Trapeze ay isang may apat na gilid na may dalawang magkatulad na gilid, na siyang mga base, at dalawang di-parallel na panig, na siyang mga gilid.
Mayroon ding mga pangalan tulad ng isosceles o isosceles.
Ito ay isang trapezoid na may tamang mga anggulo sa gilid ng gilid.
Mga elemento ng trapeze
a, b mga base ng isang trapezoid(isang parallel sa b ),
m, n - panig trapeze,
d 1 , d 2 — diagonal trapeze,
h- taas trapezoid (isang segment na nagkokonekta sa mga base at sa parehong oras patayo sa kanila),
MN- gitnang linya(isang segment na nagkokonekta sa mga midpoint ng mga gilid).
Lugar ng trapezium
- Sa pamamagitan ng kalahati ng kabuuan ng mga base a, b at ang taas h : S = \frac(a + b)(2)\cdot h
- Sa pamamagitan ng midline MN at taas h : S = MN\cdot h
- Sa pamamagitan ng mga diagonal d 1 , d 2 at ang anggulo (\sin \varphi ) sa pagitan ng mga ito: S = \frac(d_(1) d_(2) \sin \varphi)(2)
Mga Katangian ng Trapezoid
Median na linya ng trapezoid
gitnang linya ay kahanay sa mga base, katumbas ng kanilang kalahating kabuuan, at hinahati ang bawat segment na may mga dulo na matatagpuan sa mga tuwid na linya na naglalaman ng mga base (halimbawa, ang taas ng figure) sa kalahati:
MN || a, MN || b, MN = \frac(a + b)(2)
Ang kabuuan ng mga anggulo ng isang trapezoid
Ang kabuuan ng mga anggulo ng isang trapezoid, katabi ng bawat panig, ay katumbas ng 180^(\circ) :
\alpha + \beta = 180^(\circ)
\gamma + \delta =180^(\circ)
Mga tatsulok ng pantay na lugar ng isang trapezoid
Pantay ang laki, iyon ay, ang pagkakaroon ng pantay na mga lugar, ay ang mga segment ng mga diagonal at ang mga tatsulok na AOB at DOC na nabuo ng mga gilid.
Pagkakatulad ng nabuong trapezoid triangles
katulad na mga tatsulok ay AOD at COB, na nabuo sa pamamagitan ng kanilang mga base at diagonal na mga segment.
\tatsulok AOD \sim \tatsulok COB
koepisyent ng pagkakatulad k ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula:
k = \frac(AD)(BC)
Bukod dito, ang ratio ng mga lugar ng mga tatsulok na ito ay katumbas ng k^(2) .
Ang ratio ng mga haba ng mga segment at base
Ang bawat segment na nagkokonekta sa mga base at dumadaan sa punto ng intersection ng mga diagonal ng trapezoid ay nahahati sa puntong ito na may kaugnayan sa:
\frac(OX)(OY) = \frac(BC)(AD)
Magiging totoo rin ito para sa taas na may mga diagonal mismo.
- Ang segment na nagkokonekta sa mga midpoint ng mga diagonal ng isang trapezoid ay katumbas ng kalahati ng pagkakaiba ng mga base.
- Ang mga tatsulok na nabuo ng mga base ng trapezoid at ang mga segment ng mga dayagonal hanggang sa punto ng kanilang intersection ay magkatulad
- Ang mga tatsulok na nabuo ng mga segment ng mga diagonal ng isang trapezoid, ang mga gilid nito ay nasa gilid ng trapezoid - pantay na lugar (may parehong lugar)
- Kung palawakin natin ang mga gilid ng trapezoid patungo sa mas maliit na base, pagkatapos ay magsa-intersect sila sa isang punto na may tuwid na linya na nagkokonekta sa mga midpoint ng mga base.
- Ang segment na nagkokonekta sa mga base ng trapezoid, at dumadaan sa punto ng intersection ng mga diagonal ng trapezoid, ay nahahati sa puntong ito sa isang proporsyon na katumbas ng ratio ng mga haba ng mga base ng trapezoid.
- Ang isang segment na kahanay sa mga base ng trapezoid at iginuhit sa pamamagitan ng intersection point ng mga diagonal ay nahahati sa puntong ito, at ang haba nito ay katumbas ng 2ab / (a + b), kung saan ang a at b ay ang mga base ng trapezoid
Mga katangian ng isang segment na nagkokonekta sa mga midpoint ng mga diagonal ng isang trapezoid
Ikonekta ang mga midpoint ng mga diagonal ng trapezoid ABCD, bilang isang resulta kung saan magkakaroon tayo ng isang segment na LM.
Isang line segment na nagdurugtong sa mga midpoint ng mga diagonal ng isang trapezoid namamalagi sa midline ng trapezium.
Ang segment na ito parallel sa mga base ng trapezium.
Ang haba ng segment na nagkokonekta sa mga midpoint ng mga diagonal ng isang trapezoid ay katumbas ng kalahating pagkakaiba ng mga base nito.
LM = (AD - BC)/2
o
LM = (a-b)/2
Mga katangian ng mga tatsulok na nabuo ng mga diagonal ng isang trapezoid
Ang mga tatsulok na nabuo ng mga base ng trapezoid at ang punto ng intersection ng mga diagonal ng trapezoid - ay parehas.
Ang mga tatsulok na BOC at AOD ay magkatulad. Dahil ang mga anggulo ng BOC at AOD ay patayo, sila ay pantay.
Ang mga anggulo ng OCB at OAD ay panloob na crosswise na nakahiga sa parallel na linya AD at BC (ang mga base ng trapezium ay parallel sa isa't isa) at ang secant line AC, samakatuwid, sila ay pantay.
Ang mga anggulo ng OBC at ODA ay pantay para sa parehong dahilan (internal cross-lying).
Dahil ang lahat ng tatlong anggulo ng isang tatsulok ay katumbas ng mga katumbas na anggulo ng isa pang tatsulok, ang mga tatsulok na ito ay magkatulad.
Ano ang kasunod nito?
Upang malutas ang mga problema sa geometry, ang pagkakatulad ng mga tatsulok ay ginagamit bilang mga sumusunod. Kung alam natin ang haba ng dalawang katumbas na elemento ng magkatulad na tatsulok, makikita natin ang koepisyent ng pagkakapareho (hinahati natin ang isa sa isa). Mula sa kung saan ang mga haba ng lahat ng iba pang mga elemento ay nauugnay sa bawat isa sa eksaktong parehong halaga.
Mga katangian ng mga tatsulok na nakahiga sa gilid ng gilid at mga dayagonal ng isang trapezoid
Isaalang-alang ang dalawang tatsulok na nakahiga sa mga gilid ng trapezoid AB at CD. Ito ay mga tatsulok na AOB at COD. Sa kabila ng katotohanan na ang mga sukat ng mga indibidwal na panig ng mga tatsulok na ito ay maaaring ganap na naiiba, ngunit ang mga lugar ng mga tatsulok na nabuo ng mga gilid at ang punto ng intersection ng mga diagonal ng trapezoid ay, ibig sabihin, ang mga tatsulok ay pantay.
Kung ang mga gilid ng trapezoid ay pinalawak patungo sa mas maliit na base, kung gayon ang punto ng intersection ng mga gilid ay magiging nag-tutugma sa isang tuwid na linya na dumadaan sa mga midpoint ng mga base.
