Dodajanje decimalnih ulomkov je enako kot seštevanje celih števil. Naj to preverimo s primeri.
1) 0,132 + 2,354. Podpišimo pogoje enega pod drugim.
Tukaj se iz seštevanja 2 tisočakov s 4 tisočaki izkaže 6 tisočakov;
iz seštevanja 3 stotink s 5 stotinkami se je izkazalo 8 stotink;
od dodatka 1 desetinke s 3 desetinami -4 desetinke in
iz seštevanja 0 celih števil z 2 celima - 2 celi števili.
2) 5,065 + 7,83.
V drugem mandatu ni tisočakov, zato je pomembno, da se pri podpisovanju pogojev drug pod drugega ne zmotimo.
3) 1,2357 + 0,469 + 2,08 + 3,90701.
Tukaj pri seštevanju tisočin dobimo 21 tisočakov; pod tisočinke smo zapisali 1, stotinkam pa dodali 2, tako da smo na stotincu dobili naslednje izraze: 2 + 3 + 6 + 8 + 0; skupaj dajo 19 stotink, mi smo pod stotinke podpisali 9, šteli pa od 1 do desetin itd.
Tako je treba pri seštevanju decimalnih ulomkov upoštevati naslednji vrstni red: ulomke je treba podpisati enega pod drugim, tako da so v vseh izrazih enake števke ena pod drugo in vse vejice v istem navpičnem stolpcu; desno od decimalnih mest je nekaterim izrazom vsaj v mislih dodeljeno tako število ničel, da imajo vsi izrazi za decimalno vejico enako število števk. Nato se seštevanje izvede s številkami, začenši z desne strani, v nastalo vsoto pa se v istem navpičnem stolpcu, v katerem je v teh izrazih, doda vejica.
§ 108. Odštevanje decimalnih ulomkov.
Odštevanje decimalnih ulomkov je enako kot odštevanje celih števil. Pokažimo to s primeri.
1) 9,87 - 7,32. Odšteto podpišemo pod padajočo, tako da so enote iste kategorije ena pod drugo:
2) 16.29 - 4.75. Podpišemo odšteti pod dekrementom, kot v prvem primeru:
Za odštevanje desetin je bilo treba od 6 vzeti eno celo enoto in jo razdeliti na desetine.
3) 14.0213-5.350712. Podpišemo franšizo pod dekrementom:
Odštevanje je potekalo na naslednji način: ker od 0 ne moremo odšteti 2 milijonink, bi se morali obrniti na najbližjo števko na levi strani, torej na stotisočnjak, vendar je namesto stotisočink tudi nič, zato vzamemo od 3 desettisočinke 1 desettisočinke in jo razdelimo na stotisočinke, dobimo 10 sto tisočakov, od tega 9 sto tisočakov pustimo v kategoriji sto tisočink, 1 sto tisočakov pa razdelimo na milijoninke, dobimo 10 milijonin. Tako smo v zadnjih treh števkah dobili: 10 milijonov, 9 sto tisočakov, 2 deset tisočakov.Za večjo jasnost in udobje (da ne pozabimo) so te številke zapisane nad ustreznimi ulomnimi števkami zmanjšanega. Zdaj lahko začnete odštevati. Od 10 milijonink odštejemo 2 milijoninke, dobimo 8 milijonin; od 9 sto tisočakov odštejemo sto tisočinko, dobimo 8 sto tisočakov itd.
Tako se pri odštevanju decimalnih ulomkov opazi naslednji vrstni red: odšteto podpiši pod zmanjšano, tako da so enake števke ena pod drugo in so vse vejice v istem navpičnem stolpcu; na desni, vsaj miselno, v zmanjšani ali odšteti toliko ničel, da imajo enako število števk, nato odštej po števkah, začenši z desne strani, in v nastali razliki daj vejico v isto navpičnico stolpec, v katerem je zmanjšan in odštevan.
§ 109. Množenje decimalnih ulomkov.
Oglejmo si nekaj primerov decimskega množenja.
Da bi našli zmnožek teh števil, lahko sklepamo na naslednji način: če faktor povečamo za 10, bosta oba faktorja celi števili in ju lahko nato pomnožimo po pravilih za množenje celih števil. Vemo pa, da ko enega od faktorjev večkrat povečamo, se produkt poveča za enako količino. To pomeni, da je število, ki nastane z množenjem celih faktorjev, to je 28 s 23, 10-krat večje od resničnega produkta, in da bi dobili pravi produkt, morate najdeni produkt zmanjšati za 10-krat. Zato boste morali tukaj izvesti množenje z 10 in enkrat z deljenjem z 10, vendar se množenje in deljenje z 10 izvede tako, da vejico premaknete v desno in levo za en znak. Zato morate narediti to: v množitelju premaknite vejico v desno za en znak, od tega bo enako 23, nato morate pomnožiti nastala cela števila:
To delo je 10-krat večje od pravega. Zato ga je treba zmanjšati za faktor 10, za kar vejico premaknemo za en znak v levo. Tako dobimo
28 2,3 = 64,4.
Za namene preverjanja lahko zapišete decimalni ulomek z imenovalcem in izvedete dejanje po pravilu množenja navadnih ulomkov, t.j.
2) 12,27 0,021.
Ta primer se od prejšnjega razlikuje po tem, da sta oba faktorja predstavljena z decimalnimi ulomki. Toda tukaj v procesu množenja ne bomo pozorni na vejice, to pomeni, da bomo množitelj začasno povečali za 100-krat, množitelj pa za 1000-krat, kar bo zmnožek povečalo za 100.000-krat. Tako, če pomnožimo 1 227 z 21, dobimo:
1 227 21 = 25 767.
Če upoštevamo, da je dobljeni produkt 100.000-krat večji od pravega, ga moramo zdaj zmanjšati za 100.000-krat tako, da vanj pravilno postavimo vejico, potem dobimo:
32,27 0,021 = 0,25767.
Preverimo:
Tako je za pomnoženje dveh decimalnih ulomkov dovolj, če ne upoštevamo vejice, da ju pomnožimo kot cela števila in v zmnožku ločimo z vejico na desni strani toliko decimalnih mest, kolikor jih je bilo pri množenju in v množitelju. skupaj.
V zadnjem primeru dobimo produkt s petimi decimalnimi mesti. Če tako visoka natančnost ni potrebna, se decimalni ulomek zaokroži. Pri zaokroževanju morate uporabiti isto pravilo, ki je bilo navedeno za cela števila.
§ 110. Množenje s pomočjo tabel.
Decimalno množenje je včasih mogoče izvesti s tabelami. V ta namen lahko na primer uporabite tiste tabele množenja dvomestnih števil, katerih opis je bil podan prej.
1) Pomnožite 53 z 1,5.
53 bomo pomnožili s 15. V tabeli je ta zmnožek enak 795. Našli smo zmnožek 53 s 15, naš drugi faktor pa je bil 10-krat manjši, kar pomeni, da je treba produkt zmanjšati za 10-krat, da je
53 1,5 = 79,5.
2) Pomnožite 5,3 s 4,7.
Najprej bomo v tabeli našli zmnožek 53 krat 47, to bo 2491. Ker pa smo množitelj in množitelj skupaj povečali za 100-krat, je dobljeni produkt 100-krat večji, kot bi moral; zato moramo ta izdelek zmanjšati za faktor 100:
5,3 4,7 = 24,91.
3) Pomnožite 0,53 s 7,4.
Najprej v tabeli najdemo zmnožek 53 krat 74; bo 3922. Ker pa smo multiplikator povečali za 100-krat, multiplikator pa za 10-krat, se je produkt povečal za 1000-krat; zato ga moramo zdaj zmanjšati za faktor 1000:
0,53 7,4 = 3,922.
§ 111. Delitev decimalnih števk.
Razmislili bomo o delitvi decimalnih ulomkov v tem vrstnem redu:
1. Deljenje decimskega ulomka s celim številom,
1. Deljenje decimskega ulomka s celim številom.
1) Delite 2,46 z 2.
Delili smo z 2, najprej celoto, nato desetinke in na koncu stotinke.
2) 32,46 delimo s 3.
32,46: 3 = 10,82.
3 desetice smo razdelili na 3, nato smo začeli deliti 2 enoti s 3; ker je število enot dividende (2) manjše od delitelja (3), smo morali v količnik dati 0; nadalje, na preostanek, smo odvzeli 4 desetinke in 24 desetin razdelili na 3; dobil 8 desetin v količniku in na koncu razdelil 6 stotink.
3) Delite 1,2345 s 5.
1,2345: 5 = 0,2469.
Tu je v količniku prvo mesto nič celih števil, saj eno celo število ni deljivo s 5.
4) 13,58 delimo s 4.
Posebnost tega primera je, da ko smo v količniku dobili 9 stotink, smo našli ostanek enak 2 stotinki, ta ostanek smo razdelili na tisočinke, dobili 20 tisočakov in deljenje pripeljali do konca.
Pravilo. Deljenje decimskega ulomka s celim številom se izvaja na enak način kot deljenje celih števil, nastali ostanki pa se pretvorijo v decimalne ulomke, vse manjše; deljenje se nadaljuje, dokler ostanek ni nič.
2. Deljenje decimskega ulomka z decimalnim ulomkom.
1) 2,46 delimo z 0,2.
Decimalni ulomek s celim številom že vemo. Pomislimo, ali je mogoče tudi ta nov primer delitve zreducirati na prejšnjega? Nekoč smo smatrali za izjemno lastnost količnika, ki je v tem, da ostane nespremenjen, medtem ko se dividenda in delitelj poveča ali zmanjša za enako število krat. Z lahkoto bi izvedli deljenje ponujenih nam števil, če bi bil delilec celo število. Če želite to narediti, ga je dovolj, da ga povečate 10-krat, za pridobitev pravilnega količnika pa je potrebno dividendo povečati za enak znesek, torej 10-krat. Nato bo deljenje teh številk zamenjano z delitvijo naslednjih številk:
poleg tega ne bo treba spreminjati količnika.
Naredimo to delitev:
Torej, 2,46: 0,2 = 12,3.
2) 1,25 delimo z 1,6.
Delitelj (1.6) povečamo 10-krat; da se količnik ne spremeni, povečamo dividendo za 10-krat; 12 celih števil ni deljivih s 16, zato v količnik zapišemo 0 in delimo 125 desetin s 16, dobimo 7 desetin v količniku in preostanek 13. 13 desetin razdelimo na stotinke tako, da dodelimo nič in 130 stotink delimo s 16 itd. na naslednje:
a) kadar količnik ne dobi celih števil, se namesto njih zapišejo nič cela števila;
b) ko po odstranitvi števke dividende ostanku dobimo število, ki ni deljivo z delilnikom, potem se v količnik zapiše nič;
c) ko se po odstranitvi zadnje števke dividende deljenje ne konča, potem z dodelitvijo ničle ostankom nadaljujte z delitvijo;
d) če je dividenda celo število, se pri deljenju z decimalnim ulomkom njeno povečanje izvede tako, da se ji dodelijo ničle.
