Стивън Строгац - удоволствие от х. Стивън Строгац - Удоволствието на X

Тази книга е добре допълнена от:

Quanta

Скот Патерсън

Умник

Кен Дженингс

парична топка

Майкъл Луис

Гъвкав ум

Карол Дуек

Физиката на фондовия пазар

Джеймс Уедърол

Радостта от х

Обиколка с водач на математиката, от едно до безкрайност

Стивън Строгац

удоволствие от х

Едно вълнуващо пътешествие в света на математиката от един от най-добрите учители в света

Информация от издателството

Публикува се за първи път на руски език

Публикувано с разрешение от Steven Strogatz, c/o Brockman, Inc.

Строгатс, П.

удоволствие от х. Вълнуващо пътешествие в света на математиката от един от най-добрите учители в света / Стивън Строгац; пер. от английски. - М. : Ман, Иванов и Фербер, 2014.

ISBN 978-500057-008-1

Тази книга е в състояние коренно да промени отношението ви към математиката. Състои се от кратки глави, във всяка от които ще откриете нещо ново. Ще научите колко полезни са числата за изучаване на света около вас, ще разберете красотата на геометрията, ще се запознаете с елегантността на интегралното смятане, ще видите значението на статистиката и ще се докоснете до безкрайността. Авторът обяснява основните математически идеи просто и елегантно, като дава брилянтни примери, които всеки може да разбере.

Всички права запазени.

Никоя част от тази книга не може да бъде възпроизвеждана под каквато и да е форма без писменото разрешение на притежателите на авторските права.

Правната подкрепа на издателството се осъществява от адвокатска кантора "Вегас-Лекс"

Предговор

Имам приятел, който въпреки занаята си (той е художник) е запален по науката. Винаги, когато се съберем, той ентусиазирано говори за най-новите разработки в психологията или квантовата механика. Но щом заговорим за математика, усеща треперене на коленете, което много го разстройва. Той се оплаква, че тези странни математически символи не само го предизвикват, но понякога дори не знае как да ги произнесе.

Всъщност причината за неприязънта му към математиката е много по-дълбока. Той никога няма да разбере какво по принцип правят математиците и какво имат предвид, когато казват, че това доказателство е елегантно. Понякога се шегуваме, че просто трябва да седна и да започна да го уча от самите основи, буквално от 1 + 1 = 2, и да навлезе в математиката, колкото той може.

И въпреки че тази идея изглежда налудничава, това е, което ще се опитам да реализирам в тази книга. Ще ви преведа през всички основни клонове на науката, от аритметика до напреднала математика, така че онези, които искат втори шанс, най-накрая да могат да го вземат. И този път не е нужно да сядате на бюрото си. Тази книга няма да ви направи експерт по математика. Но ще помогне да се разбере какво изучава тази дисциплина и защо е толкова вълнуваща за тези, които я разбират.

Ще научим как забиванията на Майкъл Джордан могат да помогнат да се обяснят основите на смятането. Ще ви покажа един прост и невероятен начин да разберете основната теорема на Евклидовата геометрия - Питагоровата теорема. Ще се опитаме да стигнем до дъното на някои от мистериите на живота, големи и малки: Джей Симпсън уби ли жена си; как да преместите матрака, така че да издържи възможно най-дълго; колко партньори трябва да се сменят, преди да се играе сватба - и ще видим защо някои безкрайности са по-големи от други.

Математиката е навсякъде, просто трябва да се научите да я разпознавате. Можете да видите синусоидата на гърба на зебра, можете да чуете ехо от теоремите на Евклид в Декларацията за независимост; какво да кажа, дори в сухите доклади преди Първата световна война има отрицателни числа. Можете също така да видите как новите области на математиката влияят на живота ни днес, например, когато търсим ресторанти с компютър или се опитваме поне да разберем, или още по-добре, да оцелеем в плашещите колебания на фондовия пазар.

