Pogosto je treba rešiti probleme, pri katerih je treba najti največjo ali najmanjšo vrednost iz nabora tistih vrednosti, ki jih funkcija prevzame na segmentu.
Obrnimo se na primer k grafu funkcije f (x) \u003d 1 + 2x 2 - x 4 na odseku [-1; 2]. Za delo s funkcijo moramo narisati njen graf.
Iz sestavljenega grafa je razvidno, da ima funkcija največjo vrednost na tem odseku, enako 2, v točkah: x = -1 in x = 1; najmanjša vrednost je enaka -7, funkcija prevzame x = 2.
Točka x \u003d 0 je najmanjša točka funkcije f (x) = 1 + 2x 2 - x 4. To pomeni, da obstaja soseska točke x \u003d 0, na primer interval (-1/2; 1/2) - tako, da v tej soseščini funkcija prevzame najmanjšo vrednost pri x \u003d 0. Vendar pa na večjem intervalu, na primer na segmentu [ -one; 2], funkcija prevzame najmanjšo vrednost na koncu segmenta in ne na minimalni točki.
Torej, da bi našli najmanjšo vrednost funkcije na določenem segmentu, je treba primerjati njene vrednosti na koncih segmenta in na minimalnih točkah.
Na splošno predpostavimo, da je funkcija f(x) neprekinjena na segmentu in da ima funkcija izpeljanko na vsaki notranji točki tega segmenta.
Da bi našli največjo in najmanjšo vrednost funkcije na segmentu, je potrebno:
1) poiščite vrednosti funkcije na koncih segmenta, t.j. številki f(a) in f(b);
2) poiščite vrednosti funkcije v stacionarnih točkah, ki pripadajo intervalu (a; b);
3) med najdenimi vrednostmi izberite največjo in najmanjšo.
Uporabimo pridobljeno znanje v praksi in razmislimo o problemu.
Poiščite največjo in najmanjšo vrednost funkcije f (x) \u003d x 3 + x / 3 na segmentu.
Rešitev.
1) f(1/2) = 6 1/8, f(2) = 9 ½.
2) f´(x) = 3x 2 - 3 / x 2 = (3x 4 - 3) / x 2, 3x 4 - 3 \u003d 0; x 1 = 1, x 2 = -1.
Interval (1/2; 2) vsebuje eno stacionarno točko x 1 = 1, f(1) = 4.
3) Od števil 6 1/8, 9 ½ in 4 je največje 9 ½, najmanjše pa 4.
Odgovori. Največja vrednost funkcije je 9 ½, najmanjša vrednost funkcije je 4.
Pogosto je pri reševanju problemov potrebno najti največjo in najmanjšo vrednost funkcije ne na segmentu, temveč na intervalu.
V praktičnih težavah ima funkcija f(x) običajno samo eno stacionarno točko na danem intervalu: bodisi največjo ali minimalno točko. V teh primerih funkcija f(x) prevzame največjo vrednost v določenem intervalu na najvišji točki, na najnižji točki pa najmanjšo vrednost v tem intervalu. Obrnimo se na problem.
Število 36 je zapisano kot zmnožek dveh pozitivnih števil, katerih vsota je najmanjša.
Rešitev.
1) Naj je prvi faktor x, potem je drugi faktor 36/x.
2) Vsota teh števil je x + 36/x.
3) Glede na pogoje problema je x pozitivno število. Torej je problem zmanjšan na iskanje vrednosti x - tako, da funkcija f (x) \u003d x + 36 / x prevzame najmanjšo vrednost na intervalu x > 0.
4) Poiščite izpeljavo: f´(x) = 1 - 36 / x 2 = ((x + 6) (x - 6)) / x 2.
5) Stacionarne točke x 1 = 6, x 2 = -6. Na intervalu x > 0 je samo ena stacionarna točka x = 6. Pri prehodu skozi točko x = 6 izpeljanka spremeni predznak “–” v predznak “+”, zato je x = 6 minimalna točka. Posledično funkcija f(x) = x + 36/x prevzame najmanjšo vrednost na intervalu x > 0 v točki x = 6 (to je vrednost f(6) = 12).
Odgovori. 36 = 6 ∙ 6.