Torej, če želite število deliti z decimalnim ulomkom, morate zavreči vejico v delilniku in nato povečati dividendo tolikokrat, kolikor se je delilec povečal, tako da v njem spustite vejico, in nato opravite deljenje po pravilu deljenja decimskega ulomka s celim številom.
§ 112. Približni količnik.
V prejšnjem odstavku smo obravnavali deljenje decimalnih ulomkov in v vseh rešenih primerih smo delitev pripeljali do konca, torej dobili smo natančen količnik. Vendar v večini primerov ni mogoče dobiti natančnega količnika, ne glede na to, kako daleč nadaljujemo z delitvijo. Tukaj je en tak primer: delite 53 s 101.
V količniku smo že prejeli pet števk, vendar se delitev še ni končala in ni upanja, da se bo kdaj končala, saj se v ostankih začnejo pojavljati že naletela števila. V količniku se bodo ponovile tudi številke: očitno je, da se bo za številko 7 pojavila številka 5, nato 2 in tako naprej brez konca. V takih primerih se delitev prekine in omeji na prvih nekaj števk količnika. To posebno se imenuje približen. Kako izvesti delitev v tem primeru, bomo pokazali s primeri.
Naj je treba 25 deliti s 3. Očitno iz takšne delitve ni mogoče dobiti natančnega količnika, izraženega kot celo število ali decimalni ulomek. Zato bomo poiskali približni količnik:
25: 3 = 8 in preostanek 1
Približni količnik je 8; je seveda manjši od točnega količnika, ker je ostanek 1. Če želite dobiti natančen količnik, morate k najdenemu približnemu količniku dodati ulomek, ki ga boste dobili z deljenjem preostanka, enakega 1 s 3, to je do 8; to bo delček 1/3. To pomeni, da bo natančen količnik izražen z mešanim številom 8 1/3. Ker je 1/3 navaden ulomek, torej ulomek, manjša enota, potem, če ga zavržemo, bomo priznali napaka ki manj kot ena... Zasebnik 8 bo približni količnik natančen na enoto s pomanjkljivostjo.Če namesto 8 v količniku vzamemo 9, potem priznamo tudi napako, ki je manjša od ena, saj ne dodamo cele enote, ampak 2/3. Ta posebna bo približni količnik s presežkom enote.
Vzemimo zdaj še en primer. Recimo, da je treba 27 deliti z 8. Ker tudi tukaj natančen količnik, izražen kot celo število, ne bo deloval, bomo poiskali približni količnik:
27: 8 = 3 in preostanek 3.
Tukaj je napaka enaka 3/8, je manjša od ena, kar pomeni, da je približni količnik (3) ugotovljen točen na enoto s pomanjkljivostjo. Nadaljujmo z delitvijo: preostanek 3 razdelimo na desetinke, dobimo 30 desetin; delimo jih z 8.
Dobili smo 3 desetinke v količniku in 6 desetink v preostanku. Če se v količniku omejimo na 3,3 in zavržemo preostanek 6, bomo dopustili napako, manjšo od desetine. Zakaj? Ker bi natančen količnik dobili, ko bi k 3,3 dodali še en rezultat deljenja 6 desetin z 8; iz te delitve bi bilo 6/80, kar je manj kot ena desetina. (Preveri!) Če se torej v količniku omejimo na desetinke, potem lahko rečemo, da smo našli količnik natančno do ene desetine(s slabo stranjo).
Nadaljujmo z delitvijo, da poiščemo drugo decimalno mesto. Da bi to naredili, razdelimo 6 desetin na stotinke in dobimo 60 stotink; delimo jih z 8.
Zasebno se je na tretjem mestu izkazalo 7, v preostalem pa 4 stotinke; če jih zavržemo, potem dovolimo napako manjšo od stotinke, ker je 4 stotinke, deljeno z 8, manj kot stotinka. V takih primerih naj bi se količnik našel natančno do stotinke(s slabo stranjo).
V primeru, ki ga zdaj obravnavamo, lahko dobite natančen količnik, izražen kot decimalni ulomek. Za to je zadnji ostanek, 4 stotinke, dovolj, da se razdeli na tisočinke in deli z 8.
Vendar pa je v veliki večini primerov nemogoče dobiti točen količnik in se je treba omejiti na njegove približne vrednosti. Zdaj bomo obravnavali tak primer:
40: 7 = 5,71428571...
Pike na koncu števila označujejo, da delitev ni popolna, torej da je enakost približna. Običajno je približna enakost zapisana na naslednji način:
40: 7 = 5,71428571.
Vzeli smo količnik z osmimi decimalnimi mesti. Če pa tako velika natančnost ni potrebna, se lahko omejite le na cel del količnika, to je na število 5 (natančneje, 6); za večjo natančnost bi lahko upoštevali desetinke in vzeli količnik enak 5,7; če je ta natančnost iz nekega razloga nezadostna, se lahko ustavimo pri stotinkah in vzamemo 5,71 itd. Zapišimo posamezne količnike in jih poimenujmo.
Prvi približni količnik, natančen na enoto 6.
Drugi "" "do ene desetine 5.7.
Tretji "" "do stotke 5,71.
Četrti "" "do tisočinke 5.714.
Tako, da bi našli približni količnik z natančnostjo nekega, na primer 3. decimalke (tj. do tisočinke), se delitev ustavi, takoj ko se ta znak najde. V tem primeru se je treba spomniti pravila iz 40.
§ 113. Najpreprostejši problemi z obrestmi.
Po učenju decimalnih ulomkov bomo rešili še nekaj odstotkov problemov.
Ti problemi so podobni tistim, ki smo jih reševali na oddelku za navadne ulomke; zdaj pa bomo stotinke zapisali v obliki decimalnih ulomkov, torej brez izrecno določenega imenovalca.
Najprej se morate zlahka premakniti iz navadnega ulomka v decimalko z imenovalcem 100. Če želite to narediti, morate števec deliti z imenovalcem:
Spodnja tabela prikazuje, kako se število z znakom % (odstotek) nadomesti z decimalnim ulomkom z imenovalcem 100:
Zdaj pa razmislimo o več nalogah.
1. Iskanje odstotka danega števila.
Cilj 1. Ena vas ima le 1600 prebivalcev. Število šoloobveznih otrok je 25 % celotne populacije. Koliko šolarjev je v tej vasi?
V tem problemu morate najti 25 % ali 0,25 od 1600. Problem je rešen z množenjem:
1600 0,25 = 400 (otroci).
Torej je 25 % od 1.600 400.
Za jasno razumevanje tega problema se je koristno spomniti, da je na sto prebivalcev 25 šoloobveznih otrok. Zato, da bi našli število vseh šoloobveznih otrok, lahko najprej ugotovite, koliko sto je v številu 1600 (16), nato pa 25 pomnožite s številom sto (25 x 16 = 400). Na ta način lahko preverite veljavnost odločitve.
Cilj 2. Hranilnice dajejo vlagateljem 2 % njihovega dohodka letno. Koliko dohodka bo v enem letu prejel vlagatelj, ki je deponirao: a) 200 rubljev? b) 500 rubljev? c) 750 rubljev? d) 1000 rubljev?
V vseh štirih primerih bo za rešitev težave potrebno izračunati 0,02 navedenih zneskov, torej vsako od teh številk bo treba pomnožiti z 0,02. Naredimo to:
a) 200 0,02 = 4 (rub.),
b) 500 0,02 = 10 (rub.),
c) 750 0,02 = 15 (rub.),
d) 1.000 0,02 = 20 (rub.).
Vsak od teh primerov je mogoče preveriti z naslednjimi premisleki. Hranilnice dajejo vlagateljem 2% dohodka, to je 0,02 zneska, namenjenega varčevanju. Če bi bil znesek enak 100 rubljev, bi bilo 0,02 od tega 2 rublja. To pomeni, da vsaka sto prinese vlagatelju 2 rublja. dohodek. Zato je v vsakem od obravnavanih primerov dovolj, da ugotovimo, koliko sto je v danem številu, in pomnožimo 2 rublja s tem številom sto. V primeru a) je na stotine 2, kar pomeni
2 2 = 4 (rub.).
V primeru d) stotine 10, kar pomeni
2 10 = 20 (rub.).
2. Iskanje števila po njegovem odstotku.
Cilj 1. Spomladi je šola maturirala 54 dijakov, kar je 6 % celotnega števila dijakov. Koliko učencev je bilo v šoli v preteklem šolskem letu?
Najprej razumemo pomen tega problema. Na šoli je maturiralo 54 dijakov, kar je 6 % celotnega števila dijakov oziroma 6 stotink (0,06) vseh dijakov šole. To pomeni, da poznamo del učencev, izražen s številom (54) in ulomkom (0,06), po tem ulomku pa moramo najti celo število. Tako smo soočeni z navadnim problemom iskanja števila po njegovem ulomku (§90, točka 6). Težave te vrste se rešujejo z delitvijo:
To pomeni, da je bilo na šoli skupaj 900 učencev.
Takšne probleme je koristno preveriti z reševanjem inverznega problema, torej je po rešitvi problema treba vsaj v mislih rešiti nalogo prve vrste (iskanje odstotkov danega števila): vzemite našli številko (900) kot dano in iz nje poiščite odstotek, določen v rešeni nalogi, in sicer:
900 0,06 = 54.
Cilj 2. Družina v mesecu za hrano porabi 780 rubljev, kar je 65 % očetovega mesečnega zaslužka. Določite njegov mesečni zaslužek.
Ta naloga ima enak pomen kot prejšnja. Podaja del mesečnega zaslužka, izraženega v rubljih (780 rubljev), in kaže, da je ta del 65 % ali 0,65 vseh zaslužkov. In kar se išče, je ves zaslužek:
780: 0,65 = 1 200.
Posledično je želeni zaslužek 1200 rubljev.
3. Iskanje odstotka številk.
Cilj 1. V šolski knjižnici je le 6000 knjig. Med njimi je 1200 knjig o matematiki. Koliko odstotkov vseh knjig v knjižnici sestavljajo knjige iz matematike?
To vrsto problema smo že obravnavali (§97) in prišli do zaključka, da morate za izračun odstotka dveh števil najti razmerje teh števil in ga pomnožiti s 100.
V našem problemu morate najti odstotek številk 1200 in 6000.
Najprej poiščemo njihovo razmerje in ga nato pomnožimo s 100:
Tako je odstotek številk 1.200 in 6.000 20. Z drugimi besedami, knjige iz matematike predstavljajo 20 % skupnega števila vseh knjig.
