अनुदेश

फ़ंक्शन का दायरा खोजें। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन sin(x) को -∞ से +∞ तक पूरे अंतराल पर परिभाषित किया गया है, और फ़ंक्शन 1/x को -∞ से +∞ तक परिभाषित किया गया है, बिंदु x = 0 को छोड़कर।

निरंतरता और विराम बिंदुओं के क्षेत्रों को परिभाषित करें। आमतौर पर एक फ़ंक्शन उसी डोमेन में निरंतर होता है जहां इसे परिभाषित किया जाता है। विसंगतियों का पता लगाने के लिए, आपको यह गणना करने की आवश्यकता है कि तर्क परिभाषा के क्षेत्र के अंदर अलग-अलग बिंदुओं पर कब पहुंचता है। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन 1/x x→0+ होने पर अनंत की ओर जाता है और x→0- पर माइनस इनफिनिटी की ओर जाता है। इसका मतलब यह है कि बिंदु x = 0 पर इसमें दूसरी तरह की निरंतरता है।
यदि असंततता बिंदु पर सीमाएँ परिमित हैं लेकिन समान नहीं हैं, तो यह पहली तरह का असंततता है। यदि वे समान हैं, तो फ़ंक्शन को निरंतर माना जाता है, हालांकि इसे एक अलग बिंदु पर परिभाषित नहीं किया गया है।

ऊर्ध्वाधर स्पर्शोन्मुख, यदि कोई हो, खोजें। पिछले चरण की गणना आपको यहां मदद करेगी, क्योंकि लंबवत स्पर्शोन्मुख लगभग हमेशा दूसरी तरह के असंततता बिंदु पर होता है। हालांकि, कभी-कभी यह अलग-अलग बिंदु नहीं होते हैं जिन्हें परिभाषा के क्षेत्र से बाहर रखा जाता है, लेकिन बिंदुओं के पूरे अंतराल, और फिर इन अंतरालों के किनारों पर लंबवत स्पर्शोन्मुख स्थित हो सकते हैं।

जांचें कि क्या फ़ंक्शन में विशेष गुण हैं: सम, विषम और आवधिक।
फलन सम होगा यदि डोमेन f(x) = f(-x) में किसी x के लिए। उदाहरण के लिए, cos(x) और x^2 सम फलन हैं।

आवर्तता एक ऐसा गुण है जो कहता है कि एक निश्चित संख्या T है जिसे आवर्त कहते हैं, जो किसी भी x f(x) = f(x + T) के लिए है। उदाहरण के लिए, सभी मूल त्रिकोणमितीय फलन (साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा) आवर्ती हैं।

अंक खोजें। ऐसा करने के लिए, दिए गए फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना करें और उन x मानों को ढूंढें जहां यह गायब हो जाता है। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन f(x) = x^3 + 9x^2 -15 में एक व्युत्पन्न g(x) = 3x^2 + 18x है जो x = 0 और x = -6 पर गायब हो जाता है।

यह निर्धारित करने के लिए कि कौन से चरम बिंदु मैक्सिमा हैं और कौन से मिनिमा हैं, पाए गए शून्य में व्युत्पन्न के संकेतों में परिवर्तन का पता लगाएं। g(x) साइन को प्लस से x = -6 पर और वापस माइनस से प्लस में x = 0 पर बदलता है। इसलिए, फलन f(x) में पहले बिंदु पर न्यूनतम और दूसरे पर न्यूनतम होता है।

इस प्रकार, आपने एकरसता के क्षेत्र भी पाए हैं: f(x) अंतराल -∞; -6 पर एकरस रूप से बढ़ता है, -6;0 पर एकरस रूप से घटता है और 0;+∞ पर फिर से बढ़ता है।

दूसरा व्युत्पन्न खोजें। इसकी जड़ें दिखाएँगी कि किसी दिए गए फ़ंक्शन का ग्राफ कहाँ उत्तल होगा, और कहाँ अवतल होगा। उदाहरण के लिए, फलन f(x) का दूसरा अवकलज h(x) = 6x + 18 होगा। यह x = -3 पर गायब हो जाता है, इसके चिह्न को ऋण से प्लस में बदल देता है। इसलिए, इस बिंदु से पहले का ग्राफ f (x) उत्तल होगा, इसके बाद - अवतल, और यह बिंदु स्वयं एक विभक्ति बिंदु होगा।

एक फ़ंक्शन में लंबवत वाले को छोड़कर अन्य एसिम्प्टोट्स हो सकते हैं, लेकिन केवल तभी जब इसकी परिभाषा के डोमेन में शामिल हो। उन्हें खोजने के लिए, f(x) की सीमा की गणना करें जब x→∞ या x→-∞। यदि यह परिमित है, तो आपने क्षैतिज अनंतस्पर्शी पाया है।

तिरछी अनंतस्पर्शी kx + b के रूप की एक सीधी रेखा है। के को खोजने के लिए, f(x)/x की सीमा x→∞ के रूप में परिकलित करें। समान x→∞ के साथ b - सीमा (f(x) – kx) ज्ञात करना।

