Квадратните уравнения често се появяват при решаване на различни задачи по физика и математика. В тази статия ще разгледаме как да решим тези равенства по универсален начин"чрез дискриминанта". В статията са дадени и примери за използване на придобитите знания.

За какви уравнения говорим?

Фигурата по-долу показва формула, в която x е неизвестна променлива, а латинските символи a, b, c представляват някои известни числа.

Всеки от тези символи се нарича коефициент. Както можете да видите, числото "a" е пред квадратната променлива x. Това е максималната мощност на представения израз, поради което се нарича квадратно уравнение. Често се използва и другото му име: уравнение от втори ред. Самата стойност a е квадратен коефициент (означаващ променливата на квадрат), b е линейният коефициент (той е до променливата, повдигната на първа степен), и накрая, числото c е свободният член.

Обърнете внимание, че формата на уравнението, показана на фигурата по-горе, е обичаен класически квадратен израз. В допълнение към него има и други уравнения от втори ред, в които коефициентите b, c могат да бъдат нула.

Когато се поставя задачата за решаване на разглежданото равенство, това означава, че трябва да се намерят такива стойности на променливата x, които да го удовлетворят. Тук първото нещо, което трябва да запомните, е следното: тъй като максималната степен на x е 2, този тип израз не може да има повече от 2 решения. Това означава, че ако при решаването на уравнението се намерят 2 стойности на x, които го удовлетворяват, тогава можете да сте сигурни, че няма трето число, замествайки което вместо x, равенството също би било вярно. Решенията на уравнение в математиката се наричат ​​корени.

Методи за решаване на уравнения от втори ред

Решаването на уравнения от този тип изисква познаване на някаква теория за тях. Училищният курс по алгебра разглежда 4 различни методирешения. Нека ги изброим:

• използване на факторизация;
• използване на формулата за пълен квадрат;
• чрез прилагане на графиката на съответната квадратична функция;
• използвайки дискриминантното уравнение.

Предимството на първия метод е в неговата простота, но не може да се приложи към всички уравнения. Вторият метод е универсален, но малко тромав. Третият метод се отличава със своята яснота, но не винаги е удобен и приложим. И накрая, използването на дискриминантното уравнение е универсален и доста прост начин за намиране на корените на абсолютно всяко уравнение от втори ред. Следователно в статията ще разгледаме само него.

Формула за получаване на корените на уравнението

Нека се обърнем към общ изглед квадратно уравнение... Нека го запишем: a * x² + b * x + c = 0. Преди да използвате метода за решаването му „чрез дискриминанта“, равенството винаги трябва да се свежда до писмена форма. Тоест, той трябва да се състои от три члена (или по-малко, ако b или c е 0).

Например, ако има израз: x²-9 * x + 8 = -5 * x + 7 * x², тогава първо трябва да преместите всички негови термини от едната страна на равенството и да добавите термините, съдържащи променливата x в същите правомощия.

V в такъв случайтази операция ще доведе до следния израз: -6 * x²-4 * x + 8 = 0, което е еквивалентно на уравнението 6 * x² + 4 * x-8 = 0 (тук умножихме лявата и дясната страна на равенство с -1).

В примера по-горе, a = 6, b = 4, c = -8. Имайте предвид, че всички членове на разглежданото равенство винаги се сумират помежду си, така че ако се появи знакът "-", това означава, че съответният коефициент е отрицателен, като числото c в този случай.

След като разгледахме тази точка, сега се обръщаме към самата формула, която прави възможно получаването на корените на квадратно уравнение. Има формата, показана на снимката по-долу.

Както можете да видите от този израз, той ви позволява да получите два корена (трябва да обърнете внимание на знака "±"). За да направите това, достатъчно е да замените в него коефициентите b, c и a.

Дискриминантна концепция

В предишния параграф беше дадена формула, която ви позволява бързо да решите всяко уравнение от втори ред. В него радикалният израз се нарича дискриминант, тоест D = b²-4 * a * c.

Защо тази част от формулата е подчертана и дори има собствено име? Факт е, че дискриминантът свързва и трите коефициента на уравнението в един израз. Последният факт означава, че той изцяло носи информация за корените, която може да бъде изразена със следния списък:

1. D> 0: равенството има 2 различни решения, като и двете са реални числа.
2. D = 0: Уравнението има само един корен и е реално число.

Задачата за определяне на дискриминанта

Нека дадем прост пример как да намерим дискриминанта. Нека е дадено следното равенство: 2 * x² - 4 + 5 * x-9 * x² = 3 * x-5 * x² + 7.

