संख्या अभाज्य संख्याएँ: इतिहास और तथ्य

प्राकृत संख्याओं को अभाज्य और भाज्य संख्याओं में विभाजित करने का श्रेय प्राचीन यूनानी गणितज्ञ पाइथागोरस को दिया जाता है। और यदि आप पाइथागोरस का अनुसरण करते हैं, तो प्राकृत संख्याओं के समुच्चय को तीन वर्गों में विभाजित किया जा सकता है: (1) - एक संख्या का समुच्चय - एक; (2, 3, 5, 7, 11, 13,) - अभाज्य संख्याओं का एक सेट; (4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15,) - मिश्रित संख्याओं का एक समूह।

दूसरा सेट कई अलग-अलग रहस्यों को छुपाता है। लेकिन पहले, आइए जानें कि प्राइम क्या है। हम "गणितीय विश्वकोश शब्दकोश" खोलते हैं (यू। वी। प्रोखोरोव, प्रकाशन गृह "सोवियत विश्वकोश", 1988) और पढ़ें:

"एक अभाज्य संख्या एक से बड़ा एक धनात्मक पूर्णांक है, जिसमें स्वयं के अलावा कोई अन्य भाजक नहीं है और एक: 2,3,5,7,11,13,

एक अभाज्य संख्या की अवधारणा प्राकृतिक संख्याओं की विभाज्यता के अध्ययन में मौलिक है; अर्थात्, अंकगणित के मुख्य प्रमेय में कहा गया है कि 1 के अलावा किसी भी सकारात्मक पूर्णांक को विशिष्ट रूप से अभाज्य संख्याओं के उत्पाद में विघटित किया जा सकता है (इस मामले में कारकों के क्रम को ध्यान में नहीं रखा जाता है)। अपरिमित रूप से कई अभाज्य संख्याएँ हैं (यूक्लिड की प्रमेय कहलाने वाला यह प्रस्ताव प्राचीन यूनानी गणितज्ञों को ज्ञात था, इसका प्रमाण यूक्लिड के तत्वों की पुस्तक 9 में मिलता है)। पी। डिरिचलेट (1837) ने स्थापित किया कि अंकगणितीय प्रगति में x = 1 के लिए a + bx। , 2, c सहअभाज्य पूर्णांकों a और b के साथ भी अपरिमित रूप से अनेक अभाज्य संख्याएँ हैं।

1 से x तक की अभाज्य संख्याएँ ज्ञात करने के लिए इसे तीसरी शताब्दी से जाना जाता है। ईसा पूर्व एन.एस. एराटोस्थनीज की छलनी विधि। 1 से x तक अभाज्य संख्याओं के अनुक्रम (*) की जांच से पता चलता है कि x बढ़ने के साथ यह औसतन अधिक दुर्लभ हो जाता है। प्राकृतिक संख्याओं की एक श्रृंखला के मनमाने ढंग से लंबे खंड होते हैं, जिनमें से एक भी अभाज्य संख्या नहीं होती है (प्रमेय 4)। इसी समय, ऐसे प्राइम हैं, जिनके बीच का अंतर 2 (तथाकथित जुड़वाँ) के बराबर है। अब तक (1987), निश्चित रूप से, या ऐसे जुड़वा बच्चों की अनंत संख्या ज्ञात नहीं है। प्रथम 11 मिलियन प्राकृत संख्याओं के भीतर अभाज्य संख्याओं की तालिकाएँ बहुत बड़े जुड़वाँ (जैसे 10,006,427 और 10,006,429) दिखाती हैं।

संख्याओं की प्राकृतिक श्रृंखला में अभाज्य संख्याओं के वितरण का पता लगाना संख्या सिद्धांत में एक बहुत ही कठिन कार्य है। इसे एक फ़ंक्शन के स्पर्शोन्मुख व्यवहार के अध्ययन के रूप में प्रस्तुत किया जाता है जो एक सकारात्मक संख्या x से अधिक नहीं होने वाले अभाज्यों की संख्या को दर्शाता है। यूक्लिड के प्रमेय से यह स्पष्ट है कि के लिए। एल. यूलर ने 1737 में जीटा फंक्शन की शुरुआत की।

उन्होंने यह भी साबित किया कि

जहां सभी प्राकृतिक संख्याओं पर योग किया जाता है, और उत्पाद को सभी प्रमुख संख्याओं पर लिया जाता है। यह पहचान और इसके सामान्यीकरण अभाज्य संख्याओं के वितरण के सिद्धांत में एक मौलिक भूमिका निभाते हैं। इससे आगे बढ़ते हुए, एल। यूलर ने साबित किया कि श्रृंखला और उत्पाद प्राइम पी में अलग हो जाते हैं। इसके अलावा, एल. यूलर ने स्थापित किया कि "कई" अभाज्य संख्याएं हैं, क्योंकि

और साथ ही, लगभग सभी प्राकृतिक संख्याएं मिश्रित हैं, क्योंकि पर।

और, किसी के लिए (यानी, एक फ़ंक्शन के रूप में क्या बढ़ता है)। कालानुक्रमिक रूप से, चेबीशेव के प्रमेय को परिष्कृत करने वाला अगला महत्वपूर्ण परिणाम तथाकथित है। अभाज्य संख्याओं के वितरण का स्पर्शोन्मुख नियम (J. Hadamard, 1896, C. La Vallee Poussin, 1896), जिसमें अनुपात की सीमा 1 के बराबर है। इसके बाद, स्पर्शोन्मुख कानून को स्पष्ट करने के लिए गणितज्ञों के महत्वपूर्ण प्रयासों को निर्देशित किया गया। अभाज्य संख्याओं के वितरण का। अभाज्य संख्याओं के वितरण का अध्ययन प्राथमिक विधियों और गणितीय विश्लेषण विधियों दोनों द्वारा किया जाता है।"

लेख में दिए गए कुछ प्रमेयों का प्रमाण देना समझ में आता है।

लेम्मा 1. यदि GCD (a, b) = 1 है, तो ऐसे पूर्णांक x, y मौजूद हैं।

सबूत। मान लीजिए a और b सहअभाज्य संख्याएँ हैं। सभी प्राकृत संख्याओं z के समुच्चय J को रूप में निरूपित करने पर विचार करें और उसमें सबसे छोटी संख्या d चुनें।

आइए हम सिद्ध करें कि a, d से विभाज्य है। आइए शेषफल के साथ a को d से विभाजित करें: और माना। चूंकि, इसका रूप है, इसलिए,

हम देखते है कि।

चूँकि हमने मान लिया था कि d, J में सबसे छोटी संख्या है, इसलिए हमें एक विरोधाभास मिलता है। अत: a, d से विभाज्य है।

आइए हम इसी तरह से साबित करें कि b, d से विभाज्य है। इसलिए, डी = 1। लेम्मा सिद्ध होता है।

प्रमेय 1. यदि संख्याएँ a और b सहअभाज्य हैं और गुणनफल bx, a से विभाज्य है, तो x, a से विभाज्य है।

सबूत 1. हमें यह सिद्ध करना है कि कुल्हाड़ी b से विभाज्य है और gcd (a, b) = 1 है, तो x, b से विभाज्य है।

लेम्मा 1 के अनुसार, x, y ऐसे हैं। तब, स्पष्ट रूप से, b से विभाज्य है।

उपपत्ति 2. सभी प्राकृत संख्याओं z के समुच्चय J पर विचार कीजिए कि zc, b से विभाज्य है। माना d, J की सबसे छोटी संख्या है। इसे देखना आसान है। इसी प्रकार लेम्मा 1 के प्रमाण से यह सिद्ध होता है कि a, d से विभाज्य है और b, d से विभाज्य है।

लेम्मा 2. यदि संख्याएँ q, p1, p2, pn अभाज्य हैं और गुणनफल q से विभाज्य है, तो pi में से एक संख्या q के बराबर है।

सबूत। सबसे पहले, ध्यान दें कि यदि एक अभाज्य संख्या p, q से विभाज्य है, तो p = q। यह तुरंत n = 1 के लिए लेम्मा के दावे को दर्शाता है। n = 2 के लिए यह सीधे प्रमेय 1 का अनुसरण करता है: यदि p1p2 एक अभाज्य q u से विभाज्य है, तो p2 q (अर्थात) से विभाज्य है।

हम n = 3 के प्रमेयिका को इस प्रकार सिद्ध करते हैं। मान लीजिए p1 p2 p3 q से विभाज्य है। यदि р3 = q, तो सब कुछ सिद्ध हो जाता है। यदि, तो प्रमेय 1 के अनुसार, р1 р2 q से विभाज्य है। इस प्रकार, हमने केस n = 3 को पहले से ही मानी गई स्थिति n = 2 में घटा दिया है।

इसी तरह, हम n = 3 से n = 4, फिर n = 5 तक जा सकते हैं, और सामान्य तौर पर, यह मानते हुए कि लेम्मा का दावा सिद्ध हो गया है, हम इसे n = k + 1 के लिए आसानी से साबित कर सकते हैं। यह हमें आश्वस्त करता है कि लेम्मा सभी n के लिए सत्य है।

अंकगणित का मुख्य प्रमेय। प्रत्येक प्राकृत संख्या विशिष्ट रूप से अभाज्य गुणनखंडों में अपघटित होती है।

सबूत। मान लीजिए कि a के दो अभाज्य गुणनखंड हैं:

चूँकि दायाँ पक्ष q1 से विभाज्य है, समानता का बायाँ भाग भी q1 से विभाज्य होना चाहिए। लेम्मा 2 के अनुसार, संख्याओं में से एक q1 के बराबर है। आइए हम समानता के दोनों पक्षों को q1 से रद्द करें।

आइए हम q2 के लिए वही तर्क करें, फिर q3 के लिए, ची के लिए। अंत में, दाईं ओर के सभी कारक रद्द हो जाएंगे और 1 बने रहेंगे। स्वाभाविक रूप से, बाईं ओर एक के अलावा कुछ भी नहीं बचेगा। इससे हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि दो प्रसार और केवल कारकों के क्रम में भिन्न हो सकते हैं। प्रमेय सिद्ध होता है।

यूक्लिड का प्रमेय। प्राइम अंतहीन हैं।

सबूत। मान लीजिए कि अभाज्य संख्याओं की श्रृंखला परिमित है, और अंतिम अभाज्य संख्या को अक्षर N से निरूपित करते हैं। उत्पाद लिखें

आइए इसमें जोड़ते हैं 1. हमें मिलता है:

यह संख्या, एक पूर्णांक होने के कारण, कम से कम एक अभाज्य गुणनखंड होनी चाहिए, अर्थात यह कम से कम एक अभाज्य संख्या से विभाज्य होनी चाहिए। लेकिन सभी अभाज्य संख्याएं, धारणा के अनुसार, N से अधिक नहीं होती हैं, जबकि संख्या M + 1 शेषफल के बिना N से कम या उसके बराबर किसी भी अभाज्य संख्या से विभाज्य नहीं है - हर बार हमें 1 का शेषफल मिलता है। प्रमेय सिद्ध हो जाता है।

प्रमेय 4. अभाज्य संख्याओं के बीच भाज्य संख्याओं के भाग किसी भी लम्बाई के हो सकते हैं। अब हम सिद्ध करेंगे कि श्रृंखला में n क्रमागत भाज्य संख्याएँ होती हैं।

ये संख्याएँ एक के बाद एक प्राकृतिक पंक्ति में सीधे जाती हैं, क्योंकि प्रत्येक अगली संख्या पिछले वाले से 1 अधिक है। यह साबित करना बाकी है कि वे सभी मिश्रित हैं।

पहला नंबर

यहाँ तक कि, चूँकि इसके दोनों पदों में एक गुणनखंड 2 है। और 2 से बड़ी कोई भी सम संख्या भाज्य है।

दूसरी संख्या में दो पद हैं, जिनमें से प्रत्येक 3 का गुणज है। इसका अर्थ है कि यह संख्या संयुक्त है।

इसी तरह, हम यह स्थापित करते हैं कि अगली संख्या 4 का गुणज है, आदि। दूसरे शब्दों में, हमारी श्रृंखला में प्रत्येक संख्या में एक कारक होता है जो एक से और स्वयं से भिन्न होता है; इसलिए यह समग्र है। प्रमेय सिद्ध होता है।

प्रमेयों के प्रमाणों का अध्ययन करने के बाद, हम लेख पर विचार करना जारी रखेंगे। उसके पाठ में, एराटोस्थनीज की चलनी विधि का उल्लेख अभाज्य संख्याओं को खोजने के तरीके के रूप में किया गया था। आइए इसी शब्दकोश से इस पद्धति के बारे में पढ़ें:

"एराटोस्थनीज चलनी - एराटोस्थनीज द्वारा विकसित एक विधि और आपको प्राकृतिक श्रृंखला से मिश्रित संख्याओं को बाहर निकालने की अनुमति देती है। एराटोस्थनीज की छलनी का सार इस प्रकार है। एक को पार किया गया है। नंबर दो सरल है। 2 से विभाज्य सभी प्राकृत संख्याओं को काट दिया जाता है। संख्या 3 - पहली असंक्रमित संख्या अभाज्य होगी। फिर सभी प्राकृत संख्याएँ जो 3 से विभाज्य हैं, काट दी जाती हैं। संख्या 5 - अगली असंक्रमित संख्या - अभाज्य होगी। इसी तरह की गणनाओं को जारी रखते हुए, आप अभाज्य संख्याओं के अनुक्रम का एक मनमाने ढंग से लंबा खंड पा सकते हैं। संख्या सिद्धांत के अध्ययन के लिए सैद्धांतिक पद्धति के रूप में एराटोस्थनीज की चलनी डब्ल्यू ब्रून (1919) द्वारा विकसित की गई थी।

यहाँ सबसे बड़ी संख्या है जिसे वर्तमान में सरल माना जाता है:

इस संख्या में लगभग सात सौ दशमलव स्थान हैं। गणना जिसके द्वारा यह स्थापित किया गया था कि यह संख्या सरल है, आधुनिक कंप्यूटरों पर की गई थी।

