§ 1 Koncept pozitivnega števila
V tej lekciji se boste naučili, katera števila se imenujejo nasprotna, kako najti nasprotno število in tudi kaj so cela in racionalna števila.
Začnimo s praktičnim delom. Na koordinatni črti označite točki A (2) in B (-2). So simetrične in središče simetrije teh točk je izhodišče koordinat О (0), saj je razdalja ОА = ОВ.
Vidimo, da so koordinate točk, simetrične glede na izhodišče, števila, ki se razlikujejo le po predznaku. Takšne številke se imenujejo nasprotne.
Obstaja še ena definicija nasprotnih številk. Kakšne so absolutne vrednosti števil 2 in -2? Enako 2. Zato so nasprotna števila števila, ki imajo enak modul, vendar se razlikujejo po predznaku.
Za označevanje števila nasproti določenemu številu uporabite znak minus, ki je napisan pred danim številom. To pomeni, da je nasprotno število a zapisano kot -a. Na primer, število 0,24 je nasprotno številu -0,24, število -25 je nasprotno številu - (- 25), vendar je število -25 na koordinatni črti nasproti 25, kar pomeni - (- 25) = 25. Iz tega sledi, da je - ( -a) = a in a = - (- a).
§ 2 Lastnosti nasprotnih števil
Izpostavimo nekaj lastnosti nasprotnih števil.
Nasprotje pozitivnega števila je negativno, nasprotje negativnega števila pa pozitivno. To je razumljivo, saj so točke koordinatne črte, ki ustrezajo nasprotnim številkam, na nasprotnih straneh izhodišča.
Če je število a nasprotno številu b, potem je b nasprotno a - to izhaja iz lastnosti simetrije točk na koordinatni črti.
Obrnimo se na koordinatno črto. Koliko točk je mogoče označiti na koordinatni črti, ki je simetrična glede na izhodišče? Samo en. Zato je za vsako število samo eno nasprotno število.
Samo ena številka je nasprotna sebi - to je številka 0, saj je 0 = -0 (zato ni sprejeto pisati -0).
Številke s skupno lastnostjo tvorijo množico (ali skupino), vsak niz ima svoje ime.
Spomnimo se, da se števila, ki jih uporabljamo pri štetju, imenujejo naravna števila, tvorijo množico naravnih števil.
Za vsako naravno število lahko najdete nasprotno število. Naravna števila, nasprotna števila in število 0 se imenujejo cela števila.
Ulomna števila so lahko tudi pozitivna ali negativna. Vsa cela števila in vsi ulomki se imenujejo racionalna števila. Pravijo tudi, da vsi skupaj tvorijo množico racionalnih števil.
Izberimo še dve skupini številk. Vzemimo koordinatno črto. Če odstranimo del premice, na kateri se nahajajo negativna števila, ostane žarek s pozitivnimi števili in izvorom števila 0. Preostala števila imenujemo nenegativna, torej števila, ki so večja ali enaka. do 0. Nepozitivna števila so torej vsa negativna števila in število 0, torej števila, ki so manjša ali enaka 0.
Danes smo se naučili, kaj so nasprotna, cela, racionalna, nenegativna, nepozitivna števila, naučili smo se najti število, ki je nasprotno danemu.
Seznam uporabljene literature:
- Matematika 6. razred: učni načrti za učbenik I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich // sestavil L.A. Topilin. Mnemosyne 2009
- matematika. 6. razred: učbenik za dijake izobraževalnih ustanov. I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich. - M.: Mnemosina, 2013.
- matematika. 6. razred: učbenik za dijake izobraževalnih ustanov. / N. Ya. Vilenkin, V.I. Zhokhov, A.S. Česnokov, S.I. Schwarzburd. - M .: Mnemosina, 2013
- Referenca za matematiko - http://lyudmilanik.com.ua
- Priročnik za srednješolce http://shkolo.ru
Zanimiv pojem iz šolskega učnega načrta so nasprotna števila, ki jih lahko obravnavamo tako matematično kot geometrijsko. Razumevanje te teme olajša študij matematike, omogoča hitrejše obvladovanje nekaterih težav - zato bomo razmislili, katere številke se imenujejo nasprotne in katera pravila zanje delujejo.
