Ta članek je posvečen takšnemu vprašanju, kot je iskanje največjega skupnega delitelja. Najprej bomo razložili, kaj je, in navedli nekaj primerov, predstavili definicije največjega skupnega delitelja 2, 3 ali več števil, nato pa se bomo podrobneje posvetili splošnim lastnostim tega pojma in jih dokazali.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Kaj so skupni delitelji
Da bi razumeli, kaj je največji skupni delilec, najprej formuliramo, kaj je skupni delitelj za cela števila.
V članku o večkratnikih in delilnikih smo rekli, da ima celo število vedno več deliteljev. Tu nas zanimajo delitelji določenega števila celih števil naenkrat, še posebej skupni (identični) za vse. Zapišimo glavno definicijo.
Opredelitev 1
Skupni delilec več celih števil bo število, ki je lahko delitelj vsakega števila iz podanega niza.
Primer 1
Tu so primeri takega delitelja: trojka bo skupni delilec za števili - 12 in 9, saj sta enakosti 9 = 3 · 3 in − 12 = 3 · (− 4) resnični. Števila 3 in -12 imata druge skupne delilce, kot so 1, -1 in -3. Vzemimo še en primer. Štiri cela števila 3 , − 11 , − 8 in 19 bodo imela dva skupna delitelja: 1 in - 1 .
Če poznamo lastnosti deljivosti, lahko rečemo, da lahko vsako celo število delimo z ena in minus ena, kar pomeni, da bo vsaka množica celih števil že imela vsaj dva skupna delitelja.
Upoštevajte tudi, da če imamo skupni delilec za več številk b, potem lahko ista števila delimo z nasprotnim številom, to je z - b. Načeloma lahko vzamemo samo pozitivne delilnike, potem bodo tudi vsi skupni delitelji večji od 0. Ta pristop je mogoče uporabiti tudi, vendar negativnih številk ne smemo popolnoma prezreti.
Kaj je največji skupni delitelj (gcd)
Glede na lastnosti deljivosti, če je b delilec celega števila a, ki ni enako 0, potem modul b ne more biti večji od modula a, zato ima vsako število, ki ni enako 0, končno število delilcev . To pomeni, da bo končno tudi število skupnih deliteljev več celih števil, od katerih se vsaj eno razlikuje od nič, iz njihove celotne množice pa lahko vedno izberemo največje število (o pojmu največjega in najmanjša cela števila, svetujemo, da dano snov ponovite).
V nadaljnjem razmišljanju bomo domnevali, da bo vsaj eno od množice števil, za katere morate najti največji skupni delilec, različno od 0. Če so vsi enaki 0 , potem je njihov delilec lahko poljubno celo število, in ker jih je neskončno veliko, ne moremo izbrati največjega. Z drugimi besedami, nemogoče je najti največjega skupnega delitelja za množico števil, ki je enaka 0.
Prehajamo na formulacijo glavne definicije.
Opredelitev 2
Največji skupni delilec večih števil je največje celo število, ki deli vsa ta števila.
V pisni obliki je največji skupni delilec najpogosteje označen z okrajšavo GCD. Za dve številki se lahko zapiše kot gcd (a, b) .
Primer 2
Kaj je primer GCD za dve celi števili? Na primer, za 6 in - 15 bi bilo 3 . Utemeljimo to. Najprej zapišemo vse delilnike šestih: ± 6, ± 3, ± 1, nato pa vse delilce petnajstih: ± 15, ± 5, ± 3 in ± 1. Nato izberemo skupne: to so − 3 , − 1 , 1 in 3 . Od tega morate izbrati največje število. To bo 3.
Za tri ali več številk bo definicija največjega skupnega delitelja precej enaka.
Opredelitev 3
Največji skupni delilec treh ali več števil je največje celo število, ki deli vsa ta števila hkrati.
Za števila a 1 , a 2 , …, a n je delilec prikladno označen kot GCD (a 1 , a 2 , … , a n). Sama vrednost delitelja je zapisana kot GCD (a 1 , a 2 , …, a n) = b .
Primer 3
Tukaj so primeri največjega skupnega delitelja več celih števil: 12 , - 8 , 52 , 16 . Enako bo štiri, kar pomeni, da lahko zapišemo, da je gcd (12, - 8, 52, 16) = 4.
Pravilnost te trditve lahko preverite tako, da zapišete vse delilce teh števil in nato izberete največje od njih.
V praksi se pogosto pojavljajo primeri, ko je največji skupni delilec enak enemu od števil. To se zgodi, ko lahko vsa ostala števila delimo z danim številom (v prvem odstavku članka smo podali dokaz te trditve).
Primer 4
Torej je največji skupni delilec številk 60, 15 in - 45 15, saj je petnajst deljivo ne samo s 60 in - 45, temveč tudi s samim seboj in za vsa ta števila ni večjega delitelja.
Kopraprosta števila so poseben primer. So cela števila z največjim skupnim deliteljem 1.
Glavne lastnosti GCD in Evklidovega algoritma
Največji skupni delilec ima nekaj značilnih lastnosti. Formuliramo jih v obliki izrekov in vsakega od njih dokažemo.
Upoštevajte, da so te lastnosti formulirane za cela števila, večja od nič, in upoštevamo samo pozitivne delilnike.
Opredelitev 4
Števila a in b imata največji skupni delilec, enak gcd za b in a , to je gcd (a, b) = gcd (b, a) . Sprememba mest številk ne vpliva na končni rezultat.
Ta lastnost izhaja iz same definicije GCD in ne potrebuje dokazov.
Definicija 5
Če je mogoče število a deliti s številom b, bo množica skupnih deliteljev teh dveh številk podobna množici deliteljev števila b, to je gcd (a, b) = b.
Dokažimo to trditev.
Dokaz 1
Če imata številki a in b skupna delitelja, potem lahko vsako od njiju delimo z njimi. Hkrati, če je a večkratnik b, bo vsak delilec b tudi delilec a, saj ima deljivost takšno lastnost, kot je tranzitivnost. Zato bo vsak delilec b skupen za števila a in b. To dokazuje, da če lahko a delimo z b, potem množica vseh deliteljev obeh števil sovpada z množico deliteljev enega števila b. In ker je največji delilec katerega koli števila samo število, bo tudi največji skupni delilec števil a in b enak b, tj. gcd(a, b) = b. Če je a = b , potem gcd (a, b) = gcd (a, a) = gcd (b, b) = a = b, npr. gcd (132, 132) = 132.
S to lastnostjo lahko najdemo največji skupni delilec dveh števil, če lahko eno od njiju delimo z drugim. Tak delilec je enak enemu od teh dveh števil, s katerima je mogoče deliti drugo število. Na primer, gcd (8, 24) = 8, ker je 24 večkratnik osmih.
Definicija 6 Dokaz 2
Poskusimo dokazati to lastnost. Na začetku imamo enakost a = b q + c , vsak skupni delilec a in b pa bo delil tudi c , kar je razloženo z ustrezno lastnostjo deljivosti. Zato bo vsak skupni delilec b in c delil a . To pomeni, da bo množica skupnih deliteljev a in b sovpadala z množico deliteljev b in c, vključno z največjim od njih, kar pomeni, da velja enakost gcd (a, b) = gcd (b, c).
