स्टीफन स्ट्रोगेट्स - एक्स की खुशी। स्टीफ़न स्ट्रोगेट्ज़ - द प्लेज़र ऑफ़ एक्स

यह पुस्तक अच्छी तरह से पूरक है:

क्वांटा

स्कॉट पैटरसन

brainiac

केन जेनिंग्स

मनीबॉल

माइकल लुईस

लचीली चेतना

कैरल ड्वेक

शेयर बाजार भौतिकी

जेम्स वेदरॉली

की खुशी एक्स

ए गाइडेड टूर ऑफ़ मैथ, वन टू इनफिनिटी

स्टीफ़न स्ट्रोगेट्ज़

से खुशी एक्स

दुनिया के सर्वश्रेष्ठ शिक्षकों में से एक से गणित की दुनिया में एक रोमांचक यात्रा

प्रकाशक से जानकारी

पहली बार रूसी में प्रकाशित

स्टीवन स्ट्रोगैट्ज़, c / o ब्रोकमैन, इंक। की अनुमति से प्रकाशित।

स्ट्रोगेट्स, पी।

से खुशी एक्स... दुनिया के सर्वश्रेष्ठ शिक्षकों में से एक से गणित की दुनिया में एक रोमांचक यात्रा / स्टीफन स्ट्रोगेट्स; प्रति. अंग्रेज़ी से - एम .: मान, इवानोव और फेरबर, 2014।

आईएसबीएन 978-500057-008-1

इस पुस्तक में गणित के बारे में आपके सोचने के तरीके को मौलिक रूप से बदलने की क्षमता है। इसमें छोटे अध्याय हैं, जिनमें से प्रत्येक में आप अपने लिए कुछ नया खोजेंगे। आप सीखेंगे कि आपके आस-पास की दुनिया का अध्ययन करने के लिए संख्याएं कितनी उपयोगी हैं, आप समझेंगे कि ज्यामिति की सुंदरता क्या है, अभिन्न कलन की कृपा से परिचित हों, आंकड़ों के महत्व को देखें और अनंत के संपर्क में आएं। लेखक मौलिक गणितीय विचारों को सरल और सुरुचिपूर्ण तरीके से, शानदार उदाहरणों के साथ समझाता है जिसे हर कोई समझ सकता है।

कॉपीराइट धारकों की लिखित अनुमति के बिना इस पुस्तक के किसी भी भाग को किसी भी रूप में पुन: प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है।

प्रकाशन गृह का कानूनी समर्थन कानूनी फर्म "वेगास-लेक्स" द्वारा प्रदान किया जाता है

प्रस्तावना

मेरा एक दोस्त है, जो अपनी कला के बावजूद (वह एक कलाकार है), विज्ञान के प्रति जुनूनी है। जब भी हम मिलते हैं, वह मनोविज्ञान या क्वांटम यांत्रिकी में नवीनतम प्रगति के बारे में उत्साह से बात करते हैं। लेकिन जैसे ही हम गणित के बारे में बात करना शुरू करते हैं, वह अपने घुटनों में कांपने लगता है, जो उसे बहुत परेशान करता है। वह शिकायत करता है कि ये अजीब गणितीय प्रतीक न केवल उसकी समझ की अवहेलना करते हैं, बल्कि कभी-कभी वह यह भी नहीं जानता कि उनका उच्चारण कैसे किया जाए।

दरअसल, उनके गणित को नकारने की वजह कहीं ज्यादा गहरी है। उसे पता नहीं है कि गणितज्ञ सामान्य रूप से क्या करते हैं, या उनका क्या मतलब है जब वे कहते हैं कि एक दिया गया प्रमाण सुरुचिपूर्ण है। कभी-कभी हम मजाक में कहते हैं कि मुझे बस बैठना है और शुरुआत से ही उसे सीखना शुरू करना है, शाब्दिक रूप से 1 + 1 = 2, और जितना हो सके गणित में तल्लीन करना।

और यद्यपि यह विचार पागल लगता है, यह वही है जो मैं इस पुस्तक में लागू करने का प्रयास करूंगा। मैं आपको विज्ञान के सभी मुख्य क्षेत्रों के बारे में बताऊंगा, अंकगणित से लेकर उन्नत गणित तक, ताकि जो लोग दूसरा मौका चाहते थे, वे अंततः इसका लाभ उठा सकें। और इस बार आपको अपने डेस्क पर बैठने की जरूरत नहीं है। यह पुस्तक आपको गणित का विशेषज्ञ नहीं बनाएगी। लेकिन यह समझने में मदद करेगा कि यह अनुशासन क्या पढ़ रहा है और इसे समझने वालों के लिए यह इतना रोमांचक क्यों है।

