकों की संख्या पर प्रमेय, जिनमें से कोई दो पड़ोसी नहीं हैं, एक पंक्ति में व्यवस्थित n तत्वों से। पुनरावर्ती सूत्र प्राप्त करके सिद्ध कीजिए। संख्या आर- से दोहराव के साथ संयोजन एन-सेट बराबर – पुनरावर्ती सूत्र का उपयोग करके प्रमाण।
विधि एक सूत्र प्राप्त करने पर आधारित है जो आपको ज्ञात प्रारंभिक मूल्यों और पिछले चरणों में गणना किए गए मूल्यों के आधार पर चरण दर चरण आवश्यक मात्रा के मूल्यों की गणना करने की अनुमति देता है। आवर्तक सूत्रआर
-वें क्रम- फॉर्म का फॉर्मूला ए एन =
एफ(एन,
ए एन- 1 ,
ए एन- 2 ,
… , ए एन आर). सूत्र व्यक्त करता है एन>आरअनुक्रम के प्रत्येक सदस्य ( ए मैं) पिछले के माध्यम से आरसदस्य। एक पुनरावर्ती सूत्र के निर्माण में निम्नलिखित चरण होते हैं। 1. प्रारंभिक स्थितियों का विकासकुछ स्पष्ट सहसंबंधों के आधार पर। द्वारा निरूपित करें एफ(एन, आर) जाहिर सी बात है 2. तार्किक तर्क।आइए सेट में कुछ तत्व को ठीक करें एस. फिर किसी के लिए आर- से दोहराव के साथ संयोजन एन-सेट एसयह कहा जा सकता है कि इसमें एक निश्चित तत्व है या नहीं। यदि एक शामिल है, फिर बाकी ( आर-1) आइटम का चयन किया जा सकता है एफ(एन,आर-1) तरीके। यदि एक शामिल नहीं है(नमूने में कोई तत्व नहीं है), तो आर-संयोजन तत्वों से बना है ( एन-1) -सेट (सेट .) एसइस निश्चित तत्व को छोड़कर)। ऐसे संयोजनों की संख्या एफ(एन-1,आर). क्योंकि ये मामले परस्पर अनन्य हैं, तो योग नियम से 3. कुछ मूल्यों पर सूत्र की जाँच करना और एक सामान्य पैटर्न प्राप्त करना. 1) गणना करें एफ
(एन
,0)
. से (2) अनुसरण करता है फिर एफ(एन,0)=एफ(एन,1)-एफ(एन-1.1)। 1 से) एफ(एन,1)=एन, एफ(एन-1,1)=एन-1. इसलिये, एफ(एन,0)=एन-(एन-1)=1=. 2) एफ
(एन
,1)
=एफ(एन,0)+एफ(एन-1,1)
= 1+एन- 1 =एन==. 3) एफ
(एन
,2)
=एफ(एन,1)+एफ(एन-1,2)
=एन+एफ(एन-1,1)+एफ(एन-2,2) =एन+(एन-1)+एफ(एन-2,1)+एफ(एन-3,2) =
… = = एन+(एन-1)+…+2+1 = (अंकगणितीय प्रगति का योग) 4) एफ
(एन
,3)
=एफ(एन,2)+एफ(एन-1,3)
=+एफ(एन-1,2)+एफ(एन-2,3)
=++एफ(एन-2,2)+एफ(एन-3,3)
= … = (ज्यामितीय प्रगति का योग) 5) एफ
(एन
,4)
= विशेष मामलों के आधार पर, यह माना जा सकता है कि जो सहमत है (1) # 19, 20) n शीर्षों वाले बाइनरी ट्री की संख्या C(n) है, जहां C(n) nवीं कैटलन संख्या है। n कोने वाले बाइनरी ट्री की संख्या को कैटलन संख्या कहा जाता है, जिसमें कई दिलचस्प गुण होते हैं। Nth कातालान संख्या की गणना सूत्र (2n) का उपयोग करके की जाती है! / (n+1)!n!, जो तेजी से बढ़ता है। (विकिपीडिया कई प्रमाण प्रस्तुत करता है कि यह कैटलन संख्या का एक रूप है।) किसी दिए गए आकार के बाइनरी पेड़ों की संख्या 0 1 1 1 2 2 4 14 8 1430 12 208012 16 35357670 प्रतिस्थापन पर कूदना: पथ प्रदर्शन,
खोज यह लेख प्रतिस्थापन के बारे में एक वाक्यात्मक ऑपरेशन के रूप में हैशर्तें
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प्रतिस्थापनएक ऑपरेशन है वाक्य-रचना के नियमों के अनुसारकिसी दिए गए के उप-शब्दों का प्रतिस्थापन termÃअन्य शर्तें, कुछ नियमों के अनुसार। आमतौर पर हम के लिए एक शब्द को प्रतिस्थापित करने के बारे में बात कर रहे हैं चर. परिभाषाएँ और संकेतन प्रतिस्थापन के लिए कोई सार्वभौमिक, सुसंगत संकेतन नहीं है, न ही कोई मानक परिभाषा है। प्रतिस्थापन की अवधारणा न केवल अनुभागों के भीतर, बल्कि व्यक्तिगत प्रकाशनों के स्तर पर भी भिन्न होती है। सामान्य तौर पर, कोई भेद कर सकता है संदर्भ प्रतिस्थापनऔर