प्रपत्र का कार्य, जहां कहा जाता है द्विघात फंक्शन.
द्विघात फलन का ग्राफ − परवलय.
मामलों पर विचार करें:
केस I, शास्त्रीय परवलय
अर्थात , ,
बनाने के लिए, सूत्र में x मानों को प्रतिस्थापित करके तालिका भरें:
अंक अंक (0;0); (1;1); (-1;1) आदि। समन्वय तल पर (हम जितना छोटा कदम x मान लेते हैं (इस मामले में, चरण 1), और जितना अधिक x मान हम लेते हैं, वक्र उतना ही चिकना होता है), हमें एक परवलय मिलता है:
यह देखना आसान है कि यदि हम मामले को लेते हैं, अर्थात, तो हमें अक्ष (बैल) के बारे में एक परवलय सममित मिलता है। एक समान तालिका भरकर इसे सत्यापित करना आसान है:
II केस, "ए" एक से अलग
क्या होगा अगर हम ले , , ? परवलय का व्यवहार कैसे बदलेगा? शीर्षक के साथ = "(!LANG: QuickLaTeX.com द्वारा प्रस्तुत)" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}
पहली तस्वीर (ऊपर देखें) स्पष्ट रूप से दिखाती है कि परवलय (1;1), (-1;1) के लिए तालिका के बिंदु बिंदुओं (1;4), (1;-4) में बदल गए थे, अर्थात, समान मानों के साथ, प्रत्येक बिंदु की कोटि को 4 से गुणा किया जाता है। यह मूल तालिका के सभी प्रमुख बिंदुओं के साथ होगा। हम चित्र 2 और 3 के मामलों में भी इसी तरह तर्क देते हैं।
और जब परवलय "व्यापक हो जाता है" परवलय:
आओ पूर्वावलोकन कर लें:
1)गुणांक का चिन्ह शाखाओं की दिशा के लिए जिम्मेदार होता है। शीर्षक के साथ = "(!LANG: QuickLaTeX.com द्वारा प्रस्तुत)" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}
2) निरपेक्ष मूल्यगुणांक (मापांक) परवलय के "विस्तार", "संपीड़न" के लिए जिम्मेदार है। परवलय जितना बड़ा होगा, परवलय उतना ही छोटा होगा |a|, परवलय उतना ही चौड़ा होगा।
केस III, "सी" प्रकट होता है
अब चलो खेलते हैं (अर्थात, हम मामले पर विचार करते हैं जब), हम रूप के परवलय पर विचार करेंगे। यह अनुमान लगाना आसान है (आप हमेशा तालिका का उल्लेख कर सकते हैं) कि परवलय अक्ष के साथ ऊपर या नीचे जाएगा, यह संकेत पर निर्भर करता है:
चतुर्थ मामला, "बी" प्रकट होता है
परवलय कब अक्ष से "फट जाएगा" और अंत में पूरे समन्वय विमान के साथ "चलेगा"? जब यह बराबर होना बंद हो जाता है।
यहाँ, एक परवलय बनाने के लिए, हमें चाहिए शीर्ष की गणना के लिए सूत्र: , .
