Möbiusov trak je neverjetno odkritje. Möbius trak - neverjetno odkritje Lastnosti in aplikacije

1. Najprej se spomnimo definicije pomembne Möbioujeve funkcije za teoretično število

1, če je n = 1

µ (n)=0, če obstaja praštevilo p, p2 n (-1)k, če je n = p1 … pk je produkt k različnih prafaktorjev.

Dokažimo glavno lastnost Möbiusove funkcije:

Izrek 1.

♦ Če je n = 1, potem je edini delilec d = 1 in (1) drži, ker µ (1) = 1. Naj je zdaj n > 1. Predstavljamo ga v obliki

n = p1 s 1 ps 2 2 K ps k k ,

kjer so pi , i 1, k praštevila, si njihove moči. Če je d delilec n, potem je d = p1 d 1 pd 2 2 K pd k k ,

kjer je 0 ≤ di ≤ si , i 1, k . Če je di > 1 za nekatere i 1, k , potem je µ (d) = 0. Zato moramo v (1) upoštevati le tiste d, za katere je di ≤ 1, i 1, k . Vsak tak delilec

stoji iz produkta r različnih praštevil, kjer je r 1, k in njegov prispevek k vsoti

(1) je enako (-1)r in skupno je k. Tako dobimo

			µ (d) = 1 −	K + (−1) k	0. ♦
			Izrek 2. (Möbiusova formula za inverzijo). Naj sta f(n) in g(n) naravni funkciji
pravi argument. Potem pa enakost
					∑f(d)
je resnična, če in samo če je enakost resnična
					∑µ (d)g(

♦ Naj je (2) resnična za katero koli n. Potem

g(d n) = ∑ f(d′)

d'dn

Če zamenjamo desno stran (3), dobimo

∑µ (d)g(			) = ∑ µ (d) ∑ f(d′ )
					d′

Dvojni seštevek na desni se izvede nad vsemi pari d, d′, tako da je d d′ n. Če izberemo d′, bo d potekal skozi vse delilnike d n ′. Tako

∑µ (d)g(

) = ∑ f(d′) ∑ µ (d′)

d′

d′

d′

n > d′

Toda glede na (1) imamo ∑

µ (d′ ) =

n = d′

d′

d′

Tako je ugotovljena enakost (3). Naj zdaj (3) velja za kateri koli n. Potem

∑ f(d) =

∑ ∑ µ (d′)g(

) , d′′ = d d ′ - je delilec n in dvojna vsota lahko

d′

n d'

prepisati kot

∑ µ (d′)g(d′′) =

∑ g(d′′)

∑µ (d′)

d′′

n d′

d′′

d′′

d′

d′′

Glede na (1) se zadnja vsota spremeni v enoto v primeru d′′ = n, v drugih primerih

čajev je nič. To dokazuje (2). ♦ 2. Razmislite o uporabi Möbiusove inverzije.

Naj bo podana abeceda A s črkami. V dani abecedi je sn besed dolžine n. Za vsako besedo w0 = a1 a2 … je mogoče definirati n - 1 besed

w1 = a2 a3 … an a1 , w2 = a3 a4 … a1 a2 , … , wk-1 = an a1 … an-1 , pridobljeni drug od drugega s cikličnimi premiki. Na množici vseh sn besed uvedemo ekvivalenčno relacijo: dve besedi sta razglašeni za enakovredni, če je ena od druge pridobljena s cikličnim premikom. Zanimalo nas bo število razredov, ki vsebujejo natanko n besed. Tak problem se pojavlja v teoriji sinhronizacijskih kod.

Besedo w bomo imenovali degenerirana, če je ekvivalenčni razred, ki vsebuje w, sestavljen iz manj kot n besed. W imenujemo periodično, če obstajata beseda u in naravno število m, tako da je w = u u … u (m-krat).

Izrek 3. Beseda w je periodična, če in samo če je degenerirana.

kot lahko vzamemo a 1 a 2 … a p , in kot je m =

♦ Jasno je, da če je w periodičen, potem je degeneriran. Naj bo w degenerirano. Naj bo p najmanjše celo število, tako da je w = wp. Potem če

w = a1 a2 … an , potem wp = a1+p a2+p … an+p (indeksi po modulu n). Zato dobimo to v n p . (Lahko je videti, da je p n). ♦ Ozadje

je pomemben glede na M(d) - število kvadratov, ki vsebujejo d besed. Od prejšnjega imamo

dn. Torej, formula∑ dM(d) = s n . d n

Uporabimo Möbiusovo inverzijsko formulo za primer g(n) = sn , f(d) = dM(d). Potem dobimo

nM(n) = ∑ µ (d)s n d d n

∑µ (d)sn d

Tako je M(n) število, ki nas zanima. Če je n = p praštevilo, potem

− s)

Obstaja multiplikativna različica Möbiusove inverzije. pošteno

Izrek 4. Naj sta f(n) in g(n) funkciji povezanega naravnega argumenta

nošenje

f(n) = ∏g(d)

µ(n

g(n) = ∏f(d)

in obratno, iz (5) sledi (4).

Z uporabo Möbiusove formule za inverzijo lahko rešimo praktično pomemben problem števila nereducibilnih polinomov fiksne stopnje nad končnim poljem. Naj je GF(q) polje q elementov in m naravno število. Nato za številko

Φ m (q) nereducibilnih polinomov nad poljem GF(q), imamo formulo

Naj podamo tabelo več prvih vrednosti funkcije Φ m (2)

Φm(2)

§ 5. Stalne osebe in njihova uporaba pri popisovanju

1. Za reševanje številnih kombinatornih problemov se uporabljajo trajne vrednosti. Razmislite o številski matriki

A = (ai , j), i = 1, n , j = 1, m , n ≤ m

Permanentnost matrike A (notacija - na A) je definirana z enakostjo

na A = ∑			a 2 j L a nj
(j1,K, jn)

kjer se seštevanje izvede po vseh n-permutacijah m elementov 1, 2, m. Z drugimi besedami, permanentnost matrike je enaka vsoti produktov elementov, vzetih enega za drugim iz vsake vrstice in različnih stolpcev.

Formula (1) implicira nekatere očitne lastnosti permanente, podobne tistim determinante za kvadratne matrike.

1. Če ena od vrstic(n × m)-matrika A (n ≤ m) je sestavljena iz ničel, potem pa per A = 0. Za n = m velja enako za stolpce.

2. Ko pomnožimo vse elemente ene od vrstic matrike A z nekim številom, se vrednost stalne A pomnoži z istim številom.

3. Trajno se ne spremeni, ko se njegove vrstice in stolpci prerazporedijo.

Z Aij označimo matriko, ki jo dobimo iz A, tako da izbrišemo i-to vrstico in j-ti stolpec.