Pri reševanju nekaterih problemov, kjer je treba najti največjo in najmanjšo vrednost funkcije, je koristno uporabiti naslednjo izjavo:
če vrednosti funkcije f(x) na nekem intervalu niso negativne, potem ta funkcija in funkcija (f(x)) n, kjer je n naravno število, vzameta največjo (najmanjšo) vrednost na ista točka.
strani, s popolnim ali delnim kopiranjem gradiva, je potrebna povezava do vira.
Miniaturna in precej preprosta naloga, ki služi kot rešilna vrv za lebdečega študenta. V naravi je zaspano kraljestvo sredine julija, zato je čas, da se umirite s prenosnikom na plaži. Zgodaj zjutraj se je začel vrteti sončni žarek teorije, da bi se kmalu osredotočil na prakso, ki kljub deklarirani lahkosti vsebuje drobce stekla v pesku. V zvezi s tem priporočam, da vestno razmislite o nekaj primerih te strani. Za reševanje praktičnih nalog morate biti sposobni poiščite izpeljanke in razumeti material članka Intervali monotonosti in ekstremi funkcije.
Najprej na kratko o glavni stvari. V lekciji o kontinuiteta delovanja Podal sem definicijo kontinuitete v točki in kontinuitete na intervalu. Na podoben način je formulirano zgledno obnašanje funkcije na segmentu. Funkcija je neprekinjena na segmentu, če:
1) je neprekinjeno na intervalu ;
2) neprekinjeno na točki na desni in na točki levo.
Drugi odstavek obravnava t.i enostranska kontinuiteta deluje na točki. Obstaja več pristopov k njegovi definiciji, vendar se bom držal prej začete vrstice:
Funkcija je neprekinjena na točki na desni, če je definirana v določeni točki in njena desna meja sovpada z vrednostjo funkcije v dani točki: 
. Na točki je neprekinjena levo, če je definiran na določeni točki in je njegova leva meja enaka vrednosti na tej točki: 
Predstavljajte si, da so zelene pike nohti, na katere je pritrjen čarobni gumijasti trak:
Mentalno vzemite rdečo črto v svoje roke. Očitno, ne glede na to, kako daleč raztegnemo graf navzgor in navzdol (vzdolž osi), bo funkcija še vedno ostala omejeno- živa meja zgoraj, živa meja spodaj in naš izdelek se pase v ogradi. V to smer, funkcija, neprekinjena na segmentu, je nanjo omejena. Med matematično analizo je to na videz preprosto dejstvo navedeno in strogo dokazano Weierstrassov prvi izrek.…Mnogo moti, da so osnovne trditve v matematiki dolgočasno utemeljene, a to ima pomemben pomen. Recimo, da je določen prebivalec frotirnega srednjega veka potegnil graf v nebo onkraj meja vidnosti in je bil ta vstavljen. Pred izumom teleskopa omejena funkcija v vesolju sploh ni bila očitna! Pravzaprav, kako veš, kaj nas čaka za obzorjem? Konec koncev, nekoč je Zemlja veljala za ravno, tako da danes celo običajna teleportacija zahteva dokaz =)
Po navedbah drugi Weierstrassov izrek, neprekinjeno na segmentufunkcija doseže svoje natančen zgornji rob in njegov natančen spodnji rob .
Številka se tudi kliče največja vrednost funkcije na segmentu in označena s , in številka - najmanjša vrednost funkcije na intervalu z obvestilom.
v našem primeru: 
Opomba
: v teoriji so zapisi pogosti 
.
Grobo rečeno, največja vrednost se nahaja tam, kjer je najvišja točka grafa, najmanjša pa tam, kjer je najnižja točka.
Pomembno! Kot je bilo že poudarjeno v članku o ekstremi funkcije, največja vrednost funkcije in najmanjša vrednost funkcije – NI ENAKO, kaj funkcija maksimalno in minimalna funkcija. Torej, v tem primeru je število najmanjša vrednost funkcije, ne pa najmanjša vrednost.
Mimogrede, kaj se dogaja zunaj segmenta? Ja, tudi poplava nas v okviru obravnavanega problema sploh ne zanima. Naloga vključuje samo iskanje dveh številk 
in to je to!
Poleg tega je rešitev zgolj analitična, torej ni treba risati!
Algoritem leži na površini in izhaja iz zgornje slike:
1) Poiščite vrednosti funkcije v kritične točke, ki spadajo v ta segment.
Ujemite še eno dobroto: ni treba preverjati zadostnega pogoja za ekstrem, saj je, kot je prikazano, prisotnost minimuma ali maksimuma še ni zagotovljeno kakšna je najmanjša ali največja vrednost. Demonstracijska funkcija doseže svoj maksimum in po volji usode je isto število največja vrednost funkcije na intervalu . A do takšnega naključja se seveda ne zgodi vedno.
Torej, v prvem koraku je hitreje in lažje izračunati vrednosti funkcije na kritičnih točkah, ki pripadajo segmentu, ne da bi se obremenjevali, ali imajo ekstreme ali ne.
2) Izračunamo vrednosti funkcije na koncih segmenta.
3) Med vrednostmi funkcije, ki jih najdemo v 1. in 2. odstavku, izberite najmanjše in največje število, zapišite odgovor.
Sedimo na obali modrega morja in udarimo po petah v plitvi vodi:
Primer 1
Poiščite največjo in najmanjšo vrednost funkcije na segmentu
Rešitev:
1) Izračunajte vrednosti funkcije na kritičnih točkah, ki pripadajo temu segmentu:
Izračunajmo vrednost funkcije na drugi kritični točki:
2) Izračunajte vrednosti funkcije na koncih segmenta: 
3) "krepke" rezultate smo dobili z eksponenti in logaritmi, kar bistveno otežuje njihovo primerjavo. Iz tega razloga se bomo oborožili s kalkulatorjem ali Excelom in izračunali približne vrednosti, ne da bi pozabili, da: 
Zdaj je vse jasno.
Odgovori:
Delno-racionalni primer za neodvisno rešitev:
Primer 6
Poiščite največjo in najmanjšo vrednost funkcije na segmentu
1. možnost. pri
1. Graf funkcije y=f(x) prikazano na sliki.
Določite največjo vrednost te funkcije 1
na segmentu [ a; b]. a 0 1 b x
1) 2,5; 2) 3; 3) 4; 4) 2.
https://pandia.ru/text/78/524/images/image003_127.gif" width="242" height="133 src="> 1) -4; 2) -2; 3) 4; 4) 2.
4. Funkcije y=f(x) nastavljen na segmentu [ a; b]. pri
Slika prikazuje graf njegove izpeljanke
y=f ´(x). Raziščite ekstreme 1 b
funkcijo y=f(x). Prosimo, da v odgovoru navedete količino. a 0 1 x
minimalne točke.
1) 6; 2) 7; 3) 4;
5. Poišči največjo vrednost funkcije y \u003d -2x2 + 8x -7.
1) -2; 2) 7; 3) 1;
6. Poiščite najmanjšo vrednost funkcije 
na segmentu .
1) https://pandia.ru/text/78/524/images/image005_87.gif" width="17" height="48 src=">.
7. Poiščite najmanjšo vrednost funkcije y=|2x+3| - .
1) - https://pandia.ru/text/78/524/images/image006_79.gif" width="17" height="47"> ; 4) - .
https://pandia.ru/text/78/524/images/image009_67.gif" width="144" height="33 src="> ima minimum na točki xo=1,5?
1) 5; 2) -6; 3) 4; 4) 6.pri
9. Določite največjo vrednost funkcije y=f(x) ,
1 x
0 1
1) 2,5; 2) 3; 3) -3;
y=lg(100 – x2 ).
1) 10 ; 2) 100 ; 3) 2 ; 4) 1 .
11. Poišči najmanjšo vrednost funkcije y=2greh-1.
1) -1 ; 2) -3 ; 3) -2 ; 4) - .
Test 14 Največja (najmanjša) vrednost funkcije.
https://pandia.ru/text/78/524/images/image013_44.gif" width="130" height="115 src=">1. Graf funkcije y=f(x) prikazano na sliki.
Določite najmanjšo vrednost te funkcije 1
na segmentu [ a; b]. a b
0 1 x
1) 0; 2) - 4 ,5; 3) -2; 4) - 3.
 |
2. pri Slika prikazuje graf funkcije y=f(x).
Koliko največjih točk ima funkcija?
1
0 1 x 1) 5; 2) 6; 3) 4; 4) 1.
3. Na kateri točki je funkcija y \u003d 2x2 + 24x -25 prevzame najmanjšo vrednost?
https://pandia.ru/text/78/524/images/image018_37.gif" width="76" height="48"> na segmentu [-3;-1].