प्रतिस्थापन "के बजाय". पहले मामले में, पद में स्थान जहां प्रतिस्थापन होता है, द्वारा दिया जाता है प्रसंग, जो इस स्थान के "आसपास" शब्द का एक भाग है। विशेष रूप से, प्रतिस्थापन की इस धारणा का प्रयोग किया जाता है पुनर्लेखन. दूसरा विकल्प अधिक सामान्य है। इस मामले में, प्रतिस्थापन आमतौर पर कुछ फ़ंक्शन द्वारा चर के सेट से शर्तों के सेट तक दिया जाता है। तय करने के लिए प्रतिस्थापन क्रियाआमतौर पर उपयोग करें पोस्टफिक्स नोटेशन. उदाहरण के लिए, एक शब्द प्रतिस्थापन क्रिया का परिणाम है। अधिकांश मामलों में, यह आवश्यक है कि प्रतिस्थापन के पास एक सीमित समर्थन हो, यानी सेट प्रतिस्थापन की अंतिम परिभाषा शायद सबसे विशिष्ट और अक्सर उपयोग की जाने वाली परिभाषा है। हालाँकि, इसके लिए आम तौर पर स्वीकृत कोई एकल संकेतन भी नहीं है। अक्सर प्रतिस्थापन को निरूपित करने के लिए प्रयोग किया जाता है एके बजाय एक्समें टीरिकॉर्ड का उपयोग किया जाता है टी[ए/एक्स],
टी[एक्स:=ए] या टी[एक्स←ए]. चर प्रतिस्थापन-कलन
-कैलकुस में, प्रतिस्थापन संरचनात्मक प्रेरण द्वारा निर्धारित किया जाता है। मनमानी वस्तुओं के लिए, और एक मनमाना चर, एक मनमाना मुक्त घटना को बदलने के परिणाम की गणना की जाती है प्रतिस्थापनऔर निर्माण पर प्रेरण द्वारा परिभाषित किया गया है: (i) आधार:: वस्तु चर से मेल खाती है। फिर; (ii) आधार:: वस्तु निरंतर मेल खाती है। फिर मनमाना परमाणु के लिए; (iii) चरण:
(iv) चरण:: वस्तु गैर-परमाणु है और एक अमूर्त है। फिर [; (v) चरण:: वस्तु गैर-परमाणु है और एक अमूर्त है, इसके अलावा। फिर: आईली के लिए; प्रोग्रामिंग में परिवर्तनीय प्रतिस्थापन प्रतिस्थापनचर ( अंग्रेज़ी प्रतिस्थापन) में एप्लिकेशन प्रोग्रामिंगइस प्रकार समझा जाता है। किसी फ़ंक्शन के मान की गणना करने के लिए एफतर्क पर वीरिकॉर्ड लागू च (वी)), कहाँ पे एफडिजाइन द्वारा परिभाषित एफ (एक्स) = ई. रिकॉर्डिंग च (वी)इस मामले में इसका मतलब है कि अभिव्यक्ति में इचल रहा प्रतिस्थापन, या परिवर्तनीय प्रतिस्थापन एक्सपर वी. प्रतिस्थापन के अनुसार किया जाता है कम्प्यूटेशनल शब्दार्थ. प्रतिस्थापनचर ( अंग्रेज़ी सौंपा हुआ काम) में प्रोग्रामिंगजैसा समझा सौंपा हुआ काम. असाइनमेंट ऑपरेटर पारंपरिक प्रोग्रामिंग भाषाओं पर वॉन न्यूमैन टोंटी प्रभाव की अभिव्यक्ति है।
. इससे मुक्त एप्लिकेटिव कंप्यूटिंग सिस्टम. http://math.nsc.ru/LBRT/u3/bard/fails/Brenner_Evans.pdf 21
कार्यों का निर्माण।पुनरावर्तन के बिना संयोजनों के लिए फंक्शन (एन्यूमरेटर) बनाना और एन्यूमरेटिंग जनरेटिंग फंक्शन। जनरेटिंग फंक्शन: 1) जेड-ट्रांसफॉर्म 2) जेनेट्रिक्स 3) जनरेटिंग फंक्शन 4) सीक्वेंस (ए आर) के आधार पर (जी आर) - फंक्शन एफ, जब एक निश्चित आधार के कार्यों के संदर्भ में एक श्रृंखला में विस्तारित किया जाता है ( g r ), गुणांकों का यह क्रम बनता है (a r ) यह रेखा औपचारिक है। औपचारिक नाम का अर्थ है कि हम अपने अनुक्रम के सुविधाजनक प्रतिनिधित्व के रूप में सूत्र *) की व्याख्या करते हैं - इस मामले में, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि यह किस (कार्रवाई और जटिल) मूल्यों को परिवर्तित करता है। t की भूमिका अनुक्रम A0,A1,…Ar… के गुणांकों के बीच अंतर करना है। इसलिए, फ़ंक्शन उत्पन्न करने के सिद्धांत में, इस श्रृंखला के मूल्यों की गणना कभी भी चर t के किसी विशेष मान के लिए नहीं की जाती है। ऐसी श्रृंखला पर केवल कुछ ऑपरेशन किए जाते हैं, और उसके बाद ही ऐसी श्रृंखला पर कुछ संचालन निर्धारित किए जाते हैं, और फिर चर टी की व्यक्तिगत शक्तियों पर गुणांक निर्धारित किए जाते हैं। आमतौर पर के रूप में 22