Привеждаме го в стандартната форма, получаваме: (2 * x²-9 * x² + 5 * x²) + (5 * x-3 * x) + (- 4-7) = 0, откъдето стигаме до равенство: -2 * x² + 2 * x-11 = 0. Тук a = -2, b = 2, c = -11.

Сега можете да използвате наречената формула за дискриминанта: D = 2² - 4 * (- 2) * (- 11) = -84. Полученото число е отговорът на задачата. Тъй като дискриминантът в примера е по-малък от нула, тогава можем да кажем, че това квадратно уравнение няма реални корени. Само комплексни числа ще бъдат неговото решение.

Пример за неравенство чрез дискриминанта

Нека решаваме задачи от малко по-различен тип: като се има предвид равенството -3 * x²-6 * x + c = 0. Необходимо е да се намерят такива стойности на c, за които D> 0.

В този случай са известни само 2 от 3 коефициента, така че няма да е възможно да се изчисли точната стойност на дискриминанта, но се знае, че той е положителен. Използваме последния факт, когато съставяме неравенството: D = (-6) ²-4 * (- 3) * c> 0 => 36 + 12 * c> 0. Решението на полученото неравенство води до резултата: c> -3.

Нека проверим получения номер. За да направите това, изчислете D за 2 случая: c = -2 и c = -4. Числото -2 удовлетворява получения резултат (-2> -3), съответният дискриминант ще има стойност: D = 12> 0. От своя страна числото -4 не удовлетворява неравенството (-4 Така всички числа c, които са по-големи от -3, ще удовлетворят условието.

Пример за решаване на уравнение

Нека представим проблем, който се състои не само в намирането на дискриминанта, но и в решаването на уравнението. Трябва да намерите корените на равенството -2 * x² + 7-9 * x = 0.

В този пример дискриминантът е равен на следната стойност: D = 81-4 * (- 2) * 7 = 137. Тогава корените на уравнението се дефинират, както следва: x = (9 ± √137) / (- 4). Това точни стойностикорени, ако изчислите приблизителния корен, тогава получавате числата: x = -5,176 и x = 0,676.

Геометричен проблем

Нека решим задача, която ще изисква не само умението за изчисляване на дискриминанта, но и използването на умения за абстрактно мислене и познания за това как да се правят квадратни уравнения.

Боб имаше завивка 5 х 4 метра. Момчето искаше да шие непрекъсната лента от красива тъкан по периметъра. Колко дебела ще бъде тази лента, ако се знае, че Боб има 10 m² плат.

Нека лентата има дебелина xm, тогава площта на тъканта по дългата страна на одеялото ще бъде (5 + 2 * x) * x и тъй като има 2 дълги страни, имаме: 2 * x * (5 + 2 * x). От късата страна площта на ушитата тъкан ще бъде 4 * x, тъй като има 2 от тези страни, получаваме стойността 8 * x. Обърнете внимание, че 2 * x е добавено към дългата страна, тъй като дължината на одеялото се е увеличила с това число. Общата площ на тъканта, зашита към одеялото, е 10 m². Следователно получаваме равенството: 2 * x * (5 + 2 * x) + 8 * x = 10 => 4 * x² + 18 * x-10 = 0.

За този пример дискриминантът е: D = 18²-4 * 4 * (- 10) = 484. Неговият корен е 22. Използвайки формулата, намираме необходимите корени: x = (-18 ± 22) / (2 * 4) = (- 5; 0,5). Очевидно от двата корена само числото 0,5 е подходящо за формулировката на проблема.

Така лентата плат, която Боб ще зашие към одеялото си, ще бъде широка 50 см.

Квадратни уравнения. Дискриминанта. Решение, примери.

Внимание!
Има допълнителни
материали в специален раздел 555.
За тези, които са много "не много..."
И за тези, които са "много равномерни ...")

Видове квадратни уравнения

Какво е квадратно уравнение? Как изглежда? В срок квадратно уравнениеключовата дума е "квадрат".Това означава, че в уравнението задължителнотрябва да има х на квадрат. В допълнение към него, уравнението може (или може да не е!) Просто x (в първа степен) и само число (безплатен член).И не трябва да има x до степен по-голяма от две.