Če želite preveriti, rešimo inverzno težavo: poiščite 20% od 6000:
6 000 0,2 = 1 200.
Cilj 2. Tovarna naj bi dobila 200 ton premoga. Oddanih je že 80 ton. Koliko odstotkov premoga je bilo dobavljenega v tovarno?
Ta problem sprašuje, kolikšen odstotek je eno število (80) od drugega (200). Razmerje teh številk bo 80/200. Pomnožimo ga s 100:
To pomeni, da je bilo oddanih 40 % premoga.
V tem članku bomo analizirali tako pomembno dejanje z decimalnimi ulomki, kot je deljenje. Najprej bomo oblikovali splošna načela, nato bomo analizirali, kako pravilno razdeliti decimalne ulomke s stolpcem, tako na druge ulomke kot na naravna števila. Nato bomo analizirali delitev navadnih ulomkov na decimalne in obratno, na koncu pa bomo videli, kako pravilno razdeliti ulomke, ki se končajo na 0, 1, 0, 01, 100, 10 itd.
Tukaj bomo vzeli samo primere s pozitivnimi ulomki. Če je pred ulomkom minus, potem morate za delovanje z njim preučiti gradivo o delitvi racionalnih in realnih števil.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Vsi decimalni ulomki, tako končni kot periodični, so le posebna oblika zapisovanja navadnih ulomkov. Posledično zanje veljajo enaka načela kot za ustrezne navadne frakcije. Tako celoten postopek delitve decimalnih ulomkov zmanjšamo na zamenjavo z navadnimi, čemur sledi izračun po nam že znanih metodah. Vzemimo konkreten primer.
Primer 1
Razdelite 1, 2 z 0, 48.
Rešitev
Zapišimo decimalne ulomke kot navadne. Dobili bomo:
1 , 2 = 12 10 = 6 5
0 , 48 = 48 100 = 12 25 .
Torej moramo 6 5 deliti z 12 25. menimo:
1, 2: 0, 48 = 6 2: 12 25 = 6 5 25 12 = 6 25 5 12 = 5 2
Iz nastalega napačnega ulomka lahko izberete cel del in dobite mešano število 2 1 2 ali pa ga predstavite kot decimalni ulomek, tako da se ujema s prvotnimi številkami: 5 2 = 2, 5. O tem, kako to storiti, smo že pisali prej.
odgovor: 1 , 2: 0 , 48 = 2 , 5 .
Primer 2
Preštejte, koliko bo 0, (504) 0,56.
Rešitev
Najprej moramo periodični decimalni ulomek pretvoriti v navaden.
0 , (504) = 0 , 504 1 - 0 , 001 = 0 , 504 0 , 999 = 504 999 = 56 111
Po tem tudi končni decimalni ulomek prevedemo v drugo obliko: 0, 56 = 56 100. Zdaj imamo dve številki, s katerimi bomo zlahka opravili potrebne izračune:
0, (504): 1, 11 = 56 111: 56 100 = 56 111 100 56 = 100 111
Imamo rezultat, ki ga lahko pretvorimo tudi v decimalko. Če želite to narediti, delite števec z imenovalcem po metodi stolpcev:
odgovor: 0 , (504) : 0 , 56 = 0 , (900) .
Če smo v primeru deljenja naleteli na neperiodične decimalne ulomke, potem bomo ravnali nekoliko drugače. Ne moremo jih pripeljati do običajnih navadnih ulomkov, zato jih moramo pri deljenju najprej zaokrožiti na določeno številko. To dejanje je treba izvesti tako z delilnikom kot z delilnikom: zaradi natančnosti bomo zaokrožili tudi obstoječi končni ali periodični ulomek.
Primer 3
Poiščite, koliko bo 0, 779 ... / 1, 5602.
Rešitev
Najprej zaokrožimo oba ulomka na najbližjo stotino. Tako gremo od neskončnih neperiodičnih ulomkov k končnim decimalnim:
0 , 779 … ≈ 0 , 78
1 , 5602 ≈ 1 , 56
Lahko nadaljujemo z izračuni in dobimo približen rezultat: 0, 779 ...: 1, 5602 ≈ 0, 78: 1, 56 = 78 100: 156 100 = 78 100 100 156 = 78 156 = 1 2.
Natančnost rezultata bo odvisna od stopnje zaokroževanja.
odgovor: 0 , 779 … : 1 , 5602 ≈ 0 , 5 .
Kako deliti naravno število z decimalko in obratno
Pristop k delitvi je v tem primeru praktično enak: končne in periodične ulomke zamenjamo z navadnimi, neskončne neperiodične pa zaokrožimo. Začnimo s primerom deljenja z naravnim številom in decimalnim ulomkom.
Primer 4
Razdelite 2, 5 s 45.
Rešitev
Prenesite 2, 5 v obliko navadnega ulomka: 255 10 = 51 2. Nato ga moramo le deliti z naravnim številom. To že vemo:
25, 5: 45 = 51 2: 45 = 51 2 1 45 = 17 30
Če rezultat prevedemo v decimalni zapis, dobimo 0, 5 (6).
odgovor: 25 , 5: 45 = 0 , 5 (6) .
Dolga deljenje ni dobro samo za naravna števila. Po analogiji ga lahko uporabimo za ulomke. Spodaj bomo navedli zaporedje dejanj, ki jih je treba izvesti za to.
Opredelitev 1
Če želite s stolpcem decimalnih ulomkov deliti z naravnimi števili, morate:
1. Decimalnemu ulomku na desni dodajte več ničel (za deljenje jih lahko dodamo poljubno število, ki jih potrebujemo).
2. Z algoritmom delimo decimalni ulomek z naravnim številom. Ko se delitev celega dela ulomka konča, v nastali količnik postavimo vejico in štejemo naprej.
Rezultat takšne delitve je lahko tako končni kot neskončen periodični decimalni ulomek. Odvisno je od ostanka: če je nič, bo rezultat končen, in če se ostanki začnejo ponavljati, bo odgovor periodični ulomek.
Vzemimo za primer nekaj nalog in poskusimo slediti tem korakom z določenimi številkami.
Primer 5
Izračunaj, koliko bo 65, 14 4.
Rešitev
Uporabljamo metodo stolpcev. Če želite to narediti, ulomku dodajte dve ničli in dobite decimalni ulomek 65, 1400, ki bo enak izvirniku. Zdaj napišemo stolpec, ki ga delimo s 4:
Dobljeno število bo želeni rezultat deljenja celega dela. Postavimo vejico, jo ločimo in nadaljujemo:
Dosegli smo nič preostanka, zato je postopek delitve končan.
odgovor: 65 , 14: 4 = 16 , 285 .
Primer 6
164,5 delimo s 27.
Rešitev
Najprej razdelimo delni del in dobimo:
Dobljeno številko ločite z vejico in nadaljujte z delitvijo:
Vidimo, da so se ostanki začeli periodično ponavljati, v količniku pa so se začela izmenjevati števila devet, dva in pet. Pri tem se bomo ustavili in odgovor zapisali v obliki periodičnega ulomka 6, 0 (925).
odgovor: 164 , 5: 27 = 6 , 0 (925) .
Takšno delitev je mogoče zmanjšati na postopek iskanja količnika decimalnega ulomka in naravnega števila, ki je že opisan zgoraj. Za to moramo dividendo in delilec pomnožiti z 10, 100 itd., tako da delitelj postane naravno število. Nato izvedemo zgoraj opisano zaporedje dejanj. Ta pristop je mogoč zaradi lastnosti deljenja in množenja. V dobesedni obliki smo jih zapisali takole:
a: b = (a 10): (b 10), a: b = (a 100): (b 100) in tako naprej.
Formulirajmo pravilo:
Opredelitev 2
Če želite en končni decimalni ulomek deliti z drugim, morate:
1. Premaknite vejico v delilniku in delilec v desno za število števk, ki je potrebno za pretvorbo delitelja v naravno število. Če v dividendi ni dovolj znakov, ji na desni strani dodajte ničle.
2. Po tem delite ulomek s stolpcem z dobljenim naravnim številom.
Analizirajmo določeno nalogo.
Primer 7
7, 287 delimo z 2, 1.
Rešitev: Da delitelj postane naravno število, moramo vejico premakniti za en znak v desno. Tako smo prešli na deljenje decimskega ulomka 72, 87 z 21. Dobljene številke zapišemo v stolpec in izračunamo
odgovor: 7 , 287: 2 , 1 = 3 , 47
Primer 8
Izračunaj 16, 3 0, 021.
Rešitev
Vejico bomo morali premakniti za tri znake. Za to ni dovolj števk v delilniku, kar pomeni, da morate uporabiti dodatne ničle. Verjamemo, da bo rezultat:
Vidimo periodično ponavljanje ostankov 4, 19, 1, 10, 16, 13. V količniku se ponovijo 1, 9, 0, 4, 7 in 5. Potem je naš rezultat periodična decimalka 776, (190476).
odgovor: 16 , 3: 0 , 021 = 776 , (190476)
Metoda, ki smo jo opisali, vam omogoča, da naredite in obratno, to je, da naravno število delite s končnim decimalnim ulomkom. Poglejmo, kako se to naredi.
Primer 9
Izračunaj, koliko bo 3 5, 4.
Rešitev
Očitno bomo morali vejico premakniti na desni znak. Po tem lahko začnemo deliti 30,0 s 54. Zapišemo podatke v stolpec in izračunajmo rezultat:
Ponavljanje preostanka nam da končno število 0, (5), ki je periodični decimalni ulomek.
odgovor: 3: 5 , 4 = 0 , (5) .
Kako deliti decimalne ulomke s 1000, 100, 10 itd.
Po že preučenih pravilih za deljenje navadnih ulomkov je deljenje ulomka na desetine, stotine, tisoče podobno množenju z 1/1000, 1/100, 1/10 itd. Če v številki ni dovolj vrednosti za prenos, morate dodati zahtevano število ničel.
Primer 10
Torej, 56, 21: 10 = 5, 621 in 0, 32: 100.000 = 0, 0000032.
V primeru neskončnih decimalnih ulomkov naredimo enako.
Primer 11
Na primer, 3, (56): 1000 = 0, 003 (56) in 593, 374…: 100 = 5, 93374….
Kako deliti decimalne ulomke z 0,001, 0,01, 0,1 itd.
Po istem pravilu lahko ulomke tudi delimo z določenimi vrednostmi. To dejanje bo podobno množenju s 1000, 100, 10. Če želite to narediti, vejico prenesemo na eno, dve ali tri števke, odvisno od pogojev težave, in dodamo ničle, če v številki ni dovolj števk.
