Ang mga katawan ng rebolusyon na pinag-aralan sa paaralan ay isang silindro, isang kono, at isang bola.
Kung sa isang problema sa pagsusulit sa matematika kailangan mong kalkulahin ang dami ng isang kono o ang lugar ng isang globo - isaalang-alang ang iyong sarili na masuwerte.
Ilapat ang mga formula ng volume at surface area para sa isang cylinder, cone, at ball. Nasa table namin silang lahat. Isapuso. Dito nagsisimula ang kaalaman sa stereometry.
Minsan magandang ideya na gumuhit ng tuktok na view. O, tulad ng sa problemang ito, mula sa ibaba.
2. Ilang beses ang volume ng cone na inilarawan tungkol sa isang regular na quadrangular pyramid na mas malaki kaysa sa volume ng cone na nakasulat sa pyramid na ito?
Simple lang - gumuhit ng view sa ibaba. Nakikita natin na ang radius ng mas malaking bilog ay beses na mas malaki kaysa sa radius ng mas maliit. Ang taas ng parehong cones ay pareho. Dahil dito, ang dami ng mas malaking kono ay magiging doble ang laki.
Isa pa mahalagang punto... Tandaan na sa mga gawain ng Bahagi B mga pagpipilian para sa pagsusulit sa matematika, ang sagot ay isinusulat bilang integer o final desimal... Samakatuwid, hindi dapat magkaroon ng anuman o sa iyong sagot sa bahagi B. Hindi mo rin kailangang palitan ang tinatayang halaga ng numero! Dapat itong bawasan sa lahat ng paraan!. Para dito, sa ilang mga problema, ang gawain ay nabuo, halimbawa, tulad ng sumusunod: "Hanapin ang lugar ng lateral surface ng cylinder na hinati ng".
At saan pa ginagamit ang mga pormula para sa dami at lugar sa ibabaw ng mga katawan ng rebolusyon? Siyempre, sa problema C2 (16). Sasabihin din namin sa iyo ang tungkol dito.
Alam natin kung ano ang cone, subukan nating hanapin ang surface area nito. Bakit kailangan mong lutasin ang gayong problema? Halimbawa, kailangan mong maunawaan kung magkano ang masa upang makagawa ng isang waffle cone? O gaano karaming mga ladrilyo ang kinakailangan upang mailagay ang ladrilyo na bubong ng isang kastilyo?
Hindi madaling sukatin ang lugar ng lateral surface ng kono. Ngunit isipin natin ang parehong sungay na nakabalot sa tela. Upang mahanap ang lugar ng isang piraso ng tela, kailangan mong i-cut at ikalat ito sa mesa. Kukuha tayo ng flat figure, mahahanap natin ang lugar nito.
kanin. 1. Seksyon ng kono sa kahabaan ng generatrix
Gawin din natin ang kono. "I-cut" natin ang lateral surface nito kasama ang anumang generatrix, halimbawa, (tingnan ang Fig. 1).
Ngayon ay "i-unwind" natin ang gilid na ibabaw sa isang eroplano. Nakukuha natin ang sektor. Ang sentro ng sektor na ito ay ang tuktok ng kono, ang radius ng sektor ay katumbas ng generatrix ng kono, at ang haba ng arko nito ay tumutugma sa circumference ng base ng kono. Ang nasabing sektor ay tinatawag na sweep ng lateral surface ng kono (tingnan ang Fig. 2).
kanin. 2. Pag-unlad ng lateral surface
kanin. 3. Pagsukat ng anggulo sa radians
Subukan nating hanapin ang lugar ng sektor ayon sa magagamit na data. Una, ipakilala natin ang notasyon: hayaan ang anggulo sa tuktok ng sektor sa radians (tingnan ang Fig. 3).
Madalas nating haharapin ang anggulo sa tuktok ng sweep sa mga gawain. Sa ngayon, subukan nating sagutin ang tanong: hindi ba maaaring lumampas sa 360 degrees ang anggulong ito? Ibig sabihin, hindi ba lalabas na ang pag-scan ay magpapatong sa sarili nito? Syempre hindi. Patunayan natin ito sa matematika. Hayaang "magpatong" sa sarili ang pag-scan. Nangangahulugan ito na ang haba ng sweep arc ay mas malaki kaysa sa circumference ng radius. Ngunit, tulad ng nabanggit na, ang haba ng sweep arc ay ang haba ng bilog na may radius. At ang radius ng base ng kono, siyempre, ay mas mababa kaysa sa generatrix, halimbawa, dahil ang binti ng isang right-angled na tatsulok ay mas mababa kaysa sa hypotenuse.
