Function ng form , kung saan tinatawag quadratic function.
Graph ng quadratic function − parabola.
Isaalang-alang ang mga kaso:
CASE I, CLASSICAL PARABOLA
i.e , ,
Upang bumuo, punan ang talahanayan sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga halaga ng x sa formula:
Markahan ang mga puntos (0;0); (1;1); (-1;1) atbp. sa coordinate plane (mas maliit ang hakbang na ginagawa natin x na mga halaga (sa kasong ito, hakbang 1), at mas maraming x value ang kinukuha natin, mas makinis ang curve), nakakakuha tayo ng parabola:
Madaling makita na kung kukunin natin ang kaso , , , ibig sabihin, makakakuha tayo ng simetriko ng parabola tungkol sa axis (ox). Madaling i-verify ito sa pamamagitan ng pagpuno ng katulad na talahanayan:
II KASO, "a" IBA SA ISA
Ano ang mangyayari kung kukuha tayo , , ? Paano magbabago ang pag-uugali ng parabola? With title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}
Ang unang larawan (tingnan sa itaas) ay malinaw na nagpapakita na ang mga punto mula sa talahanayan para sa parabola (1;1), (-1;1) ay binago sa mga puntos (1;4), (1;-4), iyon ay, na may parehong mga halaga, ang ordinate ng bawat punto ay pinarami ng 4. Ito ay mangyayari sa lahat ng mga pangunahing punto ng orihinal na talahanayan. Pareho kaming nagtatalo sa mga kaso ng mga larawan 2 at 3.
At kapag ang parabola ay "naging mas malawak" na parabola:
Recap natin:
1)Ang tanda ng koepisyent ay responsable para sa direksyon ng mga sanga. With title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}
2) Ganap na halaga ang koepisyent (modulus) ay responsable para sa "pagpapalawak", "compression" ng parabola. Kung mas malaki , mas makitid ang parabola, mas maliit |a|, mas malawak ang parabola.
CASE III, "C" ang lalabas
Ngayon ay isasali natin (iyon ay, isinasaalang-alang natin ang kaso kapag ), isasaalang-alang natin ang mga parabola ng form . Madaling hulaan (maaari kang palaging sumangguni sa talahanayan) na ang parabola ay lilipat pataas o pababa sa kahabaan ng axis, depende sa palatandaan:
IV CASE, LUMITAW ang "b".
Kailan "mapunit" ang parabola mula sa axis at sa wakas ay "lalakad" kasama ang buong coordinate plane? Kapag ito ay tumigil sa pagiging pantay.
Dito, para makabuo ng parabola, kailangan natin formula para sa pagkalkula ng vertex: , .
Kaya sa puntong ito (tulad ng sa punto (0; 0) ng bagong coordinate system) gagawa tayo ng parabola, na nasa loob na ng ating kapangyarihan. Kung tayo ay nakikitungo sa kaso , pagkatapos ay mula sa itaas ay magtabi tayo ng isang bahagi ng yunit sa kanan, isa pataas, - ang resultang punto ay atin (katulad nito, isang hakbang sa kaliwa, isang hakbang pataas ang ating punto); kung tayo ay nakikitungo, halimbawa, pagkatapos ay mula sa itaas ay nagtabi tayo ng isang solong segment sa kanan, dalawa - pataas, atbp.
Halimbawa, ang vertex ng isang parabola:
Ngayon ang pangunahing bagay na dapat maunawaan ay na sa vertex na ito ay bubuo kami ng isang parabola ayon sa template ng parabola, dahil sa aming kaso.
Kapag gumagawa ng parabola pagkatapos mahanap ang mga coordinate ng vertex ay napakaMaginhawang isaalang-alang ang mga sumusunod na punto:
1) parabola dapat dumaan sa punto . Sa katunayan, ang pagpapalit ng x=0 sa formula, nakukuha natin iyon. Iyon ay, ang ordinate ng punto ng intersection ng parabola na may axis (oy), ito ay. Sa aming halimbawa (sa itaas), ang parabola ay nag-intersect sa y-axis sa , dahil .
2) axis ng simetrya mga parabola ay isang tuwid na linya, kaya ang lahat ng mga punto ng parabola ay magiging simetriko tungkol dito. Sa aming halimbawa, agad naming kinuha ang punto (0; -2) at bumuo ng isang parabola na simetriko tungkol sa axis ng symmetry, nakuha namin ang punto (4; -2), kung saan dadaan ang parabola.
