Začnimo z lastnosti logaritma enote. Njegova formulacija je naslednja: logaritem enote je enak nič, tj. log a 1=0 za katero koli a>0, a≠1. Dokaz je preprost: ker je a 0 =1 za kateri koli a, ki izpolnjuje zgornja pogoja a>0 in a≠1 , potem dokazana enakost log a 1=0 takoj sledi iz definicije logaritma.
Navedimo primere uporabe obravnavane lastnosti: log 3 1=0 , lg1=0 in .
Pojdimo na naslednjo lastnost: logaritem števila, ki je enak osnovi, je enak ena, tj. log a a=1 za a>0, a≠1. Ker je a 1 =a za katero koli a , potem po definiciji logaritma log a a=1 .
Primeri uporabe te lastnosti logaritmov so log 5 5=1 , log 5.6 5.6 in lne=1 .
Na primer, log 2 2 7 =7 , log10 -4 =-4 in 
.
Logaritem produkta dveh pozitivnih števil x in y je enak zmnožku logaritmov teh števil: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . Dokažimo lastnost logaritma produkta. Zaradi lastnosti diplome a log a x+log a y =a log a x a log a y, in ker je po glavni logaritemski istovetnosti log a x =x in log a y =y , potem je log a x a log a y =x y . Tako je log a x+log a y =x y , od koder zahtevana enakost sledi po definiciji logaritma.
Pokažimo primere uporabe lastnosti logaritma produkta: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 in 
.
Lastnost logaritma produkta lahko posplošimo na produkt končnega števila n pozitivnih števil x 1 , x 2 , …, x n kot log a (x 1 x 2 ... x n)= log a x 1 + log a x 2 +…+ log a x n . Ta enakost je zlahka dokazana.
Na primer, naravni logaritem produkta lahko nadomestimo z vsoto treh naravnih logaritmov števil 4 , e in .
Logaritem količnika dveh pozitivnih števil x in y je enaka razliki med logaritmoma teh števil. Lastnost kvocientnega logaritma ustreza formuli v obliki , kjer so a>0, a≠1, x in y nekatera pozitivna števila. Veljavnost te formule je dokazana kot formula za logaritem produkta: saj 
, potem po definiciji logaritma .
Tukaj je primer uporabe te lastnosti logaritma: 
.
Pojdimo naprej lastnost logaritma stopnje. Logaritem stopnje je enak zmnožku eksponenta in logaritem modula osnove te stopnje. To lastnost logaritma stopnje zapišemo v obliki formule: log a b p =p log a |b|, kjer so a>0, a≠1, b in p številke, ki imajo smiselno stopnjo b p in b p >0.
To lastnost najprej dokažemo za pozitivno b . Glavni logaritemska identiteta nam omogoča, da število b predstavimo kot log a b , nato b p =(a log a b) p , in dobljeni izraz je na podlagi lastnosti moči enak a p log a b . Tako pridemo do enakosti b p =a p log a b , iz katere po definiciji logaritma sklepamo, da je log a b p =p log a b .
To lastnost je treba še dokazati za negativno b . Pri tem ugotavljamo, da je izraz log a b p za negativno b smiseln le za sode eksponente p (ker mora biti vrednost stopnje b p večja od nič, sicer logaritem ne bo smiseln), v tem primeru pa b p =|b| p . Potem b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p log a |b|, od koder log a b p =p log a |b| .
na primer 
in ln(-3) 4 =4 ln|-3|=4 ln3 .
Iz prejšnje lastnosti izhaja lastnost logaritma od korena: logaritem korena n-te stopnje je enak zmnožku ulomka 1/n in logaritmu korenskega izraza, tj. 
, kjer je a>0, a≠1, n naravno število, večje od ena, b>0.
Dokaz temelji na enakosti (glej ), ki velja za vsak pozitivni b , in lastnosti logaritma stopnje: 
.
Tukaj je primer uporabe te lastnosti: 
.
