Ang Möbius strip ay isang kamangha-manghang pagtuklas. Möbius strip - isang kamangha-manghang pagtuklas Properties at application

1. Alalahanin muna natin ang kahulugan ng mahalagang number-theoretic Möbiou function

1 kung n = 1

µ (n)=0 kung mayroong prime number p, p2 n (-1)k kung n = p1 … pk ang produkto ng k natatanging prime factor.

Patunayan natin ang pangunahing katangian ng pagpapaandar ng Möbius:

Teorama 1.

♦ Kung n = 1, ang tanging divisor ay d = 1 at (1) ay totoo, dahil µ (1) = 1. Hayaan ngayon n > 1. Kinakatawan namin ito sa anyo

n = p1 s 1 ps 2 2 K ps k k ,

kung saan ang pi , i 1, k ay mga prime number, si ang kanilang mga kapangyarihan. Kung ang d ay isang divisor ng n, kung gayon d = p1 d 1 pd 2 2 K pd k k ,

kung saan 0 ≤ di ≤ si , i 1, k . Kung di > 1 para sa ilang i 1, k , pagkatapos ay µ (d) = 0. Samakatuwid, sa (1) kailangan nating isaalang-alang lamang ang mga d kung saan di ≤ 1, i 1, k . Ang bawat tulad divisor

ay mula sa produkto ng r iba't ibang primes, kung saan r 1, k , at ang kontribusyon nito sa kabuuan

(1) ay katumbas ng (-1)r at mayroong k sa kabuuan. Kaya, nakukuha namin

			µ (d) = 1 −	K + (−1) k	0. ♦
			Theorem 2. (Möbius inversion formula). Hayaang ang f(n) at g(n) ay mga function ng natural
tunay na argumento. Tapos yung equality
					∑f(d)
ay totoo kung at kung ang pagkakapantay-pantay ay totoo
					∑µ (d)g(

♦ Hayaang maging totoo ang (2) para sa anumang n. Pagkatapos

g(d n ) = ∑ f(d′ )

d'dn

Ang pagpapalit sa kanang bahagi ng (3), makuha namin

∑µ (d)g(			) = ∑ µ (d) ∑ f(d′ )
					d'

Ang dobleng pagsusuma sa kanan ay isinasagawa sa lahat ng pares d, d′ na d d′ n . Kung pipiliin natin ang d′ , ang d ay tatakbo sa lahat ng divisors ng d n ′ . Sa gayon

∑µ (d)g(

) = ∑ f(d′ ) ∑ µ (d′ )

d'

d'

d'

n > d′

Ngunit ayon sa (1) mayroon tayong ∑

µ (d′ ) =

n = d′

d'

d'

Samakatuwid, ang pagkakapantay-pantay (3) ay itinatag. Hayaang ang (3) ay maging wasto para sa anumang n. Pagkatapos

∑ f(d) =

∑ ∑ µ (d′ )g(

), d′′ = d d ′ - ay isang divisor ng n at ang dobleng kabuuan ay lata

d'

n d'

muling isulat bilang

∑ µ (d′ )g(d′′ ) =

∑ g(d′′ )

∑µ (d′ )

d''

n d'

d''

d''

d'

d''

Ayon sa (1), ang huling kabuuan ay nagiging pagkakaisa sa kaso ng d′′ = n, sa ibang mga kaso

mga tsaa ito ay zero. Ito ay nagpapatunay (2). ♦ 2. Isaalang-alang ang paggamit ng Möbius inversion.

Hayaang magbigay ng alpabeto A ng mga titik. May mga sn salita na may haba n sa ibinigay na alpabeto. Para sa bawat salita w0 = a1 a2 … maaaring tukuyin ang isang n - 1 salita

w1 = a2 a3 … an a1 , w2 = a3 a4 … a1 a2 , … , wk-1 = an a1 … an-1 , nakuha ang isa mula sa isa sa pamamagitan ng cyclic shifts. Sa set ng lahat ng sn na salita, ipinakilala namin ang isang katumbas na ugnayan: dalawang salita ang idineklara na katumbas kung ang isa sa isa ay nakuha sa pamamagitan ng cyclic shift. Magiging interesado kami sa bilang ng mga klase na naglalaman ng eksaktong n salita. Ang ganitong problema ay lumitaw sa teorya ng pag-synchronize ng mga code.

Tatawagin natin ang isang salitang w degenerate kung ang equivalence class na naglalaman ng w ay binubuo ng mas mababa sa n salita. Tinatawag namin ang w periodic kung mayroong isang salitang u at isang natural na bilang m na w = u u … u (m beses).

Theorem 3. Ang salitang w ay panaka-nakang kung at kung ito ay degenerate.

bilang u maaari naming kunin a 1 a 2 … a p , at bilang m =

♦ Malinaw na kung ang w ay panaka-nakang, ito ay degenerate. Hayaan w maging degenerate. Hayaan ang p ang pinakamaliit na integer na w = wp . Tapos kung

w = a1 a2 … an , pagkatapos ay wp = a1+p a2+p … an+p (mga indeks modulo n). Kaya nakuha namin iyon sa n p . (Madaling makita na p n). ♦ Wallpaper

ay makabuluhan sa mga tuntunin ng M(d) - ang bilang ng mga parisukat na naglalaman ng d salita. Mula sa naunang mayroon tayo

dn. Kaya, ang formula∑ dM(d) = s n . d n

Ilapat natin ang Möbius inversion formula para sa case g(n) = sn , f(d) = dM(d). Pagkatapos makuha namin

nM(n) = ∑ µ (d)s n d d n

∑µ (d)sn d

Kaya, ang M(n) ay ang bilang ng interes sa atin. Kung ang n = p ay isang prime number, kung gayon

− s)

Mayroong multiplicative na bersyon ng Möbius inversion. patas

Theorem 4. Hayaang ang f(n) at g(n) ay mga function ng isang natural na argumentong nauugnay

suot

f(n) = ∏g(d)

µ(n

g(n) = ∏f(d)

at sa kabaligtaran, mula sa (5) ay sumusunod (4).

Gamit ang pormula ng pagbabaligtad ng Möbius, malulutas ng isa ang halos mahalagang problema ng bilang ng mga hindi mababawasang polynomial ng isang nakapirming antas sa isang may hangganang larangan. Hayaang ang GF(q) ay isang field ng q elemento at ang m ay isang natural na numero. Pagkatapos ay para sa numero

Φ m (q) ng irreducible polynomials sa field na GF(q), mayroon tayong formula

Bigyan tayo ng isang talahanayan ng ilang mga unang halaga ng function na Φ m (2)

Φm(2)

§ 5. Mga Permanente at ang kanilang aplikasyon sa mga enumerasyon

1. Upang malutas ang maraming problemang kombinatorial, ginagamit ang mga permanente. Isaalang-alang ang isang number matrix

A = (ai , j), i = 1, n , j = 1, m , n ≤ m

Ang permanente ng matrix A (notation - per A) ay tinutukoy ng pagkakapantay-pantay

bawat A = ∑			a 2 j L a nj
(j1 ,K , jn )

kung saan ang pagsusuma ay ginaganap sa lahat ng n-permutations ng m elemento 1, 2, m. Sa madaling salita, ang permanente ng isang matrix ay katumbas ng kabuuan ng mga produkto ng mga elemento na kinuha nang paisa-isa mula sa bawat hilera at iba't ibang mga haligi.

Ang formula (1) ay nagpapahiwatig ng ilang halatang katangian ng permanente, katulad ng sa determinant para sa mga square matrice.

1. Kung isa sa mga linya(n × m)-matrix A (n ≤ m) ay binubuo ng mga zero, pagkatapos ay bawat A = 0. Para sa n = m, ang parehong ay totoo para sa mga column.

2. Kapag pinarami ang lahat ng mga elemento ng isa sa mga hilera ng matrix A sa ilang numero, ang halaga ng permanenteng A ay pinarami ng parehong numero.

3. Ang isang permanente ay hindi nagbabago kapag ang mga row at column nito ay muling inayos.

Ipahiwatig ni Aij ang matrix na nakuha mula sa A sa pamamagitan ng pagtanggal sa i-th row at ang j-th column.

4. Ang formula para sa pagpapalawak ng permanente sa i-th row ay wasto bawat A = ai1 bawat Ai1 + ai2 bawat Ai2 + ... + layunin sa bawat Layunin (2)

sa gayon, maraming mga katangian ng mga permanente ay katulad ng sa mga determinant.

