अक्सर उन समस्याओं को हल करना आवश्यक होता है जिनमें उन मानों के सेट से सबसे बड़ा या सबसे छोटा मान खोजना आवश्यक होता है जो एक फ़ंक्शन किसी सेगमेंट पर लेता है।
आइए, उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन f (x) \u003d 1 + 2x 2 - x 4 के खंड [-1; 2]. किसी फ़ंक्शन के साथ काम करने के लिए, हमें इसका ग्राफ तैयार करना होगा।
निर्मित ग्राफ से यह देखा जा सकता है कि फ़ंक्शन इस सेगमेंट पर सबसे बड़ा मान लेता है, 2 के बराबर, बिंदुओं पर: x = -1 और x = 1; -7 के बराबर सबसे छोटा मान, फ़ंक्शन x = 2 लेता है।
बिंदु x \u003d 0 फ़ंक्शन f (x) \u003d 1 + 2x 2 - x 4 का न्यूनतम बिंदु है। इसका मतलब है कि बिंदु x \u003d 0 का एक पड़ोस है, उदाहरण के लिए, अंतराल (-1/2; 1/2) - जैसे कि इस पड़ोस में फ़ंक्शन x \u003d 0 पर सबसे छोटा मान लेता है। हालाँकि, एक बड़े अंतराल पर, उदाहरण के लिए, खंड पर [-एक; 2], फ़ंक्शन सेगमेंट के अंत में सबसे छोटा मान लेता है, न कि न्यूनतम बिंदु पर।
इस प्रकार, किसी निश्चित खंड पर किसी फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान खोजने के लिए, खंड के सिरों पर और न्यूनतम बिंदुओं पर इसके मूल्यों की तुलना करना आवश्यक है।
सामान्य तौर पर, मान लीजिए कि फलन f(x) एक खंड पर निरंतर है और इस खंड के प्रत्येक आंतरिक बिंदु पर फलन का व्युत्पन्न है।
किसी खंड पर किसी फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों को खोजने के लिए, यह आवश्यक है:
1) खंड के सिरों पर फ़ंक्शन के मान ज्ञात करें, अर्थात। संख्याएं एफ (ए) और एफ (बी);
2) अंतराल (ए; बी) से संबंधित स्थिर बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान ढूंढें;
3) पाए गए मानों में से सबसे बड़ा और सबसे छोटा चुनें।
आइए अर्जित ज्ञान को व्यवहार में लागू करें और समस्या पर विचार करें।
खंड पर फ़ंक्शन f (x) \u003d x 3 + x / 3 के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान खोजें।
समाधान।
1) f(1/2) = 6 1/8, f(2) = 9 1/2।
2) f´(x) \u003d 3x 2 - 3 / x 2 \u003d (3x 4 - 3) / x 2, 3x 4 - 3 \u003d 0; एक्स 1 = 1, एक्स 2 = -1।
अंतराल (1/2; 2) में एक स्थिर बिंदु x 1 = 1, f(1) = 4 होता है।
3) संख्या 6 1/8, 9 1/2 और 4 में से सबसे बड़ी संख्या 9 1/2 है, सबसे छोटी संख्या 4 है।
उत्तर। सबसे बड़ा फीचर वैल्यू 9½ है, सबसे छोटा फीचर वैल्यू 4 है।
अक्सर, समस्याओं को हल करते समय, किसी खंड पर नहीं, बल्कि अंतराल पर किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान खोजना आवश्यक होता है।
व्यावहारिक समस्याओं में, फ़ंक्शन f(x) में आमतौर पर दिए गए अंतराल पर केवल एक स्थिर बिंदु होता है: या तो अधिकतम बिंदु या न्यूनतम बिंदु। इन मामलों में, फ़ंक्शन f(x) किसी दिए गए अंतराल में अधिकतम बिंदु पर सबसे बड़ा मान लेता है, और न्यूनतम बिंदु पर, इस अंतराल में सबसे छोटा मान लेता है। आइए समस्या की ओर मुड़ें।
संख्या 36 को दो धनात्मक संख्याओं के गुणनफल के रूप में लिखा जाता है, जिनका योग सबसे छोटा होता है।
समाधान।
1) मान लीजिए कि पहला गुणनखंड x है, तो दूसरा गुणनखंड 36/x है।
2) इन संख्याओं का योग x + 36/x है।
3) समस्या की स्थितियों के अनुसार, x एक धनात्मक संख्या है। तो, x के मान को खोजने के लिए समस्या कम हो जाती है - जैसे कि फ़ंक्शन f (x) \u003d x + 36 / x अंतराल x> 0 पर सबसे छोटा मान लेता है।
4) व्युत्पन्न खोजें: f´(x) \u003d 1 - 36 / x 2 \u003d ((x + 6) (x - 6)) / x 2.
