लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करने का क्या अर्थ है। सामान्य भाजक और बहु

कई भाजक

निम्नलिखित समस्या पर विचार करें: संख्या 140 का भाजक ज्ञात कीजिए। यह स्पष्ट है कि संख्या 140 में एक नहीं, बल्कि कई भाजक हैं। ऐसे मामलों में, कार्य कहा जाता है बहुत सारेसमाधान। आइए उन सभी को खोजें। सबसे पहले, हम इस संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करते हैं:

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7.

अब हम सभी भाजक आसानी से लिख सकते हैं। आइए सरल भाजक से शुरू करें, जो कि ऊपर के विस्तार में मौजूद हैं:

फिर हम उन्हें लिखते हैं जो अभाज्य भाजक के जोड़ीदार गुणन द्वारा प्राप्त होते हैं:

2∙2 = 4, 2∙5 = 10, 2∙7 = 14, 5∙7 = 35.

तब - जिनमें तीन साधारण भाजक होते हैं:

2∙2∙5 = 20, 2∙2∙7 = 28, 2∙5∙7 = 70.

अंत में, आइए इकाई और अपघट्य संख्या को स्वयं न भूलें:

हमारे द्वारा पाए गए सभी भाजक बनते हैं बहुत सारे 140 की संख्या के भाजक, जो घुंघराले ब्रेसिज़ का उपयोग करके लिखा गया है:

संख्या 140 = . के भाजक का समुच्चय

{1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140}.

बोध की सुविधा के लिए, हमने यहाँ भाजक लिख दिए हैं ( तत्वों को सेट करें) आरोही क्रम में, लेकिन आम तौर पर बोलना, यह आवश्यक नहीं है। इसके अलावा, हम एक संक्षिप्त परिचय देते हैं। "140 की संख्या के भाजक का समुच्चय" के स्थान पर हम "D (140)" लिखेंगे। इस तरह,

इसी प्रकार, किसी अन्य प्राकृत संख्या के लिए भाजक का समुच्चय ज्ञात किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, विस्तार से

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7

हम पाते हैं:

डी(105) = (1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105)।

सभी भाजक के सेट से, किसी को अभाज्य भाजक के सेट को अलग करना चाहिए, जो क्रमशः 140 और 105 की संख्या के बराबर हैं:

पीडी(140) = (2, 5, 7)।

पीडी(105) = (3, 5, 7)।

इस बात पर जोर दिया जाना चाहिए कि संख्या 140 के अभाज्य गुणनखंडों में अपघटन में दो दो बार उपस्थित होते हैं, जबकि समुच्चय PD(140) में यह केवल एक होता है। पीडी (140) का सेट, संक्षेप में, समस्या के सभी उत्तर हैं: "संख्या 140 का एक प्रमुख कारक खोजें"। यह स्पष्ट है कि एक ही उत्तर को एक से अधिक बार नहीं दोहराया जाना चाहिए।

अंश में कमी। महत्तम सामान्य भाजक

एक अंश पर विचार करें

हम जानते हैं कि इस भिन्न को एक ऐसी संख्या से घटाया जा सकता है जो अंश (105) का भाजक और हर (140) का भाजक दोनों हो। आइए समुच्चय D(105) और D(140) को देखें और उनके उभयनिष्ठ तत्वों को लिखें।

डी(105) = (1, 3, 5, 7, 15, 21, 35, 105);

डी(140) = (1, 2, 4, 5, 7, 10, 14, 20, 28, 35, 70, 140)।

समुच्चय D(105) और D(140) के सामान्य अवयव =

अंतिम समानता को छोटा लिखा जा सकता है, अर्थात्:

डी(105) डी(140) = (1, 5, 7, 35)।

यहां, विशेष आइकन "∩" ("छेद के साथ बैग") केवल यह इंगित करता है कि इसके विपरीत पक्षों पर लिखे गए दो सेटों में से केवल सामान्य तत्वों का चयन किया जाना चाहिए। प्रविष्टि "डी (105) ∩ डी (140)" पढ़ता है " चौराहा 105 से Te के सेट और 140 से Te के सेट।

[ध्यान दें कि आप सेट के साथ विभिन्न बाइनरी ऑपरेशन कर सकते हैं, लगभग संख्याओं की तरह। एक अन्य सामान्य बाइनरी ऑपरेशन है एक संस्था, जो "∪" ("छेद के साथ बैग") आइकन द्वारा इंगित किया गया है। दो समुच्चयों के मिलन में दोनों समुच्चयों के सभी अवयव शामिल होते हैं:

पीडी(105) = (3, 5, 7);

पीडी(140) = (2, 5, 7);

