एक व्यस्त कार्य उदाहरण की अवधारणा। पारस्परिक रूप से उलटा कार्य, बुनियादी परिभाषाएं, गुण, रेखांकन

उलटा कार्य क्या है? किसी दिए गए फ़ंक्शन का उलटा कैसे पता करें?

परिभाषा ।

मान लें कि फ़ंक्शन y=f(x) को सेट D पर परिभाषित किया गया है और E इसके मानों का सेट है। के संबंध में उलटा कार्यफ़ंक्शन y=f(x) एक फ़ंक्शन x=g(y) है, जिसे सेट E पर परिभाषित किया गया है और प्रत्येक y∈E को ऐसा मान x∈D निर्दिष्ट करता है कि f(x)=y.

इस प्रकार, फलन y=f(x) का प्रांत प्रतिलोम फलन का प्रांत है, और y=f(x) का प्रांत प्रतिलोम फलन का प्रांत है।

दिए गए फलन y=f(x) के प्रतिलोम फलन को ज्ञात करने के लिए, :

1) फलन सूत्र में, y के स्थान पर x - y के स्थान पर x को प्रतिस्थापित करें:

2) परिणामी समानता से, y को x के रूप में व्यक्त करें:

फलन y=2x-6 का प्रतिलोम फलन ज्ञात कीजिए।

फलन y=2x-6 तथा y=0.5x+3 परस्पर प्रतिलोम हैं।

सीधी रेखा के संबंध में प्रत्यक्ष और प्रतिलोम फलनों के रेखांकन सममित हैं y=x(I और III के द्विभाजक तिमाहियों का समन्वय करते हैं)।

y=2x-6 और y=0.5x+3 - . एक रेखीय फलन का ग्राफ है। एक सीधी रेखा खींचने के लिए, हम दो बिंदु लेते हैं।

जब समीकरण x=f(y) का एक अद्वितीय हल होता है, तो y को x के पदों में विशिष्ट रूप से व्यक्त करना संभव है। यह तब किया जा सकता है जब फ़ंक्शन y=f(x) अपने प्रत्येक मान को अपनी परिभाषा के डोमेन के एक बिंदु पर लेता है (ऐसे फ़ंक्शन को कहा जाता है प्रतिवर्ती).

प्रमेय (फ़ंक्शन के उलटने के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्त)

यदि फ़ंक्शन y=f(x) एक संख्यात्मक अंतराल पर परिभाषित और निरंतर है, तो फ़ंक्शन के उलटा होने के लिए यह आवश्यक और पर्याप्त है कि f(x) सख्ती से मोनोटोनिक हो।

इसके अलावा, यदि y=f(x) अंतराल पर बढ़ता है, तो इसके विपरीत फलन भी इस अंतराल पर बढ़ता है; यदि y=f(x) घट रहा है, तो प्रतिलोम फलन भी घट रहा है।

यदि परिभाषा के पूरे क्षेत्र में प्रतिवर्तीता की स्थिति संतुष्ट नहीं है, तो कोई एक अंतराल को बाहर कर सकता है जहां फ़ंक्शन केवल बढ़ता है या केवल घटता है, और इस अंतराल पर दिए गए एक के विपरीत एक फ़ंक्शन खोजें।

क्लासिक उदाहरण है। $ . के बीच

चूँकि यह फलन अंतराल $X$ पर घट रहा है और निरंतर है, तो अंतराल $Y=$ पर, जो इस अंतराल पर घट रहा है और निरंतर है (प्रमेय 1)।

$x$ की गणना करें:

\ \

उपयुक्त $x$ चुनें:

उत्तर:उलटा फ़ंक्शन $y=-\sqrt(x)$।

प्रतिलोम फलन ज्ञात करने में समस्या

इस भाग में हम कुछ प्राथमिक फलनों के प्रतिलोम फलनों पर विचार करेंगे। कार्यों को ऊपर दी गई योजना के अनुसार हल किया जाएगा।

उदाहरण 2

$y=x+4$ . फ़ंक्शन के लिए व्युत्क्रम फ़ंक्शन खोजें

समीकरण $y=x+4$ से $x$ खोजें:

उदाहरण 3

फ़ंक्शन $y=x^3$ . के लिए व्युत्क्रम फ़ंक्शन खोजें

समाधान।

चूँकि फलन परिभाषा के पूरे क्षेत्र में बढ़ रहा है और निरंतर है, तो प्रमेय 1 के अनुसार इसका उलटा निरंतर और बढ़ता हुआ फलन होता है।

समीकरण $y=x^3$ से $x$ खोजें:

$x$ . के उपयुक्त मान ढूँढना

हमारे मामले में मूल्य उपयुक्त है (चूंकि दायरा सभी संख्याएं हैं)

चरों को फिर से परिभाषित करने पर, हम पाते हैं कि प्रतिलोम फलन का रूप होता है

उदाहरण 4

अंतराल $$ . पर $y=cosx$ फ़ंक्शन के लिए व्युत्क्रम फ़ंक्शन खोजें

समाधान।

सेट $X=\left$ पर फ़ंक्शन $y=cosx$ पर विचार करें। यह सेट $X$ पर निरंतर और घट रहा है और सेट $X=\left$ को सेट $Y=[-1,1]$ पर मैप करता है, इसलिए, एक व्युत्क्रम निरंतर मोनोटोन फ़ंक्शन के अस्तित्व पर प्रमेय द्वारा, फ़ंक्शन $y=cosx$ सेट $ Y$ में एक उलटा फ़ंक्शन होता है, जो निरंतर भी होता है और सेट $Y=[-1,1]$ में बढ़ता है और सेट $[-1,1]$ को मैप करता है सेट करने के लिए $\बाएं$।

समीकरण $y=cosx$ से $x$ खोजें:

$x$ . के उपयुक्त मान ढूँढना

चरों को फिर से परिभाषित करने पर, हम पाते हैं कि प्रतिलोम फलन का रूप होता है

उदाहरण 5

अंतराल $\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$ पर फंक्शन $y=tgx$ के लिए व्युत्क्रम फ़ंक्शन खोजें।

समाधान।

सेट $X=\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$ पर फ़ंक्शन $y=tgx$ पर विचार करें। यह सेट $X$ पर निरंतर और बढ़ रहा है और सेट $X=\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$ को सेट $Y पर ​​मैप करता है =R$, इसलिए, एक व्युत्क्रम निरंतर मोनोटोन फ़ंक्शन के अस्तित्व पर प्रमेय द्वारा, फ़ंक्शन $y=tgx$ सेट $Y$ में एक उलटा फ़ंक्शन होता है, जो निरंतर भी होता है और सेट $Y=R में बढ़ता है $ और सेट $R$ को सेट $\left(- \frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$ पर मैप करता है

समीकरण $y=tgx$ से $x$ खोजें:

$x$ . के उपयुक्त मान ढूँढना

चरों को फिर से परिभाषित करने पर, हम पाते हैं कि प्रतिलोम फलन का रूप होता है

हम पहले से ही एक समस्या का सामना कर चुके हैं, जब एक फ़ंक्शन f और उसके तर्क के दिए गए मान को देखते हुए, इस बिंदु पर फ़ंक्शन के मान की गणना करना आवश्यक था। लेकिन कभी-कभी किसी को उलटा समस्या का सामना करना पड़ता है: ज्ञात फ़ंक्शन f और इसके निश्चित मान y को खोजने के लिए, उस तर्क का मान जिसमें फ़ंक्शन दिया गया मान y लेता है।

एक फ़ंक्शन जो अपने प्रत्येक मान को अपनी परिभाषा के क्षेत्र में एक ही बिंदु पर लेता है उसे एक उलटा फ़ंक्शन कहा जाता है। उदाहरण के लिए, एक रैखिक कार्य होगा प्रतिवर्ती कार्य. द्विघात फलन या ज्या फलन व्युत्क्रमणीय फलन नहीं होंगे। चूंकि फ़ंक्शन विभिन्न तर्कों के साथ समान मान ले सकता है।

उलटा काम करना

आइए मान लें कि f कुछ मनमाना उलटा कार्य है। अपने परिसर y0 से प्रत्येक संख्या डोमेन x0 से केवल एक संख्या से मेल खाती है, जैसे कि f(x0) = y0।

यदि अब हम x0 के प्रत्येक मान के लिए एक मान y0 निर्दिष्ट करते हैं, तो हमें एक नया फ़ंक्शन मिलेगा। उदाहरण के लिए, एक रैखिक फलन f(x) = k * x + b के लिए, फलन g(x) = (x - b)/k उलटा होगा।

अगर कुछ कार्य जीहर बिंदु पर एक्सव्युत्क्रमणीय फलन का परिसर f का मान y इस प्रकार लेता है कि f(y) = x, तब हम कहते हैं कि फलन जी- f का व्युत्क्रम फलन होता है।

यदि हमारे पास कुछ उत्क्रमणीय फलन f का आलेख है, तो व्युत्क्रम फलन का आलेख आलेखित करने के लिए, हम निम्नलिखित कथन का उपयोग कर सकते हैं: फलन f का आलेख और उसके प्रतिलोम फलन g के संबंध में सममित होगा। समीकरण y = x द्वारा दी गई सीधी रेखा।