Opredelitev 7
Naslednja lastnost se imenuje Evklidov algoritem. Z njim lahko izračunate največji skupni delitelj dveh števil in dokažete druge lastnosti GCD.
Preden formulirate lastnost, vam svetujemo, da ponovite izrek, ki smo ga dokazali v članku o deljenju z ostankom. Po njem lahko deljivo število a predstavimo kot b q + r, pri čemer je b delilec, q je neko celo število (imenovano tudi nepopoln količnik) in r je ostanek, ki izpolnjuje pogoj 0 ≤ r ≤ b.
Recimo, da imamo dve celi števili, večji od 0, za katera bodo veljale naslednje enakosti:
a = b q 1 + r 1 , 0< r 1 < b b = r 1 · q 2 + r 2 , 0 < r 2 < r 1 r 1 = r 2 · q 3 + r 3 , 0 < r 3 < r 2 r 2 = r 3 · q 4 + r 4 , 0 < r 4 < r 3 ⋮ r k - 2 = r k - 1 · q k + r k , 0 < r k < r k - 1 r k - 1 = r k · q k + 1
Te enakosti se končajo, ko r k + 1 postane enako 0. To se bo zagotovo zgodilo, saj je zaporedje b > r 1 > r 2 > r 3 , … niz padajočih celih števil, ki lahko vključujejo le končno število. Zato je r k največji skupni delilec a in b , to je r k = gcd (a , b) .
Najprej moramo dokazati, da je r k skupni delilec števil a in b, nato pa da r k ni le delitelj, ampak največji skupni delilec dveh danih števil.
Poglejmo zgornji seznam enakosti od spodaj navzgor. Glede na zadnjo enakost,
r k − 1 lahko delimo z r k . Na podlagi tega dejstva, pa tudi prejšnje dokazane lastnosti največjega skupnega delitelja, lahko trdimo, da je r k − 2 mogoče deliti z r k , saj
r k − 1 je deljivo z r k in r k je deljivo z r k .
Tretja enakost od spodaj nam omogoča sklepanje, da je r k − 3 mogoče deliti z r k itd. Drugo od spodaj je, da je b deljivo z r k, in prvo, da je a deljivo z r k. Iz vsega tega sklepamo, da je r k skupni delilec a in b.
Zdaj dokažimo, da je r k = gcd (a, b) . Kaj moram storiti? Pokažite, da bo vsak skupni delilec a in b delil r k . Označimo ga z r 0 .
Poglejmo isti seznam enakosti, vendar od zgoraj navzdol. Na podlagi prejšnje lastnosti lahko sklepamo, da je r 1 deljivo z r 0 , kar pomeni, da je po drugi enakosti r 2 deljivo z r 0 . Gremo navzdol skozi vse enakosti in iz zadnje sklepamo, da je r k deljivo z r 0 . Zato je r k = gcd (a, b) .
Ob upoštevanju te lastnosti sklepamo, da je množica skupnih deliteljev a in b podobna množici deliteljev gcd teh števil. Ta izjava, ki je posledica Evklidovega algoritma, nam bo omogočila izračun vseh skupnih delilnikov dveh danih števil.
Pojdimo na druge lastnosti.
Opredelitev 8
Če sta a in b celi števili, ki nista enaki 0, potem morata obstajati še dve celi števili u 0 in v 0, za katera bo veljala enakost gcd (a , b) = a · u 0 + b · v 0.
Enakost, podana v izjavi lastnosti, je linearna predstavitev največjega skupnega delitelja a in b. Imenuje se Bezoutovo razmerje, številki u 0 in v 0 pa se imenujeta Bezoutova koeficienta.
Dokaz 3
Dokažimo to lastnost. Zapišemo zaporedje enakosti po Evklidovem algoritmu:
a = b q 1 + r 1 , 0< r 1 < b b = r 1 · q 2 + r 2 , 0 < r 2 < r 1 r 1 = r 2 · q 3 + r 3 , 0 < r 3 < r 2 r 2 = r 3 · q 4 + r 4 , 0 < r 4 < r 3 ⋮ r k - 2 = r k - 1 · q k + r k , 0 < r k < r k - 1 r k - 1 = r k · q k + 1
Prva enakost nam pove, da je r 1 = a − b · q 1 . Označimo 1 = s 1 in − q 1 = t 1 in to enakost prepišemo kot r 1 = s 1 · a + t 1 · b . Tukaj bosta številki s 1 in t 1 celi števili. Druga enakost nam omogoča, da zaključimo, da je r 2 = b − r 1 q 2 = b − (s 1 a + t 1 b) q 2 = − s 1 q 2 a + (1 − t 1 q 2) b . Označimo − s 1 q 2 = s 2 in 1 − t 1 q 2 = t 2 in prepišemo enakost kot r 2 = s 2 a + t 2 b , kjer bosta tudi s 2 in t 2 celi števili. To je zato, ker so vsota celih števil, njihov produkt in razlika tudi cela števila. Na popolnoma enak način dobimo iz tretje enakosti r 3 = s 3 · a + t 3 · b , iz naslednjega r 4 = s 4 · a + t 4 · b itd. Na koncu sklepamo, da je r k = s k a + t k b za celi števili s k in t k . Ker je r k = GCD (a, b) označujemo s k = u 0 in t k = v 0. Kot rezultat, lahko dobimo linearno predstavitev GCD v zahtevani obliki: GCD (a, b) \u003d a u 0 + b v 0.
Opredelitev 9
gcd (m a, m b) = m gcd (a, b) za katero koli naravno vrednost m.
Dokaz 4
To lastnost je mogoče utemeljiti na naslednji način. Pomnožimo s številom m obeh strani vsake enakosti v Evklidovem algoritmu in dobimo, da je gcd (m a , m b) = m r k in je r k gcd (a , b) . Zato je gcd (m a, m b) = m gcd (a, b) . Prav ta lastnost največjega skupnega delitelja se uporablja pri iskanju GCD z metodo faktorizacije.
Opredelitev 10
Če imata številki a in b skupni delilec p, potem je gcd (a: p, b: p) = gcd (a, b): p. V primeru, ko je p = gcd (a , b) dobimo gcd (a: gcd (a , b) , b: gcd (a , b) = 1, torej številki a: gcd (a , b) in b : gcd (a , b) so sopraprosti.
Ker je a = p (a: p) in b = p (b: p) , potem lahko na podlagi prejšnje lastnosti ustvarimo enakosti v obliki gcd (a , b) = gcd (p (a: p) , p · (b: p)) = p · GCD (a: p , b: p) , med katerimi bo dokaz te lastnosti. To izjavo uporabljamo, ko reduciramo navadne ulomke v nezvodljivo obliko.
Opredelitev 11
Največji skupni delilec a 1 , a 2 , …, a k bo število d k , ki ga lahko najdemo z zaporednim izračunom gcd (a 1 , a 2) = d 2 , gcd (d 2 , a 3) = d 3 , gcd (d 3 , a 4) = d 4 , … , GCD (d k - 1 , a k) = d k .