Gayunpaman, ang pangunahing pag-aari ng mga determinant det(A B) = detA detB ay hindi humahawak para sa mga permanente, at ang sitwasyong ito ay lubos na nagpapalubha sa kanilang pagkalkula.

Halimbawa,

					2, bawat
Gayunpaman, 4 = bawat						≠ bawat

Isaalang-alang natin ang isa sa pinakamahalagang aplikasyon ng konsepto ng permanente sa mga problemang kombinatorial.

dachas. Hayaang ang X = (x1 , xm ) ay isang finite set, at ang X1 , … , Xn ay isang sistema ng mga subset

Sa kasong ito, ang elementong xi ay sinasabing kumakatawan sa set Xi . Ang pangangailangan upang makahanap ng isang sistema ng iba't ibang mga kinatawan ay lumitaw sa paglutas ng maraming inilapat na mga problema. Isaalang-alang ang sumusunod na problema sa coding. Magkaroon ng ilang pangungusap, i.e. isang nakaayos na hanay ng mga salita sa ilang alpabeto. Kinakailangang i-encode ang pangungusap na ito upang ang bawat salita ay nauugnay sa isang titik, at ang titik na ito ay dapat na bahagi ng salitang ito, at ang iba't ibang mga titik ay dapat tumutugma sa iba't ibang mga salita.

Halimbawa: Ang pangungusap na a bc ab d abe c de cd e ay maaaring i-encode bilang abecd. Kasabay nito, ang pangungusap na ab ab bc abc bcd ay hindi maaaring i-encode sa ganitong paraan, dahil ang unang apat na salita sa kabuuan ay naglalaman lamang ng tatlong titik.

Para sa isang sistema ng mga hanay X1 , … , Xn ay tinutukoy namin matrix ng insidente A = (aij ), i = 1, n ,

				1 kung xi
		isang ij =
				0 kung hindi.
		patas
		Theorem 1. Let A = (aij ), i =					(n ≤ m) matrix ng saklaw

nagtatakda ng X1 , … , Xn , kung saan ang Xi X, i = 1, n , X = (x1 , … , xm ) . Pagkatapos ay para sa bilang ng mga sistema

mga personal na kinatawan R(X1 , … , Xn ) ng mga set X1 , … , Xn

R(X1 , … , Xn ) = bawat A

♦ Sa katunayan, dahil ang elementong aij = 1 sa matrix A, kung xj Xi at aij = 0 ,

kung xj

K, xi

) ang mga elemento ng X ay isang sistema ng iba't ibang pre-

Xi , pagkatapos ay ang set (xi

mga supplier para sa X1 , … , Xn

kung at lamang kung a1i

K ,a ni

mga pulis a1i

K ,a ni

ay nasa iba't ibang column ng matrix A. Isama ang mga numero

a1i ,K ,a ni

sa lahat ng n-permutations ng mga elemento 1, 2, ... , m. Pagkatapos ay makakakuha tayo ng isang daan

sa kabilang banda, ang bilang ng mga sistema ng iba't ibang kinatawan para sa X1 , … , Xn , at sa kabilang banda, ang halaga ng per-

matris A. ♦

a 1i 1 a 2i 2 L a ni n

Bunga. Ang isang sistema ng iba't ibang kinatawan para sa X1 , … , Xn ay umiiral kung at kung para sa kaukulang matrix ang paglitaw ng A ay mayroong:

Dahil mayroong m(m - 1) ... (m - n +1) na mga termino sa formula (1), mahirap ang pagkalkula ng permanente batay sa kahulugan. Nagbibigay kami ng pangkalahatang formula para sa layuning ito.

2. Nililimitahan namin ang aming sarili sa pagsasaalang-alang ng mga square numerical matrice А = (aij ), i, j = 1, n .

Pagkatapos sa bawat A = ∑

(i1 ,K ,in )

kung saan ang kabuuan ay umaabot sa lahat ng permutasyon i1 , … , sa mga elemento

1, 2, …, n. Ilapat natin ang inclusion-exclusion formula upang kalkulahin ang permanente ng matrix A. Bawat set i1 , … , in ay bibigyan ng timbang na katumbas ng a1i 1 ,K ,a ni n .

Kaya ang permanenteng A ay ang kabuuan ng mga timbang ng mga set na iyon na tumutugma sa mga permutasyon. Ipakilala natin ang n mga katangian P1 , … , Pn sa hanay ng lahat ng mga koleksyon i1 , i2 , … , in mula sa 1, 2, … , n, kung saan ang property na Pi ay nangangahulugan na ang koleksyon i1 , … , in ay walang elemento i. Kaya, ang permanenteng A ay ang kabuuan ng mga timbang ng mga set na i1 , … , na walang alinman sa mga katangian P1 , … , Pn . Ito ay nananatiling upang matukoy ang kabuuan ng mga timbang W(Pi 1 ,K , Pi k ) ng mga set na may mga katangian ng k

Pi 1 ,K , Pi k . Mayroon kaming para sa kabuuan ng mga timbang W(0) ng lahat ng set i1 , … , ik .
W(0) = ∑			K , a ni		= (a 11 + L + a 1n )(a 21 + L + a 2n ) L (a n1 + L + a nn )
i1 ,K ,in
W(N(Pi )) =			a1i ,K , a ni				= (a 11 + L + a 1i	L + a1n )L (a n1 + L a ni + L + a nn ) (9)
	≠i

kung saan ang ^ sign sa ibabaw ng isang elemento ng matrix A ay nangangahulugan na ang elementong ito ay dapat tanggalin. Katulad din para sa sij (i< j) имеем

W(N(Pi , Pj )) = (a11 + L + a1i	L+a1j	L + a1n )L (a n1 + L a ni + L + a nj + L + a nn ) (10)

Ngayon, gamit ang formula ng pagsasama-pagbubukod, nakukuha namin ang formula ng Raiser para sa permanenteng A:

bawat A = ∏ i n = 1 (ai1 + L + ain ) − ∑∏ k n = 1 (a k1 + L + a ki + L + a kn )+ L +
+ (− 1) s	∑∏n
		(isang k1 + L + isang ki1	L+a ki	L + a kn ) + L
	1≤ i1< L < is ≤ k n= 1

Ang pagkalkula ng permanente ayon sa Raiser formula ay maaaring ayusin sa paraang ito ay kinakailangan

(2n - 1)(n - 4) multiplications at (2n - 2)(n + 1) mga karagdagan. Bagama't mabilis na lumalaki ang value na ito kasama ng n, ang formula na ito ay nagbibigay ng pinakamabisang paraan para kalkulahin ang mga permanente.

3. Linawin natin ngayon ang tanong ng mga kondisyon para sa pagkakapantay-pantay sa zero ng permanenteng ng (0, 1)-matrix. Nililimitahan namin ang aming sarili sa kaso ng isang square matrix.

Theorem 2. Hayaan ang A = (aij ), i, j = 1, n ay isang (0, 1)-matrix ng order n. Pagkatapos

bawat A= 0 kung at kung ang A ay may s × t submatrix ng mga zero, kung saan ang s + t = n + 1.

♦ Hayaang umiral ang naturang zero submatrix sa A. Dahil ang permanente ay hindi nagbabago mula sa mga permutasyon ng mga hilera at haligi, maaari nating ipagpalagay na ang submatrix na ito ay matatagpuan sa ibabang kaliwang sulok, i.e.

kung saan ang O - (s × t) ay isang matrix ng mga zero, ang submatrix B ay may sukat (n - s) × t. Ang sinumang miyembro ng permanenteng A ay dapat maglaman ng isang elemento bawat isa mula sa unang t column. Samakatuwid, kung naghahanap tayo ng isang positibong miyembro ng permanenteng, kung gayon ang mga elemento ng mga hanay na ito ay dapat na magkapares sa magkakaibang mga hilera na may mga numero 1, 2, …, n - s. Gayunpaman, n - s = t - 1< t и поэтому данное условие выполнить нельзя, т.е. per A = 0.