"रीमैन जेटा फ़ंक्शन, -फंक्शन, एक जटिल चर का एक विश्लेषणात्मक कार्य है, σ> 1 के लिए, यह डिरिचलेट श्रृंखला द्वारा बिल्कुल और समान रूप से निर्धारित किया जाता है:

> 1 के लिए, यूलर उत्पाद के रूप में प्रतिनिधित्व मान्य है:

(2) जहाँ p सभी अभाज्य संख्याओं के ऊपर है।

श्रृंखला (1) और उत्पाद (2) की पहचान जीटा फ़ंक्शन के मुख्य गुणों में से एक है। यह आपको सबसे महत्वपूर्ण संख्या-सैद्धांतिक कार्यों के साथ जीटा फ़ंक्शन को जोड़ने वाले विभिन्न संबंध प्राप्त करने की अनुमति देता है। इसलिए, संख्या सिद्धांत में जीटा फ़ंक्शन एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है।

ज़ेटा फ़ंक्शन को एल। यूलर (1737, प्रकाशन 1744) द्वारा एक वास्तविक चर के एक फ़ंक्शन के रूप में पेश किया गया था, जिसने उत्पाद (2) में इसके स्थान का संकेत दिया था। तब जीटा फ़ंक्शन को पी। डिरिचलेट द्वारा और विशेष रूप से पी। एल। चेबीशेव द्वारा अभाज्य संख्याओं के वितरण कानून के अध्ययन के संबंध में सफलतापूर्वक माना गया था। हालांकि, जीटा फ़ंक्शन के सबसे गहन गुणों की खोज बी. रीमैन के कार्यों के बाद की गई, जिन्होंने 1859 में पहली बार जीटा फ़ंक्शन को एक जटिल चर के एक फ़ंक्शन के रूप में माना, उन्होंने "ज़ेटा फ़ंक्शन" नाम भी पेश किया। अंकन "" "।

लेकिन सवाल यह उठता है कि प्राइम्स पर इस सारे काम के लिए क्या व्यावहारिक अनुप्रयोग है? वास्तव में, उनके लिए लगभग कोई उपयोग नहीं है, लेकिन एक ऐसा क्षेत्र है जहां आज भी प्राइम और उनके गुण लागू होते हैं। यह क्रिप्टोग्राफी है। यहां अभाज्य संख्याओं का उपयोग एन्क्रिप्शन सिस्टम में बिना कुंजी स्थानांतरण के किया जाता है।

दुर्भाग्य से, primes के बारे में जानने के लिए बस इतना ही है। कई रहस्य भी बाकी हैं। उदाहरण के लिए, यह ज्ञात नहीं है कि अभाज्य संख्याओं का समुच्चय जिसे दो वर्गों के रूप में दर्शाया जा सकता है, अनंत है।

"सरल प्राइम नंबर"।

मैंने प्राइम के बारे में कुछ सवालों के जवाब खोजने के लिए थोड़ा शोध करने का फैसला किया। सबसे पहले, मैंने एक प्रोग्राम संकलित किया है जो 1,000,000,000 से कम सभी अनुक्रमिक प्राइम आउटपुट करता है। इसके अलावा, मैंने एक प्रोग्राम संकलित किया है जो निर्धारित करता है कि दर्ज की गई संख्या प्रमुख है या नहीं। अभाज्य संख्याओं की समस्याओं का अध्ययन करने के लिए, मैंने एक अभाज्य संख्या के मूल्य की क्रमिक संख्या पर निर्भरता दिखाते हुए एक ग्राफ बनाया। एक और शोध योजना के रूप में, मैंने IS Zeltser और BA Kordemsky के लेख का उपयोग करने का निर्णय लिया "प्राइम के मनोरंजक झुंड नंबर।" लेखकों ने निम्नलिखित शोध पथों की पहचान की:

1. प्रथम हजार प्राकृत संख्याओं के 168 स्थानों पर अभाज्य संख्याएँ होती हैं। इनमें से 16 संख्याएं पैलिंड्रोमिक हैं - प्रत्येक उल्टे के बराबर है: 11, 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919, 929।

कुल 1,061 चार-अंकीय अभाज्य संख्याएँ हैं, और उनमें से कोई भी पैलिंड्रोमिक नहीं है।

कई पाँच अंकों की सरल पैलिंड्रोमिक संख्याएँ हैं। इनमें ऐसी सुंदरियां शामिल हैं: 13331, 15551, 16661, 19991। निस्संदेह, इस प्रकार के झुंड हैं:। लेकिन ऐसे प्रत्येक झुंड में कितने नमूने हैं?

3 + x + x + x + 3 = 6 + 3x = 3 (2 + x)

9 + x + x + x + 9 = 18 + 3x = 3 (6 + x)

यह देखा जा सकता है कि संख्याओं के अंकों का योग 3 से विभाज्य है, इसलिए ये संख्याएँ स्वयं भी 3 से विभाज्य हैं।

जहाँ तक प्रपत्र की संख्याओं का प्रश्न है, उनमें अभाज्य संख्याएँ 72227, 75557, 76667, 78887, 79997 हैं।

2. पहले हजार नंबरों में पांच "क्वार्टेट" होते हैं जिनमें लगातार अभाज्य संख्याएँ होती हैं, जिनमें से अंतिम अंक एक क्रम 1, 3, 7, 9: (11, 13, 17, 19), (101, 103,) बनाते हैं। 107, 109), (191, 193, 197, 199), (211, 223, 227, 229), (821, 823, 827, 829)।

n> 3 के लिए n-अंकीय अभाज्य संख्याओं में ऐसी कितनी चौकड़ी हैं?

मेरे द्वारा लिखे गए कार्यक्रम की मदद से, एक चौकड़ी मिली जो लेखक चूक गए: (479, 467, 463, 461) और n = 4, 5, 6 के लिए चौकड़ी। n = 4 के लिए 11 चौकड़ी हैं।

3. नौ अभाज्य संख्याओं का एक झुंड: 199, 409, 619, 829, 1039, 1249, 1459, 1669, 1879 - न केवल आकर्षक क्योंकि यह 210 के अंतर के साथ एक अंकगणितीय प्रगति है, बल्कि नौ में फिट होने की क्षमता भी है कोशिकाओं को, ताकि एक जादू वर्ग दो अभाज्य संख्याओं के बीच के अंतर के बराबर एक स्थिरांक के साथ बनता है: 3119 - 2:

माना प्रगति 2089 का अगला, दसवां सदस्य भी एक अभाज्य संख्या है। यदि आप झुंड से 199 की संख्या हटाते हैं, लेकिन 2089 को शामिल करते हैं, तो इस रचना में झुंड एक जादू वर्ग भी बना सकता है - खोज का विषय।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि अभाज्य संख्याओं से बने अन्य जादुई वर्ग हैं:

1847 6257 6197 3677 1307 1877 2687

2267 1427 5987 5927 1667 2027 4547

2897 947 2357 4517 3347 5867 3917

3557 4157 4397 3407 2417 2657 3257

4337 5717 3467 2297 4457 1097 2477

4817 4767 827 887 5147 5387 1997

4127 557 617 3137 5507 4937 4967

प्रस्तावित वर्ग दिलचस्प है क्योंकि

1. यह एक 7x7 जादुई वर्ग है;

2. इसमें 5x5 मैजिक स्क्वायर है;

3. जादू वर्ग 5x5 में जादू वर्ग 3x3 होता है;

4. इन सभी वर्गों की एक समान केंद्रीय संख्या है - 3407;

5. सभी 49 नंबर 7x7 वर्ग के अंत में 7 के साथ शामिल हैं;

6. 7x7 वर्ग में शामिल सभी 49 संख्याएँ अभाज्य संख्याएँ हैं;

7. 7x7 वर्ग में शामिल 49 संख्याओं में से प्रत्येक को 30n + 17 के रूप में दर्शाया जा सकता है।

उपयोग किए गए प्रोग्राम मेरे द्वारा प्रोग्रामिंग भाषा देव-सी ++ में लिखे गए थे और मैं उनके ग्रंथों को परिशिष्ट में प्रस्तुत करता हूं (एक्सटेंशन के साथ फाइलें देखें। सीपी)। उपरोक्त सभी के अलावा, मैंने एक प्रोग्राम लिखा है जो लगातार प्राकृतिक संख्याओं को प्रमुख कारकों में विभाजित करता है (देखें विभाजक 1. सीपी) और एक प्रोग्राम जो केवल दर्ज संख्या को प्रमुख कारकों में विघटित करता है (देखें विभाजक 2. सीपी)। चूंकि संकलित रूप में ये कार्यक्रम बहुत अधिक स्थान लेते हैं, केवल उनके पाठ दिए गए हैं। हालांकि, अगर उनके पास उपयुक्त कार्यक्रम है तो कोई भी उन्हें संकलित कर सकता है।

प्राइम नंबरों के साथ काम करने वाले वैज्ञानिकों की जीवनी

Euclides

(लगभग 330 ईसा पूर्व - लगभग 272 ईसा पूर्व)

पुरातनता के सबसे प्रसिद्ध गणितज्ञ के जीवन के बारे में बहुत कम विश्वसनीय जानकारी है। ऐसा माना जाता है कि उन्होंने एथेंस में अध्ययन किया, जो प्लेटो के स्कूल द्वारा विकसित ज्यामिति की उनकी शानदार महारत की व्याख्या करता है। हालाँकि, जाहिरा तौर पर, वह अरस्तू के लेखन से परिचित नहीं था। उन्होंने अलेक्जेंड्रिया में पढ़ाया, जहां उन्होंने टॉलेमी आई सोटर के शासनकाल के दौरान अपनी शिक्षण गतिविधियों के लिए उच्च प्रशंसा अर्जित की। एक किंवदंती है कि इस राजा ने गणित में त्वरित सफलता प्राप्त करने के लिए एक रास्ता खोजने की मांग की, जिसके लिए यूक्लिड ने उत्तर दिया कि ज्यामिति में कोई शाही तरीके नहीं हैं (हालांकि, इसी तरह की कहानी मेनकेम के बारे में भी बताई गई है, जिसे कथित तौर पर पूछा गया था) सिकंदर महान द्वारा उसी के बारे में)। परंपरा ने यूक्लिड की स्मृति को एक उदार और विनम्र व्यक्ति के रूप में संरक्षित किया है। यूक्लिड विभिन्न विषयों पर ग्रंथों के लेखक हैं, लेकिन उनका नाम मुख्य रूप से "बिगिनिंग्स" नामक ग्रंथों में से एक के साथ जुड़ा हुआ है। यह उन गणितज्ञों के कार्यों के संग्रह के बारे में है जिन्होंने उनसे पहले काम किया था (उनमें से सबसे प्रसिद्ध कोस के हिप्पोक्रेट्स थे), जिसके परिणाम उन्होंने सामान्यीकरण और कड़ी मेहनत की क्षमता के लिए पूर्णता के लिए लाए।

यूलर लियोनार्ड

(बेसल, स्विट्ज़रलैंड 1707 - सेंट पीटर्सबर्ग, 1783)

गणितज्ञ, मैकेनिक और भौतिक विज्ञानी। एक गरीब पादरी पॉल यूलर के परिवार में जन्मे। पहले अपने पिता से और 1720-24 में बासेल विश्वविद्यालय में शिक्षा प्राप्त की, जहाँ उन्होंने आई. बर्नौली द्वारा गणित पर व्याख्यान में भाग लिया।

1726 के अंत में, यूलर को सेंट पीटर्सबर्ग एकेडमी ऑफ साइंसेज में आमंत्रित किया गया था और मई 1727 में सेंट पीटर्सबर्ग पहुंचे। नई संगठित अकादमी में, यूलर को वैज्ञानिक गतिविधि के लिए अनुकूल परिस्थितियां मिलीं, जिससे उन्हें तुरंत गणित और यांत्रिकी का अध्ययन शुरू करने की अनुमति मिली। अपने जीवन के पहले पीटर्सबर्ग काल के 14 वर्षों के दौरान, यूलर ने प्रकाशन के लिए लगभग 80 कार्य तैयार किए और 50 से अधिक प्रकाशित किए। पीटर्सबर्ग में, उन्होंने रूसी का अध्ययन किया।

यूलर ने सेंट पीटर्सबर्ग एकेडमी ऑफ साइंसेज के कई क्षेत्रों में भाग लिया। उन्होंने अकादमिक विश्वविद्यालय के छात्रों को व्याख्यान दिया, विभिन्न तकनीकी परीक्षाओं में भाग लिया, रूस के नक्शे तैयार करने पर काम किया, सार्वजनिक रूप से उपलब्ध "गाइड टू अरिथमेटिक" (1738-40) लिखा। अकादमी से एक विशेष आयोग पर, यूलर ने समुद्री विज्ञान (1749) के प्रकाशन के लिए तैयार किया, जो जहाज निर्माण और नेविगेशन के सिद्धांत पर एक मौलिक कार्य था।

1741 में, यूलर ने प्रशिया के राजा फ्रेडरिक द्वितीय के बर्लिन जाने के प्रस्ताव को स्वीकार कर लिया, जहां विज्ञान अकादमी को पुनर्गठित किया जाना था। बर्लिन एकेडमी ऑफ साइंसेज में, यूलर ने गणित वर्ग के निदेशक और बोर्ड के सदस्य का पद ग्रहण किया, और इसके पहले अध्यक्ष, पी। मौपर्टुइस की मृत्यु के बाद, कई वर्षों तक (1759 से) उन्होंने वास्तव में अकादमी का नेतृत्व किया। बर्लिन में अपने 25 वर्षों के जीवन के लिए, उन्होंने कई बड़े मोनोग्राफ सहित लगभग 300 रचनाएँ तैयार कीं।