Primer 12
Na primer, 5.739: 0, 1 = 57, 39 in 0, 21: 0, 00001 = 21.000.
To pravilo velja tudi za neskončne decimalne ulomke. Svetujemo vam le, da ste pozorni na obdobje ulomka, ki ga dobimo v odgovoru.
Torej, 7, 5 (716): 0, 01 = 757, (167), ker potem, ko smo premaknili vejico v decimalnem ulomku 7, 5716716716 ... dve števki v desno, smo dobili 757, 167167 ....
Če imamo v našem primeru neperiodične ulomke, potem je vse enostavnejše: 394, 38283…: 0, 001 = 394382, 83….
Kako deliti mešano število ali ulomek z decimalko in obratno
To dejanje zmanjšamo tudi na operacije z navadnimi ulomki. Če želite to narediti, morate decimalna števila zamenjati z ustreznimi navadnimi ulomki, mešano število pa zapisati kot nepravilen ulomek.
Če delimo neperiodični ulomek z navadnim ulomkom ali z mešanim številom, moramo narediti nasprotno, tako da navadni ulomek ali mešano število zamenjamo z ustreznim decimalnim ulomkom.
Če opazite napako v besedilu, jo izberite in pritisnite Ctrl + Enter
Oglejmo si primere delitve decimalnih ulomkov v tej luči.
Primer.
Decimalno 1,2 delimo z decimalko 0,48.
Rešitev.
odgovor:
1,2:0,48=2,5 .
Primer.
Periodično decimalko 0 (504) delite z decimalko 0,56.
Rešitev.
Pretvorimo periodični decimalni ulomek v navaden:. Končni decimalni ulomek 0,56 tudi prevedemo v navadnega, imamo 0,56 = 56/100. Zdaj lahko preidemo z delitve prvotnih decimalnih ulomkov na deljenje navadnih ulomkov in zaključimo izračune:.
Nastali navadni ulomek prevedemo v decimalni ulomek tako, da števec delimo z imenovalcem v stolpcu:
odgovor:
0,(504):0,56=0,(900) .
Načelo delitve neskončnih neperiodičnih decimalnih ulomkov se razlikuje od načela delitve končnih in periodičnih decimalnih ulomkov, saj neperiodičnih decimalnih ulomkov ni mogoče pretvoriti v navadne ulomke. Delitev neskončnih neperiodičnih decimalnih ulomkov se zmanjša na deljenje končnih decimalnih ulomkov, za katere se izvede zaokroževanje številk na določeno raven. Poleg tega, če je eno od številk, s katerimi se izvede delitev, končni ali periodični decimalni ulomek, se tudi zaokroži na isto številko kot neperiodični decimalni ulomek.
Primer.
Neskončno neperiodično decimalko 0,779 ... delite s končno decimalko 1,5602.
Rešitev.
Najprej morate zaokrožiti decimalne ulomke, da bi prešli z delitve neskončnega neperiodičnega decimskega ulomka na deljenje končnih decimalnih ulomkov. Zaokrožimo lahko na najbližjo stotino: 0,779 ... ≈0,78 in 1,5602≈1,56. Tako je 0,779 ...: 1,5602≈0,78: 1,56 = 78/100: 156/100 = 78/100 100/156 = 78/156=1/2=0,5 .
odgovor:
0,779…:1,5602≈0,5 .
Deljenje naravnega števila z decimalnim ulomkom in obratno
Bistvo pristopa k deljenju naravnega števila z decimalnim ulomkom in delitvi decimskega ulomka z naravnim številom se ne razlikuje od bistva deljenja decimalnih ulomkov. To pomeni, da se končne in periodične ulomke nadomestijo z navadnimi ulomki, neskončne neperiodične ulomke pa zaokrožijo.
Za ponazoritev si oglejte primer deljenja decimskega ulomka z naravnim številom.
Primer.
Decimalni ulomek 25,5 delite z naravnim številom 45.
Rešitev.
Če decimalni ulomek 25,5 zamenjamo z navadnim ulomkom 255/10 = 51/2, se deljenje zmanjša na deljenje navadnega ulomka z naravnim številom:. Nastali ulomek v decimalnem zapisu ima obliko 0,5 (6).
odgovor:
25,5:45=0,5(6) .
Stolpna deljenje decimalke z naravnim številom
Priročno je deliti končne decimalne ulomke z naravnimi števili v stolpcu, po analogiji z delitvijo s stolpcem naravnih števil. Tukaj je pravilo delitve.
Za delimo decimalko z naravnim številom v stolpcu, potrebno:
- dodajte več števk 0 na desno v deljivi decimalni ulomek (v postopku delitve lahko po potrebi dodate poljubno število ničel, vendar te ničle morda ne bodo potrebne);
- opravite deljenje s stolpcem decimskega ulomka z naravnim številom v skladu z vsemi pravili za deljenje s stolpcem naravnih števil, ko pa se delitev celega dela decimskega ulomka konča, potem morate v količnik vnesti vejico in nadaljujte z delitvijo.
Takoj povejmo, da lahko z deljenjem končnega decimskega ulomka z naravnim številom dobimo bodisi končni decimalni ulomek bodisi neskončen periodični decimalni ulomek. Dejansko, ko je končana delitev vseh decimalnih mest, ki niso 0, deljivega ulomka, lahko dobimo ostanek 0 in dobimo končni decimalni ulomek, ali pa se bodo ostanki začeli občasno ponavljati in dobimo periodični decimalni ulomek .
Ugotovimo vse zapletenosti deljenja decimalnih ulomkov z naravnimi števili v stolpcu pri reševanju primerov.
Primer.
Decimalno 65,14 delimo s 4.
Rešitev.
Delimo decimalni ulomek z naravnim številom v stolpcu. Dodajmo nekaj ničel na desno v ulomku 65,14 in dobimo enak decimalni ulomek 65,1400 (glej enake in neenake decimalne ulomke). Zdaj lahko začnete deliti celoten del decimskega ulomka 65,1400 z naravnim številom 4: 
S tem se zaključi delitev celega dela decimskega ulomka. Tukaj morate v količnik postaviti decimalno vejico in nadaljevati z delitvijo: 
Prišli smo do preostanka 0, na tej stopnji se dolga delitev konča. Kot rezultat imamo 65,14: 4 = 16,285.
odgovor:
65,14:4=16,285 .
Primer.
164,5 delimo s 27.
Rešitev.
Delimo decimalni ulomek z naravnim številom v stolpcu. Po razdelitvi celotnega dela dobimo naslednjo sliko: 
Zdaj v zasebno vstavimo vejico in nadaljujemo z delitvijo s stolpcem: 
Zdaj lahko jasno vidite, da so se ostanki 25, 7 in 16 začeli ponavljati, medtem ko se v količniku ponavljajo številke 9, 2 in 5. Če torej decimalno številko 164,5 delimo s 27, pridemo do periodične decimalke 6,0 (925).
odgovor:
164,5:27=6,0(925) .
Dolga deljenje decimalnih ulomkov
Če želite decimalni ulomek deliti z naravnim številom s stolpcem, lahko zmanjšate delitev decimskega ulomka za decimalni ulomek. Da bi to naredili, je treba dividendo in delilec pomnožiti s tako številko 10, 100 ali 1000 itd., Tako da delitelj postane naravno število, nato pa v stolpcu deliti z naravnim številom. To lahko storimo na podlagi lastnosti deljenja in množenja, saj je a: b = (a 10) :( b 10), a: b = (a 100) :( b 100) in tako naprej.
Z drugimi besedami, deliti končno decimalko s končno decimalko, potrebno:
- v delilniku in delilniku premaknite vejico v desno za toliko števk, kolikor je za vejico v delilniku, če hkrati delnica nima dovolj števk, da bi nosila vejico, morate dodati zahtevano število ničel na desni;
- nato delite s stolpcem decimskega ulomka z naravnim številom.
Pri reševanju primera upoštevajte uporabo tega pravila delitve z decimalnim ulomkom.
Primer.
Izvedite dolgo deljenje 7.287 na 2.1.
Rešitev.
Vejico v teh decimalnih ulomkih prenesemo eno mesto v desno, to nam bo omogočilo, da od deljenja decimskega ulomka 7,287 z decimalnim ulomkom 2,1 preidemo na deljenje decimskega ulomka 72,87 z naravnim številom 21. Naredimo dolgo delitev: 
odgovor:
7,287:2,1=3,47 .
Primer.
Decimalno 16,3 delimo z decimalko 0,021.
Rešitev.
Premaknite vejico v delilniku in delilniku v desno za 3 znake. Očitno delilec nima dovolj števk, da bi nosil vejico, zato na desno dodamo zahtevano število ničel. Sedaj izvedemo stolpec deljenje ulomka 16300,0 z naravnim številom 21: 
Od tega trenutka se začnejo ponavljati ostanki 4, 19, 1, 10, 16 in 13, kar pomeni, da se bodo ponovile tudi številke 1, 9, 0, 4, 7 in 6 v količniku. Kot rezultat dobimo periodični decimalni ulomek 776, (190476).
odgovor:
16,3:0,021=776,(190476) .
Upoštevajte, da vam zvočno pravilo omogoča, da naravno število delite s končnim decimalnim ulomkom s stolpcem.
Primer.
Naravno število 3 delimo z decimalko 5.4.
Rešitev.
Ko vejico premaknemo za 1 mesto v desno, pridemo do delitve števila 30,0 s 54. Naredimo dolgo delitev: 
.
To pravilo lahko uporabimo tudi pri delitvi neskončnih decimalnih ulomkov z 10, 100,…. Na primer, 3, (56): 1000 = 0,003 (56) in 593,374…: 100 = 5,93374….
Deljenje decimalnih ulomkov z 0,1, 0,01, 0,001 itd.
Ker je 0,1 = 1/10, 0,01 = 1/100 itd., Iz pravila delitve z navadnim ulomkom sledi, da delimo decimalni ulomek z 0,1, 0,01, 0,001 itd. to je kot pomnožiti dano decimalko z 10, 100, 1000 itd. oz.
Z drugimi besedami, če želite decimalni ulomek deliti z 0,1, 0,01, ..., morate vejico premakniti v desno za 1, 2, 3, ... števke, če pa števke v decimalnem zapisu ne zadoščajo za nosite vejico, potem morate na prave ničle dodati zahtevano količino.
Na primer, 5,739: 0,1 = 57,39 in 0,21: 0,00001 = 21.000.
Enako pravilo lahko uporabimo pri delitvi neskončnih decimalnih ulomkov z 0,1, 0,01, 0,001 itd. V tem primeru je treba biti zelo previden pri delitvi periodičnih ulomkov, da se ne bi zmotili s periodo ulomka, ki jo dobimo kot rezultat delitve. Na primer, 7,5 (716): 0,01 = 757, (167), saj po premiku vejice v decimalnem ulomku 7,5716716716 ... dve števki v desno, imamo zapis 757,167167 .... Z neskončnimi neperiodičnimi decimalnimi ulomki je vse enostavnejše: 394,38283…:0,001=394382,83… .