डिफरेंशियल कैलकुलस के सबसे महत्वपूर्ण कार्यों में से एक विकास है सामान्य उदाहरणकार्यों के व्यवहार का अध्ययन।

यदि फ़ंक्शन y \u003d f (x) अंतराल पर निरंतर है, और इसका व्युत्पन्न सकारात्मक या अंतराल (a, b) पर 0 के बराबर है, तो y \u003d f (x) (f "(x) से बढ़ता है। 0) यदि फ़ंक्शन y \u003d f (x) खंड पर निरंतर है, और इसका व्युत्पन्न ऋणात्मक है या अंतराल (a,b) पर 0 के बराबर है, तो y=f(x) घट जाती है (f"( एक्स) 0)

वे अंतराल जिनमें फलन घटता या बढ़ता नहीं है, फलन की एकरसता के अंतराल कहलाते हैं। किसी फ़ंक्शन की एकरसता की प्रकृति केवल उसकी परिभाषा के डोमेन के उन बिंदुओं पर बदल सकती है, जिस पर पहले व्युत्पन्न का संकेत बदलता है। जिन बिंदुओं पर किसी फ़ंक्शन का पहला व्युत्पन्न गायब हो जाता है या टूट जाता है, उन्हें महत्वपूर्ण बिंदु कहा जाता है।

प्रमेय 1 (एक चरम के अस्तित्व के लिए पहली पर्याप्त शर्त)।

मान लें कि फ़ंक्शन y=f(x) को बिंदु x 0 पर परिभाषित किया गया है और एक पड़ोस δ>0 होने दें, जैसे कि फ़ंक्शन खंड पर निरंतर है, अंतराल पर अलग-अलग है (x 0 -δ, x 0)u( x 0 , x 0 + ) , और इसका अवकलज इनमें से प्रत्येक अंतराल पर एक अचर चिह्न रखता है। फिर यदि x 0 -δ, x 0) और (x 0, x 0 + ) पर व्युत्पत्ति के चिह्न भिन्न हैं, तो x 0 एक चरम बिंदु है, और यदि वे मेल खाते हैं, तो x 0 एक चरम बिंदु नहीं है . इसके अलावा, यदि, बिंदु x0 से गुजरते समय, व्युत्पन्न चिह्न प्लस से माइनस में बदल जाता है (x 0 के बाईं ओर, f "(x)> 0 किया जाता है, तो x 0 अधिकतम बिंदु है; यदि व्युत्पन्न संकेत बदलता है माइनस से प्लस (x 0 के दाईं ओर f"(x) द्वारा निष्पादित किया जाता है<0, то х 0 - точка минимума.

अधिकतम और न्यूनतम बिंदुओं को फ़ंक्शन के चरम बिंदु कहा जाता है, और फ़ंक्शन के अधिकतम और न्यूनतम को इसके चरम मान कहा जाता है।

प्रमेय 2 (स्थानीय चरम के लिए आवश्यक मानदंड)।

यदि फ़ंक्शन y=f(x) में वर्तमान x=x 0 पर एक चरम है, तो या तो f'(x 0)=0 या f'(x 0) मौजूद नहीं है।
एक अवकलनीय फलन के चरम बिंदुओं पर, इसके ग्राफ की स्पर्शरेखा ऑक्स अक्ष के समानांतर होती है।

एक चरम के लिए एक समारोह का अध्ययन करने के लिए एल्गोरिदम:

1) फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं।
2) महत्वपूर्ण बिंदु खोजें, अर्थात। ऐसे बिंदु जहां फलन निरंतर है और व्युत्पन्न शून्य है या मौजूद नहीं है।
3) प्रत्येक बिंदु के पड़ोस पर विचार करें, और इस बिंदु के बाएँ और दाएँ व्युत्पन्न के चिह्न की जाँच करें।
4) चरम बिंदुओं के निर्देशांक निर्धारित करें, महत्वपूर्ण बिंदुओं के इस मान के लिए, इस फ़ंक्शन में स्थानापन्न करें। पर्याप्त चरम स्थितियों का उपयोग करते हुए, उचित निष्कर्ष निकालें।

उदाहरण 18. फलन की जाँच कीजिए y=x 3 -9x 2 +24x

समाधान।
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4)।
2) अवकलज को शून्य के बराबर करने पर, हम x 1 =2, x 2 =4 पाते हैं। इस मामले में, व्युत्पन्न हर जगह परिभाषित किया गया है; इसलिए, दो पाए गए बिंदुओं के अलावा, कोई अन्य महत्वपूर्ण बिंदु नहीं हैं।
3) व्युत्पन्न y "=3(x-2)(x-4) का चिह्न अंतराल के आधार पर बदलता है जैसा कि चित्र 1 में दिखाया गया है। बिंदु x=2 से गुजरने पर, व्युत्पन्न परिवर्तन प्लस से माइनस में बदल जाता है, और बिंदु x=4 से गुजरते समय - ऋण से धन की ओर।
4) बिंदु x=2 पर, फ़ंक्शन का अधिकतम y अधिकतम =20 है, और बिंदु पर x=4 - न्यूनतम y मिनट =16 है।