बर्लिन में रहते हुए, यूलर ने पीटर्सबर्ग एकेडमी ऑफ साइंसेज के लिए अपने मानद सदस्य की उपाधि बरकरार रखते हुए गहनता से काम करना बंद नहीं किया। उन्होंने व्यापक वैज्ञानिक और वैज्ञानिक-संगठनात्मक पत्राचार किया, विशेष रूप से उन्होंने एम। लोमोनोसोव के साथ पत्राचार किया, जिसे वे अत्यधिक महत्व देते थे। यूलर ने रूसी अकादमिक वैज्ञानिक अंग के गणितीय विभाग को संपादित किया, जहां इस समय के दौरान उन्होंने बर्लिन एकेडमी ऑफ साइंसेज के "संस्मरण" के रूप में लगभग कई लेख प्रकाशित किए। उन्होंने रूसी गणितज्ञों के प्रशिक्षण में सक्रिय भाग लिया; भविष्य के शिक्षाविद एस। कोटेलनिकोव, एस। रुमोव्स्की और एम। सोफ्रोनोव को उनके नेतृत्व में अध्ययन करने के लिए बर्लिन भेजा गया था। यूलर ने सेंट पीटर्सबर्ग एकेडमी ऑफ साइंसेज को वैज्ञानिक साहित्य और इसके लिए उपकरण प्राप्त करने, अकादमी में पदों के लिए उम्मीदवारों के साथ बातचीत करने आदि में बहुत सहायता प्रदान की।

17 जुलाई (28), 1766 को यूलर अपने परिवार के साथ सेंट पीटर्सबर्ग लौट आए। अपनी उन्नत उम्र और लगभग पूर्ण अंधेपन के बावजूद, उन्होंने अपने जीवन के अंत तक उत्पादक रूप से काम किया। सेंट पीटर्सबर्ग में अपने दूसरे प्रवास के 17 वर्षों के दौरान, उन्होंने कई बड़ी पुस्तकों सहित लगभग 400 रचनाएँ तैयार कीं। यूलर ने अकादमी के संगठनात्मक कार्यों में भाग लेना जारी रखा। 1776 में वह आई. कुलिबिन द्वारा प्रस्तावित नेवा के पार एकल-आर्च पुल की परियोजना के विशेषज्ञों में से एक थे, और पूरे आयोग में से एक ने परियोजना को व्यापक समर्थन प्रदान किया।

एक प्रमुख वैज्ञानिक और वैज्ञानिक अनुसंधान के आयोजक के रूप में यूलर की योग्यता को उनके जीवनकाल में भी बहुत सराहा गया था। सेंट पीटर्सबर्ग और बर्लिन अकादमियों के अलावा, वह सबसे बड़े वैज्ञानिक संस्थानों के सदस्य थे: पेरिस एकेडमी ऑफ साइंसेज, रॉयल सोसाइटी ऑफ लंदन और अन्य।

यूलर के काम की एक पहचान उसकी असाधारण उत्पादकता है। अकेले उनके जीवनकाल के दौरान, उनकी लगभग 550 पुस्तकें और लेख प्रकाशित हुए थे (यूलर के कार्यों की सूची में लगभग 850 शीर्षक हैं)। 1909 में, स्विस नेचुरल साइंस सोसाइटी ने यूलर के पूर्ण कार्यों को प्रकाशित करना शुरू किया, जो 1975 में पूरा हुआ; इसमें 72 खंड हैं। यूलर का विशाल वैज्ञानिक पत्राचार (लगभग 3000 पत्र) बहुत रुचि का है, जो अब तक केवल आंशिक रूप से प्रकाशित हुआ है।

यूलर के अध्ययन का दायरा असामान्य रूप से विस्तृत था, जिसमें समकालीन गणित और यांत्रिकी के सभी विभागों, लोच के सिद्धांत, गणितीय भौतिकी, प्रकाशिकी, संगीत सिद्धांत, मशीन सिद्धांत, बैलिस्टिक, समुद्री विज्ञान, बीमा, आदि गणित, शेष 2/5 मुख्य रूप से शामिल थे। इसके अनुप्रयोगों के लिए। वैज्ञानिक ने अपने परिणामों और दूसरों द्वारा प्राप्त परिणामों को कई शास्त्रीय मोनोग्राफ में व्यवस्थित किया, अद्भुत स्पष्टता के साथ लिखा और मूल्यवान उदाहरणों के साथ आपूर्ति की। ये हैं, उदाहरण के लिए, "यांत्रिकी, या गति का विज्ञान, विश्लेषणात्मक रूप से विस्तारित" (1736), "विश्लेषण का परिचय" (1748), "डिफरेंशियल कैलकुलस" (1755), "एक कठोर शरीर की गति का सिद्धांत" (1765) ), "सार्वभौमिक अंकगणित" (1768-69), जो 6 भाषाओं में लगभग 30 संस्करणों के माध्यम से चला गया, "इंटीग्रल कैलकुलस" (1768-94), आदि। 18 वीं शताब्दी में। , और आंशिक रूप से 19वीं शताब्दी में। सार्वजनिक रूप से उपलब्ध "विभिन्न भौतिक और दार्शनिक मामलों पर पत्र, एक निश्चित जर्मन राजकुमारी को लिखे गए पत्रों द्वारा भारी लोकप्रियता प्राप्त की गई थी। "(1768-74), जो 10 भाषाओं में 40 से अधिक संस्करणों का सामना कर चुका है। यूलर के मोनोग्राफ की अधिकांश सामग्री तब उच्च और आंशिक रूप से माध्यमिक विद्यालयों के लिए पाठ्यपुस्तकों में प्रवेश करती थी। अब तक उपयोग किए गए यूलर के सभी प्रमेयों, विधियों और सूत्रों को सूचीबद्ध करना असंभव है, जिनमें से केवल कुछ ही उनके नाम के तहत साहित्य में दिखाई देते हैं [उदाहरण के लिए, यूलर बहुभुज विधि, यूलर प्रतिस्थापन, यूलर स्थिरांक, यूलर के समीकरण, यूलर के सूत्र , यूलर का कार्य, यूलर की संख्याएं, यूलर का सूत्र - मैकलॉरिन, यूलर - फूरियर सूत्र, यूलर विशेषता, यूलर इंटीग्रल, यूलर कोण]।

यांत्रिकी में, यूलर गणितीय विश्लेषण की सहायता से किसी बिंदु की गतिकी की व्याख्या करने वाले पहले व्यक्ति थे: शून्यता और प्रतिरोध वाले माध्यम दोनों में विभिन्न बलों की कार्रवाई के तहत एक बिंदु की मुक्त गति; किसी बिंदु की किसी दी गई रेखा के साथ या किसी दी गई सतह के साथ गति; केंद्रीय बलों की कार्रवाई के तहत आंदोलन। 1744 में उन्होंने सबसे पहले कम से कम क्रिया के यांत्रिक सिद्धांत को सही ढंग से तैयार किया और इसके पहले अनुप्रयोगों को दिखाया। "एक कठोर शरीर की गति के सिद्धांत" में यूलर ने एक कठोर शरीर की गतिज और गतिकी को विकसित किया और एक निश्चित बिंदु के चारों ओर इसके घूमने के समीकरण दिए, जाइरोस्कोप के सिद्धांत की नींव रखी। अपने अंतरिक्ष यान सिद्धांत में, यूलर ने स्थिरता सिद्धांत में बहुमूल्य योगदान दिया। यूलर की खोज आकाशीय यांत्रिकी (उदाहरण के लिए, चंद्रमा की गति के सिद्धांत में), निरंतर मीडिया के यांत्रिकी में (यूलर के रूप में और तथाकथित लैग्रेंज में एक आदर्श तरल पदार्थ की गति के बुनियादी समीकरण) में महत्वपूर्ण थी। चर, पाइपों में गैस का दोलन, आदि)। प्रकाशिकी में, यूलर (1747) ने एक उभयलिंगी लेंस के लिए सूत्र दिया और एक माध्यम के अपवर्तनांक की गणना के लिए एक विधि प्रस्तावित की। यूलर ने प्रकाश के तरंग सिद्धांत का पालन किया। उनका मानना था कि विभिन्न रंग प्रकाश की विभिन्न तरंग दैर्ध्य के अनुरूप होते हैं। यूलर ने लेंस के रंगीन विपथन को समाप्त करने के लिए विधियों का प्रस्ताव दिया और माइक्रोस्कोप की ऑप्टिकल इकाइयों की गणना के लिए तरीके दिए। काम का एक व्यापक चक्र, 1748 में शुरू हुआ, गणितीय भौतिकी के लिए समर्पित यूलर: एक स्ट्रिंग, प्लेट, झिल्ली, आदि के कंपन की समस्याएं। इन सभी अध्ययनों ने अंतर समीकरणों के सिद्धांत, विश्लेषण के अनुमानित तरीकों, विशेष के विकास को प्रेरित किया। इन कार्यों में यूलर की कई गणितीय खोजें निहित हैं।

गणितज्ञ के रूप में यूलर का मुख्य व्यवसाय गणितीय विश्लेषण का विकास था। उन्होंने कई गणितीय विषयों की नींव रखी, जो केवल अल्पविकसित रूप में थे या इनफिनिटसिमल I. न्यूटन, जी। लाइबनिज़, बर्नौली भाइयों के कलन में पूरी तरह से अनुपस्थित थे। इस प्रकार, यूलर एक जटिल तर्क के कार्यों को पेश करने वाला पहला व्यक्ति था और एक जटिल चर (घातीय, लघुगणक और त्रिकोणमितीय कार्यों) के बुनियादी प्राथमिक कार्यों के गुणों की जांच करता था; विशेष रूप से, उन्होंने त्रिकोणमितीय कार्यों को घातीय कार्यों से जोड़ने वाले सूत्र निकाले। इस दिशा में यूलर के कार्य ने एक जटिल चर के कार्यों के सिद्धांत की नींव रखी।

यूलर विविधताओं के कलन के निर्माता थे, जो काम में निर्धारित थे “अधिकतम या न्यूनतम के गुणों के साथ घुमावदार रेखाएँ खोजने की विधि। "(1744)। जिस विधि से 1744 में यूलर ने एक कार्यात्मक, यूलर समीकरण के चरम के लिए आवश्यक शर्त प्राप्त की, वह 20 वीं शताब्दी में भिन्नता के कैलकुस के प्रत्यक्ष तरीकों का प्रोटोटाइप था। यूलर ने एक स्वतंत्र अनुशासन के रूप में साधारण अंतर समीकरणों के सिद्धांत का निर्माण किया और आंशिक अंतर समीकरणों के सिद्धांत की नींव रखी। यहां उन्होंने बड़ी संख्या में खोज की: निरंतर गुणांक के साथ रैखिक समीकरणों को हल करने का शास्त्रीय तरीका, मनमानी स्थिरांक की भिन्नता की विधि, रिकाटी समीकरण के मूल गुणों की व्याख्या, अनंत श्रृंखला का उपयोग करके चर गुणांक के साथ रैखिक समीकरणों का एकीकरण , एकवचन समाधान के लिए मानदंड, एकीकृत कारक का सिद्धांत, विभिन्न अनुमानित तरीके और आंशिक अंतर समीकरणों को हल करने के लिए कई तकनीकें। यूलर ने अपने "इंटीग्रल कैलकुलस" में इन परिणामों का एक महत्वपूर्ण हिस्सा एकत्र किया।

यूलर ने शब्द के संकीर्ण अर्थ में अंतर और अभिन्न कलन को भी समृद्ध किया (उदाहरण के लिए, चर के परिवर्तन का सिद्धांत, सजातीय कार्यों पर प्रमेय, एक दोहरे अभिन्न की अवधारणा, और कई विशेष अभिन्नों की गणना)। डिफरेंशियल कैलकुलस में, यूलर ने 19 वीं और 20 वीं शताब्दी के मोड़ पर बनाए गए डाइवर्जेंट सीरीज़ के आधुनिक कठोर सिद्धांत के विचारों की प्रत्याशा करते हुए, श्रृंखला के सामान्यीकृत योग के लिए डायवर्जेंट सीरीज़ और प्रस्तावित विधियों का उपयोग करने की सलाह के उदाहरणों द्वारा व्यक्त और समर्थित किया। . इसके अलावा, यूलर ने श्रृंखला सिद्धांत में कई ठोस परिणाम प्राप्त किए। उन्होंने तथाकथित की खोज की। यूलर - मैकलॉरिन योग सूत्र, श्रृंखला के एक परिवर्तन का प्रस्ताव रखा जो उनके नाम को धारण करता है, श्रृंखला की एक बड़ी संख्या का योग निर्धारित करता है और गणित में नए महत्वपूर्ण प्रकार की श्रृंखला (उदाहरण के लिए, त्रिकोणमितीय श्रृंखला) पेश करता है। निरंतर भिन्नों के सिद्धांत और अन्य अनंत प्रक्रियाओं पर यूलर के अध्ययन भी इसी के निकट हैं।

यूलर विशेष कार्यों के सिद्धांत के संस्थापक हैं। वह पहले व्यक्ति थे जिन्होंने साइन और कोसाइन को कार्यों के रूप में देखा, न कि एक सर्कल में सेगमेंट के रूप में। उन्होंने अनंत श्रृंखला और उत्पादों में प्रारंभिक कार्यों के लगभग सभी शास्त्रीय विस्तार प्राप्त किए। उनके कार्यों में, -फ़ंक्शन का सिद्धांत बनाया गया था। उन्होंने अण्डाकार इंटीग्रल, हाइपरबोलिक और बेलनाकार कार्यों, ζ-फ़ंक्शन, कुछ -फ़ंक्शंस, इंटीग्रल लॉगरिदम और विशेष बहुपदों के महत्वपूर्ण वर्गों के गुणों की जांच की।

