V matematike existuje množstvo rovníc. Vždy ich treba riešiť, teda hľadať všetky čísla, ktoré z toho urobia skutočnú rovnosť. Cesty hľadania riešení sú určené počiatočným tvarom rovnice. Od toho bude závisieť aj počet správnych hodnôt premennej, ktoré sú označené ako koreň rovnice. Toto číslo sa môže pohybovať od nuly do nekonečna.
Čo znamená rovnica a jej koreň?
Už z názvu je zrejmé, že dáva rovnítko medzi dve veličiny, ktoré možno znázorniť číselnými alebo doslovnými výrazmi. Navyše obsahujú zatiaľ neznáme množstvá. Najjednoduchšia rovnica má len jednu.
Typy rovníc veľké množstvo, ale pojem koreňa je pre nich vždy rovnaký. Koreň rovnice je taká hodnota neznámeho čísla, pri ktorej sa rovnica stáva skutočnou rovnosťou. Sú situácie, keď existuje niekoľko takýchto čísel, vtedy sa neznáma nazýva premenná.
Nájdenie všetkých možných koreňov rovnice je jej riešením. To znamená, že musíte vykonať množstvo matematických akcií, ktoré to zjednodušia. A potom vedú k rovnosti, ktorá obsahuje len neznáme a nejaké číslo.
V algebre sa pri riešení rovníc môžete dostať do takej situácie, že tam nebudú žiadne korene. Potom hovoria, že je to nerozpustné. A v odpovedi na takúto rovnicu musíte napísať, že neexistujú žiadne riešenia.
Niekedy sa však stane opak. To znamená, že v procese mnohých transformácií sa objavujú cudzie korene. Pri nahradení neposkytnú správnu rovnosť. Čísla by sa preto mali vždy kontrolovať, aby sa predišlo situácii s extra koreňmi v odpovedi. V opačnom prípade sa rovnica nepovažuje za vyriešenú.
Lineárna rovnica
Vždy ho možno previesť na záznam v nasledujúcom tvare: a * x + b = 0. V ňom sa „a“ vždy nerovná nule. Aby sme pochopili, koľko koreňov má rovnica, bude potrebné ju vyriešiť vo všeobecnej forme.
Algoritmus transformácií:
- preniesť výraz „v“ na pravú stranu rovnosti a nahradiť jeho znamienko opačným;
- vydeľte obe strany výslednej rovnosti koeficientom „a“.
Celkový pohľad na riešenie je nasledovný:
x = -v/a.
Je jasné, že odpoveďou je jedno číslo. To znamená, že existuje iba jeden koreň.
Kvadratická rovnica
Jeho všeobecný pohľad: a * x 2 + b * x + c = 0... Tu sú koeficienty ľubovoľné čísla okrem prvého, „a“, ktoré sa nemôže rovnať nule. Koniec koncov, potom sa automaticky zmení na lineárny. Odpoveď na otázku, koľko koreňov má rovnica už nebude taká jednoznačná ako v predchádzajúcom prípade.
Všetko bude závisieť od hodnoty diskriminátora. Vypočítava sa podľa vzorca D = 2 - 4 a* s... Po výpočtoch môže byť "D" viac, menej alebo rovné nule. V prvom prípade budú dva korene rovnice, v druhom bude odpoveď „bez koreňov“ a tretia situácia poskytne iba jednu hodnotu neznámej.
Vzorce, ktoré sa používajú na nájdenie koreňov kvadratickej rovnice a obsahujú diskriminant
Vo všeobecnom prípade, keď „D“ je kladné číslo, ktoré sa nerovná nule, musíte použiť nasledujúci vzorec:
x 1,2 = (-v ± √D) / (2 * a).
Tu sú vždy dve odpovede. Je to spôsobené tým, že v pôvodnom vzorci je znamienko plus / mínus. Výrazne mení význam neznámeho.
Ak sa "D" rovná nule, koreň rovnice je jedno číslo. Len preto, že druhá odmocnina nuly je nula. To znamená, že musíte pridať a odčítať nulu. Toto číslo nezmení. Preto vzorec pre koreň rovnice možno napísať bez uvedenia „D“:
x = (-b) / (2 * a).
Pri zápornej hodnote diskriminantu z neho nie je možné extrahovať druhú odmocninu. Preto takáto rovnica nebude mať žiadne korene.
Komentujte. Pre kurz to platí školské osnovy, v ktorých sa komplexné čísla neštudujú. Keď sa predstavia, ukáže sa, že v tejto situácii budú dve odpovede.