5) स्थिर बिंदु x 1 = 6, x 2 = -6। अंतराल x> 0 पर, केवल एक स्थिर बिंदु x = 6 है। बिंदु x = 6 से गुजरने पर, व्युत्पन्न "+" पर हस्ताक्षर करने के लिए "-" का संकेत देता है, और इसलिए x = 6 न्यूनतम बिंदु है। नतीजतन, फलन f(x) = x + 36/x अंतराल x> 0 पर बिंदु x = 6 पर सबसे छोटा मान लेता है (यह मान f(6) = 12 है)।
उत्तर। 36 = 6 6.
कुछ समस्याओं को हल करते समय जहां किसी फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों को खोजना आवश्यक होता है, निम्नलिखित कथन का उपयोग करना उपयोगी होता है:
यदि कुछ अंतराल पर फ़ंक्शन f(x) के मान गैर-ऋणात्मक हैं, तो यह फ़ंक्शन और फ़ंक्शन (f(x)) n, जहां n एक प्राकृतिक संख्या है, सबसे बड़ा (सबसे छोटा) मान लें एक ही बिंदु।
साइट, सामग्री की पूर्ण या आंशिक प्रतिलिपि के साथ, स्रोत के लिए एक लिंक आवश्यक है।
इस तरह का एक छोटा और सरल कार्य जो तैरते हुए छात्र के लिए जीवन रेखा के रूप में कार्य करता है। प्रकृति में, मध्य जुलाई की नींद का क्षेत्र, इसलिए समुद्र तट पर एक लैपटॉप के साथ बसने का समय आ गया है। सुबह-सुबह, सिद्धांत का एक सनबीम जल्द ही अभ्यास पर ध्यान केंद्रित करने के लिए खेला जाता है, जो घोषित हल्केपन के बावजूद, रेत में कांच के टुकड़े होते हैं। इस संबंध में, मैं अनुशंसा करता हूं कि इस पृष्ठ के कुछ उदाहरणों पर ईमानदारी से विचार करें। व्यावहारिक कार्यों को हल करने के लिए, आपको सक्षम होने की आवश्यकता है डेरिवेटिव खोजेंऔर लेख की सामग्री को समझें एक समारोह के एकरसता और एक्स्ट्रेमा के अंतराल.
सबसे पहले, संक्षेप में मुख्य बात के बारे में। . के बारे में एक पाठ में कार्य निरंतरतामैंने एक बिंदु पर निरंतरता और एक अंतराल पर निरंतरता की परिभाषा दी। किसी खंड पर किसी फ़ंक्शन का अनुकरणीय व्यवहार उसी तरह तैयार किया जाता है। एक खंड पर एक फ़ंक्शन निरंतर है यदि:
1) यह अंतराल पर निरंतर है;
2) एक बिंदु पर निरंतर दायी ओरऔर बिंदु पर बाएं.