Ta lastnost je uporabna za iskanje največjega skupnega delitelja treh ali več števil. Z njim lahko to dejanje zmanjšate na operacije z dvema številkama. Njegova osnova je posledica Evklidovega algoritma: če množica skupnih deliteljev a 1 , a 2 in a 3 sovpada z množico d 2 in a 3 , potem sovpada tudi z delitelji d 3 . Delitelji števil a 1 , a 2 , a 3 in a 4 se bodo ujemali z delitelji d 3 , kar pomeni, da se bodo ujemali tudi z delitelji d 4 itd. Na koncu dobimo, da bodo skupni delitelji števil a 1 , a 2 , …, a k sovpadali z delitelji d k , in ker bo število samo največji delilec števila d k , potem je gcd (a 1 , a 2 , … , a k) = d k .
To je vse, o čemer bi radi govorili o lastnostih največjega skupnega delitelja.
Če opazite napako v besedilu, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter
Znaki deljivosti naravnih števil.
Številke, deljive z 2 brez ostanka, se imenujejocelo .
Številke, ki niso enakomerno deljive z 2, se imenujejoČuden .
Znak deljivosti z 2
Če se zapis naravnega števila konča s sodo številko, potem je to število deljivo z 2 brez ostanka, in če se zapis števila konča s liho številko, potem to število ni deljivo z 2 brez ostanka.
Na primer številke 60 , 30 8 , 8 4 so brez ostanka deljiva z 2, števila pa 51 , 8 5 , 16 7 niso deljivi z 2 brez ostanka.
Znak deljivosti s 3
Če je vsota števk števila deljiva s 3, je število deljivo tudi s 3; Če vsota števk števila ni deljiva s 3, potem število ni deljivo s 3.
Na primer, ugotovimo, ali je število 2772825 deljivo s 3. Če želite to narediti, izračunamo vsoto števk tega števila: 2+7+7+2+8+2+5 = 33 - je deljivo s 3 Torej, število 2772825 je deljivo s 3.
Znak deljivosti s 5
Če se zapis naravnega števila konča z 0 ali 5, potem je to število brez ostanka deljivo s 5. Če se zapis števila konča z drugo številko, potem števila ni mogoče deliti s 5 brez ostanka.
Na primer številke 15 , 3 0 , 176 5 , 47530 0 so brez ostanka deljiva s 5, števila pa 17 , 37 8 , 9 1 ne delite.
Znak deljivosti z 9
Če je vsota števk števila deljiva z 9, je število deljivo tudi z 9; Če vsota števk števila ni deljiva z 9, potem število ni deljivo z 9.
Na primer, ugotovimo, ali je število 5402070 deljivo z 9. Če želite to narediti, izračunamo vsoto števk tega števila: 5+4+0+2+0+7+0 = 16 - ni deljivo z 9. To pomeni, da število 5402070 ni deljivo z 9.
Znak deljivosti z 10
Če se zapis naravnega števila konča s številko 0, je to število deljivo brez ostanka z 10. Če se zapis naravnega števila konča z drugo številko, potem ni deljivo z 10 brez ostanka.
Na primer številke 40 , 17 0 , 1409 0 so brez ostanka deljiva z 10, števila pa 17 , 9 3 , 1430 7 - ne delite.
Pravilo za iskanje največjega skupnega delitelja (gcd).
Če želite najti največji skupni delitelj več naravnih števil, morate:
2) iz faktorjev, vključenih v razširitev enega od teh številk, prečrtajte tiste, ki niso vključeni v razširitev drugih številk;
3) poiščite produkt preostalih faktorjev.
Primer. Poiščimo GCD (48;36). Uporabimo pravilo.
1. Števili 48 in 36 razstavimo na prafaktorje.
48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3
36 = 2 · 2 · 3 · 3
2. Iz faktorjev, vključenih v razširitev števila 48, izbrišemo tiste, ki niso vključeni v razširitev števila 36.
48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3
Obstajajo faktorji 2, 2 in 3.
3. Pomnožite preostale faktorje in dobite 12. To število je največji skupni delilec števil 48 in 36.
GCD (48; 36) = 2· 2 · 3 = 12.
Pravilo za iskanje najmanjšega skupnega večkratnika (LCM).
Če želite najti najmanjši skupni večkratnik več naravnih števil, morate:
1) jih razstavimo na prafaktorje;
2) napišite faktorje, ki so vključeni v razširitev ene od številk;
3) prištej jim manjkajoče faktorje iz razširitev preostalih številk;
4) poiščite produkt nastalih faktorjev.
Primer. Najdimo LCM (75;60). Uporabimo pravilo.
1. Števili 75 in 60 razstavimo na pra faktorje.
75 = 3 · 5 · 5
60 = 2 · 2 · 3 · 3
2. Zapiši faktorje, ki so vključeni v razširitev števila 75: 3, 5, 5.
NOC (75; 60) = 3 · 5 · 5 · …
3. Dodajte jim manjkajoče faktorje iz razgradnje števila 60, t.j. 2, 2.
NOC (75; 60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2
4. Poišči zmnožek nastalih faktorjev
NOC (75; 60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2 = 300.
Največji skupni delilec in najmanjši skupni večkratnik sta ključna aritmetična koncepta, ki vam omogočata enostavno delovanje z navadnimi ulomki. LCM in se najpogosteje uporabljajo za iskanje skupnega imenovalca več ulomkov.
Osnovni koncepti
Delitelj celega števila X je drugo celo število Y, s katerim je X deljiv brez ostanka. Na primer, delilec 4 je 2, 36 pa 4, 6, 9. Večkratnik celega števila X je število Y, ki je deljivo z X brez ostanka. Na primer, 3 je večkratnik 15, 6 pa je večkratnik 12.
Za kateri koli par števil lahko najdemo njihove skupne delilce in večkratnike. Na primer, za 6 in 9 je skupni mnogokratnik 18, skupni delilec pa 3. Očitno imajo pari lahko več deliteljev in večkratnikov, zato se pri izračunih uporabljata največji delilec GCD in najmanjši večkratnik LCM. .
Najmanjši delilec nima smisla, saj je za katero koli število vedno ena. Največji večkratnik je tudi nesmiseln, saj se zaporedje večkratnikov nagiba k neskončnosti.
Iskanje GCD
Obstaja veliko metod za iskanje največjega skupnega delitelja, med katerimi so najbolj znane:
- zaporedno štetje deliteljev, izbira skupnih za par in iskanje največjega od njih;
- razgradnja števil na nedeljive faktorje;
- Evklidov algoritem;
- binarni algoritem.
Danes so v izobraževalnih ustanovah najbolj priljubljene metode razgradnje na prafaktorje in Evklidov algoritem. Slednji se po drugi strani uporablja pri reševanju Diofantovih enačb: iskanje GCD je potrebno za preverjanje enačbe glede možnosti njene razrešitve v celih številih.
Iskanje NOC
Najmanjši skupni večkratnik je prav tako natančno določen z iterativnim naštevanjem ali faktorizacijo na nedeljive faktorje. Poleg tega je LCM enostavno najti, če je največji delilec že določen. Za števila X in Y sta LCM in GCD povezana z naslednjim razmerjem:
LCM(X,Y) = X × Y / GCM(X,Y).