पीडी(105) पीडी(140) = (2, 3, 5, 7)। ]

तो, हमने पाया कि भिन्न

सेट से संबंधित किसी भी संख्या में घटाया जा सकता है

डी(105) ∩ डी(140) = (1, 5, 7, 35)

और किसी अन्य प्राकृतिक संख्या से कम नहीं किया जा सकता है। यहां कम करने के सभी संभावित तरीके दिए गए हैं (एक के बाद एक निर्बाध कमी को छोड़कर):

यह स्पष्ट है कि भिन्न को एक संख्या से कम करना सबसे व्यावहारिक है, यदि संभव हो तो, एक बड़ी संख्या। इस मामले में, यह संख्या 35 है, जिसे कहा जाता है महत्तम सामान्य भाजक (जीसीडी) संख्या 105 और 140। इसे इस प्रकार लिखा जाता है

जीसीडी(105, 140) = 35।

हालाँकि, व्यवहार में, यदि हमें दो संख्याएँ दी जाती हैं और उनका सबसे बड़ा सामान्य भाजक खोजने की आवश्यकता होती है, तो हमें कोई समुच्चय बनाने की आवश्यकता नहीं है। यह दोनों संख्याओं को केवल अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंडित करने के लिए पर्याप्त है और इन कारकों में से उन कारकों को रेखांकित करता है जो दोनों गुणनखंडों के लिए सामान्य हैं, उदाहरण के लिए:

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .

रेखांकित संख्याओं (किसी भी विस्तार में) को गुणा करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

जीसीडी(105, 140) = 5 ∙ 7 = 35.

बेशक, यह संभव है कि दो से अधिक रेखांकित कारक हों:

168 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 7;

396 = 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 11.

यहाँ से यह स्पष्ट है कि

जीसीडी(168, 396) = 2 ∙ 2 ∙ 3 = 12.

विशेष उल्लेख उस स्थिति के योग्य है जब कोई सामान्य कारक नहीं हैं और जोर देने के लिए कुछ भी नहीं है, उदाहरण के लिए:

42 = 2 ∙ 3 ∙ 7;

इस मामले में,

जीसीडी (42, 55) = 1.

दो प्राकृत संख्याएँ जिनके लिए gcd एक के बराबर है, कहलाती हैं सह अभाज्य. उदाहरण के लिए, यदि आप ऐसी संख्याओं से भिन्न बनाते हैं,

तो ऐसा भिन्न है अलघुकरणीय.

सामान्यतया, भिन्नों को कम करने का नियम इस प्रकार लिखा जा सकता है:

		एक/ जीसीडी ( एक, बी)
		बी/ जीसीडी ( एक, बी)

यहाँ यह माना जाता है कि एकतथा बीप्राकृत संख्याएँ हैं, और सभी भिन्न धनात्मक हैं। यदि हम अब इस समानता के दोनों पक्षों को ऋण चिह्न प्रदान करते हैं, तो हमें ऋणात्मक भिन्नों के लिए संगत नियम प्राप्त होता है।

भिन्नों का जोड़ और घटाव। आम एकाधिक

मान लीजिए कि आप दो भिन्नों के योग की गणना करना चाहते हैं:

हम पहले से ही जानते हैं कि कैसे भाजक अभाज्य कारकों में विघटित होते हैं:

105 = 3 ∙ 5 ∙ 7 ;

140 = 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7 .

यह इस अपघटन से तुरंत अनुसरण करता है कि, अंशों को एक सामान्य हर में लाने के लिए, यह पहले अंश के अंश और हर को 2 2 (दूसरे हर के अस्थिर अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल) से गुणा करने के लिए पर्याप्त है, और दूसरे भिन्न का अंश और हर 3 से ("उत्पाद" पहले हर के अरेखांकित अभाज्य गुणनखंड)। परिणामस्वरूप, दोनों भिन्नों के हर उस संख्या के बराबर हो जाएंगे जिसे निम्न प्रकार से दर्शाया जा सकता है:

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7 = 105 ∙ 2 ∙ 2 = 140 ∙ 3 = 420.

यह देखना आसान है कि दोनों मूल हर (दोनों 105 और 140) संख्या 420 के भाजक हैं, और संख्या 420, बदले में, दोनों हरों का एक गुणज है - और न केवल एक बहु, यह है आम एकाधिक (अनापत्ति प्रमाण पत्र) संख्या 105 और 140। यह इस प्रकार लिखा गया है:

एलसीएम(105, 140) = 420।

संख्या 105 और 140 के विस्तार को और करीब से देखने पर, हम देखते हैं कि

105 140 = एलसीएम(105, 140) जीसीडी(105, 140)।

इसी तरह, मनमानी प्राकृतिक संख्याओं के लिए बीतथा डी:

बी ∙ डी= एलसीएम ( बी, डी) जीसीडी ( बी, डी).

अब हमारे भिन्नों का योग पूरा करते हैं:

3 ∙ 5 ∙ 7		2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 7

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7		2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7

2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 5

टिप्पणी।कुछ समस्याओं को हल करने के लिए, आपको यह जानना होगा कि किसी संख्या का वर्ग क्या होता है। संख्या वर्ग एकएक नंबर कहा जाता है एकअपने आप से गुणा किया जाता है, अर्थात् एक∙एक. (जैसा कि आप देख सकते हैं, यह एक भुजा वाले वर्ग के क्षेत्रफल के बराबर है एक).

ऑनलाइन कैलकुलेटर आपको दो या किसी अन्य संख्या का सबसे बड़ा सामान्य भाजक और सबसे छोटा सामान्य गुणक खोजने की अनुमति देता है।

जीसीडी और एनओसी खोजने के लिए कैलकुलेटर

जीसीडी और एनओसी खोजें

जीसीडी और एनओसी मिला: 5806

कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें

• इनपुट क्षेत्र में नंबर दर्ज करें
• गलत वर्ण दर्ज करने की स्थिति में, इनपुट फ़ील्ड को लाल रंग में हाइलाइट किया जाएगा
• बटन दबाएं "जीसीडी और एनओसी खोजें"

नंबर कैसे दर्ज करें

• संख्याओं को रिक्त स्थान, बिंदु या अल्पविराम द्वारा अलग करके दर्ज किया जाता है
• दर्ज संख्याओं की लंबाई सीमित नहीं है, इसलिए लंबी संख्याओं का gcd और lcm ज्ञात करना कठिन नहीं होगा

एनओडी और एनओके क्या है?

महत्तम सामान्य भाजकअनेक संख्याओं का वह सबसे बड़ा प्राकृत पूर्णांक है जिससे सभी मूल संख्याएँ बिना किसी शेषफल के विभाज्य होती हैं। सबसे बड़ा सामान्य भाजक संक्षिप्त रूप में है जीसीडी.
आम एकाधिककई संख्याएँ वह छोटी से छोटी संख्या होती है जो बिना किसी शेषफल के मूल संख्याओं में से प्रत्येक से विभाज्य होती है। लघुत्तम समापवर्त्य का संक्षिप्त रूप इस प्रकार है अनापत्ति प्रमाण पत्र.

कैसे जांचें कि कोई संख्या शेष के बिना किसी अन्य संख्या से विभाज्य है या नहीं?

यह पता लगाने के लिए कि क्या एक संख्या शेष के बिना दूसरी संख्या से विभाज्य है, आप संख्याओं की विभाज्यता के कुछ गुणों का उपयोग कर सकते हैं। फिर, उन्हें मिलाकर, उनमें से कुछ और उनके संयोजनों द्वारा विभाज्यता की जांच की जा सकती है।

संख्याओं की विभाज्यता के कुछ लक्षण

1. किसी संख्या की 2 . से विभाज्यता का चिह्न
यह निर्धारित करने के लिए कि क्या कोई संख्या दो से विभाज्य है (चाहे वह सम हो), इस संख्या के अंतिम अंक को देखने के लिए पर्याप्त है: यदि यह 0, 2, 4, 6 या 8 के बराबर है, तो संख्या सम है, जिसका अर्थ है कि यह 2 से विभाज्य है।
उदाहरण:निर्धारित करें कि क्या संख्या 34938 2 से विभाज्य है।
समाधान:अंतिम अंक देखें: 8 का अर्थ है कि संख्या दो से विभाज्य है।

2. किसी संख्या की 3 . से विभाज्यता का चिह्न
एक संख्या 3 से विभाज्य होती है जब उसके अंकों का योग 3 से विभाज्य होता है। इस प्रकार, यह निर्धारित करने के लिए कि क्या कोई संख्या 3 से विभाज्य है, आपको अंकों के योग की गणना करने और यह जांचने की आवश्यकता है कि क्या यह 3 से विभाज्य है। भले ही अंकों का योग बहुत बड़ा निकला हो, आप उसी प्रक्रिया को दोहरा सकते हैं। फिर से।
उदाहरण:निर्धारित करें कि क्या संख्या 34938 3 से विभाज्य है।
समाधान:हम अंकों का योग गिनते हैं: 3+4+9+3+8 = 27. 27, 3 से विभाज्य है, जिसका अर्थ है कि संख्या तीन से विभाज्य है।

3. किसी संख्या की 5 से विभाज्यता का चिह्न
एक संख्या 5 से विभाज्य होती है जब उसका अंतिम अंक शून्य या पांच होता है।
उदाहरण:निर्धारित करें कि क्या संख्या 34938 5 से विभाज्य है।
समाधान:अंतिम अंक देखें: 8 का अर्थ है कि संख्या पांच से विभाज्य नहीं है।

4. किसी संख्या की 9 . से विभाज्यता का चिह्न
यह चिन्ह तीन से विभाज्यता के चिन्ह के समान है: एक संख्या 9 से विभाज्य होती है जब उसके अंकों का योग 9 से विभाज्य होता है।
उदाहरण:निर्धारित करें कि क्या संख्या 34938 9 से विभाज्य है।
समाधान:हम अंकों के योग की गणना करते हैं: 3+4+9+3+8 = 27. 27, 9 से विभाज्य है, जिसका अर्थ है कि संख्या नौ से विभाज्य है।

दो संख्याओं का GCD और LCM कैसे ज्ञात करें

दो संख्याओं का GCD कैसे ज्ञात करें

दो संख्याओं के सबसे बड़े सामान्य भाजक की गणना करने का सबसे सरल तरीका इन संख्याओं के सभी संभावित भाजक को खोजना और उनमें से सबसे बड़ा चुनना है।

GCD(28, 36) खोजने के उदाहरण का उपयोग करके इस विधि पर विचार करें:

1. हम दोनों संख्याओं का गुणनखंड करते हैं: 28 = 1 2 2 7 , 36 = 1 2 2 3 3
2. हम उभयनिष्ठ गुणनखंड पाते हैं, अर्थात् वे जिनमें दोनों संख्याएँ हैं: 1, 2 और 2।
3. हम इन कारकों के उत्पाद की गणना करते हैं: 1 2 2 \u003d 4 - यह संख्या 28 और 36 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक है।

दो संख्याओं का एलसीएम कैसे ज्ञात करें

दो संख्याओं का सबसे छोटा गुणज ज्ञात करने के दो सबसे सामान्य तरीके हैं। पहला तरीका यह है कि आप दो संख्याओं के पहले गुणज लिख सकते हैं, और फिर उनमें से ऐसी संख्या चुन सकते हैं जो दोनों संख्याओं के लिए समान हो और साथ ही सबसे छोटी हो। और दूसरा इन नंबरों की GCD ज्ञात करना है। आइए बस इस पर विचार करें।

एलसीएम की गणना करने के लिए, आपको मूल संख्याओं के गुणनफल की गणना करनी होगी और फिर इसे पहले मिली जीसीडी से विभाजित करना होगा। आइए समान संख्या 28 और 36 के लिए LCM ज्ञात करें:

1. संख्या 28 और 36 का गुणनफल ज्ञात कीजिए: 28 36 = 1008
2. gcd(28, 36) पहले से ही 4 . के रूप में जाना जाता है
3. एलसीएम(28, 36) = 1008/4 = 252।

एकाधिक संख्याओं के लिए जीसीडी और एलसीएम ढूँढना

सबसे बड़ा सामान्य भाजक कई संख्याओं के लिए पाया जा सकता है, न कि केवल दो के लिए। इसके लिए, सबसे बड़े सामान्य भाजक के लिए खोजी जाने वाली संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित किया जाता है, फिर इन संख्याओं के सामान्य अभाज्य गुणनखंडों का गुणनफल मिलता है। साथ ही, कई संख्याओं की GCD ज्ञात करने के लिए, आप निम्न संबंध का उपयोग कर सकते हैं: जीसीडी (ए, बी, सी) = जीसीडी (जीसीडी (ए, बी), सी).

इसी तरह का संबंध संख्याओं के कम से कम सामान्य गुणकों पर भी लागू होता है: एलसीएम (ए, बी, सी) = एलसीएम (एलसीएम (ए, बी), सी)

उदाहरण:संख्या 12, 32 और 36 के लिए GCD और LCM ज्ञात कीजिए।

1. सबसे पहले, आइए संख्याओं का गुणनखंड करें: 12 = 1 2 2 3 , 32 = 1 2 2 2 2 2 , 36 = 1 2 2 3 3।
2. आइए सामान्य गुणनखंड खोजें: 1, 2 और 2।
3. उनका उत्पाद जीसीडी देगा: 1 2 2 = 4
4. अब आइए एलसीएम खोजें: इसके लिए हम सबसे पहले एलसीएम(12, 32): 12 32/4 = 96 पाते हैं।
5. तीनों संख्याओं का एलसीएम खोजने के लिए, आपको जीसीडी (96, 36): 96 = 1 2 2 2 2 2 3, 36 = 1 2 2 3 3, जीसीडी = 1 2 2 3 = 12 खोजने की जरूरत है।
6. एलसीएम(12, 32, 36) = 96 36/12 = 288।

महत्तम सामान्य भाजक

परिभाषा 2

यदि एक प्राकृत संख्या a एक प्राकृत संख्या $b$ से विभाज्य है, तो $b$ को $a$ का भाजक कहा जाता है, और संख्या $a$ को $b$ का गुणज कहा जाता है।

मान लीजिए $a$ और $b$ प्राकृतिक संख्याएँ हैं। संख्या $c$ को $a$ और $b$ दोनों के लिए एक सामान्य भाजक कहा जाता है।

$a$ और $b$ संख्याओं के सार्व भाजक का समुच्चय परिमित है, क्योंकि इनमें से कोई भी भाजक $a$ से बड़ा नहीं हो सकता है। इसका मतलब यह है कि इन भाजक में सबसे बड़ा एक है, जिसे संख्याओं $a$ और $b$ का सबसे बड़ा सामान्य भाजक कहा जाता है, और इसे दर्शाने के लिए संकेतन का उपयोग किया जाता है:

$gcd \ (a;b) \ ​​या \ D \ (a;b)$

दो संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक ज्ञात करना:

1. चरण 2 में पाई गई संख्याओं का गुणनफल ज्ञात कीजिए। परिणामी संख्या वांछित सबसे बड़ा सामान्य भाजक होगी।

उदाहरण 1

$121$ और $132 की संख्याओं का gcd ज्ञात कीजिए।$

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

उन संख्याओं को चुनिए जो इन संख्याओं के विस्तार में शामिल हैं

$242=2\cdot 11\cdot 11$

$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

चरण 2 में पाई गई संख्याओं का गुणनफल ज्ञात कीजिए। परिणामी संख्या वांछित सबसे बड़ा सामान्य भाजक होगी।

$gcd=2\cdot 11=22$

उदाहरण 2

एकपदी $63$ और $81$ की GCD ज्ञात कीजिए।

हम प्रस्तुत एल्गोरिथम के अनुसार पाएंगे। इसके लिए:

आइए संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करें

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

हम उन संख्याओं का चयन करते हैं जो इन संख्याओं के विस्तार में शामिल हैं

$63=3\cdot 3\cdot 7$

$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

आइए चरण 2 में पाई गई संख्याओं का गुणनफल ज्ञात करें। परिणामी संख्या वांछित सबसे बड़ा सामान्य भाजक होगी।

$gcd=3\cdot 3=9$

आप संख्याओं के भाजक के सेट का उपयोग करके दो संख्याओं का GCD दूसरे तरीके से पा सकते हैं।

उदाहरण 3

$48$ और $60$ की संख्याओं का gcd ज्ञात कीजिए।

समाधान:

$48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$ के भाजक का सेट खोजें

अब $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\right\) $

आइए इन सेटों के प्रतिच्छेदन का पता लगाएं: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - यह सेट $48$ और $60 की संख्या के सामान्य भाजक के सेट को निर्धारित करेगा $. इस सेट में सबसे बड़ा तत्व $12$ की संख्या होगी। तो $48$ और $60$ का सबसे बड़ा सामान्य भाजक $12$ है।

एनओसी . की परिभाषा

परिभाषा 3

प्राकृत संख्याओं का सार्व गुणज$a$ और $b$ एक प्राकृत संख्या है जो $a$ और $b$ दोनों का गुणज है।

संख्याओं के सामान्य गुणज वे संख्याएँ होती हैं जो बिना किसी शेष के मूल से विभाज्य होती हैं। उदाहरण के लिए, $25$ और $50$ की संख्याओं के लिए, सामान्य गुणक संख्याएँ $50,100,150,200$, आदि होंगी।

कम से कम सामान्य गुणक को सबसे छोटा सामान्य गुणक कहा जाएगा और इसे LCM$(a;b)$ या K$(a;b)$ द्वारा दर्शाया जाएगा।

दो संख्याओं का LCM ज्ञात करने के लिए, आपको चाहिए:

1. संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करें
2. उन कारकों को लिखिए जो पहली संख्या का भाग हैं और उनमें उन गुणनखंडों को जोड़ें जो दूसरी संख्या का भाग हैं और पहली संख्या में नहीं जाते हैं।

उदाहरण 4

$99$ और $77$ की संख्याओं का LCM ज्ञात कीजिए।

हम प्रस्तुत एल्गोरिथम के अनुसार पाएंगे। इसके लिए

संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में विघटित करें

$99=3\cdot 3\cdot 11$

पहले में शामिल कारकों को लिखिए

उन कारकों में जोड़ें जो दूसरे का हिस्सा हैं और पहले पर नहीं जाते हैं

चरण 2 में पाई गई संख्याओं का गुणनफल ज्ञात कीजिए। परिणामी संख्या वांछित लघुत्तम समापवर्त्य होगी

$LCC=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

संख्याओं के भाजक की सूची संकलित करने में अक्सर बहुत समय लगता है। जीसीडी खोजने का एक तरीका है जिसे यूक्लिड का एल्गोरिदम कहा जाता है।

वे कथन जिन पर यूक्लिड का एल्गोरिथम आधारित है:

यदि $a$ और $b$ प्राकृत संख्याएँ हैं, और $a\vdots b$, तो $D(a;b)=b$

यदि $a$ और $b$ ऐसी प्राकृत संख्याएँ हैं कि $b

$D(a;b)= D(a-b;b)$ का उपयोग करके, हम विचाराधीन संख्याओं को क्रमिक रूप से कम कर सकते हैं जब तक कि हम संख्याओं की एक जोड़ी तक नहीं पहुंच जाते हैं, जैसे कि उनमें से एक दूसरे से विभाज्य है। फिर इन संख्याओं में से छोटी संख्या $a$ और $b$ के लिए वांछित सबसे बड़ा सामान्य भाजक होगा।

GCD और LCM के गुण

1. $a$ और $b$ का कोई भी सामान्य गुणक K$(a;b)$ . से विभाज्य है
2. अगर $a\vdots b$ , तो K$(a;b)=a$

यदि K$(a;b)=k$ और $m$-प्राकृतिक संख्या है, तो K$(am;bm)=km$

यदि $d$ $a$ और $b$ के लिए एक सामान्य भाजक है, तो K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d) ) $

यदि $a\vdots c$ और $b\vdots c$ , तो $\frac(ab)(c)$ $a$ और $b$ का एक सामान्य गुणज है

किसी भी प्राकृतिक संख्या $a$ और $b$ के लिए समानता

$D(a;b)\cdot K(a;b)=ab$

$a$ और $b$ का कोई भी सामान्य भाजक $D(a;b)$ . का भाजक है

दो संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक सीधे उन संख्याओं के सबसे बड़े उभयनिष्ठ भाजक से संबंधित होता है। इस जीसीडी और एनओसी के बीच लिंकनिम्नलिखित प्रमेय द्वारा परिभाषित किया गया है।

प्रमेय।

दो धनात्मक पूर्णांकों a और b का लघुत्तम समापवर्तक संख्याओं a और b के गुणनफल के बराबर होता है, जो संख्याओं a और b के सबसे बड़े उभयनिष्ठ भाजक से विभाजित होता है, अर्थात, एलसीएम (ए, बी) = ए बी: जीसीएम (ए, बी).

सबूत।

होने देना M, संख्या a और b का कुछ गुणज है। अर्थात्, M, a से विभाज्य है, और विभाज्यता की परिभाषा के अनुसार, कुछ पूर्णांक k ऐसा है कि समानता M=a·k सत्य है। लेकिन M भी b से विभाज्य है, तो k, b से विभाज्य है।

gcd(a, b) को d के रूप में निरूपित करें। तब हम समानताएं लिख सकते हैं a=a 1 ·d और b=b 1 ·d, और a 1 =a:d और b 1 =b:d सहअभाज्य संख्याएं होंगी। इसलिए, पिछले पैराग्राफ में प्राप्त शर्त यह है कि a k, b से विभाज्य है, को निम्नानुसार सुधारा जा सकता है: a 1 d k, b 1 d से विभाज्य है, और यह, विभाज्यता के गुणों के कारण, इस शर्त के बराबर है कि a 1 k b एक से विभाज्य है।

हमें विचाराधीन प्रमेय से दो महत्वपूर्ण उपफलों को भी लिखने की आवश्यकता है।

दो संख्याओं के सार्व गुणज उनके लघुत्तम समापवर्त्य के गुणजों के समान होते हैं।

यह सच है, क्योंकि एम संख्या ए और बी के किसी भी सामान्य गुणक को समानता एम = एलसीएम (ए, बी) टी द्वारा कुछ पूर्णांक मान टी के लिए परिभाषित किया जाता है।

सहअभाज्य धनात्मक संख्याओं a और b का लघुत्तम समापवर्त्य उनके गुणनफल के बराबर होता है।

इस तथ्य का औचित्य बिल्कुल स्पष्ट है। चूँकि a और b सहअभाज्य हैं, तो gcd(a, b)=1 इसलिए, LCM(a, b)=a b: GCD(a, b)=a b:1=a b.

तीन या अधिक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य

तीन या अधिक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य ज्ञात करना दो संख्याओं का LCM क्रमिक रूप से ज्ञात करने के लिए घटाया जा सकता है। यह कैसे किया जाता है, यह निम्नलिखित प्रमेय में दर्शाया गया है: a 1, a 2, ..., k, m k-1 और k के सामान्य गुणकों के साथ मेल खाता है, इसलिए, m k के गुणकों के साथ मेल खाता है। और चूँकि संख्या m k का लघुत्तम धनात्मक गुणज संख्या m k ही है, तो a 1 , a 2 , …, a k का लघुत्तम समापवर्तक m k है।

ग्रंथ सूची।

• विलेनकिन एन.वाई.ए. आदि गणित। ग्रेड 6: शिक्षण संस्थानों के लिए पाठ्यपुस्तक।
• विनोग्रादोव आई.एम. संख्या सिद्धांत की मूल बातें।
• मिखेलोविच श.ख. संख्या सिद्धांत।
• कुलिकोव एल.वाई.ए. और अन्य। बीजगणित और संख्या सिद्धांत में समस्याओं का संग्रह: फ़िज़-मैट के छात्रों के लिए पाठ्यपुस्तक। शैक्षणिक संस्थानों की विशेषता।

परिभाषा।वह सबसे बड़ी प्राकृत संख्या जिससे a और b शेषफल के बिना विभाज्य हैं, कहलाती हैं सबसे बड़ा सामान्य भाजक (जीसीडी)ये नंबर।

आइए संख्या 24 और 35 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक ज्ञात करें।
24 के भाजक संख्या 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 और 35 के भाजक संख्या 1, 5, 7, 35 होंगे।
हम देखते हैं कि संख्याएँ 24 और 35 का केवल एक उभयनिष्ठ भाजक है - संख्या 1. ऐसी संख्याएँ कहलाती हैं सह अभाज्य.

परिभाषा।प्राकृत संख्याएँ कहलाती हैं सह अभाज्ययदि उनका सबसे बड़ा सामान्य भाजक (gcd) 1 है।

सबसे बड़ा सामान्य भाजक (जीसीडी)दी गई संख्याओं के सभी भाजक को लिखे बिना पाया जा सकता है।

संख्या 48 और 36 का गुणनखंडन करने पर, हम प्राप्त करते हैं:
48 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3, 36 = 2 * 2 * 3 * 3.
इनमें से पहली संख्या के विस्तार में शामिल कारकों में से, हम उन संख्याओं को हटा देते हैं जो दूसरी संख्या (यानी, दो ड्यूस) के विस्तार में शामिल नहीं हैं।
गुणनखंड 2*2*3 रहता है। उनका गुणनफल 12 होता है। यह संख्या 48 और 36 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक है। तीन या अधिक संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक भी पाया जाता है।

ढूँढ़ने के लिए महत्तम सामान्य भाजक

2) इनमें से किसी एक संख्या के विस्तार में शामिल कारकों में से, उन संख्याओं को काट दें जो अन्य संख्याओं के विस्तार में शामिल नहीं हैं;
3) शेष कारकों का गुणनफल ज्ञात कीजिए।

यदि दी गई सभी संख्याएँ उनमें से किसी एक से विभाज्य हैं, तो यह संख्या है महत्तम सामान्य भाजकदिए गए नंबर।
उदाहरण के लिए, 15, 45, 75 और 180 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक 15 है, क्योंकि यह अन्य सभी संख्याओं को विभाजित करता है: 45, 75 और 180।

कम से कम सामान्य एकाधिक (एलसीएम)

परिभाषा। कम से कम सामान्य एकाधिक (एलसीएम)प्राकृत संख्याएँ a और b सबसे छोटी प्राकृत संख्या है जो a और b दोनों का गुणज है। 75 और 60 की संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक (LCM) इन संख्याओं के गुणजों को एक पंक्ति में लिखे बिना पाया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, हम 75 और 60 को सरल कारकों में विघटित करते हैं: 75 \u003d 3 * 5 * 5, और 60 \u003d 2 * 2 * 3 * 5।
आइए इनमें से पहली संख्या के विस्तार में शामिल कारकों को लिखें, और उनमें दूसरी संख्या के विस्तार से लुप्त गुणनखंड 2 और 2 जोड़ें (अर्थात, हम कारकों को जोड़ते हैं)।
हमें पाँच गुणनखंड 2*2*3*5*5 प्राप्त होते हैं, जिनका गुणनफल 300 होता है। यह संख्या 75 और 60 की संख्याओं का सबसे छोटा समापवर्तक है।

तीन या अधिक संख्याओं का लघुत्तम समापवर्तक भी ज्ञात कीजिए।

प्रति कम से कम सामान्य गुणक खोजेंकई प्राकृतिक संख्याएँ, आपको चाहिए:
1) उन्हें प्रमुख कारकों में विघटित करें;
2) किसी एक संख्या के विस्तार में शामिल कारकों को लिखिए;
3) उनमें शेष संख्याओं के प्रसार से लुप्त गुणनखंडों को जोड़ें;
4) परिणामी कारकों के उत्पाद का पता लगाएं।

ध्यान दें कि यदि इनमें से एक संख्या अन्य सभी संख्याओं से विभाज्य है, तो यह संख्या इन संख्याओं में सबसे छोटी सामान्य गुणज है।
उदाहरण के लिए, 12, 15, 20 और 60 का सबसे छोटा सामान्य गुणक 60 होगा, क्योंकि यह सभी दी गई संख्याओं से विभाज्य है।

पाइथागोरस (छठी शताब्दी ईसा पूर्व) और उनके छात्रों ने संख्याओं की विभाज्यता के मुद्दे का अध्ययन किया। एक संख्या जो अपने सभी भाजक के योग के बराबर होती है (बिना संख्या के), वे पूर्ण संख्या कहलाती हैं। उदाहरण के लिए, संख्याएँ 6 (6 = 1 + 2 + 3), 28 (28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14) पूर्ण हैं। अगली पूर्ण संख्याएँ 496, 8128, 33,550,336 हैं। पाइथागोरस केवल पहली तीन पूर्ण संख्याएँ जानते थे। चौथा - 8128 - पहली शताब्दी में ज्ञात हुआ। एन। इ। पांचवां - 33 550 336 - 15वीं शताब्दी में पाया गया था। 1983 तक, 27 पूर्ण संख्याएँ पहले से ही ज्ञात थीं। लेकिन अब तक, वैज्ञानिक यह नहीं जानते हैं कि क्या विषम पूर्ण संख्याएँ होती हैं, क्या सबसे बड़ी पूर्ण संख्या होती है।
अभाज्य संख्याओं में प्राचीन गणितज्ञों की रुचि इस तथ्य के कारण है कि कोई भी संख्या या तो अभाज्य होती है या उसे अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में दर्शाया जा सकता है, अर्थात अभाज्य संख्याएँ ईंटों की तरह होती हैं जिनसे शेष प्राकृतिक संख्याएँ बनती हैं।
आपने शायद ध्यान दिया होगा कि प्राकृत संख्याओं की श्रृंखला में अभाज्य संख्याएँ असमान रूप से आती हैं - श्रृंखला के कुछ हिस्सों में उनमें से अधिक होती हैं, अन्य में - कम। लेकिन हम संख्या श्रृंखला के साथ जितना आगे बढ़ते हैं, अभाज्य संख्याएँ उतनी ही दुर्लभ होती हैं। प्रश्न उठता है: क्या अंतिम (सबसे बड़ी) अभाज्य संख्या मौजूद है? प्राचीन यूनानी गणितज्ञ यूक्लिड (तीसरी शताब्दी ईसा पूर्व), अपनी पुस्तक "बिगिनिंग्स" में, जो दो हजार वर्षों तक गणित की मुख्य पाठ्यपुस्तक थी, ने साबित किया कि असीम रूप से कई अभाज्य संख्याएँ हैं, अर्थात प्रत्येक अभाज्य संख्या के पीछे एक सम है। अधिक अभाज्य संख्या।
अभाज्य संख्याएँ ज्ञात करने के लिए, उसी समय के एक अन्य यूनानी गणितज्ञ एराटोस्थनीज ने ऐसी विधि का आविष्कार किया। उसने 1 से लेकर किसी संख्या तक की सभी संख्याओं को लिख दिया, और फिर उस इकाई को काट दिया, जो न तो अभाज्य है और न ही भाज्य संख्या है, फिर 2 के बाद सभी संख्याओं में से एक को काट दिया (वे संख्याएँ जो 2 के गुणज हैं, अर्थात 4, 6, 8, आदि)। 2 के बाद पहली शेष संख्या 3 थी। फिर, दो के बाद, 3 के बाद की सभी संख्याओं को काट दिया गया (वे संख्याएँ जो 3 के गुणज हैं, अर्थात 6, 9, 12, आदि)। अंत में, केवल अभाज्य संख्याएँ ही बिना क्रॉस के रह गईं।