Kaya, ang anumang trapezoid ay maaaring pahabain sa isang tatsulok. kung saan:
- Ang mga tatsulok na nabuo ng mga base ng isang trapezoid na may isang karaniwang vertex sa punto ng intersection ng mga pinahabang panig ay magkatulad
- Ang tuwid na linya na nagkokonekta sa mga midpoint ng mga base ng trapezoid ay, sa parehong oras, ang median ng constructed triangle
Mga katangian ng isang segment na nagkokonekta sa mga base ng isang trapezoid
Kung gumuhit ka ng isang segment na ang mga dulo ay namamalagi sa mga base ng trapezoid, na namamalagi sa intersection point ng mga diagonal ng trapezoid (KN), kung gayon ang ratio ng mga constituent segment nito mula sa gilid ng base hanggang sa intersection point ng diagonal (KO / ON) ay magiging katumbas ng ratio ng mga base ng trapezoid(BC/AD).
KO/ON=BC/AD
Ang pag-aari na ito ay sumusunod mula sa pagkakatulad ng mga katumbas na tatsulok (tingnan sa itaas).
Mga katangian ng isang segment na kahanay sa mga base ng isang trapezoid
Kung gumuhit ka ng isang segment na kahanay sa mga base ng trapezoid at dumadaan sa intersection point ng mga diagonal ng trapezoid, magkakaroon ito ng mga sumusunod na katangian:
- Preset na distansya (KM) hinahati ang punto ng intersection ng mga diagonal ng trapezoid
- Haba ng hiwa, na dumadaan sa punto ng intersection ng mga diagonal ng trapezoid at kahanay sa mga base, ay katumbas ng KM = 2ab/(a + b)
Mga formula para sa paghahanap ng mga diagonal ng isang trapezoid
a, b- mga base ng isang trapezoid
c, d- mga gilid ng trapezoid
d1 d2- mga diagonal ng isang trapezoid
α β - mga anggulo na may mas malaking base ng trapezoid
Mga formula para sa paghahanap ng mga dayagonal ng isang trapezoid sa pamamagitan ng mga base, gilid at anggulo sa base
Ang unang pangkat ng mga formula (1-3) ay sumasalamin sa isa sa mga pangunahing katangian ng trapezoid diagonal:
1. Ang kabuuan ng mga parisukat ng mga dayagonal ng isang trapezoid ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga gilid at dalawang beses ang produkto ng mga base nito. Ang pag-aari na ito ng mga diagonal ng isang trapezoid ay maaaring patunayan bilang isang hiwalay na teorama
2 . Ang formula na ito ay nakuha sa pamamagitan ng pagbabago ng nakaraang formula. Ang parisukat ng pangalawang dayagonal ay itinapon sa ibabaw ng pantay na tanda, pagkatapos kung saan ang square root ay nakuha mula sa kaliwa at kanang bahagi ng expression.
3 . Ang formula na ito para sa paghahanap ng haba ng dayagonal ng isang trapezoid ay katulad ng nauna, na may pagkakaiba na ang isa pang dayagonal ay naiwan sa kaliwang bahagi ng expression.
Ang susunod na pangkat ng mga formula (4-5) ay magkatulad sa kahulugan at nagpapahayag ng magkatulad na relasyon.
Ang pangkat ng mga formula (6-7) ay nagpapahintulot sa iyo na mahanap ang dayagonal ng isang trapezoid kung alam mo ang mas malaking base ng trapezoid, isang gilid at ang anggulo sa base.
Mga formula para sa paghahanap ng mga diagonal ng isang trapezoid sa mga tuntunin ng taas
Gawain.
Ang mga dayagonal ng trapezoid ABCD (AD | | BC) ay nagsalubong sa punto O. Hanapin ang haba ng base BC ng trapezoid kung ang base AD = 24 cm, haba AO = 9 cm, haba OS = 6 cm.
Solusyon.
Ang solusyon ng gawaing ito ay ganap na magkapareho sa mga naunang gawain sa mga tuntunin ng ideolohiya.
Ang mga tatsulok AOD at BOC ay magkatulad sa tatlong anggulo - AOD at BOC ay patayo, at ang natitirang mga anggulo ay magkapares na magkapareho, dahil ang mga ito ay nabuo sa pamamagitan ng intersection ng isang linya at dalawang parallel na linya.
Dahil ang mga tatsulok ay magkatulad, kung gayon ang lahat ng kanilang mga geometric na sukat ay nauugnay sa isa't isa, dahil ang mga geometric na sukat ng mga segment na AO at OC ay kilala sa amin sa pamamagitan ng kondisyon ng problema. Yan ay
AO/OC=AD/BC
9 / 6 = 24 / B.C.
BC = 24 * 6 / 9 = 16
Sagot: 16 cm
Gawain .
Sa trapezoid ABCD alam na AD=24, BC=8, AC=13, BD=5√17. Hanapin ang lugar ng trapezoid. 
Solusyon .
Upang mahanap ang taas ng isang trapezoid mula sa mga vertices ng mas maliit na base B at C, ibababa namin ang dalawang taas sa mas malaking base. Dahil ang trapezoid ay hindi pantay, tinutukoy namin ang haba AM = a, ang haba KD = b ( hindi dapat malito sa mga simbolo sa formula paghahanap ng lugar ng isang trapezoid). Dahil ang mga base ng trapezoid ay parallel at tinanggal namin ang dalawang taas na patayo sa mas malaking base, kung gayon ang MBCK ay isang parihaba.
ibig sabihin
AD=AM+BC+KD
a + 8 + b = 24
a = 16 - b
Ang mga tatsulok na DBM at ACK ay right-angled, kaya ang kanilang mga tamang anggulo ay nabuo sa pamamagitan ng taas ng trapezoid. Tukuyin natin ang taas ng trapezoid bilang h. Pagkatapos ay sa pamamagitan ng Pythagorean theorem
H 2 + (24 - a) 2 \u003d (5√17) 2
At
h 2 + (24 - b) 2 \u003d 13 2
Isaalang-alang na a \u003d 16 - b, pagkatapos ay sa unang equation
h 2 + (24 - 16 + b) 2 \u003d 425
h 2 \u003d 425 - (8 + b) 2
Palitan ang halaga ng parisukat ng taas sa pangalawang equation, na nakuha ng Pythagorean Theorem. Nakukuha namin:
425 - (8 + b) 2 + (24 - b) 2 = 169
-(64 + 16b + b) 2 + (24 - b) 2 = -256
-64 - 16b - b 2 + 576 - 48b + b 2 = -256
-64b = -768
b = 12
Kaya, KD = 12
saan
h 2 \u003d 425 - (8 + b) 2 \u003d 425 - (8 + 12) 2 \u003d 25
h = 5
Hanapin ang lugar ng isang trapezoid gamit ang taas nito at kalahati ng kabuuan ng mga base
, kung saan a b - ang mga base ng trapezoid, h - ang taas ng trapezoid
S \u003d (24 + 8) * 5 / 2 \u003d 80 cm 2
Sagot: ang lugar ng isang trapezoid ay 80 cm2.
Mahalaga sa amin ang iyong privacy. Para sa kadahilanang ito, bumuo kami ng Patakaran sa Privacy na naglalarawan kung paano namin ginagamit at iniimbak ang iyong impormasyon. Mangyaring basahin ang aming patakaran sa privacy at ipaalam sa amin kung mayroon kang anumang mga katanungan.
Pagkolekta at paggamit ng personal na impormasyon
Ang personal na impormasyon ay tumutukoy sa data na maaaring magamit upang makilala o makipag-ugnayan sa isang partikular na tao.
