Vsakemu študentu, ki se pripravlja na izpit iz matematike, bo koristno, da ponovi temo »Iskanje kota med črtami«. Kot kažejo statistike, pri opravljanju certificiranja naloge v tem oddelku stereometrije povzročajo težave velikemu številu študentov. Hkrati se v USE najdejo naloge, ki zahtevajo iskanje kota med ravnimi črtami na osnovni in profilni ravni. To pomeni, da bi jih moral vsak znati rešiti.
Osnovni trenutki
Obstajajo 4 vrste medsebojne razporeditve črt v prostoru. Lahko sovpadajo, sekajo, so vzporedne ali sekajo. Kot med njimi je lahko oster ali raven.
Da bi našli kot med črtami v enotnem državnem izpitu ali na primer v rešitvi, lahko šolarji v Moskvi in drugih mestih uporabljajo več metod za reševanje problemov v tem delu stereometrije. Nalogo lahko dokončate s klasičnimi konstrukcijami. Če želite to narediti, se je vredno naučiti osnovnih aksiomov in izrekov stereometrije. Študent mora biti sposoben logično graditi sklepanje in ustvarjati risbe, da nalogo pripelje do planimetričnega problema.
Uporabite lahko tudi vektorsko-koordinatno metodo z uporabo preprostih formul, pravil in algoritmov. Glavna stvar v tem primeru je pravilno izvesti vse izračune. Izobraževalni projekt Shkolkovo vam bo pomagal izpopolniti svoje sposobnosti pri reševanju problemov v stereometriji in drugih oddelkih šolskega tečaja.
Opredelitev.Če sta podani dve premici y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , bo ostri kot med tema črtama definiran kot
Dve premici sta vzporedni, če je k 1 = k 2 . Dve premici sta pravokotni, če je k 1 = -1/ k 2 .
Izrek. Ravne črte Ax + Vy + C = 0 in A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 so vzporedne, ko so koeficienti A 1 = λA, B 1 = λB sorazmerni. Če tudi С 1 = λС, potem premici sovpadata. Koordinate presečišča dveh premic najdemo kot rešitev sistema enačb teh premic.
Enačba premice, ki poteka skozi dano točko
Pravokotno na to črto
Opredelitev. Premica, ki poteka skozi točko M 1 (x 1, y 1) in je pravokotna na premico y = kx + b, je predstavljena z enačbo:
Razdalja od točke do črte
Izrek.Če je podana točka M(x 0, y 0), je razdalja do premice Ax + Vy + C \u003d 0 definirana kot
.
Dokaz. Naj bo točka M 1 (x 1, y 1) osnova navpičnice, spuščena iz točke M na dano premico. Potem je razdalja med točkama M in M 1:
(1)
Koordinati x 1 in y 1 lahko najdemo kot rešitev sistema enačb:
Druga enačba sistema je enačba premice, ki poteka skozi dano točko M 0 pravokotno na dano premo črto. Če prvo enačbo sistema pretvorimo v obliko:
A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,
potem z reševanjem dobimo:
Če te izraze nadomestimo v enačbo (1), ugotovimo:
Izrek je dokazan.
Primer. Določi kot med premici: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.
k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = 
; φ= p /4.
Primer. Pokažite, da sta premici 3x - 5y + 7 = 0 in 10x + 6y - 3 = 0 pravokotni.
Odločitev. Najdemo: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, zato so črte pravokotne.
Primer. Podana so oglišča trikotnika A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Poiščite enačbo za višino, potegnjeno iz oglišča C.
Odločitev. Najdemo enačbo stranice AB: 
; 4 x = 6 y - 6;
2x – 3y + 3 = 0;
Želena višinska enačba je: Ax + By + C = 0 ali y = kx + b. k = . Potem je y =. Ker višina poteka skozi točko C, potem njene koordinate izpolnjujejo to enačbo: 
od koder je b = 17. Skupaj: . 
Odgovor: 3x + 2y - 34 = 0.
Enačba premice, ki poteka skozi dano točko v dani smeri. Enačba premice, ki poteka skozi dve dani točki. Kot med dvema črtama. Pogoj vzporednosti in pravokotnosti dveh premic. Določanje presečišča dveh premic
1. Enačba premice, ki poteka skozi dano točko A(x 1 , y 1) v določeni smeri, ki jo določa naklon k,
y - y 1 = k(x - x 1). (1)
Ta enačba definira svinčnik premic, ki potekajo skozi točko A(x 1 , y 1), ki se imenuje središče žarka.