प्रमेय 3. (एक चरम के अस्तित्व के लिए दूसरी पर्याप्त शर्त)।

मान लीजिए f "(x 0) और f "" (x 0) बिंदु x 0 पर मौजूद हैं। फिर यदि f "" (x 0)> 0, तो x 0 न्यूनतम बिंदु है, और यदि f "" (x 0 )<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

खंड पर, फ़ंक्शन y \u003d f (x) सबसे छोटे (कम से कम) या सबसे बड़े (अधिकतम) मान तक पहुंच सकता है या तो अंतराल में स्थित फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदुओं पर (ए; बी), या सिरों पर खंड का।

खंड पर एक सतत फ़ंक्शन y=f(x) के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों को खोजने के लिए एल्गोरिदम:

1) f "(x) खोजें।
2) उन बिंदुओं को खोजें जिन पर f "(x) = 0 या f" (x) - मौजूद नहीं है, और उनमें से उन बिंदुओं का चयन करें जो खंड के अंदर स्थित हैं।
3) फ़ंक्शन y \u003d f (x) के मान की गणना पैराग्राफ 2 में प्राप्त बिंदुओं के साथ-साथ खंड के सिरों पर करें और उनमें से सबसे बड़ा और सबसे छोटा चुनें: वे क्रमशः सबसे बड़े हैं ( सबसे बड़े के लिए) और सबसे छोटा (सबसे छोटे के लिए) अंतराल पर फ़ंक्शन मान।

उदाहरण 19. खंड पर एक सतत फलन y=x 3 -3x 2 -45+225 का सबसे बड़ा मान ज्ञात कीजिए।

1) हमारे पास y "=3x 2 -6x-45 खंड पर है
2) व्युत्पन्न y" सभी x के लिए मौजूद है। आइए उन बिंदुओं को खोजें जहां y"=0; हमें मिला:
3x2 -6x-45=0
एक्स 2 -2x-15=0
एक्स 1 \u003d -3; x2=5
3) बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान की गणना करें x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
केवल बिंदु x=5 खंड के अंतर्गत आता है। फ़ंक्शन के पाए गए मानों में से सबसे बड़ा 225 है, और सबसे छोटा संख्या 50 है। तो, अधिकतम = 225 पर, अधिकतम = 50 पर।

उत्तलता पर एक समारोह की जांच

आंकड़ा दो कार्यों के रेखांकन दिखाता है। उनमें से पहला एक उभार के साथ मुड़ा हुआ है, दूसरा - एक उभार के साथ।

फलन y=f(x) एक खंड पर निरंतर है और अंतराल (a;b) में अवकलनीय है, इस खंड पर उत्तल ऊपर (नीचे) कहा जाता है, यदि, axb के लिए, इसका ग्राफ इससे अधिक (कम नहीं) है किसी बिंदु M 0 (x 0; f(x 0)) पर खींची गई स्पर्श रेखा, जहाँ axb.

प्रमेय 4. मान लीजिए फलन y=f(x) का खंड के किसी भी आंतरिक बिंदु x पर दूसरा अवकलज है और इस खंड के सिरों पर निरंतर है। फिर यदि असमानता f""(x)0 अंतराल (a;b) पर संतुष्ट होती है, तो फलन खंड पर नीचे की ओर उत्तल होता है; यदि असमानता f""(x)0 अंतराल (а;b) पर संतुष्ट है, तो फलन ऊपर की ओर उत्तल है।

प्रमेय 5. यदि फलन y \u003d f (x) का अंतराल (a; b) पर दूसरा अवकलज है और यदि यह बिंदु x 0 से गुजरते समय संकेत बदलता है, तो M (x 0 ; f (x 0)) एक विवर्तन बिंदु है।

विभक्ति बिंदु खोजने के लिए नियम:

1) ऐसे बिंदु खोजें जहां f""(x) मौजूद नहीं है या गायब हो जाता है।
2) पहले चरण में पाए गए प्रत्येक बिंदु के बाएँ और दाएँ चिह्न f""(x) की जाँच करें।
3) प्रमेय 4 के आधार पर एक निष्कर्ष निकालें।

उदाहरण 20. फलन ग्राफ y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12 के चरम बिंदु और विभक्ति बिंदु ज्ञात कीजिए।