यदि फलन g, फलन f का व्युत्क्रम है, तो फलन g एक व्युत्क्रमणीय फलन होगा। और फलन f, फलन g का व्युत्क्रम होगा। आमतौर पर यह कहा जाता है कि दो फलन f और g परस्पर प्रतिलोम हैं।

निम्नलिखित चित्र f और g फलनों के ग्राफ़ परस्पर एक दूसरे के प्रतिलोम को दर्शाता है।

आइए हम निम्नलिखित प्रमेय को व्युत्पन्न करें: यदि कोई फलन f किसी अंतराल A पर बढ़ता (या घटता) है, तो यह व्युत्क्रमणीय होता है। फलन f के परिसर में परिभाषित a के विपरीत फलन g भी एक बढ़ता हुआ (या, क्रमशः, घटता हुआ) फलन है। इस प्रमेय को कहा जाता है उलटा कार्य प्रमेय.

मान लीजिए कि हमारे पास कुछ फ़ंक्शन y = f (x) है जो सख्ती से मोनोटोनिक (घटता या बढ़ता हुआ) है और डोमेन x a पर निरंतर है; बी; इसके मूल्यों की सीमा y ∈ c है; d , और अंतराल पर c ; d उसी समय, हमारे पास एक फ़ंक्शन x = g (y) होगा जिसमें मानों की एक श्रेणी होगी a ; बी। दूसरा कार्य भी निरंतर और सख्ती से एकरस होगा। y = f (x) के संबंध में यह एक प्रतिलोम फलन होगा। अर्थात्, हम प्रतिलोम फलन x = g (y) के बारे में बात कर सकते हैं जब y = f (x) किसी दिए गए अंतराल पर या तो घटेगा या बढ़ेगा।

ये दो फलन f और g परस्पर प्रतिलोम होंगे।

हमें व्युत्क्रम कार्यों की अवधारणा की आवश्यकता क्यों है?

हमें समीकरण y = f (x) को हल करने के लिए इसकी आवश्यकता है, जो केवल इन अभिव्यक्तियों का उपयोग करके लिखे गए हैं।

मान लीजिए कि हमें समीकरण cos (x) = 1 3 का हल निकालना है। सभी बिंदु इसके समाधान होंगे: x = ± a rc c o s 1 3 + 2 π k , k Z

एक दूसरे के सापेक्ष प्रतिलोम होगा, उदाहरण के लिए, आर्ककोसाइन और कोसाइन फलन।

आइए हम दिए गए कार्यों के विपरीत फलन खोजने के लिए कई समस्याओं का विश्लेषण करें।

उदाहरण 1

स्थि‍ति: y = 3 x + 2 का प्रतिलोम फलन क्या है?

समाधान

परिभाषाओं का क्षेत्र और शर्त में निर्दिष्ट फ़ंक्शन के मानों का डोमेन सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है। आइए इस समीकरण को x द्वारा, अर्थात् x से y तक व्यक्त करके हल करने का प्रयास करें।

हमें x = 1 3 y - 2 3 प्राप्त होता है। यह उलटा कार्य है जिसकी हमें आवश्यकता है, लेकिन यहां y एक तर्क होगा, और x एक फ़ंक्शन होगा। आइए अधिक परिचित संकेतन प्राप्त करने के लिए उन्हें पुनर्व्यवस्थित करें:

उत्तर:फलन y = 1 3 x - 2 3 y = 3 x + 2 का प्रतिलोम होगा।

दोनों परस्पर प्रतिलोम फलनों को निम्नानुसार प्लॉट किया जा सकता है:

हम y = x के सन्दर्भ में दोनों आलेखों की सममिति देखते हैं। यह रेखा पहले और तीसरे चतुर्थांश का समद्विभाजक है। हमें परस्पर प्रतिलोम फलनों में से एक गुणधर्म का प्रमाण प्राप्त हुआ है, जिसकी चर्चा हम बाद में करेंगे।

आइए एक उदाहरण लेते हैं जिसमें आपको लॉगरिदमिक फ़ंक्शन को खोजने की आवश्यकता होती है, किसी दिए गए घातांक का व्युत्क्रम।

उदाहरण 2

स्थि‍ति:निर्धारित करें कि y = 2 x के लिए कौन-सा फलन प्रतिलोम होगा।

समाधान

किसी दिए गए फलन के लिए, परिभाषा का क्षेत्र सभी वास्तविक संख्याएँ हैं। मानों की श्रेणी अंतराल 0 में है; +∞. अब हमें x से y को व्यक्त करने की आवश्यकता है, अर्थात x के माध्यम से संकेतित समीकरण को हल करें। हमें x = लघुगणक 2 y प्राप्त होता है। चरों को पुनर्व्यवस्थित करें और y = log 2 x प्राप्त करें।