2. Enačba premice, ki poteka skozi dve točki: A(x 1 , y 1) in B(x 2 , y 2) je napisano takole:
Naklon premice, ki poteka skozi dve dani točki, je določen s formulo
3. Kot med ravnimi črtami A in B je kot, za katerega je treba zasukati prvo ravno črto A okoli točke presečišča teh premic v nasprotni smeri urinega kazalca, dokler ne sovpada z drugo črto B. Če sta dve premici podani z enačbami naklona
y = k 1 x + B 1 ,
y = k 2 x + B 2 , (4)
potem je kot med njima določen s formulo
Upoštevati je treba, da se v števcu ulomka naklon prve premice odšteje od naklona druge premice.
Če so enačbe premice podane v splošni obliki
A 1 x + B 1 y + C 1 = 0,
A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (6)
kot med njima je določen s formulo
4. Pogoji za vzporednost dveh premic:
a) Če so premice podane z enačbami (4) z naklonom, potem je nujni in zadostni pogoj za njihovo vzporednost enakost njunih naklonov:
k 1 = k 2 . (8)
b) Za primer, ko so premice podane z enačbami v splošni obliki (6), je nujen in zadosten pogoj za njihovo vzporednost, da so koeficienti na ustreznih tokovnih koordinatah v njihovih enačbah sorazmerni, t.j.
5. Pogoji za pravokotnost dveh premic:
a) V primeru, ko so premice podane z enačbami (4) z naklonom, je nujen in zadosten pogoj za njihovo pravokotnost, da so njuni nakloni po velikosti recipročni in nasprotni po predznaku, t.j.
Ta pogoj lahko zapišemo tudi v obliki
k 1 k 2 = -1. (11)
b) Če so enačbe ravnih črt podane v splošni obliki (6), potem je pogoj za njihovo pravokotnost (potrebna in zadostna) izpolnjevanje enakosti
A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)
6. Koordinate presečišča dveh premic najdemo z reševanjem sistema enačb (6). Premice (6) se sekajo, če in samo če
1. Napiši enačbe premic, ki potekajo skozi točko M, od katerih je ena vzporedna, druga pa pravokotna na dano premico l.
Oh-oh-oh-oh-oh ... no, droben je, kot da bi si prebral stavek =) Bo pa potem sprostitev pomagala, sploh ker sem danes kupila primerne dodatke. Zato nadaljujmo s prvim razdelkom, upam, da bom do konca članka ohranil veselo razpoloženje.
Medsebojna razporeditev dveh ravnih črt
Primer, ko dvorana poje v zboru. Dve vrstici lahko:
1) tekmo;
2) biti vzporedni: ;
3) ali sekajo v eni točki: .
Pomoč za lutke : prosim zapomnite si matematični znak križišča, pojavlja se zelo pogosto. Vnos pomeni, da se premica seka s črto v točki.
Kako določiti relativni položaj dveh črt?
Začnimo s prvim primerom:
Dve vrstici sovpadata, če in samo če sta njuna koeficienta sorazmerna, torej obstaja tako število "lambda", da so enakosti
Oglejmo si ravne črte in iz ustreznih koeficientov sestavimo tri enačbe: . Iz vsake enačbe sledi, da torej te premice sovpadajo.
Dejansko, če so vsi koeficienti enačbe 
pomnožimo z -1 (spremenimo predznake) in vse koeficiente enačbe 
zmanjšamo za 2, dobimo enako enačbo: .
Drugi primer, ko sta premici vzporedni:
Dve premici sta vzporedni, če in samo če so njuni koeficienti pri spremenljivkah sorazmerni: 
, ampak.
Kot primer upoštevajte dve ravni črti. Preverimo sorazmernost ustreznih koeficientov za spremenljivke: 
Vendar pa je jasno, da.
In tretji primer, ko se vrstice sekata:
Dve premici se sekata, če in samo če njuni koeficienti spremenljivk NISO sorazmerni, torej NI takšne vrednosti "lambda", da bi bile enakosti izpolnjene 
Torej, za ravne črte bomo sestavili sistem: 
Iz prve enačbe sledi, da , in iz druge enačbe: , torej, sistem je nedosleden(brez rešitev). Tako koeficienti pri spremenljivkah niso sorazmerni.