दूसरा पैराग्राफ तथाकथित से संबंधित है एकतरफा निरंतरताएक बिंदु पर कार्य करता है। इसकी परिभाषा के लिए कई दृष्टिकोण हैं, लेकिन मैं पहले से शुरू की गई पंक्ति पर कायम रहूंगा:
फ़ंक्शन एक बिंदु पर निरंतर है दायी ओर, यदि इसे किसी दिए गए बिंदु पर परिभाषित किया गया है और इसकी दाहिनी ओर सीमा किसी दिए गए बिंदु पर फ़ंक्शन के मान से मेल खाती है: 
. यह बिंदु पर निरंतर है बाएं, यदि किसी दिए गए बिंदु पर परिभाषित किया गया है और इसकी बाईं ओर की सीमा उस बिंदु पर मान के बराबर है: 
कल्पना कीजिए कि हरे रंग के बिंदु नाखून हैं जिन पर जादू रबर बैंड जुड़ा हुआ है:
लाल रेखा को मानसिक रूप से अपने हाथों में लें। जाहिर है, हम ग्राफ को ऊपर और नीचे (अक्ष के साथ) कितनी भी दूर तक क्यों न खींचे, फ़ंक्शन अभी भी बना रहेगा सीमित- ऊपर एक हेज, नीचे एक हेज, और हमारा उत्पाद एक पैडॉक में चरता है। इस तरह, एक खंड पर निरंतर एक फ़ंक्शन उस पर बंधा होता है. गणितीय विश्लेषण के दौरान, यह प्रतीत होता है कि सरल तथ्य कहा गया है और सख्ती से साबित हुआ है वीयरस्ट्रैस का पहला प्रमेय।... बहुत से लोग इस बात से नाराज़ हैं कि गणित में प्रारंभिक कथनों को थकाऊ रूप से प्रमाणित किया जाता है, लेकिन इसका एक महत्वपूर्ण अर्थ है। मान लीजिए कि टेरी मध्य युग के एक निश्चित निवासी ने दृश्यता की सीमा से परे आकाश में ग्राफ़ खींच लिया, इसे डाला गया था। दूरबीन के आविष्कार से पहले, अंतरिक्ष में सीमित कार्य बिल्कुल स्पष्ट नहीं था! वास्तव में, आप कैसे जानते हैं कि क्षितिज से परे हमारा क्या इंतजार है? आखिरकार, कभी पृथ्वी को समतल माना जाता था, इसलिए आज साधारण टेलीपोर्टेशन के लिए भी प्रमाण की आवश्यकता होती है =)
के अनुसार दूसरा वीयरस्ट्रैस प्रमेय, खंड पर निरंतरसमारोह अपने तक पहुँच जाता है सटीक शीर्ष किनारेऔर उसका सटीक निचला किनारा .
नंबर भी कहा जाता है खंड पर फ़ंक्शन का अधिकतम मानऔर द्वारा दर्शाया गया है, और संख्या - खंड पर फ़ंक्शन का न्यूनतम माननोटिस के साथ।
हमारे मामले में: 
टिप्पणी
: सिद्धांत रूप में, रिकॉर्ड आम हैं 
.
मोटे तौर पर, सबसे बड़ा मान वहां स्थित होता है जहां ग्राफ़ का उच्चतम बिंदु होता है, और सबसे छोटा - जहां निम्नतम बिंदु होता है।
महत्वपूर्ण!जैसा कि पहले ही लेख में बताया जा चुका है समारोह की चरम सीमा, समारोह का सबसे बड़ा मूल्यतथा सबसे छोटा फ़ंक्शन मान – एक ही नहीं, क्या फ़ंक्शन अधिकतमतथा कार्य न्यूनतम. तो, इस उदाहरण में, संख्या फ़ंक्शन का न्यूनतम है, लेकिन न्यूनतम मान नहीं है।
वैसे, सेगमेंट के बाहर क्या होता है? हां, बाढ़ भी, विचाराधीन समस्या के संदर्भ में, यह हमें बिल्कुल भी रूचि नहीं देता है। कार्य में केवल दो नंबर ढूंढना शामिल है 
और बस!
इसके अलावा, समाधान विशुद्ध रूप से विश्लेषणात्मक है, इसलिए, आकर्षित करने की आवश्यकता नहीं है!
एल्गोरिथ्म सतह पर स्थित है और उपरोक्त आकृति से खुद को सुझाता है:
1) में फ़ंक्शन मान खोजें महत्वपूर्ण बिंदु, जो इस खंड से संबंधित हैं.