Hayaan ngayon sa bawat A = 0. Pinatutunayan namin ang teorama sa pamamagitan ng induction sa n. Para sa n = 1 ang assertion ay halata (A = (0)). Hayaan itong maging wasto para sa lahat ng mga order na mas mababa sa n. Kung ang A ay isang zero matrix ng order n, kung gayon ang assertion ay halata. Kung ang A ay hindi isang zero matrix, hayaan ang aij = 1. Isulat natin ang agnas ng A sa row i:

bawat A = ai1 Ai1 + … + ain Ain

Dahil sa bawat А = 0, pagkatapos ay sa bawat Аij = 0. Ngunit ang Аij ay may sukat (n - 1) × (n - 1) at, sa pamamagitan ng induction hypothesis, mayroong isang submatrix ng mga zero ng laki

s1 × t1 , at s1 + t1 = n - 1 + 1 = n. Muling ayusin ang mga row at column upang ang zero submatrix na ito ay nasa ibabang kaliwang sulok:

A→B=

kung saan О - zero submatrix ng laki s1 × t1 , s1 + t1 = n, С - ay may sukat (n - s1 ) × t1 , D -

may sukat s1 × (n - t) . Samakatuwid, ang mga matrice С at D ay parisukat at may pagkakasunod-sunod (t1 × t1 ) at (s1 × s1 ), ayon sa pagkakabanggit. Ayon sa kahulugan ng isang permanente, mayroon kaming bawat B = bawat A at,

bawat B = bawat C bawat D at samakatuwid mula sa bawat A = 0 sumusunod na alinman sa bawat C = 0 o bawat D = 0.

Let per C = 0. Sa pamamagitan ng inductive hypothesis, ang C ay may zero submatrix ng laki

u × v, kung saan u + v = t1 + 1. Hayaang matatagpuan ito sa mga hilera na may mga numerong i1 , … , iu at mga column na may mga numerong j1 , … , jv . Isaalang-alang ang isang submatrix B na binubuo ng mga hilera

i1 , … , iu , t1 + 1, … , n at mga column j1 , … , jv . Ito ay isang null submatrix ng laki (u + n - t1 ) × v,

kung saan u + n - t1 + v = n + +1. Kaya, ang matrix B ay naglalaman ng isang zero submatrix ng laki s × t, kung saan s + t = n + 1. Dahil ang mga matrice A at B ay naiiba sa permutation ng mga hilera at haligi, ang theorem ay napatunayan. ♦

Isaalang-alang natin ngayon ang isang mahalagang partikular na kaso ng matrix A. Ipahiwatig sa pamamagitan ng A(k, n) ang n × n matrix ng 0.1 elemento na may mga k para sa bawat row at bawat column (k > 0).

Theorem 3. Para sa anumang matrix A(k, n) mayroon tayo bawat A(k, n) > 0.

♦ Ipagpalagay sa kabaligtaran na bawat A(k, n) = 0. Pagkatapos, ayon sa Theorem 2, mayroong zero

submatrix ng laki s × t, kung saan s + t = n + 1. Pagkatapos, sa pamamagitan ng muling pagsasaayos ng mga row at column ng matrix A(k, n), nakukuha natin ang matrix

kung saan ang O ay ang zero (s × t) matrix.

Bilangin natin ang bilang ng 1s sa matrice B at D. Dahil ang A(k, n) ay may k 1s sa bawat row at bawat column, may eksaktong k 1s sa bawat column ng B at bawat row ng D.

mga yunit. Mayroong n k unit sa kabuuan sa A(k, n), kaya nk ≥ tk + sk = (t + s)n. Sa gayon

zom, n ≥ t + s, na imposible, dahil s + t = n + 1

bisa ng paninindigan. ♦ Ito ay napatunayang katulad

Teorama 3a. Hayaang ang A ay isang (0,1)-matrix ng laki n × m (n≤ m). Pagkatapos ay perA = 0 kung at kung naglalaman lamang ito ng zero submatrix na may sukat na s × t, kung saan s+t=m+1.

4. Isaalang-alang natin ngayon ang aplikasyon ng mga tanong na isinasaalang-alang sa pagbuo ng isang latitude.

mga parisukat na lata. Latin (n × m)-parihaba sa hanay X=(x1 ,…,xm )

ay tinatawag na (n × m)-matrix ng mga elemento ng X, kung saan ang bawat hilera ay isang n-permutation ng X, at ang bawat column ay isang m-permutation ng set X. Para sa n=m, ang Latin rectangle ay tinawag Latin square.

Malinaw na para sa n=1 ang bilang ng Latin na 1 × m na parihaba ay katumbas ng m!. Para sa n=2, pagkatapos mapili ang unang hilera, anumang permutasyon ay maaaring kunin bilang pangalawa.

pagbabago na sumasalungat sa napili. Ang bilang ng naturang mga permutasyon ay Dm , kaya ang bilang na 2× m -

latin na parihaba ay katumbas ng m! Dm.

Ang isang natural na tanong ay lumitaw na may kaugnayan sa inductive construction ng Latin squares. Bumuo tayo ng Latin (n × m)-rectangle (n< m). Можно ли его расширить до ((n+1)× m) -прямоугольника добавлением (n+1)-й строки?

patas

Theorem 4. Bawat Latin (n × m) -parihaba n

♦ Hayaang X=(x1 ,…,xm ) at L-Latin (n × m)-rectangle na may mga elemento mula sa X. Isaalang-alang ang isang set ng set A1 ,… ,Am kung saan ang Ai ay ang mga elemento ng ith column ng Latin rectangle L. Hayaan ang A - ang incidence matrix ng set system A1 ,… ,Am . Ito ay may sukat m × m , at ang bawat hilera ng matrix A ay naglalaman ng eksaktong mga n, dahil Ai = n, i = 1, m . Ang bawat elemento xi X ay maaaring lumabas sa mga column L nang hindi hihigit sa m beses, kung hindi, magkakaroon ng row kung saan ang elementong ito ay nangyayari nang dalawang beses. Kabuuang bilang ng mga elemento

Ang L ay katumbas ng m n, kaya ang bawat elemento xi X ay lilitaw nang eksaktong n beses sa mga column. Ito ay nagpapahiwatig na ang bawat column ng matrix A ay naglalaman ng eksaktong n isa. Isaalang-alang ngayon ang matrix A na nakuha sa pamamagitan ng pagpapalit sa bawat 1 ng zero at bawat zero ng 1.

Ang matrix A ay ang incidence matrix ng sistema ng mga set X1 , … , Xn , kung saan Xi = X\Ai ,

i = 1, m . Naglalaman ito ng m - n sa bawat row at sa bawat column. Sa pamamagitan ng teorama

> 0. Hayaan ang ai1

… isang mi

≠ 0 . Pagkatapos ay mayroon kaming xi X1 ,K , xi

Xm at lahat ng elemento

xi ,K , xi

magkaiba ang magkapares. Linya

xi ,K , xi

maaaring kunin bilang ang (n + 1)th

para sa Latin (n × m)-rectangle L. Sa pagpapatuloy ng pamamaraang ito, nakuha namin ang Latin

sky square. ♦

Tukuyin ang l n - ang bilang ng mga Latin na parisukat ng order n, na may mga elemento mula sa set X = (1, 2, ... , n), kung saan ang mga elemento ng unang hanay at unang hilera ay nasa natural na pagkakasunud-sunod. Narito ang isang talahanayan ng ilang kilalang halaga ng numero l n:

5. Tinatawag ang isang n × n matrix A = (aij ) na may tunay, hindi negatibong mga elemento dobleng stochastic, kung

μ( n) ay tinukoy para sa lahat ng natural na numero n at kumukuha ng mga halaga depende sa likas na katangian ng pagkabulok ng numero n sa pangunahing mga kadahilanan:

• μ( n) = 1 kung n square-free (i.e. hindi nahahati sa parisukat ng anumang prime number) at ang decomposition n isang pantay na bilang ng mga kadahilanan;
• μ( n) = − 1 kung n libre mula sa mga parisukat at agnas n into prime factors ay binubuo ng isang kakaibang bilang ng mga kadahilanan;
• μ( n) = 0 kung n hindi libre mula sa mga parisukat.

Sa pamamagitan ng kahulugan, μ(1) = 1 ay ipinapalagay din.

Mga Katangian at Aplikasyon

Ang function ng Möbius ay multiplicative: para sa anumang relatibong prime na numero a at b pagkakapantay-pantay μ( ab) = μ( a)μ( b) .

Ang kabuuan ng mga halaga ng function ng Möbius sa lahat ng mga divisors ng isang integer n, hindi katumbas ng isa, ay katumbas ng zero

Style="max-width: 98%; height: auto; width: auto;" src="/pictures/wiki/files/49/1bee8d0f6bd91176912a8cedc63e174b.png" border="0">

Mula rito, sa partikular, sinusunod nito na para sa anumang hindi-bakanteng finite set, ang bilang ng iba't ibang subset na binubuo ng isang kakaibang bilang ng mga elemento ay katumbas ng bilang ng iba't ibang subset na binubuo ng isang even na bilang ng mga elemento - isang katotohanang ginamit sa patunay.