Kaj je bistvo izraza?
Da bi razumeli pomen nasprotnih številk, se za trenutek obrnimo na geometrijo. Narišimo črto koordinat in na njej označimo ničelno točko, nato pa na črto postavimo še dve oznaki - na primer "2" na desni strani in "-2" na levi strani ničle. Seveda bo od obeh točk razdalja do izhodišča koordinat popolnoma enaka - in to je enostavno preveriti z meritvami. "2" in "-2" sta na enaki razdalji od nič, vendar v različnih smereh - v tem zaporedju sta popolnoma nasprotna drug drugemu.
To je bistvo. Številke so lahko poljubno velike ali majhne, cele ali ulomke. Vendar ima vsak od njih določeno število, ki sestavlja njegovo popolno nasprotje. Definicijo je mogoče podati na naslednji način - če na ravni črti koordinat iz dveh točk, postavljenih na obeh straneh ničle, lahko odložite enako razdaljo do izhodišča - bodo te točke, oziroma številke, ki jim ustrezajo, nasprotne.
Katera pravila je mogoče razbrati iz definicije?
Zapomniti si je treba nekaj brezpogojnih izjav v zvezi z obravnavano temo:
- Nasprotno načelo za dve številki deluje v obe smeri. Število 3 je na primer nasprotno številki -3 - in zato je število -3 nasprotno samo številu 3 in ne kateri koli drugi.
- Število ne more imeti dveh nasprotij - vedno obstaja samo eno takšno.
- Številke z različnimi predznaki so lahko druga proti drugi. Če je številka pozitivna, bo njeno nasprotno število z znakom minus - na primer 5 in -5. Enako deluje v nasprotni smeri - za število z znakom minus bo vedno nasprotje tistemu z znakom plus - na primer -6 in 6.
- Dve nasprotni številki imata enako absolutno vrednost ali modul. Z drugimi besedami, če je za številko 4
Poglejmo primer. Potrebno je dosledno izračunati:.
Številke, ki jih želite dodati, lahko prerazporedite in nato odštejete preostale:.
Vendar to ni vedno priročno. Na primer, preostanek stvari lahko izračunamo v nekem skladišču in moramo poznati vmesni rezultat.
Dejanja lahko izvajate zapored:.
Vemo, kaj bo potem rezultat odštevanje od števila. To pomeni, da morate odšteti, vendar še ne od ničesar. Ko bo treba nekaj odšteti, odštejte:
Lahko pa "goljufamo" in določimo. Tako bomo predstavili nov predmet - negativne številke.
Takšno operacijo smo že naredili – v naravi na primer tudi številka »« ni obstajala, smo pa uvedli tak objekt, da bi olajšali beleženje dejanj.
Predstavljajte si, da so nam v športnem skladišču naročili izdajanje in sprejemanje žog. Voditi moramo evidenco. Z besedami lahko napišeš:
Izdano, Sprejeto, Izdano, Sprejeto, ... (glej sliko 1.)
riž. 1. Računovodstvo
Strinjam se, če morate izdajati in prejemati večkrat na dan, potem snemanje ni zelo priročno.
List lahko razdelite na dva stolpca, eden je Prejeto, drugi Izdano. (Glejte sliko 2.)
riž. 2. Poenostavljen zapis
Posnetek je postal krajši. Toda tukaj je problem: kako razumeti, koliko žogic je bilo odvzetih (ali podarjenih) v določenem trenutku?
Pri pisanju lahko uporabimo naslednji premislek: ko oddamo kroglice iz skladišča, se njihova količina v skladišču zmanjša, ko sprejmemo, pa se poveča.
Kako pa zapišeš "brcnil žogo"? Predmet lahko vnesete takole:.
Ta predmet nam omogoča, da naredimo matematični zapis gibanja kroglic v vrstnem redu, kot se je zgodilo: 
Vzemimo še en primer.
Na račun vašega telefona rubljev. Šli ste na splet in je stalo rubljev. Rezultat je dolg v rubljih. Operater bi lahko zapisal takole: "stranka dolguje rubljev." Vneseš rublje. Upravljavec je odbil dolg. Izkazalo se je na račun rubljev.