4. Formula za razširitev permanenta v i-ti vrstici velja za A = ai1 na Ai1 + ai2 na Ai2 + ... + cilj na cilj (2)

tako so številne lastnosti stalnic podobnih lastnostim determinant.

Vendar glavna lastnost determinant det(A B) = detA detB ne velja za permanente in ta okoliščina močno otežuje njihov izračun.

na primer

					2, per
Vendar pa 4 = per						≠ per

Oglejmo si eno najpomembnejših aplikacij koncepta permanenta v kombinatornih problemih.

dachas. Naj bo X = (x1, xm) končna množica in X1, …, Xn sistem podmnožic

V tem primeru naj bi element xi predstavljal množico Xi. Pri reševanju številnih aplikativnih problemov se pojavi potreba po iskanju sistema različnih predstavnikov. Razmislite o naslednjem problemu kodiranja. Naj bo kakšen stavek, t.j. urejen niz besed v neki abecedi. Ta stavek je treba kodirati tako, da je vsaka beseda povezana z eno črko, ta črka pa mora biti del te besede, različne črke pa morajo ustrezati različnim besedam.

Primer: stavek a bc ab d abe c de cd e lahko kodiramo kot abecd. Hkrati stavka ab ab bc abc bcd ni mogoče kodirati na ta način, saj prve štiri besede skupaj vsebujejo le tri črke.

Za sistem množic X1 , … , Xn definiramo matrika incidence A = (aij ), i = 1, n ,

				1 če xi
		a ij =
				0 drugače.
		pošteno
		Izrek 1. Naj bo A = (aij ), i =					(n ≤ m) incidenčna matrika

množice X1 , … , Xn , kjer je Xi X, i = 1, n , X = (x1 , … , xm ) . Nato za število sistemov

osebni predstavniki R(X1 , … , Xn ) množic X1 , … , Xn

R(X1, …, Xn) = na A

♦ Dejansko, ker je element aij = 1 v matriki A, če sta xj Xi in aij = 0 ,

če xj

K, xi

) elementi X je sistem različnih pred-

Xi , nato množica (xi

dobavitelji za X1 , … , Xn

če in samo če a1i

K, a ni

policaji a1i

K, a ni

so v različnih stolpcih matrike A. Seštejte števila

a1i,K,a ni

nad vsemi n-permutacijami elementov 1, 2, ... , m. Potem dobimo sto

po drugi strani pa število sistemov različnih predstavnikov za X1 , … , Xn , na drugi strani pa vrednost per-

matrika A. ♦

a 1i 1 a 2i 2 L a ni n

Posledica. Sistem različnih predstavnikov za X1 , … , Xn obstaja, če in samo če za ustrezno matriko velja pojav A:

Ker je v formuli (1) m(m - 1) ... (m - n +1) členov, je izračun trajnega na podlagi definicije težaven. V ta namen podajamo splošno formulo.

2. Omejimo se na obravnavo kvadratnih numeričnih matrik А = (aij ), i, j = 1, n .

Potem na A = ∑

(i1,K,in)

kjer se vsota razteza po vseh permutacijah i1 , … , v elementih

1, 2, …, n. Uporabimo formulo vključitve-izključitve za izračun permanentnosti matrike A. Vsakemu nizu i1 , … , in bo dodeljena utež, ki je enaka a1i 1 ,K ,a ni n .

Torej je stalnica A vsota uteži tistih nizov, ki ustrezajo permutacijam. Predstavimo n lastnosti P1 , … , Pn na množici vseh zbirk i1 , i2 , … , in iz 1, 2, … , n, pri čemer lastnost Pi pomeni, da zbirka i1 , … , in nima elementa i. Tako je stalnica A vsota uteži množic i1, …, ki nimajo nobene od lastnosti P1, …, Pn. Ostaja še določiti vsoto uteži W(Pi 1 ,K , Pi k ) množic s k lastnostmi

Pi 1, K, Pi k. Imamo za vsoto uteži W(0) vseh množic i1 , … , ik .
W(0) = ∑			K, a ni		= (a 11 + L + a 1n )(a 21 + L + a 2n ) L (a n1 + L + a nn )
i1,K,in
W(N(Pi)) =			a1i ,K , a ni				= (a 11 + L + a 1i	L + a1n )L (a n1 + L a ni + L + a nn ) (9)
	≠i

kjer znak ^ nad elementom matrike A pomeni, da je treba ta element izpustiti. Podobno za sij (tj< j) имеем

W(N(Pi, Pj)) = (a11 + L + a1i	L+a1j	L + a1n )L (a n1 + L a ni + L + a nj + L + a nn ) (10)

Zdaj z uporabo formule za vključitev-izključitev dobimo Raiserjevo formulo za trajno A:

na A = ∏ i n = 1 (ai1 + L + ain ) − ∑∏ k n = 1 (a k1 + L + a ki + L + a kn )+ L +
+ (− 1)s	∑∏n
		(a k1 + L + a ki1	L+a ki	L + a kn) + L
	1≤ i1< L < is ≤ k n= 1

Izračun trajne po Raiser formuli je mogoče organizirati tako, da je zahtevan

(2n - 1)(n - 4) množenja in (2n - 2)(n + 1) seštevanja. Čeprav ta vrednost hitro raste z n, ta formula zagotavlja najučinkovitejši način za izračun trajnih vrednosti.

3. Pojasnimo zdaj vprašanje pogojev enakosti nič permanentne (0, 1)-matrike. Omejimo se na primer kvadratne matrike.

Izrek 2. Naj bo A = (aij ), i, j = 1, n (0, 1)-matrika reda n. Potem

na A= 0, če in samo če ima A s × t podmatriko ničel, kjer je s + t = n + 1.

♦ Naj taka ničelna podmatrika obstaja v A. Ker se stalnica ne spreminja od permutacij vrstic in stolpcev, lahko domnevamo, da se ta podmatrika nahaja v spodnjem levem kotu, t.j.

kjer je O - (s × t) matrika ničel, podmatrika B ima velikost (n - s) × t. Vsak član trajnega A mora vsebovati po en element iz prvih t stolpcev. Če torej iščemo pozitiven član stalnice, potem morajo elementi teh stolpcev v parih pripadati različnim vrsticam s številkami 1, 2, …, n - s. Vendar pa je n - s = t - 1< t и поэтому данное условие выполнить нельзя, т.е. per A = 0.