Zdaj pa dokažimo formulo za pretvorbo v novo osnovo logaritma prijazen 
. Za to je dovolj dokazati veljavnost enakosti log c b=log a b log c a . Osnovna logaritemska identiteta nam omogoča, da število b predstavimo kot log a b , nato log c b=log c a log a b . Še vedno je treba uporabiti lastnost logaritma stopnje: log c a log a b = log a b log c a. Tako je dokazana enakost log c b=log a b log c a, kar pomeni, da je dokazana tudi formula za prehod na novo bazo logaritma.
Pokažimo nekaj primerov uporabe te lastnosti logaritmov: in 
.
Formula za prehod na novo bazo vam omogoča, da nadaljujete z delom z logaritmi, ki imajo "priročno" bazo. Na primer, lahko se uporablja za prehod na naravne ali decimalne logaritme, tako da lahko izračunate vrednost logaritma iz tabele logaritmov. Formula za prehod na novo osnovo logaritma v nekaterih primerih omogoča tudi iskanje vrednosti danega logaritma, ko so znane vrednosti nekaterih logaritmov z drugimi bazami.
Pogosto se uporablja poseben primer formule za prehod na novo bazo logaritma za c=b oblike 
. To kaže, da sta log a b in log b a –. na primer 
.
Pogosto se uporablja tudi formula 
, kar je uporabno za iskanje vrednosti logaritma. Za potrditev naših besed bomo pokazali, kako se z njim izračuna vrednost logaritma obrazca. Imamo 
. Za dokaz formule 
dovolj je, da uporabite formulo za prehod na novo osnovo logaritma a: 
.
Dokazati je še treba primerjalne lastnosti logaritmov.
Dokažimo, da je za katera koli pozitivna števila b 1 in b 2 b 1 log a b 2 , za a>1 pa neenakost log a b 1 Nazadnje je treba še dokazati zadnjo od naštetih lastnosti logaritmov. Omejimo se na dokazovanje njegovega prvega dela, to je, dokažemo, da če je a 1 >1 , a 2 >1 in a 1 1 je resnični log a 1 b>log a 2 b . Preostale trditve te lastnosti logaritmov dokazujemo po podobnem principu. Uporabimo nasprotno metodo. Recimo, da za 1 >1, a 2 >1 in a 1 1 log a 1 b≤log a 2 b je res. Z lastnostmi logaritmov lahko te neenakosti prepišemo kot 
in 
in iz njih sledi, da je log b a 1 ≤log b a 2 oziroma log b a 1 ≥log b a 2. Nato morata biti glede na lastnosti potenk z enakimi osnovami izpolnjeni enakosti b log b a 1 ≥b log b a 2 in b log b a 1 ≥b log b a 2, to je a 1 ≥a 2 . Tako smo prišli do protislovja s pogojem a 1
Bibliografija.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. in drugi Algebra in začetki analize: učbenik za 10.-11. razred splošnoizobraževalnih zavodov.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (priročnik za vpisnike v tehnične šole).
Nadaljujemo s preučevanjem logaritmov. V tem članku bomo govorili o izračun logaritmov, se ta postopek imenuje logaritem. Najprej se bomo ukvarjali z izračunom logaritmov po definiciji. Nato razmislite, kako najdete vrednosti logaritmov z uporabo njihovih lastnosti. Po tem se bomo zadržali pri izračunu logaritmov skozi prvotno dane vrednosti drugih logaritmov. Na koncu se naučimo uporabljati tabele logaritmov. Celotna teorija je opremljena s primeri s podrobnimi rešitvami.
Navigacija po straneh.
Računanje logaritmov po definiciji
V najpreprostejših primerih je mogoče hitro in enostavno izvesti iskanje logaritma po definiciji. Oglejmo si podrobneje, kako poteka ta proces.
Njegovo bistvo je predstavljati število b v obliki a c , od koder je po definiciji logaritma število c vrednost logaritma. To pomeni, da po definiciji iskanje logaritma ustreza naslednji verigi enakosti: log a b=log a a c =c .
Torej se izračun logaritma po definiciji zmanjša na iskanje takšnega števila c, da je a c \u003d b, število c pa je želena vrednost logaritma.