3) Equating to , nalaman natin ang mga punto ng intersection ng parabola na may axis (ox). Upang gawin ito, lutasin namin ang equation. Depende sa discriminant, makakakuha tayo ng isa (, ), dalawa ( title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . Sa nakaraang halimbawa, mayroon tayong ugat mula sa discriminant - hindi isang integer, kapag itinatayo ito, hindi gaanong kahulugan para sa atin na mahanap ang mga ugat, ngunit malinaw nating makikita na magkakaroon tayo ng dalawang punto ng intersection sa (oh) axis (since title = "(!LANG: Na-render ng QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}
Kaya mag work out tayo
Algorithm para sa pagbuo ng isang parabola kung ito ay ibinigay sa form
1) matukoy ang direksyon ng mga sanga (a>0 - pataas, a<0 – вниз)
2) hanapin ang mga coordinate ng vertex ng parabola sa pamamagitan ng formula , .
3) nahanap namin ang punto ng intersection ng parabola na may axis (oy) sa pamamagitan ng libreng term, bumuo kami ng isang puntong simetriko sa ibinigay na isa na may paggalang sa axis ng simetrya ng parabola (dapat tandaan na nangyayari na ito ay hindi kapaki-pakinabang na markahan ang puntong ito, halimbawa, dahil malaki ang halaga ... nilalaktawan namin ang puntong ito ...)
4) Sa nahanap na punto - ang tuktok ng parabola (tulad ng sa punto (0; 0) ng bagong coordinate system), bumuo kami ng isang parabola. If title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}
5) Nahanap namin ang mga punto ng intersection ng parabola na may axis (oy) (kung sila mismo ay hindi pa "lumabas"), paglutas ng equation
Halimbawa 1
Halimbawa 2
Puna 1. Kung ang parabola ay unang ibinigay sa amin sa anyo , kung saan ang ilang mga numero (halimbawa, ), kung gayon mas magiging madali itong buuin, dahil nabigyan na kami ng mga coordinate ng vertex . Bakit?
Kumuha tayo ng isang parisukat na trinomial at pumili ng isang buong parisukat dito: Tingnan, narito nakuha natin iyon , . Tinatawag namin dati ang tuktok ng parabola, iyon ay, ngayon,.
Halimbawa, . Minarkahan namin ang tuktok ng parabola sa eroplano, naiintindihan namin na ang mga sanga ay nakadirekta pababa, ang parabola ay pinalawak (medyo). Ibig sabihin, ginagawa namin ang mga hakbang 1; 3; 4; 5 mula sa algorithm para sa pagbuo ng isang parabola (tingnan sa itaas).
Puna 2. Kung ang parabola ay ibinigay sa isang anyo na katulad nito (iyon ay, kinakatawan bilang isang produkto ng dalawang linear na mga kadahilanan), pagkatapos ay makikita natin kaagad ang mga punto ng intersection ng parabola na may (x) axis. Sa kasong ito - (0;0) at (4;0). Para sa iba, kumikilos kami ayon sa algorithm, binubuksan ang mga bracket.
- Pokus ng parabola ay ang punto kung saan ang lahat ng mga punto sa parabola ay equidistant.
- Directix ng isang parabola ay ang tuwid na linya kung saan ang lahat ng mga punto sa parabola ay katumbas ng distansya.
- Axis of symmetry ng parabola ay isang patayong linya na dumadaan sa focus at vertex ng parabola na patayo sa directrix nito.
- Tuktok ng parabola- ang punto ng intersection ng parabola at ang axis ng symmetry. Kung ang parabola ay nakaturo pataas, kung gayon ang tuktok ay ang pinakamababang punto ng parabola; kung ang parabola ay tumuturo pababa, kung gayon ang vertex ay ang pinakamataas na punto ng parabola.
Parabola equation. Ang parabola equation ay may anyo: y=ax 2 +bx+c. Ang parabola equation ay maaari ding isulat bilang y = a(x – h)2 + k.