Поредица от 15 статии под общо заглавие "Основи на математиката" се появи онлайн в края на януари 2010 г. В отговор на публикацията им заваляха писма и коментари от читатели от всички възрасти, сред които много ученици и учители. Имаше и просто любознателни хора, които по една или друга причина „загубиха пътя си“ в разбирането на математическата наука; сега се чувстват сякаш са пропуснали нещо. относнои би искал да опита отново. Бях особено доволен от благодарността на моите родители за това, че с моя помощ успяха да обяснят математиката на децата си и те самите започнаха да я разбират по-добре. Изглежда, че дори моите колеги и другари, горещи почитатели на тази наука, се радваха да четат статиите, с изключение на онези моменти, когато се надпреварваха да предлагат всякакви препоръки за подобряване на моето потомство.

Въпреки общоприетото схващане, в обществото има ясен интерес към математиката, въпреки че на това явление се обръща малко внимание. Чуваме само за страха от математиката и въпреки това мнозина с радост биха се опитали да я разберат по-добре. И след като това се случи, ще бъде трудно да ги откъснете.

Тази книга ще ви запознае с най-сложните и напреднали идеи от света на математиката. Главите са кратки, лесни за четене и всъщност не зависят една от друга. Сред тях са тези, включени в тази първа поредица от статии в New York Times. Така че веднага щом почувствате лек математически глад, не се колебайте да се заемете със следващата глава. Ако искате да разберете въпроса, който ви интересува по-подробно, тогава в края на книгата има бележки с Допълнителна информацияи предложения какво още да прочетете за него.

За улеснение на читателите, които предпочитат подход стъпка по стъпка, разделих материала на шест части в съответствие с традиционния ред на темите.

Част I "Числа" започва нашето пътуване с аритметика в детска градинаи начално училище. Показва колко полезни могат да бъдат числата и как са магически ефективни при описването на света около нас.

Част II „Съотношения“ измества вниманието от самите числа към връзките между тях. Тези идеи са в основата на алгебрата и са първите инструменти за описание на това как едното влияе на другото, показвайки причинно-следствената връзка на различни неща: търсене и предлагане, стимул и реакция - накратко, всички видове връзки, които правят света толкова разнообразна и богата..

Част III "Фигури" не е за числа и символи, а за фигури и пространство - областта на геометрията и тригонометрията. Тези теми, заедно с описанието на всички наблюдаеми обекти чрез форми, с помощта на логически разсъждения и доказателства, издигат математиката до ново нивоточност.

В част IV "Време на промяна" ще разгледаме смятането - най-впечатляващата и многостранна област на математиката. Смятането прави възможно предсказването на траекторията на планетите, циклите на приливите и отливите и дава възможност да се разберат и опишат всички периодично променящи се процеси и явления във Вселената и в нас. Важно място в тази част е посветено на изследването на безкрайността, чието умиротворяване беше пробив, който позволи изчисленията да работят. Компютрите помогнаха за решаването на много проблеми, възникнали в древния свят, и това в крайна сметка доведе до революция в науката и съвременния свят.

Част V "Много лица на данните" се занимава с вероятност, статистика, мрежи и обработка на данни - това са все още сравнително млади области, генерирани от невинаги подредени аспекти на нашия живот, като възможности и късмет, несигурност, риск, нестабилност, случайност , взаимозависимост. Използвайки подходящи средстваматематика и свързани типове данни, ние ще се научим да откриваме модели в поток от произволност.

В края на нашето пътешествие, в част VI „Границите на възможното“, ще се доближим до границите на математическото познание, граничната зона между вече известното и все още неуловимото и неизвестното. Отново ще преминем през темите в реда, който вече знаем: числа, съотношения, форми, промени и безкрайност – но в същото време ще разгледаме всяка една от тях по-задълбочено, в нейното съвременно превъплъщение.

Удоволствието на X. Едно вълнуващо пътешествие в света на математиката от един от най-добрите учители в светаСтивън Строгац

(Все още няма оценки)

Заглавие: Удоволствието на X. Завладяващо пътешествие в света на математиката от един от най-добрите учители в света

За удоволствието от X. Вълнуващо пътешествие през математиката от един от най-добрите учители в света от Стивън Строгац

Публикува се за първи път на руски език.