तो इस बिंदु पर (जैसा कि नई समन्वय प्रणाली के बिंदु (0; 0) पर) हम एक परवलय का निर्माण करेंगे, जो पहले से ही हमारी शक्ति के भीतर है। यदि हम मामले से निपट रहे हैं, तो ऊपर से हम एक इकाई खंड को दाईं ओर, एक ऊपर सेट करते हैं, - परिणामी बिंदु हमारा है (इसी तरह, बाईं ओर एक कदम, एक कदम ऊपर हमारा बिंदु है); उदाहरण के लिए, यदि हम काम कर रहे हैं, तो ऊपर से हम एक एकल खंड को दाईं ओर, दो - ऊपर, आदि में सेट करते हैं।
उदाहरण के लिए, एक परवलय का शीर्ष:
अब समझने वाली मुख्य बात यह है कि इस शीर्ष पर हम परवलय टेम्पलेट के अनुसार परवलय का निर्माण करेंगे, क्योंकि हमारे मामले में।
एक परवलय का निर्माण करते समय शीर्ष के निर्देशांक खोजने के बाद बहुत हैनिम्नलिखित बिंदुओं पर विचार करना सुविधाजनक है:
1) परवलय बिंदु से गुजरना होगा . वास्तव में, x=0 को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें वह प्राप्त होता है। अर्थात्, अक्ष (ओए) के साथ परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदु की कोटि, यह है। हमारे उदाहरण (ऊपर) में, परवलय y-अक्ष को , क्योंकि , पर प्रतिच्छेद करता है।
2) समरूपता की धुरी परवलय एक सीधी रेखा है, इसलिए परवलय के सभी बिंदु इसके बारे में सममित होंगे। हमारे उदाहरण में, हम तुरंत बिंदु (0; -2) लेते हैं और समरूपता की धुरी के बारे में एक परवलय सममित बनाते हैं, हमें बिंदु (4; -2) मिलता है, जिसके माध्यम से परवलय गुजरेगा।
3) के बराबर, हम अक्ष (बैल) के साथ परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदुओं का पता लगाते हैं। ऐसा करने के लिए, हम समीकरण को हल करते हैं। विभेदक के आधार पर, हमें एक (,), दो (शीर्षक = "(!LANG: QuickLaTeX.com द्वारा प्रदान किया गया) मिलेगा।" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . पिछले उदाहरण में, हमारे पास विवेचक से एक जड़ है - पूर्णांक नहीं, इसे बनाते समय, हमारे लिए जड़ों को खोजने का कोई मतलब नहीं है, लेकिन हम स्पष्ट रूप से देख सकते हैं कि हमारे पास (ओह) के साथ प्रतिच्छेदन के दो बिंदु होंगे। अक्ष (चूंकि शीर्षक = "(!LANG: QuickLaTeX.com द्वारा प्रदान किया गया)" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}
तो चलिए वर्कआउट करते हैं
एक परवलय के निर्माण के लिए एल्गोरिथम यदि इसे फॉर्म में दिया गया है
1) शाखाओं की दिशा निर्धारित करें (a>0 - up, a<0 – вниз)
2) सूत्र द्वारा परवलय के शीर्ष के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
3) हम मुक्त पद से परवलय के अक्ष (ओए) के साथ परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदु का पता लगाते हैं, हम परवलय की समरूपता के अक्ष के संबंध में दिए गए बिंदु के सममित बिंदु का निर्माण करते हैं (यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि ऐसा होता है कि यह है इस बिंदु को चिह्नित करने के लिए लाभहीन, उदाहरण के लिए, क्योंकि मान बड़ा है ... हम इस बिंदु को छोड़ देते हैं ...)
4) पाए गए बिंदु पर - परवलय के शीर्ष पर (जैसा कि नई समन्वय प्रणाली के बिंदु (0; 0) पर), हम एक परवलय का निर्माण करते हैं। यदि शीर्षक = "(!LANG: QuickLaTeX.com द्वारा प्रदान किया गया)" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}
5) हम अक्ष (ओए) के साथ परवलय के चौराहे के बिंदु पाते हैं (यदि वे स्वयं अभी तक "सामने" नहीं आए हैं), समीकरण को हल करते हुए
उदाहरण 1
उदाहरण 2
टिप्पणी 1.यदि परवलय शुरू में हमें इस रूप में दिया जाता है, जहाँ कुछ संख्याएँ हैं (उदाहरण के लिए,), तो इसे बनाना और भी आसान हो जाएगा, क्योंकि हमें पहले ही शीर्ष के निर्देशांक दिए जा चुके हैं। क्यों?