Zaključek: črte se sekajo
Pri praktičnih problemih se lahko uporabi pravkar obravnavana shema rešitev. Mimogrede, zelo je podoben algoritmu za preverjanje kolinearnosti vektorjev, ki smo ga obravnavali v lekciji. Koncept linearne (ne)odvisnosti vektorjev. Vektorska osnova. Vendar obstaja bolj civiliziran paket:
Primer 1
Ugotovite relativni položaj vrstic: 
Odločitev temelji na študiji usmerjevalnih vektorjev ravnih črt:
a) Iz enačb najdemo vektorje smeri premic: 
.
, tako da vektorji niso kolinearni in se premici sekata.
Za vsak slučaj bom na razpotje postavil kamen s kazalci:
Ostali skočijo čez kamen in sledijo, naravnost do Kaščeja Brezsmrtnega =)
b) Poiščite vektorje smeri premic: 
Premici imata enak vektor smeri, kar pomeni, da sta bodisi vzporedni bodisi enaki. Tu determinanta ni potrebna.
Očitno so koeficienti neznank sorazmerni, medtem ko .
Ugotovimo, ali je enakost resnična: 
tako,
c) Poiščite vektorje smeri premic: 
Izračunajmo determinanto, sestavljeno iz koordinat teh vektorjev: 
, zato so vektorji smeri kolinearni. Črte so bodisi vzporedne bodisi sovpadajo.
Faktor sorazmernosti "lambda" je enostavno videti neposredno iz razmerja kolinearnih vektorjev smeri. Lahko pa ga najdemo tudi preko koeficientov samih enačb: 
.
Zdaj pa ugotovimo, ali je enakost resnična. Oba prosta izraza sta nič, torej:
Dobljena vrednost izpolnjuje to enačbo (na splošno jo izpolnjuje katero koli število).
Tako črte sovpadajo.
Odgovori:
Zelo kmalu se boste naučili (ali pa ste se že naučili) rešiti obravnavani problem ustno dobesedno v nekaj sekundah. V zvezi s tem ne vidim razloga, da bi ponudili nekaj za samostojno rešitev, bolje je položiti še eno pomembno opeko v geometrijski temelj:
Kako narisati črto, vzporedno z dano?
Zaradi nepoznavanja te najpreprostejše naloge Slavec Razbojnik strogo kaznuje.
Primer 2
Ravna črta je podana z enačbo. Napišite enačbo za vzporednico, ki poteka skozi točko.
Odločitev: Neznano vrstico označi s črko . Kaj pogoj pove o tem? Premica poteka skozi točko. In če sta premici vzporedni, potem je očitno, da je usmerjevalni vektor premice "ce" primeren tudi za konstruiranje črte "de".
Vektor smeri vzamemo iz enačbe:
Odgovori:
Geometrija primera je videti preprosta: 
Analitično preverjanje je sestavljeno iz naslednjih korakov:
1) Preverimo, da imata premici enak vektor smeri (če enačba premice ni pravilno poenostavljena, bodo vektorji kolinearni).
2) Preverite, ali točka ustreza dobljeni enačbi.
Analitično preverjanje je v večini primerov enostavno opraviti ustno. Poglejte si dve enačbi in mnogi od vas bodo hitro ugotovili, kako sta premici vzporedni brez kakršne koli risbe.
Primeri za samoreševanje bodo danes ustvarjalni. Ker še vedno moraš tekmovati z Babo Yago, ona pa je, veš, ljubiteljica vseh vrst ugank.
Primer 3
Napišite enačbo za premico, ki poteka skozi točko, vzporedno s premico, če
Obstaja racionalen in ne preveč racionalen način reševanja. Najkrajša pot je na koncu lekcije.
Malo smo delali z vzporednimi črtami in se jim bomo vrnili kasneje. Primer sovpadajočih črt nas malo zanima, zato si oglejmo problem, ki vam je dobro znan iz šolskega učnega načrta:
Kako najti točko presečišča dveh premic?
Če naravnost 
sekajo v točki , potem so njene koordinate rešitev sistemi linearnih enačb 
Kako najti točko presečišča črt? Rešite sistem.
Za vas geometrijski pomen sistema dveh linearnih enačb z dvema neznankama sta dve sekajoči se (najpogosteje) ravni črti na ravnini.
Primer 4
Poiščite točko presečišča premic
Odločitev: Obstajata dva načina reševanja - grafični in analitični.