हम यह पता लगाएंगे कि माइकल जॉर्डन के स्लैम डंक कैलकुलस की मूल बातें समझाने में कैसे मदद कर सकते हैं। मैं आपको यूक्लिडियन ज्यामिति के मूलभूत प्रमेय - पाइथागोरस प्रमेय को समझने का एक सरल और आश्चर्यजनक तरीका दिखाऊंगा। हम बड़े और छोटे जीवन के कुछ रहस्यों के सार तक पहुंचने की कोशिश करेंगे: क्या जे सिम्पसन ने अपनी पत्नी को मार डाला; गद्दे को कैसे स्थानांतरित करें ताकि यह यथासंभव लंबे समय तक चले; शादी करने से पहले कितने भागीदारों को बदलने की जरूरत है - और हम देखेंगे कि क्यों कुछ शिशु दूसरों की तुलना में बड़े होते हैं।

गणित हर जगह है, आपको बस इसे पहचानना सीखना होगा। आप ज़ेबरा के पीछे एक साइनसॉइड देख सकते हैं, स्वतंत्रता की घोषणा में यूक्लिड के प्रमेयों की गूँज सुन सकते हैं; लेकिन मैं क्या कह सकता हूं, प्रथम विश्व युद्ध से पहले की सूखी रिपोर्टों में भी, नकारात्मक संख्याएं हैं। आप यह भी देख सकते हैं कि गणित के नए क्षेत्र आज हमारे जीवन को कैसे प्रभावित करते हैं, उदाहरण के लिए, जब हम कंप्यूटर का उपयोग करके रेस्तरां की खोज करते हैं या कम से कम समझने की कोशिश करते हैं, या बेहतर अभी तक, शेयर बाजार के भयावह उतार-चढ़ाव से बचे रहते हैं।

जनवरी 2010 के अंत में सामान्य शीर्षक "फ़ाउंडेशन ऑफ़ मैथमेटिक्स" के तहत 15 लेखों की एक श्रृंखला ऑनलाइन दिखाई दी। उनके प्रकाशन के जवाब में, कई छात्रों और शिक्षकों सहित सभी उम्र के पाठकों से पत्र और टिप्पणियां डाली गईं। कुछ जिज्ञासु लोग भी थे, जो किसी न किसी कारण से गणितीय विज्ञान को समझने में "भटक गए"; अब उन्हें लगा कि उन्होंने कुछ याद किया है। हेऔर फिर से कोशिश करना चाहेंगे। मैं अपने माता-पिता से इस बात के लिए विशेष रूप से प्रसन्न था कि, मेरी मदद से, वे अपने बच्चों को गणित समझाने में सक्षम थे, और वे खुद इसे बेहतर ढंग से समझने लगे। ऐसा लग रहा था कि मेरे सहयोगियों और साथियों ने, इस विज्ञान के उत्साही प्रशंसक, लेखों को पढ़ने का आनंद लिया, सिवाय उन क्षणों के जब उन्होंने मेरे दिमाग की उपज में सुधार के लिए सभी प्रकार की सिफारिशों की पेशकश करने के लिए एक-दूसरे के साथ संघर्ष किया।

आम धारणा के बावजूद, समाज में गणित में एक स्पष्ट रुचि है, हालांकि इस घटना पर बहुत कम ध्यान दिया जाता है। हम केवल यही सुनते हैं कि गणित के डर के बारे में, और फिर भी, कई लोग खुशी-खुशी इसे बेहतर ढंग से समझने की कोशिश करेंगे। और एक बार ऐसा हो जाने के बाद, उन्हें तोड़ना पहले से ही मुश्किल होगा।

यह पुस्तक आपको गणित की दुनिया के कुछ सबसे चुनौतीपूर्ण और अत्याधुनिक विचारों से परिचित कराएगी। अध्याय छोटे हैं, पढ़ने में आसान हैं और विशेष रूप से एक दूसरे पर निर्भर नहीं हैं। उनमें से वे हैं जो न्यूयॉर्क टाइम्स में लेखों की पहली श्रृंखला में शामिल हैं। इसलिए जैसे ही आपको गणित की हल्की भूख लगे, अगले अध्याय से निपटने में संकोच न करें। यदि आप किसी ऐसे प्रश्न को अधिक विस्तार से समझना चाहते हैं जिसमें आपकी रुचि है, तो पुस्तक के अंत में अतिरिक्त जानकारी और अनुशंसाओं के साथ नोट्स हैं, आप इसके बारे में और क्या पढ़ सकते हैं।

चरण-दर-चरण दृष्टिकोण पसंद करने वाले पाठकों की सुविधा के लिए, मैंने अध्ययन विषयों के पारंपरिक क्रम के अनुसार सामग्री को छह भागों में विभाजित किया है।

भाग I "नंबर" किंडरगार्टन और प्राथमिक विद्यालय में अंकगणित के साथ हमारी यात्रा शुरू करता है। यह दिखाता है कि आपके आस-पास की दुनिया का वर्णन करने में संख्या कितनी उपयोगी है और कितनी जादुई रूप से प्रभावी है।

भाग II "अनुपात" संख्याओं से ध्यान हटाकर उनके बीच के अनुपात की ओर ले जाता है। ये विचार बीजगणित के केंद्र में हैं और यह वर्णन करने के लिए पहले उपकरण हैं कि एक दूसरे को कैसे प्रभावित करता है, विभिन्न चीजों के कारण दिखाता है: आपूर्ति और मांग, उत्तेजना और प्रतिक्रिया - संक्षेप में, सभी प्रकार के रिश्ते जो दुनिया को इतना बहुमुखी बनाते हैं और अमीर। ...