Математически казано, квадратното уравнение е уравнение от вида:

Тук а, б и в- някои цифри. б и в- абсолютно всякакви, но а- всичко различно от нула. Например:

Тук а =1; б = 3; ° С = -4

Тук а =2; б = -0,5; ° С = 2,2

Тук а =-3; б = 6; ° С = -18

Е, схванахте идеята...

В тези квадратни уравнения отляво има пълен комплектчленове. X на квадрат с коефициент а, x на първа степен с коефициент би свободен срок с.

Такива квадратни уравнения се наричат пълен.

И ако б= 0, какво получаваме? Ние имаме X ще изчезне в първа степен.Това се случва от умножение по нула.) Оказва се, например:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x = 0,

-x 2 + 4x = 0

И т.н. И ако и двата коефициента, би ° Сса равни на нула, тогава всичко е още по-просто:

2x 2 = 0,

-0,3x 2 = 0

Такива уравнения, където нещо липсва, се наричат непълни квадратни уравнения.Което е съвсем логично.) Моля, имайте предвид, че х на квадрат присъства във всички уравнения.

Между другото, защо ане може да бъде нула? И ти заместваш анула.) X в квадрата ще изчезне от нас! Уравнението става линейно. И се решава по съвсем различен начин...

Това са всички основни видове квадратни уравнения. Пълни и непълни.

Решаване на квадратни уравнения.

Решаване на пълни квадратни уравнения.

Квадратните уравнения са лесни за решаване. По формули и ясни, прости правила. На първия етап е необходимо даденото уравнение да се приведе в стандартен вид, т.е. да гледам:

Ако уравнението вече ви е дадено в тази форма, не е необходимо да правите първия етап.) Основното нещо е правилно да определите всички коефициенти, а, би ° С.

Формулата за намиране на корените на квадратно уравнение изглежда така:

Извиква се израз под знака корен дискриминанта... Но за него - по-долу. Както можете да видите, за да намерим x, ние използваме само a, b и c. Тези. коефициенти от квадратното уравнение. Просто внимателно заменете стойностите а, б и вв тази формула и пребройте. Заместител с вашите знаци! Например в уравнението:

а =1; б = 3; ° С= -4. Така че записваме:

Примерът е практически решен:

Това е отговорът.

Всичко е много просто. И какво, според вас, е невъзможно да се сбърка? Е, да, как...

Най-честите грешки са объркване със знаци за значение. а, б и в... По-скоро не с техните знаци (къде да се объркате?), А със заместването на отрицателни стойности във формулата за изчисляване на корените. Тук се записва подробна нотация на формулата с конкретни числа. Ако има изчислителни проблеми, Направи го!

Да предположим, че трябва да решите този пример:

Тук а = -6; б = -5; ° С = -1

Да приемем, че знаете, че рядко получавате отговори от първия път.

Е, не бъдете мързеливи. Написването на допълнителен ред ще отнеме 30 секунди и броя на грешките рязко ще намалее... Затова пишем подробно, с всички скоби и знаци:

Изглежда невероятно трудно да се рисува толкова внимателно. Но само изглежда, че е така. Опитай. Е, или изберете. Кое е по-добре, бързо или правилно? Освен това ще те зарадвам. След известно време няма да има нужда да рисувате всичко толкова внимателно. Ще се получи от само себе си. Особено ако използвате практическите техники, описани по-долу. Този зъл пример с куп недостатъци може да бъде решен лесно и без грешки!

Но често квадратните уравнения изглеждат малко по-различно. Например, като това:

Разбрахте ли?) Да! Това непълни квадратни уравнения.

Решаване на непълни квадратни уравнения.

Те също могат да бъдат решени с помощта на обща формула. Просто трябва да разберете правилно на какво са равни а, б и в.

разбрахте ли го? В първия пример а = 1; b = -4;а ° С? Той изобщо не е там! Е, да, точно така. В математиката това означава, че c = 0 ! Това е всичко. Заменете нула във формулата вместо ° С,и ще успеем. Същото е и с втория пример. Тук нямаме само нула С, а б !

Но непълните квадратни уравнения могат да бъдат решени много по-лесно. Без никакви формули. Помислете за първото непълно уравнение. Какво можете да направите там от лявата страна? Можете да поставите x от скобите! Да го извадим.

И какво от това? И фактът, че произведението е равно на нула, ако и само ако някой от факторите е равен на нула! Не ми вярвате? Е, тогава помислете за две различни от нула числа, които, когато се умножат, ще дадат нула!
Не работи? Това е ...
Следователно можем уверено да напишем: х 1 = 0, х 2 = 4.