Grafični način je preprosto narisati dane črte in ugotoviti točko presečišča neposredno iz risbe: 
Tukaj je naša točka: . Če želite preveriti, morate v vsako enačbo ravne črte nadomestiti njene koordinate, prilegajo se tako tam kot tam. Z drugimi besedami, koordinate točke so rešitev sistema. Pravzaprav smo upoštevali grafični način reševanja sistemi linearnih enačb z dvema enačbama, dvema neznankama.
Grafična metoda seveda ni slaba, vendar obstajajo opazne pomanjkljivosti. Ne, ni bistvo v tem, da se sedmošolci odločajo tako, ampak v tem, da bo potreben čas, da se naredi pravilna in TOČNA risba. Poleg tega nekaterih črt ni tako enostavno zgraditi, sama točka presečišča pa je lahko nekje v tridesetem kraljestvu zunaj lista zvezka.
Zato je bolj smotrno poiskati presečišče z analitično metodo. Rešimo sistem: 
Za reševanje sistema je bila uporabljena metoda terminskega seštevanja enačb. Če želite razviti ustrezne veščine, obiščite lekcijo Kako rešiti sistem enačb?
Odgovori:
Preverjanje je trivialno - koordinate presečišča morajo izpolnjevati vsako enačbo sistema.
Primer 5
Poiščite točko presečišča premic, če se sekata.
To je primer "naredi sam". Priročno je težavo razdeliti na več stopenj. Analiza stanja kaže, da je potrebno:
1) Napiši enačbo ravne črte.
2) Napiši enačbo ravne črte.
3) Ugotovite relativni položaj vrstic.
4) Če se premici sekata, poiščite točko presečišča.
Razvoj algoritma dejanj je značilen za številne geometrijske probleme in na to se bom večkrat osredotočil.
Celotna rešitev in odgovor na koncu vadnice:
Par čevljev še ni bil obrabljen, saj smo prišli do drugega dela lekcije:
Navpične črte. Razdalja od točke do premice.
Kot med črtami
Začnimo s tipično in zelo pomembno nalogo. V prvem delu smo se naučili, kako zgraditi ravno črto, vzporedno z dano, zdaj pa se bo koča na piščančjih nogah obrnila za 90 stopinj:
Kako narisati črto pravokotno na dano?
Primer 6
Ravna črta je podana z enačbo. Napišite enačbo za pravokotno premico, ki poteka skozi točko.
Odločitev: Znano je po predpostavki . Lepo bi bilo najti vektor smeri premice. Ker so črte pravokotne, je trik preprost:
Iz enačbe »odstranimo« normalni vektor: , ki bo usmerjevalni vektor premice.
Sestavimo enačbo premice s točko in usmerjevalnim vektorjem:
Odgovori: 
Razgrnimo geometrijsko skico:
Hmmm ... Oranžno nebo, oranžno morje, oranžna kamela.
Analitično preverjanje rešitve:
1) Iz enačb izločite vektorje smeri 
in s pomočjo pik produkt vektorjev sklepamo, da sta premici res pravokotni: .
Mimogrede, lahko uporabite običajne vektorje, še lažje je.
2) Preverite, ali točka ustreza dobljeni enačbi 
.
Preverjanje je spet enostavno izvesti ustno.
Primer 7
Poiščite presečišče pravokotnih premic, če je enačba znana 
in pika.
To je primer "naredi sam". V nalogi je več dejanj, zato je rešitev primerno razporediti po točkah.
Naše razburljivo potovanje se nadaljuje:
Razdalja od točke do črte
Pred nami je ravni pas reke in naša naloga je, da jo dosežemo po najkrajši poti. Ni ovir, najbolj optimalna pot pa bo gibanje vzdolž pravokotnika. To pomeni, da je razdalja od točke do premice dolžina pravokotnega segmenta.
Razdalja v geometriji je tradicionalno označena z grško črko "ro", na primer: - razdalja od točke "em" do ravne črte "de".
Razdalja od točke do črte 
je izražena s formulo
Primer 8
Poiščite razdaljo od točke do premice 
Odločitev: vse kar potrebujete je, da natančno vstavite številke v formulo in naredite izračune:
Odgovori: 
Izvajajmo risbo: 
Razdalja, ki jo najdemo od točke do črte, je natančno enaka dolžini rdečega segmenta. Če naredite risbo na karirasti papir v merilu 1 enote. \u003d 1 cm (2 celici), potem lahko razdaljo izmerimo z navadnim ravnilom.
