Razmislite o razmerju obrazca F(x, y)=0 povezovanje spremenljivk x in pri. Enakost (1) se imenuje enačba z dvema spremenljivkama x, y,če ta enakost ne velja za vse pare števil X in pri. Primeri enačb: 2x + 3y \u003d 0, x 2 + y 2 - 25 \u003d 0,
sin x + sin y - 1 = 0.
Če (1) velja za vse pare števil x in y, se imenuje identiteto. Primeri identitete: (x + y) 2 - x 2 - 2xy - y 2 = 0, (x + y) (x - y) - x 2 + y 2 \u003d 0.
Enačba (1) bo poklicana enačba množice točk (x; y),če to enačbo izpolnjujejo koordinate X in pri katere koli točke množice in ne izpolnjujejo koordinat nobene točke, ki ne pripadajo tej množici.
Pomemben koncept v analitični geometriji je koncept enačbe premice. Naj bo pravokoten koordinatni sistem in neka črta α.
Opredelitev. Enačba (1) se imenuje linearna enačba α
(v ustvarjenem koordinatnem sistemu), če to enačbo izpolnjujejo koordinate X in pri katero koli točko na črti α
, in ne izpolnjujejo koordinat nobene točke, ki ne leži na tej premici.
Če je (1) enačba vrstic α, potem bomo rekli, da je enačba (1) določa (nastavi) vrstico α.
vrstica α je mogoče določiti ne samo z enačbo oblike (1), ampak tudi z enačbo oblike
F(P, φ) = 0, ki vsebuje polarne koordinate.
- enačba premice z naklonom;
Naj bo podana neka ravna črta, ki ni pravokotna na os OH. pokličimo kot nagiba dana črta na os OH injekcija α s katerim se vrti os OH tako da pozitivna smer sovpada z eno od smeri premice. Tangenta kota naklona premice na os OH poklical faktor naklona ta ravna črta in označena s črko Za.
|
|||
|
|||
Izvedemo enačbo te premice, če jo poznamo Za in vrednost v segmentu OV, ki jo odreže na osi OU.
|
|
Enačba (2) se imenuje enačba premice z naklonom.Če K=0, potem je črta vzporedna z osjo OH in njena enačba je y = b.
- enačba premice, ki poteka skozi dve točki;
|
|
. To je enačba, če y 1 ≠ y 2, lahko zapišemo kot: Če y 1 = y 2, potem ima enačba želene ravne črte obliko y = y 1. V tem primeru je črta vzporedna z osjo OH. Če x 1 = x 2, nato pa premica, ki poteka skozi točke M 1 in M 2, vzporedno z osjo OU, ima njegova enačba obliko x = x 1.
- enačba premice, ki poteka skozi dano točko z danim naklonom;
|
|
in, nasprotno, enačba (5) za poljubne koeficiente A, B, C (AMPAK in B ≠ 0 hkrati) definira neko črto v pravokotnem koordinatnem sistemu Ohu.
Dokaz.
Najprej dokažimo prvo trditev. Če črta ni pravokotna Oh, potem je določeno z enačbo prve stopnje: y = kx + b, tj. enačba v obliki (5), kjer je
A=k, B=-1 in C = b.Če je črta pravokotna Oh, potem imajo vse njene točke enako absciso, ki je enaka vrednosti α segment, odrezan z ravno črto na osi Oh.
Enačba te vrstice ima obliko x = α, tiste. je tudi enačba prve stopnje v obliki (5), kjer je A \u003d 1, B \u003d 0, C \u003d - α. To dokazuje prvo trditev.
Dokažimo obratno trditev. Naj bo podana enačba (5) in vsaj eden od koeficientov AMPAK in B ≠ 0.
Če B ≠ 0, potem lahko (5) zapišemo kot . nagnjena 
, dobimo enačbo y = kx + b, tj. enačba v obliki (2), ki definira ravno črto.
Če B = 0, potem A ≠ 0 in (5) ima obliko . Označevanje skozi α, dobimo
x = α, tj. enačba premice pravokotne Ox.
Črte, ki jih v pravokotnem koordinatnem sistemu definiramo z enačbo prve stopnje, se imenujejo vrstice prvega reda.