Всичко. Това ще бъдат корените на нашето уравнение. И двете пасват. Когато заместваме някое от тях в оригиналното уравнение, получаваме правилното тъждество 0 = 0. Както можете да видите, решението е много по-лесно от използването на общата формула. Между другото, ще отбележа кой X ще бъде първият и кой ще бъде вторият - това е абсолютно безразлично. Удобно е да записвате в ред, х 1- какво е по-малко и х 2- какво повече.

Второто уравнение също може да се реши просто. Преместете 9 до правилната страна... Получаваме:

Остава да извлечем корена от 9 и това е всичко. Ще се окаже:

Също два корена . х 1 = -3, х 2 = 3.

Така се решават всички непълни квадратни уравнения. Или като поставите x в скоби, или просто преместите числото надясно и след това извлечете корена.
Изключително трудно е да се объркат тези техники. Просто защото в първия случай ще трябва да извлечете корена от x, което е някак неразбираемо, а във втория случай няма какво да се постави от скобите ...

Дискриминанта. Дискриминантна формула.

Вълшебна дума дискриминанта ! Рядък гимназист не е чувал тази дума! Фразата „решаване чрез дискриминанта“ е успокояваща и успокояваща. Защото няма нужда да чакате мръсни номера от дискриминанта! Той е прост и надежден за боравене.) Напомням ви най-много обща формулаза решения всякаквиквадратни уравнения:

Изразът под основния знак се нарича дискриминант. Обикновено дискриминантът се обозначава с буквата д... Дискриминантна формула:

D = b 2 - 4ac

И какво е толкова забележително в този израз? Защо заслужаваше специално име? Какво значението на дискриминанта?След всичко -b,или 2ав тази формула те не назовават конкретно ... Букви и букви.

Ето каква е работата. При решаване на квадратно уравнение с тази формула е възможно само три случая.

1. Дискриминантът е положителен.Това означава, че можете да извлечете корена от него. Добър корен се извлича, или лош - друг въпрос. Важно е какво се извлича по принцип. Тогава вашето квадратно уравнение има два корена. Две различни решения.

2. Дискриминантът е нула.Тогава имате едно решение. Тъй като събирането-изваждането на нула в числителя не променя нищо. Строго погледнато, това не е един корен, а две еднакви... Но в опростена версия е обичайно да се говори за едно решение.

3. Дискриминантът е отрицателен.От отрицателно числокорен квадратен не се извлича. Ми добре. Това означава, че няма решения.

Честно казано, с простото решение на квадратни уравнения концепцията за дискриминанта не е особено необходима. Заместваме стойностите на коефициентите във формулата, но броим. Всичко се оказва от само себе си и има два корена и един, а не един. Въпреки това, при решаване на по-сложни задачи, без знания значение и дискриминантни формулине достатъчно. Особено - в уравнения с параметри. Такива уравнения са висш пилотаж на държавния изпит и Единния държавен изпит!)

Така, как се решават квадратни уравнениячрез дискриминанта, който си спомнил. Или сте научили, което също е добре.) Знаете как правилно да идентифицирате а, б и в... Ти знаеш как внимателнозаменете ги в коренната формула и внимателнопрочетете резултата. Разбирате, че ключовата дума тук е внимателно?

Засега вземете под внимание най-добрите практики, които драстично ще намалят грешките. Точно тези, които се дължат на невнимание.... За което тогава боли и обижда...

Първи прием ... Не бъдете мързеливи да го приведете в стандартната форма, преди да решите квадратното уравнение. Какво означава това?
Да кажем, че след някои трансформации получавате следното уравнение:

Не бързайте да пишете основната формула! Почти сигурно ще объркате шансовете. а, б и в.Изградете примера правилно. Първо, X е на квадрат, след това без квадрата, след това свободният член. Като този:

И отново, не бързайте! Минусът пред х в квадрата може да ви натъжи наистина. Лесно е да го забравите ... Отървете се от минуса. Как? Да, както се преподава в предишната тема! Трябва да умножите цялото уравнение по -1. Получаваме:

Но сега можете спокойно да запишете формулата за корените, да изчислите дискриминанта и да завършите примера. Направи го сам. Трябва да имате корени 2 и -1.