जनरेटिंग फंक्शन। फ़ंक्शन (एन्यूमरेटर) बनाना और दोहराव के साथ संयोजन के लिए जनरेटिंग फ़ंक्शन की गणना करना। इसके लिए जनरेटिंग फंक्शन: निर्माण नियम 1) यदि प्रकार का एक तत्व संयोजन K 1 या K 2 या ... K i बार में शामिल किया जा सकता है, तो संबंधित गुणक 3) यह गुणांक खोजने के लिए बनी हुई है। पर प्लेसमेंट निर्माण नियम के लिए घातीय जनरेटिंग फ़ंक्शन 25) संयुक्त संख्याओं में भी शामिल हैं स्टर्लिंग नंबरपहली और दूसरी तरह। इन संख्याओं को समानता में गुणांक के रूप में परिभाषित किया गया है और इसका एक सरल संयोजनीय अर्थ है - क्रमपरिवर्तन समूह के तत्वों की संख्या के बराबर जो बिल्कुल . के उत्पाद हैं कगैर-प्रतिच्छेदन चक्र, साथ ही साथ विभाजनों की संख्या एन-तत्व सेट कगैर-खाली उपसमुच्चय। जाहिर है कि। दूसरी तरह की स्टर्लिंग संख्याओं के समान योग को कहा जाता है एन-थ घंटी संख्या और सभी विभाजनों की संख्या के बराबर है एन-तत्व सेट। बेल नंबरों के लिए, पुनरावर्ती सूत्र मान्य है। संयोजक समस्याओं को हल करते समय, यह अक्सर उपयोगी साबित होता है समावेश-बहिष्करण सूत्र सेट के मिलन की कार्डिनैलिटी को खोजने की अनुमति देता है यदि उनके चौराहों की कार्डिनैलिटी ज्ञात हो। हम दूसरी तरह की स्टर्लिंग संख्याओं के लिए एक स्पष्ट सूत्र प्राप्त करने के लिए समावेश-बहिष्करण सूत्र का उपयोग करते हैं। पहली तरह की स्टर्लिंग संख्या विकिपीडिया, निःशुल्क विश्वकोष से पर कूदना: पथ प्रदर्शन,
खोज पहली तरह की स्टर्लिंग संख्या(अहस्ताक्षरित) - मात्रा क्रमपरिवर्तनगण एनसाथ क
साइकिल. परिभाषा पहली तरह की स्टर्लिंग संख्या(हस्ताक्षरित) एस (एन, के)गुणांक कहलाते हैं बहुपद: कहाँ पे ( एक्स) एन
- पोचहैमर प्रतीक
(घटते भाज्य): जैसा कि आप परिभाषा से देख सकते हैं, संख्याओं का एक वैकल्पिक चिह्न होता है। उनके निरपेक्ष मान संख्या को परिभाषित करते हैं क्रमपरिवर्तनसे मिलकर बना सेट एनतत्वों के साथ क
साइकिल. आवर्तक संबंध पहली तरह के स्टर्लिंग नंबर दिए गए हैं आवर्तकअनुपात: एस(एन,एन) = 1, n 0 के लिए, एस(एन,0) = 0, n > 0 के लिए, 0 . के लिए< क
< एन. प्रमाण। के लिए एन=1 यह समानता सीधे सत्यापित होती है। चलो क्रमपरिवर्तन ( एन-1)-वें क्रम में विभाजित होता है कचक्र। संख्या एनसंबंधित लूप में किसी भी संख्या के बाद जोड़ा जा सकता है। सभी परिणामी क्रमपरिवर्तन भिन्न होते हैं और इनमें k चक्र होते हैं, उनकी संख्या ( एन-एक)· एस(एन-1,
क) किसी भी क्रमपरिवर्तन से ( एन-1)-वें क्रम युक्त क-1 चक्र, एक क्रमपरिवर्तन बनाया जा सकता है एनआदेश युक्त कएक संख्या से बने चक्र को जोड़कर चक्र एन. जाहिर है, यह निर्माण सभी क्रमपरिवर्तन का वर्णन करता है एनवें क्रम युक्त कचक्र। इस प्रकार समानता सिद्ध होती है। उदाहरण पहली पंक्तियाँ: पर साहचर्य
दूसरी तरह की स्टर्लिंग संख्यासे एनपर क, द्वारा दर्शाया गया है या, अनियंत्रित की संख्या है विभाजन
एन- तात्विक सेटपर कगैर-खाली उपसमुच्चय। आवर्तक सूत्र दूसरी तरह के स्टर्लिंग नंबर संतुष्ट करते हैं आवर्तकअनुपात: एन 0 के लिए, एन> 0 के लिए, स्पष्ट सूत्र उदाहरण दूसरी तरह की स्टर्लिंग संख्याओं के प्रारंभिक मान तालिका में दिए गए हैं: गुण द्विभाजितमैपिंग एक मैपिंग है जिसमें इंजेक्शन और प्रक्षेप्यता दोनों विशेषताएं होती हैं। लेम्मा। प्रमाण.