Na primer, če je gcd(15,18) = 3, potem je LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. Najbolj očitna uporaba LCM je najti skupni imenovalec, ki je najmanjši skupni večkratnik dane ulomke.
Kopraprosta števila
Če par številk nima skupnih deliteljev, se tak par imenuje kopraprost. GCM za takšne pare je vedno enak eni, na podlagi povezave deliteljev in večkratnikov pa je GCM za sopraproste enak njihovemu produktu. Na primer, številki 25 in 28 sta sopraprosti, ker nimata skupnih deliteljev, in LCM(25, 28) = 700, kar ustreza njunemu produktu. Kateri koli dve nedeljivi številki bosta vedno sopraprosti.
Skupni delilec in večkratni kalkulator
Z našim kalkulatorjem lahko izračunate GCD in LCM za poljubno število številk, med katerimi lahko izbirate. Naloge za računanje skupnih deliteljev in večkratnikov najdemo v aritmetiki 5. in 6. razreda, vendar sta GCD in LCM ključna pojma matematike in se uporabljata v teoriji števil, planimetriji in komunikacijski algebri.
Primeri iz resničnega življenja
Skupni imenovalec ulomkov
Najmanjši skupni večkratnik se uporablja pri iskanju skupnega imenovalca več ulomkov. Recimo, da je v aritmetični nalogi potrebno sešteti 5 ulomkov:
1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.
Za seštevanje ulomkov je treba izraz zmanjšati na skupni imenovalec, kar se zmanjša na problem iskanja LCM. Če želite to narediti, v kalkulatorju izberite 5 številk in v ustrezne celice vnesite vrednosti imenovalca. Program bo izračunal LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Zdaj morate za vsak ulomek izračunati dodatne faktorje, ki so opredeljeni kot razmerje LCM in imenovalec. Torej bi dodatni množitelji izgledali takole:
- 360/8 = 45
- 360/9 = 40
- 360/12 = 30
- 360/15 = 24
- 360/18 = 20.
Po tem pomnožimo vse ulomke z ustreznim dodatnim faktorjem in dobimo:
45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.
Takšne ulomke lahko enostavno dodamo in dobimo rezultat v obliki 159/360. Zmanjšamo ulomek za 3 in vidimo končni odgovor - 53/120.
Rešitev linearnih diofantovskih enačb
Linearne diofantske enačbe so izrazi v obliki ax + by = d. Če je razmerje d / gcd(a, b) celo število, je enačba rešljiva v celih številih. Preverimo nekaj enačb za možnost celoštevilske rešitve. Najprej preverimo enačbo 150x + 8y = 37. S kalkulatorjem najdemo gcd (150,8) = 2. Delimo 37/2 = 18,5. Število ni celo število, zato enačba nima celih korenov.
Preverimo enačbo 1320x + 1760y = 10120. S kalkulatorjem poiščite gcd(1320, 1760) = 440. Razdelite 10120/440 = 23. Kot rezultat dobimo celo število, zato je Diofantov koeficient v .
Zaključek
GCD in LCM igrata pomembno vlogo v teoriji števil, sama koncepta pa se pogosto uporabljata na različnih področjih matematike. Uporabite naš kalkulator za izračun največjih deliteljev in najmanjših večkratnikov poljubnega števila števil.
Imenuje se največje naravno število, s katerim sta števili a in b deljivi brez ostanka največji skupni delilec te številke. Označimo GCD(a, b).
Razmislite o iskanju GCD na primeru dveh naravnih števil 18 in 60:
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5
18 = 2×3×3
60 = 2×2×3×5
324 , 111 in 432
Razstavimo števila na prafaktorje:
324 = 2×2×3×3×3×3
111 = 3×37
432 = 2×2×2×2×3×3×3
Če izbrišemo prvo številko, katere faktorji niso v drugi in tretji številki, dobimo:
2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 3
Kot rezultat GCD( 324 , 111 , 432 )=3
Iskanje GCD z Euclidovim algoritmom
Drugi način za iskanje največjega skupnega delitelja z uporabo Evklidov algoritem. Evklidov algoritem je najučinkovitejši način za iskanje GCD, z njegovo uporabo morate nenehno poiskati preostanek delitve številk in uporabiti ponavljajoča se formula.
Ponavljajoča se formula za GCD, gcd(a, b)=gcd(b, a mod b), kjer je mod b preostanek deljenja a z b.
Evklidov algoritem
Primer Poiščite največji skupni delilec števil 7920 in 594
Poiščimo GCD ( 7920 , 594 ) z uporabo Euclidovega algoritma bomo preostanek deljenja izračunali s kalkulatorjem.
- 7920 mod 594 = 7920 - 13 × 594 = 198
- 594 mod 198 = 594 - 3 × 198 = 0
Kot rezultat dobimo GCD ( 7920 , 594 ) = 198
Najmanj pogosti večkratnik
Če želite najti skupni imenovalec pri seštevanju in odštevanju ulomkov z različnimi imenovalci, morate znati in znati izračunati najmanjši skupni večkratnik(NOC).
Večkratnik števila "a" je število, ki je samo deljivo s številom "a" brez ostanka.
Številke, ki so večkratniki 8 (to pomeni, da bodo ta števila brez ostanka deljena z 8): to so števila 16, 24, 32 ...
Večkratniki 9: 18, 27, 36, 45…
Obstaja neskončno veliko večkratnikov danega števila a, v nasprotju z delitelji istega števila. Delitelji - končno število.
Skupni večkratnik dveh naravnih števil je število, ki je enako deljivo z obema številoma..
Najmanj pogosti večkratnik(LCM) dveh ali več naravnih števil je najmanjše naravno število, ki je samo deljivo z vsakim od teh števil.
Kako najti NOC
LCM lahko najdemo in zapišemo na dva načina.
Prvi način za iskanje LCM
Ta metoda se običajno uporablja za majhne številke.
- Za vsako od številk v vrstici zapišemo večkratnike, dokler ne najdemo večkratnika, ki je enak za obe številki.
- Večkratnik števila "a" je označen z veliko črko "K".
Primer. Poiščite LCM 6 in 8.
Drugi način za iskanje LCM
Ta metoda je priročna za iskanje LCM za tri ali več številk.
Število enakih faktorjev v razširitvah števil je lahko različno.
LCM (24, 60) = 2 2 3 5 2
Odgovor: LCM (24, 60) = 120
Iskanje najmanjšega skupnega večkratnika (LCM) lahko formalizirate tudi na naslednji način. Poiščimo LCM (12, 16, 24) .
24 = 2 2 2 3
Kot lahko vidimo iz raztezanja številk, so vsi faktorji 12 vključeni v razširitev 24 (največje od številk), zato v LCM dodamo samo eno 2 iz razširitve števila 16.
LCM (12, 16, 24) = 2 2 2 3 2 = 48
Odgovor: LCM (12, 16, 24) = 48
Posebni primeri iskanja NOC
Na primer, LCM(60, 15) = 60
Ker sopraprosta števila nimajo skupnih prostih deliteljev, je njihov najmanjši skupni večkratnik enak zmnožku teh števil.
Na našem spletnem mestu lahko s posebnim kalkulatorjem na spletu poiščete najmanj skupni večkratnik in preverite svoje izračune.