भाग III "आंकड़े" संख्याओं और प्रतीकों के बारे में नहीं, बल्कि आंकड़ों और स्थान के बारे में बताता है - ज्यामिति और त्रिकोणमिति का क्षेत्र। ये विषय, तार्किक तर्क और प्रमाणों की सहायता से रूपों के माध्यम से सभी अवलोकन योग्य वस्तुओं के विवरण के साथ, गणित को सटीकता के एक नए स्तर तक ले जाते हैं।

भाग IV में, "ए टाइम फॉर चेंज," हम गणित की सबसे प्रभावशाली और बहुमुखी शाखा कैलकुलस को देखेंगे। कैलकुलस ग्रहों के प्रक्षेपवक्र, उतार-चढ़ाव के चक्रों और प्रवाह की भविष्यवाणी करना संभव बनाता है, और ब्रह्मांड में और हमारे भीतर सभी समय-समय पर बदलती प्रक्रियाओं और घटनाओं को समझना और उनका वर्णन करना संभव बनाता है। इस भाग में एक महत्वपूर्ण स्थान अनंत के अध्ययन के लिए समर्पित है, जिसकी शांति एक सफलता थी जिसने गणना को काम करने की अनुमति दी। गणनाओं ने प्राचीन दुनिया में उत्पन्न होने वाली कई समस्याओं को हल करने में मदद की, और यह अंततः विज्ञान और आधुनिक दुनिया में एक क्रांति का कारण बनी।

भाग V "डेटा कई चेहरे" संभाव्यता, सांख्यिकी, नेटवर्क और डेटा प्रोसेसिंग से संबंधित है - ये अभी भी अपेक्षाकृत युवा क्षेत्र हैं जो हमारे जीवन के हमेशा क्रमबद्ध पहलुओं से उत्पन्न नहीं होते हैं, जैसे अवसर और भाग्य, अनिश्चितता, जोखिम, अस्थिरता, यादृच्छिकता, अन्योन्याश्रयता . सही गणित और डेटा प्रकारों का उपयोग करके, हम पैटर्न को यादृच्छिकता की धारा में खोजना सीख सकते हैं।

भाग VI "द लिमिट्स ऑफ द पॉसिबल" में अपनी यात्रा के अंत में हम गणितीय ज्ञान की सीमा तक पहुंचेंगे, जो पहले से ही ज्ञात है और जो अभी भी मायावी है और जिसे पहचाना नहीं गया है, के बीच सीमा रेखा क्षेत्र में। हम फिर से उन विषयों पर विचार करेंगे जिनसे हम पहले से परिचित हैं: संख्याएं, अनुपात, आकार, परिवर्तन और अनंत - लेकिन साथ ही हम उनमें से प्रत्येक को अपने आधुनिक अवतार में और अधिक गहराई से विचार करेंगे।

एक्स की खुशी। दुनिया के सर्वश्रेष्ठ शिक्षकों में से एक से गणित की दुनिया में एक रोमांचक यात्रास्टीफ़न स्ट्रोगेट्ज़

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शीर्षक: एक्स से खुशी। दुनिया के सर्वश्रेष्ठ शिक्षकों में से एक से गणित की दुनिया में एक रोमांचक यात्रा

पुस्तक के बारे में "एक्स की खुशी। दुनिया में सबसे अच्छे शिक्षकों में से एक से गणित की दुनिया में एक रोमांचक यात्रा" स्टीफन स्ट्रोगेट्स

पहली बार रूसी में प्रकाशित हुआ।

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नाम: एक्स की खुशी। दुनिया के सर्वश्रेष्ठ शिक्षकों में से एक से गणित की दुनिया में एक रोमांचक यात्रा
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एक्स की खुशी। दुनिया के सर्वश्रेष्ठ शिक्षकों में से एक से गणित की दुनिया में एक रोमांचक यात्रा
स्टीफ़न स्ट्रोगेट्ज़

पहली बार रूसी में प्रकाशित हुआ।

स्टीफ़न स्ट्रोगेट्ज़

एक्स की खुशी। दुनिया के सर्वश्रेष्ठ शिक्षकों में से एक से गणित की दुनिया में एक रोमांचक यात्रा

स्टीवन स्ट्रोगेट्ज़

ए गाइडेड टूर ऑफ़ मैथ, वन टू इनफिनिटी

स्टीवन स्ट्रोगैट्ज़, c / o ब्रोकमैन, इंक। की अनुमति से प्रकाशित।

आपके आस-पास की दुनिया का अध्ययन करने के लिए संख्याएं कितनी उपयोगी हैं, ज्यामिति की सुंदरता क्या है, अभिन्न कैलकुस कितने सुरुचिपूर्ण हैं और आंकड़े महत्वपूर्ण हैं? स्टीवन स्ट्रोगेट्स ने अपनी पुस्तक "द प्लेजर ऑफ एक्स" में इस सब के बारे में बात की है। लेखक मौलिक गणितीय विचारों को सरल और सुरुचिपूर्ण तरीके से समझाता है, ऐसे उदाहरणों के साथ जिन्हें हर कोई समझ सकता है। साइट प्रकाशन गृह "मान, इवानोव और फेरबर" द्वारा प्रकाशित पुस्तक के अध्यायों में से एक को प्रकाशित करती है।