हमारे पास f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2 है। जाहिर है, f"(x)=0 x 1 =0, x 2 =1 के लिए। व्युत्पन्न, जब बिंदु x = 0 से गुजरता है, तो संकेत को ऋण से प्लस में बदल देता है, और बिंदु x = 1 से गुजरते समय, यह संकेत नहीं बदलता है। इसका अर्थ है कि x=0 न्यूनतम बिंदु है (y min =12), और बिंदु x=1 पर कोई चरम सीमा नहीं है। अगला, हम पाते हैं . दूसरा अवकलज x 1 =1, x 2 =1/3 बिंदुओं पर लुप्त हो जाता है। दूसरे व्युत्पन्न परिवर्तन के संकेत इस प्रकार हैं: किरण पर (-∞;) हमारे पास f""(x)>0 है, अंतराल पर (;1) हमारे पास f""(x) है<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. इसलिए, x= फ़ंक्शन ग्राफ़ का विभक्ति बिंदु है (उत्तलता से नीचे उत्तलता तक संक्रमण) और x=1 भी एक विभक्ति बिंदु है (उत्तलता से उत्तलता नीचे तक संक्रमण)। यदि x=, तो y= ; यदि, तो x=1, y=13.

एक ग्राफ के स्पर्शोन्मुख को खोजने के लिए एक एल्गोरिथ्म

I. यदि y=f(x) x → a के रूप में, तो x=a एक लंबवत अनंतस्पर्शी है।
द्वितीय. यदि y=f(x) x → या x → -∞ के रूप में है तो y=A क्षैतिज अनंतस्पर्शी है।
III. परोक्ष स्पर्शोन्मुख को खोजने के लिए, हम निम्नलिखित एल्गोरिथम का उपयोग करते हैं:
1) गणना करें। यदि सीमा मौजूद है और b के बराबर है, तो y=b क्षैतिज अनंतस्पर्शी है; यदि , तो दूसरे चरण पर जाएँ।
2) गणना करें। यदि यह सीमा मौजूद नहीं है, तो कोई स्पर्शोन्मुख नहीं है; यदि यह मौजूद है और k के बराबर है, तो तीसरे चरण पर जाएँ।
3) गणना करें। यदि यह सीमा मौजूद नहीं है, तो कोई स्पर्शोन्मुख नहीं है; यदि यह मौजूद है और b के बराबर है, तो चौथे चरण पर जाएँ।
4) परोक्ष अनंतस्पर्शी y=kx+b का समीकरण लिखिए।

उदाहरण 21: किसी फलन के लिए अनंतस्पर्शी ज्ञात कीजिए

1)
2)
3)
4) परोक्ष अनंतस्पर्शी समीकरण का रूप होता है

फ़ंक्शन के अध्ययन की योजना और इसके ग्राफ का निर्माण

I. फ़ंक्शन का डोमेन खोजें।
द्वितीय. निर्देशांक अक्षों के साथ फलन के ग्राफ के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए।
III. स्पर्शोन्मुख खोजें।
चतुर्थ। संभावित चरम के बिंदु खोजें।
V. महत्वपूर्ण बिंदु खोजें।
VI. सहायक ड्राइंग का उपयोग करते हुए, पहले और दूसरे डेरिवेटिव के संकेत की जांच करें। फ़ंक्शन की वृद्धि और कमी के क्षेत्रों का निर्धारण करें, ग्राफ की उत्तलता की दिशा, चरम बिंदु और विभक्ति बिंदु खोजें।
सातवीं। पैराग्राफ 1-6 में किए गए अध्ययन को ध्यान में रखते हुए एक ग्राफ बनाएँ।

उदाहरण 22: उपरोक्त योजना के अनुसार एक फलन आलेख आलेखित करें

समाधान।
I. फलन का प्रांत x=1 को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है।
द्वितीय. चूंकि समीकरण x 2 +1=0 के वास्तविक मूल नहीं हैं, तो फ़ंक्शन के ग्राफ़ में ऑक्स अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु नहीं होते हैं, लेकिन Oy अक्ष को बिंदु (0; -1) पर प्रतिच्छेद करते हैं।
III. आइए हम स्पर्शोन्मुख के अस्तित्व के प्रश्न को स्पष्ट करें। हम असंततता बिंदु x=1 के निकट फलन के व्यवहार की जांच करते हैं। चूँकि y → x → -∞ के लिए, y → +∞ x → 1+ के लिए, तो रेखा x=1 फ़ंक्शन के ग्राफ़ का एक लंबवत अनंतस्पर्शी है।
यदि x → +∞(x → -∞), तो y → +∞(y → -∞); इसलिए, ग्राफ में क्षैतिज स्पर्शोन्मुख नहीं है। इसके अलावा, सीमाओं के अस्तित्व से

समीकरण x 2 -2x-1=0 को हल करने पर, हमें संभावित चरम के दो बिंदु मिलते हैं:
एक्स 1 = 1-√2 और एक्स 2 = 1+√2

वी। महत्वपूर्ण बिंदुओं को खोजने के लिए, हम दूसरे व्युत्पन्न की गणना करते हैं:

चूँकि f""(x) लुप्त नहीं होता है, इसलिए कोई महत्वपूर्ण बिंदु नहीं हैं।
VI. हम पहले और दूसरे डेरिवेटिव के संकेत की जांच करते हैं। संभावित चरम बिंदुओं पर विचार किया जाना चाहिए: x 1 = 1-√2 और x 2 = 1+√2, फ़ंक्शन के अस्तित्व के क्षेत्र को अंतराल में विभाजित करें (-∞;1-√2),(1-√2 ;1+√2) और (1+√2;+∞)।

इनमें से प्रत्येक अंतराल में, व्युत्पन्न अपना चिन्ह बरकरार रखता है: पहले में - प्लस, दूसरे में - माइनस, तीसरे में - प्लस। पहले व्युत्पन्न के संकेतों का क्रम इस प्रकार लिखा जाएगा: +, -, +।
हम पाते हैं कि (-∞;1-√2) पर फलन बढ़ता है, (1-√2;1+√2) पर यह घटता है, और (1+√2;+∞) पर यह फिर से बढ़ता है। चरम बिंदु: अधिकतम x=1-√2 पर, इसके अलावा f(1-√2)=2-2√2 न्यूनतम x=1+√2 पर, इसके अलावा f(1+√2)=2+2√2। पर (-∞;1) ग्राफ ऊपर की ओर उत्तल है, और पर (1;+∞) - नीचे की ओर।
VII आइए प्राप्त मूल्यों की एक तालिका बनाएं

आठवीं प्राप्त आंकड़ों के आधार पर, हम फ़ंक्शन के ग्राफ़ का एक स्केच बनाते हैं

फ़ंक्शन का अध्ययन एक स्पष्ट योजना के अनुसार किया जाता है और छात्र को बुनियादी गणितीय अवधारणाओं जैसे कि परिभाषा और मूल्यों के क्षेत्र, फ़ंक्शन की निरंतरता, स्पर्शोन्मुख, चरम बिंदु, समता, आवधिकता का ठोस ज्ञान होना आवश्यक है। आदि। छात्र को स्वतंत्र रूप से कार्यों में अंतर करना चाहिए और समीकरणों को हल करना चाहिए, जो कभी-कभी बहुत जटिल होते हैं।

यही है, यह कार्य ज्ञान की एक महत्वपूर्ण परत का परीक्षण करता है, कोई भी अंतराल जिसमें सही समाधान प्राप्त करने में बाधा बन जाएगी। विशेष रूप से अक्सर कार्यों के रेखांकन के निर्माण में कठिनाइयाँ उत्पन्न होती हैं। यह गलती तुरंत शिक्षक की नज़र में आ जाती है और आपके ग्रेड को बहुत खराब कर सकती है, भले ही बाकी सब कुछ सही ढंग से किया गया हो। यहाँ आप पा सकते हैं ऑनलाइन समारोह के अध्ययन के लिए कार्य: उदाहरण का अध्ययन करें, समाधान डाउनलोड करें, असाइनमेंट ऑर्डर करें।

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इस लेख में, हम एक फ़ंक्शन का अध्ययन करने के लिए एक योजना पर विचार करेंगे, और किसी दिए गए फ़ंक्शन के एक्स्ट्रेमा, मोनोटोनिटी और एसिम्प्टोट्स का अध्ययन करने के उदाहरण भी देंगे।

योजना

1. किसी फ़ंक्शन के अस्तित्व का डोमेन (ODZ)।
2. निर्देशांक अक्षों के साथ फलन का प्रतिच्छेदन (यदि कोई हो), फलन के चिह्न, समता, आवर्तता।
3. ब्रेकप्वाइंट (उनकी तरह)। निरंतरता। स्पर्शोन्मुख ऊर्ध्वाधर हैं।
4. एकरसता और चरम बिंदु।
5. विवर्तन बिंदु। उत्तल।
6. अनंत पर एक फ़ंक्शन की जांच, स्पर्शोन्मुख के लिए: क्षैतिज और तिरछा।
7. एक ग्राफ का निर्माण।

एकरसता के लिए अध्ययन

प्रमेय।यदि समारोह जीनिरंतर , द्वारा विभेदित (ए; बी)और जी'(एक्स) 0 (जी'(एक्स)≤0), एक्स (ए; बी), फिर जीबढ़ रहा है (घट रहा है) .

उदाहरण:

वाई = 1: 3x 3 - 6: 2x 2 + 5x।

ओडीजेड: आर

वाई' = एक्स 2 + 6x + 5।

निरंतर संकेतों के अंतराल खोजें y'. जहां तक ​​कि y'एक प्राथमिक कार्य है, तो यह केवल उन बिंदुओं पर संकेत बदल सकता है जहां यह शून्य हो जाता है या मौजूद नहीं होता है। उसका ओडीजेड: आर.

आइए उन बिंदुओं को खोजें जहां व्युत्पन्न 0 (शून्य) के बराबर है:

वाई' = 0;

एक्स = -1; -पांच।

इसलिए, आपपर बढ़ रहा है (-∞; -5] और पर [-एक; +∞), वाई पर उतरना .