बयान के लिए स्पष्ट है। आज्ञा देना और संख्या का विहित अपघटन होना। फिर, यह देखते हुए कि भाजक का रूप है , कहाँ , ,…, ; , हम पाते हैं जहां तक कि प्रमेय। (योजक मोबियस उलटा सूत्र।) प्राकृतिक तर्क के कार्य करने दें और बनें। तो अगर प्रमाण.
हमारे पास है रहने दो । फिर निश्चित संख्या के भाजक के सभी मानों के माध्यम से चलता है। इसका मतलब यह है कि अंतिम दोहरे योग में योग चिह्नों को उलटा किया जा सकता है, अर्थात। अब, दिया कि हम पाते हैं सिद्ध प्रमेय का एक और रूप है: प्रमेय.
(गुणक मोबियस उलटा सूत्र।) रहने दो जहां प्रतीक संख्या के सभी भाजक के लिए विस्तारित उत्पाद को दर्शाता है। प्रमाण: मोबियस उलटा सूत्र का उपयोग करने के उदाहरण: रिंग सीक्वेंस की संख्या की समस्या। देखें: हॉल एम। कॉम्बिनेटरिक्स। एम.: मीर,, . तत्वों के एक परिमित क्षेत्र में दी गई डिग्री के अघुलनशील बहुपदों की संख्या। देखें: बर्लेकैंप ई. बीजगणितीय कोडिंग सिद्धांत। - एम.: मीर, 1970, चौ. 3. ग्लूखोव एम.एम., एलिज़ारोव वी.पी., नेचैव ए.ए. बीजगणित। टी में एम।: हेलिओस,। टी। , § । स्वाध्याय के लिए: आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेटों पर मोबियस उलटा। मोबियस व्युत्क्रम सूत्र के एक विशेष मामले के रूप में समावेश-बहिष्करण सिद्धांत। देखें: हॉल एम। कॉम्बिनेटरिक्स। मॉस्को: मीर, ; बेंडर ई।, गोल्डमैन जे। कॉम्बिनेटरियल एनालिसिस में मोबियस इनवर्जन के अनुप्रयोगों पर। इन: कॉम्बीनेटरियल एनालिसिस की एन्यूमरेटिव प्रॉब्लम्स। एम।: मीर, 1971। एस। -। संयोजन संख्याओं की तुलना आज्ञा देना एक अभाज्य संख्या हो। लेम्मा। प्रमाण. जब सूत्र में अंश परिणाम। प्रमाण. लेम्मा।चलो , , , गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हो, और , । फिर प्रमाण. हमारे पास है दूसरी ओर, समान घातों पर गुणांकों की तुलना करने पर हमें वांछित परिणाम प्राप्त होता है। मैं - गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों का निरूपण और आधार द्वारा। (यहाँ, कोई भी पूर्णांक जिसके लिए , )। गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों के समुच्चय पर, हम एक आंशिक क्रम संबंध (संबंध) को परिभाषित करते हैं प्रधानता) , मानते हुए , अगर और केवल अगर लुकास प्रमेय ( ).
प्रमाण. पिछले लेम्मा के अनुसार, कहाँ पे , । लेम्मा को बार-बार उचित संख्या में k लगाने पर हमें अपेक्षित परिणाम प्राप्त होता है। मैं टिप्पणी।प्रमेय nonsimple के लिए सही नहीं है। उदाहरण के लिए (देखें बर्लेकैंप, पृ.), परिणाम. द्वितीय . बीजीय संरचनाएं
द्वितीय. एक। बाइनरी ऑपरेशंस के साथ सेट करता है। ग्रुपोइड्स, सेमीग्रुप्स, मोनॉयड्स
बाइनरी बीजीय ऑपरेशन(या रचना का नियम) एक गैर-रिक्त सेट पर एसमैपिंग कहा जाता है :
, तत्वों की एक जोड़ी से मेल खाते हुए , एक विशिष्ट रूप से परिभाषित तत्व , . कई कार्यों को एक सेट पर परिभाषित किया जा सकता है। (यदि, उदाहरण के लिए, निश्चित रूप से, तो तरीकों की संख्या है, जहां तत्वों की संख्या है।) उनमें से एक का चयन करना चाहते हैं, उदाहरण के लिए, हम लिखते हैं। ऐसी वस्तु कहलाती है द्विआधारी बीजगणित, या ग्रुपॉयड. के बजाय, वे अक्सर लिखते हैं, और ऑपरेशन स्वयं कुछ प्रतीक (,,, आदि) द्वारा दर्शाया जाता है। टिप्पणी।बाइनरी ऑपरेशंस के साथ, अधिक सामान्य-एरी ऑपरेशंस (यूनरी फॉर , टर्नरी फॉर , आदि) पर विचार किया जाता है। उनसे जुड़ी बीजगणितीय संरचनाएं (सिस्टम) तथाकथित के अध्ययन का विषय हैं। सार्वभौमिक बीजगणित। एक सेट पर एक बाइनरी ऑपरेशन को कहा जाता है जोड़नेवाला, अगर एक साहचर्य संक्रिया वाले समूह को कहा जाता है अर्धसमूह. एक गैर-सहयोगी समूह का एक उदाहरण।