जैसा कि पी. चेबीशेव ने उल्लेख किया है, यूलर ने सभी जांच शुरू की जो संख्या सिद्धांत का सामान्य हिस्सा बनाती हैं। उदाहरण के लिए, यूलर ने पी. फ़र्मेट (उदाहरण के लिए, फ़र्मेट की छोटी प्रमेय) द्वारा दिए गए कई कथनों को सिद्ध किया, शक्ति अवशेषों के सिद्धांत और द्विघात रूपों के सिद्धांत की नींव विकसित की, द्विघात पारस्परिकता कानून की खोज की (लेकिन साबित नहीं हुई)। , और डायोफैंटाइन विश्लेषण में कई समस्याओं की जांच की। संख्याओं को शब्दों में विभाजित करने और अभाज्य संख्याओं के सिद्धांत पर अपने कार्यों में, यूलर विश्लेषण के तरीकों का उपयोग करने वाले पहले व्यक्ति थे, इस प्रकार संख्याओं के विश्लेषणात्मक सिद्धांत के निर्माता थे। विशेष रूप से, उन्होंने -फ़ंक्शन की शुरुआत की और तथाकथित को साबित किया। यूलर की पहचान अभाज्य संख्याओं को सभी प्राकृतिक संख्याओं से जोड़ती है।

गणित के अन्य क्षेत्रों में भी यूलर की सेवाएं महान हैं। बीजगणित में, उन्होंने उच्च डिग्री के समीकरणों के रेडिकल्स और दो अज्ञात में समीकरणों के साथ-साथ तथाकथित के समाधान पर पत्र प्रकाशित किए। यूलर की चार-वर्ग पहचान। यूलर ने विश्लेषणात्मक ज्यामिति में महत्वपूर्ण प्रगति की, विशेष रूप से दूसरे क्रम की सतहों के सिद्धांत। डिफरेंशियल ज्योमेट्री में, उन्होंने जियोडेसिक लाइनों के गुणों का विस्तार से अध्ययन किया, पहली बार कर्व्स के प्राकृतिक समीकरणों को लागू किया, और सबसे महत्वपूर्ण बात, सतहों के सिद्धांत की नींव रखी। उन्होंने एक सतह पर एक बिंदु पर प्रमुख दिशाओं की अवधारणा की शुरुआत की, उनकी ऑर्थोगोनैलिटी साबित की, किसी भी सामान्य खंड की वक्रता के लिए एक सूत्र प्राप्त किया, विकासशील सतहों का अध्ययन करना शुरू किया, आदि; मरणोपरांत प्रकाशित एक काम (1862) में, उन्होंने आंशिक रूप से सतहों की आंतरिक ज्यामिति पर के। गॉस के अध्ययन का अनुमान लगाया। यूलर ने टोपोलॉजी के व्यक्तिगत प्रश्नों से भी निपटा और साबित किया, उदाहरण के लिए, उत्तल पॉलीटोप्स पर एक महत्वपूर्ण प्रमेय। गणितज्ञ यूलर को अक्सर एक प्रतिभाशाली "कैलकुलेटर" के रूप में वर्णित किया जाता है। वास्तव में, वह औपचारिक गणनाओं और परिवर्तनों के एक नायाब मास्टर थे, उनके लेखन में कई गणितीय सूत्रों और प्रतीकों को एक आधुनिक रूप मिला (उदाहरण के लिए, वह ई और π के लिए अंकन का मालिक है)। हालांकि, यूलर ने विज्ञान में कई गहरे विचारों को भी पेश किया, जो अब सख्ती से प्रमाणित हैं और अनुसंधान के विषय में गहराई की गहराई के लिए एक मॉडल के रूप में काम करते हैं।

पी. लाप्लास के अनुसार, यूलर 18वीं शताब्दी के उत्तरार्ध में गणितज्ञों के शिक्षक थे।

डिरिचलेट पीटर गुस्ताव

(ड्यूरेन, अब जर्मनी, 1805 - गोटिंगेन, ibid., 1859)

उन्होंने पेरिस में अध्ययन किया, विशेष रूप से फूरियर के साथ उत्कृष्ट गणितज्ञों के साथ मैत्रीपूर्ण संबंध बनाए रखा। अपनी डिग्री प्राप्त करने के बाद, वह ब्रेस्लाउ (1826 - 1828), बर्लिन (1828 - 1855) और गोटिंगेन के विश्वविद्यालयों में प्रोफेसर थे, जहां वे वैज्ञानिक कार्ल फ्रेडरिक गॉस की मृत्यु के बाद गणित विभाग के प्रमुख बने। विज्ञान में उनका सबसे उत्कृष्ट योगदान संख्या सिद्धांत से संबंधित है, मुख्य रूप से श्रृंखला का अध्ययन। इसने उन्हें फूरियर द्वारा प्रस्तावित श्रृंखला सिद्धांत विकसित करने की अनुमति दी। उन्होंने फ़र्मेट के प्रमेय के प्रमाण का अपना संस्करण बनाया, अंकगणितीय समस्याओं को हल करने के लिए विश्लेषणात्मक कार्यों का उपयोग किया और श्रृंखला के लिए अभिसरण मानदंड पेश किए। गणितीय विश्लेषण के क्षेत्र में, उन्होंने कार्यों की परिभाषा और अवधारणा में सुधार किया, सैद्धांतिक यांत्रिकी के क्षेत्र में, उन्होंने सिस्टम की स्थिरता के अध्ययन और क्षमता की न्यूटनियन अवधारणा पर ध्यान केंद्रित किया।

चेबीशेव पफनुटी लवोविच

रूसी गणितज्ञ, सेंट पीटर्सबर्ग वैज्ञानिक स्कूल के संस्थापक, सेंट पीटर्सबर्ग एकेडमी ऑफ साइंसेज के शिक्षाविद (1856)। चेबीशेव के कार्यों ने गणित की कई नई शाखाओं के विकास की नींव रखी।

चेबीशेव के सबसे अधिक कार्य गणितीय विश्लेषण के क्षेत्र में हैं। विशेष रूप से, वह व्याख्यान के अधिकार पर एक शोध प्रबंध के लिए समर्पित थे, जिसमें चेबीशेव ने बीजीय कार्यों और लघुगणक में कुछ तर्कहीन अभिव्यक्तियों की अभिन्नता की जांच की। चेबीशेव ने बीजगणितीय कार्यों के एकीकरण के लिए कई अन्य कार्यों को भी समर्पित किया। उनमें से एक (1853) में, एक अंतर द्विपद के प्रारंभिक कार्यों में अभिन्नता की स्थिति पर एक प्रसिद्ध प्रमेय प्राप्त किया गया था। गणितीय विश्लेषण में अनुसंधान का एक महत्वपूर्ण क्षेत्र ऑर्थोगोनल बहुपदों के एक सामान्य सिद्धांत के निर्माण पर उनका काम है। इसके निर्माण का कारण अल्पतम वर्ग विधि द्वारा परवलयिक प्रक्षेप था। क्षणों की समस्या और चतुर्भुज सूत्रों पर चेबीशेव का शोध विचारों के एक ही चक्र से जुड़ा हुआ है। गणनाओं में कमी को ध्यान में रखते हुए, चेबीशेव ने समान गुणांक (अनुमानित एकीकरण) के साथ चतुर्भुज सूत्रों पर विचार करने का प्रस्ताव (1873) दिया। चतुर्भुज सूत्रों और प्रक्षेप सिद्धांत पर अनुसंधान सैन्य वैज्ञानिक समिति के तोपखाने विभाग में चेबीशेव को दिए गए कार्यों से निकटता से संबंधित थे।

संभाव्यता के सिद्धांत में, चेबीशेव को यादृच्छिक चर के व्यवस्थित परिचय और संभाव्यता सिद्धांत की सीमा प्रमेयों को साबित करने की एक नई विधि के निर्माण का श्रेय दिया जाता है - तथाकथित। क्षणों की विधि (1845, 1846, 1867, 1887)। उन्होंने बड़ी संख्या के नियम को बहुत ही सामान्य रूप में सिद्ध किया; साथ ही, उनका प्रमाण इसकी सादगी और प्रारंभिक चरित्र में हड़ताली है। चेबीशेव ने स्वतंत्र यादृच्छिक चर के योग के वितरण कार्यों के सामान्य कानून के अभिसरण के लिए शर्तों का अध्ययन पूरा नहीं किया। हालांकि, चेबीशेव के तरीकों में कुछ परिवर्धन के माध्यम से, ए.ए. मार्कोव ऐसा करने में सफल रहे। कठोर निष्कर्षों के बिना, चेबीशेव ने n¾1 / 2 की शक्तियों में स्वतंत्र शर्तों के योग के वितरण फ़ंक्शन के स्पर्शोन्मुख विस्तार के रूप में इस सीमा प्रमेय को परिष्कृत करने की संभावना को भी रेखांकित किया, जहां n शब्दों की संख्या है। संभाव्यता के सिद्धांत पर चेबीशेव का काम इसके विकास में एक महत्वपूर्ण चरण है; इसके अलावा, वे आधार थे जिस पर रूसी स्कूल ऑफ प्रायिकता सिद्धांत, पहले चेबीशेव के प्रत्यक्ष छात्रों से मिलकर बना था।

रीमैन जॉर्ज फ्रेडरिक बर्नहार्ड

(ब्रेसेलेंज़, लोअर सैक्सोनी, 1826 - सेलास्का, इंट्रा के पास, इटली 66)

जर्मन गणितज्ञ। 1846 में उन्होंने गौटिंगेन विश्वविद्यालय में प्रवेश किया: उन्होंने के। गॉस के व्याख्यान सुने, जिनमें से कई विचार बाद में उनके द्वारा विकसित किए गए थे। 1847-49 में उन्होंने बर्लिन विश्वविद्यालय में व्याख्यान में भाग लिया; 1849 में वे गौटिंगेन लौट आए, जहां वे गॉस के सहयोगी, भौतिक विज्ञानी डब्ल्यू. वेबर के करीब हो गए, जिन्होंने उनमें गणितीय प्राकृतिक विज्ञान के प्रश्नों में गहरी रुचि जगाई।

1851 में उन्होंने अपने डॉक्टरेट शोध प्रबंध का बचाव किया "एक जटिल चर के कार्यों के सामान्य सिद्धांत की नींव।" 1854 से सहायक प्राध्यापक, 1857 से गौटिंगेन विश्वविद्यालय में प्राध्यापक।

19वीं शताब्दी के उत्तरार्ध में रीमैन के कार्यों ने गणित के विकास को बहुत प्रभावित किया। और XX सदी में। अपने डॉक्टरेट शोध प्रबंध में, रीमैन ने विश्लेषणात्मक कार्यों के सिद्धांत की ज्यामितीय दिशा की नींव रखी; उन्होंने तथाकथित रीमैन सतहों की शुरुआत की, जो बहुमूल्य कार्यों के अध्ययन में महत्वपूर्ण हैं, अनुरूप मानचित्रण के सिद्धांत को विकसित किया और इस संबंध में, टोपोलॉजी के मूल विचारों को दिया, डोमेन के अंदर विश्लेषणात्मक कार्यों के अस्तित्व के लिए स्थितियों का अध्ययन किया। विभिन्न प्रकार (तथाकथित डिरिचलेट सिद्धांत), आदि। रीमैन द्वारा विकसित विधियों का व्यापक रूप से बीजगणितीय कार्यों और इंटीग्रल के सिद्धांत पर, अंतर समीकरणों के विश्लेषणात्मक सिद्धांत पर (विशेष रूप से, हाइपरजोमेट्रिक फ़ंक्शन निर्धारित करने वाले समीकरण) पर उनके आगे के कार्यों में व्यापक रूप से उपयोग किया गया था। विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत पर (उदाहरण के लिए, रीमैन ने प्राइम के वितरण और -फ़ंक्शन के गुणों के बीच संबंध का संकेत दिया, विशेष रूप से जटिल डोमेन में इसके शून्य के वितरण के साथ - तथाकथित रीमैन परिकल्पना, की वैधता जो अभी तक सिद्ध नहीं हुआ है), आदि।

कई कार्यों में, रीमैन ने त्रिकोणमितीय श्रृंखला में कार्यों की अपघटन की जांच की और इसके संबंध में, रीमैन के अर्थ में अभिन्नता के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्तों को परिभाषित किया, जो एक वास्तविक चर के सेट और कार्यों के सिद्धांत के लिए महत्वपूर्ण था। रीमैन ने आंशिक अंतर समीकरणों को एकीकृत करने के तरीकों का भी प्रस्ताव रखा (उदाहरण के लिए, तथाकथित रीमैन इनवेरिएंट और रीमैन फ़ंक्शन का उपयोग करके)।

1854 के अपने प्रसिद्ध व्याख्यान में "ज्यामिति अंतर्निहित परिकल्पना पर" (1867), रीमैन ने कार्यात्मक और टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान सहित गणितीय स्थान (उनके शब्दों में, "कई गुना") का सामान्य विचार दिया। यहां उन्होंने व्यापक अर्थों में ज्यामिति को निरंतर n-आयामी मैनिफोल्ड्स के सिद्धांत के रूप में माना, अर्थात, किसी भी सजातीय वस्तुओं का संग्रह और, सतह की आंतरिक ज्यामिति पर गॉस के परिणामों को सामान्य करते हुए, एक रैखिक तत्व (अंतर) की सामान्य अवधारणा दी। मैनिफोल्ड के बिंदुओं के बीच की दूरी), जिससे यह परिभाषित होता है कि फिन्सलर स्पेस क्या कहलाता है। रीमैन ने तथाकथित रीमैनियन रिक्त स्थान पर अधिक विस्तार से विचार किया, यूक्लिड, लोबाचेवस्की और रीमैन की अंडाकार ज्यामिति के ज्यामिति के रिक्त स्थान को सामान्य बनाते हुए, एक विशेष प्रकार के रैखिक तत्व द्वारा विशेषता, और उनके वक्रता के सिद्धांत को विकसित किया। भौतिक अंतरिक्ष के लिए अपने विचारों के आवेदन पर चर्चा करते हुए, रिमेंन ने इसके "मीट्रिक गुणों के कारणों" का सवाल उठाया, जैसे कि सापेक्षता के सामान्य सिद्धांत में क्या किया गया था।

रीमैन द्वारा प्रस्तावित विचारों और विधियों ने गणित के विकास में नए तरीकों का खुलासा किया और यांत्रिकी और सामान्य सापेक्षता में आवेदन पाया। 1866 में तपेदिक से वैज्ञानिक की मृत्यु हो गई।

इस लेख में, हम पता लगाएंगे अभाज्य और संयुक्त संख्या... सबसे पहले, हम अभाज्य और भाज्य संख्याओं की परिभाषा देंगे, साथ ही उदाहरण भी देंगे। उसके बाद, हम सिद्ध करेंगे कि अपरिमित रूप से अनेक अभाज्य संख्याएँ हैं। इसके बाद, हम अभाज्य संख्याओं की एक तालिका लिखते हैं, और अभाज्य संख्याओं की तालिका को संकलित करने के तरीकों पर विचार करते हैं, विशेष रूप से एराटोस्थनीज की छलनी नामक विधि पर ध्यान देते हुए। अंत में, हम उन मुख्य बिंदुओं पर प्रकाश डालेंगे जिन पर यह साबित करते समय विचार किया जाना चाहिए कि दी गई संख्या अभाज्य या संयुक्त है।

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अभाज्य और समग्र संख्याएँ - परिभाषाएँ और उदाहरण

अभाज्य संख्याएँ और भाज्य संख्याएँ उन संख्याओं को संदर्भित करती हैं जो एक से अधिक होती हैं। ऐसे पूर्णांकों को उनके धनात्मक भाजक की संख्या के आधार पर अभाज्य और भाज्य संख्याओं में विभाजित किया जाता है। तो समझने के लिए अभाज्य और भाज्य संख्याओं की परिभाषा, आपको भाजक और गुणज क्या हैं, इसका एक अच्छा विचार होना चाहिए।

परिभाषा।

प्रमुख संख्यापूर्णांक हैं, बड़े वाले, जिनमें केवल दो धनात्मक भाजक होते हैं, अर्थात् स्वयं और 1.