На нашия сайт за книги lifeinbooks.net можете да изтеглите безплатно без регистрация или да прочетете онлайн книга„Удоволствието от X. Завладяващо пътешествие в света на математиката от един от най-добрите учители в света“ Стивън Строгац във формати epub, fb2, txt, rtf, pdf за iPad, iPhone, Android и Kindle. Книгата ще ви достави много приятни мигове и истинско удоволствие от четенето. Купува пълна версияможете да имате наш партньор. Освен това тук ще намерите последна новинаот литературния свят, научете биографията на любимите си автори. За начинаещи писатели има отделен раздел с полезни съветии препоръки интересни статии, благодарение на което вие сами можете да опитате силите си в литературните умения.

Име: Удоволствието на X. Едно вълнуващо пътешествие в света на математиката от един от най-добрите учители в света
Автор:
година:
Жанр:

Изтегли
откъс

Публикува се за първи път на руски език.

Стивън Строгац

Удоволствието на X. Едно вълнуващо пътешествие в света на математиката от един от най-добрите учители в света

Стивън Строгац

Обиколка с водач на математиката, от едно до безкрайност

Публикувано с разрешение от Steven Strogatz, c/o Brockman, Inc.

Всички права запазени. Никаква част от електронната версия на тази книга не може да бъде възпроизвеждана под каквато и да е форма или по какъвто и да е начин, включително публикуване в Интернет или в корпоративна...

Колко полезни са числата за изучаване на света около нас, каква е красотата на геометрията, колко елегантни са интегралните изчисления и колко важна е статистиката? Стивън Строгац говори за всичко това в книгата си „Удоволствието на X“. Авторът обяснява основните математически идеи по прост и елегантен начин, като дава примери, които всеки може да разбере. сайтът публикува една от главите на книгата на издателство Ман, Иванов и Фербер.

Статистиката изведнъж стана модерна. С появата на интернет, електронната търговия, социални мрежи, проект за дешифриране на човешкия геном и във връзка с развитието на дигиталната култура като цяло, светът започна да се задъхва от данни. Маркетолозите изучават нашите вкусове и навици. Разузнавателните служби събират информация за нашето местонахождение, имейли и телефонни обаждания. Спортните статистици жонглират с числа, за да решат кои играчи да купят, кого да наемат и кой да пейката. Всеки се стреми да съчетае точките в графика и да открие модел в хаотичното натрупване на данни.

Не е изненадващо, че тези тенденции се отразяват в обучението. „Нека да преминем към статистиката“, съветва Грег Манкиу, икономист от Харвардския университет, в колона на New York Times.

„В учебната програма по математика в гимназиятвърде много време се отделя на традиционни теми като евклидова геометрия и тригонометрия. Те са полезни за обикновен човекумствените упражнения обаче са малко полезни в Ежедневието. Би било много по-полезно за студентите да научат повече за теорията на вероятностите и статистиката. Дейвид Брукс отива още по-далеч. В статията си за дисциплините, които заслужават внимание за получаване на прилично образование, той пише: „Вземете статистика. Ще видите, че се оказва, че знанието какво е стандартно отклонение ще ви бъде много полезно в живота.

Напълно възможно е, а също така е добре да разберете какво е дистрибуция. Това е първото нещо, за което смятам да говоря. И бих искал да се съсредоточа върху него, защото това е един от основните уроци на статистиката: нещата изглеждат безнадеждно случайни и непредвидими, когато се разглеждат поотделно, но в съвкупност те разкриват закономерност и предвидимост.

Може да сте виждали демонстрация на този принцип в някой научен музей (ако не, можете да намерите видеоклипове онлайн). Типичен експонат е измишльотина, наречена Galton board, която донякъде прилича на флипер, само че без плавниците. Вътре в него на равни интервали има равни редици карфици.

Галтон дъска

Опитът започва с Горна частДъските Galton изстрелват стотици топки. Когато паднат, те се сблъскват с кеглите и с еднаква вероятност отскачат или надясно, или наляво, след което се разпределят в долната част на дъската, попадайки в отделения с еднаква ширина. Височината на колоната от топки показва вероятността, с която топката може да бъде на дадено място. Повечето от топките се поставят приблизително в средата, вече има по-малко отстрани и още по-малко по краищата.