Maaaring hilingin sa iyo na ibigay ang iyong personal na impormasyon anumang oras kapag nakipag-ugnayan ka sa amin.
Ang mga sumusunod ay ilang halimbawa ng mga uri ng personal na impormasyon na maaari naming kolektahin at kung paano namin magagamit ang naturang impormasyon.
Anong personal na impormasyon ang aming kinokolekta:
- Kapag nagsumite ka ng aplikasyon sa site, maaari kaming mangolekta ng iba't ibang impormasyon, kabilang ang iyong pangalan, numero ng telepono, email address, atbp.
Paano namin ginagamit ang iyong personal na impormasyon:
- Ang personal na impormasyong kinokolekta namin ay nagpapahintulot sa amin na makipag-ugnayan sa iyo at ipaalam sa iyo ang tungkol sa mga natatanging alok, promosyon at iba pang mga kaganapan at paparating na mga kaganapan.
- Paminsan-minsan, maaari naming gamitin ang iyong personal na impormasyon upang magpadala sa iyo ng mahahalagang paunawa at komunikasyon.
- Maaari rin kaming gumamit ng personal na impormasyon para sa mga panloob na layunin, tulad ng pagsasagawa ng mga pag-audit, pagsusuri ng data at iba't ibang pananaliksik upang mapabuti ang mga serbisyong ibinibigay namin at mabigyan ka ng mga rekomendasyon tungkol sa aming mga serbisyo.
- Kung sasali ka sa isang premyo na draw, paligsahan o katulad na insentibo, maaari naming gamitin ang impormasyong ibibigay mo upang pangasiwaan ang mga naturang programa.
Pagbubunyag sa mga ikatlong partido
Hindi namin ibinubunyag ang impormasyong natanggap mula sa iyo sa mga ikatlong partido.
Mga pagbubukod:
- Kung kinakailangan - alinsunod sa batas, utos ng hudikatura, sa mga ligal na paglilitis, at / o batay sa mga pampublikong kahilingan o kahilingan mula sa mga katawan ng estado sa teritoryo ng Russian Federation - ibunyag ang iyong personal na impormasyon. Maaari rin kaming magbunyag ng impormasyon tungkol sa iyo kung matukoy namin na ang naturang pagbubunyag ay kinakailangan o naaangkop para sa seguridad, pagpapatupad ng batas, o iba pang layunin ng pampublikong interes.
- Kung sakaling magkaroon ng muling pagsasaayos, pagsasanib o pagbebenta, maaari naming ilipat ang personal na impormasyong kinokolekta namin sa may-katuturang kahalili ng third party.
Proteksyon ng personal na impormasyon
Gumagawa kami ng mga pag-iingat - kabilang ang administratibo, teknikal at pisikal - upang protektahan ang iyong personal na impormasyon mula sa pagkawala, pagnanakaw, at maling paggamit, pati na rin mula sa hindi awtorisadong pag-access, pagsisiwalat, pagbabago at pagkasira.
Pagpapanatili ng iyong privacy sa antas ng kumpanya
Upang matiyak na ligtas ang iyong personal na impormasyon, ipinapaalam namin ang mga kasanayan sa privacy at seguridad sa aming mga empleyado at mahigpit na ipinapatupad ang mga kasanayan sa privacy.
Sa artikulong ito, susubukan naming ipakita ang mga katangian ng trapezoid nang buo hangga't maaari. Sa partikular, pag-uusapan natin ang tungkol sa mga pangkalahatang palatandaan at katangian ng isang trapezoid, pati na rin ang tungkol sa mga katangian ng isang nakasulat na trapezoid at tungkol sa isang bilog na nakasulat sa isang trapezoid. Tatalakayin din natin ang mga katangian ng isang isosceles at rectangular trapezoid.
Ang isang halimbawa ng paglutas ng isang problema gamit ang mga itinuturing na katangian ay makakatulong sa iyong ayusin ang mga bagay sa iyong ulo at mas matandaan ang materyal.
Trapeze at lahat-lahat-lahat
Upang magsimula, alalahanin natin sandali kung ano ang isang trapezoid at kung ano ang iba pang mga konsepto na nauugnay dito.
Kaya, ang isang trapezoid ay isang quadrilateral figure, ang dalawa sa mga gilid nito ay parallel sa bawat isa (ito ang mga base). At ang dalawa ay hindi magkatulad - ito ang mga panig.
Sa isang trapezoid, ang taas ay maaaring tanggalin - patayo sa mga base. Ang gitnang linya at mga dayagonal ay iginuhit. At din mula sa anumang anggulo ng trapezoid posible na gumuhit ng bisector.
Tungkol sa iba't ibang mga katangian na nauugnay sa lahat ng mga elementong ito at ang kanilang mga kumbinasyon, pag-uusapan natin ngayon.
Mga katangian ng mga diagonal ng isang trapezoid
Upang maging mas malinaw, habang nagbabasa, i-sketch ang ACME trapezoid sa isang piraso ng papel at gumuhit ng mga dayagonal dito.
- Kung nahanap mo ang mga midpoint ng bawat isa sa mga diagonal (tawagin natin ang mga puntong ito na X at T) at ikonekta ang mga ito, makakakuha ka ng isang segment. Ang isa sa mga katangian ng mga diagonal ng isang trapezoid ay ang segment na XT ay namamalagi sa midline. At ang haba nito ay maaaring makuha sa pamamagitan ng paghahati ng pagkakaiba ng mga base sa dalawa: XT \u003d (a - b) / 2.
- Bago sa amin ay ang parehong ACME trapezoid. Ang mga diagonal ay bumalandra sa punto O. Isaalang-alang natin ang mga tatsulok na AOE at IOC na nabuo ng mga segment ng mga dayagonal kasama ang mga base ng trapezoid. Ang mga tatsulok na ito ay magkatulad. Ang koepisyent ng pagkakapareho ng k triangles ay ipinahayag sa mga tuntunin ng ratio ng mga base ng trapezoid: k = AE/KM.
Ang ratio ng mga lugar ng triangles AOE at IOC ay inilalarawan ng koepisyent k 2 . - Ang lahat ng parehong trapezoid, ang parehong mga diagonal na intersecting sa punto O. Tanging sa oras na ito ay isasaalang-alang natin ang mga tatsulok na nabuo ang mga diagonal na segment kasama ang mga gilid ng trapezoid. Ang mga lugar ng triangles AKO at EMO ay pantay - ang kanilang mga lugar ay pareho.
- Ang isa pang pag-aari ng isang trapezoid ay kinabibilangan ng pagtatayo ng mga diagonal. Kaya, kung ipagpapatuloy natin ang mga gilid ng AK at ME sa direksyon ng mas maliit na base, pagkatapos ay sa lalong madaling panahon sila ay magsalubong sa ilang mga punto. Susunod, gumuhit ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng mga midpoint ng mga base ng trapezoid. Nag-intersect ito sa mga base sa mga puntong X at T.
Kung palawigin natin ngayon ang linyang XT, pagsasamahin nito ang punto ng intersection ng mga diagonal ng trapezoid O, ang punto kung saan ang mga extension ng mga gilid at ang mga midpoint ng mga base ng X at T ay nagsalubong. - Sa pamamagitan ng punto ng intersection ng mga diagonal, gumuhit kami ng isang segment na magkokonekta sa mga base ng trapezoid (T namamalagi sa mas maliit na base ng KM, X - sa mas malaking AE). Hinahati ng intersection point ng mga diagonal ang segment na ito sa sumusunod na ratio: TO/OH = KM/AE.
