Да започнем с свойства на логаритъма от единица. Неговата формулировка е следната: логаритъмът от единица е равен на нула, т.е. log a 1=0за всяко a>0, a≠1. Доказателството е просто: тъй като a 0 =1 за всяко a, което удовлетворява горните условия a>0 и a≠1 , тогава доказаното равенство log a 1=0 веднага следва от дефиницията на логаритъма.
Нека дадем примери за приложение на разглежданото свойство: log 3 1=0 , lg1=0 и .
Да преминем към следващото свойство: логаритъма на число, равно на основата, е равен на единица, това е, log a a=1за a>0, a≠1. Наистина, тъй като a 1 =a за всяко a , тогава по дефиницията на логаритъма log a a a=1 .
Примери за използване на това свойство на логаритмите са log 5 5=1 , log 5.6 5.6 и lne=1 .
Например log 2 2 7 =7 , log10 -4 =-4 и 
.
Логаритъм от произведението на две положителни числа x и y е равно на произведението от логаритмите на тези числа: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . Нека докажем свойството на логаритъма на произведението. Поради свойствата на степента a log a x+log a y =a log a x a log a y, и тъй като чрез главното логаритмично тъждество a log a x =x и a log a y =y , тогава a log a x a log a y =x y . Така, a log a x+log a y =x y , откъдето изискваното равенство следва от дефиницията на логаритъма.
Нека покажем примери за използване на свойството на логаритъма на произведението: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 и 
.
Свойството логаритъм на произведението може да се обобщи до произведението на крайно число n от положителни числа x 1 , x 2 , …, x n като log a (x 1 x 2 ... x n)= log a x 1 + log a x 2 +...+ log a x n . Това равенство се доказва лесно.
Например натуралният логаритъм на произведение може да бъде заменен със сумата от три натурални логаритъма на числата 4, e и .
Логаритъм от частното на две положителни числа x и y е равно на разликата между логаритмите на тези числа. Свойството частен логаритъм съответства на формула от вида , където a>0 , a≠1 , x и y са някои положителни числа. Валидността на тази формула се доказва като формулата за логаритъм на произведението: тъй като 
, тогава по дефиницията на логаритъма .
Ето пример за използване на това свойство на логаритъма: 
.
Да преминем към свойство на логаритъм от степен. Логаритъмът на степента е равен на произведението на степента и логаритъма на модула на основата на тази степен. Записваме това свойство на логаритъма на степента под формата на формула: log a b p =p log a |b|, където a>0 , a≠1 , b и p са такива числа, че степента на b p има смисъл и b p >0 .
Първо доказваме това свойство за положително b. Основен логаритмично тъждествони позволява да представим числото b като log a b, тогава b p =(a log a b) p и полученият израз, по силата на свойството степен, е равен на p log a b. Така стигаме до равенството b p =a p log a b , от което по дефиницията на логаритъма заключаваме, че log a b p =p log a b .
Остава да докажем това свойство за отрицателно b. Тук отбелязваме, че изразът log a b p за отрицателно b има смисъл само за четни експоненти p (тъй като стойността на степента b p трябва да е по-голяма от нула, в противен случай логаритъма няма да има смисъл), и в този случай b p =|b| стр. Тогава b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p log a |b|, откъдето log a b p =p log a |b| .
Например, 
и ln(-3) 4 =4 ln|-3|=4 ln3 .
Следва от предишното свойство свойство на логаритъма от корена: логаритъма на корена на n-та степен е равен на произведението на дробта 1/n и логаритъма на коренния израз, т.е. 
, където a>0 , a≠1 , n е естествено число, по-голямо от едно, b>0 .
Доказателството се основава на равенството (вижте), което е валидно за всяко положително b, и свойството на логаритъма на степента: 
.
Ето пример за използване на това свойство: 
.
Сега да докажем формула за преобразуване към новата основа на логаритъмамил 
. За да направите това, е достатъчно да докажете валидността на равенството log c b=log a b log c a . Основното логаритмично тъждество ни позволява да представим числото b като log a b, тогава log c b=log c a log a b. Остава да използваме свойството на логаритъма на степента: log c a log a b = log a b log c a. Така се доказва равенството log c b=log a b log c a, което означава, че е доказана и формулата за преминаване към нова основа на логаритъма.
Нека да покажем няколко примера за прилагане на това свойство на логаритмите: и 
.