एक और गुडी पकड़ो: एक चरम के लिए पर्याप्त स्थिति की जांच करने की कोई आवश्यकता नहीं है, जैसा कि अभी दिखाया गया है, न्यूनतम या अधिकतम की उपस्थिति अभी तक गारंटी नहींन्यूनतम या अधिकतम मूल्य क्या है। प्रदर्शन फ़ंक्शन अपने अधिकतम तक पहुँच जाता है और, भाग्य की इच्छा से, वही संख्या अंतराल पर फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान है। लेकिन, निश्चित रूप से, ऐसा संयोग हमेशा नहीं होता है।
इसलिए, पहले चरण में, खंड से संबंधित महत्वपूर्ण बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मूल्यों की गणना करना तेज़ और आसान है, बिना इस बात की परवाह किए कि उनके पास एक्स्ट्रेमा है या नहीं।
2) हम खंड के सिरों पर फ़ंक्शन के मूल्यों की गणना करते हैं।
3) पहले और दूसरे पैराग्राफ में पाए जाने वाले फंक्शन के मूल्यों में से सबसे छोटी और सबसे बड़ी संख्या का चयन करें, उत्तर लिखें।
हम नीले समुद्र के तट पर बैठते हैं और उथले पानी में एड़ी मारते हैं:
उदाहरण 1
किसी खंड पर किसी फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान ज्ञात करें
समाधान:
1) इस खंड से संबंधित महत्वपूर्ण बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मूल्यों की गणना करें:
आइए हम दूसरे महत्वपूर्ण बिंदु पर फ़ंक्शन के मान की गणना करें:
2) खंड के सिरों पर फ़ंक्शन के मानों की गणना करें: 
3) "बोल्ड" परिणाम घातांक और लघुगणक के साथ प्राप्त किए गए थे, जो उनकी तुलना को काफी जटिल करता है। इस कारण से, हम अपने आप को एक कैलकुलेटर या एक्सेल से लैस करेंगे और अनुमानित मूल्यों की गणना करेंगे, यह न भूलें: 
अब सब कुछ स्पष्ट है।
उत्तर:
स्वतंत्र समाधान के लिए आंशिक-तर्कसंगत उदाहरण:
उदाहरण 6
किसी खंड पर किसी फ़ंक्शन के अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात करें
विकल्प 1। पर
1. एक फ़ंक्शन का ग्राफ वाई =एफ(एक्स) चित्र में दिखाया गया है।
इस फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान निर्दिष्ट करें 1
खंड पर [ एक; बी]. एक 0 1 बी एक्स
1) 2,5; 2) 3; 3) 4; 4) 2.
https://pandia.ru/text/78/524/images/image003_127.gif" width="242" height="133 src="> 1) -4; 2) -2; 3) 4; 4) 2.
4. कार्य वाई =एफ(एक्स) खंड पर सेट करें [ एक; बी]. पर
आंकड़ा इसके व्युत्पन्न का एक ग्राफ दिखाता है
वाई =एफ ´(एक्स). चरम सीमाओं के लिए अन्वेषण करें 1 बी
समारोह वाई =एफ(एक्स). कृपया अपने उत्तर में मात्रा का उल्लेख करें। एक 0 1 एक्स
न्यूनतम अंक।
1) 6; 2) 7; 3) 4;
5. किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान ज्ञात करें वाई \u003d -2x2 + 8x -7।
1) -2; 2) 7; 3) 1;
6. किसी फलन का सबसे छोटा मान ज्ञात कीजिए 
खंड पर .
1) https://pandia.ru/text/78/524/images/image005_87.gif" width="17" height="48 src=">.
7. किसी फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान ज्ञात करें वाई =|2x+3| - .
1) - https://pandia.ru/text/78/524/images/image006_79.gif" width="17" height="47"> ; 4) - .
https://pandia.ru/text/78/524/images/image009_67.gif" width="144" height="33 src="> बिंदु पर न्यूनतम है एक्सओ = 1.5?
1) 5; 2) -6; 3) 4; 4) 6.पर
9. फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान निर्दिष्ट करें वाई =एफ(एक्स) ,
1 एक्स
0 1
1) 2,5; 2) 3; 3) -3;
वाई =एलजी(100 – एक्स2 ).
1) 10 ; 2) 100 ; 3) 2 ; 4) 1 .