Ang Möbius function ay nauugnay sa Mertens function sa pamamagitan ng kaugnayan

Ang Mertens function, sa turn, ay malapit na nauugnay sa problema ng mga zero ng Riemann zeta function, tingnan ang Mertens conjecture article.

Möbius inversion

Ang unang Möbius inversion formula

Para sa mga arithmetic function f at g ,

g(n) =	∑	f(d)
	d | n

kung at kung lamang

.

Ang pangalawang Möbius inversion formula

Para sa mga function na talagang pinahahalagahan f(x) at g(x) tinukoy sa ,

kung at kung lamang

.

Dito ang kabuuan ay binibigyang kahulugan bilang .

Wikimedia Foundation. 2010 .

Tingnan kung ano ang "Mobius function" sa iba pang mga diksyunaryo:

Ang function ng Möbius na μ(n) ay isang multiplicative arithmetic function na ginagamit sa number theory at combinatorics, na pinangalanan pagkatapos ng German mathematician na si Möbius, na unang isinasaalang-alang ito noong 1831. Contents 1 Definition 2 Properties and applications ... Wikipedia

Ang function ng Möbius na μ(n) ay isang multiplicative arithmetic function na ginagamit sa number theory at combinatorics, na pinangalanan pagkatapos ng German mathematician na si Möbius, na unang isinasaalang-alang ito noong 1831. Contents 1 Definition 2 Properties and applications ... Wikipedia

Uri ng mga pagbabagong-anyo sa complex plane (gray) at ang Riemann sphere (black) Mga Nilalaman 1 Depinisyon 2 Algebraic properties ... Wikipedia

Fractional linear function kung saan ang z = (z1,...,zn) ay kumplikado o tunay na mga variable, ai,b,ci,d ay kumplikado o totoong coefficients. Kadalasan ang terminong "linear fractional function" ay ginagamit para sa espesyal na kaso ng pagbabagong-anyo ... ... Wikipedia

Ang serye ng Möbius ay isang functional na serye ng anyo Ang seryeng ito ay inimbestigahan ni Möbius, na nakahanap ng inversion formula para sa seryeng ito: kung saan ang μ (s) ay ang Möbius function ... Wikipedia

PARAAN NG MEDIKAL NA PANANALIKSIK- ako. Pangkalahatang mga prinsipyo ng medikal na pananaliksik. Ang paglago at pagpapalalim ng ating kaalaman, parami nang parami ang teknikal na kagamitan ng klinika, batay sa paggamit ng pinakabagong mga tagumpay sa pisika, kimika at teknolohiya, ang nauugnay na komplikasyon ng mga pamamaraan ... ... Malaking Medical Encyclopedia

Isang pathological na kondisyon na bubuo sa panahon ng panganganak at nailalarawan sa pamamagitan ng pinsala sa mga tisyu at organo ng bata, na sinamahan, bilang panuntunan, ng isang karamdaman sa kanilang mga pag-andar. Ang mga salik na predisposing sa pag-unlad ng R. tinatawag na ay hindi tama ... ... Medical Encyclopedia

Pag-andar ng Möbius  (n), saan n ay isang natural na numero, kumukuha ng mga sumusunod na halaga:

Binibigyang-daan ka ng function ng Möbius na isulat ang function ng Euler bilang kabuuan:

Ang summation ay napupunta sa lahat ng divisors ng n (at hindi lang sa mga prime divisors).

Halimbawa. Compute φ (100) gamit ang function ng Möbius.

Ang lahat ng divisors ng 100 ay (1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100).

(2) \u003d (-1) 1 \u003d -1 (dalawa ay may isang simpleng divisor - 2)

(4) = 0 (4 ay nahahati sa parisukat ng 2)

(5) = (-1) 1 = -1 (5 ay may isang pangunahing divisor - 5)

(10) = (-1) 2 = 1 (10 ay may dalawang prime divisors - 2 at 5)

(20) = 0 (20 ay nahahati sa parisukat ng dalawa)

(25) = 0 (25 ay nahahati sa parisukat ng lima)

(50) = 0 (50 ay nahahati sa parehong 2 2 at 5 5)

(100) = 0 (100 ay nahahati sa parehong 2 2 at 5 5)

kaya,

Property ng function ng Möbius:.

Halimbawa, n=100, {1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100}.

16 Ang theorem sa bilang ng mga paraan upang pumili ng mga k-elemento, kung saan walang dalawang magkalapit, mula sa n mga elemento na nakaayos sa isang hilera. Patunayan sa pamamagitan ng pagkuha ng recursive formula.

17 Bilang ng mga kumbinasyon na may mga pag-uulit

Numero r-mga kumbinasyon na may mga pag-uulit mula sa n-mga pantay-pantay

.

– patunay gamit ang isang recursive formula.

Ang pamamaraan ay batay sa pagkuha ng isang formula na nagbibigay-daan sa iyo upang kalkulahin ang mga halaga ng kinakailangang dami ng hakbang-hakbang, batay sa kilalang mga paunang halaga at ang mga halaga na kinakalkula sa mga nakaraang hakbang.

Paulit-ulit na formular -ika-utos- formula ng form

a n = f(n, a n- 1 , a n- 2 , … , a n-r).

Ang formula ay nagpapahayag sa n>r bawat miyembro ng sequence ( a i) sa pamamagitan ng nakaraan r mga miyembro. Ang pagbuo ng isang recursive formula ay binubuo ng mga sumusunod na hakbang.

1. Pag-unlad ng mga paunang kondisyon batay sa ilang malinaw na ugnayan.

Tukuyin ng f(n,r). Obvious naman yun

2. Lohikal na pangangatwiran. Ayusin natin ang ilang elemento sa set S. Pagkatapos ay para sa anumang r-mga kumbinasyon na may mga pag-uulit mula sa n-set S masasabi kung naglalaman ito ng isang nakapirming elemento o wala.

Kung ang naglalaman ng, pagkatapos ay ang natitira ( r-1) maaaring mapili ang item f(n,r-1) mga paraan.

Kung ang hindi naglalaman ng(walang elemento sa sample), pagkatapos r-Ang kumbinasyon ay binubuo ng mga elemento ( n-1)-set (set S maliban sa nakapirming elementong ito). Ang bilang ng mga naturang kumbinasyon f(n-1,r).

kasi Ang mga kasong ito ay kapwa eksklusibo, pagkatapos ay sa pamamagitan ng tuntunin ng kabuuan

3. Sinusuri ang formula sa ilang mga halaga at kumukuha ng pangkalahatang pattern.

1) Kalkulahin f (n ,0) . Mula sa (2) ay sumusunod

Pagkatapos f(n,0)=f(n,1)-f(n-1.1). Mula sa (1) f(n,1)=n,f(n-1,1)=n-1.

Kaya naman, f(n,0)=n-(n-1)=1=.

2) f (n ,1) =f(n,0)+f(n-1,1) = 1+n- 1 =n==.

3) f (n ,2) =f(n,1)+f(n-1,2) =n+f(n-1,1)+f(n-2,2) =n+(n-1)+f(n-2,1)+f(n-3,2) = … =

= n+(n-1)+…+2+1 =.

(kabuuan ng pag-unlad ng aritmetika)

4) f (n ,3) =f(n,2)+f(n-1,3) =+f(n-1,2)+f(n-2,3) =++f(n-2,2)+f(n-3,3) = … =

(kabuuan ng geometric progression)

5) f (n ,4) =

Sa batayan ng mga partikular na kaso, maaari itong ipagpalagay na

4. Sinusuri ang mga paunang kondisyon gamit ang resultang formula.

,

na sumasang-ayon sa (1) #

19, 20) Ang bilang ng mga binary tree na may n vertices ay C(n), kung saan ang C(n) ay ang nth Catalan number.

Ang bilang ng mga binary tree na may n vertices ay tinatawag na Catalan number, na mayroong maraming kawili-wiling katangian. Ang Nth Catalan number ay kinakalkula gamit ang formula (2n)! / (n+1)!n!, na lumalaki nang husto. (Nag-aalok ang Wikipedia ng ilang patunay na ito ay isang anyo ng numero ng Catalan.) Bilang ng mga binary tree na may ibinigay na laki 0 ​​1 1 1 2 2 4 14 8 1430 12 208012 16 35357670

Pagpapalit

Tumalon sa: nabigasyon, Maghanap

Ang artikulong ito ay tungkol sa pagpapalit bilang isang syntactic na operasyon samga tuntunin . Marahil ikaw ay interesadopermutasyon .