Deljenje ulomka ali mešanega števila z decimalko in obratno
Deljenje navadnega ulomka ali mešanega števila s končnim ali periodičnim decimalnim ulomkom, kot tudi deljenje končnega ali periodičnega decimskega ulomka z navadnim ulomkom ali mešanim številom, se zmanjša na deljenje navadnih ulomkov. Da bi to naredili, se decimalni ulomki nadomestijo z ustreznimi navadnimi ulomki, mešano število pa je predstavljeno kot nepravilen ulomek.
Ko delite neskončni neperiodični decimalni ulomek z navadnim ulomkom ali mešanim številom in obratno, morate iti na deljenje decimalnih ulomkov, tako da navaden ulomek ali mešano število zamenjate z ustreznim decimalnim ulomkom.
Bibliografija.
- matematika: učbenik. za 5 cl. Splošna izobrazba. ustanove / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. izd., izbrisano. - M .: Mnemosina, 2007 .-- 280 str .: ilustr. ISBN 5-346-00699-0.
- matematika. 6. razred: učbenik. za splošno izobraževanje. ustanove / [N. Ya. Vilenkin in drugi]. - 22. izd., Rev. - M .: Mnemosina, 2008 .-- 288 str.: Ilustr. ISBN 978-5-346-00897-2.
- algebra:študij. za 8 cl. Splošna izobrazba. ustanove / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; izd. S. A. Telyakovsky. - 16. izd. - M.: Izobraževanje, 2008 .-- 271 str. : bolna. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (priročnik za vpisnike v tehnične šole): Učbenik. priročnik - M .; višje. šk., 1984.-351 str., ilustr.
V tej vadnici si bomo ogledali vsako od teh operacij posebej.
Vsebina lekcijeSeštevanje decimalnih ulomkov
Kot vemo, ima decimalni ulomek celoto in ulomek. Pri seštevanju decimalnih ulomkov se ločeno dodajajo celi in ulomki.
Na primer, dodajte decimalna ulomka 3,2 in 5,3. Bolj priročno je dodati decimalne ulomke v stolpec.
Ta dva ulomka najprej zapišemo v stolpec, pri čemer morajo biti celi deli pod celoto, ulomni del pa pod ulomkom. V šoli se ta zahteva imenuje Vejica pod vejico.
Zapišimo ulomke v stolpec tako, da je vejica pod vejico:
Začnemo seštevati ulomne dele: 2 + 3 = 5. Pet zapišemo v ulomni del našega odgovora:
Sedaj seštejemo cele dele: 3 + 5 = 8. Osem zapišemo v celoten del našega odgovora:
Zdaj ločimo celoten del od delnega dela z vejico. Da bi to naredili, spet upoštevamo pravilo Vejica pod vejico:
Odgovor je bil 8,5. Torej so izrazi 3,2 + 5,3 enaki 8,5
Pravzaprav ni vse tako preprosto, kot se zdi na prvi pogled. Tudi tukaj obstajajo pasti, o katerih bomo zdaj govorili.
Decimalna mesta
Decimalni ulomki, tako kot navadna števila, imajo svoja mesta. To so desetinke, stotinke, tisočinke. V tem primeru se števke začnejo za decimalno vejico.
Prva številka za decimalno vejico je odgovorna za deseto mesto, druga številka za decimalno vejico za stoto mesto, tretja številka za decimalno vejico za tisoče mesto.
Decimalna mesta vsebujejo nekaj koristnih informacij. Zlasti poročajo, koliko desetin, stotink in tisočink je v decimalnem ulomku.
Na primer, upoštevajte decimalno številko 0,345
Položaj, kjer se nahaja trojček, se imenuje v desetinkah
Položaj, kjer se nahaja štiri, se imenuje stotinke
Položaj, kjer se nahaja pet, se imenuje tisočinke
Oglejmo si to številko. Vidimo, da je na desetem mestu trojka. To nakazuje, da so v decimalki 0,345 tri desetinke.
Če seštejemo ulomke, dobimo prvotno decimalko 0,345
Vidi se, da smo najprej dobili odgovor, vendar smo ga pretvorili v decimalni ulomek in dobili 0,345.
Pri seštevanju decimalnih ulomkov se upoštevajo enaka načela in pravila kot pri seštevanju navadnih števil. Decimalni ulomki se dodajajo v števkah: desetinke se seštevajo z desetinkami, stotinke s stotinkami, tisočinke s tisočinkami.
Zato morate pri seštevanju decimalnih ulomkov upoštevati pravilo Vejica pod vejico... Vejica pod vejico zagotavlja enak vrstni red, v katerem se desetinke dodajajo desetinkam, stotinke do stotinke, tisočinke do tisočinke.
Primer 1. Poiščite vrednost izraza 1,5 + 3,4
Najprej dodajte ulomne dele 5 + 4 = 9. V ulomni del našega odgovora zapišite devetico:
Sedaj dodamo cele dele 1 + 3 = 4. V celoten del našega odgovora zapišemo štiri:
Zdaj ločimo celoten del od delnega dela z vejico. Če želite to narediti, ponovno upoštevamo pravilo "vejice pod vejico":
Odgovor je bil 4.9. Torej je vrednost izraza 1,5 + 3,4 4,9
Primer 2. Poiščite vrednost izraza: 3,51 + 1,22
Ta izraz zapišemo v stolpec, pri čemer upoštevamo pravilo "vejica pod vejico".
Najprej dodajte delni del, in sicer stotinke 1 + 2 = 3. Tri zapišemo v stoti del našega odgovora:
Zdaj dodajte desetinke 5 + 2 = 7. Sedem zapišemo v deseti del našega odgovora:
Zdaj dodajte cele dele 3 + 1 = 4. V celoten del našega odgovora zapišemo štiri:
Celoten del od ulomnega dela ločite z vejico, pri čemer upoštevajte pravilo "vejice pod vejico":
Odgovor je bil 4,73. Torej je vrednost izraza 3,51 + 1,22 4,73
3,51 + 1,22 = 4,73
Kot pri običajnih številih lahko pride do seštevanja decimalnih ulomkov. V tem primeru je ena številka zapisana v odgovoru, ostale pa se prenesejo na naslednjo številko.
Primer 3. Poiščite vrednost izraza 2,65 + 3,27
Ta izraz zapišemo v stolpec:
Dodajte stotinke 5 + 7 = 12. Število 12 ne bo sodilo v stoti del našega odgovora. Zato v stoti del zapišemo številko 2 in enoto prenesemo na naslednjo številko:
Sedaj dodamo desetinke 6 + 2 = 8 plus tisto, ki smo jo dobili iz prejšnje operacije, dobimo 9. V deseti del našega odgovora zapišemo številko 9:
Zdaj dodajte cele dele 2 + 3 = 5. V celoten del odgovora zapišemo številko 5:
Odgovor je bil 5,92. Torej je vrednost izraza 2,65 + 3,27 5,92
2,65 + 3,27 = 5,92
Primer 4. Poiščite vrednost izraza 9,5 + 2,8
Ta izraz zapišemo v stolpec
Seštejemo ulomne dele 5 + 8 = 13. Število 13 ne bo sodilo v ulomni del našega odgovora, zato najprej zapišemo številko 3, enoto pa prenesemo na naslednjo številko oziroma jo prenesemo na cel del:
Sedaj dodamo cele dele 9 + 2 = 11 plus tistega, ki je prišel iz prejšnje operacije, dobimo 12. Število 12 zapišemo v celi del našega odgovora:
Celoten del od ulomnega dela ločite z vejico:
Odgovor je bil 12.3. Torej je vrednost izraza 9,5 + 2,8 12,3
9,5 + 2,8 = 12,3
Pri seštevanju decimalnih ulomkov mora biti število števk za decimalno vejico v obeh ulomkih enako. Če ni dovolj številk, so ta mesta v ulomnem delu napolnjena z ničlami.
Primer 5... Poiščite vrednost izraza: 12,725 + 1,7
Preden ta izraz zapišemo v stolpec, naj bo število števk za decimalno vejico v obeh ulomkih enako. V decimalnem ulomku 12,725 so za decimalno vejico tri števke, v ulomku 1,7 pa je samo ena. To pomeni, da morate v ulomku 1,7 na koncu dodati dve ničli. Potem dobimo ulomek 1700. Zdaj lahko ta izraz zapišete v stolpec in začnete računati:
Dodajte tisočinke 5 + 0 = 5. V tisočinke našega odgovora zapišemo številko 5:
Dodajte stotinke 2 + 0 = 2. V stoti del našega odgovora zapišemo številko 2:
Dodajte desetinke 7 + 7 = 14. Število 14 ne bo sodilo v desetino našega odgovora. Zato najprej zapišemo številko 4 in enoto prenesemo na naslednjo številko:
Sedaj dodamo cele dele 12 + 1 = 13 plus tistega, ki smo ga dobili iz prejšnje operacije, dobimo 14. Število 14 zapišemo v celi del našega odgovora:
Celoten del od ulomnega dela ločite z vejico:
Odgovor je bil 14.425. Torej je vrednost izraza 12,725 + 1,700 enaka 14,425
12,725+ 1,700 = 14,425
Odštevanje decimalnih ulomkov
Pri odštevanju decimalnih ulomkov morate upoštevati enaka pravila kot pri seštevanju: "vejica pod vejico" in "enako število števk za decimalno vejico".
Primer 1. Poiščite vrednost izraza 2,5 - 2,2
Ta izraz zapišemo v stolpec, pri čemer upoštevamo pravilo "vejica pod vejico":
Ocenite ulomni del 5−2 = 3. V deseti del našega odgovora zapišemo številko 3:
Ocenite celo število 2−2 = 0. V celem delu našega odgovora zapišemo nič:
Celoten del od ulomnega dela ločite z vejico:
Odgovor je bil 0,3. Torej je vrednost izraza 2,5 - 2,2 0,3
2,5 − 2,2 = 0,3
Primer 2. Poiščite vrednost izraza 7.353 - 3.1
Ta izraz ima za decimalno vejico drugačno število števk. V ulomku 7,353 so tri števke za decimalno vejico, v ulomku 3,1 pa je le ena. To pomeni, da morate v ulomku 3.1 na koncu dodati dve ničli, da bo število števk v obeh ulomkih enako. Potem dobimo 3.100.
Zdaj lahko ta izraz zapišete v stolpec in ga izračunate:
Odgovor je bil 4.253. Torej je vrednost izraza 7,353 - 3,1 enaka 4,253
7,353 — 3,1 = 4,253
Kot pri navadnih številih si morate včasih izposoditi eno od sosednje števke, če odštevanje postane nemogoče.