Če je naravno število deljivo samo z 1 in samo s seboj, se imenuje pra.
Vsako naravno število je vedno deljivo z 1 in samo s seboj.
Število 2 je najmanjše praštevilo. To je edino sodo praštevilo, ostala praštevila so liha.
Obstaja veliko praštevil in prvo med njimi je število 2. Vendar zadnjega praštevila ni. V razdelku »Za študij« lahko prenesete tabelo praštevil do 997.
Toda mnoga naravna števila so enakomerno deljiva z drugimi naravnimi števili.
- število 12 je deljivo z 1, z 2, s 3, s 4, s 6, z 12;
- 36 je deljivo z 1, z 2, s 3, s 4, s 6, z 12, z 18, s 36.
- razgraditi delilce števil na prafaktorje;
Števila, s katerimi je število enakomerno deljivo (za 12 so to 1, 2, 3, 4, 6 in 12), imenujemo delitelji števila.
Delitelj naravnega števila a je takšno naravno število, ki dano število "a" deli brez ostanka.
Naravno število, ki ima več kot dva faktorja, se imenuje sestavljeno število.
Upoštevajte, da imata številki 12 in 36 skupne delilnike. To so številke: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Največji delilec teh številk je 12.
Skupni delilec dveh danih števil "a" in "b" je število, s katerim sta obe dani števili "a" in "b" deljeni brez ostanka.
Največji skupni delilec(GCD) dveh danih števil "a" in "b" je največje število, s katerim sta obe števili "a" in "b" deljivi brez ostanka.
Na kratko, največji skupni delilec števil "a" in "b" je zapisan takole:
Primer: gcd (12; 36) = 12 .
Delitelji števil v zapisu rešitve so označeni z veliko črko "D".
Števili 7 in 9 imata samo en skupni delilec - število 1. Takšne številke se imenujejo sopraprosta števila.
Kopraprosta števila so naravna števila, ki imajo samo en skupni delilec - število 1. Njihov GCD je 1.
Kako najti največji skupni delitelj
Za iskanje gcd dveh ali več naravnih števil potrebujete:
Izračuni so priročno zapisani z navpično črto. Levo od vrstice najprej zapišite dividendo, desno - delilec. Nadalje v levem stolpcu zapišemo vrednosti zasebnega.
Takoj razložimo s primerom. Razložimo številki 28 in 64 v prafaktorje.
- Podčrtaj enake prafaktorje v obeh številkah.
28 = 2 2 7
64 = 2 2 2 2 2 2
Poiščemo zmnožek enakih prafaktorjev in zapišemo odgovor;
GCD (28; 64) = 2 2 = 4
Odgovor: GCD (28; 64) = 4
Lokacijo GCD lahko uredite na dva načina: v stolpcu (kot je bilo storjeno zgoraj) ali "v vrstici".
Prvi način pisanja GCD
Poiščite GCD 48 in 36.
GCD (48; 36) = 2 2 3 = 12
Drugi način pisanja GCD
Zdaj zapišimo rešitev iskanja GCD v vrstico. Poiščite GCD 10 in 15.
Na našem informacijskem spletnem mestu lahko najdete tudi največji skupni delitelj na spletu s pomočjo programa za pomoč, da preverite svoje izračune.
Iskanje najmanjšega skupnega večkratnika, metode, primeri iskanja LCM.
Spodaj predstavljeno gradivo je logično nadaljevanje teorije iz članka pod naslovom LCM - Najmanj pogosti večkratnik, definicija, primeri, razmerje med LCM in GCD. Tukaj bomo govorili o iskanje najmanjšega skupnega večkratnika (LCM), posebno pozornost pa posvetite reševanju primerov. Najprej pokažimo, kako se izračuna LCM dveh števil glede na GCD teh števil. Nato razmislite o iskanju najmanjšega skupnega večkratnika s faktorjenjem števil v prafaktorje. Po tem se bomo osredotočili na iskanje LCM treh ali več številk, pozorni pa bomo tudi na izračun LCM negativnih števil.
Navigacija po straneh.
Izračun najmanjšega skupnega večkratnika (LCM) prek gcd
Eden od načinov za iskanje najmanjšega skupnega večkratnika temelji na razmerju med LCM in GCD. Obstoječa relacija med LCM in GCD vam omogoča, da izračunate najmanjši skupni večkratnik dveh pozitivnih celih števil prek znanega največjega skupnega delitelja. Ustrezna formula ima obliko LCM(a, b)=a b: GCM(a, b). Razmislite o primerih iskanja LCM v skladu z zgornjo formulo.
Poiščite najmanjši skupni mnogokratnik dveh števil 126 in 70.
V tem primeru a=126, b=70. Uporabimo povezavo LCM z GCD, ki je izražena s formulo LCM(a, b)=a b: GCM(a, b) . To pomeni, da moramo najprej najti največji skupni delilec števil 70 in 126, nato pa lahko izračunamo LCM teh števil po napisani formuli.
Poiščite gcd(126, 70) z uporabo Evklidovega algoritma: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , torej gcd(126, 70)=14 .
Zdaj najdemo zahtevani najmanjši skupni večkratnik: LCM(126, 70)=126 70:GCD(126, 70)= 126 70:14=630 .
Kaj je LCM(68, 34)?
Ker je 68 enakomerno deljivo s 34, potem je gcd(68, 34)=34. Zdaj izračunamo najmanjši skupni večkratnik: LCM(68, 34)=68 34:GCD(68, 34)= 68 34:34=68 .
Upoštevajte, da prejšnji primer ustreza naslednjemu pravilu za iskanje LCM za pozitivna cela števila a in b: če je število a deljivo z b , potem je najmanjši skupni večkratnik teh števil a .
Iskanje LCM s faktorjenjem števil v prafaktorje
Drug način za iskanje najmanjšega skupnega večkratnika temelji na faktorjenju števil v prafaktorje. Če naredimo zmnožek vseh prafaktorjev teh števil, potem pa iz tega produkta izločimo vse skupne prafaktorje, ki so prisotni v razširitvah teh števil, potem bo dobljeni produkt enak najmanjšemu skupnemu večkratniku teh števil.
Napovedano pravilo za iskanje LCM izhaja iz enakosti LCM(a, b)=a b: GCD(a, b) . Dejansko je produkt številk a in b enak zmnožku vseh faktorjev, ki so vključeni v razširitve števil a in b. Po drugi strani je gcd(a, b) enak zmnožku vseh prafaktorjev, ki so hkrati prisotni v razširitvah števil a in b (kar je opisano v razdelku o iskanju gcd z razgradnjo števil na prafaktorje ).
Vzemimo primer. Naj vemo, da je 75=3 5 5 in 210=2 3 5 7 . Sestavi zmnožek vseh faktorjev teh razširitev: 2 3 3 5 5 5 7 . Zdaj iz tega produkta izločimo vse faktorje, ki so prisotni tako pri razširitvi števila 75 kot pri razširitvi števila 210 (taka faktorja sta 3 in 5), potem bo produkt dobil obliko 2 3 5 5 7 . Vrednost tega produkta je enaka najmanjšemu skupnemu večkratniku 75 in 210, to je LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050 .