सांख्यिकी अचानक सुपर ट्रेंडी बन गई। इंटरनेट, ई-कॉमर्स, सोशल नेटवर्क के आगमन के साथ, मानव जीनोम को समझने की एक परियोजना, साथ ही समग्र रूप से डिजिटल संस्कृति के विकास के संबंध में, दुनिया डेटा में डूबने लगी। विपणक हमारे स्वाद और आदतों का अध्ययन करते हैं। खुफिया सेवाएं हमारे ठिकाने, ईमेल और फोन कॉल के बारे में जानकारी एकत्र करती हैं। खेल सांख्यिकीविद संख्याओं को जोड़ते हैं, यह तय करते हैं कि किन खिलाड़ियों को खरीदना है, किसे भर्ती करना है और किसे बेंच देना है। हर कोई बिंदुओं को एक ग्राफ़ में संयोजित करने और डेटा के अव्यवस्थित संग्रह में पैटर्न खोजने का प्रयास करता है।

आश्चर्यजनक रूप से, ये रुझान शिक्षण में भी परिलक्षित होते हैं। "आइए आँकड़ों की ओर मुड़ें," अपने न्यूयॉर्क टाइम्स कॉलम में हार्वर्ड विश्वविद्यालय के एक अर्थशास्त्री ग्रेग मैनकीव को सलाह देते हैं।

"हाई स्कूल गणित पाठ्यक्रम यूक्लिडियन ज्यामिति और त्रिकोणमिति जैसे पारंपरिक विषयों के लिए बहुत अधिक समय समर्पित करता है। औसत व्यक्ति के लिए उपयोगी ये मानसिक व्यायाम, हालांकि, रोजमर्रा की जिंदगी में बहुत कम उपयोग होते हैं। संभाव्यता सिद्धांत और सांख्यिकी के बारे में अधिक जानने के लिए छात्र अधिक उपयोगी होंगे।" डेविड ब्रूक्स और भी आगे जाते हैं। एक सभ्य शिक्षा के लिए ध्यान देने योग्य विषयों पर अपने लेख में, वे लिखते हैं: “आंकड़े लें। आप देखेंगे, यह पता चलता है कि मानक विचलन क्या है, इसका ज्ञान आपके लिए जीवन में बहुत उपयोगी होगा।"

यह काफी संभव है, लेकिन यह समझना भी अच्छा है कि वितरण क्या है। यह पहली बात है जिसके बारे में मैं बात करना चाहता हूं। और मैं इस पर आपका ध्यान आकर्षित करना चाहता हूं, क्योंकि यह आंकड़ों के मुख्य पाठों में से एक है: अलग-अलग विचार करने पर चीजें निराशाजनक रूप से यादृच्छिक और अप्रत्याशित लगती हैं, लेकिन कुल मिलाकर वे एक पैटर्न और भविष्यवाणी को प्रकट करते हैं।

आपने विज्ञान संग्रहालय में इस सिद्धांत का प्रदर्शन देखा होगा (यदि नहीं, तो वीडियो इंटरनेट पर पाए जा सकते हैं)। एक विशिष्ट प्रदर्शनी एक गैजेट है जिसे गैल्टन बोर्ड कहा जाता है, जो कुछ हद तक एक पिनबॉल मशीन जैसा दिखता है, केवल फ्लिपर्स के बिना। इसके अंदर, समान अंतराल पर, पिनों की भी पंक्तियाँ होती हैं।

गैल्टन बोर्ड

अनुभव की शुरुआत सैकड़ों गेंदों को गैल्टन बोर्ड के शीर्ष में लॉन्च करने के साथ होती है। जब वे गिरते हैं, तो वे पिनों से टकराते हैं और समान संभावना के साथ, दाईं और बाईं ओर उछलते हैं, और फिर उन्हें बोर्ड के निचले भाग में वितरित किया जाता है, समान चौड़ाई के डिब्बों में गिरते हुए। गेंदों के एक स्तंभ की ऊंचाई दर्शाती है कि गेंद किसी निश्चित स्थान पर कितनी संभावित हो सकती है। अधिकांश गेंदें लगभग बीच में स्थित होती हैं, उनमें से कम किनारों पर होती हैं, और किनारों पर भी कम होती हैं।

सामान्य तौर पर, तस्वीर बेहद अनुमानित है: गेंदें हमेशा घंटी के आकार का वितरण बनाती हैं, हालांकि यह अनुमान लगाना असंभव है कि प्रत्येक व्यक्तिगत गेंद कहां समाप्त होगी।