परिणामस्वरूप, हमने घातीय और लघुगणकीय फलन प्राप्त किए हैं, जो परिभाषा के पूरे क्षेत्र में परस्पर एक दूसरे के विपरीत होंगे।

उत्तर:वाई = लॉग 2 एक्स।

ग्राफ़ पर, दोनों फ़ंक्शन इस तरह दिखाई देंगे:



परस्पर प्रतिलोम फलनों के मूल गुण

इस उपधारा में, हम फलन y = f (x) और x = g (y) के मुख्य गुणों को सूचीबद्ध करते हैं जो परस्पर प्रतिलोम हैं।

परिभाषा 1

1. हम पहले ही पहली संपत्ति प्राप्त कर चुके हैं: y = f (g (y)) और x = g (f (x)) ।
2. दूसरा गुण पहले से अनुसरण करता है: परिभाषा का डोमेन y = f (x) व्युत्क्रम फ़ंक्शन x = g (y) के डोमेन के साथ मेल खाएगा, और इसके विपरीत।
3. व्युत्क्रम फलन के आलेख y = x के सन्दर्भ में सममित होंगे।
4. यदि y = f (x) बढ़ रहा है, तो x = g (y) भी बढ़ेगा, और यदि y = f (x) घट रहा है, तो x = g (y) भी घटेगा।

हम आपको सलाह देते हैं कि परिभाषा के क्षेत्र और कार्यों के दायरे की अवधारणाओं पर ध्यान से विचार करें और उन्हें कभी भ्रमित न करें। मान लीजिए कि हमारे पास दो परस्पर प्रतिलोम फलन हैं y = f (x) = a x और x = g (y) = log a y । प्रथम गुणधर्म के अनुसार, y = f (g (y)) = a log a y । यह समानता केवल y के सकारात्मक मूल्यों के मामले में सही होगी, और नकारात्मक मूल्यों के लिए, लघुगणक परिभाषित नहीं है, इसलिए यह लिखने में जल्दबाजी न करें कि एक लॉग a y = y है। जांचना और जोड़ना सुनिश्चित करें कि यह केवल सकारात्मक y के लिए सही है।

लेकिन समानता x \u003d f (g (x)) \u003d log a x \u003d x x के किसी भी वास्तविक मान के लिए सही होगा।

इस बिंदु के बारे में मत भूलना, खासकर यदि आपको त्रिकोणमितीय और उलटा त्रिकोणमितीय कार्यों के साथ काम करना है। तो, a r c sin sin 7 π 3 ≠ 7 π 3 क्योंकि आर्क्साइन का परिसर π 2 है; 2 और 7 3 इसमें शामिल नहीं हैं। सही प्रविष्टि होगी

a r c पाप पाप 7 3 \u003d a r c पाप पाप 2 + 3 \u003d \u003d \u003d के रूप में a s u l p r i o n i o n \u003d a r c पाप पाप 3 \u003d 3

परंतु sin a r c sin 1 3 \u003d 1 3 सही समता है, अर्थात्। sin (a r c sin x) = x x - 1 के लिए; 1 और a r c sin (sin x) = x x ∈ - π 2 के लिए; 2। व्युत्क्रम कार्यों के दायरे और दायरे से हमेशा सावधान रहें!

• बुनियादी परस्पर उलटा कार्य: शक्ति

यदि हमारे पास एक घात फलन y = x a है, तो x > 0 के लिए घात फलन x = y 1 a भी इसके विपरीत होगा। आइए अक्षरों को बदलें और क्रमशः y = x a और x = y 1 a प्राप्त करें।

चार्ट पर, वे इस तरह दिखाई देंगे (सकारात्मक और नकारात्मक गुणांक वाले मामले a):



• बुनियादी पारस्परिक रूप से उलटा कार्य: घातीय और लघुगणक

आइए a लेते हैं, जो एक धनात्मक संख्या होगी, न कि 1 के बराबर।

ए> 1 और ए . के साथ कार्यों के लिए रेखांकन< 1 будут выглядеть так:



• बुनियादी पारस्परिक रूप से उलटा कार्य: त्रिकोणमितीय और उलटा त्रिकोणमितीय

यदि हमें साइन और आर्क्साइन की मुख्य शाखा को प्लॉट करने की आवश्यकता है, तो यह इस तरह दिखेगा (हाइलाइट किए गए प्रकाश क्षेत्र में दिखाया गया है)।