आइए एक वर्ग ट्रिनोमियल लें और उसमें एक पूर्ण वर्ग चुनें: देखिए, हमें वह मिल गया है। हमने पहले परवलय के शीर्ष को बुलाया था, यानी अब,।
उदाहरण के लिए, । हम विमान पर परवलय के शीर्ष को चिह्नित करते हैं, हम समझते हैं कि शाखाएं नीचे की ओर निर्देशित होती हैं, परवलय का विस्तार (अपेक्षाकृत) होता है। यही है, हम चरण 1 करते हैं; 3; 4; एक परवलय के निर्माण के लिए एल्गोरिथम से 5 (ऊपर देखें)।
टिप्पणी 2.यदि परवलय को इसी तरह के रूप में दिया जाता है (अर्थात, दो रैखिक कारकों के उत्पाद के रूप में दर्शाया जाता है), तो हम तुरंत (x) अक्ष के साथ परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदु देखते हैं। इस मामले में - (0;0) और (4;0)। बाकी के लिए, हम एल्गोरिथम के अनुसार कार्य करते हैं, कोष्ठक खोलते हैं।
- परवलय का फोकसवह बिंदु जहां से परवलय के सभी बिंदु समान दूरी पर होते हैं।
- एक परवलय का डायरेक्ट्रिक्सवह सीधी रेखा है जिससे परवलय के सभी बिंदु समदूरस्थ होते हैं।
- परवलय की समरूपता की धुरीएक लंबवत रेखा है जो परवलय के फोकस और शीर्ष से होकर जाती है, जो इसकी डायरेक्ट्रिक्स पर लंबवत होती है।
- परवलय के ऊपर- परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदु और समरूपता की धुरी। यदि परवलय ऊपर की ओर इशारा कर रहा है, तो शीर्ष परवलय का सबसे निचला बिंदु है; यदि परवलय नीचे की ओर इंगित करता है, तो शीर्ष परवलय का उच्चतम बिंदु है।
परवलय समीकरण।परवलय समीकरण का रूप है: वाई=कुल्हाड़ी 2 +बीएक्स+सी. परवलय समीकरण को इस प्रकार भी लिखा जा सकता है: वाई = ए (एक्स - एच) 2 + के.
- यदि गुणांक "a" धनात्मक है, तो परवलय को ऊपर की ओर निर्देशित किया जाता है, और यदि गुणांक "a" ऋणात्मक है, तो परवलय को नीचे की ओर निर्देशित किया जाता है। इस नियम को याद रखने के लिए: सकारात्मक के साथ ( सकारात्मक) गुणांक परवलय "मुस्कान" (अंक ऊपर) और इसके विपरीत नकारात्मक के लिए ( नकारात्मक) गुणांक।
- उदाहरण के लिए: वाई=2x2-1. इस समीकरण के परवलय को ऊपर की ओर निर्देशित किया जाता है, क्योंकि a \u003d 2 (सकारात्मक गुणांक)।
- यदि समीकरण में "y" का वर्ग है, और "x" नहीं है, तो परवलय "इसके किनारे पर स्थित है" और इसे दाएं या बाएं निर्देशित किया जाता है। उदाहरण के लिए, परवलय y 2 = x + 3 दाईं ओर निर्देशित है।
समरूपता की धुरी का पता लगाएं।एक परवलय की सममिति की धुरी परवलय के शीर्ष से गुजरने वाली एक ऊर्ध्वाधर रेखा होती है। सममिति का अक्ष फलन x = n द्वारा दिया जाता है, जहाँ n परवलय शीर्ष का "x" निर्देशांक है। समरूपता की धुरी की गणना करने के लिए, सूत्र का उपयोग करें एक्स = -बी/2ए.
- हमारे उदाहरण में ए = 2, बी = 0. इन मानों को सूत्र में प्लग करें: x = -0/(2 x 2) = 0.
- सममिति की धुरी x = 0.