Naj zdaj per A = 0. Izrek dokažemo z indukcijo na n. Za n = 1 je trditev očitna (A = (0)). Naj velja za vse naloge, manjše od n. Če je A ničelna matrica reda n, je trditev očitna. Če A ni ničelna matrika, naj bo aij = 1. Zapišimo razgradnjo A v vrstico i:

na A = ai1 Ai1 + … + ain Ain

Ker je per А = 0, potem je per Аij = 0. Toda Aij ima velikost (n - 1) × (n - 1) in po indukcijski hipotezi obstaja podmatrika ničel velikosti

s1 × t1 in s1 + t1 = n - 1 + 1 = n. Prerazporedite vrstice in stolpce tako, da je ta ničelna podmatrika v spodnjem levem kotu:

A→B=

kjer O - ničelna podmatrika velikosti s1 × t1 , s1 + t1 = n, С - ima velikost (n - s1 ) × t1 , D -

ima velikost s1 × (n - t) . Zato sta matriki С in D kvadratni in imata vrstni red (t1 × t1 ) oziroma (s1 × s1 ). Po definiciji permanentnega imamo per B = na A in,

na B ​​= na C na D in zato iz per A = 0 sledi, da je bodisi na C = 0 bodisi na D = 0.

Naj je per C = 0. Po induktivni hipotezi ima C ničelno podmatriko velikosti

u × v, kjer je u + v = t1 + 1. Naj se nahaja v vrsticah s številkami i1 , … , iu in stolpcih s številkami j1 , … , jv . Razmislite o podmatriki B, sestavljeni iz vrstic

i1 , … , iu , t1 + 1, … , n in stolpci j1 , … , jv . To je ničelna podmatrika velikosti (u + n - t1 ) × v,

kjer je u + n - t1 + v = n + +1. Torej, matrika B vsebuje ničelno podmatriko velikosti s × t, kjer je s + t = n + 1. Ker se matriki A in B razlikujeta po permutaciji vrstic in stolpcev, je izrek dokazan. ♦

Oglejmo si zdaj pomemben poseben primer matrike A. Z A(k, n) označimo matriko n × n 0,1 elementa s k enicami za vsako vrstico in vsak stolpec (k > 0).

Izrek 3. Za vsako matriko A(k, n) imamo per A(k, n) > 0.

♦ Predpostavimo nasprotno, da je na A(k, n) = 0. Potem po izreku 2 obstaja nič

podmatriko velikosti s × t, kjer je s + t = n + 1. Nato s prerazporeditvijo vrstic in stolpcev matrike A(k, n) dobimo matriko

kjer je O ničelna (s × t) matrika.

Preštejmo število 1 v matrikah B in D. Ker ima A(k, n) k 1 v vsaki vrstici in vsakem stolpcu, je v vsakem stolpcu B in vsaki vrstici D natančno k 1.

enote. V A(k, n) je skupno n k enot, zato je nk ≥ tk + sk = (t + s)n. Tako

zom, n ≥ t + s, kar je nemogoče, ker s + t = n + 1

veljavnost trditve. ♦ Dokazano je podobno

Izrek 3a. Naj bo A (0,1)-matrika velikosti n × m (n≤ m). Potem je perA = 0, če in samo če vsebuje ničelno podmatriko velikosti s × t, kjer je s+t=m+1.

4. Premislimo zdaj o uporabi obravnavanih vprašanj za konstrukcijo zemljepisne širine.

kositrne kvadratke. latinščina (n × m) - pravokotnik nad množico X=(x1 ,…,xm )

se imenuje (n × m)-matrika elementov X, v kateri je vsaka vrstica n-permutacija X, vsak stolpec pa m-permutacija množice X. Za n=m je latinski pravokotnik poklical latinski kvadrat.

Jasno je, da je pri n=1 število latinskih pravokotnikov 1 × m enako m!. Za n=2, potem ko je izbrana prva vrstica, lahko katero koli permutacijo vzamemo za drugo.

inovacija, ki je v nasprotju z izbranim. Število takih permutacij je Dm , zato je število 2× m -

latinski pravokotniki so enaki m! Dm.

Postavlja se naravno vprašanje v zvezi z induktivno konstrukcijo latinskih kvadratov. Konstruirajmo latinski (n × m)-pravokotnik (n< m). Можно ли его расширить до ((n+1)× m) -прямоугольника добавлением (n+1)-й строки?

pošteno

Izrek 4. Vsak latinski (n × m) -pravokotnik n

♦ Naj bo X=(x1 ,…,xm ) in L-latinski (n × m)-pravokotnik z elementi iz X. Razmislimo o množici množic A1 ,… ,Am, kjer so Ai elementi i-tega stolpca latinskega pravokotnika L. Naj A - incidenčna matrika sistema A1 ,… ,Am . Ima velikost m × m in vsaka vrstica matrike A vsebuje natančno n enih, ker je Ai = n, i = 1, m. Vsak element xi X se lahko pojavi v stolpcih L največ m-krat, sicer bi obstajala vrstica, v kateri se ta element pojavi dvakrat. Skupno število elementov

L je enako m n, zato se vsak element xi X pojavi natanko n-krat v stolpcih. To pomeni, da vsak stolpec matrike A vsebuje natančno n. Zdaj si oglejmo matriko A, ki jo dobimo z zamenjavo vsake 1 z ničlo in vsake ničle z 1.

Matrica A je incidenčna matrika sistema množic X1 , … , Xn , kjer je Xi = X\Ai ,

i = 1, m. Vsebuje m - n enih v vsaki vrstici in v vsakem stolpcu. Po izreku

> 0. Naj ai1

… mi

≠ 0 . Potem imamo xi X1 ,K , xi

Xm in vsi elementi

xi, K, xi

so v parih različni. vrstica

xi, K, xi

lahko vzamemo kot (n + 1)th

za latinski (n × m)-pravokotnik L. Če nadaljujemo ta postopek, dobimo latinico

nebesni kvadrat. ♦

Označimo l n - število latinskih kvadratov reda n, z elementi iz množice X = (1, 2, ... , n), v katerih so elementi prvega stolpca in prve vrstice v naravnem vrstnem redu. Tukaj je tabela več znanih vrednosti števila l n:

5. Matrika n × n A = (aij ) z realnimi, nenegativnimi elementi se imenuje dvojno stohastično, če

μ( n) je definiran za vsa naravna števila n in ima vrednosti, ki so odvisne od narave razgradnje števila n na glavne faktorje:

• μ( n) = 1 če n brez kvadrata (tj. ni deljivo s kvadratom katerega koli praštevila) in razgradnjo n sodo število dejavnikov;
• μ( n) = − 1 če n brez kvadratov in razgradnje n v prafaktorje je sestavljeno iz lihega števila faktorjev;
• μ( n) = 0, če n ni brez kvadratov.

Po definiciji se predpostavlja tudi μ(1) = 1.

Lastnosti in aplikacije

Möbiusova funkcija je multiplikativna: za katero koli relativno praštevilo a in b enakost μ( ab) = μ( a)μ( b) .