Pagkatapos ay tandaan natin ang dalawang formula mula sa kursong planimetry: haba ng arko. Lugar ng sektor:.
Sa aming kaso, ang papel ay ginampanan ng generator , at ang haba ng arko ay katumbas ng circumference ng base ng kono, iyon ay. Meron kami:
Sa wakas nakuha namin ang:.
Kasama ang lateral surface area, ang kabuuang surface area ay maaari ding matagpuan. Upang gawin ito, idagdag ang base area sa lateral surface area. Ngunit ang base ay isang bilog ng radius, na ang lugar ay katumbas ng.
Sa wakas, mayroon kaming: , kung saan ang radius ng base ng silindro, ay ang generatrix.
Lutasin natin ang ilang problema gamit ang ibinigay na mga formula.
kanin. 4. Ang gustong anggulo
Halimbawa 1... Ang patag na bahagi ng kono ay isang sektor na may tuktok na anggulo. Hanapin ang anggulong ito kung ang taas ng kono ay 4 cm at ang radius ng base ay 3 cm (tingnan ang Fig. 4).
kanin. 5. Right-angled triangle na bumubuo ng cone
Sa pamamagitan ng unang aksyon, ayon sa Pythagorean theorem, nakita natin ang generator: 5 cm (tingnan ang Fig. 5). Dagdag pa, alam natin iyon .
Halimbawa 2... Ang lugar ng seksyon ng axial ng kono ay pantay, ang taas ay katumbas ng. Hanapin ang kabuuang lugar sa ibabaw (tingnan ang Fig. 6).
Narito ang mga problema sa cones, ang kondisyon ay nauugnay sa ibabaw na lugar nito. Sa partikular, sa ilang mga problema mayroong tanong ng pagbabago ng lugar na may pagtaas (pagbaba) sa taas ng kono o ang radius ng base nito. Teorya para sa paglutas ng problema sa. Isaalang-alang ang mga sumusunod na gawain:
27135. Ang circumference ng base ng kono ay 3, ang generatrix ay 2. Hanapin ang lugar ng lateral surface ng kono.
Ang lateral surface area ng cone ay:
Pinapalitan namin ang data:
75697. Ilang beses tataas ang lugar ng lateral surface ng cone kung ang generatrix nito ay tataas ng 36 beses, at ang radius ng base ay nananatiling pareho?
Ang lateral surface area ng cone:
Ang generatrix ay tumaas ng 36 beses. Ang radius ay nananatiling pareho, na nangangahulugan na ang base circumference ay hindi nagbago.
Nangangahulugan ito na ang lateral surface area ng binagong kono ay magiging ganito:
Kaya, tataas ito ng 36 beses.
* Ang pag-asa ay prangka, kaya ang problemang ito ay madaling malutas sa bibig.
27137. Ilang beses bababa ang lugar ng lateral surface ng cone kung ang radius ng base nito ay mababawasan ng 1.5 beses?
Ang lateral surface area ng cone ay:
Ang radius ay nabawasan ng 1.5 beses, iyon ay:
Natagpuan namin na ang lateral surface area ay bumaba ng 1.5 beses.
27159. Ang taas ng kono ay 6, ang generatrix ay 10. Hanapin ang lugar ng kabuuang ibabaw nito na hinati sa Pi.
Buong ibabaw ng kono:
Hanapin ang radius:
Ang taas at ang generator ay kilala, ayon sa Pythagorean theorem, kinakalkula namin ang radius:
kaya:
Hinahati namin ang nakuhang resulta sa Pi at isulat ang sagot.
76299. Ang kabuuang lugar sa ibabaw ng kono ay 108. Ang isang seksyon ay iginuhit parallel sa base ng kono, na hinahati ang taas sa kalahati. Hanapin ang kabuuang lugar sa ibabaw ng trimmed cone.