Tipska enačba Ah + Wu + C = 0 je nepopolna, tj. eden od koeficientov je enak nič.
1) C = 0; Ah + Wu = 0 in definira premico, ki poteka skozi izhodišče.
2) B = 0 (A ≠ 0); enačbo Ax + C = 0 OU.
3) A = 0 (B ≠ 0); Wu + C = 0 in definira vzporedno črto Oh.
Enačbo (6) imenujemo enačba premice "v segmentih". Številke a in b so vrednosti odsekov, ki jih ravna črta preseka na koordinatnih osih. Ta oblika enačbe je primerna za geometrijsko konstrukcijo ravne črte.
- normalna enačba ravne črte;
Аx + Вy + С = 0 je splošna enačba neke premice in (5) x cos α + y sin α – p = 0(7)
njena normalna enačba.
Ker enačbi (5) in (7) definirata isto ravno črto, potem ( A 1x + B 1y + C 1 \u003d 0 in
A 2x + B 2y + C 2 = 0 => 
) so koeficienti teh enačb sorazmerni. To pomeni, da z množenjem vseh členov enačbe (5) z nekim faktorjem M dobimo enačbo MA x + MB y + MS = 0, ki sovpada z enačbo (7), tj.
MA = cos α, MB = sin α, MC = - P(8)
Da najdemo faktor M, kvadriramo prvi dve od teh enakosti in dodamo:
M 2 (A 2 + B 2) \u003d cos 2 α + sin 2 α \u003d 1
(9)
Enačba premice na ravnini XOY je enačba, ki izpolnjuje koordinate x in y vsake točke na tej premici in ne izpolnjuje koordinat nobene točke, ki ne leži na tej premici. Na splošno lahko enačbo vrstice zapišemo kot 0), (yx. F ali) (xfy
Naj je podana ravna črta, ki seka os y v točki B (0, c) in tvori kot α z osjo x. Izberimo poljubno točko M(x, y) na ravni črti.
x y M N
Koordinate točke N (x, in). Iz trikotnika BMN: k je naklon premice. k x od NB MN tg bkxy
Oglejmo si posebne primere: - enačba premice, ki poteka skozi izhodišče. 10 bkxy 2 bytg 00 je enačba premice, vzporedne z osjo x.
to pomeni, da navpična črta nima naklona. 3 22 tg - ne obstaja Enačba premice, ki je vzporedna z osjo y, ima v tem primeru obliko ax, kjer je a odsek, ki je odrezan s premo črto na osi x.
Naj ravna črta poteka skozi dano točko2 in tvori kot α z osjo x, (111 yx. M
Ker točka M 1 leži na ravni črti, morajo njene koordinate izpolnjevati enačbo (1): Odštejte to enačbo od enačbe (1): bkxy 11)(11 xxkyy)
Če naklon v tej enačbi ni definiran, potem definira snop premic, ki potekajo skozi dano točko, razen premice, vzporedne z osjo y, ki nima naklona. xy
Naj bo podana ravna črta, ki poteka skozi dve točki: Napišimo enačbo svinčnika ravnih črt, ki poteka skozi točko M
Ker točka M 2 leži na dani premici, njene koordinate nadomestimo v enačbo svinčnika premic :) (1212 xxkyy 12 12 xx yy k V enačbo svinčnika premic nadomestimo k. Tako izberemo med ta žarek je črta, ki poteka skozi dve dani točki:
1 12 12 1 xx xx yy yy ali 12 1 xx xx yy yy
ODLOČITEV. Koordinate točk nadomestimo v enačbo premice, ki poteka skozi dve točki. 53 5 42 4 xy)5 (8 6 4 xy 4 1 4 3 xy
Naj bo podana ravna črta, ki na koordinatnih oseh odreže segmenta, enaka a in b. To pomeni, da gre skozi točke)0, (a. A), 0(b. B) Poiščimo enačbo te premice.
xy 0 ab
Zamenjajmo koordinate točk A in B v enačbo premice, ki poteka skozi dve točki (3): a ax b y 00 0 a ax b y 1 ax b y 1 b y a x
PRIMER. Sestavi enačbo premice, ki poteka skozi točko A (2, -1), če odseka od pozitivne polose y dvakrat večji odsek kot na pozitivni pol osi x.