Glede na informacije iz prejšnjih odstavkov, ko je število pod znakom logaritma podano z določeno stopnjo osnove logaritma, lahko takoj navedete, čemu je enak logaritem - enako je eksponentu. Pokažimo primere.
Primer.
Poiščite log 2 2 −3 in izračunajte tudi naravni logaritem e 5.3.
Odločitev.
Definicija logaritma nam omogoča, da takoj rečemo, da je log 2 2 −3 = −3 . Dejansko je število pod znakom logaritma enako osnovi 2 na potenco −3.
Podobno najdemo drugi logaritem: lne 5,3 =5,3.
odgovor:
log 2 2 −3 = −3 in lne 5,3 =5,3 .
Če število b pod znakom logaritma ni podano kot moč osnove logaritma, potem morate skrbno pretehtati, ali je mogoče oblikovati predstavitev števila b v obliki a c. Pogosto je ta predstavitev precej očitna, še posebej, če je število pod znakom logaritma enako osnovi na potenco 1, ali 2, ali 3, ...
Primer.
Izračunajte logaritme log 5 25 in .
Odločitev.
Preprosto je videti, da je 25=5 2 , to vam omogoča izračun prvega logaritma: log 5 25=log 5 5 2 =2 .
Nadaljujemo z izračunom drugega logaritma. Število lahko predstavimo kot potenco 7: 
(glejte, če je potrebno). zato 
.
Prepišimo tretji logaritem v naslednji obliki. Zdaj lahko to vidite 
, od koder sklepamo, da 
. Zato po definiciji logaritma 
.
Na kratko bi rešitev lahko zapisali takole:
odgovor:
log 5 25=2, 
in .
Ko je dovolj veliko naravno število pod predznakom logaritma, potem ne škodi, če ga razstavimo na prafaktorje. Pogosto pomaga predstaviti takšno število kot neko potenco osnove logaritma in zato izračunati ta logaritem po definiciji.
Primer.
Poiščite vrednost logaritma.
Odločitev.
Nekatere lastnosti logaritmov vam omogočajo, da takoj določite vrednost logaritmov. Te lastnosti vključujejo lastnost logaritma ena in lastnost logaritma števila, ki je enaka osnovi: log 1 1=log a a 0 =0 in log a a=log a a 1 =1 . To pomeni, da ko je število 1 ali število a pod znakom logaritma, enako osnovi logaritma, sta v teh primerih logaritma 0 oziroma 1.
Primer.
Kakšni so logaritmi in lg10?
Odločitev.
Ker , izhaja iz definicije logaritma 
.
V drugem primeru število 10 pod predznakom logaritma sovpada z njegovo osnovo, zato je decimalni logaritem desetih enak eni, to je lg10=lg10 1 =1 .
odgovor:
in lg10=1.
Upoštevajte, da računanje logaritmov po definiciji (o čemer smo razpravljali v prejšnjem odstavku) pomeni uporabo log enakosti a a p =p , ki je ena od lastnosti logaritmov.
V praksi, ko se število pod znakom logaritma in osnova logaritma zlahka predstavita kot potenca nekega števila, je zelo priročno uporabiti formulo 
, kar ustreza eni od lastnosti logaritmov. Razmislite o primeru iskanja logaritma, ki ponazarja uporabo te formule.
Primer.
Izračunajte logaritem .
Odločitev.
odgovor:
.
Pri izračunu se uporabljajo tudi lastnosti logaritmov, ki niso omenjeni zgoraj, vendar bomo o tem govorili v naslednjih odstavkih.
Iskanje logaritmov v smislu drugih znanih logaritmov
Informacije v tem odstavku nadaljujejo temo uporabe lastnosti logaritmov pri njihovem izračunu. Toda tukaj je glavna razlika v tem, da se lastnosti logaritmov uporabljajo za izražanje izvirnega logaritma v smislu drugega logaritma, katerega vrednost je znana. Vzemimo primer za pojasnitev. Recimo, da vemo, da je log 2 3≈1,584963 , potem lahko najdemo na primer log 2 6 z majhno transformacijo z uporabo lastnosti logaritma: log 2 6=log 2 (2 3)=log 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .
V zgornjem primeru nam je bilo dovolj, da uporabimo lastnost logaritma produkta. Vendar pa morate veliko pogosteje uporabiti širši arzenal lastnosti logaritmov, da bi izračunali izvirni logaritem glede na dane.
Primer.
Izračunajte logaritem od 27 do osnove 60, če je znano, da sta log 60 2=a in log 60 5=b.
Odločitev.
Torej moramo najti dnevnik 60 27 . Preprosto je videti, da je 27=3 3 in izvirni logaritem zaradi lastnosti logaritma stopnje lahko prepišemo kot 3·log 60 3 .
Zdaj pa poglejmo, kako lahko log 60 3 izrazimo z znanimi logaritmi. Lastnost logaritma števila, ki je enaka osnovi, vam omogoča, da zapišete dnevnik enakosti 60 60=1 . Po drugi strani pa log 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5 . tako, 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. zato log 60 3=1−2 log 60 2−log 60 5=1−2 a−b.
Na koncu izračunamo prvotni logaritem: log 60 27=3 log 60 3= 3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.
odgovor:
log 60 27=3 (1−2 a−b)=3−6 a−3 b.
Ločeno je treba omeniti pomen formule za prehod na novo bazo logaritma obrazca 
. Omogoča vam prehod od logaritmov s katero koli bazo na logaritem z določeno bazo, katerih vrednosti so znane ali jih je mogoče najti. Običajno iz prvotnega logaritma v skladu s prehodno formulo preidejo na logaritem v eni od baz 2, e ali 10, saj za te baze obstajajo tabele logaritmov, ki omogočajo izračun njihovih vrednosti z določeno stopnjo natančnosti. V naslednjem razdelku bomo pokazali, kako se to naredi.
Tabele logaritmov, njihova uporaba
Za približen izračun vrednosti logaritmov lahko uporabite logaritmske tabele. Najpogosteje uporabljene so tabela logaritma osnove 2, tabela naravnega logaritma in tabela decimalnih logaritmov. Pri delu v decimalnem številskem sistemu je priročno uporabiti tabelo logaritmov na bazo deset. Z njegovo pomočjo se bomo naučili najti vrednosti logaritmov.
Predstavljena tabela omogoča, da z natančnostjo do ene desettisočake najdemo vrednosti decimalnih logaritmov števil od 1.000 do 9.999 (s tremi decimalnimi mesti). Načelo iskanja vrednosti logaritma z uporabo tabele decimalnih logaritmov bomo analizirali na posebnem primeru - to je bolj jasno. Najdimo lg1,256 .
V levem stolpcu tabele decimalnih logaritmov najdemo prvi dve števki števila 1,256, torej 1,2 (to število je zaradi jasnosti obkroženo z modro). Tretja številka števila 1.256 (številka 5) se nahaja v prvi ali zadnji vrstici levo od dvojne vrstice (ta številka je obkrožena z rdečo). Četrto števko prvotne številke 1,256 (številka 6) najdemo v prvi ali zadnji vrstici desno od dvojne vrstice (ta številka je obkrožena z zeleno). Zdaj najdemo številke v celicah tabele logaritmov na presečišču označene vrstice in označenih stolpcev (te številke so poudarjene oranžno). Vsota označenih številk daje želeno vrednost decimalnega logaritma do četrtega decimalnega mesta, tj. log1,236≈0,0969+0,0021=0,0990.
Ali je mogoče s pomočjo zgornje tabele najti vrednosti decimalnih logaritmov števil, ki imajo več kot tri števke za decimalno vejico in presegajo meje od 1 do 9,999? Ja lahko. Pokažimo, kako se to naredi s primerom.