AT matematika at computer science pagpapalit ay isang operasyon syntactic pagpapalit ng mga subterm ng isang ibinigay termino iba pang mga termino, ayon sa ilang mga patakaran. Kadalasan ay pinag-uusapan natin ang pagpapalit ng termino para sa variable.

Mga kahulugan at notasyon

Walang unibersal, pare-parehong notasyon para sa pagpapalit, at walang karaniwang kahulugan. Ang konsepto ng pagpapalit ay nag-iiba hindi lamang sa loob ng mga seksyon, kundi pati na rin sa antas ng mga indibidwal na publikasyon. Sa pangkalahatan, maaaring makilala ng isa pagpapalit ng konteksto at pagpapalit ng "sa halip na". Sa unang kaso, ang lugar sa termino kung saan nagaganap ang pagpapalit ay ibinibigay ng konteksto, iyon ay, bahagi ng termino, "palibot" sa lugar na ito. Sa partikular, ang ideyang ito ng pagpapalit ay ginagamit sa muling pagsusulat. Ang pangalawang pagpipilian ay mas karaniwan. Sa kasong ito, ang pagpapalit ay karaniwang ibinibigay ng ilang function mula sa hanay ng mga variable hanggang sa hanay ng mga termino. Upang italaga mga aksyong pagpapalit karaniwang ginagamit postfix notation. Halimbawa, ang ibig sabihin ay ang resulta ng isang term substitution action.

Sa karamihan ng mga kaso, kinakailangan na ang pagpapalit ay may limitadong suporta, iyon ay, na ang hanay ay pinal. Sa kasong ito, maaari itong tukuyin sa pamamagitan lamang ng pag-enumerate ng mga pares "variable-value". Dahil ang bawat naturang pagpapalit ay maaaring bawasan sa isang pagkakasunod-sunod ng mga pagpapalit na pinapalitan lamang ng isang variable bawat isa, nang walang pagkawala ng pangkalahatan ay maaari nating ipagpalagay na ang pagpapalit ay ibinibigay ng isang pares "variable-value" na kadalasang ginagawa.

Ang huling kahulugan ng pagpapalit ay marahil ang pinakakaraniwan at madalas na ginagamit. Gayunpaman, walang iisang karaniwang tinatanggap na notasyon para dito. Kadalasang ginagamit upang tukuyin ang pagpapalit a sa halip na x sa t ginagamit ang talaan t[a/x], t[x:=a] o t[x←a].

Pagpapalit ng variable saλ-calculus

Sa λ-calculus, ang pagpapalit ay tinutukoy ng structural induction. Para sa mga di-makatwirang bagay , at isang di-makatwirang variable, ang resulta ng pagpapalit ng isang di-makatwirang libreng pangyayari ay kinakalkula pagpapalit at tinukoy sa pamamagitan ng induction sa konstruksiyon:

(i) batayan:: Ang bagay ay tumutugma sa variable. Pagkatapos;

(ii) batayan:: bagay na tumutugma sa pare-pareho. Pagkatapos ay para sa di-makatwirang atomic;

(iii) hakbang: : bagay na hindi atomic at may anyo ng isang aplikasyon. Pagkatapos;

(iv) hakbang:: bagay ay hindi atomic at isang abstraction. Pagkatapos [;

(v) hakbang:: bagay ay hindi atomic at isang abstraction, bukod pa rito. Pagkatapos:

para sa iili;

Pagpapalit ng variable sa programming

Pagpapalit variable ( Ingles pagpapalit) sa aplikatibong programming ay nauunawaan bilang mga sumusunod. Upang kalkulahin ang halaga ng isang function f sa argumento v inilapat ang rekord f(v)), saan f tinukoy ng disenyo f(x) = e. Pagre-record f(v) sa kasong ito ay nangangahulugan na sa expression e nangyayari pagpapalit, o variable na pagpapalit x sa v. Ang pagpapalit ay isinasagawa ayon sa computational semantics.

Pagpapalit variable ( Ingles takdang-aralin) sa programming naiintindihan bilang takdang-aralin. Ang assignment operator ay isang manifestation ng von Neumann bottleneck effect sa mga tradisyonal na programming language. . Malaya mula dito mga applicative computing system.

http://math.nsc.ru/LBRT/u3/bard/fails/Brenner_Evans.pdf

21 Pagbuo ng mga function.Generating function (enumerator) at enumerating generating function para sa mga kumbinasyon na walang pag-uulit.

Pagbuo ng mga function: 1) Z-transforms 2) generatrix 3) pagbuo ng function 4) pagbuo ng function ng sequence (a r ) sa batayan (g r ) - ang function f, kapag pinalawak sa isang serye sa mga tuntunin ng mga function ng isang nakapirming batayan ( g r ), ang pagkakasunod-sunod ng mga coefficient na ito ay nabuo (a r ) …………*)

Ang linyang ito ay pormal. Ang pangalang pormal ay nangangahulugan na binibigyang-kahulugan namin ang formula *) bilang isang maginhawang representasyon ng aming pagkakasunud-sunod - sa kasong ito, hindi mahalaga kung ano ang (aksyon at kumplikado) na mga halaga na pinagsama nito. Ang papel na ginagampanan ng t ay ang pagkilala sa pagitan ng mga coefficient ng sequence A0,A1,…Ar... samakatuwid, sa teorya ng pagbuo ng mga function, ang mga halaga ng seryeng ito ay hindi kailanman kinakalkula para sa isang partikular na halaga ng variable t. Ang ilang mga operasyon lamang ang ginagawa sa naturang serye, at pagkatapos ay ang ilang mga operasyon lamang sa naturang serye ay tinutukoy, at pagkatapos ay ang mga coefficient sa mga indibidwal na kapangyarihan ng variable t ay tinutukoy.

Karaniwan bilang

22 pagbuo ng function. Generating function (enumerator) at enumerating generating function para sa mga kumbinasyong may mga pag-uulit.

Pagbuo ng function para sa:

Panuntunan sa pagtatayo

1) Kung ang isang elemento ng uri i ay maaaring isama sa mga kumbinasyon K 1 o K 2 o ... K i beses, pagkatapos ay ang kaukulang multiplier

3) Ito ay nananatili upang mahanap ang koepisyent. sa

exponential generating function para sa mga placement construction rule

25) Kasama rin ang mga combinatorial number Stirling na mga numero una at pangalawang uri. Ang mga numerong ito ay tinukoy bilang mga coefficient sa mga pagkakapantay-pantay

at magkaroon ng isang simpleng kombinatoryal na kahulugan - katumbas ng bilang ng mga elemento ng pangkat ng permutasyon na mga produkto ng eksakto k non-intersecting cycle, pati na rin ang bilang ng mga partisyon n- naka-on ang elemento k walang laman na mga subset. Obvious naman yun. Ang isang katulad na kabuuan ng mga numero ng Stirling ng pangalawang uri ay tinatawag n-th Bell number at katumbas ng bilang ng lahat ng partition n- set ng elemento. Para sa mga Bell number, valid ang recursive formula.

Kapag nilulutas ang mga problemang kombinatoryal, madalas itong nagiging kapaki-pakinabang formula ng pagsasama-pagbubukod

na nagbibigay-daan upang mahanap ang cardinality ng unyon ng mga set kung ang mga cardinality ng kanilang mga intersection ay kilala. Ginagamit namin ang formula ng pagsasama-pagbubukod upang makakuha ng tahasang formula para sa mga numero ng Stirling ng pangalawang uri.

Stirling numero ng unang uri

Mula sa Wikipedia, ang malayang ensiklopedya

Tumalon sa: nabigasyon, Maghanap

Stirling numero ng unang uri(unsigned) - dami mga permutasyon utos n kasama k mga cycle.

Kahulugan

Stirling numero ng unang uri(pinirmahan) s(n, k) ay tinatawag na coefficients polinomyal:

saan ( x) n - Simbolo ng Pochhammer (bumababa ng factorial):

Tulad ng nakikita mo mula sa kahulugan, ang mga numero ay may alternating sign. Ang kanilang mga ganap na halaga ay tumutukoy sa numero mga permutasyon set na binubuo ng n mga elemento na may k mga cycle.

Paulit-ulit na relasyon

Ang mga stirling na numero ng unang uri ay ibinibigay paulit-ulit ratio:

s(n,n) = 1, para sa n ≥ 0,

s(n,0) = 0, para sa n > 0,

para sa 0< k < n.