Primer 3. Poiščite vrednost izraza 3,46 - 2,39
Odštejte stotinke 6-9. Od števila 6 ne odštevajte števila 9. Zato morate vzeti eno od sosednje števke. Ko vzamete eno iz sosednjega bita, se število 6 spremeni v številko 16. Zdaj lahko izračunate stotinke 16-9 = 7. Sedem zapišemo v stoti del našega odgovora:
Zdaj pa odštejmo desetinke. Ker smo zasedli eno enoto na desetem mestu, se je številka, ki se je tam nahajala, zmanjšala za eno enoto. Z drugimi besedami, na desetem mestu zdaj ni število 4, ampak številka 3. Izračunajmo desetinke 3−3 = 0. V deseti del našega odgovora zapišemo nič:
Zdaj odštejemo cele dele 3−2 = 1. V celi del našega odgovora zapišemo eno:
Celoten del od ulomnega dela ločite z vejico:
Odgovor je bil 1.07. Torej je vrednost izraza 3,46−2,39 1,07
3,46−2,39=1,07
Primer 4... Poiščite vrednost izraza 3 - 1.2
Ta primer od celega števila odšteje decimalko. Zapišimo ta izraz v stolpec tako, da je celo število decimskega ulomka 1,23 pod številko 3
Zdaj naredimo enako število števk za decimalno vejico. Če želite to narediti, za številko 3 postavite vejico in dodajte eno ničlo:
Zdaj odštejemo desetinke: 0−2. Od nič ne morete odšteti števila 2. Zato morate iz sosednjega bita vzeti eno. Ko vzamemo eno iz sosednjega bita, 0 postane 10. Zdaj lahko izračunamo desetinke 10−2 = 8. Osmico zapišemo v deseti del našega odgovora:
Zdaj odštejemo cele dele. Prej je celo število vsebovalo številko 3, vendar smo si iz njega izposodili eno enoto. Posledično je postala številka 2. Zato od 2 odštejemo 1,2. 2−1 = 1. V celi del našega odgovora zapišemo eno:
Celoten del od ulomnega dela ločite z vejico:
Odgovor je bil 1.8. Torej je vrednost izraza 3−1,2 1,8
Decimalno množenje
Decimalno množenje je enostavno in zabavno. Če želite pomnožiti decimalne ulomke, jih pomnožite kot običajna števila, pri čemer vejice ne upoštevate.
Po prejemu odgovora je treba z vejico ločiti celoten del od delnega dela. Če želite to narediti, morate prešteti število števk za decimalno vejico v obeh ulomkih, nato v odgovoru prešteti enako število števk na desni in postaviti vejico.
Primer 1. Poiščite vrednost izraza 2,5 × 1,5
Te decimalne ulomke pomnožimo kot običajna števila, pri čemer vejice ne upoštevamo. Da ne boste pozorni na vejice, si lahko nekaj časa predstavljate, da jih sploh ni:
Prejeto 375. Pri tem številu je treba z vejico ločiti celoten del od ulomnega dela. Če želite to narediti, morate prešteti število števk za decimalno vejico v ulomkih 2,5 in 1,5. V prvem ulomku za decimalno vejico je ena številka, v drugem ulomku je tudi ena. Skupaj sta dve števki.
Vrnemo se na številko 375 in se začnemo premikati od desne proti levi. Prešteti moramo dve števki z desne in postaviti vejico:
Odgovor je bil 3,75. Torej je vrednost izraza 2,5 × 1,5 3,75
2,5 x 1,5 = 3,75
Primer 2. Poiščite vrednost izraza 12,85 × 2,7
Pomnožimo te decimalne ulomke, ne upoštevajoč vejice:
Prejeto 34695. V tem številu morate ločiti celo število od ulomnega dela z vejico. Če želite to narediti, morate prešteti število števk za decimalno vejico v ulomkih 12,85 in 2,7. V ulomku 12,85 za decimalno vejico sta dve števki, v ulomku 2,7 je ena številka - skupaj tri števke.
Vrnemo se na številko 34695 in se začnemo premikati od desne proti levi. Z desne moramo prešteti tri števke in postaviti vejico:
Odgovor je bil 34.695. Torej je vrednost izraza 12,85 × 2,7 enaka 34,695
12,85 × 2,7 = 34,695
Decimalno množenje z navadnim številom
Včasih se pojavijo situacije, ko morate decimalni ulomek pomnožiti z navadnim številom.
Če želite pomnožiti decimalni ulomek in navadno število, ju morate pomnožiti, pri čemer ne upoštevate vejice v decimalnem ulomku. Po prejemu odgovora je treba z vejico ločiti celoten del od delnega dela. Če želite to narediti, morate prešteti število števk za decimalno vejico v decimalnem ulomku, nato v odgovoru prešteti enako število števk na desni in postaviti vejico.
Na primer, pomnožite 2,54 z 2
Decimalni ulomek 2,54 pomnožimo z običajno številko 2, pri čemer vejice ne upoštevamo:
Prejeto številko 508. V tej številki morate ločiti celo število od ulomnega dela z vejico. Če želite to narediti, morate prešteti število števk za decimalno vejico v ulomku 2,54. V ulomku 2,54 sta dve števki za decimalno vejico.
Vrnemo se na številko 508 in se začnemo premikati od desne proti levi. Prešteti moramo dve števki z desne in postaviti vejico:
Odgovor je bil 5.08. Torej je vrednost izraza 2,54 × 2 5,08
2,54 x 2 = 5,08
Decimalno množenje z 10, 100, 1000
Množenje decimalnih ulomkov z 10, 100 ali 1000 poteka na enak način kot množenje decimalnih ulomkov z običajnimi števili. Izvesti morate množenje, ne da bi bili pozorni na vejico v decimalnem ulomku, nato pa v odgovoru ločite celoten del od ulomnega dela, pri čemer štejete toliko števk na desni, kolikor je števk za decimalno vejico v decimalnem ulomku.
Na primer, pomnožite 2,88 z 10
Pomnožite decimalno 2,88 z 10, ne upoštevajte decimalne vejice:
Prejeto 2880. V tem številu morate z vejico ločiti celo število od ulomnega dela. Če želite to narediti, morate prešteti število števk za decimalno vejico v ulomku 2,88. Vidimo, da sta za decimalno vejico v ulomku 2,88 dve števki.
Vrnite se na številko 2880 in se začnite premikati od desne proti levi. Prešteti moramo dve števki z desne in postaviti vejico:
Odgovor je bil 28,80. Če spustimo zadnjo ničlo, dobimo 28,8. Torej je vrednost izraza 2,88 × 10 28,8
2,88 x 10 = 28,8
Obstaja tudi drugi način za množenje decimalnih ulomkov z 10, 100, 1000. Ta metoda je veliko lažja in bolj priročna. Sestavljen je v tem, da se vejica v decimalnem ulomku premakne v desno za toliko števk, kolikor je nič v faktorju.
Na primer, rešimo prejšnji primer 2,88 × 10 na ta način. Brez dajanja izračunov takoj pogledamo faktor 10. Zanima nas, koliko ničel vsebuje. Vidimo, da je v njem ena ničla. Zdaj, v ulomku 2,88, premaknite vejico v desno za eno številko, dobimo 28,8.
2,88 x 10 = 28,8
Poskusimo pomnožiti 2,88 s 100. Takoj pogledamo faktor 100. Zanima nas, koliko ničel vsebuje. Vidimo, da sta v njem dve ničli. Zdaj, v ulomku 2,88, premaknite vejico v desno za dve števki, dobimo 288
2,88 × 100 = 288
Poskusimo pomnožiti 2,88 s 1000. Takoj pogledamo faktor 1000. Zanima nas, koliko ničel vsebuje. Vidimo, da so v njem tri ničle. Zdaj, v ulomku 2,88, premaknite vejico v desno za tri števke. Tretje števke ni, zato dodamo še eno ničlo. Kot rezultat dobimo 2880.
2,88 × 1000 = 2880
Množenje decimalnih ulomkov z 0,1 0,01 in 0,001
Množenje decimalnih ulomkov z 0,1, 0,01 in 0,001 deluje na enak način kot množenje decimskega ulomka z decimalnim ulomkom. Ulomke je treba pomnožiti kot navadna števila in v odgovor postaviti vejico, pri čemer štejemo toliko števk na desni, kolikor je števk za decimalno vejico v obeh ulomkih.
Na primer, pomnožite 3,25 z 0,1
Te ulomke pomnožimo kot navadna števila, pri čemer vejice ne upoštevamo:
Prejeto 325. V tem številu morate z vejico ločiti celo število od ulomnega dela. Če želite to narediti, morate prešteti število števk za decimalno vejico v ulomkih 3,25 in 0,1. V ulomku 3,25 sta za decimalno vejico dve števki, v ulomku 0,1 je ena številka. Skupaj so tri števke.
Vrnemo se na številko 325 in se začnemo premikati od desne proti levi. Na desni moramo prešteti tri števke in postaviti vejico. Po štetju treh števk ugotovimo, da je števk konec. V tem primeru morate dodati eno ničlo in postaviti vejico:
Odgovor je bil 0,325. Torej je vrednost izraza 3,25 × 0,1 enaka 0,325
3,25 × 0,1 = 0,325
Obstaja drugi način za množenje decimalnih ulomkov z 0,1, 0,01 in 0,001. Ta metoda je veliko lažja in bolj priročna. Sestavljen je v tem, da se vejica v decimalnem ulomku premakne v levo za toliko števk, kolikor je nič v faktorju.
Na primer, rešimo prejšnji primer 3,25 × 0,1 na ta način. Brez dajanja izračunov takoj pogledamo faktor 0,1. Zanima nas, koliko ničel vsebuje. Vidimo, da je v njem ena ničla. Zdaj, v ulomku 3,25, premaknite vejico v levo za eno številko. Če vejico premaknemo za eno številko v levo, vidimo, da pred tremi ni več števk. V tem primeru dodajte eno ničlo in dodajte vejico. Kot rezultat dobimo 0,325
3,25 × 0,1 = 0,325
Poskusimo pomnožiti 3,25 z 0,01. Takoj poglejte množitelj 0,01. Zanima nas, koliko ničel vsebuje. Vidimo, da sta v njem dve ničli. Zdaj, v ulomku 3,25, premaknite vejico v levo za dve števki, dobimo 0,0325
3,25 × 0,01 = 0,0325
Poskusimo pomnožiti 3,25 z 0,001. Takoj poglejte množitelj 0,001. Zanima nas, koliko ničel vsebuje. Vidimo, da so v njem tri ničle. Zdaj, v ulomku 3,25, premaknite vejico v levo za tri števke, dobimo 0,00325
3,25 × 0,001 = 0,00325
Množenja decimalnih ulomkov z 0,1, 0,001 in 0,001 ne smemo zamenjevati z množenjem z 10, 100, 1000. To je tipična napaka večine ljudi.