Po faktorjenju števil 441 in 700 v prafaktorje poiščite najmanjši skupni večkratnik teh števil.
Razstavimo številki 441 in 700 na prafaktorje: 
Dobimo 441=3 3 7 7 in 700=2 2 5 5 7 .
Sedaj naredimo zmnožek vseh faktorjev, ki so vključeni v razširitve teh števil: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Iz tega produkta izključimo vse faktorje, ki so hkrati prisotni v obeh ekspanzijah (obstaja samo en tak faktor - to je število 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . Torej LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100 .
LCM(441, 700)= 44 100 .
Pravilo za iskanje LCM z uporabo razgradnje števil na prafaktorje je mogoče oblikovati nekoliko drugače. Če faktorjem iz razširitve števila a dodamo manjkajoče faktorje iz razširitve števila a, bo vrednost nastalega produkta enaka najmanjšemu skupnemu večkratniku števil a in b.
Na primer, vzemimo vsi isti številki 75 in 210, njuni razširitvi v prafaktorje sta naslednji: 75=3 5 5 in 210=2 3 5 7 . Faktorjem 3, 5 in 5 iz razširitve števila 75 dodamo manjkajoči faktor 2 in 7 iz razširitve števila 210, dobimo produkt 2 3 5 5 7 , katerega vrednost je LCM(75 , 210).
Poiščite najmanjši skupni mnogokratnik 84 in 648.
Najprej dobimo razgradnjo števil 84 in 648 na prafaktorje. Videti sta 84=2 2 3 7 in 648=2 2 2 3 3 3 3 . Faktorjem 2 , 2 , 3 in 7 iz razgradnje števila 84 dodamo manjkajoče faktorje 2 , 3 , 3 in 3 iz razgradnje števila 648 , dobimo produkt 2 2 2 3 3 3 3 7 , kar je enako 4 536 . Tako je želeni najmanjši skupni večkratnik števil 84 in 648 4.536.
Iskanje LCM treh ali več številk
Najmanjši skupni večkratnik treh ali več števil je mogoče najti z zaporednim iskanjem LCM dveh števil. Spomnimo se ustreznega izreka, ki daje način za iskanje LCM treh ali več števil.
Naj so podana pozitivna cela števila a 1 , a 2 , …, a k, najmanjši skupni večkratnik m k teh številk najdemo v zaporednem izračunu m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k−1 , a k) .
Razmislite o uporabi tega izreka na primeru iskanja najmanjšega skupnega večkratnika štirih števil.
Poiščite LCM štirih števil 140 , 9 , 54 in 250 .
Najprej najdemo m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9) . Za to z uporabo evklidskega algoritma določimo gcd(140, 9) , imamo 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , torej gcd( 140, 9)=1, od koder LCM(140, 9)=140 9: GCD(140, 9)= 140 9:1=1 260 . To pomeni, da je m 2 =1 260 .
Zdaj najdemo m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54) . Izračunajmo ga preko gcd(1 260, 54) , ki ga določa tudi Evklidov algoritem: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Potem je gcd(1 260, 54)=18, od koder je LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . Se pravi, m 3 = 3 780.
Ostaja še najti m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250) . Za to poiščemo GCD(3 780, 250) z uporabo Evklidovega algoritma: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Zato je gcd(3 780, 250)=10, torej LCM(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . Se pravi, m 4 = 94 500.
Torej je najmanjši skupni večkratnik prvotnih štirih številk 94.500.
LCM(140, 9, 54, 250) = 94500 .
V mnogih primerih je najmanjši skupni večkratnik treh ali več števil priročno najti z uporabo prafaktorizacij danih števil. V tem primeru je treba upoštevati naslednje pravilo. Najmanjši skupni večkratnik več števil je enak zmnožku, ki je sestavljen takole: manjkajoči faktorji iz razširitve drugega števila se dodajo vsem faktorjem iz razširitve prvega števila, manjkajoči faktorji iz razširitve dobljenim faktorjem dodamo tretje število itd.
Razmislite o primeru iskanja najmanjšega skupnega večkratnika z uporabo razgradnje števil na prafaktorje.
Poišči najmanjši skupni večkratnik petih številk 84, 6, 48, 7, 143.
Najprej dobimo dekompozicije teh števil na prafaktorje: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 (7 je praštevilo, sovpada z njegovo razgradnjo na prafaktorje) in 143=11 13 .
Če želite najti LCM teh številk, morate faktorjem prvega števila 84 (so 2, 2, 3 in 7) dodati manjkajoče faktorje iz razširitve drugega števila 6. Razširitev števila 6 ne vsebuje manjkajočih faktorjev, saj sta tako 2 kot 3 že prisotna v razširitvi prvega števila 84 . Poleg faktorjev 2, 2, 3 in 7 dodamo še manjkajoči faktor 2 in 2 iz razširitve tretjega števila 48, dobimo nabor faktorjev 2, 2, 2, 2, 3 in 7. Temu nizu v naslednjem koraku ni treba dodajati faktorjev, saj je 7 že v njem. Na koncu faktorjem 2, 2, 2, 2, 3 in 7 dodamo manjkajoči faktor 11 in 13 iz razširitve števila 143. Dobimo zmnožek 2 2 2 2 3 7 11 13 , ki je enak 48 048 .
Zato je LCM(84, 6, 48, 7, 143)=48048 .
LCM(84, 6, 48, 7, 143) = 48048 .
Iskanje najmanjšega skupnega večkratnika negativnih števil
Včasih obstajajo naloge, pri katerih morate najti najmanjši skupni večkratnik števil, med katerimi so ena, več ali vsa števila negativnih. V teh primerih je treba vsa negativna števila nadomestiti z nasprotnimi števili, nato pa najti LCM pozitivnih števil. To je način za iskanje LCM negativnih števil. Na primer, LCM(54, −34)=LCM(54, 34) in LCM(−622, −46, −54, −888)= LCM(622, 46, 54, 888) .
To lahko storimo, ker je množica večkratnikov a enaka množici večkratnikov −a (a in −a sta nasprotni števili). Dejansko naj je b nek večkratnik a , potem je b deljivo z a , in koncept deljivosti trdi obstoj takega celega števila q, da je b=a q . Toda enakost b=(−a)·(−q) bo prav tako resnična, kar na podlagi istega koncepta deljivosti pomeni, da je b deljivo z −a , to je, da je b večkratnik −a. Velja tudi obratna izjava: če je b nek večkratnik od −a , potem je tudi b večkratnik a .
Poiščite najmanjši skupni večkratnik negativnih števil −145 in −45.
Zamenjajmo negativni števili −145 in −45 z njunima nasprotnima številkama 145 in 45 . Imamo LCM(−145, −45)=LCM(145, 45) . Ko določimo gcd(145, 45)=5 (na primer z uporabo Evklidovega algoritma), izračunamo LCM(145, 45)=145 45:gcd(145, 45)= 145 45:5=1 305 . Tako je najmanjši skupni večkratnik negativnih celih števil −145 in −45 1305.
www.cleverstudents.ru
Nadaljujemo s študijem oddelka. V tej lekciji si bomo ogledali pojme kot npr GCD in NOC.
GCD je največji skupni delilec.