Vzorce na výpočet koreňov kvadratickej rovnice, ktoré nepoužívajú diskriminant
Hovoríme o Vietovej vete. Platí, keď je kvadratická rovnica napísaná v mierne odlišnom tvare:
x 2 + b * x + c = 0.
Potom sa vzorec pre korene kvadratickej rovnice zredukuje na riešenie dvoch lineárnych:
x 1 + x 2 = -v
a
x 1 * x 2 = s.
Je vyriešený tým, že výraz pre jeden z koreňov je odvodený od prvého. A táto hodnota sa musí nahradiť druhou. Tým sa nájde druhý koreň a potom prvý.
K tejto možnosti môžete vždy prísť všeobecný pohľad kvadratická rovnica.
Stačí vydeliť všetky šance "a".
Čo ak potrebujete zistiť najmenšiu hodnotu koreňa?
Vyriešte rovnicu a nájdite všetky možné čísla, ktoré zodpovedajú odpovedi. A potom vyberte najmenšie. Toto bude najmenší koreň rovnice.
Najčastejšie sa takéto otázky nachádzajú v úlohách, ktoré majú stupeň väčší ako 2, alebo obsahujú goniometrické funkcie. Príkladom, keď potrebujete nájsť najmenší koreň, je nasledujúca rovnosť:
2 x 5 + 2 x 4 - 3 x 3 - 3 x 2 + x + 1 = 0.
Na nájdenie každej hodnoty, ktorú možno nazvať „koreňom rovnice“, je potrebné túto rovnosť transformovať. Prvou akciou je zoskupiť svojich členov do párov: prvého s druhým atď. Potom vyberte spoločný faktor z každého páru.
Každá zátvorka bude obsahovať (x + 1). Spoločný faktor v prvom z párov bude 2 x 4, v druhom 3 x 2. Teraz znova musíte vykonať odstránenie spoločného faktora, ktorý bude rovnakými zátvorkami.
Po násobení (x + 1) bude (2 x 4 - 3 x 2 + 1). Súčin dvoch faktorov je nula iba vtedy, ak sa jeden z nich rovná nule.
Prvá zátvorka je nula, keď x = -1. Toto bude jeden z koreňov rovnice.
Ostatné sa získajú z rovnice tvorenej druhou zátvorkou rovnajúcou sa nule. Je bikvadratický. Aby ste to vyriešili, musíte zadať zápis: x 2 = y. Potom sa rovnica výrazne zmení a nadobudne obvyklú formu kvadratickej rovnice.
Jeho diskriminant sa rovná D = 1. Je väčší ako nula, čo znamená, že budú dva korene. Prvý koreň bude rovný 1, druhý bude 0,5. Ale toto sú významy pre „y“.
Je potrebné vrátiť sa k zadanému označeniu. x 1,2 = ± 1, x 3,4 = ± √0,5. Všetky korene rovnice: -1; 1; -√0,5; √0,5. Najmenší z nich je -1. Toto je odpoveď.
Ako záver
Pripomienka: všetky rovnice je potrebné skontrolovať, či je koreň správny. Je to outsider? Stojí za to skontrolovať navrhovaný príklad.
Ak namiesto „x“ dosadíme do počiatočnej rovnice jedničku, tak sa ukáže, že 0 = 0. Tento koreň je správny.
Ak x = -1, získame rovnaký výsledok. Vhodný je aj koreň.
Podobne pre hodnoty „x“ rovné -√0,5 a √0,5 sa opäť získa správna rovnosť. Všetky korene zapadajú.
Tento príklad nedáva cudzie korene. To sa nestáva vždy. Pokojne sa môže stať, že najmenšia hodnota by nebola vhodná na testovanie. Potom by ste si museli vybrať zo zvyšku.
Záver: musíte pamätať na kontrolu a starostlivo pristupovať k riešeniu.
Ak existujú dve veličiny a je medzi nimi znamienko rovnosti, potom ide o príklad, ktorý sa nazýva rovnica. Výpočtom neznámeho zistíme koreň. Aby ste túto neznámu odtajnili, musíte tvrdo pracovať na výpočte.