चरम सीमाओं के लिए अनुसंधान

टी। X 0सेट पर अधिकतम बिंदु (अधिकतम) कहा जाता है लेकिनकार्यों जीजब फ़ंक्शन द्वारा इस बिंदु पर अधिकतम मान लिया जाता है जी (एक्स 0) ≥ जी (एक्स), एक्सєए.

टी। X 0फलन का न्यूनतम बिंदु (मिनट) कहलाता है जीमंच पर लेकिनजब इस बिंदु पर फ़ंक्शन द्वारा सबसे छोटा मान लिया जाता है जी (एक्स 0) जी (एक्स), एक्सєА।

मंच पर लेकिनअधिकतम (अधिकतम) और न्यूनतम (न्यूनतम) अंक चरम बिंदु कहलाते हैं जी. इस तरह के एक्स्ट्रेमा को सेट पर एब्सोल्यूट एक्स्ट्रेमा भी कहा जाता है .

अगर X 0- समारोह का चरम बिंदु जीकिसी जिले में तो X 0फ़ंक्शन के स्थानीय या स्थानीय चरम (अधिकतम या न्यूनतम) का बिंदु कहा जाता है जी।

प्रमेय (आवश्यक शर्त)।अगर X 0- (स्थानीय) फ़ंक्शन का चरम बिंदु जी, तो व्युत्पन्न मौजूद नहीं है या इस बिंदु पर 0 (शून्य) के बराबर है।

परिभाषा।अस्तित्वहीन या 0 (शून्य) व्युत्पन्न के बराबर अंक महत्वपूर्ण कहलाते हैं। यह ऐसे बिंदु हैं जो एक चरम सीमा के लिए संदिग्ध हैं।

प्रमेय (पर्याप्त शर्त संख्या 1)।यदि समारोह जीकिसी जिले में लगातार है। X 0और इस बिंदु के माध्यम से संकेत बदल जाता है जब व्युत्पन्न गुजरता है, तो यह बिंदु चरम बिंदु है जी.

प्रमेय (पर्याप्त शर्त संख्या 2)।मान लीजिए फलन बिंदु के किसी पड़ोस में दो बार अवकलनीय है तथा जी' = 0 और जी''> 0 (जी''< 0) , तो यह बिंदु फ़ंक्शन के अधिकतम (अधिकतम) या न्यूनतम (न्यूनतम) का बिंदु है।

उत्तलता परीक्षण

फ़ंक्शन को अंतराल पर नीचे की ओर उत्तल (या अवतल) कहा जाता है (ए, बी)जब फ़ंक्शन का ग्राफ किसी भी x के अंतराल पर secant से अधिक नहीं स्थित होता है (ए, बी)जो इन बिंदुओं से होकर गुजरता है .

समारोह उत्तल होगा सख्ती से नीचे (ए, बी), अगर - ग्राफ अंतराल पर सेकेंट के नीचे स्थित है।

फ़ंक्शन को अंतराल पर ऊपर की ओर उत्तल (उत्तल) कहा जाता है (ए, बी), यदि किसी के लिए अंक से (ए, बी)अंतराल पर फलन का ग्राफ इन बिंदुओं पर भुज से गुजरने वाले छेदक से कम नहीं होता है .

समारोह सख्ती से उत्तल ऊपर की ओर होगा (ए, बी), अगर - अंतराल पर ग्राफ सेकेंट के ऊपर स्थित है।

यदि फ़ंक्शन बिंदु के किसी पड़ोस में है निरंतर और के माध्यम से टी. एक्स 0संक्रमण के दौरान, फ़ंक्शन अपनी उत्तलता को बदलता है, तो इस बिंदु को फ़ंक्शन का विभक्ति बिंदु कहा जाता है।

स्पर्शोन्मुख के लिए अध्ययन

परिभाषा।सीधी रेखा को स्पर्शोन्मुख कहा जाता है जी (एक्स), यदि मूल से अनंत दूरी पर, फ़ंक्शन के ग्राफ़ का बिंदु इसके पास पहुंचता है: डी (एम, एल)।

स्पर्शोन्मुख, लंबवत, क्षैतिज या तिरछा हो सकता है।

समीकरण के साथ लंबवत रेखा एक्स = एक्स 0 फंक्शन g . के लम्बवत ग्राफ का स्पर्शोन्मुख होगा , यदि बिंदु x 0 में अनंत असंततता है, तो इस बिंदु पर कम से कम एक बाएँ या दाएँ सीमा है - अनंत।

सबसे छोटे और सबसे बड़े के मूल्य के लिए एक खंड पर एक समारोह की जांच

यदि फ़ंक्शन निरंतर चालू है , तो वीयरस्ट्रैस प्रमेय के अनुसार, इस खंड पर सबसे बड़ा मूल्य और सबसे छोटा मूल्य है, अर्थात, टी हैं चश्मा जो संबंधित है ऐसा है कि जी (एक्स 1) ≤ जी (एक्स)< g(x 2), x 2 є . एकरसता और एक्स्ट्रेमा के बारे में प्रमेयों से, हम सबसे छोटे और सबसे बड़े मूल्यों के लिए एक खंड पर एक फ़ंक्शन का अध्ययन करने के लिए निम्नलिखित योजना प्राप्त करते हैं।