Razmislite o drugi nalogi po isti risbi:
Naloga je najti koordinate točke, ki je simetrična točki glede na premico 
. Predlagam, da dejanja izvedete sami, vendar bom opisal algoritem rešitve z vmesnimi rezultati:
1) Poiščite premico, ki je pravokotna na premico.
2) Poiščite točko presečišča premic: 
.
Obe akciji sta podrobno obravnavani v tej lekciji.
3) Točka je sredina segmenta. Poznamo koordinate sredine in enega od koncev. Avtor formule za koordinate sredine segmenta najti .
Ne bo odveč preveriti, ali je razdalja enaka tudi 2,2 enote.
Tu se lahko pojavijo težave pri izračunih, toda v stolpu zelo pomaga mikrokalkulator, ki vam omogoča štetje navadnih ulomkov. Velikokrat sem svetoval in še enkrat priporočam.
Kako najti razdaljo med dvema vzporednima črtama?
Primer 9
Poiščite razdaljo med dvema vzporednima črtama
To je še en primer za samostojno rešitev. Majhen namig: načinov za rešitev je neskončno veliko. Povzetek na koncu lekcije, vendar bolje poskusite sami uganiti, mislim, da vam je uspelo dobro razpršiti svojo iznajdljivost.
Kot med dvema črtama
Ne glede na kot, potem podboj: 
V geometriji se kot med dvema ravnima vzame kot MANJŠI kot, iz katerega samodejno sledi, da ne more biti tup. Na sliki se kot, označen z rdečim lokom, ne šteje za kot med sekajočimi se črtami. In njen “zeleni” sosed oz nasprotno usmerjeniškrlatni kotiček.
Če sta premici pravokotni, lahko za kot med njima vzamemo katerega koli od 4 kotov.
Kako se koti razlikujejo? Usmerjenost. Prvič, smer "pomikanja" vogala je bistveno pomembna. Drugič, negativno usmerjen kot je napisan z znakom minus, na primer, če .
Zakaj sem to rekel? Zdi se, da se lahko znebite običajnega koncepta kota. Dejstvo je, da v formulah, po katerih bomo našli kote, zlahka dobimo negativen rezultat in to vas ne bi smelo presenetiti. Kot z znakom minus ni nič slabši in ima zelo specifičen geometrijski pomen. Na risbi za negativni kot je nujno s puščico označiti njegovo usmerjenost (v smeri urinega kazalca).
Kako najti kot med dvema črtama? Obstajata dve delovni formuli:
Primer 10
Poiščite kot med črtami
Odločitev in Prva metoda
Razmislite o dveh ravnih črtah, podani z enačbami v splošni obliki: 
Če naravnost ne pravokotno, potem usmerjeno kot med njima je mogoče izračunati s formulo: 
Bodimo zelo pozorni na imenovalec – točno to je skalarni produkt vektorji smeri ravnih črt:
Če , potem imenovalec formule izgine, vektorji pa bodo pravokotni in vrstice pravokotne. Zato je bil narejen pridržek glede nepravokotnosti črt v formulaciji.
Na podlagi zgoraj navedenega je rešitev priročno formalizirana v dveh korakih:
1) Izračunajte skalarni produkt usmerjevalnih vektorjev ravnih črt:
tako da črte niso pravokotne.
2) Kot med črtami najdemo po formuli:
Z uporabo inverzne funkcije je enostavno najti sam kot. V tem primeru uporabimo liho tangenta loka (glej sl. Grafi in lastnosti elementarnih funkcij):
Odgovori: 
V odgovoru navedemo natančno vrednost, pa tudi približno vrednost (po možnosti tako v stopinjah kot v radianih), izračunano s kalkulatorjem.
No, minus, tako minus, v redu je. Tukaj je geometrijska ilustracija: 
Ni presenetljivo, da se je kot izkazal za negativno usmerjenost, saj je v pogoju problema prva številka ravna črta in "zavijanje" kota se je začelo prav iz nje.