सेट पर, हम ऑपरेशन को इस प्रकार परिभाषित करते हैं प्रमेय।यदि किसी समुच्चय पर द्विआधारी संक्रिया साहचर्य है, तो व्यंजक का मान उसमें कोष्ठकों की व्यवस्था पर निर्भर नहीं करता है। प्रमाण।के लिए, या दावा स्पष्ट है। के लिए, प्रेरण द्वारा यह दिखाना पर्याप्त है कि किसी के लिए , । प्रेरण परिकल्पना द्वारा, कोष्ठकों की व्यवस्था में महत्वपूर्ण नहीं है; विशेष रूप से, । तो अगर । तो अगर दायीं ओर की समता (1) सिद्ध होने पर उसी रूप में सिमट कर रह जाती है। मैं तत्व कहा जाता है तटस्थऑपरेशन के संबंध में, यदि एक तत्व के साथ एक अर्धसमूह को कहा जाता है मोनोइड(या पहचान के साथ अर्धसमूह) और निरूपित करें , , । एक अर्धसमूह (ग्रुपॉइड) में अधिकतम एक तटस्थ तत्व हो सकता है: if , तटस्थ तत्व हैं, तो एक ग्रुपॉयड (सेमीग्रुप) कहलाता है उपसमूह (उपार्ध समूह) एक ग्रुपॉइड (सेमीग्रुप) , , if . का और किसी के लिए, . इस मामले में, सबसेट को कहा जाता है संचालन के तहत बंद. मोनोइड, , कहा जाता है सबमोनॉयडमोनोइड , , , , अगर और . मोनोइड के तत्व को कहा जाता है प्रतिवर्तीयदि कोई तत्व ऐसा है कि यदि, मोनोइड के व्युत्क्रमणीय तत्व हैं, तो उनका उत्पाद भी एक व्युत्क्रमणीय तत्व है, क्योंकि प्रमेय।मोनॉइड के सभी उल्टे तत्वों का सेट ऑपरेशन ∗ के तहत बंद होता है और , , में एक सबमोनॉयड बनाता है। समूहों समूह परिभाषा।एक monoid , , , जिसके सभी तत्व व्युत्क्रमणीय हैं, कहलाते हैं समूह। दूसरे शब्दों में, एक समूह एक बाइनरी ऑपरेशन वाला एक सेट है जिसके लिए निम्नलिखित स्वयंसिद्ध हैं: . (ऑपरेशन का समापन.) , . . (ऑपरेशन सहयोगीता.) ,
. (एक तटस्थ तत्व का अस्तित्व.) ∃ . (प्रतिलोम तत्व का अस्तित्व.) .
टिप्पणी।ऊपर प्रस्तुत बीजीय संरचनाओं पर लौटते हुए, हम उनमें से निम्नलिखित पदानुक्रम का निरीक्षण करते हैं: युग्म , is ग्रुपॉयड, यदि स्वयंसिद्ध ; अर्धसमूह, यदि स्वयंसिद्ध और संतुष्ट हैं; मोनोइड, यदि स्वयंसिद्ध , तथा ; समूह, यदि अभिगृहीत , , और . स्पष्ट गुणों वाले तत्वों की डिग्री स्वाभाविक रूप से परिभाषित हैं: ; सामान्यतया, किसी व्यंजक में तत्वों को पुनर्व्यवस्थित करना असंभव है (अर्थात। एक समूह में एक ऑपरेशन को अक्सर प्रतीक (जोड़) या प्रतीक (गुणा) द्वारा दर्शाया जाता है। समूह का नाम तदनुसार रखा गया है additiveया गुणक, इसका तटस्थ तत्व - क्रमशः शून्य() या इकाई()। योगात्मक समूह में, तत्व, तत्व का प्रतिलोम तत्व कहलाता है विलोमऔर द्वारा निरूपित किया जाता है, और इसके बजाय वे लिखते हैं। एक गुणक समूह में, आमतौर पर ऑपरेशन प्रतीक को छोड़ने के बजाय लिखता है। योगात्मक समूहों के उदाहरण। 1) , , , , , , , वलय और क्षेत्रों के योगात्मक समूह हैं , , । बस लिखें , , , । 2) कोई भी जोड़ वलय एक एबेलियन समूह है। विशेष रूप से, बहुपद वलय ,…, ] और आव्यूह वलय, एक क्षेत्र पर क्रम के, एबेलियन समूह हैं। 3) जोड़ के संबंध में किसी क्षेत्र पर कोई सदिश समष्टि एक आबेलियन समूह है। 4), 1,…, अतिरिक्त मॉड्यूलो के संचालन के साथ कम से कम गैर-नकारात्मक अवशेष मॉड्यूलो की पूरी प्रणाली है। गुणक समूहों के उदाहरण। 1) , , - क्षेत्रों के गुणक समूह , , . 2) गुणन के तहत एकता के साथ किसी भी वलय के उल्टे तत्वों का समूह है। विशेष रूप से = ; , से व्युत्क्रमणीय आव्यूह का समुच्चय है। 3) - सभी (वास्तविक और जटिल) मूल समीकरण एक गुणक आबेलियन समूह हैं। 