- At ngayon sa pamamagitan ng punto ng intersection ng mga diagonal gumuhit kami ng isang segment na kahanay sa mga base ng trapezoid (a at b). Ang intersection point ay hahatiin ito sa dalawang pantay na bahagi. Maaari mong mahanap ang haba ng isang segment gamit ang formula 2ab/(a + b).
Mga katangian ng midline ng isang trapezoid
Iguhit ang gitnang linya sa trapezium parallel sa mga base nito.
- Ang haba ng midline ng isang trapezoid ay maaaring kalkulahin sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga haba ng mga base at paghahati sa kanila sa kalahati: m = (a + b)/2.
- Kung gumuhit ka ng anumang segment (taas, halimbawa) sa parehong base ng trapezoid, hahatiin ito ng gitnang linya sa dalawang pantay na bahagi.
Pag-aari ng bisector ng isang trapezoid
Pumili ng anumang anggulo ng trapezoid at gumuhit ng bisector. Kunin, halimbawa, ang anggulo na KAE ng aming trapezoid ACME. Matapos makumpleto ang konstruksiyon sa iyong sarili, madali mong makita na ang bisector ay pumutol mula sa base (o ang pagpapatuloy nito sa isang tuwid na linya sa labas ng figure mismo) isang segment na may parehong haba ng gilid.
Mga katangian ng anggulo ng trapezoid
- Alinman sa dalawang pares ng mga anggulo na katabi ng gilid ang pipiliin mo, ang kabuuan ng mga anggulo sa isang pares ay palaging 180 0: α + β = 180 0 at γ + δ = 180 0 .
- Ikonekta ang mga midpoint ng mga base ng trapezoid na may isang segment na TX. Ngayon tingnan natin ang mga anggulo sa mga base ng trapezoid. Kung ang kabuuan ng mga anggulo para sa alinman sa mga ito ay 90 0, ang haba ng segment ng TX ay madaling kalkulahin batay sa pagkakaiba sa mga haba ng mga base, na hinati sa kalahati: TX \u003d (AE - KM) / 2.
- Kung ang mga parallel na linya ay iguguhit sa mga gilid ng anggulo ng isang trapezoid, hahatiin nila ang mga gilid ng anggulo sa mga proporsyonal na segment.
Mga katangian ng isang isosceles (isosceles) trapezoid
- Sa isang isosceles trapezoid, ang mga anggulo sa alinman sa mga base ay pantay.
- Ngayon ay bumuo muli ng isang trapezoid upang gawing mas madaling isipin kung tungkol saan ito. Tumingin ng mabuti sa base ng AE - ang vertex ng kabaligtaran na base ng M ay inaasahang sa isang tiyak na punto sa linya na naglalaman ng AE. Ang distansya mula sa vertex A hanggang sa projection point ng vertex M at ang midline ng isang isosceles trapezoid ay pantay.
- Ang ilang mga salita tungkol sa pag-aari ng mga diagonal ng isang isosceles trapezoid - ang kanilang mga haba ay pantay. At gayundin ang mga anggulo ng pagkahilig ng mga diagonal na ito sa base ng trapezoid ay pareho.
- Malapit lamang sa isang isosceles trapezoid ang maaaring ilarawan ang isang bilog, dahil ang kabuuan ng magkasalungat na mga anggulo ng isang quadrilateral 180 0 ay isang kinakailangan para dito.
- Ang pag-aari ng isang isosceles trapezoid ay sumusunod mula sa nakaraang talata - kung ang isang bilog ay maaaring ilarawan malapit sa isang trapezoid, ito ay isosceles.
- Mula sa mga tampok ng isang isosceles trapezoid, ang pag-aari ng taas ng isang trapezoid ay sumusunod: kung ang mga diagonal nito ay bumalandra sa tamang mga anggulo, kung gayon ang haba ng taas ay katumbas ng kalahati ng kabuuan ng mga base: h = (a + b)/2.
- Iguhit muli ang linyang TX sa mga midpoint ng mga base ng trapezoid - sa isang isosceles trapezoid ito ay patayo sa mga base. At sa parehong oras, ang TX ay ang axis ng simetrya ng isang isosceles trapezoid.
- Sa pagkakataong ito ay mas mababa sa mas malaking base (tawagin natin itong a) ang taas mula sa tapat ng vertex ng trapezoid. Makakakuha ka ng dalawang hiwa. Ang haba ng isa ay matatagpuan kung ang mga haba ng mga base ay idinagdag at nahahati sa kalahati: (a+b)/2. Nakukuha natin ang pangalawa kapag ibinawas natin ang mas maliit mula sa mas malaking base at hinati ang nagresultang pagkakaiba sa dalawa: (a – b)/2.
Mga katangian ng isang trapezoid na nakasulat sa isang bilog
Dahil pinag-uusapan na natin ang tungkol sa isang trapezoid na nakasulat sa isang bilog, pag-usapan natin ang isyung ito nang mas detalyado. Sa partikular, kung saan ang sentro ng bilog na may kaugnayan sa trapezoid. Dito rin, inirerekumenda na huwag masyadong tamad na kumuha ng lapis at iguhit ang tatalakayin sa ibaba. Kaya mas mabilis mong mauunawaan, at mas matandaan.
- Ang lokasyon ng gitna ng bilog ay tinutukoy ng anggulo ng pagkahilig ng dayagonal ng trapezoid sa gilid nito. Halimbawa, ang isang dayagonal ay maaaring lumabas mula sa tuktok ng isang trapezoid sa tamang mga anggulo sa gilid. Sa kasong ito, ang mas malaking base ay nag-intersect sa gitna ng circumscribed na bilog nang eksakto sa gitna (R = ½AE).
- Ang dayagonal at ang gilid ay maaari ding magkita sa isang matinding anggulo - pagkatapos ay ang gitna ng bilog ay nasa loob ng trapezoid.
- Ang gitna ng circumscribed na bilog ay maaaring nasa labas ng trapezoid, lampas sa malaking base nito, kung mayroong isang mahinang anggulo sa pagitan ng dayagonal ng trapezoid at ng lateral side.
- Ang anggulo na nabuo ng dayagonal at ang malaking base ng trapezoid ACME (inscribed angle) ay kalahati ng gitnang anggulo na tumutugma dito: MAE = ½MY.
- Sa madaling sabi tungkol sa dalawang paraan upang mahanap ang radius ng circumscribed na bilog. Unang Paraan: tingnang mabuti ang iyong guhit - ano ang nakikita mo? Madali mong mapapansin na hinahati ng dayagonal ang trapezoid sa dalawang tatsulok. Ang radius ay matatagpuan sa pamamagitan ng ratio ng gilid ng tatsulok sa sine ng kabaligtaran na anggulo, na pinarami ng dalawa. Halimbawa, R \u003d AE / 2 * sinAME. Katulad nito, ang formula ay maaaring isulat para sa alinman sa mga gilid ng parehong triangles.
- Paraan ng dalawa: nakita namin ang radius ng circumscribed na bilog sa pamamagitan ng lugar ng tatsulok na nabuo ng dayagonal, gilid at base ng trapezoid: R \u003d AM * ME * AE / 4 * S AME.
Mga katangian ng isang trapezoid na naka-circumscribe sa isang bilog
Maaari mong isulat ang isang bilog sa isang trapezoid kung ang isang kundisyon ay natutugunan. Higit pa tungkol dito sa ibaba. At magkasama ang kumbinasyong ito ng mga numero ay may isang bilang ng mga kagiliw-giliw na katangian.