ODLOČITEV. Glede na pogoj problema ab 2 Substitut v enačbi (4): 1 2 a y a x Točka A(2, -1) leži na tej premici, zato njene koordinate izpolnjujejo to enačbo: 1 2 12 aa 1 2 41 a 23 a 1 35. 1 yx
Razmislite o enačbi: Razmislite o posebnih primerih te enačbe in pokažite, da je za vse vrednosti koeficientov A, B (ki niso enaki nič hkrati) in C ta enačba enačba premice na ravnini. 0 CBby. Ax
Nato lahko enačbo (5) predstavimo na naslednji način: Nato dobimo enačbo (1): Označimo: 10 B B C x B A y k B A b B C bkxy
Takrat enačba izgleda takole: Dobimo enačbo: - enačbo premice, ki poteka skozi izhodišče. 2000 CAB x B A y 3 000 CAB BC y je enačba premice, vzporedne z osjo x.
Potem je enačba videti takole: Dobimo enačbo: - enačbo osi x. 40 y 5 000 CAB je enačba premice, vzporedne z osjo y. 000 CAB A C x
Takrat ima enačba obliko: - enačba osi y. 60 x 000 CAB Tako je za poljubne vrednosti koeficientov A, B (ki niso enaki nič hkrati) in C enačba (5) enačba premice na ravnini. to je
Če sta dve premici vzporedni s tretjo premico, potem sta vzporedni.3. Kateri izrek se imenuje inverzni od tega izreka? Navedite primere izrekov, ki so inverzni glede na podatke. 4. Dokažite, da sta, ko dve vzporedni premici sekata sekanto, ležeča kota enaka. 5. Dokažite, da če je premica pravokotna na enega od dve vzporednici, potem je tudi pravokotna na drugo.6.Dokaži, da sta na presečišču dveh vzporednih premic sekante: a) ustrezna kota enaka; b) vsota enostranskih kotov je 180°.
Prosim za pomoč pri vprašanjih o geometriji (9. razred)! 2) Kaj pomeni razstaviti vektor na dva deladanih vektorjev. 9) Kolikšen je vektor polmera točke Dokaži, da so koordinate točke enake ustreznim koordinatam vektorjev. 10) Izvedite formule za izračun koordinat vektorja iz koordinat njegovega začetka in konca. 11) Izvedite formule za izračun koordinat vektorja iz koordinat njegovih koncev. 12) Izpelji formulo za izračun dolžine vektorja po njegovih koordinatah. 13) Izpelji formulo za izračun razdalje med dvema točkama po njunih koordinatah. 15) Kateri enačbi pravimo enačba te premice? Podajte primer. 16) Izpelji enačbo kroga danega polmera s središčem v dani točki.
1) Formulirajte in dokažite lemo o kolinearnih vektorjih.
3) Formulirajte in dokažite izrek o razširitvi vektorja v dveh nekolinearnih vektorjih.
4) Pojasni, kako je uveden pravokotni koordinatni sistem.
5) Kaj so koordinatni vektorji?
6) Formuliraj in dokaži trditev o razgradnji poljubnega vektorja v koordinatne vektorje.
7) Kaj so vektorske koordinate?
8) Formuliraj in dokaži pravila za iskanje koordinat vsote in razlike vektorjev ter produkta vektorja s številom po danih koordinatah vektorjev.
10) Izvedite formule za izračun koordinat vektorja iz koordinat njegovega začetka in konca.
11) Izvedite formule za izračun koordinat vektorja iz koordinat njegovih koncev.
12) Izpelji formulo za izračun dolžine vektorja po njegovih koordinatah.
13) Izpelji formulo za izračun razdalje med dvema točkama po njunih koordinatah.
14) Navedite primer reševanja geometrijskega problema s koordinatno metodo.
16) Izpelji enačbo kroga danega polmera s središčem v dani točki.
17) Napišite enačbo za krog z danim polmerom s središčem na izhodišču.
18) Izpelji enačbo te premice v pravokotnem koordinatnem sistemu.
19) Napišite enačbo premic, ki potekajo skozi dano točko M0 (X0: Y0) in so vzporedne s koordinatnimi osmi.
20) Napiši enačbo koordinatnih osi.