Pri množenju z 10, 100, 1000 se vejica prenese na desno za enako število števk, kot so ničle v množitelju.
In pri množenju z 0,1, 0,01 in 0,001 se vejica prenese na levo za enako število števk, kot so ničle v množitelju.
Če si je sprva težko zapomniti, lahko uporabite prvo metodo, pri kateri se množenje izvaja kot pri navadnih številih. V odgovoru boste morali ločiti celoten del od ulomnega dela, pri čemer preštejte toliko števk z desne kot števk za decimalno vejico v obeh ulomkih.
Deljenje manjšega števila z večjim. Napredni nivo.
V eni od prejšnjih lekcij smo rekli, da ko manjše število deliš z večjim, dobiš ulomek, katerega števec je dividenda, imenovalec pa delilec.
Na primer, če želite eno jabolko deliti na dva, morate v števec napisati 1 (eno jabolko) in v imenovalec 2 (dva prijatelja). Kot rezultat dobimo ulomek. Tako bo vsak prijatelj dobil jabolko. Z drugimi besedami, vsak po pol jabolka. Ulomek je odgovor na problem. "Kako razdeliti eno jabolko na dva"
Izkazalo se je, da lahko ta problem rešite še naprej, če delite 1 z 2. Navsezadnje ulomna črtica v katerem koli ulomku pomeni deljenje, zato je ta delitev dovoljena v ulomku. Ampak kako? Navajeni smo, da je dividenda vedno večja od delitelja. In tukaj je, nasprotno, dividenda manjša od delitelja.
Vse bo postalo jasno, če se spomnimo, da ulomek pomeni deljenje, deljenje, deljenje. To pomeni, da je enoto mogoče razdeliti na toliko delov, kot želite, in ne samo na dva dela.
Ko manjše število delimo z večjim, dobimo decimalni ulomek, v katerem bo celo število 0 (nič). Delni del je lahko poljuben.
Torej, delimo 1 z 2. Rešimo ta primer z vogalom:
Enega ni mogoče preprosto razdeliti na dva. Če postavite vprašanje "Koliko dveh je v enem" , potem bo odgovor 0. Zato v količnik zapišemo 0 in postavimo vejico:
Zdaj, kot običajno, pomnožimo količnik z delilnikom, da izvlečemo ostanek:
Prišel je trenutek, ko je mogoče enoto razdeliti na dva dela. Če želite to narediti, dodajte še eno ničlo desno od nastale enote:
Dobili smo 10. 10 delimo z 2, dobimo 5. Pet zapišemo v ulomni del našega odgovora:
Zdaj izvlečemo še zadnji ostanek, da zaključimo izračun. Pomnožite 5 z 2, da dobite 10
Odgovor je bil 0,5. Torej je ulomek 0,5
Polovico jabolka lahko zapišemo tudi z decimalnim ulomkom 0,5. Če dodamo ti dve polovici (0,5 in 0,5), spet dobimo prvotno eno celo jabolko: 
To točko je mogoče razumeti tudi, če si predstavljate, kako je 1 cm razdeljen na dva dela. Če 1 centimeter razdelite na 2 dela, dobite 0,5 cm
Primer 2. Poiščite vrednost izraza 4:5
Koliko petic je v štirih? Sploh ne. V zasebno zapišemo 0 in postavimo vejico:
Pomnožimo 0 s 5, dobimo 0. Pod štiri zapiši nič. To ničlo takoj odštejemo od dividende:
Zdaj pa začnimo deliti (deliti) štiri na 5 delov. Če želite to narediti, desno od 4 dodajte nič in 40 delite s 5, dobimo 8. Osmico zapišite v količnik.
Zaključite primer tako, da pomnožite 8 s 5, da dobite 40:
Odgovor je bil 0,8. Torej je vrednost izraza 4:5 0,8
Primer 3. Poiščite vrednost izraza 5: 125
Koliko številk 125 je v petih? Sploh ne. V količnik zapišemo 0 in postavimo vejico:
Pomnožimo 0 s 5, dobimo 0. Pod petico napiši 0. Takoj odštejte 0 od petih
Zdaj pa začnimo deliti (deliti) pet na 125 delov. Če želite to narediti, desno od te petice zapišemo nič:
50 delite s 125. Koliko številk 125 je v 50? Sploh ne. Torej, v količnik spet zapišemo 0
Pomnožimo 0 s 125, dobimo 0. Zapiši to ničlo pod 50. Takoj odštej 0 od 50
Zdaj delimo število 50 na 125 delov. Če želite to narediti, desno od 50 napišemo še eno ničlo:
500 delimo s 125. Koliko številk 125 je v številu 500. V številu 500 so štiri števila 125. Štiri zapišemo v količnik:
Zaključite primer tako, da pomnožite 4 s 125, da dobite 500
Odgovor je bil 0,04. Torej je vrednost izraza 5:125 0,04
Delitev števil brez ostanka
Torej, v količnik za enico damo vejico, s čimer nakazujemo, da se je delitev celih delov končala in nadaljujemo z ulomnim delom:
Ostatku 4 dodajte nič
Zdaj delimo 40 s 5, dobimo 8. Osem zapišemo v količnik:
40-40 = 0. V ostanku sem dobil 0. To pomeni, da je delitev v celoti zaključena. Če delimo 9 s 5, dobimo decimalko 1,8:
9: 5 = 1,8
Primer 2... 84 delite s 5 brez preostanka
Najprej delite 84 s 5 kot običajno s preostankom:
Prejeto zasebno 16 in še 4 v preostalem. Sedaj ta ostanek delite s 5. V količnik vstavite vejico in preostanku 4 dodajte 0
Sedaj delimo 40 s 5, dobimo 8. Osmico zapišemo v količnik za decimalno vejico:
in zaključite primer tako, da preverite, ali je še ostanek:
Deljenje decimalke z rednim številom
Kot vemo, je decimalni ulomek sestavljen iz celega in ulomnega dela. Ko delite decimalni ulomek z navadnim številom, morate najprej:
- delite celoten del decimskega ulomka s tem številom;
- ko je celoten del razdeljen, morate v količnik takoj postaviti vejico in nadaljevati izračun kot pri navadni delitvi.
Na primer, delite 4,8 z 2
Zapišimo ta primer v kot:
Zdaj pa delimo cel del z 2. Štiri deljeno z dva je dva. Dve zapišemo v količnik in takoj postavimo vejico:
Sedaj pomnožimo količnik z delilnikom in preverimo, ali obstaja preostanek deljenja:
4−4 = 0. Preostanek je nič. Ničele še ne zapišemo, saj rešitev ni popolna. Nato nadaljujemo z izračunom, kot pri navadni delitvi. Vzemite 8 in ga delite z 2
8: 2 = 4. Štiriko zapišemo v količnik in ga takoj pomnožimo z delilnikom:
Odgovor je bil 2.4. Vrednost izraza 4,8:2 je 2,4
Primer 2. Poiščite vrednost izraza 8,43: 3
8 delimo s 3, dobimo 2. Takoj postavi vejico za dvema:
Sedaj pomnožimo količnik z delilnikom 2 × 3 = 6. Zapiši šest pod osmico in poišči preostanek:
24 delimo s 3, dobimo 8. Osem zapiši v količnik. Takoj ga pomnožite z delilnikom, da najdete preostanek deljenja:
24-24 = 0. Preostanek je nič. Ničele še ne zapišemo. Če delimo zadnje tri od dividende in delimo s 3, dobimo 1. Takoj pomnožimo 1 s 3, da dokončamo ta primer:
Odgovor je bil 2,81. Torej je vrednost izraza 8,43:3 2,81
Deljenje decimskega ulomka z decimalnim ulomkom
Če želite decimalni ulomek deliti z decimalnim ulomkom, morate premakniti vejico v desno v delilniku in v delilniku za enako število števk, kot je za decimalno vejico v delilniku, in nato deliti z navadnim številom .
Na primer, delite 5,95 z 1,7
Zapišimo ta izraz v kot
Zdaj v delilniku in v delilniku premaknite vejico v desno za enako število števk, kot je za vejico v delilniku. Za decimalno vejico je ena številka. Torej moramo vejico premakniti v desno za eno številko v delilniku in v delilniku. Prenesemo:
Ko se vejica premakne za eno številko v desno, se je decimalni ulomek 5,95 spremenil v ulomek 59,5. In decimalni ulomek 1,7 po premiku vejice v desno za eno številko se je spremenil v običajno število 17. In že vemo, kako deliti decimalni ulomek z običajnim številom. Nadaljnji izračun ni težak:
Za lažjo delitev je vejica zavita v desno. To je dovoljeno zaradi dejstva, da se pri množenju ali delitvi dividende in delitelja z istim številom količnik ne spremeni. Kaj to pomeni?
To je ena izmed zanimivih značilnosti delitve. Imenuje se lastnost količnika. Razmislite o izrazu 9: 3 = 3. Če se v tem izrazu delilec in delilec pomnožita ali delita z istim številom, se količnik 3 ne bo spremenil.
Pomnožimo dividendo in delilec z 2 in poglejmo, kaj se zgodi:
(9 × 2): (3 × 2) = 18: 6 = 3
Kot lahko vidite iz primera, se količnik ni spremenil.
Enako se zgodi, ko vejico nosimo v delilniku in v delilniku. V prejšnjem primeru, kjer smo 5,91 delili z 1,7, smo vejico v delilniku in delilniku premaknili za eno številko v desno. Po prenosu vejice je bil ulomek 5,91 pretvorjen v ulomek 59,1, ulomek 1,7 pa je bil pretvorjen v običajno število 17.
Pravzaprav se je ta proces množil z 10. Takole je izgledalo:
5,91 x 10 = 59,1
Zato je število števk za decimalno vejico v delilniku odvisno od tega, s čim se bosta pomnožila dividenda in delilec. Z drugimi besedami, število števk za decimalno vejico v delilniku bo določilo, koliko števk v delilniku in v delilniku bo vejica premaknjena v desno.
Deljenje decimalke z 10, 100, 1000
Delitev decimalke z 10, 100 ali 1000 se izvede na enak način kot. Na primer, delimo 2,1 z 10. Rešimo ta primer z vogalom:
Obstaja pa tudi druga pot. Je lažji. Bistvo te metode je, da se vejica v dividendi premakne v levo za toliko števk, kolikor je nič v delilniku.