Ang seksyon ay tumatakbo sa gitna ng taas na kahanay sa base. Nangangahulugan ito na ang base radius at ang generatrix ng truncated cone ay magiging 2 beses na mas maliit kaysa sa radius at generatrix ng orihinal na cone. Isulat natin kung ano ang surface area ng cut off cone:
Nakuha namin na ito ay magiging 4 na beses na mas mababa kaysa sa ibabaw na lugar ng orihinal, iyon ay, 108: 4 = 27.
* Dahil ang orihinal at ang pinutol na kono ay parang mga katawan, pagkatapos ay maaari mo ring gamitin ang pagkakatulad na katangian:
27167. Ang radius ng base ng kono ay 3, ang taas ay 4. Hanapin ang kabuuang lugar ng ibabaw ng kono na hinati sa Pi.
Ang formula para sa buong ibabaw ng kono ay:
Ang radius ay kilala, ito ay kinakailangan upang mahanap ang generator. 
Sa pamamagitan ng Pythagorean theorem:
kaya:
Hatiin ang resulta sa Pi at isulat ang sagot.
Gawain. Ang lugar ng lateral surface ng kono ay apat na beses ang lugar ng base. Hanapin kung ano ang cosine ng anggulo sa pagitan ng generatrix ng kono at ng eroplano ng base.
Ang base area ng cone ay katumbas ng: 
Ang ibabaw na lugar ng kono (o simpleng ibabaw ng kono) ay katumbas ng kabuuan ng mga lugar ng base at ang lateral surface.
Ang lateral surface area ng cone ay kinakalkula ng formula: S = πR l, kung saan ang R ay ang radius ng base ng kono, at l- generatrix ng kono.
Dahil ang lugar ng base ng kono ay katumbas ng πR 2 (bilang ang lugar ng isang bilog), ang lugar ng buong ibabaw ng kono ay magiging katumbas ng: πR 2 + πR l= πR (R + l).
Ang derivation ng formula para sa lateral surface area ng isang kono ay maaaring ipaliwanag sa pamamagitan ng sumusunod na pangangatwiran. Hayaang ipakita ng pagguhit ang pag-unlad ng lateral surface ng kono. Hinahati namin ang arc AB sa posible higit pa pantay na mga bahagi at ang lahat ng mga punto ng paghahati ay konektado sa gitna ng arko, at ang mga katabi ay konektado sa bawat isa sa pamamagitan ng mga chord.
Nakakakuha kami ng isang serye ng mga pantay na tatsulok. Ang lugar ng bawat tatsulok ay ah / 2, saan a ay ang haba ng base ng tatsulok, a h- ang kanyang mataas.
Ang kabuuan ng mga lugar ng lahat ng mga tatsulok ay magiging: ah / 2 n = anh / 2, saan n ay ang bilang ng mga tatsulok.
Sa isang malaking bilang mga dibisyon, ang kabuuan ng mga lugar ng mga tatsulok ay nagiging napakalapit sa lugar ng sweep, iyon ay, ang lugar ng lateral surface ng kono. Ang kabuuan ng mga base ng mga tatsulok, i.e. isang, ay nagiging napakalapit sa haba ng arko AB, ibig sabihin, sa circumference ng base ng kono. Ang taas ng bawat tatsulok ay nagiging napakalapit sa radius ng arko, iyon ay, sa generatrix ng kono.
Ang pagpapabaya sa mga hindi gaanong pagkakaiba sa mga sukat ng mga dami na ito, nakuha namin ang formula para sa lugar ng lateral surface ng kono (S):
S = C l / 2, kung saan ang C ay ang circumference ng base ng kono, l- generatrix ng kono.
Alam na ang С = 2πR, kung saan ang R ay ang radius ng circumference ng base ng kono, nakukuha natin ang: S = πR l.
Tandaan. Sa formula S = C l / 2, ang tanda ng isang eksaktong, at hindi isang tinatayang, pagkakapantay-pantay ay itinakda, bagama't sa batayan ng pangangatwiran sa itaas, maaari nating isaalang-alang ang pagkakapantay-pantay na ito bilang tinatayang. Pero noong high school mataas na paaralan ito ay pinatunayan na ang pagkakapantay-pantay
S = C l / 2 tumpak, hindi tinatayang.