व्यक्तिगत दुर्घटनाएं सामान्य पैटर्न में कैसे बदल जाती हैं? लेकिन इस तरह यादृच्छिकता काम करती है। अधिकांश गेंदें मध्य कॉलम में जमा हो गई हैं, क्योंकि नीचे लुढ़कने से पहले, उनमें से कई दाईं और बाईं ओर लगभग समान संख्या में छलांग लगाती हैं, और परिणामस्वरूप, वे बीच में कहीं होंगी। किनारों पर स्थित कई अकेली गेंदें वितरण पूंछ बनाती हैं - ये वे गेंदें हैं जो पिन से टकराते समय हमेशा एक ही दिशा में उछलती हैं। इस तरह के उछाल की संभावना नहीं है, यही वजह है कि किनारों के आसपास इतनी कम गेंदें हैं।

जैसे प्रत्येक गेंद का स्थान कई यादृच्छिक घटनाओं के योग से निर्धारित होता है, इस दुनिया में कई घटनाएं कई छोटी परिस्थितियों का परिणाम होती हैं और घंटी के आकार की वक्र का भी पालन करती हैं। बीमा कंपनियां इसी सिद्धांत पर काम करती हैं। वे हर साल मरने वाले अपने ग्राहकों की संख्या का सही-सही नाम बता सकते हैं। हालांकि, उन्हें ठीक से पता नहीं है कि इस बार कौन बदकिस्मत होगा।

या, उदाहरण के लिए, किसी व्यक्ति की ऊंचाई को लें। यह आनुवंशिकी, जैव रसायन, पोषण और पर्यावरण से संबंधित अनगिनत दुर्घटनाओं पर निर्भर करता है। इसलिए, यह अत्यधिक संभावना है कि जब एक साथ लिया जाए, तो वयस्क पुरुषों और महिलाओं की ऊंचाई एक घंटी के आकार का वक्र दिखाएगी।

डेटिंग स्टैटिस्टिक्स सर्विस OkCupid ने हाल ही में "इंटरनेट पर खुद के बारे में गलत डेटा की रिपोर्ट करने वाले लोग" शीर्षक वाले ब्लॉग पर अपने ग्राहकों की वृद्धि का एक ग्राफ पोस्ट किया है, या इसके बजाय उनके द्वारा उद्धृत मूल्य। दोनों लिंगों के लिए विकास संकेतक अपेक्षित रूप से घंटी के आकार का वक्र बनाते पाए गए। आश्चर्यजनक रूप से, हालांकि, दोनों वितरणों को अपेक्षित मूल्यों से लगभग दो इंच दाईं ओर स्थानांतरित कर दिया गया था।

स्ट्रोगेट्स एस। एच से खुशी - एम।: मान, इवानोव और फेरबर, 2014।

तो या तो OkCupid द्वारा सर्वेक्षण किए गए ग्राहक औसत से ऊपर हैं या खुद को ऑनलाइन वर्णन करते समय अपनी ऊंचाई में कुछ इंच जोड़ते हैं।

इन घंटी के आकार के वक्रों का एक आदर्श संस्करण वह है जिसे गणितज्ञ सामान्य वितरण कहते हैं। यह सांख्यिकी में सबसे महत्वपूर्ण अवधारणाओं में से एक है, जिसका सैद्धांतिक आधार है। यह दिखाया जा सकता है कि सामान्य वितरण तब उत्पन्न होता है जब बड़ी संख्या में छोटे यादृच्छिक कारक जोड़े जाते हैं, जिनमें से प्रत्येक स्वतंत्र रूप से कार्य करता है। और इस तरह से बहुत कुछ होता है।

लेकिन सब नहीं। और यह दूसरा बिंदु है जिस पर मैं आपका ध्यान आकर्षित करना चाहता हूं। सामान्य वितरण उतना सर्वव्यापी नहीं है जितना लगता है। सैकड़ों वर्षों से, और विशेष रूप से पिछले कुछ दशकों में, वैज्ञानिकों और सांख्यिकीविदों ने इस वक्र से विचलित होने और अपने स्वयं के शेड्यूल का पालन करने वाली कई घटनाओं के अस्तित्व को नोट किया है। यह उत्सुक है कि प्राथमिक सांख्यिकी पर पाठ्यपुस्तकों में इस प्रकार के वितरण का व्यावहारिक रूप से उल्लेख नहीं किया गया है, और यदि वे होते हैं, तो उन्हें आमतौर पर किसी प्रकार की विकृति माना जाता है।

यह अजीब है। मैं यह समझाने की कोशिश करूंगा कि आधुनिक जीवन की कई घटनाएं अधिक अर्थ लेती हैं जब इन "पैथोलॉजिकल" वितरणों को समझा जाता है। यह नई सामान्य स्थिति है। उदाहरण के लिए, संयुक्त राज्य अमेरिका में शहर के आकार का वितरण लें। कुछ औसत घंटी के आकार के वक्र के चारों ओर क्लस्टर के बजाय, अधिकांश शहर छोटे हैं और इसलिए ग्राफ के बाईं ओर क्लस्टर हैं।