परिभाषा।

समग्र संख्यावे पूर्ण संख्याएँ, बड़ी संख्याएँ होती हैं, जिनमें कम से कम तीन धनात्मक भाजक होते हैं।

अलग-अलग, हम ध्यान दें कि संख्या 1 या तो अभाज्य या मिश्रित संख्याओं पर लागू नहीं होती है। इकाई में केवल एक धनात्मक भाजक है, जो स्वयं संख्या 1 है। इस प्रकार संख्या 1 अन्य सभी धनात्मक पूर्णांकों से भिन्न होती है जिनमें कम से कम दो धनात्मक भाजक होते हैं।

यह देखते हुए कि धनात्मक पूर्णांक हैं, और यह कि इकाई में केवल एक धनात्मक भाजक है, आप अभाज्य और भाज्य संख्याओं की ध्वनि परिभाषाओं के अन्य सूत्र दे सकते हैं।

परिभाषा।

साधारण संख्यावे प्राकृत संख्याएँ हैं जिनमें केवल दो धनात्मक भाजक हैं।

परिभाषा।

समग्र संख्यावे प्राकृत संख्याएँ हैं जिनमें दो से अधिक धनात्मक भाजक हैं।

ध्यान दें कि एक से बड़ा प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक या तो अभाज्य होता है या भाज्य। दूसरे शब्दों में, एक भी पूर्णांक ऐसा नहीं है जो न तो सरल हो और न ही संयुक्त। यह विभाज्यता गुण से अनुसरण करता है, जिसमें कहा गया है कि संख्या 1 और ए हमेशा किसी भी पूर्णांक के विभाजक होते हैं।

पिछले पैराग्राफ में दी गई जानकारी के आधार पर आप भाज्य संख्याओं की निम्नलिखित परिभाषा दे सकते हैं।

परिभाषा।

प्राकृत संख्याएँ जो अभाज्य नहीं हैं कहलाती हैं घटक.

आइए हम देते हैं अभाज्य और भाज्य संख्याओं के उदाहरण.

भाज्य संख्याओं के उदाहरण 6, 63, 121 और 6697 हैं। इस कथन को भी स्पष्टीकरण की आवश्यकता है। संख्या 6 में धनात्मक भाजक 1 और 6 के अलावा, भाजक 2 और 3 भी हैं, क्योंकि 6 = 2 · 3, इसलिए 6 वास्तव में एक भाज्य संख्या है। 63 के धनात्मक भाजक 1, 3, 7, 9, 21 और 63 हैं। 121 11 11 के बराबर है, इसलिए सकारात्मक कारक 1, 11 और 121 हैं। और संख्या 6 697 संयुक्त है, क्योंकि इसके धनात्मक भाजक, 1 और 6 697 के अलावा, संख्याएँ 37 और 181 भी हैं।

इस बिंदु के अंत में, मैं आपका ध्यान इस तथ्य की ओर भी आकर्षित करना चाहूंगा कि अभाज्य संख्याएँ और सह अभाज्य संख्याएँ एक ही चीज़ से बहुत दूर हैं।

प्राइम नंबर टेबल

अभाज्य संख्याएँ, उनके आगे उपयोग की सुविधा के लिए, अभाज्य संख्याओं की तालिका नामक तालिका में दर्ज की जाती हैं। नीचे है अभाज्य संख्या तालिका 1,000 तक।

एक तार्किक प्रश्न उठता है: "हमने अभाज्य संख्याओं की तालिका को केवल 1000 तक ही क्यों भर दिया, क्या सभी मौजूदा अभाज्य संख्याओं की तालिका संकलित करना संभव नहीं है"?

आइए पहले इस प्रश्न के पहले भाग का उत्तर दें। अधिकांश समस्याओं के लिए, जिनके समाधान में आपको अभाज्य संख्याओं का उपयोग करना होगा, एक हज़ार के भीतर अभाज्य संख्याएँ हमारे लिए पर्याप्त होंगी। अन्य मामलों में, सबसे अधिक संभावना है, आपको समाधान के कुछ विशेष तरीकों का सहारा लेना होगा। हालांकि, निस्संदेह, हम एक मनमाने ढंग से बड़े परिमित धनात्मक पूर्णांक तक अभाज्यों की एक तालिका संकलित कर सकते हैं, चाहे वह 10,000 या 1,00,000,000 हो, अगले पैराग्राफ में हम अभाज्य तालिकाओं के संकलन के तरीकों के बारे में बात करेंगे, विशेष रूप से, हम उस विधि का विश्लेषण करेंगे जो नाम प्राप्त किया है।

अब आइए सभी मौजूदा अभाज्य संख्याओं की एक तालिका संकलित करने की संभावना (या बल्कि, असंभव) का पता लगाएं। हम सभी अभाज्य संख्याओं की तालिका संकलित नहीं कर सकते, क्योंकि अपरिमित रूप से अनेक अभाज्य संख्याएँ होती हैं। अंतिम कथन एक प्रमेय है जिसे हम अगले सहायक प्रमेय के बाद सिद्ध करते हैं।

प्रमेय।

एक से बड़ी प्राकृत संख्या का सबसे छोटा धनात्मक और अ-1 भाजक एक अभाज्य संख्या है।

सबूत।

रहने दो a एक से बड़ी प्राकृत संख्या है, और b, a का सबसे छोटा धनात्मक गैर-एक भाजक है। आइए हम सिद्ध करें कि b विरोधाभास से एक अभाज्य संख्या है।

मान लीजिए b एक भाज्य संख्या है। फिर संख्या b का एक भाजक है (इसे b 1 से निरूपित करें), जो 1 और b दोनों से भिन्न है। यदि हम यह भी ध्यान में रखें कि भाजक का निरपेक्ष मान लाभांश के निरपेक्ष मूल्य से अधिक नहीं है (विभाज्यता के गुणों से हम इसे जानते हैं), तो शर्त 1

चूंकि संख्या a, शर्त से b से विभाज्य है, और हमने कहा कि b, b 1 से विभाज्य है, विभाज्यता की धारणा हमें पूर्णांक q और q 1 के अस्तित्व की बात करने की अनुमति देती है जैसे कि a = bq और b = b 1 q 1 , जहां से a = b 1 (q 1 q)। यह इस प्रकार है कि दो पूर्णांकों का गुणनफल एक पूर्णांक है, तो समानता a = b 1 · (q 1 · q) इंगित करती है कि b 1 संख्या a का भाजक है। उपरोक्त असमानताओं को ध्यान में रखते हुए 1

अब हम सिद्ध कर सकते हैं कि अपरिमित रूप से अनेक अभाज्य संख्याएँ हैं।

प्रमेय।

असीम रूप से कई प्राइम हैं।

सबूत।

आइए मान लें कि ऐसा नहीं है। अर्थात्, मान लीजिए कि केवल n अभाज्य संख्याएँ हैं, और ये अभाज्य संख्याएँ p 1, p 2, ..., p n हैं। आइए हम दिखाते हैं कि हम हमेशा संकेतित संख्याओं के अलावा एक अभाज्य संख्या पा सकते हैं।

p 1 · p 2 ·… · p n +1 के बराबर एक संख्या p पर विचार करें। यह स्पष्ट है कि यह संख्या प्रत्येक अभाज्य p 1, p 2,…, p n से भिन्न है। यदि p अभाज्य है, तो प्रमेय सिद्ध होता है। यदि यह संख्या भाज्य है, तो पिछले प्रमेय के आधार पर इस संख्या का एक अभाज्य भाजक होता है (हम इसे p n + 1 से निरूपित करते हैं)। आइए हम दिखाते हैं कि यह भाजक किसी भी संख्या p 1, p 2,…, p n से मेल नहीं खाता है।

यदि ऐसा नहीं होता, तो विभाज्यता के गुणों से गुणनफल p 1 · p 2 ·… · p n, p n + 1 से विभाज्य होता। लेकिन संख्या p भी p n + 1 से विभाज्य है, जो p 1 · p 2 ·… · p n +1 के योग के बराबर है। यह इस प्रकार है कि इस राशि का दूसरा पद, जो एक के बराबर है, को p n + 1 से विभाजित किया जाना चाहिए, लेकिन यह असंभव है।

यह साबित हो गया है कि एक नया अभाज्य हमेशा पाया जा सकता है जो कि पूर्व-असाइन किए गए अभाज्यों की संख्या में से नहीं है। इसलिए, अपरिमित रूप से कई अभाज्य हैं।

इसलिए, इस तथ्य के कारण कि अभाज्य संख्याओं की संख्या असीमित होती है, अभाज्य तालिकाएँ संकलित करते समय, वे हमेशा खुद को ऊपर से कुछ संख्या तक सीमित करते हैं, आमतौर पर 100, 1,000, 10,000, आदि।

एराटोस्थनीज की छलनी

अब हम अभाज्य संख्याओं की सारणियों को संकलित करने के तरीकों पर चर्चा करेंगे। मान लीजिए कि हमें 100 तक के अभाज्य संख्याओं की तालिका बनानी है।

इस समस्या को हल करने के लिए सबसे स्पष्ट तरीका सकारात्मक पूर्णांकों की क्रमिक रूप से जांच करना है, जो 2 से शुरू होता है, और 100 के साथ समाप्त होता है, एक सकारात्मक विभाजक की उपस्थिति के लिए जो 1 से अधिक और परीक्षण संख्या से कम है (विभाज्यता गुणों से, हम जानते हैं कि भाजक का निरपेक्ष मान लाभांश के निरपेक्ष मान से अधिक न हो, अशून्य)। यदि ऐसा भाजक नहीं मिलता है, तो चेक की गई संख्या अभाज्य होती है, और इसे अभाज्य संख्याओं की तालिका में दर्ज किया जाता है। यदि ऐसा भाजक पाया जाता है, तो चेक की गई संख्या समग्र है, इसे अभाज्य संख्याओं की तालिका में दर्ज नहीं किया गया है। उसके बाद, अगली संख्या में संक्रमण होता है, जिसे इसी तरह एक भाजक की उपस्थिति के लिए जाँचा जाता है।

आइए पहले कुछ चरणों का वर्णन करें।

हम नंबर 2 से शुरू करते हैं। संख्या 2 में 1 और 2 को छोड़कर कोई धनात्मक भाजक नहीं है। इसलिए, यह सरल है, इसलिए, हम इसे अभाज्य संख्याओं की तालिका में दर्ज करते हैं। यहां यह कहा जाना चाहिए कि 2 सबसे छोटी अभाज्य संख्या है। नंबर 3 पर चल रहा है। इसका संभावित सकारात्मक भाजक, 1 और 3 के अलावा, 2 है। लेकिन 3 2 से विभाज्य नहीं है, इसलिए, 3 एक अभाज्य संख्या है, और इसे अभाज्य संख्याओं की तालिका में दर्ज करने की भी आवश्यकता है। नंबर 4 पर चल रहा है। इसके सकारात्मक कारक, 1 और 4 के अलावा, संख्या 2 और 3 हो सकते हैं, आइए उनकी जाँच करें। संख्या 4 2 से विभाज्य है, इसलिए 4 एक भाज्य संख्या है और इसे अभाज्य तालिका में दर्ज करने की आवश्यकता नहीं है। ध्यान दें कि 4 सबसे छोटी भाज्य संख्या है। 5 नंबर पर चल रहा है। जांचें कि क्या संख्या 2, 3, 4 में से कम से कम एक इसका भाजक है। चूँकि 5 2, 3 या 4 से विभाज्य नहीं है, यह सरल है और इसे अभाज्य संख्याओं की तालिका में लिखा जाना चाहिए। फिर संख्या 6, 7, और इसी तरह 100 तक संक्रमण होता है।

अभाज्य संख्याओं की तालिका संकलित करने का यह तरीका आदर्श से बहुत दूर है। एक तरह से या किसी अन्य, इसे अस्तित्व का अधिकार है। ध्यान दें कि पूर्णांकों की तालिका बनाने की इस पद्धति के साथ, आप विभाज्यता मानदंड का उपयोग कर सकते हैं, जो भाजक खोजने की प्रक्रिया को थोड़ा तेज कर देगा।