- Kung ang isang bilog ay nakasulat sa isang trapezoid, ang haba ng midline nito ay madaling mahanap sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga haba ng mga gilid at paghahati ng resultang kabuuan sa kalahati: m = (c + d)/2.
- Para sa isang trapezoid ACME, na nakapaligid sa isang bilog, ang kabuuan ng mga haba ng mga base ay katumbas ng kabuuan ng mga haba ng mga gilid: AK + ME = KM + AE.
- Mula sa pag-aari na ito ng mga base ng isang trapezoid, ang kabaligtaran na pahayag ay sumusunod: ang isang bilog ay maaaring nakasulat sa trapezoid na iyon, ang kabuuan ng mga base nito ay katumbas ng kabuuan ng mga panig.
- Ang tangent point ng isang bilog na may radius r na nakasulat sa isang trapezoid ay naghahati sa gilid ng gilid sa dalawang segment, tawagin natin silang a at b. Ang radius ng isang bilog ay maaaring kalkulahin gamit ang formula: r = √ab.
- At isa pang ari-arian. Upang hindi malito, iguhit ang halimbawang ito sa iyong sarili. Mayroon kaming magandang lumang ACME trapezoid, na nakapaligid sa isang bilog. Ang mga diagonal ay iginuhit sa loob nito, na nagsasalubong sa puntong O. Ang mga tatsulok na AOK at EOM na nabuo ng mga segment ng mga dayagonal at ang mga gilid ay hugis-parihaba.
Ang mga taas ng mga tatsulok na ito, na ibinaba sa mga hypotenuse (i.e., ang mga gilid ng trapezoid), ay nag-tutugma sa radii ng inscribed na bilog. At ang taas ng trapezoid ay kapareho ng diameter ng inscribed na bilog.
Mga katangian ng isang hugis-parihaba na trapezoid
Ang trapezoid ay tinatawag na hugis-parihaba, ang isa sa mga sulok nito ay tama. At ang mga pag-aari nito ay nagmula sa pangyayaring ito.
- Ang isang hugis-parihaba na trapezoid ay may isa sa mga gilid na patayo sa mga base.
- Ang taas at gilid ng trapezoid na katabi ng tamang anggulo ay pantay. Pinapayagan ka nitong kalkulahin ang lugar ng isang hugis-parihaba na trapezoid (pangkalahatang formula S = (a + b) * h/2) hindi lamang sa pamamagitan ng taas, kundi pati na rin sa gilid na katabi ng tamang anggulo.
- Para sa isang hugis-parihaba na trapezoid, ang mga pangkalahatang katangian ng mga trapezoid diagonal na inilarawan sa itaas ay may kaugnayan.
Mga patunay ng ilang katangian ng isang trapezoid
Pagkakapantay-pantay ng mga anggulo sa base ng isang isosceles trapezoid:
- Malamang na nahulaan mo na dito muli nating kailangan ang ACME trapezoid - gumuhit ng isosceles trapezoid. Gumuhit ng linyang MT mula sa vertex M na kahanay sa gilid ng AK (MT || AK).
Ang nagreresultang quadrilateral na AKMT ay isang paralelogram (AK || MT, KM || AT). Dahil ME = KA = MT, ∆ MTE ay isosceles at MET = MTE.
AK || MT, samakatuwid MTE = KAE, MET = MTE = KAE.
Kung saan ang AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.
Q.E.D.
Ngayon, batay sa pag-aari ng isang isosceles trapezoid (pagkakapantay-pantay ng mga diagonal), pinatunayan namin iyon Ang trapezium ACME ay isosceles:
- Upang magsimula, gumuhit tayo ng isang tuwid na linya МХ – МХ || KE. Kumuha kami ng parallelogram na KMHE (base - MX || KE at KM || EX).
Ang ∆AMH ay isosceles, dahil ang AM = KE = MX, at MAX = MEA.
MX || KE, KEA = MXE, samakatuwid MAE = MXE.
Ito ay lumabas na ang mga tatsulok na AKE at EMA ay pantay sa bawat isa, dahil ang AM \u003d KE at AE ay ang karaniwang bahagi ng dalawang tatsulok. At gayundin ang MAE \u003d MXE. Maaari nating tapusin na ang AK = ME, at samakatuwid ay sumusunod na ang trapezoid AKME ay isosceles.
Ulitin ang gawain
Ang mga base ng trapezoid ACME ay 9 cm at 21 cm, ang gilid ng KA, katumbas ng 8 cm, ay bumubuo ng isang anggulo ng 150 0 na may mas maliit na base. Kailangan mong hanapin ang lugar ng trapezoid.
Solusyon: Mula sa vertex K ibinababa namin ang taas hanggang sa mas malaking base ng trapezoid. At simulan natin ang pagtingin sa mga anggulo ng trapezoid.
Ang mga anggulo AEM at KAN ay isang panig. Ibig sabihin, nagdaragdag sila ng hanggang 1800. Samakatuwid, KAN = 30 0 (batay sa pag-aari ng mga anggulo ng trapezoid).
Isaalang-alang ngayon ang hugis-parihaba ∆ANK (sa tingin ko ang puntong ito ay halata sa mga mambabasa nang walang karagdagang patunay). Mula dito nakita natin ang taas ng trapezoid KH - sa isang tatsulok ito ay isang binti, na nasa tapat ng anggulo ng 30 0. Samakatuwid, KN \u003d ½AB \u003d 4 cm.
Ang lugar ng trapezoid ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula: S AKME \u003d (KM + AE) * KN / 2 \u003d (9 + 21) * 4/2 \u003d 60 cm 2.
Afterword
Kung maingat at maingat mong pinag-aralan ang artikulong ito, hindi masyadong tamad na gumuhit ng mga trapezoid para sa lahat ng mga katangian sa itaas na may isang lapis sa iyong mga kamay at pag-aralan ang mga ito sa pagsasanay, dapat ay pinagkadalubhasaan mo nang mabuti ang materyal.
Siyempre, mayroong maraming impormasyon dito, iba-iba at kung minsan ay nakakalito: hindi napakahirap na malito ang mga katangian ng inilarawan na trapezoid sa mga katangian ng nakasulat. Ngunit ikaw mismo ang nakakita na ang pagkakaiba ay napakalaki.
Ngayon ay mayroon kang isang detalyadong buod ng lahat ng mga pangkalahatang katangian ng isang trapezoid. Pati na rin ang mga partikular na katangian at katangian ng isosceles at rectangular trapezoids. Ito ay napaka-maginhawang gamitin upang maghanda para sa mga pagsusulit at pagsusulit. Subukan ito at ibahagi ang link sa iyong mga kaibigan!
site, na may buo o bahagyang pagkopya ng materyal, ang isang link sa pinagmulan ay kinakailangan.
Ang trapezoid ay isang espesyal na kaso ng isang may apat na gilid kung saan ang isang pares ng mga gilid ay parallel. Ang terminong "trapezoid" ay nagmula sa salitang Griyego na τράπεζα, ibig sabihin ay "talahanayan", "talahanayan". Sa artikulong ito isasaalang-alang natin ang mga uri ng trapezium at mga katangian nito. Bilang karagdagan, malalaman natin kung paano kalkulahin ang mga indibidwal na elemento ng halimbawang ito, ang dayagonal ng isang isosceles trapezoid, ang midline, lugar, atbp. Ang materyal ay ipinakita sa estilo ng elementarya na sikat na geometry, iyon ay, sa isang madaling ma-access. anyo.