Vendar je priročno beležiti tako operacije kot denar na računu z znakoma "" in "". (Glejte sliko 3.)
riž. 3. Priročno snemanje
Vnesemo negativno število, da zapišemo rezultat odštevanja od manjšega števila večjega:.
Dodajanje negativnega števila je enako kot odštevanje:.
Za razlikovanje negativnih števil od pozitivnih števil, ki smo jih obravnavali prej, je bilo dogovorjeno, da se pred njimi postavi znak minus:.
Bi lahko brez njih? Ja lahko. V vsaki konkretni situaciji bi uporabili besede "nazaj", "posoja" itd. Toda te besede bi bile drugačne.
In tako imamo univerzalno priročno orodje. Ena za vse take primere.
Lahko potegnemo analogijo z avtomobilom. Sestavljen je iz velikega števila delov, od katerih mnogi niso potrebni posamezno, vendar vam vsi skupaj omogočajo vožnjo. Prav tako so negativna števila orodje, ki skupaj z drugimi matematičnimi orodji olajša izračun in poenostavi reševanje in pisanje številnih problemov.
Tako smo predstavili nov predmet - negativna števila. Za kaj se uporabljajo v življenju?
Najprej se spomnimo vlog pozitivnih števil:
Količina: npr. les, liter mleka. (Glejte sliko 4.)
riž. 4. Količina
Naročanje: Na primer, hiše so oštevilčene s pozitivnimi številkami. (Glejte sliko 5.)
riž. 5. Naročanje
Ime: na primer številka igralca. (Glejte sliko 6.)
riž. 6. Številka kot ime
Zdaj pa poglejmo funkcije negativnih števil:
Manjka oznaka količine. Količina nikoli ni negativna. Toda negativno število se uporablja za označevanje, da se znesek odšteva. Na primer, lahko izlijemo iz steklenice in to zapišemo kot. (Glejte sliko 7.)
riž. 7. Oznaka manjkajoče količine
Naročanje. Včasih je pri oštevilčenju izbrana nič in morate predmete oštevilčiti v obe smeri od nič. Na primer, tla pod th, v kleti. (Glejte sliko 8.) Ali temperatura, ki je pod izbrano ničlo. (Glejte sliko 9.)
riž. 8. Nadstropje se nahaja pod th, v kleti
riž. 9. Negativne številke na lestvici termometra
Še vedno pa je glavni namen negativnih številk orodje za poenostavitev matematičnih izračunov.
Toda, da bi negativne številke postale tako priročno orodje, morate:
Negativna temperatura je tista, ki je pod ničlo, pod ničlo. Toda kaj je ničelna temperatura? Za merjenje, beleženje temperature morate izbrati mersko enoto in referenčno točko. Oba sta dogovora. Celzijevo lestvico uporabljamo po imenu znanstvenika, ki jo je predlagal. (Glejte sliko 10.)
riž. 10. Anders Celzija
Zmrzišče vode je tukaj izbrano kot referenčna točka. Vse, kar je spodaj, je označeno z negativno vrednostjo. (Glejte sliko 11.)
riž. enajst.
Vendar je jasno, da če vzamete drugo referenčno točko, drugo ničlo, je lahko negativna temperatura v Celziju pozitivna na tej drugi lestvici. In tako se zgodi. Kelvinova lestvica se pogosto uporablja v fiziki. Podobna je Celzijevi lestvici, le vrednost najnižje možne temperature je izbrana kot nič (nižja ne more biti). Ta vrednost se imenuje "absolutna nič". Celzij je približno. (Glejte sliko 12.)
riž. 12. Dve lestvici
To pomeni, da negativnih vrednosti na Kelvinovi lestvici sploh ni.
Torej, naše poletje 
.
In zmrzal 
.
Se pravi, negativna temperatura je konvencija, dogovor ljudi, da jo tako imenujejo.
Začnimo iz nič. Nič ima poseben položaj med številkami.
Kot smo že razpravljali, lahko zaradi naše priročnosti označimo odštevanje sedem kot negativno število. Ker pomeni odštevanje, pustimo znak "" kot njegov znak. Pokličimo novo številko.