अभाज्य संख्याओं की तालिका संकलित करने का एक अधिक सुविधाजनक तरीका है, जिसे कहा जाता है। नाम में मौजूद "छलनी" शब्द आकस्मिक नहीं है, क्योंकि इस पद्धति की क्रियाएं मदद करती हैं, जैसे कि इरेटोस्थनीज की छलनी के माध्यम से पूरी संख्या, बड़ी इकाइयों को "झारना" करने के लिए, प्रधान को समग्र से अलग करने के लिए।

आइए 50 तक के अभाज्यों की तालिका संकलित करते समय एराटोस्थनीज की चलनी को क्रिया में दिखाएं।

सबसे पहले हम संख्या 2, 3, 4,…, 50 को क्रम से लिखते हैं।

पहला रिकॉर्ड किया गया नंबर 2 प्राइम है। अब, संख्या 2 से, हम क्रमिक रूप से दो संख्याओं से दाईं ओर बढ़ते हैं और इन संख्याओं को तब तक काटते हैं जब तक हम संख्याओं की संकलित तालिका के अंत तक नहीं पहुंच जाते। यह दो के सभी गुणजों को काट देगा।

2 के बाद पहली असंक्रमित संख्या 3 है। यह संख्या प्रधान है। अब, संख्या 3 से, हम क्रमिक रूप से दाईं ओर तीन संख्याओं (पहले से पार की गई संख्याओं को ध्यान में रखते हुए) की ओर बढ़ते हैं और उन्हें काट देते हैं। यह उन सभी संख्याओं को काट देगा जो तीन के गुणज हैं।

3 के बाद पहली असंक्रमित संख्या 5 है। यह संख्या प्रधान है। अब, संख्या 5 से, हम क्रमिक रूप से 5 संख्याओं से दाईं ओर बढ़ते हैं (हम पहले से पार की गई संख्याओं को ध्यान में रखते हैं) और उन्हें पार करते हैं। यह पाँच के सभी गुणजों को काट देगा।

फिर उन संख्याओं को काट दें जो 7 के गुणज हों, फिर 11 के गुणज, इत्यादि। प्रक्रिया समाप्त हो जाती है जब पार करने के लिए कोई संख्या नहीं बची है। इरेटोस्थनीज की छलनी का उपयोग करके प्राप्त किए गए 50 तक के अभाज्य संख्याओं की एक पूरी तालिका नीचे दी गई है। सभी असंक्रमित संख्याएँ अभाज्य होती हैं, और सभी स्ट्राइकथ्रू संख्याएँ मिश्रित होती हैं।

आइए एक प्रमेय तैयार करें और साबित करें जो एराटोस्थनीज की चलनी का उपयोग करके प्राइम की एक तालिका को संकलित करने की प्रक्रिया को तेज करेगा।

प्रमेय।

एक भाज्य संख्या a का सबसे छोटा धनात्मक और गैर-एक भाजक अधिक नहीं है, जहाँ से a है।

सबूत।

मान लीजिए कि बी एक समग्र संख्या के सबसे छोटे और गैर-एक भाजक को दर्शाता है (संख्या बी अभाज्य है, जो पिछले उपखंड की शुरुआत में सिद्ध प्रमेय से अनुसरण करता है)। फिर एक पूर्णांक q मौजूद होता है जैसे कि a = b q (यहाँ q एक धनात्मक पूर्णांक है, जो पूर्णांकों को गुणा करने के नियमों का अनुसरण करता है), और (b> q के लिए शर्त यह है कि b, a का सबसे छोटा भाजक है, का उल्लंघन किया जाता है, क्योंकि q समता a = q · b) के आधार पर संख्या a का भाजक भी है। असमानता के दोनों पक्षों को एक से अधिक धनात्मक पूर्णांक b से गुणा करने पर (हमें ऐसा करने की अनुमति है), हम प्राप्त करते हैं, कहाँ से और।

एराटोस्थनीज की छलनी के संबंध में सिद्ध प्रमेय हमें क्या देता है?

सबसे पहले, मिश्रित संख्याओं का विलोपन जो एक अभाज्य संख्या b के गुणज हैं, एक संख्या के बराबर से शुरू होना चाहिए (यह असमानता से अनुसरण करता है)। उदाहरण के लिए, दो के गुणज वाली संख्याओं का क्रासिंग 4 से शुरू होना चाहिए, तीन का गुणज 9 से, पांच का गुणज 25 से, इत्यादि।

दूसरे, एराटोस्थनीज की चलनी का उपयोग करते हुए संख्या n तक की अभाज्य तालिका का संकलन पूर्ण माना जा सकता है जब सभी मिश्रित संख्याएं जो अभाज्य संख्याओं के गुणक हैं जो अधिक नहीं हैं, हटा दी जाती हैं। हमारे उदाहरण में, n = 50 (चूंकि हम 50 तक अभाज्य संख्याओं की एक तालिका संकलित कर रहे हैं) और, इसलिए, एराटोस्थनीज की छलनी को उन सभी मिश्रित संख्याओं को हटा देना चाहिए जो अभाज्य 2, 3, 5 और 7 के गुणज हैं जो अधिक नहीं हैं 50 का अंकगणितीय वर्गमूल। यही है, हमें अब उन संख्याओं को खोजने और क्रॉस आउट करने की आवश्यकता नहीं है जो अभाज्य संख्याओं 11, 13, 17, 19, 23 और इसी तरह 47 तक के गुणज हैं, क्योंकि वे पहले से ही छोटे अभाज्य 2 के गुणज के रूप में काट दिए जाएंगे, 3, 5 और 7...

क्या यह संख्या अभाज्य है या मिश्रित?

कुछ कार्यों के लिए यह पता लगाने की आवश्यकता होती है कि दी गई संख्या अभाज्य है या मिश्रित। सामान्य स्थिति में, यह कार्य आसान नहीं है, विशेष रूप से संख्याओं के लिए, जिनकी रिकॉर्डिंग में महत्वपूर्ण संख्या में वर्ण होते हैं। ज्यादातर मामलों में, आपको इसे हल करने के लिए किसी विशिष्ट तरीके की तलाश करनी होगी। हालाँकि, हम साधारण मामलों के लिए विचार की ट्रेन को एक दिशा देने का प्रयास करेंगे।

निस्संदेह, आप यह साबित करने के लिए विभाज्यता मानदंड का उपयोग करने का प्रयास कर सकते हैं कि दी गई संख्या संयुक्त है। यदि, उदाहरण के लिए, विभाज्यता का कोई चिन्ह दर्शाता है कि दी गई संख्या एक से अधिक किसी धनात्मक पूर्णांक से विभाज्य है, तो मूल संख्या भाज्य है।

उदाहरण।

सिद्ध कीजिए कि संख्या 898 989 898 989 898 989 भाज्य है।

समाधान।

इस संख्या के अंकों का योग 9 8 + 9 9 = 9 17 है। चूँकि 9 · 17 के बराबर संख्या 9 से विभाज्य है, तो, 9 से विभाज्यता के आधार पर, यह तर्क दिया जा सकता है कि मूल संख्या भी 9 से विभाज्य है। इसलिए, यह मिश्रित है।

इस दृष्टिकोण का एक महत्वपूर्ण दोष यह है कि विभाज्यता परीक्षण किसी को यह साबित करने की अनुमति नहीं देते हैं कि एक संख्या अभाज्य है। इसलिए, किसी संख्या की जाँच करते समय कि यह सरल है या मिश्रित, आपको अलग तरह से कार्य करने की आवश्यकता है।

सबसे तार्किक दृष्टिकोण किसी दी गई संख्या के सभी संभावित भाजक पर पुनरावृति करना है। यदि कोई भी संभावित भाजक किसी दी गई संख्या का वास्तविक भाजक नहीं है, तो यह संख्या अभाज्य होगी, अन्यथा यह भाज्य होगी। पिछले खंड में सिद्ध किए गए प्रमेयों से, यह इस प्रकार है कि दी गई संख्या के भाजक को उन अभाज्यों के बीच खोजा जाना चाहिए जो अधिक नहीं हैं। इस प्रकार, दी गई संख्या a को अभाज्य संख्याओं (जो अभाज्य संख्याओं की तालिका से लेना सुविधाजनक है) द्वारा क्रमिक रूप से विभाजित किया जा सकता है, संख्या a का भाजक ज्ञात करने का प्रयास करते हुए। यदि भाजक पाया जाता है, तो संख्या a भाज्य है। यदि, अभाज्य संख्याओं से अनधिक संख्या में, संख्या a का कोई भाजक नहीं है, तो संख्या a अभाज्य है।

उदाहरण।

संख्या 11 723 सरल या यौगिक?

समाधान।

आइए जानें कि 11 723 संख्या के भाजक कौन सी अभाज्य संख्या हो सकते हैं। इसके लिए हम अनुमान लगाएंगे।

यह बिल्कुल स्पष्ट है कि , चूंकि 200 2 = 40000, और 11 723<40 000 (при необходимости смотрите статью संख्याओं की तुलना) इस प्रकार, 11,723 के संभावित अभाज्य गुणनखंड 200 से कम हैं। यह पहले से ही हमारे कार्य को बहुत सुविधाजनक बनाता है। अगर हमें यह नहीं पता होता, तो हमें सभी अभाज्य संख्याओं को 200 तक नहीं, बल्कि 11 723 की संख्या तक पुनरावृति करना होगा।

यदि वांछित है, तो आप अधिक सटीक अनुमान लगा सकते हैं। चूँकि 108 2 = 11 664, और 109 2 = 11 881, तो 108 2<11 723<109 2 , следовательно, ... इस प्रकार, 109 से कम का कोई भी अभाज्य संख्या संभावित रूप से दी गई संख्या 11,723 का अभाज्य भाजक है।

अब हम क्रमानुसार संख्या 11 723 को अभाज्य 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67 से विभाजित करेंगे। 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107। यदि संख्या 11,723 को पूरी तरह से एक लिखित अभाज्य संख्या से विभाजित किया जाता है, तो यह संमिश्र होगा। यदि यह किसी भी लिखित अभाज्य संख्या से विभाज्य नहीं है, तो मूल संख्या अभाज्य है।

हम विभाजन की इस पूरी नीरस और नीरस प्रक्रिया का वर्णन नहीं करेंगे। तुरंत बता दें कि 11 723

एक को छोड़कर सभी प्राकृत संख्याएँ अभाज्य और भाज्य में विभाजित हैं। एक अभाज्य संख्या एक प्राकृत संख्या है जिसमें केवल दो भाजक होते हैं: एक और स्वयं... अन्य सभी को संयुक्त कहा जाता है। अभाज्य संख्याओं के गुणों का अध्ययन गणित की एक विशेष शाखा - संख्या सिद्धांत से संबंधित है। रिंग थ्योरी में, प्राइम इरेड्यूसिबल तत्वों से जुड़े होते हैं।
यहां 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73 से शुरू होने वाले अभाज्य संख्याओं का एक क्रम दिया गया है। 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, ... आदि।
अंकगणित के मुख्य प्रमेय के अनुसार, प्रत्येक प्राकृत संख्या जो एक से बड़ी होती है, उसे अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में दर्शाया जा सकता है। साथ ही, गुणनखंडों के क्रम तक प्राकृत संख्याओं को निरूपित करने का यही एकमात्र तरीका है। इसके आधार पर हम कह सकते हैं कि अभाज्य संख्याएँ प्राकृत संख्याओं के प्राथमिक भाग हैं।
किसी प्राकृत संख्या के ऐसे निरूपण को अभाज्य संख्या अपघटन या संख्या गुणनखंडन कहा जाता है।
अभाज्य संख्याओं की गणना के सबसे पुराने और सबसे प्रभावी तरीकों में से एक एरास्टोफेन चलनी है।
अभ्यास से पता चला है कि एरास्टोफेन चलनी का उपयोग करके अभाज्य संख्याओं की गणना करने के बाद, यह जांचना आवश्यक है कि दी गई संख्या अभाज्य है या नहीं। इसके लिए, विशेष परीक्षण विकसित किए गए हैं, तथाकथित सरलता परीक्षण। इन परीक्षणों के एल्गोरिथ्म संभाव्य हैं। वे क्रिप्टोग्राफी में सबसे अधिक बार उपयोग किए जाते हैं।
वैसे, संख्याओं के कुछ वर्गों के लिए विशेष प्रभावी सरलता परीक्षण हैं। उदाहरण के लिए, ल्यूक-लेमेयर परीक्षण का उपयोग सरलता के लिए मेर्सन संख्याओं की जांच के लिए किया जाता है, और पेपिन परीक्षण का उपयोग सरलता के लिए फ़र्मेट संख्याओं की जांच के लिए किया जाता है।
हम सभी जानते हैं कि अपरिमित रूप से कई संख्याएँ होती हैं। सवाल उठता है: तब कितने प्राइम हैं? अनंत संख्या में अभाज्य संख्याएँ भी हैं। इस प्रस्ताव का सबसे प्राचीन प्रमाण यूक्लिड का प्रमाण है, जो "तत्वों" में वर्णित है। यूक्लिड का प्रमाण इस प्रकार है:
आइए कल्पना करें कि अभाज्य संख्याओं की संख्या परिमित है। आइए उन्हें गुणा करें और एक जोड़ें। परिणामी संख्या को किसी भी अभाज्य संख्या के परिमित सेट से विभाजित नहीं किया जा सकता है, क्योंकि उनमें से किसी के द्वारा शेष भाग एक देता है। इस प्रकार, संख्या कुछ अभाज्य संख्या से विभाज्य होनी चाहिए जो इस सेट में शामिल नहीं है।
अभाज्य संख्या प्रमेय में कहा गया है कि n से कम अभाज्य संख्याओं की संख्या, जिसे (n) द्वारा दर्शाया जाता है, n / ln (n) के रूप में बढ़ती है।
प्राइम पर हजारों वर्षों के शोध के माध्यम से, सबसे बड़ी ज्ञात अभाज्य संख्या 243112609 - 1 पाई गई है। इस संख्या में 12,978,189 दशमलव अंक शामिल हैं और यह एक मेर्सन प्राइम (M43112609) है। यह खोज 23 अगस्त 2008 को uCLA विश्वविद्यालय के गणित विभाग में GIMPS के हिस्से के रूप में Mersenne primes की खोज के लिए वितरित की गई थी।
Mersenne संख्याओं की मुख्य विशिष्ट विशेषता अत्यधिक प्रभावी Luc-Lehmer सरलता परीक्षण की उपस्थिति है। इसकी मदद से, लंबे समय में Mersenne primes सबसे बड़ी ज्ञात अभाज्य संख्याएँ हैं।
हालाँकि, आज तक, primes के बारे में कई सवालों के सटीक जवाब नहीं मिले हैं। गणित की 5वीं अंतर्राष्ट्रीय कांग्रेस में एडमंड लैंडौ ने अभाज्य संख्याओं के क्षेत्र में मुख्य समस्याओं का सूत्रीकरण किया:
गोल्डबैक की समस्या या लैंडौ की पहली समस्या यह है कि यह साबित करना या अस्वीकृत करना आवश्यक है कि दो से बड़ी प्रत्येक सम संख्या को दो अभाज्य संख्याओं के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है, और 5 से बड़ी प्रत्येक विषम संख्या को तीन अभाज्य संख्याओं के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है।
लैंडौ की दूसरी समस्या के लिए इस प्रश्न का उत्तर खोजने की आवश्यकता है: क्या "सरल जुड़वाँ" का एक अनंत सेट है - प्राइम, जिसके बीच का अंतर 2 के बराबर है?
लीजेंड्रे का अनुमान या लैंडौ की तीसरी समस्या यह है: क्या यह सच है कि n2 और (n + 1) 2 के बीच हमेशा एक प्राइम होता है?
लैंडौ की चौथी समस्या: क्या n2 + 1 के रूप में अभाज्य संख्याओं का एक अनंत सेट है?
उपरोक्त समस्याओं के अलावा, कई पूर्णांक अनुक्रमों जैसे कि फाइबोनैचि संख्या, फ़र्मेट की संख्या, आदि में अनंत संख्या में अभाज्य संख्याओं को परिभाषित करने की समस्या है।