Vsota vrednosti Möbiusove funkcije nad vsemi delitelji celega števila n, ni enako eni, je enako nič

Style="največja širina: 98%; višina: samodejno; širina: samodejno;" src="/pictures/wiki/files/49/1bee8d0f6bd91176912a8cedc63e174b.png" border="0">

Iz tega zlasti sledi, da je za katero koli neprazno končno množico število različnih podmnožic, sestavljenih iz neparnega števila elementov, enako številu različnih podmnožic, ki jih sestavlja sodo število elementov - dejstvo, uporabljeno v dokaz.

Möbiusova funkcija je povezana z Mertensovo funkcijo z relacijo

Mertensova funkcija pa je tesno povezana s problemom ničel Riemannove zeta funkcije, glej članek o Mertensovi domnevi.

Möbiusova inverzija

Prva Möbiusova formula za inverzijo

Za aritmetične funkcije f in g ,

g(n) =	∑	f(d)
	d | n

če in samo če

.

Druga Möbiusova formula za inverzijo

Za funkcije z realno vrednostjo f(x) in g(x) opredeljeno pri ,

če in samo če

.

Tukaj se vsota razlaga kot .

Fundacija Wikimedia. 2010 .

Poglejte, kaj je "Mobiusova funkcija" v drugih slovarjih:

Möbiusova funkcija μ(n) je multiplikativna aritmetična funkcija, ki se uporablja v teoriji števil in kombinatoriki, poimenovana po nemškem matematiku Möbiusu, ki jo je prvič obravnaval leta 1831. Vsebina 1 Definicija 2 Lastnosti in aplikacije ... Wikipedia

Möbiusova funkcija μ(n) je multiplikativna aritmetična funkcija, ki se uporablja v teoriji števil in kombinatoriki, poimenovana po nemškem matematiku Möbiusu, ki jo je prvič obravnaval leta 1831. Vsebina 1 Definicija 2 Lastnosti in aplikacije ... Wikipedia

Vrsta transformacije na kompleksni ravnini (siva) in Riemannovi krogli (črna) Vsebina 1 Definicija 2 Algebraične lastnosti ... Wikipedia

Ulomna linearna funkcija, kjer so z = (z1,...,zn) kompleksne ali realne spremenljivke, ai,b,ci,d so kompleksni ali realni koeficienti. Pogosto se izraz "linearna frakcijska funkcija" uporablja za poseben primer transformacije ... ... Wikipedia

Möbiusova serija je funkcionalna vrsta oblike To serijo je raziskal Möbius, ki je našel inverzijsko formulo za to serijo: kjer je μ (s) Möbiusova funkcija ... Wikipedia

METODE MEDICINSKIH RAZISKOVANJ- JAZ. Splošna načela medicinskih raziskav. Rast in poglabljanje našega znanja, vedno večja tehnična opremljenost klinike, ki temelji na uporabi najnovejših dosežkov fizike, kemije in tehnologije, s tem povezano zapletanje metod ... ... Velika medicinska enciklopedija

Patološko stanje, ki se razvije med porodom in za katerega je značilna poškodba otrokovih tkiv in organov, ki jo praviloma spremlja motnja v njihovih funkcijah. Dejavniki, ki predisponirajo na razvoj tako imenovane R., so napačni ... ... Medicinska enciklopedija

Möbiusova funkcija  (n), kje n je naravno število, ima naslednje vrednosti:

Möbiusova funkcija vam omogoča, da Eulerjevo funkcijo zapišete kot vsoto:

Seštevanje poteka po vseh deliteljih števila n (in ne samo po prostih deliteljih).

Primer. Izračunaj φ (100) z uporabo Möbiusove funkcije.

Vsi delilniki števila 100 so (1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100).

(2) \u003d (-1) 1 \u003d -1 (dva ima en preprost delilec - 2)

(4) = 0 (4 je deljivo s kvadratom 2)

(5) = (-1) 1 = -1 (5 ima en prosti delilec - 5)

(10) = (-1) 2 = 1 (10 ima dva glavna delitelja - 2 in 5)

(20) = 0 (20 je deljivo s kvadratom dveh)

(25) = 0 (25 je deljivo s kvadratom petih)

(50) = 0 (50 je deljivo z 2 2 in 5 5)

(100) = 0 (100 je deljivo z 2 2 in 5 5)

tako,

Lastnost Möbiusove funkcije:.

na primer n=100, {1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100}.

16 Izrek o številu načinov izbire k-elementov, med katerimi ni dveh sosednjih, iz n elementov, razporejenih v vrsto. Dokaži s pridobitvijo rekurzivne formule.

17 Število kombinacij s ponovitvami

Številka r-kombinacije s ponovitvami iz n- postavlja enake

.

– dokaz z uporabo rekurzivne formule.

Metoda temelji na pridobivanju formule, ki vam omogoča izračun vrednosti zahtevane količine korak za korakom, na podlagi znanih začetnih vrednosti in vrednosti, izračunanih v prejšnjih korakih.

Ponavljajoča se formular -to naročilo- formula obrazca

a n = f(n, a n- 1 , a n- 2 , … , a n-r).

Formula izraža pri n>r vsak član zaporedja ( a jaz) prek prejšnjega rčlani. Konstrukcija rekurzivne formule je sestavljena iz naslednjih korakov.

1. Razvoj začetnih pogojev temelji na nekaterih očitnih korelacijah.

Označi z f(n,r). To je očitno

2. Logično sklepanje. Popravimo nekaj elementov v kompletu S. Potem za katero koli r-kombinacije s ponovitvami iz n- kompleti S lahko rečemo, ali vsebuje dani fiksni element ali ne.

Če vsebuje, potem ostalo ( r-1) element je mogoče izbrati f(n,r-1) načini.

Če ne vsebuje(v vzorcu ni elementa), torej r-kombinacija je sestavljena iz elementov ( n-1)-sklopi (set S razen tega fiksnega elementa). Število takšnih kombinacij f(n-1,r).

Ker Ti primeri se med seboj izključujejo, potem pa po pravilu vsote

3. Preverjanje formule na nekaterih vrednostih in izpeljava splošnega vzorca.

1) Izračunaj f (n ,0) . Iz (2) sledi

Potem f(n,0)=f(n,1)-f(n-1.1). Od (1) f(n,1)=n,f(n-1,1)=n-1.

zato f(n,0)=n-(n-1)=1=.

2) f (n ,1) =f(n,0)+f(n-1,1) = 1+n- 1 =n==.

3) f (n ,2) =f(n,1)+f(n-1,2) =n+f(n-1,1)+f(n-2,2) =n+(n-1)+f(n-2,1)+f(n-3,2) = … =

= n+(n-1)+…+2+1 =.

(vsota aritmetične progresije)

4) f (n ,3) =f(n,2)+f(n-1,3) =+f(n-1,2)+f(n-2,3) =++f(n-2,2)+f(n-3,3) = … =

(vsota geometrijske progresije)

5) f (n ,4) =

Na podlagi posameznih primerov je mogoče domnevati, da

4. Preverjanje začetnih pogojev z uporabo nastale formule.

,

ki se strinja z (1) #

19, 20) Število binarnih dreves z n oglišči je C(n), kjer je C(n) n-to katalonsko število.