- Kung ang koepisyent na "a" ay positibo, ang parabola ay nakadirekta paitaas, at kung ang koepisyent "a" ay negatibo, ang parabola ay nakadirekta pababa. Upang tandaan ang panuntunang ito: na may positibong ( positibo) coefficient parabola "smiles" (points up) at vice versa para sa negatibo ( negatibo) koepisyent.
- Halimbawa: y=2x2-1. Ang parabola ng equation na ito ay nakadirekta pataas, dahil ang isang \u003d 2 (positibong koepisyent).
- Kung ang "y" ay naka-squad sa equation, at hindi "x", kung gayon ang parabola ay "nakahiga sa gilid nito" at nakadirekta sa kanan o kaliwa. Halimbawa, ang parabola y 2 = x + 3 ay nakadirekta sa kanan.
Hanapin ang axis ng symmetry. Ang axis ng symmetry ng isang parabola ay isang patayong linya na dumadaan sa tuktok ng parabola. Ang axis ng symmetry ay ibinibigay ng function na x = n, kung saan ang n ay ang "x" coordinate ng parabola vertex. Upang kalkulahin ang axis ng symmetry, gamitin ang formula x = -b/2a.
- Sa ating halimbawa a = 2, b = 0. Isaksak ang mga halagang ito sa formula: x = -0/(2 x 2) = 0.
- Axis ng simetriya x = 0.
Hanapin ang tuktok. Sa pamamagitan ng pagkalkula ng axis ng symmetry, nahanap mo ang x-coordinate ng tuktok ng parabola. Palitan ang nahanap na halaga sa orihinal na equation upang mahanap ang "y". Ang dalawang coordinate na ito ay ang mga coordinate ng tuktok ng parabola. Sa aming halimbawa, isaksak ang x = 0 sa y = 2x2 -1 at kunin ang y = -1. Ang tuktok ng parabola ay may mga coordinate (0, -1). Bukod dito, ito ang punto ng intersection ng parabola na may y-axis (dahil x = 0).
- Minsan ang vertex coordinate ay tinutukoy bilang (h,k). Sa aming halimbawa h = 0, k = -1. Kung ang quadratic equation ay ibinigay bilang y = a(x – h)2 + k, pagkatapos ay madali mong mahahanap ang mga coordinate ng vertex nang direkta mula sa equation (nang walang mga kalkulasyon).
Ang pagtatayo ng parabola ay isa sa mga kilalang mathematical operations. Kadalasan, ginagamit ito hindi lamang para sa mga layuning pang-agham, kundi pati na rin para sa mga praktikal na layunin. Alamin natin kung paano gawin ang pamamaraang ito gamit ang toolkit ng Excel application.
Ang parabola ay isang graph ng isang quadratic function ng sumusunod na uri f(x)=ax^2+bx+c. Ang isa sa mga kahanga-hangang katangian nito ay ang katotohanan na ang parabola ay may anyo ng isang simetriko figure, na binubuo ng isang hanay ng mga puntos na katumbas ng distansya mula sa directrix. Sa pangkalahatan, ang pagbuo ng parabola sa Excel ay hindi gaanong naiiba sa pagbuo ng anumang iba pang graph sa program na ito.
Gumawa ng table
Una sa lahat, bago ka magsimulang bumuo ng isang parabola, dapat kang bumuo ng isang talahanayan, sa batayan kung saan ito malilikha. Halimbawa, kunin natin ang graph ng function f(x)=2x^2+7.
Nagpaplano
Tulad ng nabanggit sa itaas, ngayon ay kailangan nating buuin ang mismong graph.
Pag-edit ng tsart
Ngayon ay maaari mong bahagyang i-edit ang resultang graph.
Bilang karagdagan, maaari kang magsagawa ng anumang iba pang mga uri ng pag-edit ng nagreresultang parabola, kabilang ang pagpapalit ng pangalan nito at ang mga pangalan ng mga palakol. Ang mga diskarte sa pag-edit na ito ay hindi lalampas sa saklaw ng trabaho sa Excel na may mga chart ng iba pang mga uri.
Tulad ng nakikita mo, ang pagbuo ng isang parabola sa Excel ay hindi naiiba sa pagbuo ng isa pang uri ng graph o tsart sa parehong programa. Ang lahat ng mga aksyon ay isinasagawa batay sa isang paunang nabuong talahanayan. Bilang karagdagan, dapat itong isaalang-alang na ang tuldok na anyo ng diagram ay pinakaangkop para sa pagbuo ng isang parabola.