Като цяло картината е изключително предсказуема: топките винаги образуват камбановидно разпределение, въпреки че е невъзможно да се предвиди къде ще попадне всяка отделна топка.

Как отделните инциденти се превръщат в общи модели? Но така работи случайността. В средната колона са се натрупали най-много топки, защото преди да се търкалят надолу, много от тях ще направят приблизително еднакъв брой скокове надясно и наляво и в резултат ще бъдат някъде по средата. Няколко единични топки, разположени по ръбовете, образуват разпределителни опашки - това са топките, които при сблъсък с кеглите винаги отскачат в една и съща посока. Такива отскоци са малко вероятни, поради което има толкова малко топки по ръбовете.

Точно както местоположението на всяка топка се определя от сбора на комплекта случайни събития, много явления в този свят са резултат от много малки обстоятелства и също се подчиняват на камбанообразната крива. Този принцип работи Застрахователни компании. Те могат точно да назоват броя на своите клиенти, които умират всяка година. Не знаят обаче кой точно няма да има късмет този път.

Или вземете например височината на човек. Това зависи от безброй злополуки, свързани с генетиката, биохимията, храненето и околен свят. Следователно е вероятно, когато се разглеждат заедно, височината на възрастни мъже и жени да бъде камбанообразна крива.

В публикация в блог, озаглавена „Фалшиви данни, които хората съобщават за себе си онлайн“, статистиката на сайта за запознанства OkCupid наскоро публикува графика на растежа на техните клиенти или по-скоро на стойностите, които са докладвали. Установено е, че темповете на растеж и на двата пола, както се очаква, образуват камбанообразна крива. Изненадващо обаче и двете разпределения бяха изкривени надясно с около два инча от очакваните стойности.

Strogats S. Pleasure from H. - M. : Mann, Ivanov and Ferber, 2014.

По този начин или височината на клиентите, анкетирани от OkCupid, е над средната, или те добавят няколко инча към височината си, когато се описват онлайн.

Една идеализирана версия на тези камбановидни криви е това, което математиците наричат нормално разпределение. Това е едно от най-важните понятия в статистиката, което има теоретична обосновка. Може да се покаже, че нормалното разпределение възниква от добавянето Голям броймалки случайни фактори, всеки от които действа независимо от другите. И много неща се случват по този начин.

Но не всички. И това е вторият момент, на който искам да обърна внимание. Нормалното разпространение не е толкова повсеместно, колкото изглежда. В продължение на сто години и особено през последните няколко десетилетия учените и статистиците отбелязват съществуването на много явления, които се отклоняват от тази крива и следват свой собствен график. Любопитно е, че подобни видове разпределения практически не се споменават в учебниците по елементарна статистика, а ако се появят, обикновено се разглеждат като някаква патология.

Това е странно. Ще се опитам да обясня толкова много явления модерен животима повече смисъл, ако се разберат тези "патологични" разпределения. Това е новото нормално. Вземете например разпределението на размерите на градовете в Съединените щати. Вместо да се групират около някаква средна камбановидна крива, по-голямата част от градовете са малки и следователно се групират от лявата страна на графиката.

Strogats S. Pleasure from H. - M. : Mann, Ivanov and Ferber, 2014.

И колкото по-голямо е населението на града, толкова по-рядко се срещат такива градове. С други думи, като цяло разпределението ще бъде L-образна крива, а не камбановидна крива.

И в това няма нищо изненадващо. Всеки знае, че мегаполисите са много по-малко от малките градове. Въпреки че не е толкова очевидно, размерите на градовете следват просто красиво разпределение - ако ги погледнете в логаритмична скала.

Ще приемем, че разликата между два града е еднаква, ако населението им се различава с еднакъв брой пъти (точно както всеки два клавиша на пиано, разделени с октава, винаги се различават два пъти по честота). И ще направим същото по вертикалната ос.

Strogats S. Pleasure from H. - M. : Mann, Ivanov and Ferber, 2014.