Število binarnih dreves z n oglišči se imenuje katalonsko število, ki ima veliko zanimivih lastnosti. N-to katalonsko število se izračuna po formuli (2n)! / (n+1)!n!, ki eksponentno raste. (Wikipedia ponuja več dokazov, da je to oblika katalonskega števila.) Število binarnih dreves določene velikosti 0 1 1 1 2 2 4 14 8 1430 12 208012 16 35357670

Zamenjava

Skočiti: navigacijo, Iskanje

Ta članek govori o substituciji kot sintaktični operacijipogojev . Morda vas zanimapermutacija .

AT matematika in Računalništvo zamenjava je operacija skladenjski zamenjava podčlenkov danega terma drugi pogoji, po določenih pravilih. Običajno govorimo o zamenjavi izraza za spremenljivka.

Definicije in zapisi

Ni univerzalnega, doslednega zapisa za zamenjavo, niti ni standardne definicije. Koncept substitucije se ne razlikuje samo znotraj rubrik, ampak tudi na ravni posameznih publikacij. Na splošno je mogoče razlikovati zamenjava konteksta in zamenjava "namesto". V prvem primeru je mesto v terminu, kjer poteka zamenjava, navedeno z kontekstu, torej del izraza, ki »obkroža« ta kraj. Zlasti se ta pojem substitucije uporablja v prepisovanje. Druga možnost je pogostejša. V tem primeru je zamenjava običajno podana z neko funkcijo iz množice spremenljivk v množico izrazov. Za določitev nadomestna dejanja običajno uporabljajo postfiksni zapis. Na primer, pomeni rezultat dejanja zamenjave izraza.

V veliki večini primerov se zahteva, da ima substitucija končno oporo, to je, da je množica je bil dokončen. V tem primeru ga je mogoče določiti s preprostim naštevanjem parov "spremenljivka-vrednost". Ker je vsako takšno substitucijo mogoče zmanjšati na zaporedje zamenjav, ki nadomestijo samo eno spremenljivko, lahko brez izgube splošnosti domnevamo, da je substitucija podana z enim parom "spremenljivka-vrednost" kar se običajno naredi.

Zadnja definicija substitucije je verjetno najbolj tipična in pogosto uporabljena. Vendar tudi zanj ni enotnega splošno sprejetega zapisa. Najpogosteje se uporablja za označevanje zamenjave a namesto x v t zapis se uporablja t[a/x], t[x:=a] oz t[x←a].

Spremenljivka substitucija vλ-račun

V λ-računu je substitucija določena s strukturno indukcijo. Za poljubne predmete in poljubno spremenljivko se izračuna rezultat zamenjave poljubnega prostega pojava zamenjava in je opredeljen z indukcijo pri gradnji:

(i) osnova:: Objekt se ujema s spremenljivko. Potem;

(ii) osnova:: predmet se ujema s konstanto. Nato za poljubno atomsko;

(iii) korak: : objekt neatomski in ima obliko aplikacije. Potem;

(iv) korak:: objekt je neatomski in je abstrakcija. Nato [;

(v) korak:: objekt je neatomski in je poleg tega abstrakcija. Nato:

za iili;

Spremenljivka substitucija v programiranju

Zamenjava spremenljivka ( angleščina zamenjava) v aplikativno programiranje se razume takole. Za izračun vrednosti funkcije f na argument v uporabljen zapis f(v)), kje f opredeljeno z zasnovo f(x) = e. Snemanje f(v) v tem primeru pomeni, da v izrazu e nadaljevati zamenjava, ali spremenljivka substitucija x na v. Zamenjava se izvede v skladu z računska semantika.

Zamenjava spremenljivka ( angleščina nalogo) v programiranje razumeti kot nalogo. Operator dodelitve je manifestacija učinka von Neumannovega ozkega grla v tradicionalnih programskih jezikih. . Brez tega aplikativni računalniški sistemi.

http://math.nsc.ru/LBRT/u3/bard/fails/Brenner_Evans.pdf

21 Ustvarjanje funkcij.Funkcija generiranja (enumerator) in funkcija generiranja oštevilčenja za kombinacije brez ponovitev.

Generacijske funkcije: 1) Z-transformacije 2) generatrika 3) generacijska funkcija 4) generacijska funkcija zaporedja (a r ) na osnovi (g r ) - funkcija f, ko se razširi v niz glede na funkcije fiksne baze ( g r ), se oblikuje to zaporedje koeficientov (a r ) …………*)

Ta vrstica je formalna. Ime formalno pomeni, da formulo *) razlagamo kot priročno predstavitev našega zaporedja - v tem primeru ni pomembno, za katere (akcijske in kompleksne) vrednosti se zbližuje. Vloga t je razlikovati med koeficienti zaporedja A0,A1,…Ar…, zato v teoriji generiranja funkcij vrednosti tega niza nikoli niso izračunane za določeno vrednost spremenljivke t. Nad takšnimi vrstami se izvedejo le nekatere operacije, nato pa se določijo le nekatere operacije nad takšnimi vrstami, nato pa se določijo koeficienti pri posameznih potencih spremenljivke t.

Ponavadi kot

22 generiranje funkcije. Generatorska funkcija (enumerator) in naštevalna generacijska funkcija za kombinacije s ponovitvami.

Funkcija generiranja za:

Pravilo gradnje

1) Če je element tipa i mogoče vključiti v kombinacije K 1 ali K 2 ali ... K i-krat, potem ustrezni množitelj

3) Ostaja še najti koeficient. pri

eksponentna generacijska funkcija za pravilo konstrukcije umestitev

25) Kombinatorna števila vključujejo tudi Stirlingove številke prve in druge vrste. Ta števila so opredeljena kot koeficienti v enačbah

in imajo preprost kombinatoričen pomen - enak številu elementov permutacijske skupine, ki so produkti točno k cikli, ki se ne sekajo, pa tudi število particij n- element nastavljen k neprazne podmnožice. To je očitno. Podobna vsota Stirlingovih števil druge vrste se imenuje n-th Bell number in je enako številu vseh particij n-komplet elementov. Za Bellova števila velja rekurzivna formula.

Pri reševanju kombinatornih problemov se pogosto izkaže za koristno formula vključitve-izključitve

ki omogoča iskanje kardinalnosti unije množic, če so znane kardinalnosti njihovih presečišč. Za pridobitev eksplicitne formule za Stirlingova števila druge vrste uporabljamo formulo vključevanja-izključitve.

Stirlingove številke prve vrste

Iz Wikipedije, proste enciklopedije

Skočiti: navigacijo, Iskanje

Stirlingove številke prve vrste(nepodpisano) - količina permutacije naročilo n z k ciklov.