शीर्ष खोजें।सममिति के अक्ष की गणना करके, आपने परवलय के शीर्ष का x-निर्देशांक ज्ञात किया है। "y" खोजने के लिए मूल समीकरण में पाया गया मान रखें। ये दो निर्देशांक परवलय के शीर्ष के निर्देशांक हैं। हमारे उदाहरण में, x = 0 को y = 2x2 -1 में प्लग करें और y = -1 प्राप्त करें। परवलय के शीर्ष में निर्देशांक (0, -1) होते हैं। इसके अलावा, यह y-अक्ष के साथ परवलय का प्रतिच्छेदन बिंदु है (चूंकि x = 0)।
- कभी-कभी शीर्ष निर्देशांक (एच, के) के रूप में दर्शाए जाते हैं। हमारे उदाहरण में एच = 0, के = -1। यदि द्विघात समीकरण के रूप में दिया जाता है वाई = ए (एक्स - एच) 2 + के, तो आप आसानी से सीधे समीकरण से (गणना के बिना) शीर्ष के निर्देशांक पा सकते हैं।
परवलय का निर्माण प्रसिद्ध गणितीय संक्रियाओं में से एक है। अक्सर, इसका उपयोग न केवल वैज्ञानिक उद्देश्यों के लिए, बल्कि विशुद्ध रूप से व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए भी किया जाता है। आइए जानें कि एक्सेल एप्लिकेशन के टूलकिट का उपयोग करके इस प्रक्रिया को कैसे किया जाए।
एक परवलय निम्न प्रकार के द्विघात फलन का एक आलेख है f(x)=ax^2+bx+c. इसके उल्लेखनीय गुणों में से एक यह तथ्य है कि परवलय में एक सममित आकृति का रूप होता है, जिसमें डायरेक्ट्रिक्स से समान दूरी पर बिंदुओं का एक सेट होता है। कुल मिलाकर, एक्सेल में परवलय का निर्माण इस कार्यक्रम में किसी अन्य ग्राफ के निर्माण से बहुत अलग नहीं है।
एक टेबल बनाएं
सबसे पहले, इससे पहले कि आप एक परवलय बनाना शुरू करें, आपको एक तालिका बनानी चाहिए, जिसके आधार पर इसे बनाया जाएगा। उदाहरण के लिए, आइए फ़ंक्शन का ग्राफ़ लें f(x)=2x^2+7.
अंकन
जैसा कि ऊपर बताया गया है, अब हमें ग्राफ को ही बनाना है।
चार्ट का संपादन
अब आप परिणामी ग्राफ को थोड़ा संपादित कर सकते हैं।
इसके अलावा, आप परिणामी परवलय का किसी अन्य प्रकार का संपादन कर सकते हैं, जिसमें उसका नाम और कुल्हाड़ियों के नाम बदलना शामिल है। ये संपादन तकनीक अन्य प्रकार के चार्ट के साथ एक्सेल में कार्य के दायरे से आगे नहीं जाती हैं।
जैसा कि आप देख सकते हैं, एक्सेल में एक परवलय का निर्माण एक ही प्रोग्राम में किसी अन्य प्रकार के ग्राफ या चार्ट के निर्माण से मौलिक रूप से अलग नहीं है। सभी क्रियाएं पूर्व-निर्मित तालिका के आधार पर की जाती हैं। इसके अलावा, यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि आरेख का बिंदु रूप एक परवलय के निर्माण के लिए सबसे उपयुक्त है।
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द्विघात फलन प्रपत्र का एक फलन है:
y=a*(x^2)+b*x+c,
जहां अज्ञात x की उच्चतम डिग्री पर गुणांक है,
बी - अज्ञात एक्स पर गुणांक,
और c एक स्वतंत्र सदस्य है।
द्विघात फलन का आलेख एक वक्र होता है जिसे परवलय कहा जाता है। परवलय का सामान्य दृश्य नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है।
Fig.1 परवलय का सामान्य दृश्य।
द्विघात फलन को रेखांकन करने के कई अलग-अलग तरीके हैं। हम उनमें से मुख्य और सबसे सामान्य पर विचार करेंगे।
द्विघात फलन y=a*(x^2)+b*x+c का आलेख आलेखित करने के लिए एल्गोरिथम
1. एक समन्वय प्रणाली बनाएं, एक खंड को चिह्नित करें और समन्वय अक्षों को लेबल करें।
2. परवलय (ऊपर या नीचे) की शाखाओं की दिशा निर्धारित करें।