Izračunajmo lg102,76332 . Najprej morate napisati številka v standardni obliki: 102,76332=1,0276332 10 2 . Po tem je treba mantiso zaokrožiti na tretjo decimalno mesto, imamo 1,0276332 10 2 ≈1,028 10 2, medtem ko je prvotni decimalni logaritem približno enak logaritmu nastalega števila, torej vzamemo lg102,76332≈lg1,028·10 2 . Zdaj uporabite lastnosti logaritma: lg1,028 10 2 =lg1,028+lg10 2 =lg1,028+2. Na koncu najdemo vrednost logaritma lg1,028 po tabeli decimalnih logaritmov lg1,028≈0,0086+0,0034=0,012. Posledično je celoten postopek izračuna logaritma videti takole: lg102.76332=lg1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = lg1,028+lg10 2 =lg1,028+2≈0,012+2=2,012.
Za zaključek je treba omeniti, da lahko z uporabo tabele decimalnih logaritmov izračunate približno vrednost katerega koli logaritma. Če želite to narediti, je dovolj, da uporabite formulo za prehod, da greste na decimalne logaritme, poiščete njihove vrednosti v tabeli in izvedete preostale izračune.
Na primer, izračunajmo log 2 3 . Po formuli za prehod na novo bazo logaritma imamo . Iz tabele decimalnih logaritmov najdemo lg3≈0,4771 in lg2≈0,3010. tako, 
.
Bibliografija.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. in drugi Algebra in začetki analize: učbenik za 10.-11. razred splošnoizobraževalnih zavodov.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (priročnik za vpisnike v tehnične šole).
Danes bomo govorili o logaritemske formule in predstavimo primeri rešitev.
Sami po sebi implicirajo vzorce rešitev glede na osnovne lastnosti logaritmov. Preden uporabite logaritemske formule za rešitev, vas spomnimo, najprej vse lastnosti:
Zdaj na podlagi teh formul (lastnosti) pokažemo primeri reševanja logaritmov.
Primeri reševanja logaritmov na podlagi formul.
Logaritem pozitivno število b v bazi a (označeno z log a b) je eksponent, na katerega je treba dvigniti a, da dobimo b, pri čemer je b > 0, a > 0 in 1.
Po definiciji log a b = x, kar je enakovredno a x = b, torej log a a x = x.
Logaritmi, primeri:
log 2 8 = 3, ker 2 3 = 8
log 7 49 = 2 ker 7 2 = 49
log 5 1/5 = -1, ker 5 -1 = 1/5
Decimalni logaritem je navaden logaritem, katerega osnova je 10. Označena kot lg.
log 10 100 = 2, ker 10 2 = 100
naravni logaritem- tudi običajen logaritem logaritem, vendar z osnovo e (e = 2,71828 ... - iracionalno število). Omenjeno kot ln.
Formule oziroma lastnosti logaritmov si je zaželeno zapomniti, saj jih bomo kasneje potrebovali pri reševanju logaritmov, logaritemskih enačb in neenakosti. Ponovimo vsako formulo s primeri.
- Osnovna logaritemska identiteta
a log a b = b8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9
- Logaritem produkta je enak vsoti logaritmov
log a (bc) = log a b + log a clog 3 8,1 + log 3 10 = log 3 (8,1*10) = log 3 81 = 4
- Logaritem kvocienta je enak razliki logaritmov
log a (b/c) = log a b - log a c9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81
- Lastnosti stopnje logaritemskega števila in osnove logaritma
Eksponent logaritmskega števila log a b m = mlog a b
Eksponent osnove logaritma log a n b =1/n*log a b
log a n b m = m/n*log a b,
če je m = n, dobimo log a n b n = log a b
log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3
- Prehod na nove temelje
log a b = log c b / log c a,če je c = b, dobimo log b b = 1
potem log a b = 1/log b a
log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1
Kot lahko vidite, logaritemske formule niso tako zapletene, kot se zdijo. Zdaj, ko smo obravnavali primere reševanja logaritmov, lahko preidemo na logaritemske enačbe. Primere reševanja logaritemskih enačb bomo podrobneje obravnavali v članku: "". Ne spreglejte!
Če imate še vedno vprašanja o rešitvi, jih zapišite v komentarje k članku.
Opomba: odločil sem se za možnost izobraževanja v drugem razredu v tujini.