21) Navedite primere uporabe enačb kroga in premice pri reševanju geometrijskih nalog.
Prosim, zelo je potrebno! Po možnosti z risbami (kjer je potrebno)!
GEOMETRIJA 9 RAZRED.1) Formulirajte in dokažite lemo o kolinearnih vektorjih.
2) Kaj pomeni razstaviti vektor na dva podana vektorja.
3) Formulirajte in dokažite izrek o razširitvi vektorja v dveh nekolinearnih vektorjih.
4) Pojasni, kako je uveden pravokotni koordinatni sistem.
5) Kaj so koordinatni vektorji?
6) Formuliraj in dokaži trditev o razgradnji poljubnega vektorja v koordinatne vektorje.
7) Kaj so vektorske koordinate?
8) Formuliraj in dokaži pravila za iskanje koordinat vsote in razlike vektorjev ter produkta vektorja s številom po danih koordinatah vektorjev.
9) Kakšen je vektor polmera točke? Dokaži, da so koordinate točke enake ustreznim koordinatam vektorjev.
14) Navedite primer reševanja geometrijskega problema s koordinatno metodo.
15) Kakšna enačba se imenuje enačba te premice? Navedite primer.
17) Napišite enačbo za krog z danim polmerom s središčem na izhodišču.
18) Izpelji enačbo te premice v pravokotnem koordinatnem sistemu.
19) Napišite enačbo premic, ki potekajo skozi dano točko M0 (X0: Y0) in so vzporedne s koordinatnimi osmi.
20) Napiši enačbo koordinatnih osi.
21) Navedite primere uporabe enačb kroga in premice pri reševanju geometrijskih nalog.
Enakost v obliki F(x, y) = 0 se imenuje enačba z dvema spremenljivkama x, y, če ne velja za noben par številk x, y. Pravijo, da dve števili x \u003d x 0, y \u003d y 0 izpolnjujeta neko enačbo oblike F (x, y) \u003d 0, če, ko se te številke nadomestijo s spremenljivki x in y v enačbi, njegova leva stran izgine.
Enačba dane premice (v dodeljenem koordinatnem sistemu) je enačba v dveh spremenljivkah, ki jo izpolnjujejo koordinate vsake točke, ki leži na tej premici, in je ne izpolnjujejo koordinate vsake točke, ki ne leži na njej.
V nadaljevanju bomo namesto izraza »glede na enačbo premice F(x, y) = 0« pogosto rekli krajše: glede na premico F(x, y) = 0.
Če sta podani enačbi dveh premic F(x, y) = 0 in Ф(x, y) = 0, potem je skupna rešitev sistema
F(x, y) = 0, F(x, y) = 0
daje vse njihove presečišča. Natančneje, vsak par številk, ki je skupna rešitev tega sistema, določa eno od presečišč,
157. Dane točke *) M 1 (2; -2), M 2 (2; 2), M 3 (2; - 1), M 4 (3; -3), M 5 (5; -5), M 6 (3; -2). Ugotovite, katere od danih točk ležijo na premici, ki jo definira enačba x + y = 0, in katere ne ležijo na njej. Katero premico definira ta enačba? (Pokaži ga na risbi.)
158. Na premici, ki jo definira enačba x 2 + y 2 \u003d 25, poiščite točke, katerih abscise so enake naslednjim številkam: 1) 0, 2) -3, 3) 5, 4) 7; na isti premici poiščite točke, katerih ordinate so enake naslednjim številom: 5) 3, 6) -5, 7) -8. Katero premico definira ta enačba? (Pokaži ga na risbi.)
159. Ugotovite, katere črte določajo naslednje enačbe (sestavite jih na risbi): 1) x - y \u003d 0; 2) x + y = 0; 3) x - 2 = 0; 4)x + 3 = 0; 5) y - 5 = 0; 6) y + 2 = 0; 7) x = 0; 8) y = 0; 9) x 2 - xy \u003d 0; 10) xy + y 2 = 0; 11) x 2 - y 2 \u003d 0; 12) xy = 0; 13) 2 - 9 = 0; 14) x 2 - 8x + 15 = 0; 15) y 2 + by + 4 = 0; 16) x 2 y - 7xy + 10y = 0; 17) y - |x|; 18) x - |y|; 19) y + |x| = 0; 20) x + |y| = 0; 21) y = |x - 1|; 22) y = |x + 2|; 23) x 2 + y 2 = 16; 24) (x - 2) 2 + (y - 1) 2 \u003d 16; 25 (x + 5) 2 + (y-1) 2 = 9; 26) (x - 1) 2 + y 2 = 4; 27) x 2 + (y + 3) 2 = 1; 28) (x - 3) 2 + y 2 = 0; 29) x2 + 2y2 = 0; 30) 2x2 + 3y2 + 5 = 0; 31) (x - 2) 2 + (y + 3) 2 + 1 = 0.
160. Podane so vrstice: l)x + y = 0; 2) x - y \u003d 0; 3) x 2 + y 2 - 36 = 0; 4) x 2 + y 2 - 2x + y \u003d 0; 5) x 2 + y 2 + 4x - 6y - 1 = 0. Ugotovi, kateri od njih gre skozi izhodišče.
161. Podane so vrstice: 1) x 2 + y 2 = 49; 2) (x - 3) 2 + (y + 4) 2 = 25; 3) (x + 6) 2 + (y - Z) 2 = 25; 4) (x + 5) 2 + (y - 4) 2 = 9; 5) x 2 + y 2 - 12x + 16y - 0; 6) x 2 + y 2 - 2x + 8y + 7 = 0; 7) x 2 + y 2 - 6x + 4y + 12 = 0. Poišči točke njihovega presečišča: a) z osjo x; b) z osjo Oy.
162. Poiščite presečišča dveh premic:
1) x 2 + y 2 - 8; x - y \u003d 0;
2) x 2 + y 2 - 16x + 4y + 18 = 0; x + y = 0;
3) x 2 + y 2 - 2x + 4y - 3 = 0; x 2 + y 2 = 25;
4) x 2 + y 2 - 8y + 10y + 40 = 0; x 2 + y 2 = 4.
163. Točke M 1 (l; π/3), M 2 (2; 0), M 3 (2; π/4), M 4 (√3; π/6) in M 5 ( 1;2/3π ). Ugotovite, katere od teh točk ležijo na premici, ki jo v polarnih koordinatah določa enačba p = 2cosΘ, in katere ne ležijo na njej. Katero premico določa ta enačba? (Pokaži ga na risbi.)
164. Na črti, ki jo definira enačba p \u003d 3 / cosΘ, poiščite točke, katerih polarni koti so enaki naslednjim številkam: a) π / 3, b) - π / 3, c) 0, d) π / 6 . Katero premico definira ta enačba? (Zgradite ga na risbi.)
165. Na premici, ki jo definira enačba p \u003d 1 / sinΘ, poiščite točke, katerih polarni polmeri so enaki naslednjim številkam: a) 1 6) 2, c) √2. Katero premico definira ta enačba? (Zgradite ga na risbi.)
166. Ugotovite, katere črte so določene v polarnih koordinatah z naslednjimi enačbami (zgradite jih na risbi): 1) p \u003d 5; 2) Θ = π/2; 3) Θ = - π/4; 4) р cosΘ = 2; 5) p sinΘ = 1; 6.) p = 6cosΘ; 7) p = 10 sinΘ; 8) sinΘ = 1/2; 9) sinp = 1/2.
167. Na risbi konstruiraj naslednje Arhimedove spirale: 1) p = 20; 2) p = 50; 3) p = Θ/π; 4) p \u003d -Θ / π.
168. Na risbi zgradite naslednje hiperbolične spirale: 1) p = 1/Θ; 2) p = 5/Θ; 3) р = π/Θ; 4) р= - π/Θ
169. Na risbi zgradite naslednje logaritemske spirale: 1) p = 2 Θ; 2) p = (1/2) Θ .
170. Določi dolžino segmentov, na katere arhimedova spirala p = 3Θ seka žarek, ki zapušča pol in je nagnjen k polarni osi pod kotom Θ = π / 6. Naredi risbo.
171. Točka C je vzeta na arhimedovi spirali p \u003d 5 / πΘ, katere polarni polmer je 47. Ugotovite, koliko delov ta spirala reže polarni polmer točke C. Narišite risbo.