NOC je najmanjši skupni večkratnik.
Tema je precej dolgočasna, vendar jo je treba razumeti. Brez razumevanja te teme ne boste mogli učinkovito delati z ulomki, ki so prava ovira pri matematiki.
Največji skupni delilec
Opredelitev. Največji skupni delilec števil a in b a in b deljeno brez ostanka.
Da bi to definicijo dobro razumeli, nadomestimo namesto spremenljivk a in b kateri koli dve številki, na primer namesto spremenljivke a nadomestite številko 12 in namesto spremenljivke bštevilka 9. Zdaj pa poskusimo prebrati to definicijo:
Največji skupni delilec števil 12 in 9 je največje število, s katerim 12 in 9 deljeno brez ostanka.
Iz definicije je razvidno, da govorimo o skupnem delilniku števil 12 in 9, ta delitelj pa je največji od vseh obstoječih deliteljev. Najti je treba ta največji skupni delitelj (gcd).
Za iskanje največjega skupnega delitelja dveh števil se uporabljajo tri metode. Prva metoda je precej zamudna, vendar vam omogoča, da dobro razumete bistvo teme in začutite njen celoten pomen.
Druga in tretja metoda sta precej preprosti in omogočata hitro iskanje GCD. Upoštevali bomo vse tri metode. In kaj uporabiti v praksi - izberete sami.
Prvi način je, da poiščemo vse možne delilce dveh števil in izberemo največje od njih. Oglejmo si to metodo v naslednjem primeru: poišči največji skupni delilec števil 12 in 9.
Najprej poiščemo vse možne delilnike števila 12. Če želite to narediti, razdelimo 12 na vse delilnike v območju od 1 do 12. Če nam delilnik omogoča, da delimo 12 brez ostanka, ga bomo označili z modro in v oklepaju poda ustrezno razlago.
12: 1 = 12
(12 deljeno z 1 brez ostanka, torej je 1 delilec 12)
12: 2 = 6
(12 deljeno z 2 brez preostanka, torej je 2 delilec 12)
12: 3 = 4
(12 deljeno s 3 brez preostanka, torej je 3 delilec 12)
12: 4 = 3
(12 deljeno s 4 brez ostanka, torej je 4 delilec 12)
12:5 = 2 (2 preostala)
(12 ni deljeno s 5 brez ostanka, torej 5 ni delilec 12)
12: 6 = 2
(12 deljeno s 6 brez ostanka, torej je 6 delilec 12)
12: 7 = 1 (5 preostalih)
(12 ni deljeno s 7 brez ostanka, torej 7 ni delilec 12)
12: 8 = 1 (4 preostalo)
(12 ni deljeno z 8 brez ostanka, torej 8 ni delilec 12)
12:9 = 1 (3 preostalo)
(12 ni deljeno z 9 brez ostanka, torej 9 ni delilec 12)
12: 10 = 1 (2 levo)
(12 ni deljeno z 10 brez ostanka, torej 10 ni delilec 12)
12:11 = 1 (1 ostane)
(12 ni deljeno z 11 brez ostanka, torej 11 ni delilec 12)
12: 12 = 1
(12 deljeno z 12 brez ostanka, torej je 12 delilec 12)
Zdaj pa poiščimo delilnike števila 9. Če želite to narediti, preverite vse delilnike od 1 do 9
9: 1 = 9
(9 deljeno z 1 brez preostanka, torej je 1 delilec 9)
9: 2 = 4 (1 ostane)
(9 ni deljeno z 2 brez ostanka, torej 2 ni delilec 9)
9: 3 = 3
(9 deljeno s 3 brez preostanka, torej je 3 delilec 9)
9: 4 = 2 (1 ostane)
(9 ni deljeno s 4 brez ostanka, torej 4 ni delilec 9)
9:5 = 1 (še 4)
(9 ni deljeno s 5 brez preostanka, torej 5 ni delilec 9)
9: 6 = 1 (3 preostalo)
(9 ni deljeno s 6 brez ostanka, torej 6 ni delilec 9)
9:7 = 1 (2 preostala)
(9 ni deljeno s 7 brez ostanka, torej 7 ni delilec 9)
9:8 = 1 (1 ostane)
(9 ni deljeno z 8 brez ostanka, torej 8 ni delilec 9)
9: 9 = 1
(9 deljeno z 9 brez ostanka, torej je 9 delilec 9)
Zdaj zapišite delilce obeh števil. Številke, označene z modro, so delitelji. Izpišimo jih:
Ko izpišete delilnike, lahko takoj ugotovite, kateri je največji in najpogostejši.
Po definiciji je največji skupni delilec 12 in 9 število, s katerim sta 12 in 9 enakomerno deljiva. Največji in skupni delilec števil 12 in 9 je število 3
Tako število 12 kot število 9 sta deljiva s 3 brez ostanka:
Torej gcd (12 in 9) = 3
Drugi način za iskanje GCD
Zdaj razmislite o drugem načinu iskanja največjega skupnega delitelja. Bistvo te metode je, da obe številki razgradimo na prafaktorje in pomnožimo skupna.
Primer 1. Poiščite GCD številk 24 in 18
Najprej razporedimo obe številki v prafaktorje:
Zdaj pomnožimo njihove skupne faktorje. Da ne bi bili zmedeni, lahko poudarite skupne dejavnike.
Ogledamo si razgradnjo števila 24. Njegov prvi faktor je 2. Iščemo isti faktor pri razgradnji števila 18 in vidimo, da je tudi tam. Poudarjamo oba:
Spet pogledamo razgradnjo števila 24. Njegov drugi faktor je prav tako 2. Iščemo isti faktor pri razgradnji števila 18 in vidimo, da ga že drugič ni. Potem ne poudarjamo ničesar.
Naslednja dva v razširitvi števila 24 manjkata tudi v razširitvi števila 18.
Preidemo na zadnji faktor pri razgradnji števila 24. To je faktor 3. Iščemo isti faktor pri razgradnji števila 18 in vidimo, da je tudi tam. Poudarjamo obe trojici:
Torej, skupni faktorji številk 24 in 18 so faktorji 2 in 3. Da bi dobili GCD, je treba te faktorje pomnožiti:
Torej gcd (24 in 18) = 6
Tretji način za iskanje GCD
Zdaj razmislite o tretjem načinu iskanja največjega skupnega delitelja. Bistvo te metode je v tem, da se števila, ki jih iščemo za največji skupni delilec, razstavijo na prafaktorje. Nato se iz dekompozicije prvega števila izbrišejo faktorji, ki niso vključeni v razgradnjo drugega števila. Preostale številke v prvi razširitvi se pomnožijo in dobijo GCD.