4) - विमान और अंतरिक्ष में एक नियमित -गॉन के घूर्णन का सेट - गैर-कम्यूटेटिव समूह (के लिए)। इसके अलावा, ऑपरेशन को रिकॉर्ड करने के गुणक रूप का अधिक बार उपयोग किया जाता है। समूह को आमतौर पर एक ऑपरेशन निर्दिष्ट किए बिना एक अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है। किसी समूह के सभी तत्वों के समुच्चय को कहते हैं समूह का मुख्य समूहऔर उसी अक्षर से निरूपित किया जाता है। यदि अंतर्निहित समुच्चय परिमित है, तो समूह कहलाता है अंतिम; अन्यथा इसे कहा जाता है अनंत. एक परिमित समूह का संख्या तत्व कहलाता है क्रम में. क्रम 1 के समूह को कहा जाता है एक, या टी तुच्छ. अनंत समूह कहा जाता है अनंत क्रम. समान चिह्न कार्ड (कार्डिनल नंबर), और () का उपयोग समूह के क्रम (मुख्य सेट की कार्डिनैलिटी) को दर्शाने के लिए किया जाता है। यदि , समूह के उपसमुच्चय (मुख्य समुच्चय के) हैं, तो हम सेट करते हैं उपसमूहएक समूह B का एक उपसमुच्चय है जो स्वयं उसी संक्रिया के संबंध में एक समूह है जिसमें . दूसरे शब्दों में, एक उपसमूह एक उपसमूह है यदि और केवल यदि (एक में) और गुणन और पारस्परिक के तहत बंद है, अर्थात। , (वास्तव में, यहाँ समानताएँ भी हैं)। यदि − में एक उपसमूह है, तो लिखिए; अगर एक ही समय में, तो कहा जाता है अपनाउपसमूह और इसे के रूप में दर्शाया गया है। लगभग हर कोई जानता है कि अनंत प्रतीक कैसा दिखता है, एक उल्टे आकृति आठ जैसा दिखता है। इस चिन्ह को "लेम्निस्केट" भी कहा जाता है, जिसका अर्थ प्राचीन ग्रीक में रिबन होता है। कल्पना कीजिए कि अनंत का प्रतीक वास्तविक जीवन के गणितीय आंकड़े के समान है। मोएबियस स्ट्रिप से मिलें! मोबियस स्ट्रिप(या इसे मोबियस लूप, मोबियस स्ट्रिप और यहां तक कि मोबियस रिंग भी कहा जाता है) गणित में सबसे प्रसिद्ध सतहों में से एक है। मोबियस लूप एक सतह और एक किनारे वाला लूप है। यह समझने के लिए कि दांव पर क्या है और यह कैसे हो सकता है, कागज की एक शीट ले लो, एक आयताकार पट्टी काट लें और उसके सिरों को जोड़ने के क्षण में, उनमें से एक को 180 डिग्री मोड़ें, फिर इसे कनेक्ट करें। नीचे दी गई तस्वीर आपको यह पता लगाने में मदद करेगी कि मोबियस स्ट्रिप कैसे बनाई जाती है। मोबियस स्ट्रिप- सामान्य त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एक किनारे के साथ एक गैर-उन्मुख एक तरफा सतह का एक उदाहरण। अधिकांश वस्तुएं उन्मुख होती हैं, जिनमें दो पक्ष होते हैं, जैसे कागज की एक शीट। फिर एक मोबियस पट्टी एक गैर-उन्मुख, एकतरफा सतह कैसे हो सकती है - आप कहेंगे, क्योंकि जिस कागज से इसे बनाया गया है उसके दो पहलू हैं। और आप एक मार्कर लेने की कोशिश करते हैं और टेप के किनारों में से एक को रंग से भरते हैं, अंत में आप प्रारंभिक स्थिति से टकराएंगे, और पूरे टेप को पूरी तरह से चित्रित किया जाएगा, जो पुष्टि करता है कि इसका केवल एक पक्ष है। यह विश्वास करने के लिए कि मोबियस लूप में केवल एक किनारा है - अपनी उंगली को टेप के किनारों में से एक के साथ बिना किसी रुकावट के स्लाइड करें, और आप, जैसे रंग के मामले में, उस बिंदु से टकराएंगे जहां से आपने चलना शुरू किया था। अद्भुत, है ना? मोबियस पट्टी और कई अन्य रोचक वस्तुओं का अध्ययन इसमें लगा हुआ है - टोपोलॉजी, गणित की एक शाखा जो किसी वस्तु के निरंतर विरूपण के दौरान उसके अपरिवर्तनीय गुणों की खोज करती है - अखंडता का उल्लंघन किए बिना, खिंचाव, संपीड़न, झुकना। एक जर्मन गणितज्ञ को इस असामान्य टेप के "पिता" के रूप में पहचाना जाता है अगस्त फर्डिनेंड मोबियसगॉस के एक छात्र, जिन्होंने ज्यामिति पर एक से अधिक काम लिखे, लेकिन मुख्य रूप से 1858 में एकतरफा सतह की खोज के लिए प्रसिद्ध हुए। आश्चर्यजनक तथ्य यह है कि उसी 1858 में एक सतह के साथ एक टेप की खोज गॉस के एक अन्य छात्र - एक प्रतिभाशाली गणितज्ञ ने की थी जोहान