Patunay.

Para sa n=1 ang pagkakapantay-pantay na ito ay direktang na-verify. Hayaan ang permutasyon ( n-1)-nahati ang ika-utos sa k mga cycle. Numero n maaaring idagdag pagkatapos ng anumang numero sa kaukulang loop. Ang lahat ng nagreresultang permutasyon ay iba at naglalaman ng mga k cycle, ang kanilang bilang ( n-isa)· s(n-1, k). Mula sa anumang permutasyon ( n-1)-ika utos na naglalaman ng k-1 cycle, maaaring mabuo ang isang permutasyon n order na naglalaman ng k cycle sa pamamagitan ng pagdaragdag ng cycle na nabuo ng isang numero n. Malinaw, inilalarawan ng konstruksiyon na ito ang lahat ng mga permutasyon n ika-utos na naglalaman ng k mga cycle. Kaya napatunayan ang pagkakapantay-pantay.

Halimbawa

Mga unang hanay:

AT combinatorics Stirling number ng pangalawang uri mula sa n sa k, na tinutukoy ng o, ay ang bilang ng hindi nakaayos mga partisyon n- elemental set sa k walang laman na mga subset.

Paulit-ulit na formula

Ang mga stirling na numero ng pangalawang uri ay nagbibigay-kasiyahan paulit-ulit ratio:

Para sa n ≥ 0,

Para sa n > 0,

Tahasang Formula

Halimbawa

Ang mga paunang halaga ng mga numero ng Stirling ng pangalawang uri ay ibinibigay sa talahanayan:

Ari-arian

Bijective Ang pagmamapa ay isang pagmamapa na may parehong injectivity at surjectivity na mga feature.

Lemma.

Patunay. Para malinaw ang pahayag. Hayaan at maging ang canonical decomposition ng numero . Pagkatapos, ibinigay na ang mga divisors ay may anyo , kung saan , ,..., ; , nakukuha namin

sa abot ng

Teorama. (Additive Möbius inversion formula.) Hayaan at maging function ng natural na argumento . Tapos kung

Patunay. Meron kami

Hayaan . Pagkatapos ang fixed ay tumatakbo sa lahat ng mga halaga ng mga divisors ng numero. Nangangahulugan ito na ang mga summation sign sa huling double sum ay maaaring baligtarin, i.e.

Ngayon, ibinigay na

nakukuha natin

May isa pang anyo ng napatunayang teorama:

Teorama. (Multiplicative Möbius inversion formula.) Hayaan

kung saan ang simbolo ay nagsasaad ng produkto na pinalawak sa lahat ng divisors ng numero.

Patunay:

Mga halimbawa ng paggamit ng Möbius inversion formula:

Ang problema ng bilang ng mga pagkakasunud-sunod ng singsing. Tingnan ang: Hall M. Combinatorics. M.: Mir, , § .

Ang bilang ng mga hindi mababawasan na polynomial ng isang naibigay na antas sa isang may hangganan na larangan ng mga elemento. Tingnan ang: Berlekamp E. Algebraic coding theory. − M.: Mir, 1970, Ch. 3.

Glukhov M. M., Elizarov V. P., Nechaev A. A. Algebra. Sa t. M .: Helios, . T. , § .

Para sa sariling pag-aaral:

Möbius inversion sa mga partially ordered sets. Ang prinsipyo ng pagsasama-pagbubukod bilang isang espesyal na kaso ng Möbius inversion formula. Tingnan ang: Hall M. Combinatorics. Moscow: Mir, , §; Bender E., Goldman J. Sa mga aplikasyon ng Möbius inversion sa combinatorial analysis. Sa: Enumerative na problema ng combinatorial analysis. M.: Mir, 1971. S. - .

Mga paghahambing para sa kumbinasyon ng mga numero

Hayaan ang isang pangunahing numero.

Lemma.

Patunay. Kapag ang numerator sa formula

Bunga.

Patunay.

Lemma. Hayaan ang , , , maging mga hindi negatibong integer, at , . Pagkatapos

Patunay. Meron kami

Sa kabila,

Ang paghahambing ng mga coefficient sa parehong mga kapangyarihan, makuha namin ang nais na resulta. ∎

− representasyon ng mga hindi negatibong integer at ayon sa base . (Dito, anumang integer kung saan , ). Sa hanay ng mga di-negatibong integer, tinukoy namin ang isang bahagyang pagkakasunod-sunod na ugnayan (ang kaugnayan karapatan sa pangunguna), sa pag-aakalang , kung at kung lamang

Lucas theorem ( ).

Patunay. Ayon sa nakaraang lemma,

saan,. Paulit-ulit na paglalapat ng lemma k sa naaangkop na bilang ng beses, makuha namin ang kinakailangang resulta. ∎

Magkomento. Ang teorama ay hindi totoo para sa hindi simple. Halimbawa (tingnan ang Berlekamp, ​​​​p.),

Bunga.

II . Mga istrukturang algebra

II. isa. Mga set na may binary operations. Groupoids, semigroups, monoids

Binary algebraic na operasyon(o batas ng komposisyon) sa isang hindi walang laman na hanay S ay tinatawag na pagmamapa : , tumutugma sa isang pares ng mga elemento , isang natatanging tinukoy na elemento , . Maraming mga operasyon ang maaaring tukuyin sa isang set. (Kung, halimbawa, siyempre, kung gayon ang bilang ng mga paraan ay , nasaan ang bilang ng mga elemento sa .) Gustong pumili ng isa sa mga ito, halimbawa, , isinulat namin ang , . Ang ganitong bagay ay tinatawag binary algebra, o groupoid. Sa halip na , madalas silang sumulat , at ang operasyon mismo ay tinutukoy ng ilang simbolo ( , , , atbp.).

Magkomento. Kasama ng mga binary na pagpapatakbo, ang mas pangkalahatang -ary na mga pagpapatakbo (unary para sa , ternary para sa , atbp.) ay isinasaalang-alang. Ang mga algebraic na istruktura (mga sistema) na nauugnay sa kanila ay ang paksa ng pag-aaral ng tinatawag na. mga unibersal na algebra.

Ang isang binary na operasyon sa isang set ay tinatawag nag-uugnay, kung

, para sa anumang , , .

Ang isang groupoid na may isang nauugnay na operasyon ay tinatawag kalahating pangkat.

Isang halimbawa ng non-associative groupoid. Sa set, tinukoy namin ang operasyon bilang . Ang operasyon ay hindi nauugnay: , ngunit .

Teorama. Kung ang isang binary na operasyon sa isang set ay nauugnay, kung gayon ang halaga ng expression ay hindi nakasalalay sa pag-aayos ng mga bracket sa loob nito.

Patunay. Para sa , o ang assertion ay halata. Para sa , ito ay sapat na upang ipakita sa pamamagitan ng induction na

para sa anumang , . Sa pamamagitan ng induction hypothesis, ang pagsasaayos ng mga panaklong sa

hindi makabuluhan; sa partikular, .

Kung , kung gayon .

Kung , kung gayon

Ang kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay (1) na pinatutunayan ay binabawasan sa parehong anyo. ∎

Ang elemento ay tinatawag neutral tungkol sa operasyon, kung

para kahit kanino.

Ang isang semigroup, na may isang elemento ay tinatawag monoid(o semigroup na may pagkakakilanlan) at tukuyin ang , , .

Ang isang semigroup (groupoid) ay maaaring magkaroon ng hindi hihigit sa isang neutral na elemento: kung

, ay mga neutral na elemento, kung gayon

Ang isang groupoid (semigroup) ay tinatawag subgroupoid (subsemigroup) ng isang groupoid (semigroup) , , kung

At para sa anumang , .

Sa kasong ito, ang subset ay sinasabing sarado sa ilalim ng operasyon. Monoid, , ang tawag submonoid monoid , , , kung at .

Ang elemento ng monoid , , ay tinatawag nababaligtad kung may elementong ganyan (Obvious naman, then we will invert). Kung ang elemento ay may parehong pag-aari, i.e. , pagkatapos ito ay sumusunod mula sa mga pagkakapantay-pantay na ang elemento ay sa katunayan ang isa lamang (na may paggalang sa ). Ito ay nagpapahintulot sa iyo na pag-usapan reverse element , to (invertible) element , na may mga katangian: , .