Na primer, na ta način poiščimo GCD za številki 28 in 16. Najprej te številke razstavimo na osnovne faktorje:
Dobili smo dve razširitvi: in
Zdaj iz razširitve prvega števila izbrišemo faktorje, ki niso vključeni v razširitev drugega števila. Razširitev druge številke ne vključuje sedem. Izbrisali ga bomo iz prve razširitve:
Zdaj pomnožimo preostale faktorje in dobimo GCD:
Število 4 je največji skupni delilec števil 28 in 16. Obe števili sta deljivi s 4 brez ostanka:
Primer 2 Poiščite GCD številk 100 in 40
Odštejemo število 100
Odštejemo številko 40
Imamo dve razširitvi:
Zdaj iz razširitve prvega števila izbrišemo faktorje, ki niso vključeni v razširitev drugega števila. Razširitev druge številke ne vključuje ene petice (samo ena petica je). Izbrišemo ga iz prve razgradnje
Pomnožite preostale številke:
Dobili smo odgovor 20. Število 20 je torej največji skupni delilec števil 100 in 40. Ti dve števili sta deljivi z 20 brez ostanka:
GCD (100 in 40) = 20.
Primer 3 Poiščite gcd številk 72 in 128
Odštejemo številko 72
Odštejemo številko 128
2×2×2×2×2×2×2
Zdaj iz razširitve prvega števila izbrišemo faktorje, ki niso vključeni v razširitev drugega števila. Razširitev drugega števila ne vključuje dveh trojčkov (sploh jih ni). Izbrišemo jih iz prve razširitve:
Dobili smo odgovor 8. Število 8 je torej največji skupni delilec števil 72 in 128. Ti dve števili sta deljivi z 8 brez ostanka:
GCD (72 in 128) = 8
Iskanje GCD za več številk
Največji skupni delilec lahko najdemo za več številk in ne samo za dva. Za to se števila, ki jih je treba iskati za največji skupni delilec, razstavijo na prafaktorje, nato pa najdemo produkt skupnih prafaktorjev teh števil.
Na primer, poiščimo GCD za številke 18, 24 in 36
Razdelitev števila 18
Razdelitev števila 24
Razdelitev števila 36
Imamo tri razširitve:
Zdaj izberemo in podčrtamo skupne dejavnike v teh številkah. Skupne dejavnike je treba vključiti v vse tri številke:
Vidimo, da so skupni faktorji za števila 18, 24 in 36 faktorji 2 in 3. Z množenjem teh faktorjev dobimo GCD, ki ga iščemo:
Dobili smo odgovor 6. Število 6 je torej največji skupni delilec števil 18, 24 in 36. Ta tri števila so deljiva s 6 brez ostanka:
GCD (18, 24 in 36) = 6
Primer 2 Poiščite gcd za številke 12, 24, 36 in 42
Razložimo vsako število na faktorje. Nato najdemo zmnožek skupnih faktorjev teh številk.
Razdelitev števila 12
Razdelitev števila 42
Imamo štiri razširitve:
Zdaj izberemo in podčrtamo skupne dejavnike v teh številkah. Skupne dejavnike je treba vključiti v vse štiri številke:
Vidimo, da so skupni faktorji za števila 12, 24, 36 in 42 faktorja 2 in 3. Z množenjem teh faktorjev dobimo GCD, ki ga iščemo:
Dobili smo odgovor 6. Število 6 je torej največji skupni delilec števil 12, 24, 36 in 42. Ta števila so deljiva s 6 brez ostanka:
gcd(12, 24, 36 in 42) = 6
Iz prejšnje lekcije vemo, da če je neko število deljeno z drugim brez ostanka, se imenuje večkratnik tega števila.
Izkazalo se je, da je večkratnik lahko skupen za več številk. In zdaj nas bo zanimal večkratnik dveh številk, medtem ko naj bo čim manjši.
Opredelitev. Najmanjši skupni večkratnik (LCM) številk a in b- a in b a in številko b.
Definicija vsebuje dve spremenljivki a in b. Zamenjajmo ti spremenljivki poljubni dve številki. Na primer namesto spremenljivke a nadomestite številko 9 in namesto spremenljivke b zamenjajmo številko 12. Zdaj pa poskusimo prebrati definicijo:
Najmanjši skupni večkratnik (LCM) številk 9 in 12 - je najmanjše število, ki je večkratnik 9 in 12 . Z drugimi besedami, to je tako majhno število, ki je brez ostanka deljivo s številom 9 in na številki 12 .
Iz definicije je razvidno, da je LCM najmanjše število, ki je brez ostanka deljivo z 9 in 12. To LCM je treba najti.
Obstajata dva načina za iskanje najmanjšega skupnega večkratnika (LCM). Prvi način je, da lahko zapišete prve večkratnike dveh števil, nato pa med temi večkratniki izberete takšno število, ki bo skupno tako številkam kot majhnim. Uporabimo to metodo.
Najprej poiščimo prve večkratnike za število 9. Če želite poiskati večkratnike za 9, morate to devetico po vrsti pomnožiti s številkami od 1 do 9. Odgovori, ki jih dobite, bodo večkratniki števila 9. Torej , Začnimo. Večkratniki bodo označeni z rdečo:
Zdaj najdemo večkratnike za število 12. Če želite to narediti, pomnožimo 12 z vsemi števili od 1 do 12 po vrsti.
Rešimo problem. Imamo dve vrsti piškotkov. Nekatere so čokoladne, nekatere pa navadne. Čokoladnih koščkov je 48, enostavnih pa 36. Iz teh piškotkov je treba narediti največje možno število daril, ki jih je treba uporabiti vse.
Najprej zapišimo vse delilnike vsakega od teh dveh števil, saj morata biti obe števili deljivi s številom daril.
Dobimo
- 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
- 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
Poiščimo skupne delilnike, ki jih imata tako prvo kot drugo število.
Običajni delitelji bodo: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Največji skupni delilec vseh je 12. To število se imenuje največji skupni delilec 36 in 48.
Glede na rezultat lahko sklepamo, da je iz vseh piškotkov mogoče izdelati 12 daril. Eno takšno darilo bo vsebovalo 4 čokoladne piškote in 3 navadne piškote.
Iskanje največjega skupnega delitelja
- Največje naravno število, s katerim sta dve števili a in b deljivi brez ostanka, se imenuje največji skupni delilec teh števil.
Včasih se za okrajšavo vnosa uporablja okrajšava GCD.
Nekateri pari števil imajo eno kot največji skupni delilec. Takšne številke se imenujejo sopraprosta števila. Na primer številki 24 in 35. GCD =1.
Kako najti največji skupni delitelj
Da bi našli največji skupni delilec, ni treba zapisati vseh deliteljev teh števil.
Lahko storite drugače. Najprej združite obe številki v prafaktorje.
- 48 = 2*2*2*2*3,
- 36 = 2*2*3*3.
Zdaj iz faktorjev, ki so vključeni v razširitev prvega števila, izbrišemo vse tiste, ki niso vključeni v razširitev drugega števila. V našem primeru sta to dve dvojki.
- 48 = 2*2*2*2*3 ,
- 36 = 2*2*3 *3.
Ostanejo faktorji 2, 2 in 3. Njihov produkt je 12. To število bo največji skupni delilec števil 48 in 36.
To pravilo je mogoče razširiti na primer treh, štirih in tako naprej. številke.
Splošna shema za iskanje največjega skupnega delitelja
- 1. Razčlenite števila na prafaktorje.
- 2. Iz dejavnikov, ki so vključeni v razširitev enega od teh številk, prečrtajte tiste, ki niso vključeni v razširitev drugih številk.
- 3. Izračunajte zmnožek preostalih faktorjev.