लिस्टिंग, जिन्होंने "टोपोलॉजी" शब्द गढ़ा और गणित की इस शाखा पर मौलिक कार्यों की एक श्रृंखला लिखी। हालाँकि, असामान्य टेप को अभी भी इसका नाम मोबियस के नाम से मिला है। एक लोकप्रिय धारणा है कि "अनंत लूप" मॉडल का प्रोटोटाइप प्रोफेसर ऑगस्ट मोबियस की नौकरानी द्वारा गलत तरीके से सिलवाया गया टेप था। वास्तव में, प्राचीन दुनिया में टेप की खोज बहुत समय पहले की गई थी। पुष्टिकरणों में से एक फ्रांस में स्थित एक प्राचीन रोमन मोज़ेक है, जो एक ही मुड़ रिबन के साथ, आर्ल्स शहर के संग्रहालय में है। इसमें वीणा की आवाज़ के साथ ऑर्फ़ियस को मंत्रमुग्ध करने वाले जानवरों को दर्शाया गया है। पृष्ठभूमि के खिलाफ, एक मुड़ रिबन के साथ एक आभूषण को बार-बार चित्रित किया जाता है। आप परिणाम से काफी आश्चर्यचकित होंगे, क्योंकि उम्मीदों के विपरीत, टेप के दो टुकड़े नहीं, और दो अलग-अलग सर्कल भी आपके हाथों में नहीं रहेंगे, लेकिन दूसरा, इससे भी लंबा टेप। यह अब 180 डिग्री से मुड़ी हुई मोबियस स्ट्रिप नहीं होगी, बल्कि 360 डिग्री रोटेशन वाली स्ट्रिप होगी। छोटी मोबियस पट्टी में मूल पट्टी की चौड़ाई का 1/3, लंबाई L और घुमाया हुआ 180 डिग्री होगा। दूसरा लंबा रिबन भी मूल के रूप में 1/3 चौड़ा होगा, लेकिन 2L लंबा और 360 डिग्री घुमाया जाएगा। मोबियस पट्टी एक अमूर्त आकृति नहीं है, केवल गणित के उद्देश्यों के लिए आवश्यक है, इसे वास्तविक रोजमर्रा की जिंदगी में भी आवेदन मिला है। इस बेल्ट के सिद्धांत के अनुसार, हवाई अड्डे पर एक बेल्ट काम करती है, सामान के डिब्बे से सूटकेस ले जाती है। यह डिज़ाइन एक समान पहनने के कारण इसे अधिक समय तक चलने देता है। अगस्त मोबियस की खोज मशीन उपकरण उद्योग में व्यापक रूप से उपयोग की जाती है। डिज़ाइन का उपयोग फिल्म पर लंबे समय तक रिकॉर्डिंग के लिए किया जाता है, साथ ही प्रिंटर में जो छपाई करते समय टेप का उपयोग करते हैं। इसकी दृश्यता के कारण, मोबियस लूप आधुनिक वैज्ञानिकों के लिए अधिक से अधिक नई खोज करना संभव बनाता है। लूप के अद्भुत गुणों की खोज के बाद से, नए पेटेंट आविष्कारों की एक लहर दुनिया भर में फैल गई है। उदाहरण के लिए, मोबियस विधि द्वारा फेरोमैग्नेटिक टेप घाव से बने चुंबकीय कोर के गुणों में एक महत्वपूर्ण सुधार। एन. टेस्ला को मोबियस लूप जैसे जेनरेटर कॉइल की वाइंडिंग का उपयोग करते हुए एक बहु-चरण प्रत्यावर्ती धारा प्रणाली के लिए एक पेटेंट प्राप्त हुआ। अमेरिकी वैज्ञानिक रिचर्ड डेविस ने एक गैर-प्रतिक्रियाशील मोएबियस रोकनेवाला तैयार किया - जो विद्युत चुम्बकीय हस्तक्षेप के बिना प्रतिक्रियाशील (कैपेसिटिव और इंडक्टिव) प्रतिरोध को भिगोने में सक्षम है। मोबियस लूप की खोज के महत्व की सराहना करना मुश्किल है, जिसने न केवल बड़ी संख्या में वैज्ञानिकों को बल्कि लेखकों और कलाकारों को भी प्रेरित किया। मोबियस स्ट्रिप को समर्पित सबसे प्रसिद्ध काम डच ग्राफिक कलाकार मौरिट्स एस्चर द्वारा पेंटिंग मोएबियस स्ट्रिप II, रेड एंट्स या रेड एंट्स है। तस्वीर में दोनों तरफ चींटियां मोएबियस लूप पर चढ़ती दिख रही हैं, असल में एक ही तरफ है। चींटियाँ एक ही सतह पर एक के बाद एक अंतहीन लूप में रेंगती हैं। कलाकार ने अपने विचारों को लेखों और गणित पर कार्यों से आकर्षित किया, वह ज्यामिति से गहरा मोहित था। इस संबंध में, उनके लिथोग्राफ और उत्कीर्णन में अक्सर विभिन्न ज्यामितीय आकार, भग्न, आश्चर्यजनक ऑप्टिकल भ्रम होते हैं। अब तक, मोबियस लूप में रुचि बहुत उच्च स्तर पर है, यहां तक कि एथलीटों ने भी इसी नाम के एरोबेटिक्स फिगर को पेश किया है। विज्ञान कथा लेखक अर्मिन ड्यूश द्वारा मोबियस स्ट्रिप के