योजना

1. व्युत्पन्न खोजें जी'(एक्स).
2. किसी फ़ंक्शन का मान देखें जीइन बिंदुओं पर और खंड के सिरों पर।
3. पाए गए मूल्यों की तुलना करें और सबसे छोटा और सबसे बड़ा चुनें।

टिप्पणी।यदि आपको एक परिमित अंतराल पर किसी फलन का अध्ययन करने की आवश्यकता है (ए, बी), या अनंत पर (-∞; बी); (-∞; +∞)अधिकतम और न्यूनतम मूल्यों पर, फिर योजना में, अंतराल के अंत में फ़ंक्शन के मूल्यों के बजाय, वे संबंधित एक तरफा सीमाओं की तलाश करते हैं: के बजाय च (ए)ढूंढ रहा हूँ f(a+) = limf(x), के बजाय च (बी)ढूंढ रहा हूँ च (-बी). तो आप अंतराल पर ODZ फ़ंक्शन पा सकते हैं, क्योंकि इस मामले में निरपेक्ष एक्स्ट्रेमा आवश्यक रूप से मौजूद नहीं है।

कुछ मात्राओं के चरम के लिए लागू समस्याओं के समाधान के लिए व्युत्पन्न का अनुप्रयोग

1. इस मान को समस्या की स्थिति से अन्य मात्राओं के रूप में व्यक्त करें ताकि यह केवल एक चर (यदि संभव हो) का कार्य हो।
2. इस चर के परिवर्तन का अंतराल निर्धारित किया जाता है।
3. अधिकतम और न्यूनतम मानों के लिए अंतराल पर फलन का अध्ययन करें।

एक कार्य।दीवार के पास एक जाली का उपयोग करके एक आयताकार मंच का निर्माण करना आवश्यक है ताकि एक तरफ यह दीवार से सटे हो, और अन्य तीन पर इसे एक जाली से बांधा जाए। किस पक्षानुपात पर ऐसी साइट का क्षेत्रफल सबसे बड़ा होगा?

एस = xy 2 चर का एक कार्य है।

एस = एक्स (ए - 2x)- 1 चर का कार्य ; एक्स ।

एस = कुल्हाड़ी - 2x2; एस" = ए - 4x = 0, एक्सєआर, एक्स = ए: 4।

एस (ए: 4) = ए 2: 8- उच्चतम मूल्य;

एस (0) = 0।

आयत की दूसरी भुजा ज्ञात कीजिए: पर = ए: 2.

आस्पेक्ट अनुपात: वाई: एक्स = 2।

उत्तर।सबसे बड़ा क्षेत्रफल होगा ए 2/8यदि वह भुजा जो दीवार के समानांतर है, दूसरी भुजा की 2 गुनी है।

समारोह अनुसंधान। उदाहरण

उदाहरण 1

उपलब्ध y=x 3: (1-x) 2 । अनुसंधान करो।

1. ओडीजेड: (-∞; 1) यू (1; ).
2. एक सामान्य फलन (न तो सम और न ही विषम) बिंदु 0 (शून्य) के सन्दर्भ में सममित नहीं होता है।
3. समारोह के संकेत। फ़ंक्शन प्राथमिक है, इसलिए यह केवल उन बिंदुओं पर संकेत बदल सकता है जहां यह 0 (शून्य) के बराबर है, या मौजूद नहीं है।
4. फ़ंक्शन प्राथमिक है, इसलिए ODZ पर निरंतर है: (-∞; 1) यू (1; ).

गैप: एक्स = 1;

limx 3: (1- x) 2 =- दूसरी तरह की निरंतरता (अनंत), इसलिए बिंदु 1 पर एक लंबवत अनंतस्पर्शी है;

एक्स = 1- ऊर्ध्वाधर स्पर्शोन्मुख का समीकरण।

5. y' = x 2 (3 - x): (1 - x) 3;

ओडीजेड (वाई'): एक्स 1;

एक्स = 1एक महत्वपूर्ण बिंदु है।

वाई' = 0;

0; 3 महत्वपूर्ण बिंदु हैं।

6. y'' = 6x: (1 - x) 4 ;

क्रिटिकल टी.: 1, 0;

एक्स = 0 - विभक्ति बिंदु, वाई (0) = 0.

7. लिमक्स 3: (1 - 2x + x 2) =- कोई क्षैतिज स्पर्शोन्मुख नहीं है, लेकिन यह तिरछा हो सकता है।

कश्मीर = 1- संख्या;

बी = 2- संख्या।

इसलिए, एक तिरछी स्पर्शोन्मुख है वाई = एक्स + 2से + और से - .