1) - https://pandia.ru/text/78/524/images/image020_37.gif" width="17" height="47 src=">; 2); 4) - 5.
https://pandia.ru/text/78/524/images/image022_35.gif" width="135" height="33 src="> ima minimum na točki xo = -2?
; 2) -6;; 4) 6.pri
9. Določite najmanjšo vrednost funkcije y=f(x) ,
katerega graf je prikazan na sliki. 1 x
0 1
1) -1,5; 2) -1; 3) -3;
10. Poišči največjo vrednost funkcije y=dnevnik11 (121 – x2 ).
1) 11;; 3) 1;
11. Poišči največjo vrednost funkcije y=2cos+3.
1) 5 ; 2) 3 ; 3) 2 ; 4) .
Odgovori :
Največja vrednost funkcije se imenuje največja, najmanjša vrednost je najmanjša od vseh njenih vrednosti.
Funkcija ima lahko samo eno največjo in samo eno najmanjšo vrednost ali pa sploh nima nobene. Iskanje največje in najmanjše vrednosti zveznih funkcij temelji na naslednjih lastnostih teh funkcij:
1) Če je v nekem intervalu (končnem ali neskončnem) funkcija y=f(x) neprekinjena in ima samo en ekstrem, in če je to maksimum (minimum), bo to največja (najmanjša) vrednost funkcije v tem intervalu.
2) Če je funkcija f(x) neprekinjena na nekem segmentu, potem ima nujno največjo in najmanjšo vrednost na tem segmentu. Te vrednosti se dosežejo bodisi na skrajnih točkah, ki ležijo znotraj segmenta, bodisi na mejah tega segmenta.
Za iskanje največje in najmanjše vrednosti na segmentu je priporočljivo uporabiti naslednjo shemo:
1. Poiščite izpeljanko.
2. Poiščite kritične točke funkcije, kjer je =0 ali ne obstaja.
3. Poišči vrednosti funkcije na kritičnih točkah in na koncih segmenta ter med njimi izberi največji f max in najmanjši f min.
Pri reševanju aplikativnih problemov, zlasti optimizacijskih, so pomembni problemi iskanja največje in najmanjše vrednosti (globalnega maksimuma in globalnega minimuma) funkcije na intervalu X. Za reševanje takšnih problemov je treba na podlagi pogoja , izberite neodvisno spremenljivko in skozi to spremenljivko izrazite preučevano vrednost. Nato poiščite želeno največjo ali najmanjšo vrednost nastale funkcije. V tem primeru se iz pogoja problema določi tudi interval spremembe neodvisne spremenljivke, ki je lahko končen ali neskončen.
Primer. Rezervoar, ki ima obliko pravokotnega paralelepipeda s kvadratnim dnom, odprt na vrhu, je treba v notranjosti konzervirati s pločevino. Kakšne naj bodo dimenzije rezervoarja s prostornino 108 litrov. vode, tako da je strošek njenega konzerviranja najmanjši?
Rešitev. Stroški prevleke rezervoarja s kositrom bodo najnižji, če je za dano zmogljivost njegova površina minimalna. Označimo z dm - stran podnožja, b dm - višino rezervoarja. Potem je površina S njegove površine enaka
in 
Nastala relacija vzpostavi razmerje med površino rezervoarja S (funkcija) in stranjo osnove a (argument). Raziskujemo funkcijo S za ekstrem. Poiščite prvo izpeljanko, jo enačite z ničlo in rešite nastalo enačbo:
Zato je a = 6. (a) > 0 za a > 6, (a)< 0 при а < 6. Следовательно, при а = 6 функция S имеет минимум. Если а = 6, то b = 3. Таким образом, затраты на лужение резервуара емкостью 108 литров будут наименьшими, если он имеет размеры 6дм х 6дм х 3дм.
Primer. Poiščite največjo in najmanjšo vrednost funkcije 
vmes.
Rešitev: Določena funkcija je neprekinjena na celotni številski osi. Izpeljanka funkcije
Izpeljanka pri in pri . Izračunajmo vrednosti funkcije na teh točkah:
.
Vrednosti funkcije na koncih danega intervala so enake . Zato je največja vrednost funkcije pri , najmanjša vrednost funkcije je pri .
Vprašanja za samopregledovanje
1. Formulirajte L'Hopitalovo pravilo za razkritje negotovosti obrazca . Naštejte različne vrste negotovosti, za katere je mogoče uporabiti L'Hospitalovo pravilo.