Opredelitev

Stirlingove številke prve vrste(podpisano) s(n, k) se imenujejo koeficienti polinom:

kje ( x) n - Simbol Pochhammer (padajoči faktorial):

Kot lahko vidite iz definicije, imajo številke izmenično predznak. Njihove absolutne vrednosti določajo število permutacije komplet, sestavljen iz n elementi z k ciklov.

Ponavljajoče se razmerje

Podane so Stirlingove številke prve vrste ponavljajoča se razmerje:

s(n,n) = 1, za n ≥ 0,

s(n,0) = 0, za n > 0,

za 0< k < n.

Dokaz.

Za n=1 ta enakost je neposredno preverjena. Naj permutacija ( n-1)-to naročilo se razdeli na k ciklov. Številka n se lahko doda za katero koli številko v ustrezni zanki. Vse nastale permutacije so različne in vsebujejo k ciklov, njihovo število ( n-ena)· s(n-1, k). Iz katere koli permutacije ( n-1)-to naročilo, ki vsebuje k-1 cikel, lahko se oblikuje ena permutacija n naročilo, ki vsebuje k ciklov z dodajanjem cikla, ki ga tvori eno število n. Očitno ta konstrukcija opisuje vse permutacije n th naročilo, ki vsebuje k ciklov. Tako je enakost dokazana.

Primer

prve vrstice:

AT kombinatorika Stirlingova številka druge vrste od n na k, označeno z ali, je število neurejenih predelne stene n- elementarni kompleti na k neprazne podmnožice.

Ponavljajoča se formula

Stirlingove številke druge vrste zadovoljujejo ponavljajoča se razmerje:

Za n ≥ 0,

Za n > 0,

Eksplicitna formula

Primer

Začetne vrednosti Stirlingovih števil druge vrste so podane v tabeli:

Lastnosti

Bijektivna Preslikava je preslikava, ki ima lastnosti injektivnosti in sujektivnosti.

Lema.

Dokaz. Kajti izjava je očitna. Pustiti in biti kanonična razgradnja števila . Potem, glede na to, da imajo delitelji obliko , kjer je , ,…, ; , dobimo

v kolikor

Izrek. (Aditivna Möbiusova inverzna formula.) Pustiti in biti funkcije naravnega argumenta . Potem če

Dokaz. Imamo

Naj bo . Nato fiksno poteka skozi vse vrednosti deliteljev števila. To pomeni, da se predznake seštevanja v zadnji dvojni vsoti lahko obrnejo, t.j.

Zdaj, glede na to

dobimo

Obstaja še ena oblika dokazanega izreka:

Izrek. (Formula multiplikacijske Möbiusove inverzije.) Naj bo

kjer simbol označuje produkt, razširjen na vse delilce števila.

Dokaz:

Primeri uporabe Möbiusove formule za inverzijo:

Problem števila zaporedij obročev. Glej: Dvorana M. Kombinatorika. M.: Mir, , § .

Število nereducibilnih polinomov določene stopnje nad končnim poljem elementov. Glej: Berlekamp E. Algebraična teorija kodiranja. − M.: Mir, 1970, pogl. 3.

Gluhov M. M., Elizarov V. P., Nechaev A. A. Algebra. V t. M .: Helios,. T., §.

Za samostojno učenje:

Möbiusova inverzija na delno urejenih sklopih. Načelo vključevanja-izključitve kot poseben primer Möbiusove inverzijske formule. Glej: Dvorana M. Kombinatorika. Moskva: Mir, , §; Bender E., Goldman J. O aplikacijah Möbiusove inverzije v kombinatorični analizi. V: Naštevalni problemi kombinatorne analize. M.: Mir, 1971. S. - .

Primerjave za kombinirane številke

Naj je praštevilo.

Lema.

Dokaz. Ko je števec v formuli

Posledica.

Dokaz.

Lema. Naj , , , so nenegativna cela števila in , . Potem

Dokaz. Imamo

Na drugi strani,

Če primerjamo koeficiente pri enakih močeh, dobimo želeni rezultat. ∎

− predstavitve nenegativnih celih števil in po osnovi . (Tukaj poljubno celo število, za katero , ). Na množici nenegativnih celih števil definiramo relacijo delnega reda (relacija prednost), ob predpostavki, če in samo če

Lucasov izrek ( ).

Dokaz. Glede na prejšnjo lemo,

kje , . Če lemo večkrat uporabimo k ustrezno število krat, dobimo zahtevani rezultat. ∎

Komentar. Izrek ne velja za neenostavne. Na primer (glej Berlekamp, ​​str.),

Posledica.

II . Algebraične strukture

II. eno. Nabori z binarnimi operacijami. Grupoidi, polskupine, monoidi

Binarna algebraična operacija(oz zakon o sestavi) na nepraznem nizu S se imenuje preslikava : , ujemanje s parom elementov , enolično definiran element , . Na nizu je mogoče definirati veliko operacij. (Če je, na primer, seveda, potem je število načinov , kjer je število elementov v .) Če želimo izbrati enega od njih, na primer , pišemo , . Tak predmet se imenuje binarna algebra, oz skupinoid. Namesto , pogosto pišejo , sama operacija pa je označena z nekim simbolom ( , , , itd.).

Komentar. Poleg binarnih operacij se upoštevajo splošnejše -arne operacije (unarne za , ternarne za itd.). Z njimi povezane algebraične strukture (sistemi) so predmet preučevanja t.i. univerzalne algebre.

Pokliče se binarna operacija na nizu asociativno, če

, za katero koli , , .

Imenuje se skupinoid z asociativno operacijo polskupina.

Primer neasociativnega skupinoida. Na setu definiramo operacijo kot . Operacija ni asociativna: , vendar .

Izrek.Če je binarna operacija na nizu asociativna, potem vrednost izraza ni odvisna od razporeditve oklepajev v njem.

Dokaz. Za , ali trditev je očitna. Za , Zadostuje pokazati z indukcijo, da

za katero koli,. Po indukcijski hipotezi je razporeditev oklepajev v

ni pomembno; še posebej, .

Če, potem .

Če, potem

Desna stran dokazane enakosti (1) se reducira na enako obliko. ∎

Element se imenuje nevtralen glede operacije, če

za vsakogar.

Polskupina z elementom se imenuje monoid(oz polskupina z identiteto) in označuje , , .

Polskupina (groupoid) ima lahko največ en nevtralen element: če

, so torej nevtralni elementi

Imenuje se skupinoid (polskupina). podskupina (podpolskupina) skupinoida (polskupine) , , če

In za katero koli,.

V tem primeru rečemo, da je podmnožica zaprt v obratovanju. Monoid, se imenuje submonoidni monoid , , , če in .

Element monoida , se imenuje reverzibilnoče obstaja tak element (Očitno bomo potem obrnili). Če ima element enako lastnost, t.j. , potem iz enakosti sledi, da je element v resnici edini (glede na ). To vam omogoča, da se pogovarjate o vzvratno element , v (obrljiv) element , z lastnostmi: , .

Če so , invertibilni elementi monoida , , , potem je njihov produkt tudi inverzibilen element, saj , . Očitno gre za inverzibilen element. Zato obstaja

Izrek. Množica vseh invertibilnih elementov monoida , , je zaprta pod operacijo ∗ in tvori submonoid v , , .

Skupine

Definicija skupine. Imenuje se monoid , , , katerega vsi elementi so inverzibilni skupina.

Z drugimi besedami, skupina je množica z binarno operacijo, za katero veljajo naslednji aksiomi:

. (Zaključek operacije.) , .

. (Asociativnost delovanja.) ,

. (Obstoj nevtralnega elementa.) ∃ .

. (Obstoj inverznega elementa.) .

Komentar.Če se vrnemo na zgoraj predstavljene algebraične strukture, med njimi opazimo naslednjo hierarhijo: par je skupinoid, če je aksiom ; polskupina, če so aksiomi in izpolnjeni; monoid, če so aksiomi , in ; skupina, če so aksiomi , , in .

Stopnje elementov z očitnimi lastnostmi so naravno definirane:

(enkrat),

; , ( , , .

Na splošno je nemogoče preurediti elemente v izrazu (tj. ). Če , potem se elementi pokličejo permutacijski, oz na delo. Če se katera koli dva elementa skupine menjata, se skupina kliče komutativno, oz abelov(v čast norveškemu matematiku Rielu Henriku Abelu ( - )).

Operacijo v skupini najpogosteje označujemo bodisi s simbolom (seštevanje) bodisi s simbolom (množenje). Skupina je ustrezno poimenovana aditiv oz multiplikacijski, njen nevtralni element − oz nič() oz enoto(). V aditivni skupini se imenuje element, element, inverzni elementu nasprotno in je označen z , in namesto tega pišejo . V multiplikativni skupini se običajno piše namesto , pri čemer se izpusti simbol operacije.

Primeri aditivnih skupin. 1) , , , , , , , so aditivne skupine obroča in polj , , . Samo napiši , , , . 2) Vsak dodaten obroč je abelova skupina. Zlasti polinomski obroč ,…, ] in matrični obroč , urejenega nad poljem, sta Abelovi skupini. 3) Vsak vektorski prostor nad poljem glede na seštevanje je abelova skupina. 4) , 1,…, je celoten sistem najmanjših nenegativnih ostankov po modulu z operacijo seštevanja po modulu .

Primeri multiplikativnih skupin. 1) , , − multiplikativne skupine polj , , . 2) je množica inverzibilnih elementov katerega koli obroča z enoto pri množenju. Zlasti = ; , je množica inverzibilnih matrik iz . 3) − vse (realne in kompleksne) korenine

, , 1,…, , − namišljena enota,

enačbe so multiplikativna abelova skupina. 4) − množica rotacije pravilnega -kotnika v ravnini in v prostoru − nekomutativna skupina (za ).

Nadalje se pogosteje uporablja multiplikacijska oblika zapisa operacije. Skupina je običajno označena z eno črko brez navedbe operacije. Imenuje se množica vseh elementov skupine glavni sklop skupine in je označena z isto črko. Če je osnovna množica končna, se skupina imenuje končni; drugače se imenuje neskončno. Številski element končne skupine se imenuje njegov po vrstnem redu. Imenuje se skupina reda 1 samski ali T nepomembno. Rečeno je, da ima neskončna skupina neskončen red. Enakomerna simbola Card (kardinalna številka) in () se uporabljata za označevanje vrstnega reda skupine (kardinalnost glavnega niza).

Če , so podmnožice (glavnega niza) skupine, potem smo nastavili

, , .

podskupina Skupina je podmnožica B, ki je sama skupina glede na isto operacijo kot v . Z drugimi besedami, podmnožica je podskupina, če in samo če (ena v) in je zaprta z množenjem in recipročnim, t.j. , (pravzaprav so tu celo enakosti). Če je − podskupina v , potem napiši ; če hkrati , potem se kliče lastno podskupina in to je označeno kot .

Skoraj vsi vedo, kako izgleda simbol neskončnosti, ki je podoben obrnjeni osmici. Ta znak se imenuje tudi "lemniscate", kar v starogrščini pomeni trak. Predstavljajte si, da je simbol neskončnosti zelo podoben realni matematični figuri. Spoznajte Moebiusov trak!

Kaj je Möbiusov trak?

Mobiusov trak(ali pa se imenuje tudi Mobiusova zanka, Mobius trak in celo Mobiusov prstan) je ena najbolj znanih površin v matematiki. Möbiusova zanka je zanka z eno površino in enim robom.

Da bi razumeli, kaj je na kocki in kako je lahko, vzemite list papirja, izrežite pravokoten trak in v trenutku povezovanja njegovih koncev enega od njih zasukajte za 180 stopinj, nato pa ga povežite. Spodnja slika vam bo pomagala ugotoviti, kako narediti Mobiusov trak.

Kaj je tako izjemnega na Möbiusovem traku?

Mobiusov trak- primer neorientabilne enostranske ploskve z enim robom v običajnem tridimenzionalnem evklidskem prostoru. Večina predmetov je orientacijskih, imajo dve strani, na primer list papirja.

Kako je potem lahko Möbiusov trak neorientabilna, enostranska površina – boste rekli, saj ima papir, iz katerega je izdelan, dve strani. In poskusite vzeti marker in napolniti eno od strani traku z barvo, na koncu boste zadeli v začetni položaj, celoten trak pa bo popolnoma prebarvan, kar potrjuje, da ima samo eno stran.

Če želite verjeti, da ima Möbiusova zanka samo en rob - s prstom povlecite po enem od robov traku brez prekinitve in tako kot v primeru barvanja boste zadeli točko, od koder ste se začeli premikati. Neverjetno, kajne?

Preučevanje Möbiusovega traku in številnih drugih zanimivih predmetov se ukvarja z - topologija, veja matematike, ki raziskuje nespremenljive lastnosti predmeta med njegovo neprekinjeno deformacijo – raztezanje, stiskanje, upogibanje, ne da bi pri tem kršili celovitost.

Odkritje Avgusta Möbiusa

Nemški matematik je priznan kot "oče" tega nenavadnega traku Avgust Ferdinand Möbius, Gaussov učenec, ki je napisal več kot eno delo o geometriji, zaslovel pa je predvsem z odkritjem enostranske površine leta 1858.

Presenetljivo je dejstvo, da je trak z eno površino istega leta 1858 odkril še en Gaussov učenec - nadarjeni matematik Johann Listing, ki je skoval izraz "topologija" in napisal vrsto temeljnih del o tej veji matematike. Vendar je nenavaden trak še vedno dobil ime po imenu Möbius.

Obstaja splošno prepričanje, da je bil prototip modela "neskončne zanke" napačno prišit trak služkinje profesorja Avgusta Möbiusa.

Pravzaprav, je bil trak odkrit že davno v starem svetu. Ena od potrditev je starorimski mozaik, ki se nahaja v Franciji, v muzeju mesta Arles, z enakim zvitim trakom. Prikazuje Orfeja, ki očara živali z zvoki harfe. Na ozadju je večkrat upodobljen ornament z zvitim trakom.

"Magic" Möbiusovega traku

1. Kljub navidezni prisotnosti dveh strani Möbiusovega traku je v resnici samo ena stran in traku ne bo šlo, če bi obarvali trak v dve barvi.
2. Če s peresom ali svinčnikom narišete črto vzdolž celotne dolžine zanke, ne da bi odmaknili roko z lista, se bo pisalo sčasoma ustavilo na točki, od koder ste začeli risati črto;
3. Pri rezanju traku se pridobijo izjemne izkušnje, ki lahko presenetijo tako odraslega kot otroka še posebej.

• Najprej prilepite Möbiusov trak, kot je opisano prej. Nato ga razrežemo po celotni dolžini natančno na sredini, kot je prikazano spodaj:

Rezultat vas bo precej presenetil, saj v nasprotju s pričakovanji v vaših rokah ne bosta ostala dva kosa traku in niti dva ločena kroga, ampak drug, še daljši trak. To ne bo več Mobiusov trak, zasukan za 180 stopinj, ampak trak z vrtenjem za 360 stopinj.

• Zdaj bomo izvedli še en poskus - naredili bomo še eno Mobiusovo zanko, po kateri bomo izmerili 1/3 širine traku in ga odrezali vzdolž te črte. Rezultat vas bo še bolj presenetil - v vaših rokah bosta ostala dva ločena traka različnih velikosti, povezana skupaj, kot v verigi: en manjši trak, drugi pa daljši.

Manjši Möbiusov trak bo imel 1/3 prvotne širine traku, dolžine L in obrnjen za 180 stopinj. Drugi daljši trak bo prav tako širok 1/3 tako širok kot original, vendar bo dolg 2L in obrnjen za 360 stopinj.

• Poskus lahko nadaljujete naprej, nastale trakove razrežete na še ožje, rezultat boste videli sami.

Zakaj potrebujemo Mobiusovo zanko? Aplikacija

Möbiusov trak sploh ni abstraktna figura, potrebna le za matematične namene, je našla uporabo tudi v resničnem vsakdanjem življenju. Po principu tega pasu na letališču deluje pas, ki premika kovčke iz prtljažnika. Ta oblika omogoča, da zaradi enakomerne obrabe traja dlje. Odkritje Augusta Möbiusa se pogosto uporablja v strojni industriji. Zasnova se uporablja za daljši čas snemanja na film, pa tudi v tiskalnikih, ki pri tiskanju uporabljajo trak.

Zaradi svoje prepoznavnosti Möbiusova zanka omogoča sodobnim znanstvenikom vse več novih odkritij. Od odkritja neverjetnih lastnosti zanke je svet zajel val novih patentiranih izumov. Na primer, bistveno izboljšanje lastnosti magnetnih jeder, izdelanih iz feromagnetnega traku, navitega po metodi Mobius.

N. Tesla je prejel patent za večfazni sistem izmeničnega toka, ki uporablja navijanje tuljav generatorja kot Mobiusovo zanko.

Ameriški znanstvenik Richard Davis je zasnoval nereaktivni Moebiusov upor - sposoben dušiti reaktivni (kapacitivni in induktivni) upor brez povzročanja elektromagnetnih motenj.

Mobiusov trak - široko polje za navdih

Težko je oceniti pomen odkritja Möbiusove zanke, ki je navdihnilo ne le veliko število znanstvenikov, temveč tudi pisatelje in umetnike.

Najbolj znano delo, posvečeno Möbiusovemu traku, je slika Moebiusov trak II, Rdeče mravlje ali Rdeče mravlje nizozemskega grafika Mauritsa Escherja. Slika prikazuje mravlje, ki plezajo po Moebiusovi zanki na obeh straneh, pravzaprav je le ena stran. Mravlje se plazijo v neskončni zanki ena za drugo po isti površini.

Umetnik je svoje ideje črpal iz člankov in del o matematiki, globoko ga je navdušila geometrija. V zvezi s tem njegove litografije in gravure pogosto vsebujejo različne geometrijske oblike, fraktale, osupljive optične iluzije.

Do zdaj je zanimanje za Mobiusovo zanko na zelo visoki ravni, celo športniki so predstavili istoimensko akrobatsko figuro.

Več kot en film je bil posnet po delu Möbiusovega traku pisca znanstvene fantastike Armina Deutscha. V obliki Mobiusove zanke nastane ogromno različnih nakita, čevljev, skulptur in številnih drugih predmetov in oblik.

Möbiusov trak je pustil pečat v proizvodnji, oblikovanju, umetnosti, znanosti, literaturi in arhitekturi.

Um mnogih ljudi je skrbela podobnost oblike molekule DNK in Möbiusove zanke. Obstajala je hipoteza, ki jo je postavil sovjetski citolog Navašin, da oblika obročni kromosom po strukturi podoben Möbiusovemu traku. To idejo znanstvenika je spodbudilo dejstvo, da se obročni kromosom, ki se množi, se spremeni v daljši obroč kot na samem začetku ali v dva majhna obročka, a kot v verigi, ki je vpeta drug v drugega, kar zelo spominja na zgoraj opisane poskuse z Möbiusovim trakom.

Leta 2015 se je skupina znanstvenikov iz Evrope in Združenih držav Amerike lahko zavrtela svetlobo v Möbiusovem obroču. V znanstvenem eksperimentu so znanstveniki uporabili optične leče in strukturirano svetlobo – fokusiran laserski žarek z vnaprej določeno intenzivnostjo in polarizacijo na vsaki točki njegovega gibanja. Kot rezultat so bili pridobljeni lahki Möbiusovi trakovi.

Obstaja še ena večja teorija. Vesolje je ogromna Mobiusova zanka. Einstein se je držal te ideje. Predlagal je, da je vesolje zaprto in vesoljsko plovilo, ki se začne z določene točke v njem in ves čas leti naravnost, se bo vrnilo na isto točko v prostoru in času, od koder se je začelo njegovo gibanje.

Zaenkrat so to le hipoteze, ki imajo tako zagovornike kot nasprotnike. Kdo ve, kakšno odkritje bo znanstvenike pripeljalo do tako preprostega predmeta, kot je Möbiusov pas.