Kung ang , ay mga invertible elements ng monoid , , , kung gayon ang kanilang produkto ay isa ring invertible element, dahil , . Malinaw, ay isang invertible na elemento. Samakatuwid, mayroong

Teorama. Ang set ng lahat ng invertible na elemento ng monoid , , ay sarado sa ilalim ng operasyon ∗ at bumubuo ng submonoid sa , , .

Mga grupo

Depinisyon ng pangkat. Ang isang monoid , , , na ang lahat ng mga elemento ay invertible, ay tinatawag pangkat.

Sa madaling salita, ang pangkat ay isang set na may binary na operasyon kung saan hawak ang mga sumusunod na axiom:

. (Pagsara ng operasyon.) , .

. (Pagkakaugnay ng operasyon.) ,

. (Ang pagkakaroon ng neutral na elemento.) ∃ .

. (Pagkakaroon ng kabaligtaran na elemento.) .

Magkomento. Pagbabalik sa mga istrukturang algebraic na ipinakilala sa itaas, naobserbahan namin ang sumusunod na hierarchy sa kanila: ang pares , ay groupoid, kung ang axiom; kalahating pangkat, kung ang mga axiom at ay nasiyahan; monoid, kung ang axioms , at ; pangkat, kung ang axioms , , at .

Ang mga antas ng mga elemento na may halatang katangian ay natural na tinukoy:

(minsan),

; , ( , , .

Sa pangkalahatan, imposibleng muling ayusin ang mga elemento sa isang expression (i.e. ). Kung ang , pagkatapos ay tinatawag ang mga elemento permutasyon, o nagko-commute. Kung mag-commute ang alinmang dalawang elemento ng isang grupo, tatawagin ang grupo commutative, o abelian(bilang parangal sa Norwegian mathematician na si Riel Henrik Abel ( - )).

Ang isang operasyon sa isang pangkat ay kadalasang tinutukoy ng alinman sa simbolo (dagdag) o simbolo (multiplikasyon). Ang grupo ay pinangalanan nang naaayon pandagdag o multiplicative, ang neutral na elemento nito − ayon sa pagkakabanggit sero() o yunit(). Sa isang additive group, ang elemento, ang elementong inverse sa elemento ay tinatawag kabaligtaran at ipinapahiwatig ng , at sa halip ay sumulat sila . Sa isang multiplicative na grupo, ang isa ay karaniwang nagsusulat sa halip na , inaalis ang simbolo ng operasyon.

Mga halimbawa ng mga additive group. 1) , , , , , , , ay mga additive na grupo ng ring at field , , . Magsulat ka na lang,,,,. 2) Anumang karagdagan ring ay isang grupong Abelian. Sa partikular, ang polynomial ring ,…, ] at ang matrix ring , ng pagkakasunud-sunod sa isang field ay mga pangkat ng Abelian. 3) Anumang vector space sa ibabaw ng field na may kinalaman sa karagdagan ay isang Abelian group. 4) , 1,…, ay ang kumpletong sistema ng hindi bababa sa non-negatibong residues modulo na may operasyon ng karagdagan modulo .

Mga halimbawa ng multiplicative group. 1) , , − multiplicative na pangkat ng mga field , , . 2) ay ang hanay ng mga invertible na elemento ng anumang singsing na may pagkakaisa sa ilalim ng multiplikasyon. Sa partikular, = ; , ay ang set ng invertible matrices mula sa . 3) − lahat ng (totoo at kumplikado) na mga ugat

, , 1,…, , − haka-haka na yunit,

Ang mga equation ay isang multiplicative abelian group. 4) − set ng mga pag-ikot ng isang regular na -gon sa eroplano at sa espasyo − non-commutative na pangkat (para sa ).

Dagdag pa, ang multiplicative na paraan ng pagtatala ng operasyon ay mas madalas na ginagamit. Ang grupo ay karaniwang tinutukoy ng isang titik nang hindi tinukoy ang isang operasyon. Ang set ng lahat ng elemento ng isang grupo ay tinatawag pangunahing hanay ng pangkat at ipinapahiwatig ng parehong titik. Kung ang pinagbabatayan na hanay ay may hangganan, kung gayon ang pangkat ay tatawagin panghuli; kung hindi man ito ay tinatawag walang katapusan. Ang bilang ng elemento ng isang may hangganang pangkat ay tinatawag na nito sa ayos. Ang pangkat ng order 1 ay tinatawag walang asawa, o T walang kuwenta. Ang pangkat na walang hanggan ay sinasabing mayroon walang katapusang ayos. Ang pantay na mga simbolo Card (cardinal number), at () ay ginagamit upang tukuyin ang pagkakasunud-sunod ng grupo (cardinality ng pangunahing set).

Kung , ay mga subset (ng pangunahing hanay) ng pangkat, pagkatapos ay itinakda namin

, , .

Subgroup Ang isang pangkat ay isang subset ng B na mismong isang pangkat na may paggalang sa parehong operasyon tulad ng sa . Sa madaling salita, ang isang subset ay isang subgroup kung at kung lamang (isa sa) at sarado sa ilalim ng multiplication at reciprocal, i.e. , (sa katunayan, may mga pagkakapantay-pantay dito). Kung ang − ay isang subgroup sa , pagkatapos ay isulat ang ; kung sa parehong oras , pagkatapos ay tinatawag na sariling subgroup at ito ay tinutukoy bilang .

Alam ng halos lahat kung ano ang hitsura ng simbolo ng infinity, na kahawig ng isang inverted figure na walo. Ang tanda na ito ay tinatawag ding "lemniscate", na nangangahulugang laso sa sinaunang Griyego. Isipin na ang simbolo ng infinity ay halos kapareho sa isang real-life mathematical figure. Kilalanin ang Moebius Strip!

Ano ang Möbius strip?

ang Mobius strip(o tinatawag din itong Mobius loop, Mobius strip at maging ang Mobius ring) ay isa sa mga pinakatanyag na surface sa matematika. Ang Möbius loop ay isang loop na may isang ibabaw at isang gilid.

Upang maunawaan kung ano ang nakataya, at kung paano ito maaaring mangyari, kumuha ng papel, gupitin ang isang hugis-parihaba na strip at sa sandali ng pagkonekta sa mga dulo nito, i-twist ang isa sa mga ito 180 degrees, pagkatapos ay ikonekta ito. Ang larawan sa ibaba ay makakatulong sa iyo na malaman kung paano gumawa ng isang Mobius strip.

Ano ang kapansin-pansin sa Möbius strip?

ang Mobius strip- isang halimbawa ng isang hindi-orientable na one-sided na ibabaw na may isang gilid sa karaniwang three-dimensional na Euclidean space. Karamihan sa mga bagay ay orientable, na may dalawang panig, tulad ng isang sheet ng papel.

Paano kung gayon ang isang strip ng Möbius ay isang non-orientable, isang panig na ibabaw - sasabihin mo, dahil ang papel kung saan ito ginawa ay may dalawang panig. At sinubukan mong kumuha ng marker at punan ang isa sa mga gilid ng tape na may kulay, sa huli ay maabot mo ang paunang posisyon, at ang buong tape ay ganap na maipinta, na nagpapatunay na mayroon lamang itong isang panig.

Upang maniwala na ang Möbius loop ay may isang gilid lamang - i-slide ang iyong daliri sa isa sa mga gilid ng tape nang walang pagkaantala, at ikaw, tulad ng sa kaso ng pangkulay, ay tatama sa punto kung saan ka nagsimulang gumalaw. Kamangha-manghang, hindi ba?

Ang pag-aaral ng strip ng Möbius at maraming iba pang mga kawili-wiling bagay ay nakikibahagi sa - topology, isang sangay ng matematika na nag-e-explore sa mga hindi nagbabagong katangian ng isang bagay sa panahon ng tuluy-tuloy na pagpapapangit nito - pag-uunat, compression, baluktot, nang hindi lumalabag sa integridad.

Pagtuklas kay August Möbius

Ang isang German mathematician ay kinikilala bilang "ama" ng hindi pangkaraniwang tape na ito August Ferdinand Möbius, isang estudyante ng Gauss, na sumulat ng higit sa isang akda sa geometry, ngunit naging tanyag pangunahin sa pagtuklas ng isang panig na ibabaw noong 1858.

Nakakagulat ang katotohanan na ang isang tape na may isang ibabaw sa parehong 1858 ay natuklasan ng isa pang estudyante ng Gauss - isang mahuhusay na matematiko. Johann Listing, na lumikha ng terminong "topology" at sumulat ng isang serye ng mga pangunahing gawain sa sangay ng matematika na ito. Gayunpaman, nakuha pa rin ng hindi pangkaraniwang tape ang pangalan nito mula sa pangalan ng Möbius.