Прием втори. Проверете корените! По теоремата на Виета. Не се притеснявайте, ще обясня всичко! Проверка последно нещоуравнението. Тези. тази, по която записахме формулата за корените. Ако (както в този пример) коефициентът а = 1, проверката на корените е лесна. Достатъчно е да ги умножите. Трябва да получите безплатен член, т.е. в нашия случай -2. Обърнете внимание, не 2, а -2! Безплатен член с моя знак ... Ако не работи, значи вече е прецакано някъде. Потърсете грешката.

Ако се получи, трябва да сгънете корените. Последната и последна проверка. Трябва да получите коефициент бС противоположно познат. В нашия случай -1 + 2 = +1. И коефициентът бкоето е преди x е -1. Значи всичко е точно!
Жалко, че това е толкова просто само за примери, където x на квадрат е чисто, с коефициент а = 1.Но поне в такива уравнения проверете! Ще има по-малко грешки.

Прием трети ... Ако имате дробни коефициенти във вашето уравнение, отървете се от дробите! Умножете уравнението по общия знаменател, както е описано в урока Как да решаваме уравнения? Идентични трансформации. Когато работите с дроби, по някаква причина има тенденция да се появяват грешки ...

Между другото, обещах да опростя злия пример с куп минуси. Вие сте добре дошъл! Ето го.

За да не се бъркаме в минусите, умножаваме уравнението по -1. Получаваме:

Това е всичко! Удоволствие е да решиш!

И така, да обобщим темата.

Практически съвети:

1. Преди да решим, привеждаме квадратното уравнение в стандартния вид, изграждаме го право.

2. Ако има отрицателен коефициент пред x в квадрата, ние го елиминираме, като умножим цялото уравнение по -1.

3. Ако коефициентите са дробни, елиминираме дробите, като умножим цялото уравнение по съответния коефициент.

4. Ако х на квадрат е чисто, коефициентът при него е равен на единица, решението може лесно да се провери с теоремата на Виета. Направи го!

Сега можете да решите.)

Решете уравнения:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2)

Отговори (в безпорядък):

х 1 = 0
х 2 = 5

х 1,2 =2

х 1 = 2
х 2 = -0,5

x - произволно число

х 1 = -3
х 2 = 3

никакви решения

х 1 = 0,25
х 2 = 0,5

Всичко пасва ли заедно? Глоба! Квадратните уравнения не са ваши главоболие... Първите три работиха, но останалите не? Тогава проблемът не е с квадратните уравнения. Проблемът е в идентични трансформации на уравнения. Разходете се по линка, полезно е.

Не работи съвсем? Или изобщо не работи? Тогава ще ви помогне Раздел 555. Там всички тези примери са подредени на парчета. Показан основнотогрешки в решението. Разбира се, той също така разказва за използването на идентични трансформации при решаването на различни уравнения. Помага много!

Ако харесвате този сайт...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаването на примери и да разберете нивото си. Тестване за незабавно валидиране. Учене - с интерес!)

можете да се запознаете с функции и производни.

Квадратните уравнения се изучават в 8 клас, така че тук няма нищо трудно. Способността за решаването им е абсолютно необходима.

Квадратното уравнение е уравнение от вида ax 2 + bx + c = 0, където коефициентите a, b и c са произволни числа и a ≠ 0.

Преди да изучаваме конкретни методи за решаване, отбелязваме, че всички квадратни уравнения могат условно да бъдат разделени на три класа:

1. Да нямат корени;
2. Имат точно един корен;
3. Те имат два различни корена.

Това е важна разлика между квадратните и линейните уравнения, където коренът винаги съществува и е уникален. Как да определите колко корена има едно уравнение? Има едно прекрасно нещо за това - дискриминанта.

Дискриминанта

Нека е дадено квадратно уравнение ax 2 + bx + c = 0. Тогава дискриминантът е просто числото D = b 2 - 4ac.

Трябва да знаете тази формула наизуст. Откъде идва - сега няма значение. Друго нещо е важно: по знака на дискриминанта можете да определите колко корена има едно квадратно уравнение. а именно:

1. Ако Д< 0, корней нет;
2. Ако D = 0, има точно един корен;
3. Ако D> 0, ще има два корена.

Моля, обърнете внимание: дискриминантът показва броя на корените, а изобщо не техните знаци, както по някаква причина мнозина смятат. Разгледайте примерите - и вие сами ще разберете всичко:

Задача. Колко корени имат квадратните уравнения:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 - 6x + 9 = 0.

Нека запишем коефициентите за първото уравнение и намерим дискриминанта:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 - 4 1 12 = 64 - 48 = 16

Значи дискриминантът е положителен, така че уравнението има два различни корена. Анализираме второто уравнение по подобен начин:
а = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 - 4 5 7 = 9 - 140 = −131.