2. Formulirajte znake naraščajoče in padajoče funkcije.
3. Določite maksimum in minimum funkcije.
4. Formulirajte potreben pogoj za obstoj ekstrema.
5. Katere vrednosti argumenta (katere točke) se imenujejo kritične? Kako najti te točke?
6. Kateri so zadostni znaki obstoja ekstremuma funkcije? Oris sheme za preučevanje funkcije za ekstrem z uporabo prve izpeljanke.
7. Oris sheme za preučevanje funkcije za ekstrem z uporabo druge izpeljanke.
8. Definiraj konveksnost, konkavnost krivulje.
9. Kakšna je pregibna točka funkcijskega grafa? Določite, kako najti te točke.
10. Formulirajte potrebne in zadostne znake konveksnosti in konkavnosti krivulje na danem segmentu.
11. Definirajte asimptoto krivulje. Kako najti navpične, vodoravne in poševne asimptote funkcijskega grafa?
12. Oris splošne sheme za raziskovanje funkcije in konstrukcijo njenega grafa.
13. Formulirajte pravilo za iskanje največje in najmanjše vrednosti funkcije na danem segmentu.
Julija 2020 NASA začne odpravo na Mars. Vesoljsko plovilo bo na Mars dostavilo elektronski nosilec z imeni vseh registriranih članov odprave.
Če je ta objava rešila vašo težavo ali vam je bila le všeč, delite povezavo do nje s prijatelji na družbenih omrežjih.
Eno od teh možnosti kode je treba kopirati in prilepiti v kodo vaše spletne strani, po možnosti med oznakami
in ali takoj za oznako . Po prvi možnosti se MathJax naloži hitreje in manj upočasni stran. Toda druga možnost samodejno sledi in nalaga najnovejše različice MathJaxa. Če vstavite prvo kodo, jo bo treba občasno posodabljati. Če prilepite drugo kodo, se bodo strani nalagale počasneje, vendar vam ne bo treba nenehno spremljati posodobitev MathJaxa.MathJax najlažje povežete v Bloggerju ali WordPressu: na nadzorni plošči spletnega mesta dodajte pripomoček, namenjen vstavljanju kode JavaScript tretje osebe, vanj kopirajte prvo ali drugo različico kode za nalaganje, predstavljeno zgoraj, in namestite pripomoček bližje na začetek predloge (mimogrede, to sploh ni potrebno, saj se skript MathJax naloži asinhrono). To je vse. Zdaj se naučite sintakse označevanja MathML, LaTeX in ASCIIMathML in pripravljeni ste za vdelavo matematičnih formul v svoje spletne strani.
Spet novo leto... zmrzal vreme in snežinke na okenski šipi... Vse to me je spodbudilo, da spet pišem o... fraktalih in kaj o tem ve Wolfram Alpha. Ob tej priložnosti je zanimiv članek, v katerem so primeri dvodimenzionalnih fraktalnih struktur. Tukaj bomo obravnavali bolj zapletene primere tridimenzionalnih fraktalov.
Fraktal lahko vizualno predstavimo (opišemo) kot geometrijsko figuro ali telo (kar pomeni, da sta oba niz, v tem primeru množica točk), katerih detajli imajo enako obliko kot izvirna figura sama. To pomeni, da gre za samopodobno strukturo, glede na podrobnosti katere bomo ob povečavi videli enako obliko kot brez povečave. Medtem ko bomo v primeru navadne geometrijske figure (ne fraktala) pri povečavi videli podrobnosti, ki imajo enostavnejšo obliko kot izvirna figura sama. Na primer, pri dovolj veliki povečavi je del elipse videti kot segment ravne črte. To se pri fraktalih ne zgodi: z vsakim njihovim povečanjem bomo spet videli isto kompleksno obliko, ki se bo z vsakim povečanjem vedno znova ponavljala.
Benoit Mandelbrot, ustanovitelj znanosti o fraktalih, je v svojem članku Fraktali in umetnost za znanost zapisal: "Fraktali so geometrijske oblike, ki so tako zapletene v svojih podrobnostih kot v svoji celotni obliki. To pomeni, če bo del fraktala povečati na velikost celote, bo videti kot celota, ali natančno ali morda z rahlo deformacijo.