To pomeni, da je "" število, ki, ko se doda, daje nič:. In v poljubnem vrstnem redu. To je definicija negativnega (ali nasprotnega) števila.
Za vsako število, ki smo ga prej preučevali, uvedemo novo število, negativno, katerega predznak je pred njim znak minus. To pomeni, da se je za vsako prejšnjo številko pojavil njen negativni dvojček. Takšne dvojčke bomo imenovali nasprotna števila. (Glejte sliko 13.)
riž. 13. Nasprotna števila
Torej, definicija: nasprotni številki sta dve številki, katerih vsota je nič.
Navzven se razlikujejo le v znaku "".
Če je pred spremenljivko na primer "", kaj to pomeni? To ne pomeni, da je ta vrednost negativna. Znak minus pomeni, da je ta vrednost nasprotna od števila:. Katera od teh številk je pozitivna, katera negativna, ne vemo.
Če, potem.
Če (negativno število) potem (pozitivno število).
Kaj je nasprotje ničle? To že vemo.
Če se kateri koli številki doda nič, vključno z ničlo, se prvotna številka ne bo spremenila. To pomeni, da je vsota dveh ničel nič:. Toda številke, ki seštejejo nič, so nasprotne. Tako je nič nasprotje samemu sebi.
Torej, vi in jaz smo dali definicijo negativnih številk, ugotovili, zakaj so potrebna.
Zdaj pa se malo posvetimo tehniki. Zaenkrat se moramo naučiti, kako najti njegovo nasprotje za katero koli število:
V zadnjem delu ure bomo govorili o novih imenih in poimenovanjih množic, ki se pojavijo po uvedbi negativnih števil.
Definicija nasprotnih številk
Definicija nasprotnih številk:
Dve številki se imenujeta nasprotni, če se razlikujeta le v znakih.
Primeri nasprotnih številk
Primeri nasprotnih številk.
1 -1;
2 -2;
99 -99;
-12 12;
-45 45
Tako je jasno, kako najti število, ki je nasprotno danemu: samo spremenite predznak števila.
Nasprotno število 3 je minus tri.
Primer. Številke so nasprotne od podatkov.
Dano: številke 1; 5; osem; 9.
Poiščite nasprotna števila.
Za rešitev te naloge preprosto spremenimo predznake danih številk:
Naredimo tabelo nasprotnih številk:
| 1 | 5 | 8 | 9 |
| -1 | -5 | -8 | -9 |
Število nasproti nič
Število, nasprotno nič, je število nič.
Torej, število, nasprotno številki 0, je 0.
Nasprotna cela števila
Nasprotna cela števila se razlikujejo le v predznakih.
Primeri nasprotnih celih števil.
10 -10
20 -20
125 -125
Par nasprotnih številk
Ko govorimo o nasprotnih številkah, vedno mislijo na par nasprotnih številk.
Število je nasprotno od drugega števila. In vsako število ima samo eno nasprotno število.
Nasprotna naravna števila
Števila, ki so nasprotna naravnim številom, so negativna cela števila.
Naredimo tabelo nasprotnih števil za prvih pet naravnih števil:
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| -1 | -2 | -3 | -4 | -5 |
Vsota nasprotnih števil
Vsota nasprotnih števil je nič. Navsezadnje se nasprotna števila razlikujejo le po predznaku.
V okviru tega članka bomo poskušali ugotoviti, katere so nasprotne številke. Pojasnili bomo, kaj so na splošno, pokazali, kakšne oznake se zanje uporabljajo, in analizirali nekaj primerov. V zadnjem delu gradiva bomo našteli glavne lastnosti nasprotnih števil.
Za razlago samega koncepta opozicije moramo najprej upodobiti koordinatno črto. Na njej vzemite točko M (vendar ne na samem začetku odštevanja). Njegova razdalja do nič bo enaka določenemu številu segmentov enote, ki jih je mogoče razdeliti na desetinke in stotinke. Če izmerimo enako razdaljo od izhodišča v nasprotni smeri od tiste, v kateri se nahaja M, potem lahko pridemo do druge podobne točke. Recimo temu N. Na primer, od M do nič je razdalja 2, 4 enotskih segmentov in tudi od N do nič. Poglejte si sliko:
Spomnimo se, da je lahko z vsako točko na koordinatni črti povezano samo eno realno število. V tem primeru naši točki M in N ustrezata določenim številkam, ki jih imenujemo nasprotni. Vsako število ima nasprotno število, razen nič. Ker je to izhodišče, velja za nasprotje samemu sebi.