11. किसी फलन का सबसे छोटा मान ज्ञात कीजिए वाई = 2पाप-1.
1) -1 ; 2) -3 ; 3) -2 ; 4) - .
टेस्ट 14 फ़ंक्शन का सबसे बड़ा (सबसे छोटा) मान।
https://pandia.ru/text/78/524/images/image013_44.gif" width="130" height="115 src=">1. समारोह का ग्राफ वाई =एफ(एक्स) चित्र में दिखाया गया है।
इस फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान निर्दिष्ट करें 1
खंड पर [ एक; बी]. एक बी
0 1 एक्स
1) 0; 2) - 4 ,5; 3) -2; 4) - 3.
 |
2. पर चित्र फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ दिखाता है वाई =एफ(एक्स).
फ़ंक्शन के अधिकतम कितने अंक हैं?
1
0 1 एक्स 1) 5; 2) 6; 3) 4; 4) 1.
3. फ़ंक्शन किस बिंदु पर है वाई \u003d 2x2 + 24x -25सबसे छोटा मान लेता है?
https://pandia.ru/text/78/524/images/image018_37.gif" width="76" height="48"> सेगमेंट पर [-3;-1].
1) - https://pandia.ru/text/78/524/images/image020_37.gif" width="17" height="47 src=">; 2); 4) - 5.
https://pandia.ru/text/78/524/images/image022_35.gif" width="135" height="33 src="> बिंदु पर न्यूनतम है एक्सओ = -2?
; 2) -6;; 4) 6.पर
9. फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान निर्दिष्ट करें वाई =एफ(एक्स) ,
जिसका ग्राफ चित्र में दिखाया गया है। 1 एक्स
0 1
1) -1,5; 2) -1; 3) -3;
10. किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान ज्ञात करें वाई =लकड़ी का लट्ठा11 (121 – एक्स2 ).
1) 11;; 3) 1;
11. किसी फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान ज्ञात करें वाई = 2क्योंकि+3.
1) 5 ; 2) 3 ; 3) 2 ; 4) .
जवाब :
किसी फ़ंक्शन के सबसे बड़े मान को सबसे बड़ा कहा जाता है, सबसे छोटा मान उसके सभी मानों में सबसे छोटा होता है।
एक फ़ंक्शन में केवल एक सबसे बड़ा और केवल एक सबसे छोटा मान हो सकता है, या कोई भी नहीं हो सकता है। निरंतर कार्यों के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों को खोजना इन कार्यों के निम्नलिखित गुणों पर आधारित है:
1) यदि किसी अंतराल (परिमित या अनंत) में फलन y=f(x) निरंतर है और उसका केवल एक चरम है, और यदि यह अधिकतम (न्यूनतम) है, तो यह फलन का सबसे बड़ा (सबसे छोटा) मान होगा इस अंतराल में।
2) यदि फ़ंक्शन f(x) किसी खंड पर निरंतर है, तो यह आवश्यक रूप से इस खंड पर सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान है। ये मान या तो खंड के अंदर स्थित चरम बिंदुओं पर या इस खंड की सीमाओं पर पहुंच जाते हैं।
खंड पर सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान खोजने के लिए, निम्नलिखित योजना का उपयोग करने की अनुशंसा की जाती है:
1. व्युत्पन्न खोजें।
2. फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदु खोजें जहां = 0 या मौजूद नहीं है।
3. महत्वपूर्ण बिंदुओं पर और खंड के सिरों पर फ़ंक्शन के मूल्यों का पता लगाएं और उनमें से सबसे बड़ा f अधिकतम और सबसे छोटा f मिनट चुनें।
लागू समस्याओं को हल करते समय, विशेष रूप से अनुकूलन समस्याओं में, अंतराल X पर किसी फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान (वैश्विक अधिकतम और वैश्विक न्यूनतम) खोजने की समस्याएं महत्वपूर्ण हैं। ऐसी समस्याओं को हल करने के लिए, स्थिति के आधार पर, किसी को चाहिए , एक स्वतंत्र चर चुनें और इस चर के माध्यम से अध्ययन के तहत मूल्य व्यक्त करें। फिर परिणामी फलन का वांछित अधिकतम या न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए। इस मामले में, स्वतंत्र चर के परिवर्तन का अंतराल, जो परिमित या अनंत हो सकता है, समस्या की स्थिति से भी निर्धारित होता है।
उदाहरण।टैंक, जिसमें एक चौकोर तल के साथ एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज का आकार है, शीर्ष पर खुला है, टिन के साथ अंदर टिन किया जाना चाहिए। 108 लीटर की क्षमता वाले टैंक के आयाम क्या होने चाहिए। पानी ताकि इसकी टिनिंग की लागत कम से कम हो?