ऐसा करने के लिए, आपको गुणांक ए के संकेत को देखने की जरूरत है। यदि प्लस - तो शाखाओं को ऊपर की ओर निर्देशित किया जाता है, यदि माइनस - तो शाखाओं को नीचे की ओर निर्देशित किया जाता है।
3. परवलय के शीर्ष का x-निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
ऐसा करने के लिए, आपको टॉप्स = -बी / 2 * ए सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता है।
4. परवलय के शीर्ष पर निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
ऐसा करने के लिए, पिछले चरण में पाए गए शीर्ष के मान को शीर्ष के समीकरण में बदलें = a * (x ^ 2) + b * x + c के बजाय x।
5. परिणामी बिंदु को ग्राफ़ पर रखें और इसके माध्यम से समन्वय अक्ष O के समानांतर समरूपता का एक अक्ष बनाएं।
6. x-अक्ष के साथ आलेख के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए।
इसके लिए ज्ञात विधियों में से किसी एक का उपयोग करके द्विघात समीकरण a*(x^2)+b*x+c = 0 को हल करना आवश्यक है। यदि समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है, तो फलन का आलेख x-अक्ष को प्रतिच्छेद नहीं करता है।
7. ओए अक्ष के साथ ग्राफ के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक खोजें।
ऐसा करने के लिए, हम मान x = 0 को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं और y के मान की गणना करते हैं। हम इसे और ग्राफ़ पर इसके सममित बिंदु को चिह्नित करते हैं।
8. एक मनमाना बिंदु A (x, y) के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।
ऐसा करने के लिए, हम x निर्देशांक का एक मनमाना मान चुनते हैं, और इसे हमारे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं। इस बिंदु पर हमें y का मान प्राप्त होता है। ग्राफ पर एक बिंदु लगाएं। और आलेख पर एक बिंदु भी अंकित करें जो बिंदु A (x, y) के सममित हो।
9. ग्राफ पर प्राप्त बिंदुओं को एक चिकनी रेखा से कनेक्ट करें और ग्राफ को चरम बिंदुओं से परे, निर्देशांक अक्ष के अंत तक जारी रखें। ग्राफ़ पर या तो कॉलआउट पर हस्ताक्षर करें, या, यदि स्थान अनुमति देता है, तो ग्राफ़ के साथ ही।
ग्राफ प्लॉट करने का एक उदाहरण
उदाहरण के तौर पर, आइए समीकरण y=x^2+4*x-1 द्वारा दिए गए द्विघात फलन को प्लॉट करें
1. निर्देशांक अक्ष बनाएं, उन पर हस्ताक्षर करें और एक खंड को चिह्नित करें।
2. गुणांकों के मान a=1, b=4, c= -1. चूँकि a \u003d 1 जो शून्य से बड़ा है, परवलय की शाखाओं को ऊपर की ओर निर्देशित किया जाता है।
3. परवलय के शीर्ष का X निर्देशांक ज्ञात कीजिए। शीर्ष = -b/2*a = -4/2*1 = -2।
4. निर्देशांक निर्धारित करें परवलय के शीर्ष पर
सबसे ऊपर = a*(x^2)+b*x+c = 1*((-2)^2) + 4*(-2) - 1 = -5।
5. शीर्ष को चिह्नित करें और सममिति का एक अक्ष बनाएं।
6. हम ऑक्स अक्ष के साथ द्विघात फलन के ग्राफ के प्रतिच्छेदन बिंदु पाते हैं। हम द्विघात समीकरण x^2+4*x-1=0 को हल करते हैं।
x1=-2-√3 x2 = -2+√3। हम ग्राफ पर प्राप्त मूल्यों को चिह्नित करते हैं।
7. ओए अक्ष के साथ ग्राफ के प्रतिच्छेदन के बिंदु खोजें।
एक्स = 0; वाई = -1
8. एक मनमाना बिंदु B चुनें। मान लें कि इसका एक निर्देशांक x=1 है।
तब y=(1)^2 + 4*(1)-1= 4.
9. हम प्राप्त बिंदुओं को जोड़ते हैं और चार्ट पर हस्ताक्षर करते हैं।