Zapišimo definicijo, kaj so nasprotna števila:
Opredelitev 1
Nasprotno so števila, ki jim ustrezajo takšne točke na koordinatni premici, ki jih bomo dobili, če označimo enako razdaljo od izhodišča v različnih smereh (pozitivno in negativno). Nič je v izvoru in je nasprotna sama sebi.
Kako so označene nasprotne številke
V tem pododdelku uvajamo osnovni zapis takih številk. Če imamo določeno število in mu moramo zapisati nasprotno, potem za to uporabimo minus.
Primer 1
Recimo, da je naše število enako a, zato je njegovo nasprotje a (minus a). Na popolnoma enak način za 0,26 je nasprotno 0,26, za 145 pa 145. Če je prvotno število negativno, na primer - 9, potem zapišemo nasprotno kot - (- 9).
Katere druge primere nasprotnih števil lahko navedete? Vzemimo cela števila: 12 in - 12. Nasprotna racionalna števila sta 3 2 11 in - 3 2 11, pa tudi 8, 128 in - 8, 128, 0, (18901) in - 0, (18901) itd. Iracionalna števila so lahko tudi nasprotna, npr. vrednosti številskih izrazov 2 + 1 in - 2 + 1.
Nasprotni iracionalni števili bosta tudi e in - e.
Osnovne lastnosti nasprotnih števil
Takšnim številkam so značilne določene lastnosti. Spodaj bomo podali njihov seznam s pojasnili.
Opredelitev 2
1. Če je prvotno število pozitivno, bo njegovo nasprotje negativno.
Ta izjava je očitna in izhaja iz zgornjega grafa: takšne številke se nahajajo na nasprotnih straneh reference na koordinatni črti. Če ste pozabili na koncept pozitivnih in negativnih številk, si oglejte gradivo, ki smo ga objavili prej.
Iz tega pravila je mogoče izpeljati še eno zelo pomembno trditev. V dobesedni obliki je njegov zapis videti takole: za vsako pozitivno a bo res - (- a) = a. Pokažimo s primerom, zakaj je to pomembno.
Vzemimo številko 5. S pomočjo koordinatne črte lahko vidite, da je nasprotno število - 5 in obratno. Z uporabo zapisa, ki smo ga navedli zgoraj, bomo številko nasproti - 5 zapisali kot - (- 5). Izkazalo se je, da je - (- 5) = 5. Od tod sklep: nasprotna števila se med seboj razlikujejo le po prisotnosti znaka minus.
2. Naslednja lastnost se običajno imenuje lastnost simetrije. Lahko ga izpeljemo tudi iz same definicije nasprotnih števil. Sliši se takole:
Opredelitev 3
Če je neko število a nasprotno številu b, potem je b nasprotno številu a.
Očitno ta izjava ne potrebuje dodatnih dokazov.
3. Tretja lastnost nasprotnih števil je:
Opredelitev 4
Vsako realno število ima samo eno nasprotno število.
Ta izjava izhaja iz dejstva, da veliko številk ne more ustrezati točkam koordinatne črte hkrati.
Definicija 5
4. Moduli nasprotnih števil so enaki.
To izhaja iz definicije modula. Logično je, da so točke na ravni črti, ki ustrezajo kateri koli nasprotni številki, na enaki razdalji od referenčne točke.
Opredelitev 6
5. Če seštejemo nasprotna števila, dobimo 0.
V dobesedni obliki je ta izjava videti kot + (- a) = 0.
Primer 2
Tukaj je nekaj primerov takšnih izračunov:
890 + (- 890) = 0 - 45 + 45 = 0 7 + (- 7) = 0
Kot lahko vidite, to pravilo deluje za vsa števila - cela števila, racionalna, iracionalna itd.
Če opazite napako v besedilu, jo izberite in pritisnite Ctrl + Enter