Формулата за преминаване към нова база ви позволява да преминете към работа с логаритми, които имат „удобна“ база. Например, може да се използва за превключване към естествени или десетични логаритми, така че да можете да изчислите стойността на логаритъма от таблицата с логаритми. Формулата за преход към нова основа на логаритъм също позволява в някои случаи да се намери стойността на даден логаритъм, когато са известни стойностите на някои логаритми с други бази.
Често се използва специален случай на формулата за преход към нова основа на логаритъма за c=b от вида 
. Това показва, че log a b и log b a – . Например, 
.
Често се използва и формулата 
, което е полезно за намиране на логаритмични стойности. За да потвърдим думите си, ще покажем как се изчислява стойността на логаритъма на формата с него. Ние имаме 
. За доказване на формулата 
достатъчно е да използвате формулата за преход към новата основа на логаритъма a: 
.
Остава да се докажат сравнителните свойства на логаритмите.
Нека докажем, че за всякакви положителни числа b 1 и b 2 , b 1 log a b 2 и за a>1, неравенството log a b 1 Накрая остава да докажем последното от изброените свойства на логаритмите. Ограничаваме се до доказването на първата му част, тоест доказваме, че ако a 1 >1 , a 2 >1 и a 1 1 е вярно log a 1 b>log a 2 b . Останалите твърдения на това свойство на логаритмите се доказват по подобен принцип. Нека използваме обратния метод. Да предположим, че за a 1 >1, a 2 >1 и a 1 1 log a 1 b≤log a 2 b е вярно. Чрез свойствата на логаритмите тези неравенства могат да бъдат пренаписани като 
и 
съответно и от тях следва, че log b a 1 ≤log b a 2 и съответно log b a 1 ≥log b a 2. Тогава, по свойствата на степени с еднакви основи, трябва да бъдат изпълнени равенствата b log b a 1 ≥b log b a 2 и b log b a 1 ≥b log b a 2, тоест a 1 ≥a 2 . Така стигнахме до противоречие с условието a 1
Библиография.
- Колмогоров A.N., Абрамов A.M., Дудницин Ю.П. и др.. Алгебра и началото на анализа: Учебник за 10-11 клас на общообразователните институции.
- Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (наръчник за кандидати за технически училища).
Продължаваме да изучаваме логаритми. В тази статия ще говорим за изчисляване на логаритми, този процес се нарича логаритъм. Първо, ще се занимаваме с изчисляването на логаритми по дефиниция. След това помислете как се намират стойностите на логаритмите, като се използват техните свойства. След това ще се спрем на изчисляването на логаритмите чрез първоначално дадените стойности на други логаритми. И накрая, нека научим как да използваме таблици с логаритми. Цялата теория е снабдена с примери с подробни решения.
Навигация в страницата.
Изчисляване на логаритми по дефиниция
В най-простите случаи е възможно бързо и лесно изпълнение намиране на логаритъм по дефиниция. Нека да разгледаме по-подробно как протича този процес.
Същността му е да представи числото b във формата a c , откъдето по дефиницията на логаритъма числото c е стойността на логаритъма. Тоест по дефиниция намирането на логаритъм съответства на следната верига от равенства: log a b=log a a c =c .
И така, изчисляването на логаритъма по дефиниция се свежда до намирането на такова число c, че a c \u003d b, а самото число c е желаната стойност на логаритъма.
Като се има предвид информацията от предишните параграфи, когато числото под знака на логаритъма е дадено от някаква степен на основата на логаритъма, тогава можете веднага да посочите на какво е равен логаритъма - той е равен на степента. Да покажем примери.
Пример.
Намерете log 2 2 −3 и също изчислете натурален логаритъм от e 5,3.
Решение.
Дефиницията на логаритъма ни позволява веднага да кажем, че log 2 2 −3 = −3 . Наистина, числото под знака на логаритъма е равно на основа 2 на степен −3.
По подобен начин намираме втория логаритъм: lne 5,3 =5,3.
Отговор:
log 2 2 −3 = −3 и lne 5,3 =5,3 .
Ако числото b под знака на логаритъма не е дадено като степен на основата на логаритъма, тогава трябва внимателно да обмислите дали е възможно да излезете с представяне на числото b във формата a c . Често това представяне е съвсем очевидно, особено когато числото под знака на логаритъма е равно на основата на степен 1, или 2, или 3, ...
Пример.
Изчислете логаритмите log 5 25 и .
Решение.
Лесно се вижда, че 25=5 2 , това ви позволява да изчислите първия логаритъм: log 5 25=log 5 5 2 =2 .
Пристъпваме към изчисляването на втория логаритъм. Едно число може да бъде представено като степен на 7: 
(вижте ако е необходимо). Следователно, 
.