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और शहर की आबादी जितनी बड़ी होती है, उतने ही कम ऐसे शहर पाए जाते हैं। दूसरे शब्दों में, कुल वितरण घंटी के आकार के वक्र के बजाय एल-आकार का होगा।

और यह आश्चर्य की बात नहीं है। सभी जानते हैं कि छोटे शहरों की तुलना में बहुत कम मेगासिटी हैं। जबकि इतना स्पष्ट नहीं है, शहरों का आकार एक अच्छा सरल वितरण का अनुसरण करता है - जब एक लघुगणकीय पैमाने पर देखा जाता है।

हम मान लेंगे कि दो शहरों के बीच का अंतर समान है यदि उनकी जनसंख्या समान संख्या में भिन्न होती है (जैसे कि कोई भी दो पियानो कुंजियाँ एक सप्तक को अलग करती हैं, हमेशा आवृत्ति में आधे से भिन्न होती हैं)। और हम ऊर्ध्वाधर अक्ष पर भी ऐसा ही करते हैं।

स्ट्रोगेट्स एस। एच से खुशी - एम।: मान, इवानोव और फेरबर, 2014।

डेटा अब एक वक्र पर प्लॉट किया गया है जो एक बिल्कुल सही सीधी रेखा है। लॉगरिदम के गुणों के आधार पर, यह निष्कर्ष निकालना आसान है कि मूल एल-आकार का वक्र एक शक्ति-कानून निर्भरता है, जिसे फॉर्म के एक फ़ंक्शन द्वारा वर्णित किया गया है

जहाँ x किसी शहर की जनसंख्या है, y इस आकार के शहरों की संख्या है, c एक स्थिरांक है, और घातांक a (घातांक) सीधी रेखा के ऋणात्मक ढलान को निर्धारित करता है।

बिजली वितरण में कुछ ऐसे गुण होते हैं जो पारंपरिक आंकड़ों की दृष्टि से अतार्किक होते हैं। उदाहरण के लिए, सामान्य वितरण के विपरीत, उनके मोड, माध्यिकाएं और साधन विषम विषम L-वक्रों के कारण मेल नहीं खाते हैं।

राष्ट्रपति बुश को इससे बहुत फायदा हुआ, 2003 में घोषणा की गई कि कर कटौती से प्रत्येक परिवार को औसतन 1,586 डॉलर की बचत हुई है। जबकि यह गणितीय रूप से सत्य है, यहां उन्होंने औसत कटौती का लाभ उठाया, जिसने देश की सबसे अमीर आबादी के 0.1% द्वारा प्राप्त सैकड़ों-हजारों डॉलर की भारी कटौती को छिपा दिया। यह ज्ञात है कि आय वितरण के दाईं ओर "पूंछ" एक शक्ति कानून का पालन करता है, और ऐसी स्थिति में, औसत का उपयोग करना भ्रामक है, क्योंकि यह इसके वास्तविक मूल्य से बहुत दूर है। दरअसल, ज्यादातर परिवारों को 650 डॉलर से भी कम का रिटर्न मिला। इस वितरण में माध्यिका माध्य से काफी कम होती है।

यह उदाहरण शक्ति-कानून वितरण की सबसे महत्वपूर्ण संपत्ति को प्रदर्शित करता है: उनके पास सामान्य वितरण की कम से कम छोटी "चलती पूंछ" की तुलना में "भारी पूंछ" होती है। इस तरह की बड़ी पूंछ, जबकि दुर्लभ, नियमित घंटी वक्रों की तुलना में डेटा वितरण में अधिक सामान्य हैं।

ब्लैक मंडे, 19 अक्टूबर 1987 को, डॉव जोन्स इंडस्ट्रियल एवरेज 22% गिर गया। शेयर बाजार में अस्थिरता के सामान्य स्तर की तुलना में, यह गिरावट बीस मानक विचलन से अधिक थी। पारंपरिक आंकड़ों (जो सामान्य वितरण का उपयोग करता है) के अनुसार, ऐसी घटना लगभग असंभव है: इसकी संभावना 100,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 (10 से 50वीं शक्ति) में एक घटना से कम है। हालांकि, ऐसा हुआ - क्योंकि शेयर बाजार में कीमतों में उतार-चढ़ाव सामान्य वितरण का पालन नहीं करता था।

"भारी पूंछ" वाले वितरण उनका वर्णन करने के लिए बेहतर अनुकूल हैं। यह भूकंप, आग और बाढ़ के साथ होता है, जिससे बीमा कंपनियों के लिए जोखिम का प्रबंधन करना मुश्किल हो जाता है।

वही गणितीय मॉडल युद्धों और आतंकवादी हमलों से मरने वालों की संख्या के साथ-साथ अन्य, बहुत अधिक शांतिपूर्ण चीजों का वर्णन करता है, जैसे कि एक उपन्यास में शब्दों की संख्या या एक व्यक्ति के यौन साझेदारों की संख्या।

हालांकि लंबी पूंछ का वर्णन करने के लिए इस्तेमाल किए जाने वाले विशेषण उन्हें कम पसंद करते हैं, "पूंछ" वितरण उनकी पूंछ को गर्व से ले जाते हैं। बोल्ड, भारी और लंबा? हां यह है। लेकिन उस मामले में, मुझे दिखाओ कि कौन सा सामान्य है?