अनुवाद

अभाज्य संख्याओं के गुणों का अध्ययन सबसे पहले प्राचीन यूनान के गणितज्ञों ने किया था। पाइथागोरस स्कूल (500 - 300 ईसा पूर्व) के गणितज्ञ मुख्य रूप से अभाज्य संख्याओं के रहस्यमय और संख्यात्मक गुणों में रुचि रखते थे। वे सबसे पहले पूर्ण और मैत्रीपूर्ण संख्याओं के विचार के साथ आए थे।
एक पूर्ण संख्या के लिए, अपने स्वयं के भाजक का योग स्वयं के बराबर होता है। उदाहरण के लिए, 6 के उचित भाजक 1, 2, और 3.1 + 2 + 3 = 6 हैं। 28 के लिए, भाजक 1, 2, 4, 7 और 14 हैं। इसके अलावा, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.
संख्याएँ मित्रवत कहलाती हैं यदि एक संख्या के उचित भाजक का योग दूसरी संख्या के बराबर हो, और इसके विपरीत - उदाहरण के लिए, 220 और 284। हम कह सकते हैं कि एक पूर्ण संख्या स्वयं के अनुकूल होती है।
300 ईसा पूर्व में यूक्लिड के काम "बिगिनिंग्स" की उपस्थिति के समय तक। अभाज्य संख्याओं के बारे में कई महत्वपूर्ण तथ्य पहले ही सिद्ध हो चुके हैं। शुरुआत की पुस्तक IX में, यूक्लिड ने साबित किया कि अनंत संख्या में अभाज्य संख्याएँ हैं। संयोग से, यह विरोधाभास द्वारा प्रमाण के उपयोग के पहले उदाहरणों में से एक है। उन्होंने अंकगणित के मूल प्रमेय को भी सिद्ध किया - प्रत्येक पूर्णांक को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में विशिष्ट रूप से दर्शाया जा सकता है।
उन्होंने यह भी दिखाया कि यदि संख्या 2 n -1 अभाज्य है, तो संख्या 2 n-1 * (2 n -1) पूर्ण होगी। एक अन्य गणितज्ञ, यूलर, 1747 में यह दिखाने में सक्षम था कि सभी सम पूर्ण संख्याओं को इस रूप में लिखा जा सकता है। आज तक, यह ज्ञात नहीं है कि विषम पूर्ण संख्याएँ मौजूद हैं या नहीं।

वर्ष 200 ईसा पूर्व में। ग्रीक एराटोस्थनीज अभाज्य संख्याओं को खोजने के लिए एक एल्गोरिथम के साथ आया था जिसे "इराटोस्थनीज की छलनी" कहा जाता है।
और फिर मध्य युग से जुड़े अभाज्य संख्याओं के अध्ययन के इतिहास में एक बड़ा विराम आया।
निम्नलिखित खोजें 17वीं शताब्दी की शुरुआत में गणितज्ञ फ़र्मेट द्वारा की गई थीं। उन्होंने अल्बर्ट गिरार्ड की परिकल्पना को सिद्ध किया कि 4n + 1 के रूप की किसी भी अभाज्य संख्या को दो वर्गों के योग के रूप में एक अनोखे तरीके से लिखा जा सकता है, और इस प्रमेय को भी तैयार किया कि किसी भी संख्या को चार वर्गों के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है।
उन्होंने बड़ी संख्याओं के गुणनखंडन के लिए एक नई विधि विकसित की, और इसे संख्या 2027651281 = 44021 × 46061 पर प्रदर्शित किया। उन्होंने फ़र्मेट की छोटी प्रमेय को भी सिद्ध किया: यदि p एक अभाज्य संख्या है, तो किसी भी पूर्णांक के लिए यह सही होगा ap = a modulo p .
यह कथन "चीनी परिकल्पना" के रूप में जाना जाने वाला आधा साबित करता है और 2000 साल पहले की तारीख है: एक पूर्णांक n अभाज्य है यदि और केवल यदि 2 n -2 n से विभाज्य है। परिकल्पना का दूसरा भाग गलत निकला - उदाहरण के लिए, 2341 - 2 341 से विभाज्य है, हालाँकि 341 एक संयुक्त संख्या है: 341 = 31 × 11।
Fermat's Little Theorem ने संख्या सिद्धांत में कई अन्य परिणामों के आधार के रूप में कार्य किया और संख्याओं के परीक्षण के तरीकों को अभाज्य संख्याओं से संबंधित किया - जिनमें से कई आज भी उपयोग में हैं।
फ़र्मेट ने अपने समकालीनों के साथ बहुत कुछ किया, विशेष रूप से मैरेन मेर्सन नामक एक भिक्षु के साथ। अपने एक पत्र में, उन्होंने यह अनुमान लगाया था कि यदि n दो की घात है तो 2 n +1 के रूप की संख्या हमेशा अभाज्य होगी। उन्होंने n = 1, 2, 4, 8, और 16 के लिए इसकी जाँच की, और उन्हें विश्वास था कि उस स्थिति में जहाँ n दो की घात नहीं है, संख्या आवश्यक रूप से सरल नहीं है। इन नंबरों को फ़र्मेट्स नंबर कहा जाता है, और केवल 100 साल बाद यूलर ने दिखाया कि अगली संख्या, 2 32 + 1 = 4294967297 641 से विभाज्य है, और इसलिए यह अभाज्य नहीं है।
प्रपत्र 2 n - 1 की संख्याएँ भी शोध का विषय थीं, क्योंकि यह दिखाना आसान है कि यदि n संयुक्त है, तो संख्या स्वयं भी संमिश्र है। इन नंबरों को मेर्सन नंबर कहा जाता है क्योंकि उन्होंने सक्रिय रूप से उनका अध्ययन किया था।
लेकिन 2 n-1 के रूप की सभी संख्याएँ, जहाँ n अभाज्य है, अभाज्य नहीं हैं। उदाहरण के लिए, 2 11 - 1 = 2047 = 23 * 89। यह पहली बार 1536 में खोजा गया था।
कई वर्षों से, इस तरह की संख्याओं ने गणितज्ञों को सबसे बड़ी ज्ञात अभाज्य संख्याएँ दी हैं। संख्या M 19 को कैटाल्डी द्वारा 1588 में सिद्ध किया गया था, और 200 वर्षों के लिए सबसे बड़ी ज्ञात अभाज्य संख्या थी, जब तक कि यूलर ने यह साबित नहीं कर दिया कि M 31 भी अभाज्य है। यह रिकॉर्ड एक और सौ साल तक चला, और फिर लुकास ने दिखाया कि एम 127 सरल है (और यह पहले से ही 39 अंकों की संख्या है), और उसके बाद कंप्यूटर के आगमन के साथ शोध जारी रहा।
1952 में, M 521, M 607, M 1279, M 2203, और M 2281 संख्याओं की सरलता सिद्ध हुई।
2005 तक, 42 Mersenne primes मिल चुके हैं। उनमें से सबसे बड़ा, एम 25964951, में 7,816,230 अंक होते हैं।
यूलर के काम का अभाज्य संख्याओं सहित संख्याओं के सिद्धांत पर बहुत बड़ा प्रभाव पड़ा। उन्होंने फ़र्मेट के छोटे प्रमेय का विस्तार किया और -फ़ंक्शन की शुरुआत की। फ़ैक्टराइज़्ड फ़र्मेट की 5वीं संख्या 2 32 +1, अनुकूल संख्याओं के 60 जोड़े मिले, और द्विघात पारस्परिकता कानून तैयार किया (लेकिन साबित नहीं हो सका)।
वह गणितीय विश्लेषण के तरीकों को पेश करने वाले पहले व्यक्ति थे और उन्होंने संख्याओं के विश्लेषणात्मक सिद्धांत को विकसित किया था। उन्होंने साबित किया कि न केवल एक हार्मोनिक श्रृंखला (1 / n), बल्कि रूप की एक श्रृंखला भी है
1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 +…
अभाज्य संख्याओं के व्युत्क्रम से प्राप्त योग भी विचलन करता है। हार्मोनिक श्रृंखला के n पदों का योग लगभग लॉग (n) की तरह बढ़ता है, और दूसरी श्रृंखला अधिक धीरे-धीरे विचलन करती है, जैसे लॉग [लॉग (एन)]। इसका मतलब यह है कि, उदाहरण के लिए, आज तक पाए गए सभी अभाज्यों के व्युत्क्रमों का योग केवल 4 देगा, हालांकि श्रृंखला अभी भी विचलन कर रही है।
पहली नज़र में, ऐसा लगता है कि पूर्णांकों के बीच अभाज्य संख्याओं को बेतरतीब ढंग से वितरित किया जाता है। उदाहरण के लिए, 100,000,000 से पहले सीधे जाने वाली 100 संख्याओं में से 9 अभाज्य संख्याएँ हैं, और इस मान के तुरंत बाद की 100 संख्याओं में से केवल 2 हैं। लेकिन बड़े खंडों पर, अभाज्य संख्याएँ समान रूप से वितरित की जाती हैं। लीजेंड्रे और गॉस ने उनके वितरण से निपटा। गॉस ने एक बार एक मित्र से कहा था कि किसी भी खाली 15 मिनट में वह हमेशा अगले 1000 अंकों में अभाज्य संख्याओं की संख्या गिनता है। अपने जीवन के अंत तक, उन्होंने सभी अभाज्य संख्याओं को 3 मिलियन तक की सीमा में गिन लिया। लीजेंड्रे और गॉस ने समान रूप से गणना की कि बड़े एन के लिए प्रमुख घनत्व 1 / लॉग (एन) है। लीजेंड्रे ने 1 से n तक की सीमा में अभाज्य संख्याओं की संख्या का अनुमान लगाया
(एन) = एन / (लॉग (एन) - 1.08366)
और गॉस - एक लघुगणकीय समाकल के रूप में
(एन) = 1 / लॉग (टी) डीटी
2 से n के एकीकरण अंतराल के साथ।
अभाज्य संख्याओं 1 / log (n) के घनत्व के बारे में कथन को अभाज्य संख्या प्रमेय के रूप में जाना जाता है। उन्होंने 19वीं सदी में इसे साबित करने की कोशिश की और चेबीशेव और रीमैन ने प्रगति की। उन्होंने इसे रीमैन परिकल्पना के साथ जोड़ा, जो रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन के शून्य के वितरण पर अभी भी अप्रमाणित परिकल्पना है। अभाज्य संख्याओं का घनत्व एक साथ 1896 में हैडमर्ड और डे ला वेली-पौसिन द्वारा सिद्ध किया गया था।
अभाज्य संख्या सिद्धांत में अभी भी कई अनसुलझे मुद्दे हैं, जिनमें से कुछ सैकड़ों वर्ष पुराने हैं:
जुड़वां अभाज्य संख्याओं के बारे में अनुमान - एक दूसरे से 2 . से भिन्न अभाज्य संख्याओं के जोड़े की अनंत संख्या के बारे में

गोल्डबैक का अनुमान: किसी भी सम संख्या, जो 4 से शुरू होती है, को दो अभाज्य संख्याओं के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है

क्या n 2 + 1 के रूप में अपरिमित रूप से अनेक अभाज्य संख्याएँ हैं?

क्या n 2 और (n + 1) 2 के बीच एक अभाज्य संख्या ज्ञात करना हमेशा संभव है? (तथ्य यह है कि n और 2n के बीच हमेशा एक अभाज्य संख्या होती है जिसे चेबीशेव ने सिद्ध किया था)

क्या फ़र्मेट के प्राइम अनंत हैं? क्या चौथे के बाद कोई फ़र्मेट प्राइम हैं?