Mayroong isang tanyag na paniniwala na ang prototype ng "walang katapusan na loop" na modelo ay isang maling pagkakatahi ng tape ng dalaga ni Propesor August Möbius.

Sa totoo lang, matagal nang natuklasan ang tape sa sinaunang mundo. Ang isa sa mga kumpirmasyon ay isang sinaunang Romanong mosaic na matatagpuan sa France, sa museo ng lungsod ng Arles, na may parehong baluktot na laso. Inilalarawan nito si Orpheus na nakakaakit ng mga hayop na may mga tunog ng alpa. Laban sa background, paulit-ulit na inilalarawan ang isang palamuti na may baluktot na laso.

"Magic" ng Möbius strip

1. Sa kabila ng maliwanag na presensya ng dalawang panig ng strip ng Möbius, sa katunayan mayroon lamang isang gilid, at hindi ito gagana upang kulayan ang tape sa dalawang kulay.
2. Kung gumuhit ka ng isang linya kasama ang buong haba ng loop gamit ang isang panulat o lapis nang hindi inaalis ang iyong kamay sa sheet, pagkatapos ay ang stylus sa kalaunan ay titigil sa punto kung saan mo sinimulan ang pagguhit ng linya;
3. Ang mga kahanga-hangang karanasan ay nakukuha kapag pinuputol ang laso, na maaaring sorpresa sa parehong may sapat na gulang at isang bata sa partikular.

• Una, idikit ang strip ng Möbius, tulad ng inilarawan kanina. Pagkatapos ay pinutol namin ito sa buong haba nang eksakto sa gitna, tulad ng ipinapakita sa ibaba:

Magugulat ka sa resulta, dahil salungat sa mga inaasahan, hindi dalawang piraso ng tape, at hindi kahit dalawang magkahiwalay na bilog, ang mananatili sa iyong mga kamay, ngunit isa pa, kahit na mas mahabang tape. Hindi na ito magiging Mobius strip na pinaikot ng 180 degrees, ngunit isang strip na may 360 degree na pag-ikot.

• Ngayon ay magsasagawa kami ng isa pang eksperimento - gagawa kami ng isa pang Mobius loop, pagkatapos nito ay susukatin namin ang 1/3 ng lapad ng tape at putulin ito sa linyang ito. Ang resulta ay mas humanga sa iyo - dalawang magkahiwalay na laso na may iba't ibang laki ay mananatili sa iyong mga kamay, magkakaugnay, tulad ng sa isang kadena: isang maliit na laso, at isang mas mahabang pangalawa.

Ang mas maliit na strip ng Möbius ay magkakaroon ng 1/3 ng orihinal na lapad ng strip, haba L, at pinaikot ng 180 degrees. Ang pangalawang mas mahabang ribbon ay magiging 1/3 na kasing lapad ng orihinal, ngunit 2L ang haba at pinaikot 360 degrees.

• Maaari mong ipagpatuloy ang eksperimento nang higit pa, na pinutol ang mga nagresultang mga teyp sa mas makitid, makikita mo mismo ang resulta.

Bakit kailangan natin ng Mobius loop? Aplikasyon

Ang strip ng Möbius ay hindi isang abstract na pigura, kailangan lamang para sa mga layunin ng matematika, natagpuan din nito ang aplikasyon sa tunay na pang-araw-araw na buhay. Ayon sa prinsipyo ng sinturon na ito, ang isang sinturon ay nagpapatakbo sa paliparan, na naglilipat ng mga maleta mula sa kompartimento ng bagahe. Ang disenyo na ito ay nagpapahintulot na ito ay tumagal nang mas matagal dahil sa pare-parehong pagsusuot. Ang pagtuklas kay August Möbius ay malawakang ginagamit sa industriya ng machine tool. Ang disenyo ay ginagamit para sa mas mahabang oras ng pag-record sa pelikula, gayundin sa mga printer na gumagamit ng tape kapag nagpi-print.

Dahil sa visibility nito, ginagawang posible ng Möbius loop para sa mga modernong siyentipiko na gumawa ng higit at higit pang mga bagong pagtuklas. Mula nang matuklasan ang mga kamangha-manghang katangian ng loop, isang alon ng mga bagong patentadong imbensyon ang dumaan sa mundo. Halimbawa, isang makabuluhang pagpapabuti sa mga katangian ng mga magnetic core na ginawa mula sa isang ferromagnetic tape na sugat sa pamamagitan ng Mobius method.

Nakatanggap si N. Tesla ng patent para sa multi-phase alternating current system, gamit ang winding ng generator coils tulad ng Mobius loop.

Ang American scientist na si Richard Davis ay nagdisenyo ng non-reactive Moebius resistor - na may kakayahang mag-damping ng reactive (capacitive at inductive) resistance nang hindi nagdudulot ng electromagnetic interference.

Mobius strip - isang malawak na larangan para sa inspirasyon

Mahirap pahalagahan ang kahalagahan ng pagtuklas ng Möbius loop, na nagbigay inspirasyon hindi lamang sa malaking bilang ng mga siyentipiko, kundi pati na rin sa mga manunulat at artista.

Ang pinakatanyag na gawa na nakatuon sa Möbius strip ay ang pagpipinta ng Moebius Strip II, Red Ants o Red Ants ng Dutch graphic artist na si Maurits Escher. Ang larawan ay nagpapakita ng mga langgam na umaakyat sa Moebius loop sa magkabilang panig, sa katunayan mayroon lamang isang gilid. Ang mga langgam ay gumagapang sa isang walang katapusang loop nang sunud-sunod sa parehong ibabaw.

Ang artist Drew kanyang mga ideya mula sa mga artikulo at mga gawa sa matematika, siya ay malalim na nabighani sa pamamagitan ng geometry. Kaugnay nito, ang kanyang mga lithograph at mga ukit ay madalas na naglalaman ng iba't ibang mga geometric na hugis, fractals, nakamamanghang optical illusions.

Hanggang ngayon, ang interes sa Mobius loop ay nasa napakataas na antas, kahit na ang mga atleta ay nagpakilala ng aerobatics figure ng parehong pangalan.

Higit sa isang pelikula ang ginawa batay sa gawa ng Möbius Strip ng science fiction na manunulat na si Armin Deutsch. Sa anyo ng isang Mobius loop, isang malaking iba't ibang mga alahas, sapatos, eskultura at maraming iba pang mga bagay at anyo ang nilikha.

Ang strip ng Möbius ay nag-iwan ng marka sa produksyon, disenyo, sining, agham, panitikan, at arkitektura.

Ang isipan ng maraming tao ay nag-aalala tungkol sa pagkakapareho ng hugis ng molekula ng DNA at ng Möbius loop. May isang hypothesis na iniharap ng Soviet cytologist na si Navashin na ang form singsing na kromosoma katulad ng istraktura sa strip ng Möbius. Ang ideyang ito ng siyentipiko ay sinenyasan ng katotohanan na ang chromosome ng singsing, dumarami, nagiging mas mahabang singsing kaysa sa pinakasimula, o sa dalawang maliliit na singsing, ngunit parang nasa isang kadena na sinulid ang isa sa isa, na lubos na nakapagpapaalaala sa mga eksperimento na inilarawan sa itaas gamit ang strip ng Möbius.

Noong 2015, isang grupo ng mga siyentipiko mula sa Europa at Estados Unidos ang nakapag-ikot liwanag sa Möbius ring. Sa siyentipikong eksperimento, gumamit ang mga siyentipiko ng optical lens at structured light - isang nakatutok na laser beam na may paunang natukoy na intensity at polarization sa bawat punto ng paggalaw nito. Bilang resulta, nakuha ang mga light Möbius strips.

May isa pang mas malaking teorya. Ang uniberso ay isang malaking Mobius loop. Si Einstein ay sumunod sa ideyang ito. Iminungkahi niya na ang uniberso ay sarado, at ang isang spacecraft, na nagsisimula sa isang tiyak na punto dito at lumilipad nang diretso sa lahat ng oras, ay babalik sa parehong punto sa espasyo at oras kung saan nagsimula ang paggalaw nito.

Sa ngayon, ito ay mga hypotheses lamang na may parehong mga tagasuporta at kalaban. Sino ang nakakaalam kung anong pagtuklas ang hahantong sa mga siyentipiko, tila isang simpleng bagay tulad ng Möbius Strip.