स्कूली गणित की मुख्य समस्या यह है कि इसमें कोई समस्या नहीं है। हां, मुझे पता है कि कक्षा में कार्यों के लिए क्या होता है: ये बेस्वाद, उबाऊ अभ्यास। "यह कार्य है। इसे हल करने का तरीका यहां बताया गया है। हां, परीक्षा में ऐसे लोग हैं। घर के कार्यों पर जाएं 1-15 "। गणित सीखने का कितना डरावना तरीका है: एक प्रशिक्षित चिंपैंजी बनना।
पॉल लॉकहार्ड
निबंध "रोते हुए गणितज्ञ" से

गणित शायद विज्ञान की सबसे अजीब शाखाओं में से एक है। कोई अन्य विषय इतनी दृढ़ता से विरोध नहीं करता है: औपचारिक प्रमाणों की कठोरता से लेकर कुछ निर्माणों को "देखने" की क्षमता तक। गणित में आंतरिक सुंदरता और बाहरी सुंदरता दोनों होती हैं। गणित की समस्याओं को हल करने से ज्यादा मजेदार कुछ नहीं है। और कोई अन्य विषय स्कूल में इतना औसत दर्जे का नहीं पढ़ाया जाता है।

स्कूल में गणित का अध्ययन आमतौर पर कैसे शुरू होता है? 7-8 साल के बच्चों को प्रतीकों और परिभाषाओं का एक समझ से बाहर सेट और इस अस्पष्टता का उपयोग करने के लिए एल्गोरिदम की एक प्रणाली जारी करने के साथ। कुछ चीजें, उदाहरण के लिए, गुणन तालिका, याद रखी जाती हैं।

इस प्रणाली के आधार पर अगली कक्षाओं में, छात्रों को बताया जाएगा और उन्हें शर्मनाक अनुष्ठानों के एक सेट को याद करने के लिए मजबूर किया जाएगा जो उन्हें अत्याचार की समस्याओं को हल करने की अनुमति देता है। नई परिभाषाएँ सामने आएंगी, जैसे कि "सही अंश" और "अनुचित अंश" बिना इस बात की थोड़ी सी भी व्याख्या के कि यह कहाँ से आया है और सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि क्यों। विशेष रूप से बेकार और उत्पीड़ित शब्द समस्याओं को हल करने पर ध्यान दिया जाएगा जिनका वास्तविकता से समान संबंध है जो स्वयं एल्गोरिदम के रूप में है।

एक छोटे से परीक्षण के रूप में, आप याद रखने का सुझाव दे सकते हैं: अपने जीवन में कितनी बार आपको सही या गलत अंश का निर्धारण करने की आवश्यकता है?

मुझे दिल से सीखने के लिए मजबूर किया गया था: दो संख्याओं के योग का वर्ग उनके वर्गों के योग के बराबर होता है, जो उनके दोहरे उत्पाद से बढ़ जाता है। मुझे नहीं पता था कि इसका क्या मतलब हो सकता है; जब मैं इन शब्दों को याद नहीं रख सका, तो शिक्षक ने मेरे सिर पर एक किताब से मुक्का मारा, जो, हालांकि, मेरी बुद्धि को कम से कम उत्तेजित नहीं करती थी।
बर्ट्रेंड रसेल
अंग्रेजी दार्शनिक, तर्कशास्त्री और गणितज्ञ

साथ ही, शिक्षक किसी भी असहमति को निर्दयतापूर्वक दबा देंगे। 2 1/2 के बजाय 5/2 लिखने का प्रयास करें (जिस पर आप हमेशा बहस करना चाहते हैं: यदि मेरे पास तीन सेब हैं, जिनमें से प्रत्येक आधे में विभाजित है, तो मैं 5 आधा लूंगा, 2 सेब और 1 आधा नहीं)।

इस विषय को लंबे समय तक जारी रखा जा सकता है। इसके अलावा, यह पहले से ही पॉल लॉकहार्ट के निबंध "द क्राई ऑफ द मैथमेटिशियन" में किया जा चुका है। यह बहुत अच्छी तरह से "कौन दोषी है" दिखाता है। लेकिन दूसरे महत्वपूर्ण प्रश्न - "क्या करें" का उत्तर नहीं दिया गया है।

इस प्रश्न के उत्तर का एक प्रकार हाल ही में रूसी में अनुवादित एक अद्भुत पुस्तक में दिया गया है। किताब का नाम है 'द प्लेज ऑफ एक्स'।

एक्स की खुशी

अगर आप छह साल के बच्चे को कुछ नहीं समझा सकते हैं, तो आप खुद नहीं समझते हैं।
अल्बर्ट आइंस्टीन