Pangkalahatang Impormasyon
Una, unawain natin kung ano ang quadrilateral. Ang figure na ito ay isang espesyal na kaso ng isang polygon na naglalaman ng apat na gilid at apat na vertices. Dalawang vertices ng quadrilateral na hindi magkatabi ay tinatawag na kabaligtaran. Ang parehong ay maaaring sinabi tungkol sa dalawang di-katabing panig. Ang mga pangunahing uri ng quadrilaterals ay parallelogram, rectangle, rhombus, square, trapezoid at deltoid.
Kaya, bumalik sa trapeze. Tulad ng nasabi na natin, ang figure na ito ay may dalawang panig na magkatulad. Tinatawag silang mga base. Ang iba pang dalawa (hindi parallel) ay ang mga gilid. Sa mga materyales ng mga pagsusulit at iba't ibang mga pagsubok, madalas na mahahanap ng isang tao ang mga gawain na may kaugnayan sa mga trapezoid, ang solusyon na kadalasang nangangailangan ng mag-aaral na magkaroon ng kaalaman na hindi ibinigay ng programa. Ang kursong geometry ng paaralan ay nagpapakilala sa mga mag-aaral sa mga katangian ng mga anggulo at dayagonal, pati na rin ang midline ng isang isosceles trapezoid. Ngunit pagkatapos ng lahat, bilang karagdagan dito, ang nabanggit na geometric figure ay may iba pang mga tampok. Ngunit higit pa sa kanila mamaya ...
Mga uri ng trapezoid
Mayroong maraming mga uri ng figure na ito. Gayunpaman, madalas na kaugalian na isaalang-alang ang dalawa sa kanila - isosceles at hugis-parihaba.
1. Ang isang hugis-parihaba na trapezoid ay isang pigura kung saan ang isa sa mga gilid ay patayo sa mga base. Mayroon itong dalawang anggulo na laging siyamnapung digri.
2. Ang isosceles trapezoid ay isang geometric figure na ang mga gilid ay pantay sa bawat isa. Nangangahulugan ito na ang mga anggulo sa mga base ay magkapares din na pantay.
Ang mga pangunahing prinsipyo ng pamamaraan para sa pag-aaral ng mga katangian ng isang trapezoid
Ang pangunahing prinsipyo ay ang paggamit ng tinatawag na diskarte sa gawain. Sa katunayan, hindi na kailangang ipakilala ang mga bagong katangian ng figure na ito sa teoretikal na kurso ng geometry. Maaari silang matuklasan at mabuo sa proseso ng paglutas ng iba't ibang mga problema (mas mahusay kaysa sa sistematikong mga problema). Kasabay nito, napakahalaga na alam ng guro kung anong mga gawain ang kailangang itakda para sa mga mag-aaral sa isang pagkakataon o iba pang proseso ng edukasyon. Bukod dito, ang bawat pag-aari ng trapezoid ay maaaring katawanin bilang isang pangunahing gawain sa sistema ng gawain.
Ang pangalawang prinsipyo ay ang tinatawag na spiral na organisasyon ng pag-aaral ng "kahanga-hangang" katangian ng trapezoid. Ito ay nagpapahiwatig ng pagbabalik sa proseso ng pag-aaral sa mga indibidwal na katangian ng isang ibinigay na geometric figure. Kaya, mas madali para sa mga mag-aaral na kabisaduhin ang mga ito. Halimbawa, ang pag-aari ng apat na puntos. Maaari itong mapatunayan kapwa sa pag-aaral ng pagkakatulad at kasunod nito sa tulong ng mga vectors. At ang pantay na lugar ng mga tatsulok na katabi ng mga gilid ng figure ay maaaring patunayan sa pamamagitan ng paglalapat hindi lamang ng mga katangian ng mga tatsulok na may pantay na taas na iginuhit sa mga gilid na nakahiga sa parehong linya, kundi pati na rin ang paggamit ng formula S= 1/2 (ab*sinα). Bilang karagdagan, maaari kang mag-ehersisyo sa isang inscribed na trapezoid o isang right triangle sa isang circumscribed trapezoid, atbp.
Ang paggamit ng mga tampok na "out-of-program" ng isang geometric figure sa nilalaman ng kurso sa paaralan ay isang teknolohiya ng gawain para sa pagtuturo sa kanila. Ang patuloy na apela sa mga pinag-aralan na pag-aari kapag dumadaan sa iba pang mga paksa ay nagbibigay-daan sa mga mag-aaral na makakuha ng mas malalim na kaalaman sa trapezoid at tinitiyak ang tagumpay ng paglutas ng mga gawain. Kaya, simulan nating pag-aralan ang kahanga-hangang figure na ito.
Mga elemento at katangian ng isang isosceles trapezoid
Tulad ng nabanggit na natin, ang mga gilid ng geometric figure na ito ay pantay. Ito ay kilala rin bilang tamang trapezoid. Bakit ito kapansin-pansin at bakit ito nakakuha ng ganoong pangalan? Kasama sa mga tampok ng figure na ito ang katotohanan na hindi lamang ang mga gilid at sulok sa mga base ay pantay, kundi pati na rin ang mga diagonal. Gayundin, ang kabuuan ng mga anggulo ng isang isosceles trapezoid ay 360 degrees. Ngunit hindi lang iyon! Sa lahat ng kilalang trapezoid, sa paligid ng isosceles lamang ang isa ay maaaring ilarawan ang isang bilog. Ito ay dahil sa ang katunayan na ang kabuuan ng mga kabaligtaran na anggulo ng figure na ito ay 180 degrees, at sa ilalim lamang ng kondisyong ito ay maaaring ilarawan ang isang bilog sa paligid ng quadrilateral. Ang susunod na katangian ng geometric figure na isinasaalang-alang ay ang distansya mula sa base vertex hanggang sa projection ng kabaligtaran na vertex papunta sa tuwid na linya na naglalaman ng base na ito ay magiging katumbas ng midline.
Ngayon, alamin natin kung paano hanapin ang mga anggulo ng isang isosceles trapezoid. Isaalang-alang ang isang solusyon sa problemang ito, sa kondisyon na ang mga sukat ng mga gilid ng figure ay kilala.
Solusyon
Karaniwan, ang quadrilateral ay karaniwang tinutukoy ng mga letrang A, B, C, D, kung saan ang BS at AD ang mga base. Sa isang isosceles trapezoid, ang mga gilid ay pantay. Ipagpalagay namin na ang kanilang sukat ay X, at ang mga sukat ng mga base ay Y at Z (mas maliit at mas malaki, ayon sa pagkakabanggit). Upang maisagawa ang pagkalkula, kinakailangan upang gumuhit ng taas H mula sa anggulo B. Ang resulta ay isang right-angled triangle ABN, kung saan ang AB ay ang hypotenuse, at ang BN at AN ay ang mga binti. Kinakalkula namin ang laki ng binti AN: ibinabawas namin ang mas maliit mula sa mas malaking base, at hinati ang resulta sa 2. Isinulat namin ito sa anyo ng isang formula: (Z-Y) / 2 \u003d F. Ngayon, upang kalkulahin ang matinding anggulo ng tatsulok, ginagamit namin ang cos function. Nakukuha namin ang sumusunod na tala: cos(β) = Х/F. Ngayon kinakalkula namin ang anggulo: β=arcos (Х/F). Dagdag pa, sa pag-alam ng isang anggulo, matutukoy natin ang pangalawa, para dito nagsasagawa kami ng isang elementarya na operasyon ng aritmetika: 180 - β. Ang lahat ng mga anggulo ay tinukoy.