Mahalaga sa amin ang iyong privacy. Para sa kadahilanang ito, bumuo kami ng Patakaran sa Privacy na naglalarawan kung paano namin ginagamit at iniimbak ang iyong impormasyon. Mangyaring basahin ang aming patakaran sa privacy at ipaalam sa amin kung mayroon kang anumang mga katanungan.
Pagkolekta at paggamit ng personal na impormasyon
Ang personal na impormasyon ay tumutukoy sa data na maaaring magamit upang makilala o makipag-ugnayan sa isang partikular na tao.
Maaaring hilingin sa iyo na ibigay ang iyong personal na impormasyon anumang oras kapag nakipag-ugnayan ka sa amin.
Ang mga sumusunod ay ilang halimbawa ng mga uri ng personal na impormasyon na maaari naming kolektahin at kung paano namin magagamit ang naturang impormasyon.
Anong personal na impormasyon ang aming kinokolekta:
- Kapag nagsumite ka ng aplikasyon sa site, maaari kaming mangolekta ng iba't ibang impormasyon, kabilang ang iyong pangalan, numero ng telepono, email address, atbp.
Paano namin ginagamit ang iyong personal na impormasyon:
- Ang personal na impormasyong kinokolekta namin ay nagpapahintulot sa amin na makipag-ugnayan sa iyo at ipaalam sa iyo ang tungkol sa mga natatanging alok, promosyon at iba pang mga kaganapan at paparating na mga kaganapan.
- Paminsan-minsan, maaari naming gamitin ang iyong personal na impormasyon upang magpadala sa iyo ng mahahalagang paunawa at mensahe.
- Maaari rin kaming gumamit ng personal na impormasyon para sa mga panloob na layunin, tulad ng pagsasagawa ng mga pag-audit, pagsusuri ng data at iba't ibang pananaliksik upang mapabuti ang mga serbisyong ibinibigay namin at mabigyan ka ng mga rekomendasyon tungkol sa aming mga serbisyo.
- Kung sasali ka sa isang premyo na draw, paligsahan o katulad na insentibo, maaari naming gamitin ang impormasyong ibibigay mo upang pangasiwaan ang mga naturang programa.
Pagbubunyag sa mga ikatlong partido
Hindi namin ibinubunyag ang impormasyong natanggap mula sa iyo sa mga ikatlong partido.
Mga pagbubukod:
- Kung kinakailangan - alinsunod sa batas, utos ng hudisyal, sa mga ligal na paglilitis, at / o batay sa mga pampublikong kahilingan o kahilingan mula sa mga katawan ng estado sa teritoryo ng Russian Federation - ibunyag ang iyong personal na impormasyon. Maaari rin kaming magbunyag ng impormasyon tungkol sa iyo kung matukoy namin na ang naturang pagbubunyag ay kinakailangan o naaangkop para sa seguridad, pagpapatupad ng batas, o iba pang layunin ng pampublikong interes.
- Kung sakaling magkaroon ng muling pagsasaayos, pagsasanib o pagbebenta, maaari naming ilipat ang personal na impormasyong kinokolekta namin sa may-katuturang kahalili ng third party.
Proteksyon ng personal na impormasyon
Gumagawa kami ng mga pag-iingat - kabilang ang administratibo, teknikal at pisikal - upang protektahan ang iyong personal na impormasyon mula sa pagkawala, pagnanakaw, at maling paggamit, pati na rin mula sa hindi awtorisadong pag-access, pagsisiwalat, pagbabago at pagkasira.
Pagpapanatili ng iyong privacy sa antas ng kumpanya
Upang matiyak na ligtas ang iyong personal na impormasyon, ipinapaalam namin ang mga kasanayan sa privacy at seguridad sa aming mga empleyado at mahigpit na ipinapatupad ang mga kasanayan sa privacy.
Ang isang quadratic function ay isang function ng form:
y=a*(x^2)+b*x+c,
kung saan ang a ay ang koepisyent sa pinakamataas na antas ng hindi kilalang x,
b - koepisyent sa hindi kilalang x,
at c ay isang libreng miyembro.
Ang graph ng isang quadratic function ay isang curve na tinatawag na parabola. Ang pangkalahatang view ng parabola ay ipinapakita sa figure sa ibaba.