Дискриминантът е отрицателен, няма корени. Остава последното уравнение:
а = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 - 4 1 9 = 36 - 36 = 0.

Дискриминантът е нула - ще има един корен.

Имайте предвид, че за всяко уравнение са написани коефициенти. Да, дълго е, да, скучно е - но няма да бъркате коефициентите и да не правите глупави грешки. Изберете за себе си: скорост или качество.

Между другото, ако „напълните ръката си“, след известно време вече няма да е необходимо да изписвате всички коефициенти. Такива операции ще извършвате в главата си. Повечето хора започват да правят това някъде след като се решат 50-70 уравнения - като цяло не толкова.

Квадратни корени

Сега да преминем към решението. Ако дискриминантът D> 0, корените могат да бъдат намерени по формулите:

Основна формула за корените на квадратно уравнение

Когато D = 0, можете да използвате всяка от тези формули - получавате същото число, което ще бъде отговорът. И накрая, ако Д< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Първо уравнение:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 - 4 1 (−3) = 16.

D> 0 ⇒ уравнението има два корена. Нека ги намерим:

Второ уравнение:
15 - 2x - x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; с = 15;
D = (−2) 2 - 4 (−1) 15 = 64.

D> 0 ⇒ уравнението отново има два корена. Намери ги

\ [\ begin (подравняване) & ((x) _ (1)) = \ frac (2+ \ sqrt (64)) (2 \ cdot \ left (-1 \ right)) = - 5; \\ & ((x) _ (2)) = \ frac (2- \ sqrt (64)) (2 \ cdot \ ляво (-1 \ дясно)) = 3. \\ \ край (подравняване) \]

И накрая, третото уравнение:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; с = 36;
D = 12 2 - 4 · 1 · 36 = 0.

D = 0 ⇒ уравнението има един корен. Може да се използва всяка формула. Например първият:

Както можете да видите от примерите, всичко е много просто. Ако знаеш формулите и можеш да броиш, няма да има проблеми. Най-често грешките възникват при заместване на отрицателни коефициенти във формулата. Тук отново ще помогне описаната по-горе техника: погледнете формулата буквално, опишете всяка стъпка - и много скоро ще се отървете от грешките.

Непълни квадратни уравнения

Това се случва, че квадратното уравнение е малко по-различно от това, което е дадено в определението. Например:

1. x 2 + 9x = 0;
2. х 2 - 16 = 0.

Лесно е да се види, че един от термините липсва в тези уравнения. Такива квадратни уравнения са дори по-лесни за решаване от стандартните: дори не е необходимо да изчисляват дискриминанта. И така, нека представим нова концепция:

Уравнението ax 2 + bx + c = 0 се нарича непълно квадратно уравнение, ако b = 0 или c = 0, т.е. коефициентът при променлива x или свободен елемент е равен на нула.

Разбира се, възможен е много труден случай, когато и двата коефициента са равни на нула: b = c = 0. В този случай уравнението приема формата ax 2 = 0. Очевидно такова уравнение има един корен: x = 0.

Нека разгледаме останалите случаи. Нека b = 0, тогава получаваме непълно квадратно уравнение от вида ax 2 + c = 0. Нека го трансформираме малко:

Тъй като аритметичният квадратен корен съществува само от неотрицателно число, последното равенство има смисъл само за (−c / a) ≥ 0. Заключение:

1. Ако неравенството (−c / a) ≥ 0 важи в непълно квадратно уравнение от вида ax 2 + c = 0, ще има два корена. Формулата е дадена по-горе;
2. Ако (−c / a)< 0, корней нет.

Както можете да видите, дискриминантът не беше необходим - в непълните квадратни уравнения изобщо няма сложни изчисления. Всъщност дори не е необходимо да помним неравенството (−c / a) ≥ 0. Достатъчно е да изразим стойността x 2 и да видим какво стои от другата страна на знака за равенство. Ако има положително число, ще има два корена. Ако е отрицателен, изобщо няма да има корени.

Сега нека се заемем с уравнения от вида ax 2 + bx = 0, в които свободният елемент е равен на нула. Тук всичко е просто: винаги ще има два корена. Достатъчно е да се изчисли полиномът:

Включване в скоби общ фактор

Продуктът е равен на нула, когато поне един от факторите е равен на нула. От тук са корените. В заключение ще анализираме няколко такива уравнения:

Задача. Решете квадратни уравнения:

1. x 2 - 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 - 9 = 0.

x 2 - 7x = 0 ⇒ x (x - 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; х 2 = - (- 7) / 1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Няма корени, т.к. квадрат не може да бъде равен на отрицателно число.