Jasnejšie to bude, ak do práce vezmeme konkrétnu rovnicu: x + 10 = 16-2x. Vzťahuje sa na lineárny, je zložený z voľných členov a neznámeho x. Tieto komponenty nesieme v rôznych smeroch od znamienka rovnosti. Rovnica teraz vyzerá takto: 2x + x = 16 - 10 alebo 3x = 6; x = 2. Výsledok: X = 2. Na výpočet odmocniny v príklade, kde je požadované na druhú, je potrebných trochu viac vedomostí. Táto rovnica je kvadratická a jej rozdiel od lineárnej je v tom, že výsledky môžu byť 1 alebo 2, alebo sa ukáže, že korene sú 0. Pre lepšie pochopenie vyriešte rovnicu: X na druhú, vynásobte 3 + 3X = 90. Urobíme tak, že 0 vznikne sprava: X2 x 3 + 3X -90 = 0. Čísla pred X sú koeficienty 1, 3, 3. Vyžaduje sa diskriminant: odmocníme 3 - druhý koeficient a odčítame súčin 1 a 3. Vo výsledku dostaneme 6, čo znamená dokončenie výpočtu, zistíme, že táto rovnica má korene 2. Ak by bol diskriminant vyjadrený ako záporné číslo, potom by bolo iracionálne byť sofistikovaný vo výpočte korene - jednoducho neexistujú. Ak D = 0, koreň je iba 1. Teraz urobme výpočet na určenie týchto 2 koreňov. Ak chcete vypočítať 1 odmocninu k druhému koeficientu so znamienkom, pridajte odmocninu z D a vydeľte ju dvojnásobkom prvého koeficientu: -3 + druhá odmocnina zo 16, vydeľte 2. Bude to 1/2. Výpočet druhého je podobný, len od D odčítame koreň. Výsledkom je, že máme 3 celé čísla a 1/2.
To je všetka múdrosť. Nič zložité, ale aby to nebolo jednoduché, môžete použiť online kalkulačku.
Kvadratické rovnice sa študujú v 8. ročníku, takže tu nie je nič ťažké. Schopnosť ich vyriešiť je absolútne nevyhnutná.
Kvadratická rovnica je rovnica v tvare ax 2 + bx + c = 0, kde koeficienty a, b a c sú ľubovoľné čísla a a ≠ 0.
Pred štúdiom konkrétnych metód riešenia si všimneme, že všetky kvadratické rovnice možno podmienečne rozdeliť do troch tried:
- Nemať korene;
- Mať presne jeden koreň;
- Majú dva odlišné korene.
Toto je dôležitý rozdiel. kvadratické rovnice od lineárneho, kde koreň vždy existuje a je jedinečný. Ako zistíte, koľko koreňov má rovnica? Je na to úžasná vec - diskriminačný.
Diskriminačný
Nech je daná kvadratická rovnica ax 2 + bx + c = 0. Potom je diskriminantom práve číslo D = b 2 - 4ac.
Tento vzorec musíte vedieť naspamäť. Odkiaľ pochádza - na tom teraz nezáleží. Ďalšia vec je dôležitá: podľa znamienka diskriminantu môžete určiť, koľko koreňov má kvadratická rovnica. menovite:
- Ak D< 0, корней нет;
- Ak D = 0, existuje práve jeden koreň;
- Ak D> 0, budú existovať dva korene.
Upozorňujeme: diskriminant označuje počet koreňov a vôbec nie ich znaky, ako sa z nejakého dôvodu mnohí domnievajú. Pozrite sa na príklady - a sami všetko pochopíte:
Úloha. Koľko koreňov majú kvadratické rovnice:
- x 2 - 8 x + 12 = 0;
- 5x 2 + 3x + 7 = 0;
- x 2 - 6x + 9 = 0.
Zapíšme si koeficienty pre prvú rovnicu a nájdime diskriminant:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (-8) 2 - 4 1 12 = 64 - 48 = 16
Takže diskriminant je kladný, takže rovnica má dva rôzne korene. Druhú rovnicu analyzujeme podobným spôsobom:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 - 4 5 7 = 9 - 140 = -131.
Diskriminant je negatívny, neexistujú žiadne korene. Ostáva posledná rovnica:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (-6) 2 - 4 1 9 = 36 - 36 = 0.
Diskriminant je nula - bude jeden koreň.
Všimnite si, že koeficienty boli napísané pre každú rovnicu. Áno, je to dlhé, áno, je to nudné - ale nebudete si miešať koeficienty a neurobíte hlúpe chyby. Vyberte si sami: rýchlosť alebo kvalitu.
Mimochodom, ak si „naplníte ruku“, po chvíli už nebudete musieť vypisovať všetky koeficienty. Takéto operácie budete vykonávať v hlave. Väčšina ľudí to začne robiť niekde po vyriešení 50-70 rovníc - vo všeobecnosti nie tak veľa.
Kvadratické odmocniny
Teraz prejdime k riešeniu. Ak je diskriminant D > 0, korene možno nájsť podľa vzorcov:
Základný vzorec pre korene kvadratickej rovnice
Keď D = 0, môžete použiť ktorýkoľvek z týchto vzorcov - dostanete rovnaké číslo, ktoré bude odpoveďou. Nakoniec, ak D< 0, корней нет — ничего считать не надо.
- x 2 - 2 x - 3 = 0;
- 15 - 2x - x 2 = 0;
- x 2 + 12 x + 36 = 0.
Prvá rovnica:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (-2) 2 - 4 1 (-3) = 16.
D> 0 ⇒ rovnica má dva korene. Poďme ich nájsť:
Druhá rovnica:
15 - 2x - x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = -2; c = 15;
D = (-2) 2 - 4 (-1) 15 = 64.
D> 0 ⇒ rovnica má opäť dva korene. Nájdi ich
\ [\ begin (align) & ((x) _ (1)) = \ frac (2+ \ sqrt (64)) (2 \ cdot \ vľavo (-1 \ vpravo)) = - 5; \\ & ((x) _ (2)) = \ frac (2- \ sqrt (64)) (2 \ cdot \ vľavo (-1 \ vpravo)) = 3. \\ \ koniec (zarovnanie) \]
Nakoniec tretia rovnica:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 - 4 · 1 · 36 = 0.
D = 0 ⇒ rovnica má jeden koreň. Je možné použiť akýkoľvek vzorec. Napríklad ten prvý:
Ako vidíte z príkladov, všetko je veľmi jednoduché. Ak poznáte vzorce a viete počítať, nebudú žiadne problémy. Najčastejšie sa chyby vyskytujú pri nahrádzaní záporných koeficientov vo vzorci. Tu opäť pomôže technika opísaná vyššie: pozrite sa na vzorec doslovne, popíšte každý krok - a veľmi skoro sa zbavíte chýb.
Neúplné kvadratické rovnice
Stáva sa, že kvadratická rovnica je trochu odlišná od toho, čo je uvedené v definícii. Napríklad:
- x 2 + 9x = 0;
- x 2 - 16 = 0.
Je ľahké vidieť, že jeden z výrazov v týchto rovniciach chýba. Takéto kvadratické rovnice sa riešia ešte ľahšie ako štandardné: nepotrebujú ani počítať diskriminant. Predstavme si teda nový koncept:
Rovnica ax 2 + bx + c = 0 sa nazýva neúplná kvadratická rovnica, ak b = 0 alebo c = 0, t.j. koeficient pri premennej x alebo voľnom prvku sa rovná nule.
Samozrejme, je možný veľmi ťažký prípad, keď sa oba tieto koeficienty rovnajú nule: b = c = 0. V tomto prípade má rovnica tvar ax 2 = 0. Je zrejmé, že takáto rovnica má jeden koreň: x = 0.
Pozrime sa na ostatné prípady. Nech b = 0, potom dostaneme neúplnú kvadratickú rovnicu v tvare ax 2 + c = 0. Poďme si to trochu transformovať:
Keďže aritmetická druhá odmocnina existuje len z nezáporného čísla, posledná rovnosť má zmysel len pre (−c / a) ≥ 0. Záver:
- Ak v neúplnej kvadratickej rovnici v tvare ax 2 + c = 0 platí nerovnosť (−c / a) ≥ 0, budú korene dva. Vzorec je uvedený vyššie;
- Ak (−c / a)< 0, корней нет.
Ako vidíte, diskriminant nebol potrebný - v neúplných kvadratických rovniciach nie sú vôbec žiadne zložité výpočty. V skutočnosti si ani netreba pamätať nerovnosť (−c / a) ≥ 0. Stačí vyjadriť hodnotu x 2 a pozrieť sa, čo stojí na druhej strane znamienka rovnosti. Ak existuje kladné číslo, budú existovať dva korene. Ak je negatívny, nebudú tam žiadne korene.
Teraz sa pozrime na rovnice tvaru ax 2 + bx = 0, v ktorých sa voľný prvok rovná nule. Všetko je tu jednoduché: vždy budú existovať dva korene. Stačí vylúčiť polynóm:
Bracketing spoločný faktorSúčin sa rovná nule, keď sa aspoň jeden z faktorov rovná nule. Odtiaľto sú korene. Na záver analyzujeme niekoľko takýchto rovníc:
Úloha. Riešte kvadratické rovnice:
- x 2 - 7x = 0;
- 5x 2 + 30 = 0;
- 4x 2 - 9 = 0.
x 2 - 7x = 0 ⇒ x (x - 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = - (- 7) / 1 = 7.
5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Neexistujú žiadne korene, tk. štvorec sa nemôže rovnať zápornému číslu.
4x 2 - 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = -1,5.
Spôsoby, ako nájsť koreň rovnice - pravidlá výpočtu.
Rovnica je matematický výraz obsahujúci jednu alebo viac neznámych. Vyriešiť rovnicu znamená nájsť také hodnoty argumentov, pri ktorých je rovnosť ľavého a pravá strana výrazov (daných funkcií). Nájdené hodnoty sa nazývajú korene rovnice.
V matematike sa rozlišujú lineárne, kvadratické a kubické rovnice. Ak chcete nájsť koreň rovnice určitého typu používajú sa rôzne metódy.
Lineárna rovnica
Vyjadrenie tvaru a * x = b sa nazýva lineárna rovnica. V ňom je a koeficient premennej, b je voľný člen. Pri jeho riešení môžu nastať tri prípady, v ktorých:
- a 0. Koreň sa v tomto prípade vypočíta podľa vzorca: x = b / a. Napríklad vzhľadom na rovnicu x + 3 = 9-2 * x. Výrazy s "X" sa prenášajú v jednom smere a voľné výrazy - v druhom: x + 2 * x = 9-3 alebo 3 * x = 6. Potom x = 6/3, x = 2.
- a = 0, b = 0. Rovnica bude mať tvar 0 * x = 0. Táto rovnosť bude platiť pre akúkoľvek hodnotu „X“. To znamená, že koreňom rovnice bude akékoľvek reálne číslo.
- a = 0, b 0. Dostanete výraz 0 * x = b, pre ktorý neexistujú korene.
Kvadratická rovnica
Rovnica tvaru sa nazýva štvorec (a 0). „A“ a „B“ sa nazývajú koeficienty a „C“ je voľný výraz. Počet koreňov závisí od hodnoty diskriminantu, ktorá sa vypočíta podľa vzorca. V prípade, ak:
- D<0 – для уравнения не существует корней.
- D = 0 - existuje jeden koreň, ktorý sa zistí podľa vzorca: x = -b / (2 * a).
- D> 0 - existujú dva korene, definované nasledovne: Napríklad vzhľadom na rovnicu 3 * x2-2 * x-5 = 0. Diskriminant D = 4-4 * 3 * (- 5) = 64. Korene budú dva.
Kubická rovnica
Výraz tohto druhu sa nazýva kubická rovnica. Môže mať niekoľko koreňov, na výpočet ktorých potrebujete:
- Nájdite jeden z koreňov, ktorý je deliteľom voľného členu "d" dosadením všetkých možných deliteľov, kým sa ľavá strana výrazu nerovná nule.
- Vydeľte pôvodnú rovnicu nájdeným koreňom, v dôsledku čoho sa výraz zredukuje na štvorcový tvar.
- Nájdite korene výslednej rovnice. Napríklad je daná rovnica. Delenia priesečníka 12 sú ± 2, ± 3, ± 4, ± 6, ± 12. Ľavá strana nadobúda hodnotu rovnajúcu sa 0 pre x = 2. Takže 2 je prvý koreň. Potom musíte pôvodný výraz vydeliť (x-2). Dostanete kvadratickú rovnicu. Jeho koreňmi budú čísla..
iné metódy
Okrem algebraického výpočtu požadovaných hodnôt môžete použiť:
- Bezplatná online kalkulačka (allcalc.ru).
- Graficky, keď je vykreslený graf funkcie, ktorej priesečníky s osou "X" budú koreňmi rovnice.
Dnes si precvičíme zručnosť riešenia úlohy 5. skúšky – nájdi koreň rovnice. Budeme hľadať koreň rovnice. Uvažujme o príkladoch riešenia takýchto úloh. Najprv si však pripomeňme – čo znamená nájsť koreň rovnice?
To znamená nájsť také číslo zašifrované pod x, ktoré dosadíme za x a naša rovnica bude správna rovnosť.
Napríklad 3x = 9 je rovnica a 3. 3 = 9 - to už je skutočná rovnosť. Teda v v tomto prípade, namiesto x sme dosadili číslo 3 - dostali sme správny výraz alebo rovnosť, to znamená, že sme rovnicu vyriešili, teda našli sme dané číslo x = 3, čím sa rovnica zmení na správnu rovnosť.
To je to, čo urobíme - nájdeme koreň rovnice.
Úloha 1 - Nájdite koreň rovnice 2 1-4x = 32
Toto je odhaľujúca rovnica. Je to riešené nasledovne – je potrebné, aby ľavá aj pravá strana znamienka „rovná sa“ mali stupeň s rovnakým základom.
Na ľavej strane máme základňu stupňa 2 a na pravej strane nie je žiadny stupeň. Ale vieme, že 32 je 2 ku piatej mocnine. To znamená, že 32 = 2 5
Naša rovnica teda bude vyzerať takto: 2 1-4x = 2 5
Naľavo a napravo sú naše základy stupňa rovnaké, čo znamená, že na to, aby sme mali rovnosť, musia byť rovnaké aj exponenty:
Dostaneme obyčajnú rovnicu. Riešime obvyklým spôsobom - všetky neznáme necháme vľavo a známe presunieme doprava, dostaneme:
Kontrola: 2 1-4 (-1) = 32
Našli sme koreň rovnice. Odpoveď: x = -1.
Nájdite koreň rovnice sami v nasledujúcich úlohách:
b) 2 1-3x = 128
Úloha 2 - Nájdite koreň rovnice
Rovnicu riešime podobným spôsobom – zmenšením ľavej a pravej strany rovnice na rovnaký základ stupňa. V našom prípade na základný stupeň 2.
Používame nasledujúcu vlastnosť stupňa:
Touto vlastnosťou dostaneme pre pravú stranu našej rovnice:
Ak sú základy stupňa rovnaké, potom sú rovnaké aj exponenty:
Odpoveď: x = 9.
Urobme kontrolu - nájdenú hodnotu x dosadíme do pôvodnej rovnice - ak dostaneme správnu rovnosť, tak sme rovnicu vyriešili správne.
Koreň rovnice sme našli správne.
Úloha 3 - Nájdite koreň rovnice
Všimnite si, že vpravo máme 1/8 a 1/8 je
Potom bude naša rovnica napísaná takto:
Ak sú základy stupňa rovnaké, potom sú rovnaké aj exponenty, dostaneme jednoduchú rovnicu:
Odpoveď: x = 5. Overte si to sami.
Úloha 4 - nájdite koreň rovnice log 3 (15-x) = log 3 2
Táto rovnica sa rieši rovnakým spôsobom ako exponenciálna. Chceme, aby základy logaritmov naľavo a napravo od znamienka rovnosti boli rovnaké. Teraz sú rovnaké, čo znamená, že dávame rovnítko medzi tie výrazy, ktoré stoja pod znakom logaritmov:
Odpoveď: x = 13
Úloha 5 - Nájdite koreň rovnice log 3 (3-x) = 3
Číslo 3 je log 3 27. Aby bolo v spodnej časti jasné, dolný index pod znamienkom logaritmu je číslo, ktoré je umocnené, v našom prípade 3, pod znamienkom logaritmu je číslo, ktoré bolo získané pri zvýšení na mocninu - to je 27 a samotný logaritmus je exponent, na ktorý musíte zvýšiť 3, aby ste dostali 27.
Pozri sa na obrázok:
Akékoľvek číslo teda možno zapísať ako logaritmus. V tomto prípade je veľmi vhodné zapísať číslo 3 ako logaritmus so základom 3. Dostaneme:
log 3 (3-x) = log 3 27
Základy logaritmov sú rovnaké, čo znamená, že čísla pod znamienkom logaritmu sú tiež rovnaké:
Skontrolujme to:
log 3 (3 - (- 24)) = log 3 27
log 3 (3 + 24) = log 3 27
log 3 27 = log 3 27
Odpoveď: x = -24.
Nájdite koreň rovnice. Úloha 6.
log 2 (x + 3) = log 2 (3x-15)
Kontrola: denník 2 (9 + 3) = denník 2 (27-15)
log 2 12 = log 2 12
Odpoveď: x = 9.
Nájdite koreň rovnice. Úloha 7.
log 2 (14-2x) = 2 log 2 3
log 2 (14-2x) = log 2 3 2
Kontrola: log 2 (14-5) = 2 log 2 3
log 2 9 = 2 log 2 3
log 2 3 2 = 2 log 2 3
2log 2 3 = 2 log 2 3
Odpoveď: x = 2,5
Pripravte sa na skúšku a na skúšku - pozri predchádzajúce témy a.