Сега данните са върху крива, която е почти идеална права линия. Въз основа на свойствата на логаритмите е лесно да се заключи, че оригиналната L-образна крива е степенна зависимост, която се описва от функция на формата

където x е населението на града, y е броят на градовете, които имат този размер, c е константа, а експонентата a (степенна степен) определя отрицателния наклон на правата линия.

Разпределението на мощността има някои нелогични от гледна точка на традиционната статистика свойства. Например, за разлика от нормалното разпределение, техните режими, медиани и средни стойности не съвпадат поради изкривената, изкривена форма на L-образните криви.

Президентът Буш извлече голяма полза от това, като през 2003 г. обяви, че намаляването на данъците е спестило на всяко семейство средно $1586. Макар и математически коректен, тук той в своя полза взе за основа средната удръжка, която скри огромните удръжки от стотици хиляди долари, получени от 0,1% от най-богатото население в страната. Известно е, че „опашката“ от дясната страна на разпределението на дохода следва степенен закон и в такава ситуация използването на средната стойност е подвеждащо, тъй като тя е далеч от реалната си стойност. В действителност повечето семейства са получили по-малко от 650 долара обратно. В това разпределение медианата е много по-малка от средната.

Този пример демонстрира най-важното свойствостепенни разпределения: те имат "тежки опашки" в сравнение с понес малки "течни опашки" с нормално разпределение. Големи опашки като тази, макар и редки, са по-често срещани в разпределението на данни, отколкото обикновените камбановидни криви.

В черния понеделник, 19 октомври 1987 г., Dow Jones Industrial Average падна с 22%. В сравнение с обичайното ниво на волатилност на фондовия пазар, този спад беше повече от двадесет стандартни отклонения. Според традиционната статистика (която използва нормалното разпределение), такова събитие е почти невъзможно: вероятността му е по-малка от 1 на 100 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 (10 на степен 50). Това обаче се случи - защото колебанията на цените на фондовия пазар не следваха нормално разпределение.

Разпределенията с "тежка опашка" са по-подходящи за тяхното описание. Това се случва при земетресения, пожари и наводнения, което затруднява застрахователните компании да управляват риска.

Същото математически моделописва броя на смъртните случаи от войни и терористични атаки, както и други, много по-мирни неща, като броя на думите в роман или броя сексуални партньорив човек.

Въпреки че прилагателните, използвани за описване на дълги опашки, не ги хвърлят в много благоприятна светлина, "опашатите" дистрибуции гордо носят своите опашки. Смел, тежък и дълъг? Да, така е. Но в този случай ми покажете кое е нормално?

Основният проблем на училищната математика е, че в нея няма проблеми. Да, знам какво минава за проблеми в класната стая: тези безвкусни, скучни упражнения. „Ето задачата. Ето как да го разрешите. Да, случват се на изпити. Домашни задачи 1-15. Какъв мрачен начин да научите математика: станете обучено шимпанзе.
Пол Локхард
от есето "Плачът на математика"

Математиката е може би един от най-странните клонове на науката. В никой друг предмет противоположностите не се съчетават толкова силно: от строгостта на формалните доказателства до способността да се „виждат“ определени конструкции. Математиката има както вътрешна, така и външна красота. Няма нищо по-вълнуващо от едно решение задачи по математика. И никой друг предмет не се преподава толкова некадърно в училище.

Как обикновено започва изучаването на математика в училище? От издаването на неразбираем набор от символи и определения на 7-8 годишни деца и система от алгоритми за използване на тази абракадабра. Отделни неща, например таблицата за умножение, се запомнят.

В следващите класове, базирани на тази система, на учениците ще бъде казано и принудени да запомнят набор от шамански ритуали, които им позволяват да решават трудни проблеми. Ще се появят нови определения като " правилна дроб” и „неправилна дроб” без ни най-малко обяснение откъде идва и най-важното защо. Специално вниманиеще бъдат посветени на решаването на безполезни и трудоемки текстови проблеми, които имат същата връзка с реалността като самите алгоритми.

Като малък тест можем да предложим да си спомните: колко пъти в живота ви трябваше да определите правилната или неправилната дроб?