4x 2 - 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.

Например, за тричлена \ (3x ^ 2 + 2x-7 \), дискриминантът ще бъде \ (2 ^ 2-4 \ cdot3 \ cdot (-7) = 4 + 84 = 88 \). А за тричлена \ (x ^ 2-5x + 11 \), той ще бъде \ ((- 5) ^ 2-4 \ cdot1 \ cdot11 = 25-44 = -19 \).

Дискриминантът се обозначава с буквата \ (D \) и често се използва при решаване. Също така, по стойността на дискриминанта, можете да разберете как изглежда графиката приблизително (вижте по-долу).

Дискриминант и корени на уравнението

Дискриминантната стойност показва количеството на квадратното уравнение:
- ако \ (D \) е положително - уравнението ще има два корена;
- ако \ (D \) е равно на нула - само един корен;
- ако \ (D \) е отрицателен, няма корени.

Това не е необходимо да се научава, лесно е да се стигне до това заключение, просто като се знае какво от дискриминанта (тоест \ (\ sqrt (D) \) влиза във формулата за изчисляване на корените на уравнението: \ (x_ (1) = \) \ (\ frac (-b + \ sqrt (D)) (2a) \) и \ (x_ (2) = \) \ (\ frac (-b- \ sqrt (D)) ( 2a) \) Нека разгледаме по-отблизо всеки случай ...

Ако дискриминантът е положителен

В този случай коренът му е някакво положително число, което означава, че \ (x_ (1) \) и \ (x_ (2) \) ще бъдат различни по значение, тъй като в първата формула \ (\ sqrt (D) \) се добавя, а във втория се изважда. И имаме два различни корена.

Пример : Намерете корените на уравнението \ (x ^ 2 + 2x-3 = 0 \)
Решение :

Отговор : \ (x_ (1) = 1 \); \ (x_ (2) = - 3 \)

Ако дискриминантът е нула

И колко корена ще има, ако дискриминантът е нула? Да разсъждаваме.

Основните формули изглеждат така: \ (x_ (1) = \) \ (\ frac (-b + \ sqrt (D)) (2a) \) и \ (x_ (2) = \) \ (\ frac ( -b- \ sqrt (D)) (2a) \). И ако дискриминантът е нула, тогава коренът му също е нула. Тогава се оказва:

\ (x_ (1) = \) \ (\ frac (-b + \ sqrt (D)) (2a) \) \ (= \) \ (\ frac (-b + \ sqrt (0)) (2a) \) \ (= \) \ (\ frac (-b + 0) (2a) \) \ (= \) \ (\ frac (-b) (2a) \)

\ (x_ (2) = \) \ (\ frac (-b- \ sqrt (D)) (2a) \) \ (= \) \ (\ frac (-b- \ sqrt (0)) (2a) \) \ (= \) \ (\ frac (-b-0) (2a) \) \ (= \) \ (\ frac (-b) (2a) \)

Тоест стойностите на корените на уравнението ще бъдат еднакви, тъй като добавянето или изваждането на нула не променя нищо.

Пример : Намерете корените на уравнението \ (x ^ 2-4x + 4 = 0 \)
Решение :

\ (x ^ 2-4x + 4 = 0 \)		Изписваме коефициентите:
\ (a = 1; \) \ (b = -4; \) \ (c = 4; \)		Изчислете дискриминанта по формулата \ (D = b ^ 2-4ac \)
\ (D = (- 4) ^ 2-4 \ cdot1 \ cdot4 = \) \(=16-16=0\)		Намерете корените на уравнението
\ (x_ (1) = \) \ (\ frac (- (- 4) + \ sqrt (0)) (2 \ cdot1) \)\ (= \) \ (\ frac (4) (2) \) \ (= 2 \) \ (x_ (2) = \) \ (\ frac (- (- 4) - \ sqrt (0)) (2 \ cdot1) \)\ (= \) \ (\ frac (4) (2) \) \ (= 2 \)		Получихме два еднакви корена, така че няма смисъл да ги пишем отделно - записваме ги като един.