Нека пренапишем третия логаритъм в следната форма. Сега можете да видите това 
, откъдето заключаваме, че 
. Следователно, по дефиницията на логаритъма 
.
Накратко решението може да се напише по следния начин:
Отговор:
log 5 25=2 , 
и .
Когато достатъчно голямо естествено число е под знака на логаритъма, тогава не пречи да го разложите на прости множители. Често помага да се представи такова число като някаква степен на основата на логаритъма и следователно да се изчисли този логаритъм по дефиниция.
Пример.
Намерете стойността на логаритъма.
Решение.
Някои свойства на логаритмите ви позволяват незабавно да посочите стойността на логаритмите. Тези свойства включват свойството на логаритъм от едно и свойството на логаритъм на число, равно на основата: log 1 1=log a a 0 =0 и log a a=log a a 1 =1 . Тоест, когато числото 1 или числото a е под знака на логаритъма, равен на основата на логаритъма, тогава в тези случаи логаритмите са съответно 0 и 1.
Пример.
Какви са логаритмите и lg10?
Решение.
Тъй като , следва от дефиницията на логаритъма 
.
Във втория пример числото 10 под знака на логаритъма съвпада с неговата основа, така че десетичният логаритъм от десет е равен на единица, тоест lg10=lg10 1 =1 .
Отговор:
И lg10=1 .
Имайте предвид, че изчисляването на логаритми по дефиниция (което обсъдихме в предишния параграф) предполага използването на равенството log a a p =p, което е едно от свойствата на логаритмите.
На практика, когато числото под знака на логаритъма и основата на логаритъма лесно се представят като степен на някакво число, е много удобно да се използва формулата 
, което съответства на едно от свойствата на логаритмите. Помислете за пример за намиране на логаритъм, илюстриращ използването на тази формула.
Пример.
Изчислете логаритъма на .
Решение.
Отговор:
.
Свойствата на логаритмите, които не са споменати по-горе, също се използват в изчислението, но ще говорим за това в следващите параграфи.
Намиране на логаритми по отношение на други известни логаритми
Информацията в този параграф продължава темата за използването на свойствата на логаритмите при тяхното изчисляване. Но тук основната разлика е, че свойствата на логаритмите се използват за изразяване на оригиналния логаритъм чрез друг логаритъм, чиято стойност е известна. Нека вземем пример за пояснение. Да кажем, че знаем, че log 2 3≈1,584963, тогава можем да намерим, например, log 2 6, като направим малка трансформация, използвайки свойствата на логаритъма: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .
В горния пример за нас беше достатъчно да използваме свойството логаритъм на произведението. Много по-често обаче трябва да използвате по-широк арсенал от свойства на логаритми, за да изчислите оригиналния логаритъм по отношение на дадените.
Пример.
Изчислете логаритъма от 27 при основа 60, ако е известно, че log 60 2=a и log 60 5=b.
Решение.
Така че трябва да намерим log 60 27 . Лесно се вижда, че 27=3 3 и първоначалният логаритъм, поради свойството на логаритъма на степента, може да бъде пренаписан като 3·log 60 3 .
Сега нека видим как log 60 3 може да бъде изразено чрез известни логаритми. Свойството на логаритъм на число, равно на основата, ви позволява да напишете логаритъм на равенство 60 60=1 . От друга страна, log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5 . По този начин, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. Следователно, log 60 3=1−2 log 60 2−log 60 5=1−2 a−b.
Накрая изчисляваме първоначалния логаритъм: log 60 27=3 log 60 3= 3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.
Отговор:
log 60 27=3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.
Отделно си струва да споменем значението на формулата за преход към нова основа на логаритъма на формата 
. Тя ви позволява да преминете от логаритми с произволна основа към логаритми с конкретна основа, чиито стойности са известни или е възможно да ги намерите. Обикновено от оригиналния логаритъм, според формулата за преход, те преминават към логаритми в една от базите 2, e или 10, тъй като за тези бази има таблици с логаритми, които им позволяват да бъдат изчислени с определена степен на точност. В следващия раздел ще покажем как се прави това.
Таблици на логаритми, тяхното използване
За приблизително изчисляване на стойностите на логаритмите можете да използвате логаритмични таблици. Най-често използваните са таблицата с логаритъм с основа 2, таблицата с натурален логаритъм и таблицата с десетичен логаритъм. Когато работите в десетичната бройна система, е удобно да използвате таблица с логаритми по основа десет. С негова помощ ще се научим да намираме стойностите на логаритмите.
Представената таблица позволява с точност до една десет хилядна да се намерят стойностите на десетичните логаритми на числа от 1000 до 9999 (с три знака след десетичната запетая). Ще анализираме принципа за намиране на стойността на логаритъма с помощта на таблица с десетични логаритми, използвайки конкретен пример - това е по-ясно. Нека намерим lg1,256.
В лявата колона на таблицата с десетични логаритми намираме първите две цифри на числото 1,256, тоест намираме 1,2 (това число е оградено в синьо за яснота). Третата цифра на числото 1.256 (номер 5) се намира в първия или последния ред вляво от двойната линия (това число е оградено в червено). Четвъртата цифра от оригиналното число 1.256 (номер 6) се намира в първия или последния ред вдясно от двойната линия (това число е оградено в зелено). Сега намираме числата в клетките на таблицата с логаритми в пресечната точка на маркирания ред и маркираните колони (тези числа са маркирани в оранжево). Сумата от маркираните числа дава желаната стойност на десетичния логаритъм до четвъртия знак след десетичната запетая, т.е. log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.
Възможно ли е, като се използва горната таблица, да се намерят стойностите на десетични логаритми на числа, които имат повече от три цифри след десетичната запетая и също така да надхвърлят границите от 1 до 9,999? Да, можеш. Нека покажем как става това с пример.
Нека изчислим lg102,76332. Първо трябва да пишете номер в стандартна форма: 102,76332=1,0276332 10 2 . След това мантисата трябва да се закръгли до третия знак след десетичната запетая, имаме 1,0276332 10 2 ≈1,028 10 2, докато първоначалният десетичен логаритъм е приблизително равен на логаритъма на полученото число, т.е. вземаме lg102,76332≈lg1,028·10 2 . Сега приложете свойствата на логаритъма: lg1.028 10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. Накрая намираме стойността на логаритъма lg1.028 според таблицата на десетичните логаритми lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012. В резултат на това целият процес на изчисляване на логаритъма изглежда така: lg102.76332=lg1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = lg1,028+lg10 2 =lg1,028+2≈0,012+2=2,012.
В заключение си струва да се отбележи, че с помощта на таблицата с десетични логаритми можете да изчислите приблизителната стойност на всеки логаритъм. За да направите това, достатъчно е да използвате формулата за преход, за да отидете до десетични логаритми, да намерите техните стойности в таблицата и да извършите останалите изчисления.
Например, нека изчислим log 2 3 . Според формулата за прехода към нова основа на логаритъма имаме . От таблицата с десетични логаритми намираме lg3≈0,4771 и lg2≈0,3010. По този начин, 
.
Библиография.
- Колмогоров A.N., Абрамов A.M., Дудницин Ю.П. и др.. Алгебра и началото на анализа: Учебник за 10-11 клас на общообразователните институции.
- Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (наръчник за кандидати за технически училища).
Днес ще говорим за логаритмични формулии направете демонстрация примери за решение.
Сами по себе си те предполагат модели на решение според основните свойства на логаритмите. Преди да приложим формулите за логаритъм към решението, ние ви припомняме първо всички свойства:
Сега, въз основа на тези формули (свойства), показваме примери за решаване на логаритми.
Примери за решаване на логаритми по формули.
Логаритъмположително число b при основа a (означено като log a b) е степента, до която a трябва да се повдигне, за да се получи b, с b > 0, a > 0 и 1.
Според определението log a b = x, което е еквивалентно на a x = b, така че log a a x = x.
Логаритми, примери:
log 2 8 = 3, защото 2 3 = 8
log 7 49 = 2 защото 7 2 = 49
log 5 1/5 = -1, защото 5 -1 = 1/5
Десетичен логаритъме обикновен логаритъм, чиято основа е 10. Означава се като lg.
log 10 100 = 2 защото 10 2 = 100
натурален логаритъм- също обичайният логаритъм логаритъм, но с основата e (e \u003d 2.71828 ... - ирационално число). Наричан като ln.
Желателно е да си припомним формулите или свойствата на логаритмите, защото те ще ни трябват по-късно при решаване на логаритми, логаритмични уравнения и неравенства. Нека да разгледаме всяка формула отново с примери.