Fig.1 Pangkalahatang view ng parabola.
Mayroong ilang iba't ibang paraan upang i-graph ang isang quadratic function. Isasaalang-alang namin ang pangunahing at pinaka-pangkalahatan sa kanila.
Algorithm para sa pag-plot ng graph ng isang quadratic function na y=a*(x^2)+b*x+c
1. Bumuo ng coordinate system, markahan ang isang segment at lagyan ng label ang coordinate axes.
2. Tukuyin ang direksyon ng mga sanga ng parabola (pataas o pababa).
Upang gawin ito, kailangan mong tingnan ang tanda ng koepisyent a. Kung plus - kung gayon ang mga sanga ay nakadirekta paitaas, kung minus - kung gayon ang mga sanga ay nakadirekta pababa.
3. Tukuyin ang x-coordinate ng tuktok ng parabola.
Upang gawin ito, kailangan mong gamitin ang formula Tops = -b / 2 * a.
4. Tukuyin ang coordinate sa tuktok ng parabola.
Upang gawin ito, palitan ang halaga ng Nangungunang na natagpuan sa nakaraang hakbang sa equation ng Nangungunang = a * (x ^ 2) + b * x + c sa halip na x.
5. Ilagay ang resultang punto sa graph at gumuhit ng isang axis ng simetriya sa pamamagitan nito, parallel sa coordinate axis Oy.
6. Hanapin ang mga punto ng intersection ng graph sa x-axis.
Ito ay nangangailangan ng paglutas ng quadratic equation a*(x^2)+b*x+c = 0 gamit ang isa sa mga kilalang pamamaraan. Kung ang equation ay walang tunay na ugat, kung gayon ang graph ng function ay hindi bumalandra sa x-axis.
7. Hanapin ang mga coordinate ng punto ng intersection ng graph na may Oy axis.
Upang gawin ito, pinapalitan namin ang halaga ng x = 0 sa equation at kalkulahin ang halaga ng y. Minarkahan namin ito at ang punto ay simetriko dito sa graph.
8. Hanapin ang mga coordinate ng isang arbitrary point A (x, y)
Upang gawin ito, pumili kami ng isang di-makatwirang halaga ng x coordinate, at pinapalitan ito sa aming equation. Nakukuha namin ang halaga ng y sa puntong ito. Maglagay ng punto sa graph. At markahan din ang isang punto sa graph na simetriko sa puntong A (x, y).
9. Ikonekta ang mga nakuhang puntos sa graph gamit ang isang makinis na linya at ipagpatuloy ang graph sa kabila ng mga extreme point, hanggang sa dulo ng coordinate axis. Lagdaan ang graph alinman sa callout, o, kung pinahihintulutan ng espasyo, kasama ang mismong graph.
Isang halimbawa ng paglalagay ng graph
Bilang halimbawa, mag-plot tayo ng quadratic function na ibinigay ng equation na y=x^2+4*x-1
1. Gumuhit ng coordinate axes, lagdaan ang mga ito at markahan ang isang segment.
2. Ang mga halaga ng mga coefficient a=1, b=4, c= -1. Dahil ang isang \u003d 1, na mas malaki sa zero, ang mga sanga ng parabola ay nakadirekta pataas.
3. Tukuyin ang X coordinate ng tuktok ng parabola Tops = -b/2*a = -4/2*1 = -2.
4. Tukuyin ang coordinate Sa tuktok ng parabola
Mga tuktok = a*(x^2)+b*x+c = 1*((-2)^2) + 4*(-2) - 1 = -5.
5. Markahan ang vertex at gumuhit ng axis ng symmetry.
6. Nahanap namin ang mga punto ng intersection ng graph ng isang quadratic function na may Ox axis. Lutasin namin ang quadratic equation x^2+4*x-1=0.
x1=-2-√3 x2 = -2+√3. Minarkahan namin ang nakuha na mga halaga sa graph.
7. Hanapin ang mga punto ng intersection ng graph sa Oy axis.
x=0; y=-1
8. Pumili ng arbitrary point B. Hayaan itong magkaroon ng coordinate x=1.
Pagkatapos ay y=(1)^2 + 4*(1)-1= 4.
9. Ikinonekta namin ang mga natanggap na puntos at nilagdaan ang tsart.