Poudarek tega članka je logaritem. Tu bomo dali definicijo logaritma, prikazali sprejeti zapis, navedli primere logaritmov in govorili o naravnih in decimalnih logaritmih. Po tem upoštevajte osnovno logaritemsko identiteto.
Navigacija po straneh.
Opredelitev logaritma
Koncept logaritma se pojavi pri reševanju problema v določenem inverznem smislu, ko morate poiskati eksponent iz znane vrednosti stopnje in znane osnove.
Toda dovolj preambule, čas je, da odgovorimo na vprašanje "kaj je logaritem"? Dajmo ustrezno definicijo.
Opredelitev.
Logaritem od b do osnove a, kjer je a>0, a≠1 in b>0 eksponent, na katerega morate dvigniti število a, da dobite kot rezultat b.
Na tej stopnji ugotavljamo, da bi morala izgovorjena beseda "logaritem" takoj sprožiti dve vprašanji: "katero število" in "na kakšni podlagi". Z drugimi besedami, preprosto ni logaritma, ampak obstaja le logaritem števila v neki bazi.
Takoj bomo predstavili logaritemski zapis: logaritem števila b na osnovo a je običajno označen kot log a b . Logaritem števila b na osnovo e in logaritem na bazo 10 imata svoji posebni oznaki lnb oziroma lgb, torej ne pišeta log e b , ampak lnb in ne log 10 b , ampak lgb .
Zdaj lahko prinesete:.
In zapisi 
ni smiselno, saj je v prvem od njih pod znakom logaritma negativno število, v drugem - negativno število v osnovi in v tretjem - tako negativno število pod znakom logaritma in enota v bazi.
Zdaj pa se pogovorimo o pravila za branje logaritmov. Dnevnik vnosa a b se bere kot "logaritem od b do osnove a". Na primer, log 2 3 je logaritem od tri do osnove 2 in je logaritem dveh celih dveh osnovnih tretjin kvadratnega korena iz petih. Imenuje se logaritem z osnovo e naravni logaritem, zapis lnb pa se bere kot "naravni logaritem b". Na primer, ln7 je naravni logaritem sedem in ga bomo brali kot naravni logaritem pi. Logaritem z osnovo 10 ima tudi posebno ime - decimalni logaritem, zapis lgb pa se bere kot "decimalni logaritem b". Na primer, lg1 je decimalni logaritem ena, lg2,75 pa je decimalni logaritem dveh pik in petinsedemdeset stotink.
Ločeno se je vredno osredotočiti na pogoje a>0, a≠1 in b>0, pod katerimi je podana definicija logaritma. Pojasnimo, od kod prihajajo te omejitve. Pri tem nam bo pomagala enakost obrazca, imenovana , ki neposredno izhaja iz zgoraj navedene definicije logaritma.
Začnimo z a≠1. Ker je ena na kateri koli potenci enaka ena, je lahko enakost resnična samo za b=1, log 1 1 pa je lahko katero koli realno število. Da bi se izognili tej dvoumnosti, je a≠1 sprejet.
Utemeljimo smotrnost pogoja a>0. Z a=0 bi po definiciji logaritma imeli enakost , kar je možno le pri b=0 . Toda potem je log 0 0 lahko katero koli realno število, ki ni nič, saj je nič do katere koli neničelne moči nič. Tej dvoumnosti se lahko izognemo s pogojem a≠0. In za a<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .
Končno, pogoj b>0 izhaja iz neenakosti a>0 , saj , in vrednost stopnje s pozitivno bazo a je vedno pozitivna.
V zaključku tega odstavka pravimo, da vam glasovna definicija logaritma omogoča takojšnjo navedbo vrednosti logaritma, ko je številka pod znakom logaritma določena stopnja osnove. Dejansko nam definicija logaritma omogoča, da trdimo, da če je b=a p, potem je logaritem števila b na osnovo a enak p. To pomeni, da je log enakosti a a p =p resničen. Na primer, vemo, da je 2 3 =8, nato log 2 8=3. Več o tem bomo govorili v članku.