यह वह किताब है जो एक डेस्कटॉप बनना चाहिएकिसी भी तकनीकी विषय के शिक्षक के लिए, चाहे वह गणित हो या कंप्यूटर विज्ञान।

इस आनंद के लेखक, स्टीफन स्ट्रोगेट्स, एक विश्व स्तरीय गणितज्ञ हैं, संयुक्त राज्य अमेरिका में कॉर्नेल विश्वविद्यालय (दुनिया के अग्रणी तकनीकी विश्वविद्यालयों में से एक) में अनुप्रयुक्त गणित के प्रोफेसर हैं। और, पुस्तक को देखते हुए, इस आदमी में दो अद्भुत गुण एक साथ आए हैं जिसने इस काम को बेस्टसेलर बना दिया है: स्टीफन स्ट्रोगेट्स एक व्यक्ति में एक मजबूत गणितज्ञ और शिक्षक हैं।

आप पढ़ाने में सक्षम हो सकते हैं, लेकिन विषय को अच्छी तरह से नहीं जानते। आप विषय को अच्छी तरह से जान सकते हैं, लेकिन पढ़ाने में सक्षम नहीं हैं। आप दोनों काम कर सकते हैं, लेकिन औसत दर्जे का। स्टीफन स्ट्रोगेट्स एक अलग प्रकार का है: वह जानता है और सही तरीके से पढ़ाना जानता है।

यह क़िताब किस बारे में है? वास्तव में, हर उस चीज के बारे में जो किसी न किसी तरह गणित से जुड़ी है। पहली नज़र में, पुस्तक के खंडों को बेतरतीब ढंग से चुना जाता है (संख्या, अनुपात, आकार, परिवर्तन का समय, कई-तरफा डेटा, सीमाएँ संभव हैं), लेकिन जैसा कि आप पढ़ते हैं, आप समझने लगते हैं कि लेखक क्या बताना चाहता था। किताब शोध पर बनी है। पाठक के साथ मिलकर लेखक द्वारा किया गया शोध।

विचाराधीन कार्यों की सीमा बहुत बड़ी है। कोई भी व्यक्ति, यहां तक कि वह भी जो गणित को पूरी तरह जानता है, इससे कुछ नया सीखेगा। साथ ही, व्यावहारिक समस्याओं (उदाहरण के लिए, शेयर बाजार में निवेश किए गए शेयरों से प्राप्त ब्याज की गणना) और बिल्कुल अमूर्त दोनों पर विचार किया जाता है।

ऐतिहासिक संदर्भ में कई कार्य दिए गए हैं। मैं यहां अलग से रहना चाहूंगा: अब व्यावहारिक रूप से सभी पाठ्यपुस्तकों ने गणित के विकास के इतिहास को बाहर कर दिया है। इस बीच, केवल ऐतिहासिक संदर्भ को समझकर ही कोई भी व्यक्ति सभी तरह से जा सकता है - सरलतम अंकगणित से लेकर आधुनिक गणितीय सिद्धांतों तक।

आइए याद रखें, उदाहरण के लिए, द्विघात समीकरण। मंत्र को याद करने के प्रयास में छात्रों और शिक्षकों दोनों ने कितने आँसू बहाए: x एक या दो बराबर माइनस bh प्लस या माइनस bh स्क्वेर्ड माइनस चार a-tse का रूट और सब कुछ दो a में विभाजित करें।

वैसे, लिखने का यह तरीका अब नए गणितीय मानकों के अनुसार सही नहीं है - लगभग। संपादक।

अच्छी याददाश्त और/या "विषय में" वाले लोग अभी भी विएटा के प्रमेय को याद कर सकते हैं। लेकिन इस सब के बजाय, स्टीफन स्ट्रोगेट्स ने अल-ख्वारिज्मी द्वारा आविष्कार की गई एक सुंदर व्याख्या दी, जिसकी मदद से, बिना किसी सूत्र के, आप आसानी से और स्वाभाविक रूप से एक समाधान ढूंढ सकते हैं (यद्यपि अधूरा: उन दिनों, नकारात्मक संख्याएं अभी तक नहीं थीं हर जगह इस्तेमाल किया)। और मैं आपको विश्वास दिलाता हूं कि जो कोई भी इस निर्णय को पढ़ेगा वह इसे हमेशा याद रखेगा। पहली बार।

अध्याय से अध्याय तक कार्यों की कठिनाई बढ़ती जाती है। लेकिन समझ खोती नहीं है, जो कि "द एक्स ऑफ एक्स" पढ़ने का विशेष आनंद है। पाठक उस वातावरण में डूबा रहता है जो लेखक ने उसके लिए बनाया है, व्यावहारिक रूप से, एक बहादुर नई दुनिया में।

मुझे नहीं पता कि यह किताब किससे तुलना करती है। शायद प्रसिद्ध फेमैन के साथ भौतिकी पर व्याख्यान, या "आप शायद मजाक कर रहे हैं, मिस्टर फेमैन।" लेकिन एक बात पक्की है: यह किताब पढ़ने वालों के दिलों पर अपनी छाप छोड़ेगी।