Отговор : \ (x = 2 \)

Дискриминантът, подобно на квадратните уравнения, започва да се изучава в курса по алгебра в 8 клас. Можете да решите квадратното уравнение чрез дискриминанта и като използвате теоремата на Vieta. Методът за изучаване на квадратни уравнения, подобно на дискриминантните формули, е доста неуспешно насаждан на учениците, както много в реалното образование. Затова пас училищни години, обучението в 9-11 клас заменя " висше образование"и всички гледат отново - "Как да решим квадратно уравнение?", "Как да намеря корените на уравнение?", "Как да намерим дискриминанта?" и...

Дискриминантна формула

Дискриминантът D на квадратното уравнение a * x ^ 2 + bx + c = 0 е D = b ^ 2–4 * a * c.
Корените (решенията) на квадратното уравнение зависят от знака на дискриминанта (D):
D> 0 - уравнението има 2 различни реални корена;
D = 0 - уравнението има 1 корен (2 съвпадащи корена):
д<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
Формулата за изчисляване на дискриминанта е доста проста, така че много сайтове предлагат онлайн калкулатор на дискриминанта. Все още не сме измислили този вид скриптове, така че който знае как да приложим това, моля, пишете на пощата Този имейл адрес е защитен от спам ботове. Трябва да активирате JavaScript, за да го видите. .

Обща формула за намиране на корените на квадратно уравнение:

Намираме корените на уравнението по формулата
Ако коефициентът на променливата на квадрат е сдвоен, тогава е препоръчително да се изчисли не дискриминанта, а неговата четвърта част
В такива случаи корените на уравнението се намират по формулата

Вторият начин за намиране на корени е теоремата на Виета.

Формулирана е теорема не само за квадратни уравнения, но и за полиноми. Можете да прочетете това в Wikipedia или други електронни ресурси. За простота обаче ще разгледаме тази част от него, която се отнася до редуцирани квадратни уравнения, тоест уравнения от вида (a = 1)
Същността на формулите на Виета е, че сумата от корените на уравнението е равна на коефициента на променливата, взета с противоположен знак. Произведението на корените на уравнението е равно на свободния член. Теоремата на Виета е написана във формули.
Извличането на формулата на Виета е доста просто. Нека напишем квадратното уравнение по отношение на прости фактори
Както можете да видите, всичко гениално е просто в същото време. Ефективно е да се използва формулата на Vieta, когато разликата в абсолютните стойности на корените или разликата в абсолютните стойности на корените е равна на 1, 2. Например, следните уравнения от теоремата на Vieta имат корени




До 4 уравнения, анализът трябва да изглежда така. Произведението на корените на уравнението е 6, следователно корените могат да бъдат стойностите (1, 6) и (2, 3) или двойки с противоположен знак. Сборът от корените е 7 (коефициент на променлива с обратен знак). Оттук заключаваме, че решенията на квадратното уравнение са равни на x = 2; х = 3.
По-лесно е да изберете корените на уравнението между делителите на свободния член, коригирайки техния знак, за да изпълните формулите на Vieta. В началото изглежда трудно да се направи, но с практика върху редица квадратни уравнения, такава техника ще бъде по-ефективна от изчисляването на дискриминанта и намирането на корените на квадратното уравнение по класическия начин.
Както можете да видите, училищната теория за изучаване на дискриминанта и начините за намиране на решения на уравнението е лишена от практически смисъл - „Защо учениците имат нужда от квадратно уравнение?“, „Какво е физическото значение на дискриминанта?“

Нека се опитаме да го разберем какво описва дискриминантът?

Курсът по алгебра преподава функции, диаграми за изучаване на функции и изобразяване на функции. От всички функции важно място заема парабола, чието уравнение може да се запише във формата
Така че физическият смисъл на квадратното уравнение е нулите на параболата, тоест точките на пресичане на графиката на функцията с абсцисната ос Ox
Моля ви да запомните свойствата на параболите, които са описани по-долу. Ще дойде време да положите изпити, тестове или приемни изпити и ще бъдете благодарни за справочния материал. Знакът при променливата в квадрата съответства на това дали клоните на параболата на графиката ще се издигнат (a> 0),

или парабола с клони надолу (а<0) .

Върхът на параболата се намира в средата между корените

Физическото значение на дискриминанта:

Ако дискриминантът е по-голям от нула (D> 0), параболата има две пресечни точки с оста Ox.
Ако дискриминантът е равен на нула (D = 0), тогава параболата на върха докосва оста на абсцисата.
И последният случай, когато дискриминантът е по-малък от нула (D<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).

Непълни квадратни уравнения