172. Na hiperbolični spirali P \u003d 6 / Θ poiščite točko P, katere polarni polmer je 12. Narišite risbo.
173. Na logaritemski spirali p \u003d 3 Θ poiščite točko P, katere polarni polmer je 81. Narišite risbo.
Ponovimo * Kaj je kvadratna enačba? * Katere enačbe imenujemo nepopolne kvadratne enačbe? * Kateri kvadratni enačbi pravimo reducirana? * Kaj je koren kvadratne enačbe? * Kaj pomeni rešiti kvadratno enačbo? Kaj je kvadratna enačba? Katere enačbe imenujemo nepopolne kvadratne enačbe? Katera kvadratna enačba se imenuje reducirana? Kaj je koren kvadratne enačbe? Kaj pomeni rešiti kvadratno enačbo? Kaj je kvadratna enačba? Katere enačbe imenujemo nepopolne kvadratne enačbe? Katera kvadratna enačba se imenuje reducirana? Kaj je koren kvadratne enačbe? Kaj pomeni rešiti kvadratno enačbo?
Algoritem za reševanje kvadratne enačbe: 1. Ugotovite, kateri način je bolj racionalen za reševanje kvadratne enačbe 2. Izberite najbolj racionalen način reševanja 3. Določanje števila korenov kvadratne enačbe 4. Iskanje korenov tabele kvadratne enačbe ...
Dodatni pogoj Korenine enačbe Primeri 1. c = c = 0, a 0 ax 2 = 0 x 1 = 0 2. c = 0, a 0, a 0 ax 2 + bx = 0 x 1 = 0, x 2 = -b /a 3. c \u003d 0, a 0, c 0 ax 2 + c \u003d 0 4. a 0 ax 2 + bx + c \u003d 0 x 1,2 = (-b ± D) / 2 a, kjer je D \u003d v 2 - 4 as, D0 5. c je sodo število (b = 2k), vendar 0, pri 0, z 0 ax 2 + 2kx + c \u003d 0 x 1,2 \u003d (-b ± D) / a, D 1 = k 2 - ac, kjer je k \u003d 6. Izrek je nasproten Vietinemu izreku x 2 + px + q = 0x 1 + x 2 = - p x 1 x 2 = q
II. Posebne metode 7. Metoda ekstrakcije kvadrata binoma. Namen: Zmanjšajte splošno enačbo na nepopolno kvadratno enačbo. Opomba: metoda je uporabna za vse kvadratne enačbe, vendar ni vedno priročna za uporabo. Uporablja se za dokazovanje formule za korenine kvadratne enačbe. Primer: reši enačbo x 2 -6 x + 8 = 0 8. Metoda "prenosa" višjega koeficienta. Korenine kvadratnih enačb ax 2 + bx + c = 0 in y 2 +by+ac=0 so povezane z relacijami: in Opomba: metoda je dobra za kvadratne enačbe s "priročnimi" koeficienti. V nekaterih primerih vam omogoča ustno reševanje kvadratne enačbe. Primer: reši enačbo 2 x 2 -9 x-5=0 Na podlagi izrekov: Primer: reši enačbo 157 x x-177=0 9. Če je v kvadratni enačbi a + b + c = 0, potem je eden od korenine je 1, druga pa je po Vietovem izreku enaka c / a 10. Če je v kvadratni enačbi a + c \u003d b, potem je ena od korenin enaka -1, druga pa, po izreku Vieta je enak - c / a Primer: reši enačbo 203 x x + 17 \u003d 0 x 1 \u003d y 1 / a, x 2 \u003d y 2 / a
III. Splošne metode reševanja enačb 11. Metoda faktoringa. Namen: Privesti splošno kvadratno enačbo v obliko A(x)·B(x)=0, kjer sta A(x) in B(x) polinoma glede na x. Metode: Zaklepanje skupnega faktorja; Uporaba skrajšanih formul za množenje; metoda združevanja. Primer: reši enačbo 3 x 2 +2 x-1=0 12. Metoda za uvedbo nove spremenljivke. Dobra izbira nove spremenljivke naredi strukturo enačbe preglednejšo. Primer: reši enačbo (x 2 +3 x-25) 2 -6 (x 2 +3 x-25) = - 8