Mayroon ding pangalawang solusyon sa problemang ito. Sa simula, ibinababa namin ang taas H mula sa sulok B. Kinakalkula namin ang halaga ng binti ng BN. Alam namin na ang parisukat ng hypotenuse ng isang tamang tatsulok ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga binti. Nakukuha namin ang: BN \u003d √ (X2-F2). Susunod, ginagamit namin ang trigonometric function tg. Bilang resulta, mayroon kaming: β = arctg (BN / F). May nakitang matalim na sulok. Susunod, tinutukoy namin sa parehong paraan tulad ng unang paraan.
Pag-aari ng mga diagonal ng isang isosceles trapezoid
Isulat muna natin ang apat na panuntunan. Kung ang mga diagonal sa isang isosceles trapezoid ay patayo, kung gayon:
Ang taas ng figure ay magiging katumbas ng kabuuan ng mga base na hinati sa dalawa;
Ang taas at median na linya nito ay pantay;
Ang gitna ng bilog ay ang punto kung saan ang ;
Kung ang lateral side ay nahahati sa punto ng contact sa mga segment na H at M, kung gayon ito ay katumbas ng square root ng produkto ng mga segment na ito;
Ang quadrilateral, na nabuo ng mga tangent point, ang vertex ng trapezoid at ang gitna ng inscribed na bilog, ay isang parisukat na ang panig ay katumbas ng radius;
Ang lugar ng isang figure ay katumbas ng produkto ng mga base at ang produkto ng kalahati ng kabuuan ng mga base at ang taas nito.
Mga katulad na trapezium
Ang paksang ito ay napaka-maginhawa para sa pag-aaral ng mga katangian ng isang ito.Halimbawa, hinahati ng mga dayagonal ang trapezoid sa apat na tatsulok, at ang mga katabi ng mga base ay magkatulad, at sa mga gilid ay pantay sila. Ang pahayag na ito ay maaaring tawaging pag-aari ng mga tatsulok kung saan ang trapezoid ay nahahati sa mga diagonal nito. Ang unang bahagi ng assertion na ito ay pinatunayan sa pamamagitan ng criterion ng pagkakatulad sa dalawang anggulo. Upang patunayan ang ikalawang bahagi, mas mainam na gamitin ang paraang ibinigay sa ibaba.
Katibayan ng teorama
Tinatanggap namin na ang figure ABSD (AD at BS - ang mga base ng trapezoid) ay nahahati sa mga diagonal na VD at AC. Ang kanilang intersection point ay O. Nakakuha kami ng apat na tatsulok: AOS - sa ibabang base, BOS - sa itaas na base, ABO at SOD sa mga gilid. Ang mga tatsulok na SOD at BOS ay may isang karaniwang taas kung ang mga segment na BO at OD ay ang kanilang mga base. Nakuha namin na ang pagkakaiba sa pagitan ng kanilang mga lugar (P) ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng mga segment na ito: PBOS / PSOD = BO / OD = K. Samakatuwid, PSOD = PBOS / K. Katulad nito, ang BOS at AOB triangles ay may isang karaniwang taas. Kinukuha namin ang mga segment na CO at OA bilang kanilang mga base. Nakukuha namin ang PBOS / PAOB \u003d CO / OA \u003d K at PAOB \u003d PBOS / K. Ito ay sumusunod mula dito na ang PSOD = PAOB.
Upang pagsamahin ang materyal, pinapayuhan ang mga mag-aaral na maghanap ng koneksyon sa pagitan ng mga lugar ng nagresultang mga tatsulok, kung saan ang trapezoid ay nahahati sa mga diagonal nito, sa pamamagitan ng paglutas ng sumusunod na problema. Ito ay kilala na ang mga lugar ng triangles BOS at AOD ay pantay, ito ay kinakailangan upang mahanap ang lugar ng trapezoid. Dahil PSOD \u003d PAOB, nangangahulugan ito na PABSD \u003d PBOS + PAOD + 2 * PSOD. Mula sa pagkakatulad ng mga tatsulok na BOS at AOD ay sumusunod na BO / OD = √ (PBOS / PAOD). Samakatuwid, PBOS/PSOD = BO/OD = √(PBOS/PAOD). Nakukuha namin ang PSOD = √ (PBOS * PAOD). Pagkatapos PABSD = PBOS+PAOD+2*√(PBOS*PAOD) = (√PBOS+√PAOD)2.
mga katangian ng pagkakatulad
Sa patuloy na pagbuo ng paksang ito, mapapatunayan natin ang iba pang mga kawili-wiling katangian ng mga trapezium. Kaya, gamit ang pagkakatulad, maaari mong patunayan ang pag-aari ng isang segment na dumadaan sa isang punto na nabuo sa pamamagitan ng intersection ng mga diagonal ng geometric figure na ito, parallel sa mga base. Upang gawin ito, lutasin namin ang sumusunod na problema: kinakailangan upang mahanap ang haba ng segment na RK, na dumadaan sa puntong O. Mula sa pagkakapareho ng mga tatsulok na AOD at BOS, sumusunod na ang AO/OS=AD/BS. Mula sa pagkakapareho ng mga tatsulok na AOP at ASB, sinusunod nito ang AO / AS \u003d RO / BS \u003d AD / (BS + AD). Mula dito nakuha namin ang RO \u003d BS * AD / (BS + AD). Katulad nito, mula sa pagkakapareho ng mga tatsulok na DOK at DBS, sumusunod ito na OK \u003d BS * AD / (BS + AD). Mula dito nakukuha natin ang RO=OK at RK=2*BS*AD/(BS+AD). Ang segment na dumadaan sa punto ng intersection ng mga diagonal, parallel sa mga base at pagkonekta sa dalawang panig, ay nahahati sa punto ng intersection sa kalahati. Ang haba nito ay ang harmonic mean ng mga base ng figure.
Isaalang-alang ang sumusunod na katangian ng isang trapezoid, na tinatawag na pag-aari ng apat na puntos. Ang mga intersection point ng mga diagonal (O), ang mga intersection ng pagpapatuloy ng mga gilid (E), pati na rin ang mga midpoint ng mga base (T at W) ay palaging nakahiga sa parehong linya. Ito ay madaling napatunayan ng paraan ng pagkakatulad. Ang mga nagresultang tatsulok na BES at AED ay magkatulad, at sa bawat isa sa kanila ang mga median na ET at EZH ay naghahati sa anggulo sa vertex E sa pantay na mga bahagi. Samakatuwid, ang mga puntong E, T at W ay nasa parehong tuwid na linya. Sa parehong paraan, ang mga puntong T, O, at G ay matatagpuan sa parehong tuwid na linya. Ang lahat ng ito ay sumusunod mula sa pagkakapareho ng mga tatsulok na BOS at AOD. Mula dito napagpasyahan namin na ang lahat ng apat na puntos - E, T, O at W - ay nasa isang tuwid na linya.
Gamit ang magkatulad na trapezoid, maaaring hilingin sa mga mag-aaral na hanapin ang haba ng segment (LF) na naghahati sa pigura sa dalawang magkatulad. Ang segment na ito ay dapat na parallel sa mga base. Dahil ang mga resultang trapezoids ALFD at LBSF ay magkatulad, pagkatapos ay BS/LF=LF/BP. Kasunod nito na LF=√(BS*BP). Nakuha namin na ang segment na naghahati sa trapezoid sa dalawang magkatulad ay may haba na katumbas ng geometric na ibig sabihin ng mga haba ng mga base ng figure.