समाधान।टैंक को टिन से कोटिंग करने की लागत सबसे कम होगी, यदि दी गई क्षमता के लिए, इसकी सतह न्यूनतम है। एक डीएम द्वारा निरूपित करें - आधार की तरफ, बी डीएम - टैंक की ऊंचाई। तब इसकी सतह का क्षेत्रफल S के बराबर है
और 
परिणामी संबंध टैंक एस (फ़ंक्शन) के सतह क्षेत्र और आधार के पक्ष (तर्क) के बीच संबंध स्थापित करता है। हम एक चरम के लिए फ़ंक्शन एस की जांच करते हैं। पहला व्युत्पन्न खोजें, इसे शून्य के बराबर करें और परिणामी समीकरण को हल करें:
अत: a = 6. (a) > 0 a > 6 के लिए, (a)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.
उदाहरण. किसी फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान ज्ञात करें 
के बीच में।
समाधान: निर्दिष्ट फ़ंक्शन संपूर्ण संख्या अक्ष पर निरंतर है। फ़ंक्शन व्युत्पन्न
पर और पर व्युत्पन्न। आइए इन बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मानों की गणना करें:
.
दिए गए अंतराल के सिरों पर फ़ंक्शन मान बराबर होते हैं। इसलिए, फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान पर है, फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान पर है।
आत्मनिरीक्षण के लिए प्रश्न
1. फॉर्म की अनिश्चितताओं के प्रकटीकरण के लिए L'Hopital का नियम तैयार करें। विभिन्न प्रकार की अनिश्चितताओं की सूची बनाइए जिनके लिए L'Hospital के नियम का उपयोग किया जा सकता है।
2. बढ़ते और घटते फलन के संकेत बनाइए।
3. किसी फ़ंक्शन के अधिकतम और न्यूनतम को परिभाषित करें।
4. एक चरम सीमा के अस्तित्व के लिए आवश्यक शर्त तैयार करें।
5. तर्क के किन मूल्यों (किस बिंदु) को आलोचनात्मक कहा जाता है? इन बिंदुओं को कैसे खोजें?
6. किसी फलन के चरम के अस्तित्व के पर्याप्त संकेत क्या हैं? पहले व्युत्पन्न का उपयोग करके एक चरम के लिए एक फ़ंक्शन का अध्ययन करने के लिए एक योजना की रूपरेखा तैयार करें।
7. द्वितीय अवकलज का प्रयोग करते हुए एक चरम के फलन का अध्ययन करने की योजना की रूपरेखा तैयार कीजिए।
8. वक्र की उत्तलता, अवतलता को परिभाषित कीजिए।
9. फ़ंक्शन ग्राफ़ का विभक्ति बिंदु क्या है? निर्दिष्ट करें कि इन बिंदुओं को कैसे खोजें।
10. दिए गए खण्ड पर वक्र की उत्तलता और अवतलता के आवश्यक और पर्याप्त चिह्न बनाइए।
11. वक्र के स्पर्शोन्मुख को परिभाषित करें। फ़ंक्शन ग्राफ़ के लंबवत, क्षैतिज और तिरछे स्पर्शोन्मुख कैसे खोजें?