Teorama. Ang lateral surface ng kono ay katumbas ng produkto ng circumference ng base at kalahati ng generatrix.
Isulat natin ang ilang regular na pyramid sa kono (Fig.) At ipahiwatig sa pamamagitan ng mga titik R at l mga numerong nagpapahayag ng mga haba ng perimeter ng base at apothem ng pyramid na ito.
Pagkatapos ibabaw ng gilid ito ay ipahahayag ng produkto 1/2 R l .
Ipagpalagay ngayon na ang bilang ng mga gilid ng polygon na nakasulat sa base ay tumataas nang walang katiyakan. Pagkatapos ang perimeter R ay may posibilidad sa limitasyon na kinuha bilang ang haba C ng circumference ng base, at ang apothem l ay magkakaroon ng cone generatrix bilang limitasyon (dahil sumusunod ito mula sa ΔSAK na ang SA - SK
1 / 2 R l, ay aabot sa limitasyon na 1/2 C
L. Ang limitasyong ito ay kinuha bilang ang halaga ng lateral surface ng kono. Ang pagkakaroon ng itinalagang lateral surface ng kono na may titik S, maaari naming isulat:
S = 1/2 C L = C 1/2 L
Mga kahihinatnan.
1) Dahil C = 2 π
R, kung gayon ang lateral surface ng kono ay ipinahayag ng formula:
S = 1/2 2π R L = π RL
2) Nakukuha natin ang buong ibabaw ng kono kung idaragdag natin ang lateral surface sa base area; samakatuwid, na tumutukoy sa kumpletong ibabaw ng T, magkakaroon tayo ng:
T = π RL + π R 2 = π R (L + R)
Teorama. Ang lateral surface ng truncated cone ay katumbas ng produkto ng kalahating kabuuan ng mga haba ng mga bilog ng mga base at generator.
Isulat natin ang ilang regular na pinutol na pyramid sa pinutol na kono (Fig.) At ipahiwatig sa pamamagitan ng mga titik p, p 1 at l mga numero na nagpapahayag, sa pantay na mga linear na yunit, ang mga haba ng mga perimeter ng ibaba at itaas na mga base at ang apothem ng pyramid na ito.
Pagkatapos ang lateral surface ng inscribed pyramid ay katumbas ng 1/2 ( p + p 1) l
Sa isang walang limitasyong pagtaas sa bilang ng mga gilid na mukha ng inscribed na pyramid, ang mga perimeter R at R 1 ay may posibilidad sa mga limitasyon na kinuha bilang ang mga haba C at C 1 ng mga base na bilog, at ang apothem l ay may limitasyon generatrix L ng isang pinutol na kono. Dahil dito, ang halaga ng lateral surface ng inscribed pyramid ay may kaugaliang limitasyon na katumbas ng (С + С 1) L. Ang limitasyong ito ay kinuha bilang ang halaga ng lateral surface ng truncated cone. Ang pagtukoy sa lateral surface ng truncated cone ng letrang S, magkakaroon tayo ng:
S = 1/2 (C + C 1) L
Mga kahihinatnan.
1) Kung ang ibig sabihin ng R at R 1 ay ang radii ng mga bilog ng ibaba at itaas na mga base, kung gayon ang lateral surface ng truncated cone ay magiging:
S = 1/2 (2 π R + 2 π R 1) L = π (R + R 1) L.
2) Kung sa trapezoid OO 1 A 1 A (Fig.), Mula sa pag-ikot kung saan nakuha ang isang pinutol na kono, iginuhit namin ang gitnang linya BC, pagkatapos ay nakukuha namin:
BC = 1/2 (OA + O 1 A 1) = 1/2 (R + R 1),
R + R 1 = 2BC.
Kaya naman,
S = 2 π BC L,
i.e. ang lateral surface ng truncated cone ay katumbas ng produkto ng circumference ng gitnang seksyon ng generatrix.
3) Ang buong ibabaw na T ng pinutol na kono ay ipinahayag tulad ng sumusunod:
T = π (R 2 + R 1 2 + RL + R 1 L)