Isaalang-alang ang sumusunod na katangian ng pagkakatulad. Ito ay batay sa isang segment na naghahati sa trapezoid sa dalawang pantay na laki ng mga numero. Tinatanggap namin na ang trapezoid ABSD ay hinati ng segment EN sa dalawang magkatulad. Mula sa vertex B, ang taas ay tinanggal, na hinati ng segment na EH sa dalawang bahagi - B1 at B2. Nakukuha namin ang: PABSD / 2 \u003d (BS + EH) * B1 / 2 \u003d (AD + EH) * B2 / 2 at PABSD \u003d (BS + HELL) * (B1 + B2) / 2. Susunod, bumubuo kami ng isang sistema na ang unang equation ay (BS + EH) * B1 \u003d (AD + EH) * B2 at ang pangalawa (BS + EH) * B1 \u003d (BS + HELL) * (B1 + B2) / 2. Kasunod nito na ang B2/ B1 = (BS+EN)/(AD+EN) at BS+EN = ((BS+AD)/2)*(1+B2/ B1). Nakuha namin na ang haba ng segment na naghahati sa trapezoid sa dalawang pantay na mga ay katumbas ng ibig sabihin ng parisukat ng mga haba ng mga base: √ ((BS2 + AD2) / 2).
Mga hinuha sa pagkakatulad
Kaya, napatunayan namin na:
1. Ang segment na nagkokonekta sa mga midpoint ng mga gilid ng trapezoid ay parallel sa AD at BS at katumbas ng arithmetic mean ng BS at AD (ang haba ng base ng trapezoid).
2. Ang linyang dumadaan sa punto O ng intersection ng mga diagonal na kahanay ng AD at BS ay magiging katumbas ng harmonic mean ng mga numerong AD at BS (2 * BS * AD / (BS + AD)).
3. Ang segment na naghahati sa trapezoid sa magkatulad ay may haba ng geometric na mean ng mga baseng BS at AD.
4. Ang isang elemento na naghahati sa isang pigura sa dalawang magkapareho ay may haba ng mga mean square number na AD at BS.
Upang pagsama-samahin ang materyal at maunawaan ang koneksyon sa pagitan ng mga isinasaalang-alang na mga segment, kailangan ng mag-aaral na buuin ang mga ito para sa isang tiyak na trapezoid. Madali niyang maipakita ang midline at ang segment na dumadaan sa punto O - ang intersection ng mga diagonal ng figure - parallel sa mga base. Ngunit saan ang ikatlo at ikaapat? Ang sagot na ito ay magdadala sa mag-aaral sa pagtuklas ng nais na kaugnayan sa pagitan ng mga average.
Isang line segment na nagdurugtong sa mga midpoint ng mga diagonal ng isang trapezoid
Isaalang-alang ang sumusunod na katangian ng figure na ito. Tinatanggap namin na ang segment na MH ay parallel sa mga base at hinahati ang mga diagonal. Tawagan natin ang mga intersection point na W at W. Ang segment na ito ay magiging katumbas ng kalahating pagkakaiba ng mga base. Suriin natin ito nang mas detalyado. MSH - ang gitnang linya ng tatsulok na ABS, ito ay katumbas ng BS / 2. MS - ang gitnang linya ng tatsulok na ABD, ito ay katumbas ng AD / 2. Pagkatapos ay nakuha namin na ShShch = MShch-MSh, samakatuwid, Sshch = AD / 2-BS / 2 = (AD + VS) / 2.
Sentro ng grabidad
Tingnan natin kung paano tinutukoy ang elementong ito para sa isang ibinigay na geometric na pigura. Upang gawin ito, kinakailangan upang pahabain ang mga base sa magkasalungat na direksyon. Ano ang ibig sabihin nito? Kinakailangan na idagdag ang mas mababang base sa itaas na base - sa alinman sa mga gilid, halimbawa, sa kanan. At ang ibaba ay pinalawak ng haba ng tuktok sa kaliwa. Susunod, ikinonekta namin ang mga ito sa isang dayagonal. Ang punto ng intersection ng segment na ito na may gitnang linya ng figure ay ang sentro ng grabidad ng trapezoid.
Inscribed at circumscribed trapezoids
Ilista natin ang mga tampok ng naturang mga figure:
1. Ang isang trapezoid ay maaari lamang isulat sa isang bilog kung ito ay isosceles.
2. Ang isang trapezoid ay maaaring ilarawan sa paligid ng isang bilog, sa kondisyon na ang kabuuan ng mga haba ng kanilang mga base ay katumbas ng kabuuan ng mga haba ng mga gilid.
Mga kahihinatnan ng nakasulat na bilog:
1. Ang taas ng inilarawang trapezoid ay palaging katumbas ng dalawang radii.
2. Ang lateral side ng inilarawan na trapezoid ay sinusunod mula sa gitna ng bilog sa tamang anggulo.
Ang unang corollary ay halata, at upang patunayan ang pangalawa ito ay kinakailangan upang itatag na ang SOD anggulo ay tama, na, sa katunayan, ay hindi rin magiging mahirap. Ngunit ang kaalaman sa pag-aari na ito ay magpapahintulot sa amin na gumamit ng isang right-angled na tatsulok sa paglutas ng mga problema.
Ngayon ay tinukoy namin ang mga kahihinatnan na ito para sa isang isosceles trapezoid, na kung saan ay nakasulat sa isang bilog. Nakuha namin na ang taas ay ang geometric na ibig sabihin ng mga base ng figure: H=2R=√(BS*AD). Ang pagsasanay sa pangunahing pamamaraan para sa paglutas ng mga problema para sa mga trapezoid (ang prinsipyo ng pagguhit ng dalawang taas), dapat malutas ng mag-aaral ang sumusunod na gawain. Tinatanggap namin na ang BT ay ang taas ng isosceles figure na ABSD. Ito ay kinakailangan upang mahanap ang mga segment AT at TD. Gamit ang formula na inilarawan sa itaas, hindi ito magiging mahirap gawin.
Ngayon, alamin natin kung paano matukoy ang radius ng isang bilog gamit ang lugar ng circumscribed trapezoid. Ibinababa namin ang taas mula sa itaas na B hanggang sa base AD. Dahil ang bilog ay nakasulat sa isang trapezoid, pagkatapos ay BS + AD \u003d 2AB o AB \u003d (BS + AD) / 2. Mula sa tatsulok na ABN makikita natin ang sinα = BN / AB = 2 * BN / (BS + AD). PABSD \u003d (BS + AD) * BN / 2, BN \u003d 2R. Nakukuha namin ang PABSD \u003d (BS + HELL) * R, kasunod nito ang R \u003d PABSD / (BS + HELL).
Lahat ng mga formula ng midline ng isang trapezoid
Ngayon ay oras na upang lumipat sa huling elemento ng geometric figure na ito. Alamin natin kung ano ang katumbas ng gitnang linya ng trapezoid (M):
1. Sa pamamagitan ng mga base: M \u003d (A + B) / 2.
2. Sa pamamagitan ng taas, base at mga anggulo:
M \u003d A-H * (ctgα + ctgβ) / 2;
M \u003d B + H * (ctgα + ctgβ) / 2.
3. Sa pamamagitan ng taas, dayagonal at anggulo sa pagitan nila. Halimbawa, ang D1 at D2 ay ang mga dayagonal ng isang trapezoid; α, β - mga anggulo sa pagitan nila:
M = D1*D2*sinα/2H = D1*D2*sinβ/2H.
4. Sa pamamagitan ng lugar at taas: M = P / N.