क्या किसी दी गई लंबाई के लिए लगातार अभाज्य संख्याओं की अंकगणितीय प्रगति है? उदाहरण के लिए, लंबाई 4: 251, 257, 263, 269 के लिए। अधिकतम लंबाई 26 मिली है।

क्या एक समान्तर श्रेणी में तीन क्रमागत अभाज्य संख्याओं के समुच्चय अनंत हैं?

n 2 - n + 41 0 n 40 के लिए एक अभाज्य संख्या है। क्या ऐसे अभाज्य संख्याओं की अनंत संख्या है? सूत्र n 2 - 79 n + 1601 के लिए वही प्रश्न। ये संख्याएँ 0 n 79 के लिए अभाज्य हैं।

क्या n # + 1 जैसे अभाज्य संख्याओं की अनंत संख्या है? (n # n से कम सभी अभाज्य संख्याओं का गुणन है)

क्या n # -1 जैसे अपरिमित रूप से कई अभाज्य संख्याएँ हैं?

क्या n के रूप में अभाज्य संख्याओं की अनंत संख्या है! +1?

क्या n के रूप में अभाज्य संख्याओं की अनंत संख्या है! - 1?

यदि p अभाज्य है, तो क्या 2 p -1 में हमेशा वर्गों के गुणनखंडों में अभाज्य संख्याएँ नहीं होती हैं

क्या फाइबोनैचि अनुक्रम में अनंत संख्या में अभाज्य संख्याएँ होती हैं?

प्राइम में सबसे बड़े जुड़वाँ 2003663613 × 2 195000 ± 1 हैं। इनमें 58711 अंक होते हैं और 2007 में पाए गए थे।
सबसे बड़ा भाज्य अभाज्य (प्ररूप n! ± 1 का) 147855 है! - 1. इसमें 142,891 अंक होते हैं और 2002 में पाए गए थे।
सबसे बड़ा प्राइमवल प्राइम (एन # ± 1 जैसी संख्या) 1098133 # + 1 है।
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संख्याएँ भिन्न हैं: प्राकृतिक, प्राकृतिक, परिमेय, पूर्ण और भिन्नात्मक, धनात्मक और ऋणात्मक, जटिल और सरल, विषम और सम, वास्तविक, आदि। इस लेख से आप पता लगा सकते हैं कि अभाज्य संख्याएँ क्या हैं।
किन संख्याओं को अंग्रेजी शब्द "सरल" कहा जाता है?
बहुत बार, स्कूली बच्चों को यह नहीं पता होता है कि गणित के किसी एक साधारण प्रश्न का उत्तर कैसे दिया जाए, एक अभाज्य संख्या क्या है। वे अक्सर अभाज्य संख्याओं को प्राकृतिक संख्याओं के साथ भ्रमित करते हैं (अर्थात, वे संख्याएँ जिनका उपयोग लोग वस्तुओं की गिनती करते समय करते हैं, जबकि कुछ स्रोतों में वे शून्य से शुरू होते हैं, और अन्य में - एक पर)। लेकिन ये पूरी तरह से दो अलग अवधारणाएं हैं। अभाज्य संख्याएँ प्राकृतिक होती हैं, अर्थात् पूर्ण और धनात्मक संख्याएँ जो एक से बड़ी होती हैं और जिनमें केवल 2 प्राकृतिक भाजक होते हैं। इसके अलावा, इनमें से एक भाजक दी गई संख्या है, और दूसरा एक है। उदाहरण के लिए, तीन एक अभाज्य संख्या है क्योंकि यह स्वयं और एक के अलावा किसी अन्य संख्या से विभाज्य नहीं है।
समग्र संख्या
मिश्रित संख्याएँ अभाज्य संख्याओं के विपरीत होती हैं। वे प्राकृतिक भी हैं, वे भी एक से अधिक हैं, लेकिन उनके पास दो नहीं, बल्कि बड़ी संख्या में भाजक हैं। इसलिए, उदाहरण के लिए, संख्याएँ 4, 6, 8, 9, आदि प्राकृतिक, संयुक्त हैं, लेकिन अभाज्य संख्याएँ नहीं हैं। जैसा कि आप देख सकते हैं, ये ज्यादातर सम संख्याएं हैं, लेकिन सभी नहीं। लेकिन "दो" एक सम संख्या है और अभाज्य संख्याओं की श्रृंखला में "पहली संख्या" है।
परिणाम को
अभाज्य संख्याओं की एक श्रृंखला बनाने के लिए, उनकी परिभाषा को ध्यान में रखते हुए, सभी प्राकृतिक संख्याओं में से चयन करना आवश्यक है, अर्थात आपको विरोधाभास से कार्य करने की आवश्यकता है। यह देखने के लिए कि क्या इसमें दो से अधिक भाजक हैं, प्रत्येक सकारात्मक प्राकृतिक संख्याओं पर विचार करना आवश्यक है। आइए अभाज्य संख्याओं की एक श्रृंखला (अनुक्रम) बनाने का प्रयास करें। सूची दो से शुरू होती है, अगला तीन आता है, क्योंकि यह केवल अपने आप से और एक से विभाज्य है। संख्या चार पर विचार करें। क्या इसमें चार और एक के अलावा अन्य भाजक हैं? हाँ, यह संख्या 2 है। अतः चार एक अभाज्य संख्या नहीं है। पांच भी अभाज्य है (1 और 5 को छोड़कर, यह किसी अन्य संख्या से विभाज्य नहीं हो सकता), लेकिन छह विभाज्य है। और सामान्य तौर पर, यदि आप सभी सम संख्याओं का अनुसरण करते हैं, तो आप देखेंगे कि "दो" के अलावा, उनमें से कोई भी सरल नहीं है। इससे हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि दो को छोड़कर सम संख्याएँ अभाज्य नहीं होती हैं। एक और खोज: तीनों को छोड़कर, तीन से विभाज्य सभी संख्याएँ, चाहे सम या विषम, भी सरल नहीं हैं (6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, आदि)। वही उन संख्याओं के लिए जाता है जो पाँच और सात से विभाज्य हैं। वे सभी भी सरल नहीं हैं। आइए संक्षेप करते हैं। तो, सभी विषम संख्याएँ, एक और नौ को छोड़कर, और सम से - केवल "दो" साधारण एकल-अंकीय संख्याओं से संबंधित हैं। दर्जनों स्वयं (10, 20, ... 40, आदि) सरल नहीं हैं। उपरोक्त सिद्धांतों के आधार पर दो अंकों, तीन अंकों, आदि प्राइम निर्धारित किए जा सकते हैं: यदि उनके पास स्वयं और इकाई के अलावा कोई अन्य विभाजक नहीं है।
अभाज्य संख्याओं के गुणों के बारे में सिद्धांत
एक ऐसा विज्ञान है जो अभाज्य संख्याओं सहित पूर्णांकों के गुणों का अध्ययन करता है। यह गणित की एक शाखा है जिसे हायर कहा जाता है। पूर्णांकों के गुणों के अलावा, वह बीजगणितीय, अनुवांशिक संख्याओं के साथ-साथ इन संख्याओं के अंकगणित से संबंधित विभिन्न मूल के कार्यों से भी संबंधित है। इन अध्ययनों में, प्रारंभिक और बीजीय विधियों के अलावा, विश्लेषणात्मक और ज्यामितीय विधियों का भी उपयोग किया जाता है। विशेष रूप से, अभाज्य संख्याओं का अध्ययन "संख्याओं के सिद्धांत" में लगा हुआ है।
अभाज्य संख्याएँ प्राकृतिक संख्याओं के "बिल्डिंग ब्लॉक्स" हैं
अंकगणित में एक प्रमेय होता है जिसे मुख्य कहा जाता है। उनके अनुसार, एक को छोड़कर किसी भी प्राकृतिक संख्या को एक उत्पाद के रूप में दर्शाया जा सकता है, जिसके कारक अभाज्य संख्याएँ हैं, और कारकों का क्रम अद्वितीय है, इसका मतलब है कि प्रतिनिधित्व विधि अद्वितीय है। इसे किसी प्राकृत संख्या का अभाज्य गुणनखंडन कहते हैं। इस प्रक्रिया का एक और नाम है - संख्याओं का गुणनखंडन। इसके आधार पर, प्राकृतिक संख्याओं के निर्माण के लिए अभाज्य संख्याओं को "निर्माण सामग्री", "ब्लॉक" कहा जा सकता है।
प्राइम नंबर खोजें। सरलता परीक्षण
अलग-अलग समय के कई वैज्ञानिकों ने अभाज्य संख्याओं की सूची खोजने के लिए कुछ सिद्धांतों (प्रणालियों) को खोजने की कोशिश की है। विज्ञान उन प्रणालियों को जानता है जिन्हें एटकिन चलनी, सुंदरतम चलनी, एराटोस्थनीज चलनी कहा जाता है। हालांकि, वे कोई महत्वपूर्ण परिणाम नहीं देते हैं, और एक साधारण जांच का उपयोग अभाज्य संख्याओं को खोजने के लिए किया जाता है। एल्गोरिदम भी गणितज्ञों द्वारा बनाए गए थे। उन्हें सरलता परीक्षण कहा जाता है। उदाहरण के लिए, राबिन और मिलर द्वारा विकसित एक परीक्षण है। इसका उपयोग क्रिप्टोग्राफर द्वारा किया जाता है। कायला-अग्रवाला-सस्केना परीक्षण भी है। हालांकि, इसकी पर्याप्त सटीकता के बावजूद, इसकी गणना करना बहुत मुश्किल है, जिससे इसका व्यावहारिक मूल्य कम हो जाता है।
क्या अभाज्य संख्याओं के समुच्चय की कोई सीमा होती है?
प्राचीन यूनानी वैज्ञानिक यूक्लिड ने "बिगिनिंग्स" पुस्तक में लिखा है कि साधारण चीजों का समुच्चय अनंत है। उन्होंने कहा: "आइए एक पल के लिए दिखावा करें कि अभाज्य संख्याओं की एक सीमा होती है। फिर आइए उन्हें एक-दूसरे से गुणा करें, और उत्पाद में एक जोड़ें। इन सरल क्रियाओं के परिणामस्वरूप प्राप्त संख्या अभाज्य संख्याओं की किसी भी श्रृंखला से विभाज्य नहीं हो सकती, क्योंकि शेष में हमेशा एक होगा। इसका मतलब है कि कुछ अन्य संख्याएँ हैं जो अभी तक अभाज्य संख्याओं की सूची में शामिल नहीं हैं। इसलिए, हमारी धारणा सत्य नहीं है, और इस सेट की कोई सीमा नहीं हो सकती है। यूक्लिड के प्रमाण के अलावा, अठारहवीं शताब्दी के स्विस गणितज्ञ लियोनार्ड यूलर द्वारा दिया गया एक और आधुनिक सूत्र है। उनके अनुसार, पहली n संख्याओं के योग का व्युत्क्रम संख्या n की वृद्धि के साथ अनिश्चित काल तक बढ़ता है। और यहाँ अभाज्य संख्याओं के वितरण के संबंध में प्रमेय का सूत्र है: (n) n / ln (n) की तरह बढ़ता है।
सबसे बड़ी अभाज्य संख्या क्या है?
वही लियोनार्ड यूलर अपने समय के लिए सबसे बड़ी अभाज्य संख्या खोजने में सक्षम थे। यह 2 31 - 1 = 2147483647 है। हालाँकि, 2013 तक, अभाज्य संख्याओं की सूची में एक और सबसे सटीक सबसे बड़ी गणना की गई - 2 57885161 - 1। इसे मेर्सन संख्या कहा जाता है। इसमें लगभग 17 मिलियन दशमलव अंक हैं। जैसा कि आप देख सकते हैं, अठारहवीं शताब्दी के एक वैज्ञानिक द्वारा खोजी गई संख्या इससे कई गुना कम है। यह वैसा ही था जैसा होना चाहिए, क्योंकि यूलर ने यह गणना मैन्युअल रूप से की थी, जबकि हमारे समकालीन को शायद एक कंप्यूटर द्वारा मदद मिली थी। इसके अलावा, यह संख्या अमेरिकी संकायों में से एक में गणित के संकाय में प्राप्त की गई थी। इस वैज्ञानिक के नाम पर दिए गए नंबर सादगी के ल्यूक-लेमेयर परीक्षण को पास करते हैं। हालांकि, विज्ञान यहीं रुकना नहीं चाहता है। इलेक्ट्रॉनिक फ्रंटियर फ़ाउंडेशन, जिसे 1990 में संयुक्त राज्य अमेरिका (EFF) में स्थापित किया गया था, ने बड़े अपराधों को खोजने के लिए एक मौद्रिक इनाम दिया है। और अगर 2013 तक पुरस्कार उन वैज्ञानिकों के कारण था जो उन्हें 1 और 10 मिलियन दशमलव संख्याओं में से ढूंढते हैं, तो आज यह आंकड़ा 100 मिलियन से 1 बिलियन तक पहुंच गया है। पुरस्कार $ 150,000 से $ 250,000 तक हैं।
विशेष अभाज्य नाम
वे संख्याएँ जो कुछ वैज्ञानिकों द्वारा बनाए गए एल्गोरिदम के लिए धन्यवाद पाई गईं और सरलता परीक्षण पास कर लीं, विशेष कहलाती हैं। यहाँ उनमें से कुछ हैं:
1. मेर्सन।
4. कलन।
6. मिल्स एट अल।
उपरोक्त वैज्ञानिकों के नाम पर इन संख्याओं की सरलता निम्नलिखित परीक्षणों का उपयोग करके स्थापित की जाती है:
1. लुकास-लेमर।
2. पेपिना।
3. रिज़ल।
4. बिलहार्ट - लेमर - सेल्फ्रिज और अन्य।
आधुनिक विज्ञान यहीं नहीं रुकता है, और, शायद, निकट भविष्य में, दुनिया उन लोगों के नामों को पहचान लेगी जो सबसे बड़ी अभाज्य संख्या का पता लगाकर $ 250,000 का पुरस्कार प्राप्त करने में सक्षम थे।