Če res želite dobiti pozitiven kot, morate zamenjati ravne črte, torej vzeti koeficiente iz druge enačbe 
in vzemite koeficiente iz prve enačbe. Skratka, začeti morate z neposrednim 
.
bom kratek. Kot med dvema črtama je enak kotu med njunima smernima vektorjema. Torej, če uspete najti koordinate smernih vektorjev a = (x 1; y 1; z 1) in b = (x 2; y 2; z 2), lahko najdete kot. Natančneje, kosinus kota po formuli:
Poglejmo, kako ta formula deluje na posebnih primerih:
Naloga. Točki E in F sta označeni v kocki ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - središčih robov A 1 B 1 oziroma B 1 C 1. Poiščite kot med črtama AE in BF.
Ker rob kocke ni določen, postavimo AB = 1. Uvedemo standardni koordinatni sistem: izhodišče je v točki A, osi x, y, z pa so usmerjene vzdolž AB, AD in AA 1 oz. . Segment enote je enak AB = 1. Zdaj poiščimo koordinate smernih vektorjev za naše črte.
Poiščite koordinate vektorja AE. Za to potrebujemo točki A = (0; 0; 0) in E = (0,5; 0; 1). Ker je točka E sredina odseka A 1 B 1 , so njene koordinate enake aritmetični sredini koordinat koncev. Upoštevajte, da izhodišče vektorja AE sovpada z izhodiščem, zato je AE = (0,5; 0; 1).
Zdaj pa se ukvarjamo z vektorjem BF. Podobno analiziramo točki B = (1; 0; 0) in F = (1; 0,5; 1), ker F - sredina segmenta B 1 C 1 . Imamo:
BF = (1 - 1; 0,5 - 0; 1 - 0) = (0; 0,5; 1).
Torej, vektorji smeri so pripravljeni. Kosinus kota med premici je kosinus kota med vektorjema smeri, tako da imamo:
Naloga. V pravilni triedrski prizmi ABCA 1 B 1 C 1, katere vsi robovi so enaki 1, sta označeni točki D in E - središča robov A 1 B 1 oziroma B 1 C 1. Poiščite kot med črtama AD in BE.
Uvedemo standardni koordinatni sistem: izhodišče je v točki A, os x je usmerjena vzdolž AB, z - vzdolž AA 1 . Os y usmerimo tako, da ravnina OXY sovpada z ravnino ABC. Odsek enote je enak AB = 1. Poiščite koordinate smernih vektorjev za želene črte.
Najprej poiščimo koordinate vektorja AD. Upoštevajte točki: A = (0; 0; 0) in D = (0,5; 0; 1), ker D - sredina segmenta A 1 B 1 . Ker začetek vektorja AD sovpada z izhodiščem, dobimo AD = (0,5; 0; 1).
Zdaj poiščimo koordinate vektorja BE. Točko B = (1; 0; 0) je enostavno izračunati. S točko E - sredina segmenta C 1 B 1 - malo bolj zapleteno. Imamo:
Ostaja še najti kosinus kota:
Naloga. V pravilni šesterokotni prizmi ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, katere vsi robovi so enaki 1, sta označeni točki K in L - središči robov A 1 B 1 in B 1 C 1, oz. Poiščite kot med premici AK in BL.
Uvedemo standardni koordinatni sistem za prizmo: izhodišče koordinat postavimo v središče spodnje osnove, os x usmerimo vzdolž FC, os y skozi središča segmentov AB in DE ter os z navpično navzgor. Odsek enote je spet enak AB = 1. Zapišimo koordinate točk, ki nas zanimajo:
Točki K in L sta središči segmentov A 1 B 1 oziroma B 1 C 1, zato njune koordinate najdemo prek aritmetične sredine. Če poznamo točke, najdemo koordinate smernih vektorjev AK in BL:
Zdaj poiščimo kosinus kota:
Naloga. V pravilni štirikotni piramidi SABCD, katere vsi robovi so enaki 1, sta označeni točki E in F - središči stranic SB oziroma SC. Poiščite kot med črtama AE in BF.
Uvedemo standardni koordinatni sistem: izhodišče je v točki A, os x in y sta usmerjeni vzdolž AB in AD, os z pa je usmerjena navpično navzgor. Segment enote je enak AB = 1.
Točki E in F sta središči segmentov SB oziroma SC, zato se njune koordinate najdejo kot aritmetična sredina koncev. Zapišemo koordinate točk, ki nas zanimajo:
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)
Če poznamo točke, najdemo koordinate smernih vektorjev AE in BF:
Koordinate vektorja AE sovpadajo s koordinatami točke E, saj je točka A izhodišče. Ostaja še najti kosinus kota:
