Kvadratické rovnice sa často objavujú pri riešení rôznych problémov vo fyzike a matematike. V tomto článku sa pozrieme na to, ako tieto rovnosti vyriešiť. univerzálnym spôsobom„cez diskriminant“. V článku sú uvedené aj príklady využitia získaných poznatkov.

O akých rovniciach hovoríme?

Obrázok nižšie ukazuje vzorec, v ktorom x je neznáma premenná a latinské symboly a, b, c predstavujú niektoré známe čísla.

Každý z týchto symbolov sa nazýva koeficient. Ako vidíte, číslo "a" je pred druhou mocninou premennej x. Toto je maximálna mocnosť prezentovaného výrazu, preto sa nazýva kvadratická rovnica. Často sa používa jej iný názov: rovnica druhého rádu. Samotná hodnota a je štvorcový koeficient (skratka pre premennú na druhú), b je lineárny koeficient (je vedľa premennej umocnený na prvú mocninu) a napokon číslo c je voľný člen.

Všimnite si, že tvar rovnice, ktorý je znázornený na obrázku vyššie, je bežný klasický štvorcový výraz. Okrem nej existujú ďalšie rovnice druhého rádu, v ktorých koeficienty b, c môžu byť nulové.

Keď je úlohou vyriešiť uvažovanú rovnosť, znamená to, že je potrebné nájsť také hodnoty premennej x, ktoré by ju uspokojili. Prvá vec, ktorú si treba zapamätať, je nasledujúca vec: keďže maximálny stupeň x je 2, potom tento typ výrazu nemôže mať viac ako 2 riešenia. To znamená, že ak by sa pri riešení rovnice našli 2 hodnoty x, ktoré ju spĺňajú, potom si môžete byť istí, že neexistuje žiadne tretie číslo, ktoré by namiesto x platilo aj rovnosť. Riešenia rovnice v matematike sa nazývajú korene.

Metódy riešenia rovníc druhého rádu

Riešenie rovníc tohto typu si vyžaduje znalosť určitej teórie o nich. Kurz školskej algebry skúma 4 rôzne metódy riešenia. Poďme si ich vymenovať:

• pomocou faktorizácie;
• pomocou vzorca pre celý štvorec;
• aplikáciou grafu zodpovedajúcej kvadratickej funkcie;
• pomocou diskriminačnej rovnice.

Výhoda prvej metódy spočíva v jej jednoduchosti, nemožno ju však aplikovať na všetky rovnice. Druhá metóda je univerzálna, ale trochu ťažkopádna. Tretia metóda je pozoruhodná svojou jasnosťou, ale nie je vždy vhodná a použiteľná. A nakoniec, použitie diskriminačnej rovnice je univerzálny a pomerne jednoduchý spôsob, ako nájsť korene absolútne akejkoľvek rovnice druhého rádu. Preto sa v článku budeme zaoberať iba tým.

Vzorec na získanie koreňov rovnice

Obráťme sa na všeobecný pohľad kvadratická rovnica... Zapíšme si to: a * x² + b * x + c = 0. Pred použitím metódy riešenia „cez diskriminant“ treba rovnosť vždy zredukovať na písomnú formu. To znamená, že musí pozostávať z troch členov (alebo menej, ak b alebo c je 0).

Napríklad, ak existuje výraz: x²-9 * x + 8 = -5 * x + 7 * x², potom musíte najprv presunúť všetky jeho členy na jednu stranu rovnosti a pridať členy obsahujúce premennú x do rovnaké právomoci.

V tento prípad výsledkom tejto operácie bude nasledujúci výraz: -6 * x²-4 * x + 8 = 0, čo je ekvivalentné rovnici 6 * x² + 4 * x-8 = 0 (tu sme vynásobili ľavú a pravú stranu rovnosť o -1).

Vo vyššie uvedenom príklade a = 6, b = 4, c = -8. Všimnite si, že všetky členy uvažovanej rovnosti sú vždy sčítané medzi sebou, takže ak sa objaví znamienko "-", znamená to, že zodpovedajúci koeficient je záporný, rovnako ako v tomto prípade číslo c.

Po preskúmaní tohto bodu sa teraz obrátime na samotný vzorec, ktorý umožňuje získať korene kvadratickej rovnice. Má podobu zobrazenú na fotografii nižšie.

Ako vidíte z tohto výrazu, umožňuje vám získať dva korene (mali by ste venovať pozornosť znamienku "±"). Na to stačí dosadiť do nej koeficienty b, c a a.

Diskriminačný koncept

V predchádzajúcom odseku bol uvedený vzorec, ktorý vám umožní rýchlo vyriešiť akúkoľvek rovnicu druhého rádu. V ňom sa radikálny výraz nazýva diskriminant, to znamená D = b²-4 * a * c.

Prečo je táto časť vzorca zvýraznená a dokonca má svoj vlastný názov? Faktom je, že diskriminant spája všetky tri koeficienty rovnice do jedného výrazu. Posledná skutočnosť znamená, že plne nesie informácie o koreňoch, ktoré možno vyjadriť v nasledujúcom zozname:

1. D> 0: rovnosť má 2 rôzne riešenia, pričom obe sú reálne čísla.
2. D = 0: Rovnica má iba jeden koreň a je to reálne číslo.

Úlohou určiť diskriminant

Uveďme jednoduchý príklad, ako nájsť diskriminant. Nech je daná nasledujúca rovnosť: 2 * x² - 4 + 5 * x-9 * x² = 3 * x-5 * x² + 7.

Privedieme to do štandardného tvaru, dostaneme: (2 * x²-9 * x² + 5 * x²) + (5 * x-3 * x) + (- 4-7) = 0, čím sa dostaneme k rovnosti : -2 * x² + 2 * x-11 = 0. Tu a = -2, b = 2, c = -11.

Teraz môžete použiť pomenovaný vzorec pre diskriminant: D = 2² - 4 * (- 2) * (- 11) = -84. Výsledné číslo je odpoveďou na úlohu. Keďže diskriminant v príklade je menší ako nula, potom môžeme povedať, že táto kvadratická rovnica nemá žiadne skutočné korene. Riešením budú iba komplexné čísla.

Príklad nerovnosti cez diskriminant

Riešime úlohy trochu iného typu: pri rovnosti -3 * x²-6 * x + c = 0. Je potrebné nájsť také hodnoty c, pre ktoré D> 0.

V tomto prípade sú známe iba 2 z 3 koeficientov, takže nebude možné vypočítať presnú hodnotu diskriminantu, ale je známe, že je kladná. Pri vykresľovaní nerovnosti vychádzame z posledného faktu: D = (-6) ²-4 * (- 3) * c> 0 => 36 + 12 * c> 0. Riešenie získanej nerovnosti vedie k výsledku: c> -3.

Skontrolujeme prijaté číslo. Za týmto účelom vypočítajte D pre 2 prípady: c = -2 a c = -4. Číslo -2 vyhovuje získanému výsledku (-2> -3), príslušný diskriminant bude mať hodnotu: D = 12> 0. Na druhej strane, číslo -4 nespĺňa nerovnosť (-4 Teda všetky čísla c, ktoré sú väčšie ako -3, budú spĺňať podmienku.

Príklad riešenia rovnice

Uveďme problém, ktorý spočíva nielen v hľadaní diskriminantu, ale aj v riešení rovnice. Musíte nájsť korene pre rovnosť -2 * x² + 7-9 * x = 0.

V tomto príklade sa diskriminant rovná nasledujúcej hodnote: D = 81-4 * (- 2) * 7 = 137. Potom sú korene rovnice definované takto: x = (9 ± √137) / (- 4). to presné hodnoty korene, ak vypočítate približný koreň, dostanete čísla: x = -5,176 a x = 0,676.

Geometrický problém

Poďme vyriešiť problém, ktorý si bude vyžadovať nielen schopnosť vypočítať diskriminant, ale aj využitie schopností abstraktného myslenia a znalosti, ako zostaviť kvadratické rovnice.

Bob mal perinu 5 x 4 metre. Chlapec chcel po obvode ušiť súvislý pás krásnej látky. Aký hrubý bude tento pás, ak je známe, že Bob má 10 m² látky.

Nech má prúžok hrúbku xm, potom bude plocha látky pozdĺž dlhej strany prikrývky (5 + 2 * x) * x, a keďže existujú 2 dlhé strany, máme: 2 * x * (5 + 2 * x). Na krátkej strane bude plocha šitej látky 4 * x, keďže sú 2 z týchto strán, dostaneme hodnotu 8 * x. Všimnite si, že na dlhej strane bolo pridané 2 * x, pretože dĺžka prikrývky sa o toto číslo zväčšila. Celková plocha látky prišitej k deke je 10 m². Preto dostaneme rovnosť: 2 * x * (5 + 2 * x) + 8 * x = 10 => 4 * x² + 18 * x-10 = 0.

V tomto príklade je diskriminant: D = 18²-4 * 4 * (- 10) = 484. Jeho koreň je 22. Pomocou vzorca nájdeme požadované korene: x = (-18 ± 22) / (2 * 4) = (-5; 0,5). Je zrejmé, že z týchto dvoch koreňov je pre problémové vyhlásenie vhodné iba číslo 0,5.

Teda prúžok látky, ktorý Bob prišije na svoju deku, bude široký 50 cm.

Kvadratické rovnice. Diskriminačný. Riešenie, príklady.

Pozor!
Existujú ďalšie
materiály v osobitnom oddiele 555.
Pre tých, ktorí sú veľmi "nie veľmi ..."
A pre tých, ktorí „veľmi...“)

Typy kvadratických rovníc

Čo je to kvadratická rovnica? Ako to vyzerá? Z hľadiska kvadratická rovnica kľúčové slovo je "námestie". Znamená to, že v rovnici nevyhnutne tam musí byť x na druhú. Okrem neho rovnica môže (ale nemusí byť!) len x (v prvej mocnine) a len číslo (voľný člen). A nemali by tam byť žiadne x o stupeň väčší ako dva.

Matematicky povedané, kvadratická rovnica je rovnica v tvare:

Tu a, b a c- nejaké čísla. b a c- úplne akékoľvek, ale a- čokoľvek iné ako nula. Napríklad:

Tu a =1; b = 3; c = -4

Tu a =2; b = -0,5; c = 2,2

Tu a =-3; b = 6; c = -18

No, chápete ...

V týchto kvadratických rovniciach vľavo je Plný setčlenov. X na druhú s koeficientom a, x na prvú mocninu s koeficientom b a voľný termín s.

Takéto kvadratické rovnice sa nazývajú plný.

Čo ak b= 0, čo získame? Máme X zmizne na prvom stupni. Stane sa to z násobenia nulou.) Ukazuje sa napríklad:

5x 2 -25 = 0,

2x 2-6x = 0,

-x2 + 4x = 0

Atď. A ak oba koeficienty, b a c sa rovnajú nule, je to ešte jednoduchšie:

2x 2 = 0,

-0,3 x 2 = 0

Takéto rovnice, kde niečo chýba, sa nazývajú neúplné kvadratické rovnice.Čo je celkom logické.) Vezmite prosím na vedomie, že x na druhú je prítomný vo všetkých rovniciach.

Mimochodom, prečo a nemôže byť nula? A ty nahrádzaš a nula.) X v štvorci nám zmizne! Rovnica sa stáva lineárnou. A rozhoduje sa úplne iným spôsobom ...

Toto sú všetky hlavné typy kvadratických rovníc. Úplné a neúplné.

Riešenie kvadratických rovníc.

Riešenie úplných kvadratických rovníc.

Kvadratické rovnice sa dajú ľahko vyriešiť. Podľa vzorcov a jasných, jednoduchých pravidiel. V prvej fáze je potrebné uviesť danú rovnicu do štandardného tvaru, t.j. pozrieť sa:

Ak je rovnica už uvedená v tejto forme, nemusíte robiť prvú fázu.) Hlavná vec je správne určiť všetky koeficienty, a, b a c.

Vzorec na nájdenie koreňov kvadratickej rovnice vyzerá takto:

Výraz pod koreňovým znakom sa nazýva diskriminačný... Ale o ňom - ​​nižšie. Ako vidíte, na nájdenie x používame iba a, b a c. Tie. koeficienty z kvadratickej rovnice. Len opatrne nahraďte hodnoty a, b a c do tohto vzorca a počítať. Náhradník s tvojimi znakmi! Napríklad v rovnici:

a =1; b = 3; c= -4. Takže si zapíšeme:

Príklad je takmer vyriešený:

Toto je odpoveď.

Všetko je veľmi jednoduché. A čo si myslíte, nemožno si pomýliť? No áno, ako...

Najčastejšími chybami je zámena s významovými znakmi. a, b a c... Skôr nie s ich znakmi (kde sa to má zamieňať?), Ale s nahradením záporných hodnôt vo vzorci na výpočet koreňov. Tu sa uloží podrobný zápis vzorca s konkrétnymi číslami. Ak sa vyskytnú problémy s výpočtom, urob tak!

Predpokladajme, že potrebujete vyriešiť tento príklad:

Tu a = -6; b = -5; c = -1

Povedzme, že viete, že odpovede na prvýkrát dostanete len zriedka.

No nebuď lenivý. Napísanie ďalšieho riadku bude trvať 30 sekúnd a počet chýb sa prudko zníži... Píšeme teda podrobne so všetkými zátvorkami a znakmi:

Zdá sa neuveriteľne ťažké maľovať tak starostlivo. Ale to sa len zdá. Skús to. No, alebo si vyberte. Čo je lepšie, rýchle alebo správne? Okrem toho ťa poteším. Po chvíli už nebude potrebné všetko tak starostlivo maľovať. Vyjde to samo od seba. Najmä ak použijete praktické techniky opísané nižšie. Tento zlý príklad s množstvom nedostatkov sa dá vyriešiť jednoducho a bez chýb!

Kvadratické rovnice však často vyzerajú trochu inak. Napríklad takto:

Zistili ste to?) Áno! to neúplné kvadratické rovnice.

Riešenie neúplných kvadratických rovníc.

Môžu byť tiež vyriešené pomocou všeobecného vzorca. Musíte len správne zistiť, čomu sa rovnajú a, b a c.

Už ste na to prišli? V prvom príklade a = 1; b = -4; a c? On tam vôbec nie je! No áno, je to tak. V matematike to znamená c = 0 ! To je všetko. Namiesto nuly vo vzorci nahraďte c, a uspejeme. Rovnako je to aj s druhým príkladom. Len nulu tu nemáme s, a b !

Neúplné kvadratické rovnice sa však dajú vyriešiť oveľa jednoduchšie. Bez akýchkoľvek vzorcov. Zvážte prvú neúplnú rovnicu. Čo môžete robiť tam na ľavej strane? Môžete dať x zo zátvoriek! Vyberme to.

A čo z toho? A skutočnosť, že súčin sa rovná nule vtedy a len vtedy, keď sa ktorýkoľvek z faktorov rovná nule! neveríš mi? Potom si vymyslite dve nenulové čísla, ktoré po vynásobení dajú nulu!
Nefunguje? to je všetko...
Preto môžeme s istotou napísať: x 1 = 0, x 2 = 4.

Všetko. Toto budú korene našej rovnice. Obaja sa hodia. Pri dosadení ktorejkoľvek z nich do pôvodnej rovnice dostaneme správnu identitu 0 = 0. Ako vidíte, riešenie je oveľa jednoduchšie ako použitie všeobecného vzorca. Mimochodom, všimnem si, ktoré X bude prvé a ktoré druhé - je úplne ľahostajné. Je vhodné písať v poradí, x 1- čo je menej, a x 2- čo je viac.

Aj druhá rovnica sa dá vyriešiť jednoducho. Presuňte 9 na pravá strana... Dostaneme:

Zostáva extrahovať koreň z 9 a je to. Ukáže sa:

Tiež dva korene . x 1 = -3, x 2 = 3.

Takto sa riešia všetky neúplné kvadratické rovnice. Buď umiestnením x do zátvoriek, alebo jednoduchým posunutím čísla doprava a následným extrahovaním koreňa.
Je mimoriadne ťažké zamieňať tieto techniky. Jednoducho preto, že v prvom prípade budete musieť extrahovať koreň z x, čo je akosi nezrozumiteľné, a v druhom prípade nie je čo dať zo zátvoriek ...

Diskriminačný. Diskriminačný vzorec.

Čarovné slovo diskriminačný ! Vzácny stredoškolák toto slovo ešte nepočul! Fráza „rozhodovať sa prostredníctvom diskriminujúceho“ je upokojujúca a upokojujúca. Pretože nie je potrebné čakať na špinavé triky od diskriminanta! Je jednoduchá a spoľahlivá pri manipulácii.) Najviac vám pripomínam všeobecný vzorec pre riešenia akýkoľvek kvadratické rovnice:

Výraz pod koreňovým znakom sa nazýva diskriminant. Zvyčajne sa diskriminant označuje písmenom D... Diskriminačný vzorec:

D = b2-4ac

A čo je na tomto výraze také pozoruhodné? Prečo si zaslúžil špeciálne pomenovanie? Čo čo znamená diskriminant? Po všetkom -b, alebo 2a v tomto vzorci konkrétne nepomenúvajú ... Písmená a písmená.

Tu je vec. Pri riešení kvadratickej rovnice pomocou tohto vzorca je to možné len tri prípady.

1. Diskriminant je pozitívny. To znamená, že z neho môžete extrahovať koreň. Dobrý koreň je extrahovaný, alebo zlý - je iná vec. Dôležité je, čo sa v princípe extrahuje. Potom má vaša kvadratická rovnica dva korene. Dve rôzne riešenia.

2. Diskriminant je nula. Potom máte jedno riešenie. Keďže sčítanie-odčítanie nuly v čitateli nič nemení. Presne povedané, toto nie je jeden koreň, ale dve rovnaké... Ale v zjednodušenej verzii je zvykom hovoriť jedno riešenie.

3. Diskriminant je negatívny. Od záporné číslo druhá odmocnina sa neextrahuje. No dobre. To znamená, že neexistujú žiadne riešenia.

Úprimne povedané, pri jednoduchom riešení kvadratických rovníc sa koncept diskriminantu zvlášť nevyžaduje. Hodnoty koeficientov dosadíme do vzorca, ale počítame. Tam sa všetko ukáže samo, a dva korene, jeden, a nie jeden. Pri riešení zložitejších úloh však bez znalostí význam a diskriminačné vzorce nedostatočné. Najmä - v rovniciach s parametrami. Takéto rovnice sú akrobacia na štátnej skúške a jednotnej štátnej skúške!)

takže, ako riešiť kvadratické rovnice cez rozlišovač, ktorý si si spomenul. Alebo ste sa naučili, čo tiež nie je zlé.) Viete, ako správne identifikovať a, b a c... Ty vieš ako pozorne nahradiť ich v koreňovom vzorci a pozorne prečítajte si výsledok. Máte predstavu, že kľúčové slovo je tu pozorne?

Zatiaľ si všimnite osvedčené postupy, ktoré výrazne znížia počet chýb. Práve tie, ktoré sú spôsobené nepozornosťou ... Pre ktoré to potom bolí a uráža ...

Prvý príjem ... Nebuďte leniví, aby ste to pred riešením kvadratickej rovnice priviedli do štandardného tvaru. Čo to znamená?
Povedzme, že po niekoľkých transformáciách dostanete nasledujúcu rovnicu:

Neponáhľajte sa písať koreňový vzorec! Takmer určite si pomiešate šance. a, b a c. Správne zostavte príklad. Najprv sa X odmocní, potom bez štvorca, potom voľný výraz. Páči sa ti to:

A opäť, neponáhľajte sa! Mínus pred x v štvorci vás môže poriadne mrzieť. Je ľahké na to zabudnúť ... Zbavte sa mínusov. Ako? Áno, ako je uvedené v predchádzajúcej téme! Celú rovnicu musíte vynásobiť -1. Dostaneme:

Ale teraz si môžete pokojne zapísať vzorec pre korene, vypočítať diskriminant a doplniť príklad. Urob si sám. Mali by ste mať korene 2 a -1.

Príjem druhého. Skontrolujte korene! Podľa Vietovej vety. Nebojte sa, všetko vysvetlím! Kontrola posledná vec rovnica. Tie. ten, ktorým sme zapísali vzorec pre korene. Ak (ako v tomto príklade) koeficient a = 1, kontrola koreňov je jednoduchá. Stačí ich namnožiť. Mali by ste získať bezplatného člena, t.j. v našom prípade -2. Pozor, nie 2, ale -2! Voľný člen s mojím znamením ... Ak to nefungovalo, potom je to už niekde pokazené. Hľadajte chybu.

Ak to vyjde, treba korienky zložiť. Posledná a posledná kontrola. Mali by ste dostať koeficient b s opak známy. V našom prípade -1 + 2 = +1. A koeficient b ktorý je pred x je -1. Takže všetko je správne!
Škoda, že je to také jednoduché len pre príklady, kde x na druhú je čistá, s koeficientom a = 1. Ale aspoň v takýchto rovniciach, skontrolujte! Chýb bude menej.

Tretia recepcia ... Ak máte v rovnici zlomkové koeficienty, zbavte sa zlomkov! Vynásobte rovnicu spoločným menovateľom, ako je popísané v časti Ako riešiť rovnice? Identické transformácie. Pri práci so zlomkami sa z nejakého dôvodu vyskytujú chyby ...

Mimochodom, sľúbil som, že zjednoduším zlý príklad s množstvom mínusov. Prosím! Tu to je.

Aby sme sa nemýlili v mínusoch, rovnicu vynásobíme -1. Dostaneme:

To je všetko! Radosť rozhodovať!

Takže, aby som zhrnul tému.

Praktické rady:

1. Pred riešením uvedieme kvadratickú rovnicu do štandardného tvaru, postavíme ju správny.

2. Ak je pred x v štvorci záporný koeficient, odstránime ho vynásobením celej rovnice -1.

3. Ak sú koeficienty zlomkové, zlomky odstránime vynásobením celej rovnice príslušným faktorom.

4. Ak je x na druhú čistú, koeficient na nej je rovný jednej, riešenie možno ľahko overiť Vietovou vetou. Urob to!

Teraz sa môžete rozhodnúť.)

Riešte rovnice:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3 x + 8 = 0

x 2 - 4 x + 4 = 0

(x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2)

Odpovede (v neporiadku):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x2 = -0,5

x - ľubovoľné číslo

x 1 = -3
x 2 = 3

žiadne riešenia

x 1 = 0,25
x 2 = 0,5

Zapadá to všetko do seba? Dobre! Kvadratické rovnice nie sú vaše bolesť hlavy... Prvé tri fungovali, ale zvyšok nie? Potom problém nie je s kvadratickými rovnicami. Problém je v identických transformáciách rovníc. Prejdite sa po odkaze, je to užitočné.

Necvičíte úplne? Alebo to nefunguje vôbec? Potom vám pomôže oddiel 555. Tam sú všetky tieto príklady roztriedené na kúsky. Zobrazené hlavný chyby v riešení. Hovorí sa samozrejme aj o aplikácii identických transformácií pri riešení rôznych rovníc. Veľmi pomáha!

Ak sa vám táto stránka páči...

Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)

Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Okamžité overovacie testovanie. Učenie - so záujmom!)

môžete sa zoznámiť s funkciami a deriváciami.

Kvadratické rovnice sa študujú v 8. ročníku, takže tu nie je nič zložité. Schopnosť ich riešiť je absolútne nevyhnutná.

Kvadratická rovnica je rovnica v tvare ax 2 + bx + c = 0, kde koeficienty a, b a c sú ľubovoľné čísla a a ≠ 0.

Pred štúdiom konkrétnych metód riešenia si všimneme, že všetky kvadratické rovnice možno podmienečne rozdeliť do troch tried:

1. Nemať korene;
2. Mať presne jeden koreň;
3. Majú dva odlišné korene.

Toto je dôležitý rozdiel medzi kvadratickými a lineárnymi rovnicami, kde koreň vždy existuje a je jedinečný. Ako zistíte, koľko koreňov má rovnica? Je na to úžasná vec - diskriminačný.

Diskriminačný

Nech je daná kvadratická rovnica ax 2 + bx + c = 0. Potom je diskriminantom práve číslo D = b 2 - 4ac.

Tento vzorec musíte poznať naspamäť. Odkiaľ pochádza - na tom teraz nezáleží. Ďalšia vec je dôležitá: podľa znamienka diskriminantu môžete určiť, koľko koreňov má kvadratická rovnica. menovite:

1. Ak D< 0, корней нет;
2. Ak D = 0, existuje práve jeden koreň;
3. Ak D> 0, budú existovať dva korene.

Upozorňujeme: diskriminant označuje počet koreňov a vôbec nie ich znaky, ako sa z nejakého dôvodu mnohí domnievajú. Pozrite sa na príklady - a sami všetko pochopíte:

Úloha. Koľko koreňov majú kvadratické rovnice:

1. x 2 - 8 x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 - 6x + 9 = 0.

Zapíšme si koeficienty pre prvú rovnicu a nájdime diskriminant:
a = 1, b = -8, c = 12;
D = (−8) 2 – 4 1 12 = 64 – 48 = 16

Takže diskriminant je kladný, takže rovnica má dva rôzne korene. Druhú rovnicu analyzujeme podobným spôsobom:
a = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 - 4 5 7 = 9 - 140 = -131.

Diskriminant je negatívny, neexistujú žiadne korene. Zostáva posledná rovnica:
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (-6) 2 - 4 1 9 = 36 - 36 = 0.

Diskriminant je nula - bude jeden koreň.

Všimnite si, že koeficienty boli napísané pre každú rovnicu. Áno, je to dlhé, áno, je to nudné - ale nebudete si pomýliť koeficienty a neurobíte hlúpe chyby. Vyberte si sami: rýchlosť alebo kvalitu.

Mimochodom, ak si „naplníte ruku“, po chvíli už nebudete musieť vypisovať všetky koeficienty. Takéto operácie budete vykonávať v hlave. Väčšina ľudí to začne robiť niekde po vyriešení 50-70 rovníc - vo všeobecnosti nie toľko.

Kvadratické odmocniny

Teraz prejdime k riešeniu. Ak je diskriminant D > 0, korene možno nájsť podľa vzorcov:

Základný vzorec pre korene kvadratickej rovnice

Keď D = 0, môžete použiť ktorýkoľvek z týchto vzorcov – dostanete rovnaké číslo, ktoré bude odpoveďou. Nakoniec, ak D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2 x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x 2 = 0;
3. x 2 + 12 x + 36 = 0.

Prvá rovnica:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = -2; c = -3;
D = (-2) 2 - 4 1 (-3) = 16.

D> 0 ⇒ rovnica má dva korene. Poďme ich nájsť:

Druhá rovnica:
15 - 2x - x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = -2; c = 15;
D = (-2) 2 - 4 (-1) 15 = 64.

D> 0 ⇒ rovnica má opäť dva korene. Poďme ich nájsť

\ [\ begin (align) & ((x) _ (1)) = \ frac (2+ \ sqrt (64)) (2 \ cdot \ vľavo (-1 \ vpravo)) = - 5; \\ & ((x) _ (2)) = \ frac (2- \ sqrt (64)) (2 \ cdot \ vľavo (-1 \ vpravo)) = 3. \\ \ koniec (zarovnanie) \]

Nakoniec tretia rovnica:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 - 4 · 1 · 36 = 0.

D = 0 ⇒ rovnica má jeden koreň. Môže sa použiť akýkoľvek vzorec. Napríklad ten prvý:

Ako vidíte z príkladov, všetko je veľmi jednoduché. Ak poznáte vzorce a viete počítať, nebudú žiadne problémy. Najčastejšie sa chyby vyskytujú pri nahrádzaní záporných koeficientov vo vzorci. Tu opäť pomôže technika opísaná vyššie: pozrite sa na vzorec doslovne, opíšte každý krok - a veľmi skoro sa zbavíte chýb.

Neúplné kvadratické rovnice

Stáva sa, že kvadratická rovnica je trochu odlišná od toho, čo je uvedené v definícii. Napríklad:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 - 16 = 0.

Je ľahké vidieť, že v týchto rovniciach chýba jeden z členov. Takéto kvadratické rovnice sa riešia ešte ľahšie ako štandardné: nepotrebujú ani vypočítať diskriminant. Predstavme si teda nový koncept:

Rovnicu ax 2 + bx + c = 0 nazývame neúplnou kvadratickou rovnicou, ak b = 0 alebo c = 0, t.j. koeficient pri premennej x alebo voľnom prvku sa rovná nule.

Samozrejme, je možný veľmi ťažký prípad, keď sa oba tieto koeficienty rovnajú nule: b = c = 0. V tomto prípade má rovnica tvar ax 2 = 0. Je zrejmé, že takáto rovnica má jeden koreň: x = 0.

Pozrime sa na ostatné prípady. Nech b = 0, potom dostaneme neúplnú kvadratickú rovnicu v tvare ax 2 + c = 0. Poďme si to trochu transformovať:

Keďže aritmetická druhá odmocnina existuje len z nezáporného čísla, posledná rovnosť má zmysel len pre (−c / a) ≥ 0. Záver:

1. Ak v neúplnej kvadratickej rovnici v tvare ax 2 + c = 0 platí nerovnosť (−c / a) ≥ 0, budú korene dva. Vzorec je uvedený vyššie;
2. Ak (-c / a)< 0, корней нет.

Ako vidíte, diskriminant nebol potrebný - v neúplných kvadratických rovniciach nie sú vôbec žiadne zložité výpočty. V skutočnosti si ani netreba pamätať nerovnosť (−c / a) ≥ 0. Stačí vyjadriť hodnotu x 2 a pozrieť sa, čo stojí na druhej strane znamienka rovnosti. Ak existuje kladné číslo, budú existovať dva korene. Ak je negatívny, nebudú tam žiadne korene.

Teraz sa pozrime na rovnice tvaru ax 2 + bx = 0, v ktorých sa voľný prvok rovná nule. Všetko je tu jednoduché: vždy budú existovať dva korene. Stačí vylúštiť polynóm:

Bracketing spoločný faktor

Súčin je nula, keď je aspoň jeden z faktorov nulový. Odtiaľto sú korene. Na záver analyzujeme niekoľko takýchto rovníc:

Úloha. Riešte kvadratické rovnice:

1. x 2 - 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 - 9 = 0.

x 2 - 7x = 0 ⇒ x (x - 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = - (- 7) / 1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Neexistujú žiadne korene, tk. štvorec sa nemôže rovnať zápornému číslu.

4x 2 - 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = -1,5.

Napríklad pre trojčlenku \ (3x ^ 2 + 2x-7 \) bude diskriminant \ (2 ^ 2-4 \ cdot3 \ cdot (-7) = 4 + 84 = 88 \). A pre trojčlenku \ (x ^ 2-5x + 11 \) to bude \ ((- 5) ^ 2-4 \ cdot1 \ cdot11 = 25-44 = -19 \).

Diskriminant sa označuje písmenom \ (D \) a často sa používa pri riešení. Tiež podľa hodnoty diskriminantu môžete pochopiť, ako približne vyzerá graf (pozri nižšie).

Diskriminant a korene rovnice

Diskriminačná hodnota ukazuje množstvo kvadratickej rovnice:
- ak je \ (D \) kladné - rovnica bude mať dva korene;
- ak sa \ (D \) rovná nule - iba jeden koreň;
- ak je \ (D \) záporné, neexistujú žiadne korene.

Toto sa netreba učiť, k takémuto záveru sa dá ľahko dospieť, stačí vedieť, čo z diskriminantu (teda \ (\ sqrt (D) \) vstupuje do vzorca na výpočet koreňov rovnice: \ ( x_ (1) = \) \ (\ frac (-b + \ sqrt (D)) (2a) \) a \ (x_ (2) = \) \ (\ frac (-b- \ sqrt (D)) (2a) \) Pozrime sa bližšie na každý prípad ...

Ak je diskriminant pozitívny

V tomto prípade je jeho koreň nejaké kladné číslo, čo znamená, že \ (x_ (1) \) a \ (x_ (2) \) budú mať odlišný význam, pretože v prvom vzorci \ (\ sqrt (D) \) sa pridá a v druhom sa odpočíta. A máme dva rôzne korene.

Príklad : Nájdite korene rovnice \ (x ^ 2 + 2x-3 = 0 \)
Riešenie :

Odpoveď : \ (x_ (1) = 1 \); \ (x_ (2) = - 3 \)

Ak je diskriminant nulový

A koľko koreňov bude, ak bude diskriminant nulový? Uvažujme.

Koreňové vzorce vyzerajú takto: \ (x_ (1) = \) \ (\ frac (-b + \ sqrt (D)) (2a) \) a \ (x_ (2) = \) \ (\ frac ( -b- \ sqrt (D)) (2a) \). A ak je diskriminant nula, potom jeho koreň je tiež nula. Potom sa ukáže:

\ (x_ (1) = \) \ (\ frac (-b + \ sqrt (D)) (2a) \) \ (= \) \ (\ frac (-b + \ sqrt (0)) (2a) \) \ (= \) \ (\ frac (-b + 0) (2a) \) \ (= \) \ (\ frac (-b) (2a) \)

\ (x_ (2) = \) \ (\ frac (-b- \ sqrt (D)) (2a) \) \ (= \) \ (\ frac (-b- \ sqrt (0)) (2a) \) \ (= \) \ (\ frac (-b-0) (2a) \) \ (= \) \ (\ frac (-b) (2a) \)

To znamená, že hodnoty koreňov rovnice budú rovnaké, pretože pridanie alebo odčítanie nuly nič nezmení.

Príklad : Nájdite korene rovnice \ (x ^ 2-4x + 4 = 0 \)
Riešenie :

\ (x ^ 2-4x + 4 = 0 \)		Vypíšeme koeficienty:
\ (a = 1; \) \ (b = -4; \) \ (c = 4; \)		Vypočítajte diskriminant podľa vzorca \ (D = b ^ 2-4ac \)
\ (D = (- 4) ^ 2-4 \ cdot1 \ cdot4 = \) \(=16-16=0\)		Nájdite korene rovnice
\ (x_ (1) = \) \ (\ frac (- (- 4) + \ sqrt (0)) (2 \ cdot1) \)\ (= \) \ (\ frac (4) (2) \) \ (= 2 \) \ (x_ (2) = \) \ (\ frac (- (- 4) - \ sqrt (0)) (2 \ cdot1) \)\ (= \) \ (\ frac (4) (2) \) \ (= 2 \)		Dostali sme dva rovnaké korene, takže nemá zmysel ich písať oddelene - zapisujeme ich ako jeden.

Odpoveď : \ (x = 2 \)

Diskriminant, podobne ako kvadratické rovnice, sa začína študovať na kurze algebry v 8. ročníku. Kvadratickú rovnicu môžete vyriešiť pomocou diskriminantu a pomocou Vietovej vety. Metóda štúdia kvadratických rovníc, podobne ako diskriminačné vzorce, je pomerne neúspešne vštepovaná školákom, podobne ako v skutočnom vzdelávaní. Preto prejsť školské roky, vzdelávanie v ročníkoch 9-11 nahrádza „ vyššie vzdelanie"a všetci sa znova pozerajú -" "Ako vyriešiť kvadratickú rovnicu?", "Ako nájsť korene rovnice?", "Ako nájsť diskriminant?" a...

Diskriminačný vzorec

Diskriminant D kvadratickej rovnice a * x ^ 2 + bx + c = 0 sa rovná D = b ^ 2–4 * a * c.
Korene (riešenia) kvadratickej rovnice závisia od znamienka diskriminantu (D):
D> 0 - rovnica má 2 rôzne reálne korene;
D = 0 - rovnica má 1 koreň (2 zhodné korene):
D<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
Vzorec na výpočet diskriminantu je pomerne jednoduchý, takže mnohé stránky ponúkajú online kalkulačku diskriminácie. Na tento druh skriptov sme ešte neprišli, takže kto vie, ako to implementovať, napíšte na mail Táto e-mailová adresa je chránená pred spamovacími robotmi. Ak ju chcete vidieť, musíte mať povolený JavaScript. .

Všeobecný vzorec na nájdenie koreňov kvadratickej rovnice:

Korene rovnice nájdeme podľa vzorca
Ak je koeficient druhej mocniny premennej spárovaný, potom je vhodné vypočítať nie diskriminant, ale jeho štvrtú časť
V takýchto prípadoch sa korene rovnice nachádzajú podľa vzorca

Druhý spôsob, ako nájsť korene, je Vietin teorém.

Veta je formulovaná nielen pre kvadratické rovnice, ale aj pre polynómy. Môžete si to prečítať na Wikipédii alebo iných elektronických zdrojoch. Pre jednoduchosť však budeme uvažovať tú časť, ktorá sa týka redukovaných kvadratických rovníc, teda rovníc tvaru (a = 1)
Podstatou Vietových vzorcov je, že súčet koreňov rovnice sa rovná koeficientu premennej, braný s opačným znamienkom. Súčin koreňov rovnice sa rovná voľnému členu. Vietova veta je zapísaná vo vzorcoch.
Odvodenie Vietinho vzorca je celkom jednoduché. Napíšme kvadratickú rovnicu z hľadiska prvočiniteľov
Ako vidíte, všetko dômyselné je zároveň jednoduché. Je efektívne použiť Vietov vzorec, keď je rozdiel v koreňovom module alebo rozdiel v moduloch koreňov 1, 2. Napríklad nasledujúce rovnice podľa Vietovej vety majú korene




Až 4 rovnice, analýza by mala vyzerať takto. Súčin koreňov rovnice je 6, preto koreňmi môžu byť hodnoty (1, 6) a (2, 3) alebo páry s opačným znamienkom. Súčet koreňov je 7 (koeficient premennej s opačným znamienkom). Preto sme dospeli k záveru, že riešenia kvadratickej rovnice sa rovnajú x = 2; x = 3.
Je jednoduchšie vybrať korene rovnice medzi deliteľmi voľného termínu a opraviť ich znamienko, aby sa splnili vzorce Vieta. Na začiatku sa to zdá ťažké urobiť, ale s praxou na množstve kvadratických rovníc bude takáto technika efektívnejšia ako výpočet diskriminantu a hľadanie koreňov kvadratickej rovnice klasickým spôsobom.
Ako vidíte, školská teória štúdia diskriminantu a spôsobov hľadania riešení rovnice nemá praktický význam - "Prečo školáci potrebujú kvadratickú rovnicu?", "Aký je fyzikálny význam diskriminantu?"

Skúsme na to prísť čo popisuje diskriminant?

Kurz algebry vyučuje funkcie, tabuľky na štúdium funkcií a grafy funkcií. Zo všetkých funkcií zaujíma dôležité miesto parabola, ktorej rovnicu je možné zapísať do tvaru
Takže fyzikálny význam kvadratickej rovnice sú nuly paraboly, to znamená priesečníky grafu funkcie s osou x.
Žiadam vás, aby ste si zapamätali vlastnosti parabol, ktoré sú popísané nižšie. Príde čas na absolvovanie skúšok, testov, či prijímacích skúšok a vy budete vďační za referenčný materiál. Znamienko pri premennej v štvorci zodpovedá tomu, či vetvy paraboly na grafe stúpajú (a> 0),

alebo parabola s vetvami dole (a<0) .

Vrchol paraboly leží v strede medzi koreňmi

Fyzický význam diskriminantu:

Ak je diskriminant väčší ako nula (D> 0), parabola má dva priesečníky s osou Ox.
Ak je diskriminant nulový (D = 0), potom sa parabola vo vrchole dotýka osi x.
A posledný prípad, keď je diskriminant menší ako nula (D<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).

Neúplné kvadratické rovnice