काम पर आधारित एक से अधिक फिल्में बनाई गई हैं। मोबियस लूप के रूप में, गहने, जूते, मूर्तियां और कई अन्य वस्तुओं और रूपों की एक विशाल विविधता बनाई जाती है। मोबियस पट्टी ने उत्पादन, डिजाइन, कला, विज्ञान, साहित्य और वास्तुकला पर अपनी छाप छोड़ी। डीएनए अणु और मोबियस लूप के आकार की समानता के बारे में बहुत से लोगों के मन चिंतित थे। सोवियत साइटोलॉजिस्ट नवाशिन द्वारा एक परिकल्पना प्रस्तुत की गई थी कि फॉर्म वलय गुणसूत्रसंरचना में मोबियस पट्टी के समान। वैज्ञानिक के इस विचार को इस तथ्य से प्रेरित किया गया था कि वलय गुणसूत्र, गुणा, शुरुआत की तुलना में एक लंबी रिंग में बदल जाता है, या दो छोटे रिंगों में बदल जाता है, लेकिन जैसे कि एक श्रृंखला में एक को दूसरे में पिरोया जाता है, जो मोबियस स्ट्रिप के साथ ऊपर वर्णित प्रयोगों की बहुत याद दिलाता है। 2015 में, यूरोप और संयुक्त राज्य अमेरिका के वैज्ञानिकों का एक समूह स्पिन करने में सक्षम था मोबियस रिंग में प्रकाश. वैज्ञानिक प्रयोग में, वैज्ञानिकों ने ऑप्टिकल लेंस और संरचित प्रकाश का उपयोग किया - एक केंद्रित लेजर बीम जिसमें इसकी गति के प्रत्येक बिंदु पर एक पूर्व निर्धारित तीव्रता और ध्रुवीकरण होता है। नतीजतन, प्रकाश मोबियस स्ट्रिप्स प्राप्त किए गए थे। एक और बड़ा सिद्धांत है। ब्रह्मांड एक विशाल मोबियस लूप है. आइंस्टीन ने इस विचार का पालन किया। उन्होंने सुझाव दिया कि ब्रह्मांड बंद है, और एक अंतरिक्ष यान, इसमें एक निश्चित बिंदु से शुरू होता है और हर समय सीधे उड़ान भरता है, अंतरिक्ष और समय में उसी बिंदु पर वापस आ जाएगा जहां से इसकी गति शुरू हुई थी। अभी तक, ये केवल परिकल्पनाएँ हैं जिनके समर्थक और विरोधी दोनों हैं। कौन जानता है कि कौन सी खोज वैज्ञानिकों का नेतृत्व करेगी, ऐसा प्रतीत होता है, मोबियस स्ट्रिप जैसी सरल वस्तु।
गुण और अनुप्रयोग
मोबियस उलटा
पहला मोबियस उलटा सूत्र
जी(एन) =
∑
एफ(डी)
डी | एन
.
दूसरा मोबियस उलटा सूत्र
.
देखें कि "मोबियस फ़ंक्शन" अन्य शब्दकोशों में क्या है:
17 दोहराव के साथ संयोजनों की संख्या
.
.4. परिणामी सूत्र का उपयोग करके प्रारंभिक स्थितियों की जाँच करना।
,
अंतिम था। इस मामले में, इसे केवल जोड़े की गणना करके निर्दिष्ट किया जा सकता है "परिवर्तनीय-मूल्य". चूंकि इस तरह के प्रत्येक प्रतिस्थापन को केवल एक चर को प्रतिस्थापित करने वाले प्रतिस्थापन के अनुक्रम में घटाया जा सकता है, व्यापकता के नुकसान के बिना हम मान सकते हैं कि प्रतिस्थापन एक जोड़ी द्वारा दिया गया है "परिवर्तनीय-मूल्य"जो आमतौर पर किया जाता है।
: गैर-परमाणु वस्तु और एक आवेदन का रूप है। फिर;
…………*)
, किसी के लिए , , ।
. ऑपरेशन गैर-सहयोगी है: , लेकिन ।
किसी के लिए भी ।
(जाहिर है, तब हम पलटेंगे)। यदि तत्व में समान गुण हैं, अर्थात। 
, तो यह समानता से इस प्रकार है कि तत्व वास्तव में केवल एक ही है (के संबंध में)। यह आपको के बारे में बात करने की अनुमति देता है उल्टातत्व, से (उलटा) तत्व, गुणों के साथ: , .
, 
. जाहिर है, एक उलटा तत्व है। इसलिए, वहाँ है
.
( एक बार),
, (
, , .
) यदि एक 
, तो तत्वों को कहा जाता है क्रमपरिवर्तनीय, या आने. यदि किसी समूह के कोई दो तत्व आवागमन करते हैं, तो समूह कहलाता है विनिमेय, या अबेलियन(नार्वे के गणितज्ञ रील हेनरिक एबेल (-) के सम्मान में)।
, , 1,…, , - काल्पनिक इकाई,
, 
, .मोबियस स्ट्रिप क्या है?
मोबियस पट्टी के बारे में इतना उल्लेखनीय क्या है?
अगस्त मोबियस की खोज
मोबियस पट्टी का "जादू"
हमें मोबियस लूप की आवश्यकता क्यों है? आवेदन पत्र
मोबियस स्ट्रिप - प्रेरणा के लिए एक विस्तृत क्षेत्र