Бях принуден да науча наизуст: квадратът на сбора на две числа е равен на сбора от техните квадрати, увеличен с двойното им произведение. Нямах ни най-малка представа какво може да означава това; когато не можах да си спомня тези думи, учителят ме удари с книга по главата, което обаче ни най-малко не стимулираше интелекта ми.
Бертран Ръсел
Английски философ, логик и математик

В същото време учителите безмилостно ще потискат всяко несъгласие. Опитайте да напишете 5/2 вместо 2 1/2 (на което винаги искате да възразите: ако имам три ябълки, всяка от които е разделена на две, тогава ще взема 5 половинки, а не 2 ябълки и 1 половина).

Тази тема може да продължи още дълго време. Освен това това вече е направено в есето на Пол Локхарт „Плачът на математика“. Доста добре показва "Кой е виновен". Но на второто не беше даден отговор важен въпрос- "Какво да правя".

Отговор на този въпрос дава една чудесна книга, наскоро преведена на руски. Книгата се казва The Pleasure of x.

Удоволствие от х

Ако не можете да обясните нещо на шестгодишно дете, вие сами не го разбирате.
Алберт Айнщайн

Това е книгата, която трябва да е десктопза всеки учител по всеки технически предмет, било то математика или компютърни науки.

Авторът на това удоволствие Стивън Строгац е математик от световна класа, преподавател по приложна математика в университета Корнел в САЩ (един от водещите технически университети в света). И, съдейки по книгата, този човек съчетава две прекрасни качества, които превръщат тази творба в бестселър: Стивън Строгац е силен математик и учител в едно лице.

Можете да преподавате, но не познавате добре предмета. Може да познавате добре предмета, но да не можете да преподавате. Можете да направите и двете, но посредствено. Стивън Строгац принадлежи към различен тип: той знае и знае как да преподава правилно.

За какво е тази книга? Всъщност за всичко, което по някакъв начин е свързано с математиката. Разделите на книгата на пръв поглед са избрани хаотично (числа, съотношения, цифри, време на промени, различни данни, граници са възможни), но докато четете, започвате да разбирате какво е искал да предаде авторът. Книгата е базирана на изследване. Изследване, проведено от автора заедно с читателя.

Обхватът на разглежданите задачи е огромен. Всеки човек, дори с отлични познания по математика, ще научи нещо ново от него. В същото време се разглеждат както практически задачи (например изчисляване на лихвата, получена от акции, инвестирани на фондовия пазар), така и абсолютно абстрактни.

Много задачи са дадени в исторически контекст. Бих искал да се спра тук отделно: сега историята на развитието на математиката е изхвърлена от почти всички учебници. Междувременно, само чрез разбиране на историческия контекст, човек може да извърви целия път - от най-простата аритметика до съвременните математически теории.

Спомнете си, например, квадратни уравнения. Колко сълзи проляха и ученици, и учители в опит да запомнят заклинанието: X едно-две е равно на минус ba плюс или минус корен от ba на квадрат минус четири a-tse и разделяне на всичко на две a.

Между другото, този начин на писане вече не е правилен според новите математически стандарти - ок. редактор.

Хората с добра памет и / или "в темата" все още могат да си спомнят теоремата на Виета. Но вместо всичко това, Стивън Строгац дава елегантно обяснение, изобретено от ал-Хорезми, с помощта на което, без никакви формули, можете лесно и естествено да намерите решение (макар и непълно: в онези дни отрицателните числа все още не са били) широко използван). И ви уверявам, че всеки, който прочете това решение, ще го запомни завинаги. Първият път.

От глава в глава сложността на задачите се увеличава. Но разбирането не се губи, което е особеното удоволствие от четенето на Удоволствието на х. Читателят се потапя в атмосферата, която авторът е създал за него, на практика в един прекрасен нов свят.

Не знам с какво да сравня тази книга. Може би с известните лекции на Фейман по физика или с „Вие трябва да се шегувате, г-н Фейман“. Но едно е сигурно: тази книга ще остави отпечатък в душите на тези, които я прочетат.