Na ta način rešimo prejšnji primer. 2,1: 10. Pogledamo delilec. Zanima nas, koliko ničel vsebuje. Vidimo, da je ena ničla. Torej pri dividendi 2,1 morate vejico premakniti v levo za eno številko. Premaknite vejico v levo za eno številko in preverite, da ni več števk. V tem primeru pred številko dodajte še eno ničlo. Kot rezultat dobimo 0,21
Poskusimo deliti 2,1 s 100. V 100 sta dve ničli. Torej v dividendi 2,1 morate vejico premakniti v levo za dve števki:
2,1: 100 = 0,021
Poskusimo deliti 2,1 s 1000. V 1000 so tri ničle. Torej v dividendi 2,1 morate vejico premakniti v levo za tri števke:
2,1: 1000 = 0,0021
Deljenje decimalke z 0,1, 0,01 in 0,001
Deljenje decimskega ulomka z 0,1, 0,01 in 0,001 se izvede na enak način kot. V delilniku in v delilniku je treba vejico premakniti v desno za toliko števk, kolikor je za vejico v delilniku.
Na primer, delite 6,3 z 0,1. Najprej premaknimo vejice v delilniku in v delilniku v desno za enako število števk, kot je za vejico v delilniku. Za decimalno vejico je ena številka. Torej vejice v delilniku in v delilniku na desno prenesemo za eno številko.
Ko se vejica premakne za eno številko, se decimalni ulomek 6,3 spremeni v običajno število 63, decimalni ulomek 0,1 pa se po premikanju vejice na eno številko spremeni v eno. In deljenje 63 z 1 je zelo preprosto:
Torej je vrednost izraza 6,3: 0,1 enaka 63
Obstaja pa tudi drugi način. Je lažji. Bistvo te metode je, da se vejica v dividendi premakne v desno za toliko števk, kolikor je nič v delilniku.
Na ta način rešimo prejšnji primer. 6,3: 0,1. Pogledamo delilec. Zanima nas, koliko ničel vsebuje. Vidimo, da je ena ničla. To pomeni, da morate pri dividendi 6,3 premakniti vejico v desno za eno številko. Premaknite vejico na eno številko desno in dobite 63
Poskusimo deliti 6,3 z 0,01. Delitelj 0,01 ima dve ničli. To pomeni, da je treba pri dividendi 6,3 vejico premakniti v desno za dve števki. Toda v dividendi je samo ena številka za vejico. V tem primeru je treba na koncu dodati še eno ničlo. Kot rezultat dobimo 630
Poskusimo deliti 6,3 z 0,001. Delitelj 0,001 ima tri ničle. To pomeni, da morate pri dividendi 6,3 premakniti vejico v desno za tri števke:
6,3: 0,001 = 6300
Naloge za samopomoč
Vam je bila lekcija všeč?
Pridružite se naši novi skupini Vkontakte in začnite prejemati obvestila o novih lekcijah
V zadnji lekciji smo se naučili seštevati in odštevati decimalne ulomke (glej lekcijo »Seštevanje in odštevanje decimalnih ulomkov«). Hkrati smo cenili, kako lažje so izračuni v primerjavi z običajnimi »dvonivojskimi« ulomki.
Žal se ta učinek ne pojavi pri množenju in delitvi decimalnih ulomkov. V nekaterih primerih decimalni zapis števila celo oteži te operacije.
Najprej predstavimo novo definicijo. Z njim se bomo srečevali precej pogosto in ne samo v tej lekciji.
Pomemben del števila je vse med prvo in zadnjo številko, ki ni nič, vključno s konci. Govorimo samo o številkah, decimalna vejica se ne upošteva.
Številke, ki so vključene v pomemben del števila, se imenujejo pomembne števke. Lahko se ponovijo in so celo enake nič.
Upoštevajte na primer več decimalnih ulomkov in zapišite ustrezne pomembne dele:
- 91,25 → 9125 (pomembne števke: 9; 1; 2; 5);
- 0,008241 → 8241 (pomembne števke: 8; 2; 4; 1);
- 15,0075 → 150075 (pomembne števke: 1; 5; 0; 0; 7; 5);
- 0,0304 → 304 (pomembne števke: 3; 0; 4);
- 3000 → 3 (obstaja samo ena pomembna številka: 3).
Upoštevajte: ničle znotraj pomembnega dela števila ne gredo nikamor. S podobnim smo se že srečali, ko smo se naučili pretvarjati decimalne ulomke v navadne (glej lekcijo »Decimalni ulomki«).
Ta točka je tako pomembna, napake pa se tu delajo tako pogosto, da bom v bližnji prihodnosti objavil test na to temo. Bodite prepričani, da vadite! In mi, oboroženi s konceptom smiselnega dela, pravzaprav nadaljujemo s temo lekcije.
Decimalno množenje
Operacija množenja je sestavljena iz treh zaporednih korakov:
- Za vsak ulomek zapišite pomemben del. Rezultat bosta dve navadni celi števili - brez imenovalcev in decimalnih pik;
- Pomnožite te številke na kateri koli primeren način. Neposredno, če so številke majhne, ali v stolpcih. Dobimo pomemben del želenega ulomka;
- Ugotovite, kam in za koliko števk je decimalna vejica v prvotnih ulomkih premaknjena, da dobite ustrezen pomemben del. Izvedite povratne premike za pomemben del, pridobljen v prejšnjem koraku.
Naj vas še enkrat spomnim, da se ničle na straneh pomembnega dela nikoli ne štejejo. Neupoštevanje tega pravila vodi do napak.
- 0,28 12,5;
- 6,3 * 1,08;
- 132,5 * 0,0034;
- 0,0108 * 1600,5;
- 5,25 10.000.
Delamo s prvim izrazom: 0,28 12,5.
- Izpišimo pomembne dele za števila iz tega izraza: 28 in 125;
- Njihov produkt: 28 · 125 = 3500;
- V prvem faktorju se decimalna vejica premakne za 2 števki v desno (0,28 → 28), v drugem pa za še 1 številko. Skupno je potreben premik v levo za tri števke: 3500 → 3,500 = 3,5.
Zdaj pa se ukvarjamo z izrazom 6.3 · 1.08.
- Izpišimo pomembnejša dela: 63 in 108;
- Njihov produkt: 63 · 108 = 6804;
- Spet dva premika v desno: za 2 oziroma 1 števko. Skupno - spet 3 števke v desno, tako da bo povratni premik 3 števke v levo: 6804 → 6,804. Tokrat na koncu ni ničel.
Prišli smo do tretjega izraza: 132,5 · 0,0034.
- Pomembnejši deli: 1325 in 34;
- Njihov produkt: 1325 · 34 = 45.050;
- V prvem ulomku gre decimalna vejica v desno za 1 številko, v drugem pa za cele 4. Skupaj: 5 v desno. Premik 5 v levo: 45,050 →, 45050 = 0,4505. Na koncu smo odstranili ničlo in dodali spredaj, da ne bi pustili "gole" decimalne vejice.
Naslednji izraz je 0,0108 1600,5.
- Zapišemo pomembne dele: 108 in 16 005;
- Pomnožimo jih: 108 16 005 = 1 728 540;
- Število štejemo za decimalno vejico: v prvem številu je 4, v drugem - 1. Skupno - spet 5. Imamo: 1 728 540 → 17,28540 = 17,2854. Na koncu je bila odstranjena "dodatna" nič.
Končno še zadnji izraz: 5,25 · 10.000.
- Pomembni deli: 525 in 1;
- Pomnožimo jih: 525 · 1 = 525;
- Prvi ulomek se premakne za 2 števki v desno, drugi pa za 4 števke v levo (10.000 → 1.0000 = 1). Skupaj 4 - 2 = 2 števki levo. Izvedemo povratni premik za 2 števki v desno: 525, → 52.500 (dodati smo morali ničle).
Upoštevajte zadnji primer: ker se decimalna vejica premika v različnih smereh, je skupni premik skozi razliko. To je zelo pomembna točka! Tukaj je še en primer:
Poglejmo številki 1,5 in 12 500. Imamo: 1,5 → 15 (premik za 1 v desno); 12.500 → 125 (premik 2 v levo). "Koraknemo" 1 številko v desno, nato pa 2 v levo. Kot rezultat, smo stopili 2 - 1 = 1 bit v levo.
Delitev decimalnih ulomkov
Delitev je morda najtežja operacija. Seveda lahko tukaj delujete po analogiji z množenjem: razdelite pomembne dele in nato "premaknite" decimalno vejico. Toda v tem primeru obstaja veliko tankosti, ki izničijo potencialne prihranke.
Zato si oglejmo univerzalni algoritem, ki je nekoliko daljši, a veliko bolj zanesljiv:
- Pretvorite vse decimalne ulomke v običajne. Z malo vaje vam bo ta korak vzel nekaj sekund;
- Dobljene frakcije razdelite na klasičen način. Z drugimi besedami, pomnožite prvi ulomek z "obrnjenim" drugim (glejte lekcijo "Množenje in deljenje številskih ulomkov");
- Če je mogoče, rezultat ponovno predstavite kot decimalko. Ta korak je tudi hiter, saj je pogosto imenovalec že potencija desetice.
Naloga. Poiščite pomen izraza:
- 3,51: 3,9;
- 1,47: 2,1;
- 6,4: 25,6:
- 0,0425: 2,5;
- 0,25: 0,002.
Preštejemo prvi izraz. Najprej pretvorimo obi ulomke v decimalne:
Enako naredimo z drugim izrazom. Števec prvega ulomka je ponovno faktoriziran:
V tretjem in četrtem primeru je pomembna točka: ko se znebite decimskega zapisa, se pojavijo preklicni ulomki. Vendar tega zmanjšanja ne bomo izvajali.
Zadnji primer je zanimiv, ker števec drugega ulomka vsebuje praštevilo. Tukaj preprosto ni ničesar, kar bi lahko upoštevali, zato razmišljamo vnaprej:
Včasih se kot rezultat delitve dobi celo število (to sem jaz glede zadnjega primera). V tem primeru se tretji korak sploh ne izvede.
Poleg tega z delitvijo pogosto nastanejo "grde" ulomke, ki jih ni mogoče pretvoriti v decimalke. Po tem se deljenje razlikuje od množenja, kjer so rezultati vedno predstavljeni v decimalni obliki. Seveda se v tem primeru zadnji korak spet ne izvede.
Upoštevajte tudi 3. in 4. primer. V njih namenoma ne skrajšamo navadnih ulomkov, ki izhajajo iz decimalnih mest. V nasprotnem primeru bo zapletlo inverzno težavo – končni odgovor bo spet predstavljal v decimalni obliki.
Ne pozabite: osnovna lastnost ulomka (kot vsako drugo pravilo v matematiki) sama po sebi ne pomeni, da ga je treba uporabljati povsod in vedno, ob vsaki priložnosti.