12. किसी फलन पर शोध करने और उसका आलेख बनाने की सामान्य योजना की रूपरेखा तैयार कीजिए।
13. दिए गए अंतराल पर किसी फलन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान ज्ञात करने के लिए एक नियम बनाइए।
जुलाई 2020 में, नासा ने मंगल पर एक अभियान शुरू किया। अंतरिक्ष यान अभियान के सभी पंजीकृत सदस्यों के नामों के साथ एक इलेक्ट्रॉनिक वाहक मंगल पर पहुंचाएगा।
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तथाया टैग के ठीक बाद . पहले विकल्प के अनुसार, MathJax तेजी से लोड होता है और पृष्ठ को कम धीमा करता है। लेकिन दूसरा विकल्प स्वचालित रूप से MathJax के नवीनतम संस्करणों को ट्रैक और लोड करता है। यदि आप पहला कोड डालते हैं, तो इसे समय-समय पर अपडेट करने की आवश्यकता होगी। यदि आप दूसरा कोड पेस्ट करते हैं, तो पेज अधिक धीरे लोड होंगे, लेकिन आपको लगातार MathJax अपडेट की निगरानी करने की आवश्यकता नहीं होगी।मैथजैक्स को कनेक्ट करने का सबसे आसान तरीका ब्लॉगर या वर्डप्रेस में है: साइट कंट्रोल पैनल में, थर्ड-पार्टी जावास्क्रिप्ट कोड डालने के लिए डिज़ाइन किया गया विजेट जोड़ें, इसमें ऊपर लोड कोड के पहले या दूसरे संस्करण को कॉपी करें, और विजेट को करीब रखें टेम्पलेट की शुरुआत (वैसे, यह बिल्कुल भी आवश्यक नहीं है, क्योंकि MathJax स्क्रिप्ट को एसिंक्रोनस रूप से लोड किया गया है)। बस इतना ही। अब MathML, LaTeX, और ASCIIMathML मार्कअप सिंटैक्स सीखें और आप अपने वेब पेजों में गणित के फ़ार्मुलों को एम्बेड करने के लिए तैयार हैं।
एक और नए साल की पूर्व संध्या ... ठंढा मौसम और खिड़की के शीशे पर बर्फ के टुकड़े ... इस सब ने मुझे फिर से लिखने के लिए प्रेरित किया ... भग्न, और वोल्फ्राम अल्फा इसके बारे में क्या जानता है। इस अवसर पर एक दिलचस्प लेख है जिसमें द्वि-आयामी भग्न संरचनाओं के उदाहरण हैं। यहां हम त्रि-आयामी फ्रैक्टल के अधिक जटिल उदाहरणों पर विचार करेंगे।
एक फ्रैक्टल को एक ज्यामितीय आकृति या शरीर (जिसका अर्थ है कि दोनों एक सेट हैं, इस मामले में, बिंदुओं का एक सेट) के रूप में दृश्यमान रूप से प्रतिनिधित्व (वर्णित) किया जा सकता है, जिसके विवरण मूल आकृति के समान आकार के होते हैं। यानी यह एक स्व-समान संरचना है, जिसके विवरण पर विचार करने पर, हम बिना आवर्धन के समान आकार देखेंगे। जबकि एक साधारण ज्यामितीय आकृति (भग्न नहीं) के मामले में, जब ज़ूम इन किया जाता है, तो हम मूल आकृति की तुलना में सरल आकार वाले विवरण देखेंगे। उदाहरण के लिए, पर्याप्त रूप से उच्च आवर्धन पर, एक दीर्घवृत्त का भाग एक सीधी रेखा खंड जैसा दिखता है। भग्न के साथ ऐसा नहीं होता है: उनमें किसी भी वृद्धि के साथ, हम फिर से वही जटिल आकार देखेंगे, जो प्रत्येक वृद्धि के साथ बार-बार दोहराया जाएगा।
फ्रैक्टल्स के विज्ञान के संस्थापक बेनोइट मंडेलब्रॉट ने अपने लेख फ्रैक्टल्स एंड आर्ट फॉर साइंस में लिखा है: "फ्रैक्टल्स ज्यामितीय आकार होते हैं जो उनके विवरण में जटिल होते हैं क्योंकि वे अपने समग्र रूप में होते हैं। यानी, यदि फ्रैक्टल विल का हिस्सा होगा पूरे के आकार में बड़ा किया जाए, तो यह पूरे जैसा दिखाई देगा, या बिल्कुल, या शायद थोड़ा सा विरूपण के साथ।