- Основно логаритмично тъждество
a log a b = b8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9
- Логаритъмът на произведението е равен на сбора от логаритмите
log a (bc) = log a b + log a clog 3 8.1 + log 3 10 = log 3 (8.1*10) = log 3 81 = 4
- Логаритъмът на частното е равен на разликата на логаритмите
log a (b/c) = log a b - log a c9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81
- Свойства на степента на логаритмуемо число и основата на логаритъма
Показателят на числото логаритъм log a b m = mlog a b
Показател на основата на логаритъма log a n b =1/n*log a b
log a n b m = m/n*log a b,
ако m = n, получаваме log a n b n = log a b
log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3
- Преход към нова основа
log a b = log c b / log c a,ако c = b, получаваме log b b = 1
тогава log a b = 1/log b a
log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1
Както можете да видите, формулите за логаритъм не са толкова сложни, колкото изглеждат. Сега, след като разгледахме примери за решаване на логаритми, можем да преминем към логаритмични уравнения. Ще разгледаме примери за решаване на логаритмични уравнения по-подробно в статията: "". Не пропускайте!
Ако все още имате въпроси относно решението, напишете ги в коментарите към статията.
Забележка: реших да получа образование в друг клас в чужбина като опция.
Фокусът на тази статия е логаритъм. Тук ще дадем дефиницията на логаритъм, ще покажем приетата нотация, ще дадем примери за логаритми и ще говорим за естествени и десетични логаритми. След това разгледайте основното логаритмично тъждество.
Навигация в страницата.
Дефиниция на логаритъм
Концепцията за логаритъм възниква при решаване на проблем в определен смисъл обратен, когато трябва да намерите експонента от известна стойност на степента и известна основа.
Но достатъчно преамбюл, време е да отговорим на въпроса "какво е логаритъм"? Нека дадем подходящо определение.
Определение.
Логаритъм от b при основа a, където a>0 , a≠1 и b>0 е степента, до която трябва да повишите числото a, за да получите b като резултат.
На този етап отбелязваме, че изречената дума „логаритъм“ трябва незабавно да предизвика два произтичащи въпроса: „какво число“ и „на каква основа“. С други думи, просто няма логаритъм, а има само логаритъм от число в някаква основа.
Веднага ще ви представим логаритмична нотация: логаритъма на числото b при основата a обикновено се означава като log a b . Логаритъмът на числото b при основа e и логаритъмът при основа 10 имат свои собствени специални обозначения съответно lnb и lgb, тоест те пишат не log e b, а lnb, и не log 10 b, а lgb.
Сега можете да донесете: .
И записите 
нямат смисъл, тъй като в първия от тях има отрицателно число под знака на логаритъма, във втория - отрицателно число в основата, а в третия - както отрицателно число под знака на логаритъма, така и единица в основата.
Сега нека поговорим за правила за четене на логаритми. Входният журнал a b се чете като "логаритъм от b по основа a". Например log 2 3 е логаритъм от три по основа 2 и е логаритъм от две цели числа две основни трети от корен квадратен от пет. Логаритъмът при основа e се нарича натурален логаритъм, а обозначението lnb се чете като "натурален логаритъм от b". Например ln7 е натурален логаритъм от седем и ние ще го прочетем като натурален логаритъм от пи. Логаритъмът при основа 10 също има специално име - десетичен логаритъм, а нотацията lgb се чете като "десетичен логаритъм b". Например lg1 е десетичният логаритъм от едно, а lg2,75 е десетичният логаритъм от две цяло седемдесет и пет стотни.
Струва си да се спрем отделно на условията a>0, a≠1 и b>0, при които е дадена дефиницията на логаритъма. Нека обясним откъде идват тези ограничения. За да направим това, ще ни помогне равенство на формата, наречено , което пряко следва от дефиницията на логаритъма, дадена по-горе.
Нека започнем с a≠1. Тъй като едно е равно на едно на произволна степен, тогава равенството може да е вярно само за b=1, но log 1 1 може да бъде всяко реално число. За да се избегне тази неяснота, се приема a≠1.
Нека обосновем целесъобразността на условието a>0 . При a=0, по дефиницията на логаритъма, ще имаме равенство , което е възможно само при b=0 . Но тогава log 0 0 може да бъде всяко ненулево реално число, тъй като нула на всяка ненулева степен е нула. Тази неяснота може да бъде избегната чрез условието a≠0. И за а<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .
И накрая, условието b>0 следва от неравенството a>0 , тъй като , и стойността на степента с положителна основа a винаги е положителна.
В заключение на този параграф казваме, че изразената дефиниция на логаритъма ви позволява незабавно да посочите стойността на логаритъма, когато числото под знака на логаритъма е определена степен на база. Наистина, дефиницията на логаритъма ни позволява да твърдим, че ако b=a p , тогава логаритъма на числото b при основа a е равен на p . Тоест равенството log a a p =p е вярно. Например знаем, че 2 3 =8 , тогава log 2 8=3 . Ще говорим повече за това в статията.