उदाहरण 2

दिया गया वाई = (एक्स 2 + 1): (एक्स -1)। उत्पादन औरजाँच पड़ताल। एक ग्राफ बनाएँ।

1. अस्तित्व का क्षेत्र तथाकथित को छोड़कर, संपूर्ण संख्या रेखा है। एक्स = 1.

2. आपओए (यदि संभव हो) सहित पार करता है। (0;जी(0)). हम खोजें वाई (0) = -1 - चौराहे का बिंदु ओए .

के साथ ग्राफ के प्रतिच्छेदन बिंदु बैलसमीकरण को हल करके खोजें वाई = 0. समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है, इसलिए यह फलन प्रतिच्छेद नहीं करता है बैल.

3. फलन गैर-आवधिक है। अभिव्यक्ति पर विचार करें

जी(-एक्स) ≠ जी(एक्स), और जी(-एक्स) ≠-जी(एक्स). इसका मतलब है कि यह एक सामान्य कार्य है (न तो सम और न ही विषम)।

4. टी. एक्स = 1असंयम दूसरे प्रकार का है। अन्य सभी बिंदुओं पर, कार्य निरंतर है।

5. एक चरम के लिए कार्य का अध्ययन:

(एक्स 2 - 2x - 1) : (x - 1)2=y"

और समीकरण हल करें वाई" = 0.

इसलिए, 1 - √2, 1 + √2, 1 - संभावित चरम के महत्वपूर्ण बिंदु या बिंदु। ये बिंदु संख्या रेखा को चार अंतरालों में विभाजित करते हैं .

प्रत्येक अंतराल पर, व्युत्पन्न का एक निश्चित संकेत होता है, जिसे अंतराल की विधि द्वारा या अलग-अलग बिंदुओं पर व्युत्पन्न के मूल्यों की गणना करके निर्धारित किया जा सकता है। अंतरालों पर (-∞; 1 - √2 ) यू (1 + √2 ; ∞) , एक सकारात्मक व्युत्पन्न, जिसका अर्थ है कि फ़ंक्शन बढ़ रहा है; अगर xє(1 - √2 ; 1) यू(1; 1 + √2 ) , तो फलन घट रहा है, क्योंकि इन अंतरालों पर अवकलज ऋणात्मक है। के माध्यम से टी. एक्स 1संक्रमण के दौरान (आंदोलन बाएं से दाएं चलता है), व्युत्पन्न परिवर्तन "+" से "-" पर हस्ताक्षर करता है, इसलिए, इस बिंदु पर एक स्थानीय अधिकतम है, हम पाते हैं

आपअधिकतम = 2 - 2 √2 .

से गुजरते समय x2व्युत्पन्न चिह्न को "-" से "+" में बदल देता है, इसलिए, इस बिंदु पर एक स्थानीय न्यूनतम होता है, और

वाई मिक्स = 2 + 2√2।

टी। एक्स = 1इतना चरम नहीं।

6.4: (x - 1) 3 = y""।

पर (-∞; 1 ) 0 > वाई"" , फलस्वरूप, इस अंतराल पर वक्र उत्तल है; अगर xє (1 ; ∞) - वक्र अवतल है। में बिंदु 1कोई फ़ंक्शन परिभाषित नहीं है, इसलिए यह बिंदु एक विभक्ति बिंदु नहीं है।

7. यह पैराग्राफ 4 के परिणामों से निम्नानुसार है कि एक्स = 1वक्र का लंबवत स्पर्शोन्मुख है।

कोई क्षैतिज स्पर्शोन्मुख नहीं हैं।

एक्स + 1 = आप इस वक्र के ढलान का स्पर्शोन्मुख है। कोई अन्य स्पर्शोन्मुख नहीं हैं।

8. किए गए अध्ययनों को ध्यान में रखते हुए, हम एक ग्राफ बनाते हैं (ऊपर चित्र देखें)।

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अपडेट मई 2015

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जवाब आसान निकला। कुछ भी मापने की आवश्यकता नहीं है, आप शांति से आंख से निर्धारित कर सकते हैं कि आपको किस आकार की आवश्यकता है।

सबसे छोटा बर्नर 145 मिलीमीटर (14.5 सेंटीमीटर) है

मध्यम बर्नर 180 मिलीमीटर (18 सेंटीमीटर) है।

और अंत में सबसे बड़ा बर्नर 225 मिलीमीटर (22.5 सेंटीमीटर) है।

यह आंख से आकार निर्धारित करने और यह समझने के लिए पर्याप्त है कि आपको किस व्यास के बर्नर की आवश्यकता है। जब मुझे यह नहीं पता था, मैं इन आकारों के साथ बढ़ रहा था, मुझे नहीं पता था कि कैसे मापना है, किस किनारे को नेविगेट करना है, आदि। अब मैं समझदार हूँ :) मुझे आशा है कि इससे आपको भी मदद मिली होगी!

मेरे जीवन में मुझे ऐसी समस्या का सामना करना पड़ा। मुझे लगता है कि मैं अकेला नहीं हूं।